微积分课后题答案 高等教育出版社1.doc

习 题 一（A）1解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解：1)由题意去掉绝对值符号可得：，可解得即.2）由题意去掉绝对值符号可得或，可解得,.即3）由题意去掉绝对值符号可得,解得.即；4）由题意去掉绝对值符号可得,解得，即)5）由题意原不等式可化为,或即.6）由题意原不等式可化为,解得.既.判断下列各对函数是否相同，说明理由：（1）与； （2）与；（3）与； （4）与；（5）与； （6）与解：1)不同，因前者的定义域为，后者的定义域为；2)不同,因为当时，,而；3）不同，因为只有在上成立；4）相同；5)不同，因前者的定义域为)，后者的定义域为；6）相同3求下列函数的定义域（用区间表示）：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）解：1)原函数若想有意义必须满足和可解得 ,即.2)原函数若想有意义必须满足,可解得 ,即.3)原函数若想有意义必须满足,可解得 ,即.4)原函数若想有意义必须满足,可解得 ,即,3.5)原函数若想有意义必须满足,可解得 ,即.6)原函数若想有意义必须满足,可解得,即.7)原函数若想有意义必须满足可解得即8)原函数若想有意义必须满足,可解得.4求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形：（1），求；（2），求解：1）原函数定义域为： .图略2)原函数定义域为： y(5)-9.图略5利用的图形，画出下列函数的图形：(1)； （2）； （3）解：的图形如下y1-102x(1)的图形是将的图形沿沿轴向上平移1个单位y2102x(2)是将的值域扩大2倍。2yyyyyyyyyyyyyyyy220-22y（3）是将向移动个单值。y1x0-16在下列区间中，函数无界的为（A） B C D解：是基本初等函数的组合，在其定义域内是连续的。若要使有界，则在其端点处极限值存在。故选A7下列区间中，函数为有界且单调减少的是（C）A B C D解：7.C. 可画出函数图像判断，图略8指出下列函数单调增加和单调减少的区间：（1）； （2） （3）； （4）解：（1）在上，在上；（2）在上；（3）在上；（4）在上，在上9设在上单调减少，是任意正数，则有（C）A B 解:C； 设则 10指出下列函数的奇偶性：（1） （2）（3） （4）（5）； （6）解：1）偶函数；2）奇函数；3）奇函数；4）奇函数；5）非奇非偶函数；定义域不关于原点对称6）偶函数. 11判别下列函数是否是周期函数，若是则求出其周期： （1）； （2）； （3）； （3）.解：1）是周期函数，因为,所以周期。2）是周期函数，因为，所以周期.3)不是周期函数。4）因为的周期为，而的周期为，所以符合函数周期为。12设和均为周期函数，的周期为2，的周期为3，问：，是否是周期函数，若是，求出它们的周期.解：是周期函数，且周期都是6。13求下列函数的反函数及其定义域： （1），； （2），； （3） （4） （5） （6）解：1). 所以.2).3).4).5). 6).14设函数与的图形关于直线对称，求.解：因为函数与的图形关于直线对称，所以是的反函数，所以.15设是定义在上的单调奇函数，问其反函数是否是单调奇函数，何故？解：因为与其反函数关于直线对称，所以，当单调增加时也单增，同理但减时，也单减，所以是单调函数。16求由下列函数复合而成的复合函数： （1）； （2）.解：1). 2).17设和如下，求和. （1）； （2）.解：1). 2).18将下列函数分解成基本初等函数的复合： （1）； （2）； （3）； （4）.解：1).2).3).4).19在下列函数对中，哪些可复合成，其定义域为何？ （1）； （2）； （3）； （4）.解：1).令，所以无意见。 2).，因为，所以，. 3). ， 4). .20设，求和.解：21设.解：设,则.所以,当时，.当时，.所以22设.解：当时，.当时，.当时，.所以23设，求.解：令所以，所以.24设，且，求.解：令，则， 所以.令，则.所以.所以.25在半径为R的球中内接一圆柱，将圆柱的体积V的和表面积S（包括上下底和侧面积）表示为：（1）其底半径x的函数；（2）其高y的函数.解：关于x的函数时.所以.关于y的函数时.26某厂生产某产品2000吨，其销售策略如下：购买800吨以下时按每吨130元出售超过800吨的部分按九折出售，求销售收入与销量之间的关系解：设销量为（吨），则销售收入为 27设某商品的供给函数为，已知，求，解：由题意可得：28设一商场某商品售价为500元/台时每月可消售1500台，每台降价50元时每月可增销250台，该商品的成本为400元/台，求商场经营该商品的利润与售价的函数关系解：设每台售价为，则销量=则利润函数 =29某商场每月需购进某商品2400件进价为150元/件，分批进货，每批进货量相同，每次进货需500元，设商品的年平均库存量为每批进货量之半，而每年每台的库存费为进价的6%，试将商场每月在该商品上的投资总额表示为每批进货量的函数解：设一批进货件，则每月投资总额 =图 1-4030如图1-40，设公里，是仓库，到铁路的距离公里，现欲在铁路上修一车站，在，间修一公路，设公路运费为元/吨-公里，铁路运费为元/吨-公里，求每吨货物从运至的总运费与的函数关系解：总运费(B)1单项选择题(1)函数arcsin(sin)与在其上相等的区间是(B)A BC0， D-1，1(2)设的定义域为1，2，则的定义域为(C)A1，1-lg2 B(0，1) C D(1，10)(3)函数与对称于(A)A直线 B轴 C轴 D原点(4)设函数和的定义域和值域依次为，和，则复合函数有意义的充分必要条件是(A)A BC D(5)的最小正周期为(D)A4 B2 C D(6)在(，)上是(C)A有界函数 B周期函数 C偶函数 D单调函数(7)函数在区间(0，1)上是(D)A递增、有界的 B递增，无界的C递减、有界的 D递减、无界的(8)设则是(B)A偶函数 B无界函数 C周期函数 D单调函数解：(1)与x相等区间;选单调区间故选择B(2)有题意知；所以选择C(3)由题意画图像选A(4)fg(x)有意义的充要条件,为g(x)的值域为f(x)的定义域即D(f)R(g)选A(5)最小正周期y=所以T=选D(6) 选C.(7)在(0,1)当时,当时,所以无界01则所以递减故选D(8)不是偶函数=x没有周期，不是周期函数是周期函数，不是单调函数2填空题(1)设则 (2)设则其反函数 (3)设0，1， (4)已知，则 的定义域是解：(1)当x0时，u=f(x)0时，u=f(x)=1.所以ff(x)=f(u)=所以；（2）由题意可知当-1x1时,y=f(x).由题意可知当1x4时,y=f(x).由题意可知当4x+时,y=f(x).所以f(x)的反函数g(y)为 g(y)=即（3） =()+ =()+ (4)所以习 题 二1.列数列当时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）解：1）收敛.因为当时,所以所以2)因为 所以是发散的;3)发散的.因为当时,;所以;4)因为 所以是发散的; 5)收敛的.因为当时, ;所以;即;6)收敛的.当时, ;即;7)因为;所以;所以是收敛的;8)因为 所以; 所以是收敛的;2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.解：数列为所以通项为所以;3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）解：1）当时,2）3）4） 所以极限不存在 5)6)所以7)8)的极限不存在4求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在：（1） （2）（3）（4）解：1)所以该点的极限不存在 2)所以该点的极限不存在3)所以该点的极限不存在4)所以该点的极限不存在5用或的方法陈述下列极限：（1） （2）（3） （4）解：1)当时 2)当时 3)当时 4)当时 6用极限的严格定义（即或的方法）证明下列极限：（1） （2）（3） （4）解：1)对于任意给定的,要使成立,只要使即成立所以对于任意给定的,存在当时恒有成立,故 2)对于任意给定的,要使成立即成立所以对于正数,存在成立当时恒有成立所以 3)由于所以对于任意给定的,存在当时 恒有成立 故4)对于任意给定的正数要使成立即成立 所以存在当时恒有成立 即7求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）解：1）2)3）4)5)6) 7) 8)8求解：9下列数列，当时是否是无穷小量？（1） （2）（3）解：1)是无穷小量 因为 2)是,因为(为奇数或者偶数)3)不是.10当时下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？（1） （2）（3） （4）（5） （6）解：1)是无穷小,因为2)是无穷大量,因为3)是无穷小量,因为4)是无穷大量,因为5)是无穷大量,因为6)非大非小11已知存在，而，证明解：因为存在 而 所以12设，求，解：因为 所以所以,13设，求，解：所以即为一常数所以14当时，下列变量中与相比为同阶无穷小的是（B）.A B C D解：B因为15求解：16设时，则下列各式中成立的是（D）.A BC D解：D.因为时,，所以，.17求下列极限（1） （2）解：1) 2)18求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）解：1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)19设，求，解：因为所以所以20设，用极限存在的夹逼准则求解：因为而，所以21求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解：1) 2) 3) 4) 5) 6) = =22设，求解：因为 所以所以23判定下列函数在定义域上是否连续（说明理由）：（1） （2）解：1)因为，而.所以在定义域上是连续的。2)因为，而.所以在定义域上不连续.24求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）解：1) 2)3)= = =4) 5) =6) = 7) = = 8)= 9)=10) =25设，求解：因为，所以可以推出所以所以26对数列，设，且证明：单调减少，且并求解：因为所以所以数列单调减少。当时,而且假设当时也成立，即,且那么当时，,所以即所以27证明：（1）当时，与是同阶无穷小；（2）当时，（3）当时解：1） = =所以当时与是同阶无穷小； 2) 所以3).所以28设连续，求，解：因为而且所以29.对区间上的函数下列结论错误的是（D）.A连续 B.有界 C.有最大值和最小值 D.有最大值无最小值解:D.因为函数在区间上是连续的，所以30证明下列方程在指定区间中必有根：（1），区间（1，2）；（2），区间（0，1）.解：1)设,那么在区间上是连续的，所以,即一定存在的情况，所以,在区间上一定有根.2)设,那么在区间上是连续的，所以,即一定存在的情况，所以,在区间上一定有根.31设是区间上的连续函数，证明至少有一，使得解：设在区间上的值在上，即则,.那么,则存在任意,使得32求下列函数的间断点，并说明其类型：（1） （2）（3） （4）解：1)所以可去间断点，是无穷间断点；2),所以是可去间断点；3),.所以是无穷间断点，是可去间断点；4）所以是可去间断点，是无穷间断点33设函数的图形如下图所示，说明有哪些间断点，属何种类型.（B）1单项选择题（1）下列数列中收敛的是（B）.A BC D（2）（C）A不存在 B为0 C为1 D为2（3）当时下列变量中与是等阶无穷小量的是（C）.A B C D（4）设且，则必有（C）.AB可能C当均在点连续时D当均在点连续时可能（5）若则（B）.A B C D（6）下列命题中正确的是（A）.A若在点处连续而不连续，则在处必不连续B若在点处和均不连续，则在处必不连续C若在点处不连续，则在处不连续D若在点处连续，则必在处必连续（7）设，则当时与比是（B）.A等阶无穷小 B同阶但非等价无穷小C更高阶无穷小 D较低阶无穷小（8）下列各式中正确的是（A）.A BC D（9）当时，下列四个无穷小量中哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量？（D）.A B C D（10）设对任意的，总有，且则（D）.A存在且等于0 B存在但不一定为0C一定不存在 D不一定存在解：1选BA 不存在 没有极限,发散 B C 没有极限,发散D 没有极限,发散2C3选C 与是等阶无穷小量4选C当不均在点连续时，虽然，但可使5B6AB在点处均不连续，但在处连续C在点处不连续，但在处连续D反之 在处连续，但在点处不连续7选B8选A CD9选D， 是比其它三个更高阶的无穷小量10选D不一定连续， 如令，则不存在，如令，则存在（5）设且，则必有2填空题（1）已知，则 .（2）设在处连续，则 ， .（3）设在上连续，且，则的符号必为 .（4）极限 .（5） .（6） .（7）若，则 ， .（8）极限 .解：1 2 ，在处连续 3若的符号为负， 在上连续，则必存在一点,使 的符号为正。4=567则，83设函数问在处是否连续？若不连续，修改函数在处的定义使之连续.解：在不连续，修改函数在习 题 三（A）1根据导数定义求下列函数的导数：（1） （2）（3） （4） 解：(1)(2)(3)(4)2求下列曲线在指定条件下的切线方程；（1）曲线的与直线平行的切线；（2）余弦曲线在点处的切线；（3）双曲线的经过点（2，0）的切线.解：(1) 则直线 可得 或。斜率为5，且经过或的斜率为或(2)-1 当时 斜率为且经过的斜线为 (3)得直线为 过 则 在上, 代入3如一直线运动的运动方程为求在时运动的瞬时速度. 解： 当时，4设函数在点可导，求：（1） （2）（3），如已知解：(1) (2)(3)5设可导，求. 解： 6设函数在点连续，且极限问函数在点处是否可导？若可导，求解： 在点连续，7求函数的不可导点.解：当时，即或 当时，即， 为的为不可导点8设在什么条件下可使在点处（1）连续；（2）可导；（3）导数连续.解：为有界函数函数1）连续 2）可导 存在 此时 3）导数连续 若再处连续，则 9设可导且证明在点可导，并求解：10对于函数如存在，是否必存在？解：不一定，如，此极限在处为，但不存在11设，(1)若在点连续，求；(2)若点是的间断点，是否在处必不可导，为什么？解：1) 2) 如，则.如不存在，则不存在. 12设函数则下列结论正确的是（ ）.A在点间断B在点连续，但不可导C在点可导，但在点间断D在点连续解：D. ， ，时 在点 连续13设为可导函数，且满足求曲线在点处切线的方程.解：则4+