（基础数学专业论文）亚纯函数及其q差分的分担值集和唯一性.pdf

l 一 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：毯继篮e l 期：塑应：幺厶 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：毯继夔导师签名： 中文摘要i i i 英文摘要 第l 章预备知识1 1 1n e v a n l i n n a 基本理论概要1 1 2 唯一性理论中的常用结果和记号7 第2 章亚纯函数及其q 差分的分担值集和唯一性9 2 1 引言及主要结果9 2 2 一些引理1 2 2 3 定理的证明1 4 第3 章亚纯函数及其q 差分多项式的分担值和唯一性2 0 3 1 引言及主要结果2 0 3 2 一些引理2 2 3 3 定理的证明2 4 参考文献3 0 致谢3 3 c o n t e n s c h i n e s ea b s t r a c t i i i e n g l i s ha b s t r a c t c h a p t e r1 p r e l i m i n a r i e s 1 1 t h eb a c k g r o u n do fn e v a n l i n n at h e o r y l 1 2t h eb a s i cr 睇u l t 8a n dn o t a t i o n so fu n i q u e n e s st h e o r y 7 c h a p t e r2s h a r i n gs e t sa n du n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i t ht 妇q - d 证e r e 螂9 曼2 1i n t r o d u c t i o na n dm a i nr e s u l t s 9 2 2s o i n el e m m a s 1 2 2 3t h ep r o o f o f t h em a i nr e s u l t s 1 4 c h a p t e r3 s h a r i n gs m a l lf u n c t i o na n du n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n sw i t ht h e i rq - d 证e 咖c ep o l y n o 血a l s - 2 0 3 1i n t r o d u c t i o na n dm a i nr e s u l t s 2 0 墨3 2s o m el e m m 勰- 2 2 3 3 t h ep r 。fo f t h em a i nr e s u l t s 2 4 r e f e r e n c 髑3 0 a c k n o w l e d g 咖e n t 3 3 i i 山东大学硕士学位论文 亚纯函数及其口差分的分担值集和唯一性 张继莲 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 r n e v a n l i n n a 创立的值分布理论( 也称n e v a n l i n n a 理论) ，以两个基本定理和 亏量关系式为核心内容，被著名数学家w e y l 评价为2 0 世纪最优美的数学分支 之一而关于亚纯函数的唯一性理论是n e v a n l i n n a 理论的重要组成部分，它主要 讨论在什么情况下只存在一个函数满足所给的条件比如多项式除了一个常数因 子外，由其零点唯一确定，然而对于超越整函数( 或一般的亚纯函数) 来讲，情形有 极大的差异n e v a n l i n n a 证明了超越亚纯函数由5 个i m 分担值唯一确定( 称为 n e v a n l i n n a 五值定理) ，分担4 个c m 公共值的超越亚纯函数相差一个m o b i u s 变 换( 称为n e v a n l i n n a 四值定理) ，所以细致研究亚纯函数唯一性是十分重要的近 几十年来，它备受许多学者关注，借助r n e v a n l i n n a 创立的值分布理论深入研究 五值定理，四值定理，三值定理，或加权分担值集等唯一性问题，成为活跃的研究 领域，国内外的众多数学家及学者己取得了丰硕研究成果最近几年，亚纯函数唯 一性理论的研究已经推广到了差分，非阿基米德，多复变等领域尤其是差分领域， 这一新课题一出现，就引起了许多数学学者的兴趣w b e r g w e i l e r ，r g h a l b u r d ， y i k - m a nc h i a n g 等都已经得到了许多很好的结果 本文主要介绍就与分担值集有关的零级亚纯函数及其口差分的唯一性问题 所做的一些研究全文共分三章，主要内容如下： 第一章概述了本文的研究背景，r n e v a n l i n n a 基本的理论，以及后面两章中用 到的唯一性的结论和一些记号 第二章主要研究了零级亚纯函数及其q 差分的分担值集和唯一性问题，推广 并改进了仪洪勋，j h e i t t o k a n g a s 等人的结果，主要结果如下 定理1 设f ( z ) 为零级非常数亚纯函数，g 为非零复数，岛= 1 ，u ，u ”1 ) ， y 卜 山东大学硕士学位论文 岛= 。o ) ，其中n 为正整数，u = e x p ( 等) ，如果毋( ：) ( 岛) = 毋( 。：) ( 岛) = 1 ，2 ) ，则 当n 4 时，f ( z ) 三= l = t f ( q z ) ，其中护= 1 当f ( z ) 为整函数，条件n 4 可以减弱为n 3 ，如下 推论1 设f ( z ) 为零级非常数整函数，q 为非零复数，s = 1 ，u ，u ”1 ) ， 其中n 为正整数，u = e x p ( 簪) ，如果研( ：) ( s ) = 毋( 口：) ( s ) ，则当n 3 时，f ( z ) 三 + t f ( q z ) ，其中t “= 1 若适当选取& ，我们可以完全确定f ( q z ) 定理2 设f ( z ) 为零级非常数亚纯函数，q 为非零复数，m 2 ，n 2 m + 4 ，n 和n m 没有公因子，a 和b 为使方程u n + o a t n 一仇+ b = 0 没有重根的2 个非零复 数s 1 = w l w “+ 0 , 0 3 ”仇+ b 7 - o ) ，岛= 。o ) ，如果e ：c ：) ( 岛) = e ( q ：) ( 岛) u = 1 ，2 ) ， j , lf ( z 1 三f ( q z ) 当f ( z ) 为整函数，变数的条件可以减弱为n 之5 ，如下 推论2 设，( z ) 为零级非常数整函数，g 为非零复数，a 和b 为使方程u “+ 舻一”+ b = 0 没有重根的2 个非零复数，n 为正整数s = u l u ”+ 舻一m + b = o ) ， 如果e ( ：) ( s ) = 毋( q ：) ( s ) ，则当礼5 时，( z ) 三f ( q z ) 第三章主要研究了关于零级亚纯函数及其q 差分多项式的共担小函数和唯 一性i ；1 题，在适当条件下，我们得到f o l 的下界 定理3 设，( z ) 为零级超越亚纯函数，a ( z ) 为f ( z ) 的小函数，f ( z ) = n 翟1f ( q j z ) 一， 劬u = 1 ，2 ，n ) 为判别非零复数，= 1 ，2 ，n ) 为正整数u = 1 嘶3 ， 且至少有1 个2 ，若，( z ) 的极点收敛指数为0 ，则在对数密度为l 的集合上， f ( z ) 一q ( z ) 有无穷多个零点且 丙g ，杰) t 肿跗，) 考察差分多项式，( z ) n ( ，( z ) 一1 ) f ( q z ) 一q ( z ) ，我们可以得到 定理4 设，( z ) 为零级超越整函数，n ( z ) 为f ( z ) 的小函数，q 为非零复数，仃 为正整数，则在对教密度为1 的集上，当n 2 时，( z ) “( ，( z ) 一w ( q z ) 一q ( z ) 有无 穷多个零点 ， - k 山东大学硕士学位论文 对于差分多项式，我们还可以得到唯一性方面的结果 定理5 设，( z ) 和夕( z ) 为两个零级超越整函数，q ( z ) 为，( z ) 和g ( z ) 的小函 数，q 为非零复数，n ( 7 ) 为正整数，若，( z ) “( ，( z ) 一1 ) ，( 弘) 与9 ( z ) n ( 夕( z ) 一1 ) 9 ( g z ) c m 分担口( z ) ，则在对数密度为1 的集上，f ( z ) 三9 ( z ) 关键词：亚纯函数；差分；值集；小函数；唯一性 v 山东大学硕士学位论文 s h a r i ngs e t sa n d u n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n s w i t ht h e i rq d i f f e r e n c e s j i l i a nz h a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t t h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n se s t a b l i s h e db yr n e v a n l i n n a i sa l s oc a l l e dn e v a n l i n n at h e o r y i t sm a i nc o n t e n t sc o n s i s to ft h et w of u n d a m e n t a lt h e o r e m s a n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ed e f t c i e n c i e s b e s i d e s ，i tw a sc o n s i d e r e dt ob eo n eo ft h em o s t e l e g a n tm a t h e m a t i cb r a n c h e sb yt h ef a m o u sm a t h e m a t i c i a nw e l t h eu n i q u e n e s st h e o r yo f m e r o m o r p h i ef u n c t i o n si st h em o s ti m p o r t a n tp a r to ft h en e v a n l i n n at h e o r y i tm a i n l ys t u d - i e ss o m ep r o p e rc o n d i t i o n s ( p ) u n d e rw h i c ht h e r ei so n l yo n ef u n c t i o ns a t i s f y i n g ( p ) i ti s w e l lk n o w nt h a ta n yp o l y n o m i a li sd e t e r m i n e db yi t sz e r op o i n t se x c e p tf o ran o n - c o n s t a n t f a c t o r g e n e r a l l ys p e a k i n g ，i ti s n o tt u r ef o rt r a n s c e n d e n t a le n t i r ef u n c t i o n so ro r d i n a r y m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s n e v a n l i n n ap r o v e dt h a tt h et r a n s c e n d e n t a lm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s c a nb ed e t e r m i n e du m q u e l yb yf i v es h a r i n gv a l u e sw h i c hw a sa l s oc a l l e dt h en e v a n l i n n a s f i v e - v a l u et h e o r e m h eh i m s e l fp r o v e dt h en e v a n l i n n a sf o u r - v a l u et h e o r e m ，t o o s ot h a t ， i t i si m p o r tt os t u d yt h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sc a r e f u l l y i nr e c e n t d e c a d e s ，m a n ym a t h e m a t i c i a n sp a i dc l o s ea t t e n t i o nt oi t w i t ht h et o o lo ft h ev a l u ed i s t r i o b u t i o ne s t a b l i s h e db yr n e v a n l i n n a ，t h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss u c h a sf i v e - v a l u et h e o r e m ，t h r e e - v a l u et h e o r e ma n ds h a r i n gs e t sh a sb e c o m ea ni n t e r e s t i n ga n d i m p o r t a n tf i e l d m a n yg o o da n dn e wr e s u l t sa p p e a ra st i m eg o e so n i nr e c e n ty e a r s ，t h e v a l u ed i s t r i b u t i o na n du n i q u e n e s sp r o b l e m sh a v eb e e ne x t e n d e dt ot h ef i e l d so ft h ed i f f e r - e n c eo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，n o n - a r c h i m e d e a na n dm u l t i p l ec o m p l e xa n a l y s i s e s p e c i a l l y i nt h ed i f f e r e n c ef i e l d s a n dt h en e wf i e l dh a sa t t r a c t e dm a n yo t h e rm a t h e m a t i c i a n ss u c h a sw b e r g w e i l e r ，r g h a l b u r d ，y i k - m a nc h i a n ga n d8 0o n t h e ya l s oo b t a i n e dp l e n t yo f v i 一 ， 。 山东大学硕士学位论文 e l e g a n tr e s u l t so nt h er e s e a r c ho ft h eu n i q u e n e s st h e o r y i nt h i sp a p e r ，w ew i l lg i v es o m er e s u l t so nt h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s a n dt h e kq - d i f f e r e n c e ss h a r i n gs e t su n d e rt h eg u i d a n c eo fp r o f e s s o rh up e i c h u i th a st h r e e c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h i st h e s i s ，n e v a n l i u n ab a s i ct h e o r y a n ds o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t sa n dn o t a t i o n so ft h eu n i q u e n e s sw h i c hw o u l db eu s e di nt h e n e x tt w oc h a p t e r s i nc h a p t e r2 w s t u d i e dt h ep r o b l e m so fs h a r i n gs e t sa n du n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n sw i t ht h e i rq - d i f f e r e n c e sa n dg a i n e dt h et w ot h e o r e m s t h e o r e m1 l e t 研= 1 ，u ，j n - - 1 ) ，岛= t o 。) ，w h e r en z a n d w = e x p ( 百2 1 r i ) l e t qi san o n - z e r oc o m p l e xc o n s t a n t s u p p o s et h a tl ( z ) i san o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n o fz e r oo r d e rs u c ht h a t 研( ：) ( 岛) = 岛( g ：) ( s j ) u = 1 ，2 ) i fn 4 ，t h e nf ( z ) 兰土t f ( q z ) ， w h e r et “= 1 l e tf ( z ) b ea ne n t i r ef u n c t i o n ，t h ec o n d i t i o nn 4c a nb er e d u c e dt on 3 c o r o l l a r y1 l e ts = 1 ，u ，扩- 1 ) ，w h e r en za n du = e x p ( 簪) l e tqi sa n o n - z e r oc o m p l e xc o n s t a n t s u p p o s et h a t ，( z ) i san o n c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o no fz e r oo r d e r s u c ht h a t 研( ：) ( s ) = 毋( 鼋。) ( s ) i fn 3 ，t h e nf ( z ) 三士t ，( 口z ) ，w h e r e 俨= i i fw ec h o o s eap r o p e rs e ts 1 ，w ec a n g a i nt h ee x a c tf u n c t i o nf ( q z ) t h e o r e m2 l e tm22 ，n 2 m + 4w i t hna n dn 一仇h a v i n gn oc o m m o nf a c t o r s l e taa n dbb et w on o n - z e r oc o n s t a n t ss u c ht h a tt h ee q u a t i o nu n + 似，一仇+ b = 0h a sn o m u l t i p l er o o t s l e t & = u l u “+ n u “一“+ b = o ，岛= 。o 】，a n dqi san o n - z e r oc o m p l e x c o n s t a n t s u p p o s et h a tf ( z ) i san o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o no fz e r oo r d e r t h e n 毋( z ) ( 岛) = 巧( g ：) ( 岛) 0 = 1 ，2 ) i m p l yf ( z ) 三f ( q z ) w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l tc o n c e r n i n ge n t i r ef u n c t i o n c o r o l l a r y2 l e t 礼5b ea ni n t e g e ra n dl e taa n dbb et w on o n - z e r oc o n s t a n t ss u c h t h a tt h ee q u a t i o nw n + 叫n m + b = 0h a sn om u l t i p l er o o t s l e ts = u i u n + 叫n 1 + 6 = o ) ， a n d 口i san o n - z e r oc o m p l e xc o n s t a n t s u p p o s et h a ti ( z ) i san o n c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o no f v i i 山东大学硕士学位论文 z e r oo r d e r t h e n 巧( ：) ( s ) = 句( 口；) ( s ) i m p l i e si ( z ) 三f ( q z ) i nc h a p t e r3 ，w es t u d i e dt h ep r o b l e m so fs h a r i n gt h es m a l lf u n c t i o na n du n i q u e n e s s o fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i t ht h e i rq - d i f f e r e n c ep o l y n o m i a l s m a i nr e s u l t sa r es t a t e da s f o l l o w s t h e o r e m3 l e tf ( z ) b eat r a n s c e n d e n t a lm e r o m o r p h i cf u n c t i o no fz e r oo r d e r ，a n d q ( z ) b eas m a l lf u n c t i o nw i t hr e s p e c tt o ，( z ) s u p p o s et h a tf ( z ) = n lf ( q j z ) 矿，w h e r e q j ( j = 1 ，2 ，n ) a r ed i s t i n c tv a l u e si nca n d 嘶u = 1 ，2 ，n ) a r ep o s i t i v ei n t e g e r s l e t t = 跺1 嘶3 ，a n da tl e a s to n eo f t h e 嘶2 i f t h ee x p o n e n to f c o n v e r g e n c e o f t h ep o l e s o ffi sz e r o ，t h e nf ( z ) 一q ( z ) h a si n 矗n i t e l ym a n yz e r o s ，a n dn ( r ，f 南) t ( r ，) + s ( r ，) o nas e to fl o g a r i t h m i cd e n s i t y1 c o n s i d e r i n go ft h ed i f f e r e n c ep o l y n o m i a l ，( z ) ”( ，( z ) 一1 ) f ( q z ) 一q ( z ) ，w eg e t t h e o r e m4 l e t ( z ) b eat r a n s c e n d e n t a le n t i r ef u n c t i o no fz e r oo r d e r ，a n dq ( z ) b ea s m a l lf u n c t i o nw i t hr e s p e c tt o ，( z ) s u p p o s et h a tgi san o n - z e r oc o m p l e xc o n s t a n ta n dni s a ni n t e g e r i fn 2 ，t h e n ，( z p ( ，( z ) 一1 ) f ( q z ) 一a ( z ) h a si n f i n i t e l ym a n yz e r o so nas e to f l o g a r i t h m i cd e n s i t y1 t h e o r e m5 l e tf ( z ) a n dg ( z ) b et w ot r a n s c e n d e n t a le n t i r ef u n c t i o n so fz e r oo r d e r ， a n dq ( z ) b eas m a l lf u n c t i o nw i t hr e s p e c tt ob o t hf ( z ) a n d9 ( z ) s u p p o s et h a tqi san o n - z e r o c o m p l e xc o n s t a n ta n dn ( 7 ) i sa ni n t e g e r i f ，( z ) “( ，( z ) 一1 ) f ( q z ) a n d 夕( z ) ”( g ( z ) 一1 ) g ( q z ) s h a r ea ( z ) c m ，t h e nf ( z ) 三g ( z ) o nas e to fl o g a r i t h m i cd e n s i t y1 k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ；d i f f e r e n c e ；s m a l lf u n c t i o n ；u n i q u e n e s s ；s e t s i i l 峨 一性成果推广到差分领域上在本章中我们将介绍r n e v a n l i n n a 理论的基 本知识和后面各章中常用的唯一性理论的基本结果和常用记号等相关 内容，其具体知识可参阅( 【1 】) 在本文中无特殊说明，我们提到的亚纯函数均指在整个复平面上的 亚纯函数 1 1r n e v a n l i n n a 基本理论概要 二十世纪初，r n e v a n l i n n a 巧妙地引入了特征函数，并成功地利用p 嘲i o n j e n s e n 公式研究了亚纯函数间特征函数的关系，亚纯函数值分布理论的 研究由此开始我们首先介绍在n e v 彻】i n n 8 理论中起重要作用的p 嘲i o n - j e n s e n 公式 定理1 1 ( f l 】) 设f ( o 为圆 冗( o rs ) 内的亚纯函数且不恒为零， a u ( u = 1 ，2 ，m ) ，b v ( v = l ，2 ，) 分别为，( ) 在蚓 r 内的零点和极点 若z = r e x p ( i o ) 为蚓 0 时，有l o g x = l o g + x l o g + ： n ( r ，) 表示，( z ) 在圆 z l r 上的极点的个数，重级点按重数计算这 样，n ( r ，手) 就表示，( z ) 在圆i z l r 上的零点的个数，重级点按重数计算 以下，我们指出( 1 2 ) 式右边第三项 薹，o s 阱o r 华出 同理，( 1 2 ) 式右边第二项 薹1 0 9 | * o r 掣把 于是，( 1 2 ) 式可改写成 磊1z 打l o g f ( r 刚州岍z r 华疵 ：去卜g l 丽卜z r 掣州o s i 们 3 ， 在( 1 3 ) 式中，我们假定了，( o ) o ，0 0 若在z = 0 的某领域内，令，( z ) = 岛矿+ 岛+ 1 z 卧1 + b o ) 应用( 1 3 ) 式于9 ( z ) = z - f ( z ) ，即可得到j e n s e n 公 式的一般形式 i 1 o 斯l o g f ( r 喇州岍o r 啦萼幽们，) 1 0 9 r ：嘉z 孙崦i 币面轰丽1 如+ z r 丛掣出+ 礼( 0 专) r + 蛾c l q 其中为，( z ) 在z = 0 的邻域内展开式的第一个不为零的系数 n e v 趾l i n n a 理论正是从j e n s e n 公式的一般形式( 1 4 ) 式展开的以下再 引入一些记号 定义1 2 ( 1 】) ，h 仇( r ，) 2 去上1 0 9 + i f ( r e x p ( i o ) ) l d o 山东大学硕士学位论文 r e ( r , f ) 也记为m ( r ，= ) 或m ( r ，。) ，是i f c z ) l 的正对数在i z l r 上的平均 值 ( 硼：厂虹掣出+ n ( o ，f ) l o g r ( ，) 可记为( n f = o 。) 或( ，o o ) ，称为i f c z ) l 的极点的计数函数 仇( ，击) ，( r ，击) 也可类似定义 这样，j e 璐e n 公式( 1 4 ) 可写为 r e ( r , 卅脚= m ( r ，手) + ( r ，；) + i c 。f 定义1 3 ( 【1 】) t ( r ，) = r e ( r , ，) + n ( r ，) r n e v a n l i n n a 称t ( r ，) 为亚纯函数，( z ) 的特征函数 于是，j e n s e n 公式又可写为 t ( r ，) = t ( r ，；) + l o g l i ( 1 5 ) 另外，根据正对数的性质，对亚纯函数，( z ) ，我们可以得到 m ( nn f j ) m ( r ，办) ， j - - - - 1j = l m ( r ，乃) m ( r ，乃) + 1 。g p ； j = lj = l 秽 肌，里乃) sj = l n ( 例， ( r ，j ) ( r ，y j ) j - - - 1j = l 从而得到特征函数t ( r ，) 的性质： t ( r ，办) t ( r ，乃) ， j = lj = l t ( r j ) s t ( 7 ，办) + l o g p j = lj = l 当，( z ) 为全纯函数时，利用定理1 1 ( p o s s i o n - j e i l s e n 公式) ，易推出其特征 函数与其最大模m ，) = m a x l ：i 。i ，( z ) i 之间的相互制约关系 3 定理1 2 ( 1 j ) 设，( z ) 为非常数整函数，则对于0sr r o 。，有 弛，) l o g + m ( r ，) s 五r + 一r r t 、r ，) 根据正对数性质及j e n s e n 公式( 1 5 ) ，r n e v a n l i n n a 建立了关于亚纯函数 的第一基本定理 定理1 3 ( 1 j ) ( r n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设，( z ) 于i z l r ( 冬o o ) 内亚纯，若n 为任一有穷复数，且，( z ) 口，则对 于0 f r 有 t ( r ，万1 ) = 聊，) + l o g i c , i + c ( 口，r ) ( 1 6 ) 其中为南在原点的l a u r e n t 展式中第一个非零常数，而。( 口，r ) sl 。g + | n l + l 0 9 2 ( 1 6 ) 式通常简写为 t ( r ，击) = 毗，) + 0 ( 1 ) ( 1 7 ) 它表达了对任一有穷复数口，t ( r ，南) 与t ( r ，) 仅仅相差一个有界量 其后，r n e v a n l i n n a 得到了第二基本定理 定理1 4 ( 1 】) ( r n e v a n l i n n a 第二基本定理) 设，( z ) 于h r 内亚纯，叼u = 1 ，2 ，g ) 为g ( 2 ) 个判别的有穷复数， 则对于0 r r 有 嘶，) + 荟qm ( r ，南) 鲫n 肛眦，) ( 1 8 ) 这里 1 ：2 ( r ，肛( r ，) + ( r ，多) ， ( 1 9 ) 跗= m + m 幢南) + 0 ( u 为了应用第二基本定理，我们需要对s ( r ，) 的增长性进行估计而对 余项s ( r ，) 的估计取决于对对数导数平均值m ( r 孚) 的增长性的估计下 4 山东大学硕士学位论文 定理1 5 ( 【1 】) ( 对数导数基本引理) 设，( z ) 为开平面上非常数亚纯函数，且，( o ) o ，o o ，则对于0 r r 有 m ( r ，手) 4 ，o g + t c 跗m l o g + 击+ 4 l o g + r + 2 l o g + 一1 l o g + l o g + 南仙 下面，我们先引入函数的级的概念 定义1 4 ( 【1 】) 设s ( r ) 是在( t o ，o