（计算机应用技术专业论文）基于多小波变换的图像去噪方法研究.pdf

摘 要 i 基于多小波基于多小波变换变换的的图像去噪方法研究图像去噪方法研究 作者简介：张芬，女，1975 年 3 月生，师从成都理工大学周家纪教授，2010 年 6 月毕业于成都理工大学计算机应用技术专业，获得工学硕士学位。 摘摘 要要 图像在获取和传输过程中，经常受到各种因素的干扰，所以需要对研究的图 像进行去噪处理。图像去噪是图像处理中的一个重要的研究内容。近年来，在小 波基础上发展起来的多小波，由于同时具有正交性、对称性、光滑性、紧支性等 特点，得到了人们的广泛关注，被广泛用于信号包括图像处理等领域。虽然图像 去噪的方法已有许多， 但利用多小波进行图像去噪却是一个刚刚开始获得关注的 研究课题，这不论在理论上还是在实践上都具有很大的研究意义。 本文对基于多小波变换的图像去噪方法进行了较深入的研究， 主要包括： 一、 对小波、多小波理论的详细研究；二、对传统去噪方法进行了研究，特别地对基 于小波阈值收缩去噪、基于多小波多层阈值收缩去噪方法进行了详细研究，并分 析了较常见的基于小波、多小波阈值去噪算法。三、针对小波阈值收缩去噪方法 的不足，详细分析了基于小波的维纳滤波的改进算法，该方法利用小波系数在局 部仍具有相关性和加性高斯噪声在不同尺度和不同方向上仍然服从高斯分布， 只 是噪声大小不同的特点进行维纳滤波。四、对基于小波的维纳滤波方法在多小波 的基础上加以改进， 利用上述小波系数的相关性和噪声分布特点在图像的多小波 变换系数中仍成立、而小波系数分解更细，噪声方差估计更准确的特点，提出了 将图像多小波变换后的系数进行维纳滤波的去噪方法，利用 matlab 软件对该方 法进行仿真测试，测试验证了该方法的有效性。 论文分析了利用多小波进行图像去噪的理论及图像预处理、 多小波变换等关 键技术，从理论上说明了其优势，并对实验中使用 ghm 多小波进行图像去噪的 过程步骤做了详细介绍，并且介绍了其他常用多小波 cl 小波、sa4 小波等，为 以后的工作奠定了基础。 由于维纳滤波是一种自适应滤波，对高斯噪声有特别好的去噪效果。它能够 根据区域方差来调整滤波器的输出，区域方差越大，平滑作用越强。论文提出了 将图像多小波变换后的系数进行维纳滤波的去噪方法， 该方法取得了良好的图像 去噪效果。 关键词：图像去噪 多小波 系数相关性 维纳滤波 成都理工大学硕士学位论文 ii research of image denoising based on the multi-wavelet introduction of the author: zhangfen, female, was born in march, 1975 whose tutor was professor zhou jiaji. she graduated from college of information engine- ering at chengdu university of technology and was granted the master degree in june, 2010. abstract in the process of acquisition and transmission, the images often get interference from various factors. so images denoising is an important study for image processing. in recent years, due to its orthogonality, symmetry, smoothness, compact support , the multi-wavelet following the wavelet was received wide attention and widely used in the signal areas including the image processing. although there are many methods for the image denoising, its just get concerned for the image denoising based on the multi-wavelet, which has great research significance both in theory and practice. in this paper, the author made a deep research about the image denoising based on the multi-wavelet. the following is included. firstly, the author introduced the wavelet and multi-wavelet in details. secondly, the traditional image denoising methods are introduced, particularly the threshold shrinkage denoising base on the wavelet and multi-wavelet. furthermore, the author gave some algorithms in details. thirdly, because of the deficiencies of the threshold shrinkage denoising method based on the wavelet, this paper gave analysis in detail about a improved wiener filtering algorithm. which used the relationships of the wavelet coefficients and the result of the additive gaussian noise being gaussian distribution at different scales and different directions. lastly, the author improve the above method. using the characteristics of the image wavelet coefficients being established, the decomposition of the wavelet coefficients being more detailed, and noise variance estimation being more accurate, it was proposed that images are transformed to multi-wavelet coefficients and are filtered by the improved wiener filter. the test with the software of matlab showed the validity of the method. abstract iii this paper mainly described the theories of the image denoising based on the multi-wavelet and some key technologies such as image preprocessing and multi-wavelet transforming. from which we can see its advantages. in this paper the author gave detailed description of the image denoising steps using ghm multi-wavelet. whats more, the cl multi-wavelet and multi-wavelet are introduced. form all the above a good foundation was made for the future. as the wiener filter is an adaptive filter, its particularly good for the gaussian noise to be denoised. it can just output the image according to the regional variance. the variance is greater, the image is more smooth. after the images are transformed to multi-wavelet coefficients and are filtered by the improved wiener filter, the better effects will be got. keywords: image denoising multi-wavelet relationships between coefficients wiener filter 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 成都理工大学 或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的人员对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 成都理工大学 有关保留、 使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和 借阅。本人授权 成都理工大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位论文作者签名： 学位论文作者导师签名： 年 月 日 第 1 章 引 言 1 第 1 章 引 言 1.1 小波和多小波的发展 从 20 世纪 80 年代末开始，小波作为一种时频分析工具，在数学和工程应用 领域产生了深远影响。在以后的十多年间，它在其它的很多领域都得到了广泛的 应用和发展。如信号处理、模式识别、图像处理等。尤其在图像处理领域，如图 像压缩、图像去噪等。而 fourier 分析作为早期的时频分析工具，对小波分析的 发展提供了很大的帮助。理论上讲，凡是使用 fourier 分析的地方，都可以用小 波分析来代替，小波分析被誉为“数学显微镜” 。 多小波是在小波基础上发展起来的一全新领域， 它是由两个或两个以上的函 数作为尺度分量生成的小波。 单小波的多分辨空间由单个尺度函数生成，而多小 波将此扩展到由多个尺度函数生成。采用单小波对信号进行处理时，我们可以直 接对数据进行分解和重构，而多小波实际是一多输入多输出系统，它的低、高通 滤波器使用的是 rr 维矢量滤波器，因此在数据处理前，必须先转换成与矢量 滤波器相匹配的数据流，即预处理8。然后对数据进行分解和重构，最后还需对 重构后的数据进行后处理才能得到需要的数据，其过程要相对复杂些。 由于小波自身具有多分辨性、低嫡性、去相关性及选基灵活等特点，小波理 论在很多应用研究领域都取得了良好成就，但是小波本身无法同时满足正交性、 对称性等特点也使其发展受到一定的制约。 在小波基础上发展起来的多小波克服 了这一缺点，它能在保有小波优势的情况下同时拥有正交性、光滑性、紧支性、 对称性的特性，这些性质对于信号和图像处理都非常重要，因此多小波在信号、 图像图像处理等应用方面具有更大的潜力。 多小波的构造最早可追溯到 1991 年，由 alpert 和 rokhlin 构造的用来作为 某些多项式表达式基底的多项式小波。1994 年，geornimo 等人应用分形插值的 方法构造了具有短支撑、 正交性、 对称性和二阶消失矩的多小波中的两尺度函数， 1994 年，goernimo 等人再次应用分形插值的方法构造了多小波中的两多小波函 数;这就是著名的 ghm 多小波。该多小波真正拥有了多小波性质，在实际应用 中能够完美地结合光滑性、紧支撑性、对称性以及正交性，是多小波真正应用的 始祖;在图像处理中，这些特性具有非常重要的作用，如正交性可保持能量;对称 性既适合人眼的视觉系统，又使信号在边界易于处理;与紧支性小波对应的滤波 器是有限脉冲响应滤波器，它能使相应的快速小波变换之和是有限的;光滑性在 数据压缩中也起着重要作用，如果用于小波变换的小波不光滑，小波变换所带来 的误差很容易被视觉检测出来。 成都理工大学硕士学位论文 2 继 ghm 多小波获得成功，研究者们对多小波的兴趣倍增，后来人们相继构 造了 cl 小波、sa4 小波等。同时为了解决多小波处理中的预处理问题，leburn 和 vetterh 提出了平衡多小波（balanced mutilwavlets）这一全新概念，还提出了 高阶平衡多小波理论、因式分解和设计方案。多小波的出现给各个领域的研究都 注入了新鲜血液，其理论上的优势使它在很多领域都得到广泛的应用和发展。目 前， 多小波在信号处理方面的研究已经取得一定成果，特别是图像的去噪以及压 缩方面。 1.2 图像去噪在国内外研究现状及存在的问题 图像去噪是一个古老的话题，人们对它已进行了多年的研究，至今仍受到国 内外学者的重视。早期，传统去噪方法有低通滤波器法，主要包括线性滤波、 中值滤波以及自适应滤波等。及后期的采用基于图像方向特性、概率统计模型、 基于图像边缘特征分析及各种自适应图像去噪算法。 各图像去噪算法均能在实行 一定范围内的图像去噪，也体现了自身的优劣性。 自小波理论出现，它就被广泛应用于图像去噪领域，而且也取得了很好的成 就。1992 年，donoho 和 johnstone 提出了基于小波变换的收缩阈值去噪方法。 称为 visushrink 方法。 由于小波变换将信号的主要信息集中在少数小波系数 中， 而噪声在变换后的小波系数中一般都是比较小的，因此根据小波系数值设定 一小波阈值，认为小于该阈值的信息为噪声，将其清为 0，大于该阈值的信息为 有用信号，将其保留，从而达到去噪的目的。在极小极大化均方误差意义上， visushrink 方法几乎具有最优的性质。虽然 visushrink 方法简单高效，但该方法 有很严重的“过扼杀”小波系数倾向，人们纷纷对阈值的选择重新进行研究，并 提出了通过最小化 stein 的无偏估计来导出多个分局子带阈值的 sureshrink 方法 及假定子带系数服从广义高斯分布（ggd） ，并使用软收缩函数通过最小化贝叶 斯风险导出阈值的 bayesshrink 方法。 及其它方法如 cross-validation 方法和由假 设检验来选阈值的方法等。这些方法在一定程度上都有不错的去噪效果，但都具 有一定局限性。 正是由于小波无法同时满足正交性、光滑性、紧支性以及对称性的特点，因 此小波的应用受到一定的限制。而多小波能很好地克服这个缺陷，所以它在图像 去噪上的效果必定要优于小波，这在信号、图像处理等领域的应用成果已得到很 好的证明。在利用多小波对图像去噪方面，更多的是用阈值收缩降噪。需要解决 的问题主要都集中在图像去噪时阈值的选取以及收缩函数的使用两个问题上。 虽 然图像去噪方法已经比较多， 但利用多小波研究的图像去噪仍是一个值得探索研 究的新兴方向，所以多小波在图像去噪领域中的应用非常具有研究价值。 第 1 章 引 言 3 1.3 论文的研究实践意义 随着通信技术、计算技术、存储技术的快速发展，图像信息日益普及。在 很多领域中，图像都占有很重要的地位。在处理图像信息的过程中，由于种种 原因，图像质量有可能受到损害，噪声就是其中一种。因此在进行后续高层次 的处理之前，通常需要要对图像进行去噪。对图像进行图像去噪，已有多年的 历史，人们根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布规律，研究了各 式各样的去噪方法，其中最为直观的方法是根据噪声能量一般集中于高频，而 图像频谱分布于一个有限区间的特点，采用低通滤波方式进行去噪，例如滑动 平均窗滤波器，wiener 线性滤噪器等。但是这种方法由于使得在去除图像噪声 的同时，也会将图像的边缘平滑，去除了图像的一些细节信息。另一方面，在 数字图像处理过程中，图像去噪也是必可少的一个预处理步骤。比如在医学领 域，由于人体自身的信号十分弱，本身结构信息又很复杂，人体信号很容易受 到噪声干扰，使医学图像质量在很大程度上受到污染，若不对受污染图像进行 处理，很可能出现诊断错误，造成十分严重的后果。在探测雷达图像处理中， 噪声去除也是一个主要问题，直接影响到探测结果的可靠性和准确度。在通信 系统中，有用的信号总是与噪声伴随存在，而广泛存在的噪声在环境情况恶劣 时，噪声甚至会比信号更强。所以图像去噪在这些领域中的应用对于人们的研 究以及生活都非常有帮助，具有研究的实践意义。 1.4 本文的组织结构 本文主要研究的是基于多小波的图像去噪问题，其中比较深入地研究了多 小波的收缩阈值，多小波系数的相关性，图像特性等问题。全文安排如下: 第 1 章为引言，主要介绍小波、多小波的发展历史及应用现状，及图像去 噪在国内外的研究现状及存在的问题，简单介绍了图像去噪在医学、遥感、通 信等领域的的作用，提出了本文研究的实践意义。 第 2 章介绍小波变换的基础理论知识，包括小波的基本理论、多小波的基 本理论及图像处理的多小波知识。 第 3 章介绍图像去噪的基本原理与方法，及评价图像去噪的性能参数如最 小均方误差、峰值信噪比等。 第 4 章介绍一种基于小波变换的图像去噪新方法。由于加性高斯噪声在不 同尺度和不同方向上仍服从高斯分布，只是噪声大小不同。由此对不同尺度不 同方向上的小波系数进行维纳滤波。此方法较阈值收缩降噪方法有较好的图像 去噪效果。为下一章本文方法的提出打好基础。 第 5 章是介绍基于多小波变换的图像去噪基本原理与方法，主要介绍基于 成都理工大学硕士学位论文 4 多层阈值去噪的基本方法。并提出本文的方法，并给出本文方法的去噪结果及 与其他去噪方法的性能参数比较结果。 1.5 本文实验中所用的图像 本文实验中所用的是光滑性较好的标准图像 lean 和纹理性突出的标准图 像 barbara 图像。 图图 1-1 标准图像 lena 图图 1-2 标准图像 barbara 第 2 章 小波理论分析 5 第 2 章 小波理论分析 2.1 小波简介 小波(wavelet)这一术语， 顾名思义， “小波”就是小的波形。 所谓“小” 是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震 荡形式。与 fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它 通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细 分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的 任意细节，解决了 fourier 变换的困难问题，成为继 fourier 变换以来在科学 方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。下面对小波的构造、 变换进行简单介绍。 2.1.1 小波 在平方可积的实数空间 )( 2 rl 中，设函数 )(x 是一个实值函数且它的频 谱 )(x 满足条件 ds s s c 2 )( （21） 则 )(x 被称作一个基本小波或母小波。由于 )(x 时正时负，并且持续时 间较短，故称之为“小波” 。 一组小波基函数 )( , x ba ，能够通过平移和伸缩基本小波 )(x 来生成： a bx a x ba 1 )( , rbra , （22） 离散形式表示为 )2(2)( 2 , nxx m m nm znm, （23） 函数)(xf以小波(x)为基的连续小波变换为 dxxxffbaw babaf )()(,),( , （24） 逆变换为 成都理工大学硕士学位论文 6 00 2 , )(),( 1 )( a da dbxbaw c xf baf （25） 离散小波变换为 dt tx tfxfw r jj j ) 2 ()( 2 1 )( 2 （26） 若小波)(t满足ba zk k 2 )2(，其中a、b为常数，则一定存在重构 小波)(tx使得 zj jj txfwtf)()( 22 2.1.2 二维离散小波 为表示一维信号而发展起来的小波概念可以很容易推广到二维情况， 设一 大小为nm 的图像),(yxf，其正向变换),(vut可用一般的多项式关系表示为 yx vu yxgyxfvut , , ),(),(),( （27） 其中，x和y是空间变量，vu, 是变域变量，若给定),(vut，则),(yxf可用一 般的离散反变换 ),(),(),( , , yxhvutyxf vu vu （28） 得到。 vu g , 和),(vuh在这些方程中分别称为正变换核和反变换核。 每一个小波核 都有如下基本特性 1。 性质 1：可分离性、尺度可变性和平移性。核可用三个可分的二维小波来表示： )()(),(yxyx h )()(),(yxyx v )()(),(yxyx d 其中，),(yx h ，),(yx v 和),(yx d 分别称为水平、垂直和对角小波，并且一 个二维可分的尺度函数是 )()(),(yxyx 每个二维函数是两个一维实平方可积的尺度和小波函数的乘积： )2(2)( 2/ , kxx jj kj 第 2 章 小波理论分析 7 )2(2)( 2/ , kxx jj kj 平移参数k决定了这些一维函数沿x轴的位置，尺度j决定了它们的宽度。 性质 2：多分辨的一致性。一维尺度函数满足多分辨率分析的如下需求： a kj, 与其整数平移正交。 b在低尺度或低分辨率下可表示为一系列 kj, 的展开的一组函数，包含在可以 以更高尺度表示的那些函数中。 c唯一可以以任意尺度表示的函数是0)(xf。 d当j时，可用任何精度来表示任何函数。 当这些条件满足时，就存在一个伴随小波 kj, 及其整数平移和二进制尺度，其 变化范围是在相邻尺度上可表示的任意两组函数 kj, 之间的差。 性质 3：正交性。展开函数如)( , x kj 对于一组一维可测的、平方可积函数形 成一个正交基或双正交基。 2.1.3 快速小波变换 上面性质的一个重要结果是)(x和)(x用它们的双分辨率副本的线性组合 来表示。由此可得到如下序列 n nxnhx)2(2)()( n nxnhx)2(2)()( 其中， h和 h的展开系数分别称为尺度和小波向量。它们是快速小波变换 （fwt）滤波器的系数，离散小波变换（dwt）的迭代计算方法如图 2-1 所示。 成都理工大学硕士学位论文 8 图图 2 2- -1 1 二维快速小波变换 2.1.4 快速小波反变换 如快速小波变换一样，快速小波反变换可以通过迭代地使用数字滤波器来计 算。如图 2-2 所示，该滤波器颠倒图 2-1 所示的步骤来实现小波反变换。 图图 2 2- -2 2 二维快速小波变换 ),(nmj d w ),(nmjw v ),(nmjw h 2 )( mh 2 列 (沿着n) 行 (沿着m) 列 行 行 )( mh )( mh )( mh )( nh 2 2 2 )( nh ), 1(nmjw ),(nmj d w 2 ),(nmjw v 2 ),(nmjw h 2 ),(nmjw 2 )(mh )(mh )(mh )(mh + + 2 2 )(nh )(nh + ), 1(nmjw 行 (沿着m) 行 行 行 ),(nmjw 2 行 第 2 章 小波理论分析 9 2.2 多小波理论 2.2.1 多小波(multiwavelets)基本概念 定义 1.1 30 若尺度和小波函数均由 r 个函数组成，称其为 r 重连续多小波。 多尺度函数和小波函数分别记作： t r tttt)(,),(),()( 21 ， t r tttt)(,),(),()( 21 如果zkkt),(形成 0 v子空间的riesz基， )2/(2)( )2/( , ktt jj kj ，zkj,形成 j v子空间的 riesz 基，且有 10123 vvvvv 0)( 2 zj j zj andrlv 成立，则尺度函数形成)( 2 rl空间的多分辨分析，满足下面条件： k k ktht)2(2)( （29） 其中 rr zk zlh *2 )( 是多尺度滤波器系数。 k k ktgt)2(2)( （210） 其中 rr zk zlg *2 )( 是多小波滤波器系数。 2.2.2 正交和双正交离散多小波变换 （1）正交离散多小波变换 若 110 )(wvvtx，则分解方程为： mj m kmkj vgw , 12, （211） 重构方程为： mj m t mkmj m t mkkj wgvhv ,2,2, 1 （212） 其中tttxw kjkj )(),( , 为小波系数，tttxv kjkj )(),( , （2）双正交离散多小波变换 成都理工大学硕士学位论文 10 若 110 )(wvvtx，则分解方程为： m mjkmkj rhr , 12, m mjkmkj rgs , 12, （213） 重构方程为： mj m t mkmj m t mkkj sgrhr ,2,2, 1 （214） 其中tttxr kjkj )(),( , ，tttxs kjkj )(),( , 2.2.3 多小波滤波器特性 （1）正交性 30 对于多小波尺度函数若满足下面条件，则尺度函数是正交的。 zkidtkttktt kr t ,)()()(),( 0, zlihh lr k t klk , , 02 （215） 若同时满足下面条件，则称该小波为半正交多小波， 0, 1 jjjjj wandvwvv znkdtntktntkt r t ,0)()()(),( zlgh r t kl k k ,0 2 （216） 若该函数再满足以下条件，则称该小波为正交多小波。 zkidtkttktt kr t ,)()()(),( 0, zlgg lr t kl k k ,0 , 02 （217） 也就是说，若多小波同时满足上述三条件，则该小波为正交多小波，具有 正交性，与其频域正交条件 r r r igggg ghgh ihhhh )()()()( 0)()()()( )()()()( * * * 是等价的。 （2）对称性 设s是22的实数矩阵满足 2 2 is且1)det(s，对某一整数n，若以矩 第 2 章 小波理论分析 11 阵滤波器h满足下面条件，则称h是在s下关于对称中心 2 n 对称的。 2 )(, , n hcenzkhssh kkn 若滤波器具有对称性，则滤波器具有线性相位，可保证信号经过滤波器处 理后不会发生畸变，因此设计滤波器，总希望能满足对称性。 （3）短支撑性 边界处理一直都是小波中值得关注的问题，目前可采用的方法有：(1)补零 拓扑；(2)周期拓扑；(3)对称周期拓扑。而当尺度函数支撑很短时，就能够避免 因截断所产生的误差，适合于处理边界问题。目前所构造出来的多小波函数都 是短支撑的，如：ghm 多小波分别在0，l和0，2上支撑，cl 多小波分别在 0，2和0，3上支撑。 （4）近似特性和正则性 在小波理论中，精度或逼近阶是刻划尺度函数最重要的特征之一，正交多 尺度函数具有m阶精度，可导致相应的多小波有m阶消失矩。正则性则描述了 多小波的光滑程度。这里我们用 sobolev 算子来度量。 定义 2-2 若每一个多项式 n t，0n,1,1m,都可以表示成尺度函数的整数 平移)(kt ，zk 的线性组合： )( )( ktyt k n k n 1, 1 , 1mn， rlk n ry )( （218） 称多尺度函数)(t的近似阶数为m。 定义 2-3 )(t具有m阶多项式的充分必要条件是 1，1/2， 1 2/1 m 是 mji ji pt ,1 120 和 mji ji pt ,1 121 的左特征值，且对应的左特征向量为 ),( ),1(, 1, 0, 0lmlll aaab ),( , 2, 1, 1lmlll aaab 其中-1) 1(, , 0 0 , jmaj k l a kl l k klj 尺度函数的近似特性越高，越能精确重新比较高次的函数，越具有更好的 函数逼近能力。正则性越好，波形越光滑。 （5）高阶消失矩 若尺度函数满足 1, 0,)(nppdxxx p 成都理工大学硕士学位论文 12 称)(x具有n阶消失矩，同样当小波函数)(x满足 1, 0, 0)(npdxxx p 称)(x具有n阶消失矩。所有的小波都具有一阶消失矩。但在实际应用中，好 的逼近要求至少能对线性函数完全重构， 即要求有二阶消失矩。 ghm 多小波和 双正交多小波有二阶消失矩，chui-lian 多小波则至少为 2。 2.2.4 正交多小波的构造 5 geronimo 等首先用分形插值方法构造了 ghm 正交多小波。后来 chui-lian 从两尺度关系 kk qp ,入手，得到构造正交多小波的一般方法。 定理 2-1 令)(x是满足两尺度关系)2()(kxpx zk k 的r重多尺度函 数，并且对整数11 , 00 mkk，满足 hermite 插值条件： rjkkkk j 1 , 0)()()( 000 1 （219） t r t ee) 1, 0 , 0(,)0 , 0 , 0 , 1 ( 1 ，则 00 0,2kkkk pp ，zk （220） 此时) 2 1 , 2 1 , 1 ( 1 0 r k diagp。 定理 2-2 正交多尺度函数 t r xxxx)(),(),()( 21 的两尺度矩阵特 征)(zp满足 1,)()()()( * zizpzpzpzp r 即)(x的两尺度关系 k p满足 zkipp rk t ki zi i ,2 0,2 （221） 且)2()(kxqx zj k 是正交多小波的充要条件是由 k k kz pzp 2 1 )(， k k kz qzq 2 1 )( 满足 第 2 章 小波理论分析 13 1,)()()()( )()()()( * * zizqzqzqzq izqzpzqzp r r 即)(x是正交多小波 k q满足zkiqqqp rk zi t ki t ki i ,2, 0 0,22 z 通过以上两定理，可以构造出正交多尺度函数。若)(x满足两尺度关系 )22() 12()2()( 210 xpxpxpx （222） 且满足1 0 k的 hermite 插值条件 2-20。则求式 2-21 可得 1 p且 rr spsp 02 （223） 此时) 1( , 1, 1 ( 1 r r diags。由定理 2-2，得 0 20 t pp，) 4 1 2 , 4 1 2 , 1 ( 1 2200 r tt dianpppp 并且为了使 n p0， n p0当n时收敛于 0，令 0 p的特征值满足1。 此时，当满足条件的 0 p选定是， 0 p， 1 p ， 2 p就已被确定。令2r，给定 4747 2121 0 p，则 210 01 1 p， 4747 2121 2 p。 下面定理给出相应小波的两尺度系数矩阵 k q地构造。 定理 2-3 令一个正交多尺度函数)(x和它的两尺度矩阵序列 0 p， 1 p ， 2 p 满足 2-19，2-22，2-23，(1 0 k),那么矢量函数 )22() 12()2()( 210 xqxqxqx 此时 00 dpq ， 1 1 1 pdq ， 2 2dpq 。其中， )121 ,121 ,121 ( 21 r diagd是对应于正交多尺度函数)(x的多 小波。 那么，对应于 k p的 k q分别是 4141 2121 0 q 720 01 1q 4141 2121 2 2 q 用这种方法能够造出紧支撑0，3的正交多尺度函数与多小波。 成都理工大学硕士学位论文 14 2.2.5 信号采样 对信号处理之前需对信号进行采样，采样过程主要分为两类：重复采样和 严格无重复采样5。 （1）重复采样 从给定信号得到两列数据最直接办法就是对信号进行重复采样，然后用滤 波器对两列完全相同的输入数据进行滤波处理。重复采样对特征量的提取非常 有效，但计算量比无重复采样大，且在数据压缩中，会产生冗余。 （2）无重复严格采样 如果对信号进行无重复采样，要得到两组输入数据，需对采样进行处理， 我们称这个过程为预处理（预滤波） 。 2.2.6 预处理 多小波实际上是一多输入、多输出系统，它的滤波器使用的是 rr 维矢量 滤波器，因此在数据前，必须先将数据转换成与矢量滤波器的维数相匹配的数 据流，即预处理。不同的预处理方法对多小波的应用性能影响很大，实际上多 小波的预处理方法决定了该多小波的频率划分。多小波的低通、高通滤波器实 际表现出不同的性质，一为带通，一为带阻，直接导致的问题是多小波的低通 和高通频率混叠，致使对信号的处理后不能重构。若不采用有效的预处理方法， 仅简单地将信号分为奇偶两部分，利用多小波不仅比传统去噪效果差，在某些 情况下还不能实现其应有的去噪功能。 根据实际的需要选取最优的预处理方法是多小波应用的关键问题，也是值 得进一步研究的问题。cotronei 等人认为滤波器的选择依赖于所选用的多小波， 特定的预滤波器只适用于特定的多小波。 多小波的预处理可分为两类：采用滤波器和采用平衡多小波。其主要任务 是把原始数据分裂为r维数据，并保持或改善多小波滤波器的性能。 采用滤波器的预处理方法是以其所选预滤波器为基础的，而预滤波器的选 择又和一系列矩阵系数有关。现有的预滤波器设计方法主要有:逼近法、滤波器 转化为低通和高通滤波器法以及自适应法等。 这里介绍几种最常用的预处理方法5：奇偶(odd/even)方法、haar 滤波器方 法、ghm.int 法。 （1） 奇偶(odd/even)方法 将奇采样和偶采样值分别赋予 21,c c产生原始系数。 k k xc 2 0, 1 ， 12 0, 2 k k xc，mk, 2 , 1。 第 2 章 小波理论分析 15 （2） ghm.int 法 根据多尺度函数的性质作预处理。)( 1 x在所有整数点为 0，)( 2 x在1t 时为 1，其它整数点的值是 0， 0, 2 0, 1 , kk cc用如下方法得到： )21 () 1 ()23()21 () 1 ( 1222222122 0, 1 kkk k yyyc， ) 1 ( 222 0, 2 k k yc 因为关于 1 对称，所以 )21 () 1 ()(21 () 1 ( 122222122 0, 1 kkk k yyyc ) 1 ( 222 0, 2 k k yc （3） haar 滤波器方法 基于22haar 滤波器矩阵的选取方法为 )( 2 1 122 0, 1 kk k yyc，)( 2 1 122 0, 1 kk k yyc，mk, 2 , 1 分量考虑到 ghm 两尺度函数的不同性质，可对“haar”方法作一调节： )( 2 1 122 0, 1 kk k yyc， k k yc 2 0, 1 2 1 ，mk, 2 , 1 称为“mod haar”。 采用平衡多小波对原始信号进行预处理时，只需把原信号分为奇、偶数项， 然后合并构成初始向量，不需要进行预滤波和后滤波，对不平衡多小波进行平 衡，关键是希望 t 1 1，是 0 h对应的特征值 1 的右特征向量，一般方法是利用一 个酋阵u，使得 tt t hu1 11 1)0(， 。则定义的新的两尺度符号阵为 uwhuwh t )()( ，uwguwg t )()( ，则对应新的滤波带的多小波是平衡的。 但目前用的平衡多小波的预处理结果一般都没采用预滤波器进行预处理的结果 好，找到更好的平衡多小波的方法，是学者们正研究的内容之一。 2.2.7 多小波变换在图像中的实现 首先对原始图像),(nmx，10mm，10nn，对图像进行行、 列预处理后得到四个 22 nm 的分量，记作 1110 0100 0 xx xx x。然后对预处理后的 分量按照公式 2-11 按先行然后列的方式进行多小波分解。和单小波不同的是， 成都理工大学硕士学位论文 16 0 x在被分成四个子带的同时， 每个子带又被分成四个子块。 经过多次跌代分解， 直到问题被解决为止。二级多小波分解图 2-3 所示。 图 2-3 二级多小波分解过程 在图像的整个变换过程中，图像总像素保持不变。多小波分解与重构系统 框图如图 2-44所示。 图图 2-4 多小波分解与重构框图 2.3 本章本章小小结结 本章为引入多小波的概念，简单介绍了小波的基本原理和快速小波变