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局部c 一半群的紧性 基础数学专业研究生雷梅梅 指导老师赵华新副教授 摘要 紧线性算子理论在积分理论和各种数学问题中起着核心作用，算子半群理论是算子 理论中一个重要的分支，不仅在理论上有其自身的重要价值，更重要的是它在众多数学 分支的广泛应用本文试图将紧线性算子理论与半群理论相结合进行研究，得出些有 用结果 本文由三部分组成：第一部分为预备知识，主要是介绍一些常用的符号、记号以及 其它内容所涉及的一些主要概念；第二部分讨论了紧线性算予的概念及其性质，先给出 紧集、紧线性算子的定义，并且对线性算子有界与紧的关系，紧线性算子有界与连续的 关系，紧线性算子的运算等进行了概括和总结；第三部分引入了c 一紧、局部c 一半群是 紧的概念，并且研究了有关c 一紧的一些性质以及给出了局部c 一半群为紧的充要条件 关键词：局部c 一半群紧性紧线性算子c 一紧 局部c 一紧 t h ec o m p a c t n e s so fl o c a lc - s e m i g r o u p a b s t r a c t t h ec o m p a c tl i n e a ro p e r t o rt h e o r yp l a y st h er o l eo fc o r ei nt h ek i n k so fm a t h e m a t i c a l p r o b l e m ，o p e r a t o rs e m i g r o u pt h e o r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho ft h eo p e r a t o rt h e o r y ，n o t o n l yi th a si m p o r t a n tv a l u ei nt h e o r y ，b u tt h em o r ei m p o r t a n ti si t sw i d e s p r e a du s a g ei n m a n ym a t h e m a t i c a lb r a n c h e s t h i sp a p e rt r i e st oc o m b i n et h ec o m p a c tl i n e a ro p e r t o r t h e o r ya n ds e m i g r o u pt h e o r yt o g e t h e rt os t u d y , a n df i n ds o m eu s e f u lr e s u l t s t h i sp a p e ri sd e v i d e di n t ot h r e ep a r t si nt h ef i r s t p r e k n o w l e d g ep a r t ，s o m em a r k s a n ds y m b o l sa r er e g u l a r i z e da n ds o m ei m p o r t a n tc o n c e p t sw h i c hw i l lb eu s e di no t h e r c h a p t e r sa r ep r e s e n t e d i nt h es e c o n dp a r ti ti n t r o d u c e st h ec o n c e p to ft h ec o m p a c t , l i n e a r o p e r t o ra n di t sc h a r a c t e r f i r s t ，i tg i v e st h ed e f i n i t i o no fc o m p a c t n e s sa n dc o m p a c tl i n e a r o p e r t o r ，t h e ns u m m a r i z et h er e l a t i o no ft h eb o u n d e r yl i n e a ro p e r a t o ra n dc o m p a c t n e s s ，t h e r e l a t i o no ft h eb o u n d e r yc o m p a c tl i n e a ro p e r a t o ra n dc o n t i n u i t y , a n dt h ec a l c u l a t eo fc o n q 。 p a c tl i n e a ro p e r a t o r ，e r e i nt h et h i r dp a r ti ti n t r o d u c e st h ec o n c e p t so ft h ec c o m p a c t 、 t h el o c a lc s e m i g r o u pi sc o m p a c t ，a n ds t u d i e ss o m ec h a r a c t e ro fc - c o m p a c t j a n d g i v e t h es u f f i c i e n tr e q u i r e m e n to ft h el o c a lc - s e m i g r o u p l e im e i m e i ( p u r em a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db ya s s o c i a t ep r o f z h a oh u a x i n k e y w o r d s ： c _ s e m i g r o u pc o m a p c t n e s sc o m p a c tl i n e a ro p t e r a t o r c c o m p a c t l o c a lc - c o m p a c t 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中散了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料菪有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：! 童：盔垒超日期：避旦! ! 鱼 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全郝载部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。 本人签名：! 霭监趁日期 导师签名 一2 叠纽! z 塑 冬笙超 隔型：业 局部c 一半群的紧性 绪论 泛函分析是二十世纪初逐渐形成的一个新的数学分支其产生的背景一方面是起源 于经典数学物理中的变分问题，概括了经典分析、函数论等中某些重要概念、问题和成 果，并受到量子物理、现代力学以及现代工程技术的有利刺激；另一方面则是受到其它 数学分支高度发展的影响，它以其高度的统一性和广泛的应用性，在数学领域中占有重 要的地位泛函分析是数学中的一个较新的重要分支，它综合地运用分析、代数、几何 的观点和方法，研究分析数学、现代物理和现代工程技术等所提出的有关问题它是二 十世纪出现的第一个高度综合性的数学学科 现在泛函分析的观念和方法已经有力地渗透并影响着现代纯粹数学与应用数学、理 论物理及现代工程技术理论的许多分支，如微分方程、概率论、计算数学、量子物理、统 计力学、现代控制论、现代力学、抽象调和分析、函数沦、大范围微分几何等近几十年 来，随着科学技术的迅速发展，泛函分析在科学技术各个分支的发展过程中所起的指导 作用和工具作用日益显著 算子半群理论是泛函分析的一个重要的、内容丰富的分支，同时作为一种有力的工 具应用在数学与物理工程技术的许多问题中算子半群的概念源于微分方程c a u c h y 问 题以及物理学中的因果率 算子半群的发展历程大致可分为四个阶段： 1 、初创期( 1 9 3 0 年至1 9 4 7 年) ：s t o n e 在1 9 3 0 年提出，并在1 9 3 2 年证明的s t o n e 定理是算子半群理论中出现的最早结果。这一时期算子半群的主要工作就是围绕s t o n e 定理展开的 2 、成熟期( 1 9 4 8 年至1 9 5 6 年) ：1 9 4 8 年h i l l e 和y o s i d a 独立得到生成定理是算 子半群发展史上的里程碑，接着p h i l l i p s 及f e l l e r 等填补了h i l l e 留下的许多空白， 3 、扩充期( 1 9 5 7 年至1 9 8 6 年) ：1 9 5 7 年出版的h i l l e ，p h i l l i p s 的专著泛函分析 与半群标志着半群的理论基本形成单参数算子半群理论的研究可追溯到上个世纪， 绪论 2 但其许多重大进展产生于1 9 4 8 年之后，这是因为这个理论的核心一一算予半群的生成 定理是于1 9 4 8 年才被e h i l l e 和k y o s i d a 所建立随着研究的不断深入，人们发现经 典莳q 一半群( 强逢续半群 已远远不足以刻划来源于实际背景的微分方程于是人们 不得不寻求新的突破，1 9 6 7 年，d a i n a t o 1 首次提出正则半群( 后称c 一半群) ，但由 于种种原因，以后的二十年未能引起人们的足够重视其后，人们的注意力开始转向扩 展算子半群的其它类型，如分布半群，局部凸线性拓扑空间中的算子半群，菲线性算子 半群，正半群等f 2 ，3 、4 ，5 1 4 、再生期( 1 9 8 7 年以后) ：算子半群理论发展至今之所以内容丰富，原因之一是针 对各种不同背景，引入了种类繁多的算子半群，这虽然丰富了算子半群理论，但自然也 产生了一个问题，就是如何建立更有效的框架，进行更统一和深入的探讨 1 9 8 7 年d a v i e s 和p g i 6 提出c 一半群的概念，以后许多数学工作者对此进行了 广泛深入的研究正是源于这种现状，1 9 8 7 年r d e l a u b e n f e l s ，a r e n d t 7 ，8 1 等人在发 展强连续半群的基础上引进了几种新的算子半群一一积分c 一半群、积分半群、存在唯 一族、余弦算子函数、多值线性算子所对应的退化半群、双半群等【9 ，l o 、lt ，1 2 ， 1 3 1 ，它们在处理物理方面的一些问题时显示了强有力的作用，其中1 9 8 7 年a v e n d 提出 了积分半群，给出了算子半群的更一般框架，它从两方面实质性的发展了g 一半群，即 生成元的定义域可不必稠密及预解式的估计可放宽到多项式情形，这就在很大程度上拓 宽了其应用范围。目前，积分半群的框架已形成，其研究的注意力主要集中在积分半群 的基本理论及对抽象c a u c h y 阃题的应甩上， 1 9 8 9 年，d a v i e s 和p a n g 为了研究当算子a 稠定且p ( a ) 时，对任意的 z c d ( a ) ，抽象c a u c h y 问题具有指数有界的唯一解时，重提了他们称之为g 一半群 的概念，从多方面实质性的发展了q 半群( 强连续半群) ，且在对非撼圆微分算子的 应用中显示了其巨大的生命力，因而引起了人们的普遍关注，许多研究者对此半群作了 进一步的研究，这在r d e l a u b e n f e t s l 9 9 4 年的专著【1 4 ) 以及肖体俊和梁进1 9 9 8 年的专 著【1 5 】中有系统的阐述 算子半群数十年的持续发展，已使其形成一个对数学与工程技术闻题有重要应用的 局部g 一半群的紧性 3 广泛的数学分支，不仅在理论上有其自身的重要价值，更重要的是它在众多数学分支上 的广泛应用，如它在偏微分方程方面 1 6 、17 、系统论方面【1 8 、1 9 】、概率论方面 【2 0 、2 1 、分布参数控制论方面、数学物理方面【2 2 、2 3 、迁徒理论方面、人口发展 系统方面 2 4 、2 5 、逼近论和量子力学理论方面中均有广泛应用，尤其是它与抽象问题 的联系最为密切，即算子半群是抽象c a u c h y 问题 2 6 ，2 7 】研究中最有力的工具，而抽 象c a u c h y 问题是算子半群最显著的应用题材，预者互相促进、共同成长 紧线性算子理论在积分理论和各种数学物理问题中起着核心作用，这一理论曾作为 泛函分析早期研究的一个雏型，其性质与有限维空间上算子的某些性质极为相似，对于 紧线性算子来讲，其谱理论能够相当完整地从弗雷德霍姆著名的线性积分方程理论推广 到含复参数的线性泛函方程t z 一妇= y 中去，这个被推广的理论叫黎斯一邵德尔 ( r i e s z s c h a u d e r ) 理论 全文分为三个部分： 首先介绍了在本文中所需要的基本概念、性质等，为本文的研究做好了准备工作 其次引入了紧性、紧线性算子的概念及一些性质，并研究了线性算予有界与紧的关 系，紧线性算子有界与连续的关系，紧线性算子的运算等 最后引入了g 一紧，紧的局部e 一半群的概念，并且研究了有关的性质，又给出了局 部c 一半群为紧的充要条件，即设a 是指数有界的局部c 一半群 s ( ) ，o t t ) 的 生成元，如果r ( a ，a ) 对某一a p ( a ) 是g r 一紧的，且s ( t ) c 当t o t 0 ，使得 i is ( t ) 峪m e “ 则称 s ( t ) ，t 0 ，是指数有界的c 一半群 定义l ，2 ( 2 8 】设 s ( t ) ，t o ) 是指数有界的g 一半群，令 l z = e - 、t s ( t ) z d t ，a u ，z x 则l a 有界，并且是单射，称为s ( t ) 的l a p l a c e 变换。 如下定义的算子a d ( a ) = z ：茁x ，c x 冗( 己 ) ) a ( ) = ( x 一i 1 g ) z ，茁口( a ) 称为c 一半群 s ( t ) ，t 0 ) 的生成元 z 的c 一预解集定义为使得( a z ) 为单射且r ( c ) r ( a z ) 的复数a 的 全体，记为p c ( z ) ，p c ( z ) 在复平面中韵补集记为口c ( z ) d ( z ) 表示z 的定义域， r ( z ) 表示z 的值域 定义1 3 设 s ( t ) b ( x ) 0st 丁 ，满足： ( i ) 对每一个z x ，s ( t ) z ：【o ，丁) - x 是强连续的 旦登二堂登鲤墅丝 一5 ( i i ) s 0 ) ( s ) = s ( t + s ) c ，0 s ，t ，t + 8 0 ，礼n ( v i i ) c a c 一= a 命题1 2 1 2 9 l 每个局部c 一半群都由其生成元唯一确定 命题l ，3 2 9 1假设 s ( 砖，0st 曼t ) 是强连续的有界线性算子族，a 为一甥算 子，每个s ( t ) 与a 可交换，若对vz x ，有 面s ( c r ) d o d ( a ) ， 及 a 石s ( 盯) d 盯= s ( t ) 一c x ，t 【0 ，t ) 则 s ( t ) ，0 曼t t ) 是局部c 一半群，其生成元是a 的一个扩张 命题1 4 假设 s ( ) ，0s ts 丁) 是【0 ，t ) 上一个强连续的有界线性算子族， a 是一个闭算子，且满足对任何。d ( a ) ，有 s ( t ) a x = a s ( t ) x 及 s ( ) 。= g z + 蛞s ( t ) a x d a ，t 1 0 ，丁) 若a 是稠定的或几a ，即取a 风a 时，有 ，n ( a a ) di m c ，( a a 一1 ) c x d ( a ) 局部g 一半群的紧性 第二章紧线性算子的概念及其性质 定义2 1 【3 1 】设x 是b a n a c h 空间，如果x = ug 。其中对于每一n ，、g 。是 a 开集，则称 g 。) ，0 ：i 是x 的一个开覆盖如果x 的任意开覆盖中存在有限子覆 盖，即存在l ，o 。i ，使得x = ug 。，则称x 是紧的 k = 1 设a 是x 的子集，如果a 作为x 的子空间是紧的，则称集合a 是紧的 如果x 的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称x 是序列紧的；x 的子集m ， 作为x 的子空间若是紧的，也就是说， m 的每一个序列都有一个在x 中收敛的子序 列，称m 为相对紧集；若m 中任何序列有收敛子列且其极限属于m ，则称m 为紧 集 注2 1 【3 l 】由定义可直接看出： ( i ) 紧集就是闭的相对紧集 ( i i ) a 是相对紧集 = 辛页是紧集 ( i i i ) 相对紧集的任何闭子集是紧集 ( i v ) 紧集的任何闭子集是紧集 ( v ) 相对紧集必为有界集，紧集必为有界闭集( 这是因为若acx 无界，则必有 序列 。n ) ca ，使得i l z 。| | _ o o ，_ o o ) ，显然这样的 z 。) 不可能有收敛子列， 因而a 不是相对紧集) 定义2 2 3 2 1 令x ，y 是b a n a c h 空间，算子t ：x - 4y 若是线性的，即对x 的 每个有界子集m ，其象t ( m ) 是相对紧的，即闭包丽是紧的，则称t 是一个紧 线性算子 紧线性算子的系统理论是从形如 ( t 一”) z ( s ) = g ( s ) ，其中t x ( s ) = 譬是( s ，t ) x d t 篁三童鉴垡丝蔓量鲤堡叁墨基壁堕 一8 的积分方程理论中产生出来的，在这里，a c 是一个参数，y 和核是给定的满 足一定条件的函数，而x 是未知函数 引理2 1b a n a c h 空间x 的紧子集m 是有界且闭的 证明对每个z m ，在嬲中有序列 z 。 ，使得z 。一x 、由于嬲是紧的，故 m 由于te 丽是任意的，因此m 是闭的 下面证m 是有界的若m 无界，则m 必包含一个无界序列 y n ) ，使得d ( y 。，6 ) n ， 其中b 是x 的中的任一固定点因此收敛序列必有界，所以 鲰) 不能含收敛的子序 列这便与膨的紧性矛盾从而证明m 是有界的 定理2 1 在有限维b a n a c h 空间x 中，任一子集mcx ，当且仅当为有界闭集 时，才是紧集 证明因为根据引理1 2 1 。紧性蕴含着闭性和有界性 现证其逆令m 是有界闭集，且令d i m x = n ，e l ，e 2 ，e 。是x 的一个基考 虑m 中的序列 。) 每个。都有唯一的表示 z 。= f ”e l + 醴“) e 2 + 十酹p ) e 。 由于m 是有界的，所以f z 。) 也是有界的不妨设对所有的m ，都有忙。f | s 因此有 k 芝1 i z 。l | = f 1 爵4 勺i i c | | 苗”。l f 其中c 0 ，因此，对每个面定的j ，数列 ；8 ，是有界的，再据波尔察诺一维尔 斯特拉斯定理，它有一个聚点白，这里1 j 扎 所以 z 。 有一个子序列 ) ，它收敛到。= e i e j 由予m 是闭的，故z m 这就证明了m 中的任一序列 z 。) 都有一个m 中 收敛的子序列( ，故m 是紧的 引理2 2 设t ：d ( t ) _ 十y 是一个线性算子，其中d ( t ) cx ，x 和y 都是b n 局部g 一半群的紧性 9 n a c h 空间，则 ( i ) t 连续当且仅当t 有界 ( i i ) 若z 在一点连续，则丁在整个定义域d ( 丁) 上都连续 证明( i ) 对于t = 0 ，情况是很明显的， 对于t 0 ，则i i t i i 0 假定丁是有界的，来考虑任一z o d ( 丁) 设给 定了任一g 0 由于t 是线性的，所以对每个满足 舾一z o 0 ， 使得对所有满足陋一z 0 0sd 的z d ( t ) ，有 l i t z t x o 1 ( 1 ) 现在任取d ( 丁) 中的一点y 0 ，并置z = x o + ( 南) f ，则有 z x o = 赢 因此峪一x o l i = d ，所以可用上面的式子，由于? 是线性的，便有 i t x t 。o l l = i i t ( z z o ) 1 1 = l i t ( 击g ) l i = 南 i t y l l 而式( 1 ) 叉给出 志i i t i i e 因而有 f f 巧f s 洲可0 在取c = ；之后，便可写为i i t y l i c i ，即证明了t 是有界的 ( i i ) 由( i ) 的后半部分证明可知，t 在一点连续意味着t 是有界的，而有界性可推 签三童鉴垡丝差至鲤趣查壁基壁重 1 0 出连续性， 引理2 3 若b a n a c h 空间x 中的闭单位球m = zi i x l f 墨1 ) 是紧的，则x 是有限维的 定理2 2 令x ，y 是b a n a c h 空间，则 ( i ) 每个紧线性算子t ：x - 4y 都是有界的，因此是连续的 ( i i ) 若d i m x = o 。，恒等算子：x - x ( 是连续的) 不是紧的 证明( i ) 单位球面u = 扛xi i z l l = 1 ) 是有界的，由于t 是紧的，故于丽是 紧的 由引理2 i 知也是有界的，所阻3 u p l t x l l 。 因此t 是有界的，从而由引理1 2 2 证明了它是连续的、 ( i i ) 当然闭单位球m = z x 川2 l | sl 是有界的 当d i m x = o 。时，由弓l 理1 2 3 可推出m 不是紧的，因而，( m ) = m = 丽不 足相对紧的 这个定理说明紧线性算子是连续的，其逆一般不是真的 定理2 3 令x 和y 是b a n a c h 空阍，t ：x - 4y 是一个线性算予，当且仅当x 中的每个有界序列 z 。) 在r 之下的象 丁z 。) cy 都有一个收敛的子序列，丁才是 紧的 证明若t 是紧的丽( z 。) 是有界的，则序列 t x 。) 在y 中的 j 包是紧的，而 紧定义中表明 t x 。 含有一个收敛的子序列； 反之，假定每个有界序列 ) 在y 中收敛，现考虑任一有界子集b cx ，并 令 9 。 是t ( b ) 中的任意序列 则对某些x 。b 有蜘= t x 。，并且由于嚣是有界的，可知f g 。) 也是有界的 据假定， t x 。) 含有收敛的子序列，因为 ，是在t ( b ) 中任取的，故据定 义可知t ( b ) 是紧的，所以t 是紧的 旦叠g = 堂登笪鉴丝 1 1 定理2 4 两个紧线性算子噩：x 。y ，疋：x - y 之和霸+ 乃是紧的 类似的，a 乃也是紧的，其中d 是任一标量 证明设丑，疋是任意两个紧线性算子，那么x 中的每个有界序列 z 。) 在死噩之 下的象 n 嚣。，囊孔n cy 郡有一个收敛的子序烈，所以，序列忸z 。) ，( t 2 。，在y 中 的闭包是紧的对于其和五+ 正：x _ l ，同样x 中的每个有界序列 z 。) 在瓦+ 瓦 之下的象 ( 瓦+ 乃) z 。 cy 都有一个收敛的子序列 所以乃+ 乃是紧的类似的对于a 五：x _ + y 也是紧的。 定理2 5 f 3 l 】令x 和l ，是b a n a c h 空间， t ：x - y ，是一个线性算子，则有： ( i ) 若t 是有界的且d i m t ( x ) ，则算予丁是紧的； ( i i ) 若d i m t ( x ) 0 ，b 都是一个有限的( 这里的“有限”是指幔为有 限集合) 一网脱c x ，则称集合b 是完全有界的 定理2 ，7 1 3 1 令丑是x 的一个子集，则有： ( i ) 若口是相对紧的，则b 是完全有界的 ( i i ) 若口是完全有界的且x 是完备的，则b 是相对紧的 ( i i i ) 若昱是完全有界的，则对每个 0 ，它都有一个有限的一网，a 疋( x ( i v ) 若b 是完金有界的，则b 是可分的 定理2 8 1 2 9 设t ：x _ y 是线性算子，若? 是紧算予，则它满足 z n - x = t x n 斗t x ，斗o o )( 2 ) 第二章紧线性算子的概念及其性质 当x 是自反空间时，( 2 ) 式是t 为紧线性算子的充要条件 定理2 9 紧线性算子的运算 ( i ) c l ( x ，y ) 是b ( x ，y ) 的子空间 ( i i )紧线性算子与有界线性算子的乘积是紧线性算子，即若t k ( x ，y ) ，a l i x ，y ) ，b l ( m x ) ，则：a t k ( x ，y ) ，t b 必( 1 瞰y ) ， ( i i i ) 若y 完备，则t k ( x ，y ) 是l ( x ，y ) 的闭子空间 ( i v ) 若t 矗( x ，y ) ，贝0t + k ( r + ，x + ) 定理2 1 0 3 1 】设t ：x - x 是b a n a c h 空间x 上的紧线性算子，则对每个 a o ，算子a = t j 的零空间p ) 帮是有限维的 定理2 1 1 3 0 j设t ：x _ x 是x 上紧线性算子，则对每个a 0 ，算子 乃= t a i 的值域是闭的 定理2 1 2 1 3 0 i 设t ：x x 是x 上紧线性算子，则t 的每一个谱值a o ( 若 存在的话) 都是t 的特征值 旦叠垡二兰登塑鉴堂 1 3 第三章局部c - 半群的紧性 定义3 1 f 3 4 】设x ，y 是b a n a c h 空间，b s ( x ，y ) ，若b c 是以紧线性算子 则称b 是c 一紧的 定理3 1 任何一个紧线性算子都是g 一紧的， 证明设肘是x 上一个紧线性算予，e 为一个有界算子 根据定理2 9 可知紧线性算子与有界线性算子的乘积是紧线性算予，再根据g 一紧 的定义即得结论成立。 定理3 2 设t ：x _ y ，s ：x 叶y 均为e 紧的线性算子，那么，其和丁十s ， 差，一s 均为g 一紧的 证明有定理2 a 证明类似可以得出其结论成立 定义3 2 设 s ( t ) ，o 曼t 研是局部g 一半群，若当t o t t 时，每个 s ( t ) 都是c 一紧的，则称局部g 一半群 s ( t ) ，0 t t ) 当t o t t 时是紧的； 若当o t t 时每个s ( t ) 都是c 一紧的，则称局部e 一半群 s ( ) ，0st t ) 是 紧的 命题3 1 在局部c 一半群 s ( t ) ，o s t r 中，如果有菜一s ( t o ) 是紧线性 算子，那么对任意t 。 t t ，s ( t ) 都是e 一紧的 说明：这是因为s ( t ) c = s ( t t o ) s ( t o ) ，t o t t ，而紧线性算子与有界线性算 子的积为紧算子 命题3 2 1 3 4 】在局部c 一半群 s ( t ) ，0 冬t t ) 中，如果有某一s ( t o ) 是c 一紧 的，那么对任意t o t t ，s ( t ) 都是e 一紧的 注3 1 在局部c 一半群p 。0 t t 中，当c = i 时，此紧性的概念即为 g 一半群的紧性概念，所以局部g 一半群是岛一半群的推广，岛一半群是局部g 一半 群的特殊情况 釜三童旦叠堡堂登丝鉴些 1 4 定理3 3 设 s ( 巩0 曼t t 是一局部g 一半群，且当如 t 时， s ( t ) 是紧的，则s ( t ) c 在t o t t 时按一致算子拓扑是连续的 证明令i i s ( 圳m ，0 冬t 0 ，当t t o 时 巩= s ( t ) ，l i x l i 1 ) 是一紧集 存在有限个点x l ，z 2 ，- x n 使得以x i 为中心，以硒河研而为半径的球形领 域构成u z ) 的有限覆盖，i = 1 , 2 ，n ， 因为s ( t ) x ： o ，t ) _ + x 强连续，所以存在危o ：0sh o 1 ，使得 s 0 + h ) x i s ( t ) x j l _ 可丽习商矸玎，0 h5h o ，i = 1 , 2 ，n 又对v x ，忙i ls1 ，存在某一，1 isn ，使 i l s ( t + ) g i s ( t ) z d l 曼夏砑罚高释可 从而有 s ( t + h ) c x s 0 ) g 互 = i i s ( t + h ) c z + s ( t + h ) c z , 一s ( t + ) e 毛+ s ( t ) c z i s ( t ) c x ；s ( t ) c z f i s ( h ) l l l t s ( t ) x s ( t ) x dj + j i c i i i i s ( t 1 - ) 丑一s ( t ) 墨f j + l i c l i i i s ( t ) - z ，s 0 ) z m 玎丽干j 移1 1 干可十i t c l l 南+ t l c l l 赢 e 所以s ( t ) c 在t o t 0 ，使得 i i s ( t ) l f 冬m e “，0st t ，则称 s ( t ) ，0st t ) 是指数有界的局部g 一半群 旦叠旦二圭登塑茎壁 1 5 定理3 4 设 s ( t ) ，0 t t 是指数有界的局部g 一半群，其生成元为a ，若 s ( t ) ，( o t 0 ，0st 0 ，r e a u 其中积分按一致算子拓扑连续 又因为s ( t ) ，( 0 t u 有 i i r ( a ，a ) c r e a l j l 岳e - a t s ( t ) d t l l e m e “ 所以 蹲愀a ，a ) g r 曲恪s u 。p 。l t s ( t ) l l 因此 烈a ，a ) c 是紧的，由预解方程 r ( a ，a ) c r ( p ，a ) c = ( 弘一a ) 冀( a ，a ) r ( 弘，a ) ，a ，卢p ( a ) 可知若r ( a ，a ) 对某一a p ( a ) 是e 一紧的，那么兄( a ，a ) 对任意a p ( 一) 都 是c 一紧的 定理3 5 设 s ( t ) ，0 t r ) 是指数有界的局部c 一半群，若s ( t ) c 当 0s t 0 ，0 t u 所以当a 为实数且a u 时，对v 盯 0 有 第三章局部d 半群的紧性 兄( a ，a ) c s ( t ) 一s ( t ) c l i = ij 口沁一如p ( t ) s ( s ) 一s ( t ) c d s l l 盯a e 一如i i s ( t + s ) c s ( t ) c h d s + j 孑a e 一1 3 i i s ( t + s ) c r s ( t ) cj l d s 从而 l 矗+ i m 。舭( a ，a ) g 刚一s ( 。) e l ls 亍岂懈+ 5 ) 一刚g 1 6 所以r ( a ，a ) 是e 一紧的，并且a p ( a ) ，因此a r ( a ，a ) c s ( t ) 是c 一紧的，可 得s ( t ) c 也是c 一紧的，故而得局部c 一半群 s ( ) ，0 t t ) 是紧的， 推论3 1设a 是指数有界的局部g 半群( s ( t ) ，0 t t ) 的生成元，如果 r ( a ，a ) 对某一a p ( a ) 是c 一紧的，且s ( t ) c 当t o t t 时按一致算子拓扑 连续，那么局部g 一半群 s ( 旬，o t t ) 是紧的 证明因为a 是指数有界的局部g 一半群的生成元 如果r ( a ，a ) 对某一a p ( a ) 是c r 一紧的，那么，由定理34 知s ( t ) ，( 0 t ，1 ) 是紧的 所以对t o t t 时，由定理3 3 知s ( t ) c 在t o t t 时按一致算子拓扑连续 由p a j = 内容再由定理3 5 知，局部g 一半群 s ( t ) ，0st q 是紧的 局部g 一半群的紧性 小结 1 7 紧性、紧线性算子理论在积分理论和各种物理问题中起着核心作用，这一理论曾作 为泛函分析早期研究的一个雏形，其性质与有限维空间上算子的某些性质极为相似 全文引入了紧性、紧线性算子的概念及一些性质，并研究了线性算子有界与紧的关 系，紧线性算子有界与连续的关系等，随后给出了d 紧，紧的局部c - 半群的概念，并 研究了有关性质，又给出了局部c 一半群为紧的充分且必要条件，推广了在半群紧性这 方面的研究 参考文献 参考文献 1 8 d ap r a t og s e m i g r o u p p ir e g o l a r i z z a b i l i r i e r c h em a t ，1 5 ：2 2 3 2 4 8 f 2 】b a l a b a n e ，m a n d e m a m i r a d ，h a ，s m o o t hd i s t r i b u t i o ns e m i g r o u pa n ds c h r o d i n g e re q u a t i o ni nl p ( r “) ，j m a t h a n a l a p p l ，1 9 7 9 ，7 0 ：6 1 7 1 【3 l y o s i d ak ，f u n c t i o n a la n a l y s i s6 t h e d s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 8 0 ， ( 4 】p a v e l ，n h n o n l i n e a re v o l u t i o no p e r a t o r sa n ds e m i g r o u p s l e c t n o t em a t h 1 2 6 0 ，s p i n g e rv e r l a g b e l i n e ，1 9 8 7 【5 】b a t t y , c j k a n dd a v i e ，e b p o s i t i v es e m i g r o u p sa n dr e s o l v e n t s j o p e r a t o rt h e o r y1 9 8 3 ，1 0 ：3 5 7 - 3 6 4 f 6 d a v i e s ，e b a n dp a n g ，m m h t h ec a u e h yp r o b l e ma n dag e n e r a l i z a t i o no ft h eh i l l ey o s i d at h e m e o r e m p r o cl o n d o nm a t hs o c 1 9 8 7 ，5 5 ：1 8 1 2 0 8 【7 1w a r e n t ，r e s o l v e n tp o s i t i v eo p e r a t o r s p r o c l o n d o nm a t h ，s o c ，1 9 8 7 ，5 4 ：3 2 1 3 4 9 【8 】w ，a r e n t v e c t o r - v a l u e dl a p l a c et r a n s f o r m sa n dc a u c h yp r o b l e m s i s r a e lj ，m a t h1 9 8 7 ， 5 9 ：3 2 7 - 3 5 2 。 9 i m i y a d e r a ag e n e r l i z a t i o no fh i l l e y o s i d at h e o r e m p r o c j a p a n a c a l 6 6 4 ，s e t a1 9 8 8 【10 rd e l a u b e n f e l s e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf a m i l i e sf o rt h ea b s t r a c tc a u e h yp r o b l e m j 一 l o n d o nm a t h s o c 1 9 9 1 ，4 4 ：3 1 0 3 3 8 1 1 jf al u n h u a n ga n dt i n gw e n h u a n g c c o s i n eo p e r a t o rf u n c t i o n ，a n n d i f f e q u a t i o n 1 9 9 4 ，1 0 ：1 5 4 1 6 8 1 2 y a g ia g e n e r a t i o nt h e o r e mo f s e m i g r o u pf o rm u l t i v a u e dl i n e a ro p e r a t o r s o s a k ajm a - t h ，1 9 9 1 ，2 8 ：3 8 5 4 1 0 1 3 】x ug e nq i ，t h es t r o n g l yc o n t i n u o n sb i s e m i g r o u p so fb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o ro db a - n a c hs p a c e s j p u r ea p p l m a t h ，1 9 9 5 ，1 1 ：7 8 - 8 5 【1 4 r d e l a u b e n m s e x i s t e n c ef a m i l i e s ，f u b c t o i nc a l c u l ia n de v o l u t i o n ，l e c t n o t e s i nm a t h ，1 9 9 4 ，v 0 1 1 5 7 0 【1 5 t i j u mx i a oa n dj i nl i a n g ，t h ec a u c h yp r o b l e mf o rh i g h e r - o r d e ra b s t r a c td i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，l e c t u r en o t e si nm a t h ，1 9 9 8 ，v 0 1 1 7 0 1 ，s p r i n g e r ，b e r l i nn e wy o r k 旦叠旦二堂登鲤鉴挂1 9 1 6 1g o l d s t e i n j as e m i g r o u p o fl i n e a ro p e r a t o r sa n da p p l i c a t i o n s ，o x f o r su n i v p r e s s ，n e wy o r k ，1 9 8 5 【1 7 1f a t t o r i n i ，h o t h ec a u c h yp r o b l e m ，a d d i s