（工程力学专业论文）弹性地基上四边自由正交异性矩形中厚板的弯曲.pdf

西安建筑科技大学硕士论文弹性地基上四边自由正交异性矩形中厚板的弯曲专业：工程力学硕士生：费新华指导教师：王克林捅要本论文在胡海昌的具有三个广义位移的平板弯曲理论( 考虑横向剪切变形影响) 的基础上，推导出了弹性地基上四边自由正交异性矩形中厚板弯曲的控制微分方程，利用重三角级数详细论述其求精确解的过程。引入重三角级数来解决自由边的问题，用虚荷载法使挠度满足所有的边界条件和角点条件。利用对称性，将任意的挠度、转角及载荷视为四种情况的叠加，按照可相互叠加的原理将控制微分方程和边界条件分解，同时将它们展开成重三角级数，于是微分方程就简化成了代数方程，最终得到所要求的精确解。从而解决弹性地基上四边自由正交异性矩形中厚板的弯曲问题。由于重三角级数的利用，使方程的推导变得简洁，所得的结果数学形式统一，便于计算机编程分析。本文中给出的几个算例，是利用m a t l a b 编程分析的，并且绘出了几种不同情况下板的变形图，便于对比、校核。显然，本文所述的弹性地基上四边自由正交异性矩形中厚板弯曲问题求解的求解方法及其结果，充实了板理论的研究，而且对高速公路路面板、机场停机坪、码头货舱、板式地基的设计和施工等工程实践具有重要的指导意义。关键词：弹性地基傅立叶级数四边自由矩形中厚板论文类型：理论研究西安建筑科技大学硕士论文t h eb e n d i n go fm o d e r a t e l yr e c t a n g u l a ro r t h o t r o p i ct h i c kp l a t e sw i t hf o u rf r e ee d g e so nt h ee l a s t i cf o u n d a t i o ns p e c i a l t y ：e n g i n e e r i n gm e c h a n i c sp o s t g r a d u t e ：f e ix i n h u ai n s t r u c t o r ：p r o f w a n gk e l i na b s t r a c ti nt h i sp a p e r , b a s i n go nh uh a i c h a n g sb e n d i n gt h e o r yo ff l a tp l a t ew i t l le x t e n s i v et h r e e d i s p l a c e m e n t ，w h i c hc o n s i d e r i n gs h e a rd e f o r m a t i o n ，t h eg o v e r n i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ed e r i v e df r o mm o d e r a t e l yr e c t a n g u l a ro r t h o t r o p i ct h i c kp l a t e sw i t hf o u rf r e ee d g e so nt h ee l a s t i cf o u n d a t i o n a n du s i n gd o u b l ef o u r i e rs e r i e s ，t h ee x a c ts o l u t i o nf o ri ti sd i s c u s s e di nd e t a i l i no r d e rt os o l v et h i sp r o b l e m ，d o u b l ef o u r i e rs e r i e si su s e di nt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n so ff r e ee d g e s v i r t u a ll o a dm e t h o di sb eu s e ds ot h a tt h ed i s p l a c e m e n ts a t i s f i e sa l lt e r m so fb o u n d a r i e sa n dc o m e r s a n du s i n gs y m m e t r y ，t h ea r b i t r a r yl o a d i n ga n dd i s p l a c e m e n ta r ed i v i d e di n t of o u rc i r c u m s t a n c e s a c c o r d i n gt ot h er u l eo fa d d i n gt h e o r y , t h eg o v e r n i n ge q u a t i o na n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ed i v i e d a tt h et i m e ，t h e ya r ee x p a n d e di n d o u b l ef o u r i e rs e r i e s s ot h eg o v e r n i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw e r er e d u c e dt oas e r i e so fa l g e b r a i ce q u t i o n f i n a l l y , t h ee x a c ts o l u t i o ni sd e r i v e d a n dt h ea u t h o rs u c c e s s f u l l ys o l v et h eb e n d i n gp r o b l e m so fm o d e r a t e l yr e c t a n g u l a ro r t h o t r o p i ct h i n kp l a t e sw i t hf o u rf r e ee d g e so nt h ee l a s t i cf o u n d a t i o n b e c a u s eo fu s i n gd o u b l ef o u r i e rs e r i e s ，t h ed e v e l o p m e n to fe q u a t i o n si sv e r ys i m p l e ，a n dt h ea n s w e rh a st h ea d v a n t a g e so fu n i f o r mm a t h e m a t i ce x a m p l e sa r ew o r k e do u tb yu s i n gm a t l a b ，a n ds o m ed i s t o r t i o ng r a p h i c sa r eg i v e nu n d e rd i f f e r e n tc a s e s i ti se a s yt oc o n t r a s ta n dc h e c k t h cw a ya n dt h er e s u l t si nt h i sp a p e rp u t sf o r w a r db e n d i n gt h e o r yo ff l a tp l a t e a l s oi ti sh e l p f u la n dp r a c t i c a lf o rt h ed e s i g na n dc o n s t r u c t i o no fe x p r e s s w a y , a i r p o r ta i r c r a f tp a r k i n ga r e a ，w h a r ff r e i g h ts h e da n dp l a t et y p ef o u n d a t i o n k e yw o r d s ：e l a s t i cf o u n d a t i o n ，d o u b l ef o u r i e rs e r i e st h e s i st y p e ：t h e o r e t i c a lr e s e a r c hf o u rf r e ee d g e s ，m o d e r a t e l yt h i c kr e c t a n g u l a rp l a t e si l声明y 8 4 1 3 9 0本人郑重声明我所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人或其他人在其它单位已申请学位或为其它用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的所有贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。论文作者签名：等知耸关于论文使用授权的说明日期：2 口口5 牟3 日本人完全了解西安建筑科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或者其它复制手段保存论文。( 保密的论文在论文解密后应遵守此规定)论文作者签名：鲁移绎导师签名：砂免竭卜日期：2 口瞄年弓目注：请将此页附在论文首页。西安建筑科技大学硕士论文11 弹性地基板研究的现状1 绪论在工程建设中，弹性地基上四边自由的矩形板的应用相当广泛。如建筑物的基础、公路刚性路面、机场跑道、船坞底舨和码头平台等。因而，有关这方面的研究多年来一直受到重视，使得其在计算理论、设计方法等方面得到了迅速的发展，目前各国现行的设计体系多以弹性地基薄板理论为基础，按解析法或有限元法进行计算来设计板的厚度，但许多情况下，用薄板理论并不能准确模拟板的实际受力和变形情况，导致计算应力偏大，厚度设计偏于保守而大大浪费财力，为解决上述问题，从3 0 年代开始，国内外学者就着手研究较薄板理论更为精确的中厚板理论，并取得了很多的成果。中厚板理论与经典板理论的不同之处在于前者考虑了横向剪切变形，因此在其精度提高的同时也使其控制方程和边界条件变得比较复杂，使其求解难度加大。所以直到目前为止，对于弹性地基中厚板的问题的求解多为近似解，而对其精确解方面的研究就很少。1 2 弹性板的概述和发展简史任何一个结构及它的一部分，实际上都是一个三维体。但是在分析它们的应力和变形时，并不是经常用弹性力学三维理论，因为，如果这样会带来数学处理上的网难，甚至在很多情况下不能求解，对于结构上的板来说也是如此。工程中存在大量特殊的三维结构，它的一个方向尺寸( 厚度) 远远小于其他两个方向的尺寸，而且是无曲率的，平直的，这种特殊的三维结构就称作为“板”或者“平板”。本论文研究的是厚度为常量的等厚度板。同板的上下表面等距离的点所构成的平面称为板的“中平砸”或者简称为“中面”。在垂直于中平面方向的荷载作用下，扳发生弯曲变形，此时，中平面变成一个曲面，称为板的“弹性曲面”。中平面同弹性曲面之间，在垂直中平面方向上的距离，称为板的挠度。按板的结构特点( 几何尺寸，受力情况等) ，板可以分为厚板、薄板、薄膜等。这实际上是力学特性上的分类而不是几何上的分类。刚性薄板的力学特征就是在横向荷载的作用下，发生弯曲变形，并主要以弯曲变形来抵抗外加的横向荷载。薄膜则是以沿厚度均匀分布的张力来平衡外加的横向荷载。而柔件板( 大挠度薄板或膜则是以沿厚度均匀分布的张力来平衡) i , ：j e l 的横向荷载。而柔性板( 大挠度薄板或西安建筑科技大学硕士论文非线性薄板) 的工作状态，处于刚性板和薄膜之间，它是以内力矩，横向剪力以及膜内力来承担外加荷载。严格的讲，厚板必须用弹性力学的空间一般理论来分析，但是这是相当困难的，不过在薄板理论的基础上，放弃某些假设，还有所谓的“中厚板理论”板的精化理论。这个理论也是本论文所应用的理论。这里简要回顾一下弹性板理论的发展过程。作用在结构上的荷载，可以区分为静荷载及动荷载。在建立基本理论时，一般总是首先从静荷载作用下的结构开始研究，然后再进一步考虑动荷载的影响。但是关于板的第一次分析和试验研究，却是从板的自由振动开始的。弹性板理论是属于应用弹性力学的范畴。弹性理论的建立，始于法国工程师、桥梁专家纳维尔( n a v i e r ，l m h 1 7 8 5 年1 8 3 6 年) 在1 8 2 1 给出的弹性体平衡和运动微分方程。但是，关于弹性板的探索，却开始于1 7 6 6 年，著名科学家欧拉( e u l e r ，l 1 7 0 7 年1 7 8 3年) 对薄膜振动的研究。他在描述一个薄膜的振动时，把薄膜当作由两组互相正交，且拉紧的线条组成，从而解决了矩形和圆形薄膜的自由振动问题。他建立了如下的数学表达式：宴：a 磐+ b 尘( )西融咖式中w 为挠度，a 、b 为两个常量。欧拉的学生杰克伯努利( j a c q u e sb e r n o n l l i ，1 7 5 9 年1 7 8 9 年，是著名的伯努利科学家家族的成员之一) ，将欧拉的比拟用于板的弯曲问题，给出方程e i ( 箬+ 箬) = q( 1 2 )日o ya 4 认为横向荷载强度q 是由x ，y 方向的两组梁来分担。x 方向梁承担e i * = q ，( a 4 y 方向梁承担e i 孚= q ，。在两梁的交点处有相同的挠度，且q ，+ q ，= g 。伯努利叫本人也认为这是近似的，例如不取正交的梁，则结果不同。同时还可以看出，两梁截面的交线在变形后将分裂为两条线，这是由于在板的弯曲问题中，伯努利的理论仍采用梁理论中的平面假设所致。实际上，在该理论中忽略了扭转所承担的一部分荷载，相当于在微分方程中未考虑板的抗扭刚度。德国物理学家启拉第( c h l a d n i ，e f f ) 于1 8 0 8 年秋天，在进行板的振动试验时发现了各种自由振动的振型，这引起了对板理论的极大关注。1 8 0 9 年他应拿破仑( n a p o l e o n ) 和法国科学院的邀请，到法国科学院做这个实验的表演，拿破仑亲自光临，并在他的建议下，法国科学院提出资金为3 0 0 0 法郎的悬赏题目“探求板振动的数学理论”，并用实验验证，1 8 1 1 年1 0 月为应征截止期。许多科学家如拉格朗日西安建筑科技大学硕士论文( l a g r a n g e ，7 l 1 7 3 6 年1 8 1 3 年) 、勒让德( l e g e n d r e ) 、富里叶( f o r i e r ，j ) 、纳维尔、毕奥( b i o t ) 、拉普拉斯( l a p l a c e ) 、泊松( p o i s s o n ，s d ) 都曾经试图求解这个问题。但届时只有一人应征，她就是法国数学家索菲r 诺曼( s o p h i eg e r m a i n ，1 7 7 6年1 8 3 1 年) 她是在数学力学领域中历史上两位著名的女科学家之一。她是位富商的女儿，曾得到拉格朗日的爱护和支持。她从弯曲变性能的积分式出发，用变分原理得到挠度的微分方程。索菲诺曼设板的弯曲变性能的积分式为：af f ( 土+ 土) 2 d s( 1 3 )“p l岛式中p ，p ，为弹性曲面的主曲率半径。但是在计算变性能的积分表达式时，由于忽略了板中面的翘曲所做的功，而发生了错误，未得到正确的微分方程。然而审查人对她的工作并不满意，曾是审查人之一的拉格朗日修正了她的工作，并加进了遗漏项，得到一个较满意的方程：tc 等+ z 丽0 4 w + 窘，+ 警= 。ma ，这就是通常所说的索菲诺曼一一拉格朗日方程。弹性理论奠基人纳维尔给出了第一个令人满意的，完整的薄板弯曲理论，列出了板弯曲变形能的正确公式。1 8 2 9 年泊松进一步改进了板的理论，得到微分方程：d ( 窘+ 2 丽0 4 w + = g( 1 5 )洎松还讨论了板的边界条件。对简支边和固定边，他给出的边界条件方程与现在通用的边界条件是完全一样的。但对沿着有一致分布力的边晃情况，他要求有三个边界条件( 剪力、扭矩和弯矩) 。由于板的控制微分方程是四阶的，而一个边界上有三个边界条件与此是矛盾的。从三个边界条件减为两个边界条件是由克希霍夫完成的，他是著名科学家牛曼的学生。克希霍夫于1 8 5 0 年发表了薄板理论的重要论文，提出了薄板的两个基本假设，确立了板弯理论的基础。他纠正了泊松在边界条件上的矛盾，指出在板的每一边界上只存在两个边界条件。他被公认为是考虑弯曲和拉压联合作用的板理论的创始人。开尔文对有分布力作用的的边界上的边界条件，由三个减为两个做了物理上的解释。他应用圣文南原理，认为沿板的边缘可以把扭矩转换为静力相当的等效剪力，这样就使得在边界上只有总剪力和弯矩这两个边界条件。当板有较大挠度时，必须考虑中平面的拉伸，这就是非线性板问题。冯卡曼于1 9 0 9 年最终推导出了大挠度板理论的控制方程组，这便是著名的卡曼方程组，至今仍被广泛的应用。西安建筑科技大学硕士论文在线性理论中所建立的控制微分方程，根据克希霍夫忽略了横向剪切对挠度的影响，因而即使在板很薄时，它也是近似的理论。随着板厚度的增加，剪切的影响逐渐加大，利用板弯理论将带来逐渐加大的误差。为此很多科学家致力于建立更为精确的板理论板的“精化理论”或称为“中厚板理论”，即考虑剪切的影响。在不同的中厚板理论中，以瑞斯纳在1 9 4 5 年所建立的理论应用最为广泛。1 3 关于弹胜地基模式的评述当板直接置于弹性地基之上时，在荷载作用下，将不仅在支承边缘产生反力，而且在板与地基的接触面上也将产生反力，后者称为地基反力。结构基础的分析，在很大程度上取决于地基反力模型的选择。由于影响土体力学性能的因素很多，试图精确地描述其力学性能在目前几乎是不可能的，只能根据其主要的力学性能加以简化。自从w i n k l e r 在1 8 6 7 年首次提出弹性地基抗力的一种计算模型至今已有一百多年的历史。一百多年来先后提出了各种各样的地基抗力计算模型，归纳起来弹性地基的假定主要有三种：反力直线分布假定、温克尔假定、半无限体假定。为了使这个复杂的问题予以简单化，且又能为工程实际所接受，本文采用温克尔假定。温克尔假定可归纳为两点：( 1 ) 板每一点的挠度与地基的变形相等，且两者之间没有缝隙存在，即板的挠度曲线与地基变形相一致。( 2 ) 假定地基的变形只与其受力大小成比例，地基相邻点不存在相互作用，而是起着一系列互为独立弹簧似的作用。因此，地基的变形只发生在基础范围内，而基础以外的地基变形等于零，这样就不能考虑边载对基础地基反力的影响。在该假定下，认为土介质是由一系列各自独立的、相距很近的线性弹簧元件组成，其弹簧的特性常数为k ( 也称为地基抗力系数或基床系数) ，于是假定地基抗力p ( x ，y ) 与地基表层位移w ( x ，y ) 之间的关系如下：( 1 6 )实践表明：如果板的平面几何尺寸一定，当厚跨比h h 1 5 时，用w i n k l e r地基模型计算板的位移和内力，而不会有很大的误差，能反映地基的实际变形状态。1 4 中厚板的理论基础大家对于在克希霍夫假设下所建立的小挠度薄板理论已经很熟悉了，包括它西安建筑科技大学硕士论文的控制微分方程，各种关系式以及各种求解方法。在板的小挠度线形理论中，它最后归结为在给定边界条件下，求解控制微分方程( 1 7 ) 。在通常情况下，对薄板来讲d v 2 v 2 w = g( 1 7 )是足够精确的。但是即使对很薄的板，严格地讲方程( 1 7 ) 也是近似的。它的近似性是由于采用了克希霍夫假设，在进行变形几何分析时，忽略了横向剪切变形( ，。，。) 对板挠曲的影响。但在建立平衡方程时，却考虑了横向剪力( q ；，q y ) 。这意味着z 方向板的剪切模量g ，是无穷大。这样在处理边界条件时，才能将截面上由水平剪应力所形成的扭矩，根据静力等效原则，化为静力相当的两个竖向力，从而将三个力的边界条件化为两个。如果从数学观点来看，方程( 1 7 ) 为四阶偏微分方程，边界上每点只能有两个边界条件，方程才有定解。这同要满足边界上每点三个力的边界条件是矛盾的。于是可见，在采用克希霍夫假设后，虽然对板的分析大大的简化了，但是严格地讲，它与真实情况不完全相符。尤其随着板厚度的增加，忽略z 方向的剪切变形，将产生越来越大的误差。这同材料力学梁理论中，对普通梁( 细长梁) 与高梁的分析是相似的。为了探讨横向剪切变形对板挠曲的影响，2 0 世纪三四十年代以来，很多学者进行过研究。提出各种板的精化理论，以对板的小挠度理论进行修正。这些精化理论常成为中厚板理论，它们并非严格的三维弹性理论。这里首先介绍瑞斯纳的理论，它也是应用较为广泛的一种中厚板理论。从板中截取一微元体h x d x x 4 v ，板的厚度为h ，板面作用有任意分布的横向荷载碍( x ，n 。在微元体的侧面上有六个应力分量，它们是仃，r 。，f 。及盯，r 。，f 。，见图1 1 a b 。这六个应力分量在各自微面上形成六个内力素( 板截面单位宽度上的内力) 。而应力分量盯，f 。，f 。仃，f ，t ，同内力素( m ，m ，m 。，m ，q ，q ，) 之间的关系为式( 1 8 a b c d e ) 所示：绞= c 1 2 2 r 。d zm ，：f ”邓d z上h 2。m ，= f h 2 2 t x y z d zg = d zm 。j ：r 吼2 d z，上 2，西安建筑科技大学硕士论文yxq ，图1 1 a b瑞斯纳理论仍认为应力分量仃；，盯，= l r y x 在中面上为零，且沿板厚度方向( z方向) 按直线分布。横向剪应力气，沿板的厚度按二次抛物线分布。而z 方向正应力盯：，由弹性理论平衡微分方程第三式积分求得。这些应力分量同内力素及外荷载q ( x ，y ) 的关系，见式( 1 9 a b c d e f ) 所述。这同薄板的小挠度理论是相同的。咿半。= 兰学qq2 育二“k2 j 了广鲮旷丁1 2 m y ，= 吾竿g盯，2 i 广2 7 ”2 j r g ，= 1 1 2 m 广wz ，q = 一2 9 哇一言) 2 ( 1 + i z )7 p2 i 广2 盯：2 2 9 呸一i ) ( 1 + i 在对板进行变形几何分析时，将不再忽略横向剪切变形。设板内任意一点的应变分量为s ：，s j ，s ：，二，y 二，二，而三个位移分量为“，v ，w ( 它们的值与板的厚度h 相比较，认为是很小的) 。而应变分量与位移分量之间在如下的几何方程：d “占。= 僦册白2 面洲s = 一院，2 鼍+ 詈，二2 豢+ 芸，二= 斋+ 鼍( 1 i ，o a e c 虮r )2 西+ 百，n2 i + ib2 百+ il l l l o a b 。d 。_ 1 。)现在引入“平均位移”的概念。令w 为沿板厚度的挠度平均值，致，吼分别为x 等于常数及y 等于常数两个横截面的转角平均值。下面利用能量的观点来定义平均位移，认为任一横截面的内力素及其相应的平均位移w ，吼，妒。上所做的功，等于同横截面上的应力分量在相应的实际位移分量“，v 。，w 。上所做的功。也就是西安建筑科技大学硕士论文说存在如下之等式关系：f z 2 0 x u d z = m ，纯2 2 v 。出= m 。c ：q v 出= m ，妒，c 1 2 2r y x u d z = m ，吼苡d z = g wc 1 2 2 杌g w将应力分量同内力素的关系式( 1 9 a b c d e ) 代入( 1 1 l a b c d e f ) ，这样就可以得到平均位移与实际位移之间的关系式：w = 三2 h 2 1 _ 印2 出p ，：昙r ”“+ 三出h 2j - h 2h舻彬1 2r 。j 2v 云出而物理方程s ：= i o u = 二 1 叽- - v ( t y y + 仃：) 8 z 。瓦2 i 帆竹：j j0 v 0 w +1y ”。瓦+ 百。石0 u 卸。12 百+ g - 2 石占j ：- 加e - 一1 - v ( 叽+ 吒) 占y2 一2 i，盯，+ 仃：) j0 u 却1y “2 百+ i 。西k还有一个方程s ：娑= 喜p ：一v ( 盯，+ q ) ，在这里放弃不用。在式出e。( 1 1 3 a b c d e ) 的s ：，g j ，y 二三式中，解出叽，盯，并将( 1 9 f ) 代入，得到用实际位移表示的应力公式，它们是：吒= 再e ( s ：+ w j ) + 击吒5 专c 豢+ v 争一热c 詈一鲁+ ；c 和( 1 1 4 a ，盯，= f e 丁( s j + 域) + - 尚t西安建筑科技大学硕士论文。专c 茜+ v 等一忐t 争鲁+ ；c 和。万百w _ ) 一丽专 i + j 】铲志c 等+ 挈k2 i 而百+ i 将式( 1 1 4 a b c ) 代入( 1 8 a b注意利用到式( 1 1 2 a b c ) ：( 1 1 4 c )c d e ) ，可以得到以平均位移表示的内力公式坂= 线q 础= 专艺c 芸+ v 争z 出一杀虽一i 2 z + 了1 t 2 z 孙出=d监+，篓+型蜘o。x西5 e h ”m yd 要+ y 誓+ 6 v ( 1 + v ) 9 1砂融5 e h1峥旦学c 等+ 挈( 1 1 5 a b c )将瓦( 1 9 a _ b 。d 。f ) 中之。”，代入式( 1 1 3 a b c d e ) 之庀，y ：中，两端g r 乘以3 1 一( 2 a z ，在z = 一尝到+ 兰之间进行积分_ 1 3 h 。2 百g 鬼 + 等 1 - ( 争2 a z = 告白2 1 _ ( 争2 m分析式中的每一项乏3 。r 2 ：3 出u 小( 争2 弦2 万3h , “2 ：瓦o1 f “ 1 _ 审1 卜一砑3k f , 2 ：1 i “( 一z 鲁寺仁1 2p ，2 z ，2 矿l ，：“i 出2 畋去e ：豢卜c 2 z2 a z = 昙c ：w 未卜c 鲁) 2 】出一o 融w2 ( 1 e + v ) ，o 彬9 。2 卜( 争2 胁= 罨是，所以最终得到吼一警+ 了1 2 1 1 + f v 敛_旷一雾+ 了1 2 i 1 + v g一石+ 了i 岛8( 1 1 6 a b )堕室壅垫型堇奎兰堕主笙茎4 - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ l d _ _ _ _ _ j _ - _ - l p _ - _ _ 口_ _ _ - _ i - _ _ _ 口。_ - _ 。一一将式( 1 1 6 a b ) 代入式( 1 1 5 a b c ) ，注意利用平衡方程_ o q + 孥：一目( 曩y ) ，则有：m ：。等+ v + 等警一等罢m 。= 一d c t 叫裔+ 等c 等+ 警，由上式可见，弯矩和扭矩不但与平均挠度有关，而且与横向剪力有关，与荷载有直接显式关系。如果板很薄，厚度厅趋于零，则关系式( 1 1 7 a b c ) 与板的小挠度理论中的公式完全相同。为满足平衡条件，将( 1 1 6 a b ) 代入旦磐+ 兰望：q 和_ o m _ x + _ c o m ”, ：幺中，c yo x o y并考虑孥+ 孥：一g ( 工，y ) 可得：q 一等v 2 q x = 一。丢c v 2 呻一前鲁q 一鲁v 2 q = 一。去c v 2 叻一面鲁将( 1 1 7 a b ) 代入孥+ 孥：一g ( x ，_ y ) 可得仅含平均挠度的一个方程卿卯d v 2 v 2 w ：g 一竺丝v 2 9( 1 1 9 )1 0l y如果是很薄的板，认为厚度趋近于零，则方程( 1 1 9 ) 就是小挠度板的控制方程。方程( 1 1 9 ) 为四阶偏微分方程，它的解还应当满足板边界上每点的两个边界条件。但是，实际上问题还没有解决，因为求出平均挠度后，还不能把内力素求出来。因此还必须从方程组( 1 1 8 a b ) 中求出横向剪力。瑞斯纳理论所给的控制方程为( 其中、王，( x ，y ) 为应力函数) ：堕砂矿一m一堕砂矿一；+盟酽旷+盟矿一=坞西安建筑科技大学硕士论文d v2 审2 w ( x ，y ) = g ( x ，y ) 一h l u 22 l 一- y vv 2 q ( x ，y )v 2 甲( x ，y ) 一旦h 2 甲( x ，y ) = o边界条件可以表示为：( 1 ) 固定边界，有面= o ，瓦= 0 ，两= 0( 2 ) 简支边界，有而= o ，甄= o ，甄，= 0( 3 ) 自由边界，有皿= 0 ，矾，= 0 ，西= 0以上简要介绍了一下瑞斯纳中厚板理论，白瑞斯纳提出上述考虑横向剪切变形的平板弯曲理论以后，许多学者相继地提出各种精化理论。按照各个理论所作假设的不同大致可以分为两类。明特林和亨奇继续沿用直线假设，明确假定板中各点的面内位移“，v 沿厚度方向按线形变化，同时假设挠度w 与z 无关。因此可以表示为“= z 妒，( x ，y ) ，v = z 妒。( x ，y ) ，w = 谛( x ，力。式中妒。，p ，分别是x 等于常数和y 等于常数两截面的转角。另一类认为板中面的法线变形后不再保持直线，这方面的研究学者有克隆、符拉索夫和莱文逊。1 5 本文的主要工作本文中弹性地基上四边自由正交异性矩形中厚板的弯曲包括静力问题和动力问题两个部分。论文是在胡海昌的具有三个广义位移的平板弯曲理论( 考虑横向剪切变形影响) 的基础上，推导出了弹性地基上四边自由正交异性矩形中厚板弯曲的控制微分方程。引入重三角级数来解决自由边的问题，利用虚荷载法使挠度满足所有的边界条件和角点条件，并利用对称性，将任意的挠度、转角及载荷视为四种情况的叠加，按照可相互叠加的原理将控制微分方程和边界条件分解，同时将它们展开成重三角级数，于是微分方程简化成了代数方程，最终得到所要求的精确解。从而解决弹性地基上四边自由正交异性矩形中厚板的弯曲问题。由于重三角级数的利用，使方程的推导变得简洁，所得的结果数学形式统一，便于计算机编程计算。本文中给出的几个算例( 包括静力部分、动力部分) ，是利用m a t l a b 编程分析求得结果的，并且绘出了对应于几种不同情况下板的变形图，便于对比、校核。西安建筑科技大学硕士论文2 傅立叶级数由于傅立叶级数( 三角级数) 理论是本论文所述理论的基础，在此作为单独的一章来阐述。在这一章里，我们从傅立时级数的基本概念出发，引出单傅立叶级数及其导数的有关理论，最后推广到重傅立叶级数( 即重三角级数) 及其偏导数的理论。2 1傅立叶级数的基本概念2 1 1 以2 石为周期的函数f ( x ) 的傅立叶级数设f ( x ) 为周期为2 玎的周期函数，满足收敛条件，则它展开成傅立叶级数，( x ) = i a o + 妻( c l nc o s 脏+ 巩s i n 埘)，= 去e ，( 力c 。s ，凼= o ，1 ，2 ，3 ，)b 。1 一rf ( x ) s i n n x d xo = 1 ，2 州3 ) 、万 ”当x 是f ( x ) 的连续点时，级数收敛于f ( x ) 。当x 是f ( x ) 的连续点时，级数收敛于丝o ) + f ( x + o )2( a ) 周期为2 7 r 的奇函数f ( x ) 展开成傅立叶级数( 傅立叶正弦级数)厂( 工) = 6 。s i n n x口。= 0钆= 昙r 厂( x ) s i n 珊出0 = 0 , 1 ，2 ，3 ，)( b ) 周期为2 z 的偶函数f ( x ) 展开成傅立叶级数( 傅立叶余弦级数)厂( x ) ：了c t o + 妻吼c 。s 脏z月= 1西安建筑科技大学硕士沦文铲昙r m ) c 0 一出b 。= 0( = 0 , 1 ，2 ，3 ，)0 = 1 , 2 ，3 ，一)2 ，12 以2 ，为周期的函数f ( x 1 的傅立叶级数周期为2 ，的周期函数f ( x ) 满足收敛条件，则它展开成傅立叶级数m ) = 导+ 善( 。s 丁n t d c 地s i nn f 2 l x )盱拟咖。s 罕出( 仃_ 0 ，l ，2 ，3 ，)”鼽咖i n 孚出( 删，2 ，3 ，)( a ) 周期为2 1 的奇函数，( 工) 展开成傅立叶级数( 傅立叶正弦级数)m ) ：主i n 罕铲手f 形) s i n 孚蟛( 删，2 ，3 ，)( b ) 周期为2 l 的偶函数，( x ) 展开成傅立叶级数( 傅立叶余弦级数)m ) ：z 。a nc o s ； x ( ”= 0 ，1 ，2 ，3 ，)2 i 3一般函数展开成正弦级数或余弦级数在实际应用中，有时需要把定义在区间【0 ， 上的函数，( x ) 展开成正弦级数或余弦级数。根据前面讨论的结果，这类展开问题可以按如下的方法解决：设函数，( x ) 定蟛咝，koo停f f 厂 ”j盈，膨f其厶西安建筑科技大学硕士论文义在区间 0 ， 上，并且满足收敛定理的条件，我们在区间( - 1 ，o ) 内补充函数厂( x ) 的定义，得到定义在( - l ，】上的函数，( x ) ，使它在( 一，d 上成为奇函数( 偶函数) 。按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓( 偶延拓) 。然后将奇延拓( 偶延拓) 后的函数展开成傅立叶级数，这个级数必定是正弦级数( 余弦级数) 。再限制x 在( o ，】上，此时f ( x ) = f ( x ) ，这样便得到f ( x ) 的正弦级数( 余弦级数) 展开式a2 2 单傅立叶级数及其导数2 2 1区间函数f ( x ) 的傅立叶级数及其导数设厂( x ) 在区间 o ，口】连续，且，( o ) 0 ，厂( 口) 0 。其傅立叶级数为，( x ) = 厶s i n c r 。x口。：竺；厶= 兰f m ) s i n 竺兰出沏= 1 , 2 ，3 ，)aa “a由于厂( o ) 0 ，( d ) 0 ，所以不能通过逐项微分求厂( z ) 的傅立叶级数，设其为，( x ) = r 。c o s t 3 t 。x则如= 争m x ) c o s c e 。x 凼其中= 等f c o s o m 彬= 争【m ) c o s m t c - ，( o ) + r m ) s i n 删疗”：2 c o , f ( 口) c 。s 垅厅一厂( o ) + c 厶af 以。：0矗5 1 7 ， o。塑窒壅堑型垫查兰堡主堡圣目_-_，_j_i=_，口日目目zizi_il_。-_1。l口e_i_=_=一一所以，( x ) = 睾 ，( a ) c o s m t e 一厂( o ) 】+ a 。厶) c o s 口。xm = 0“在此引入d e l t a 函数的概念：吣) = 蒜从广义的角度看，因为正弦展开是对，( x ) 在区间 o ，a 】内作反对称周期性延拓，所以在 o ，0 + 有间断，( o ) ，在 口一，口 有间断一，( 口) 。这样，对，( x ) 的傅立叶级数逐项微分的结果中包含了5 ( o ) f ( o ) 和一8 ( a ) f ( a ) 。然而，f ( x ) 本身并无间断，其导数自然d e l t a 函数，所以，( x ) 的傅立叶级数应该是f ( x ) 的傅立叶级数逐项微分的结果减去6 ( o ) f ( o ) 和一6 ( a ) f ( a ) 的傅立叶级数展开，这样就得到了上述结果。下面以，( x ) = x ，x 【0 ，z 为例，来说明单傅立叶级数及其导数的有关理论。厂( 砷= x 的傅立叶正弦级数为心一熹喜厕呼n 万蒿f考虑f ( x ) = x 的导数，( x ) = 1 ，其傅立叶余弦级数( 2 1 )，( z ) = 1( 2 2 )如果对( 2 1 ) 式的右边逐项微分形式上可得，( x ) ：一2 芝c 。s 一彻s 罕( 2 3 )这与( 2 2 ) 式不相等。原因是把f ( x ) = x 展开成傅立叶正弦级数使得函数在x = 聪上有间断，如图2 1 a b 所示，即在x = ，处傅立叶正弦级数的右极限为f ，而f ( 1 ) = 0 。olx西安建筑科技大学硕士论文所以逐项微分得到的是l l s ( x 一，) 的傅立叶余弦级数，与厂( x ) = 1 比较多了一l s ( x z ) 。要得到厂( z ) = 1 的傅立叶余弦级数，必需给f i x ) = x 的傅立叶正弦级数逐项微分再加上l d ( x d 的傅立叶余弦级数。而5 ( x 一7 ) 的傅立叶余弦级数为j “一f ) ：三+ 三争c o s n ”( x - 1 )、77 ，鲁，即砸棚= 拜。s 竽。，给( 2 3 ) 式的右边i j l l d 2 ( 2 4 ) 式的右边与珀q 积，得到，( x ) = 1 。2 2 2 利用对称性简化单傅立叶级数及其导数以下考虑一般情况下，如果函数，( x ) 在区间【o ，z 连续，并且关于x = 具有对称性，则其傅立叶级数可继续简化。把函数，( x ) 展开成傅立叶正弦级数为m ) ：妻i n 军h ：11并g f ( o ) = 口，f ( 1 ) = b ，在对其逐项微分时，会产生口占( x ) ，一b 6 ( x 一，) 。为了得到，7 ( z ) 就必需从其逐项微分中消去这两个函数。8 ( x ) 的傅立叶余弦级数为d ：! + 三争c o s n z ( x + 1 )一il 急i于是可得侧= ；c - a + b ) + 喜c 弓b c o s n z + 争徊s 罕眨动还可以用另外的方法得到( 2 5 ) 式，假设厂协) ：主c o s a n x , ：竿( 。：o ，1 ，2 ，3 ，)( 2 6 )刚_ = 争拟小。s 出西安建筑科技大学硕士论文= ：争f c o s 口n 缈( z )= 争 c o s a 抛) 卜f 似) d c o s 口n x = 争。c o s a , 1 ) 憾( n = 0 , 1 ，2 ，3 ，)其中占。= f 之；行n = o 。把( 2 7 ) 式代入( 2 6 ) 式就的到了( 2 5 ) 式。( a ) 如果函数关于x = 正对称，则m ) = n = 三l3 i n 芋：，铲孚j 5 f 他n 孚鸳因为当n = 0 , 2 ，4 ，时，铲孚f 雕净n 孚彬= o ；叩i n 罕= 。如果，( o ) = d ，7 ( ) = b ，则州= 。瓢3 + 竽c o s 竽h = 1 八x)_。妻【二4。了nza+心,n丁nz)_(,丁nzj23引s i i l 芋月= 1 z二l( b ) 如果函数关于x = 么反对称，则厂( x ) = 至吒c 。s _ n t l xn = 1 ，3 1”孚妒化枷s 孚鸳因为当”= 0 , 2 ，4 ，时，铲手f 彤) c o s 孚咖。c 。s 丁n t d c = 。如果厂( ) = 。，厂( o ) = b ，则( 2 7 )西安建筑科技大学硕士论文= 三3 ( 扣n 竽一竿t s i n 孚 = l - = 蠹【了4 【丁7 7 3心呼_ 6 ) 一( 2 刚c o s 竽n = 】2 3 重傅立叶级数及其偏导数设f ( x ，y ) 在区间x 0 ，a ，y 【o ，b 连续。取其重傅立叶级数为f ( x ，y ) = 厶。s i n o t ，x s i n f l y其中 。，口”c ”m 万a m2 口尾= _ n t gdf ( o ，y ) = s i n f l 。y ；f ( a ，_ y ) = ks i n f l yf ( x ，o ) = c ，s i nc ：。工；f ( x ，6 ) = d ，s i n a 。x( m = 1 , 2 ，3 ，n = 1 , 2 ，3 ，)= 去ff m 枷n c & x s i n f l , , y d x d y吾f 邢功s i n f l y d y ；峥詈f m 枷n f l y d y吾f m ，0 ) s i n 口。础詈r m ，6 ) s i r l o j m x 出用类似与单傅立叶级数相同的方法，假设瓦o f = 萎善月。c 。s d 。x s i n 风y则r 。= i 4 c mff - o o s o y n ；b ，y 出d y= i 4 e mff c o s s i n f t y d f d y= i 4 s mf c o s 0 6 。x s i n f l j ，州盖+ a 。f s i l l a 。x s i n f l y f & d y西安建筑科技大学硕士论文= 鲁f c 。s m 万s i n 成y ，( 吼y ) 一s i n 以y f ( o ，y ) 咖+ o f m 厶鲁 c o s r o t r s i n 属y 厂( 吼y ) 咖】一fs i n 成y f ( o ，y ) 咖) + 厶。= 竺2 ( 6 。c o s m 一日。) + 口。厶。盘故篆= 丕善争( b c o s m ，r - a n m 以 c o s a , x s i n f l , , y同样可以的到茜= 蚤薹 争( d mc o s m r - c , m 厶 s i n a m x c o s 岛y假设j 蚴_ l = 丕萎r 。c 。s c 。s 屏y则五。= i 4 , 8 r a o v nff o f 2c o s ax c o s f l y d x d y= 了4 8 m 6 nff c o s 吣c o s 成川警咖= 等 c o s a x c o s 成y 咎m 。f s i n c r m x c o s 成y 善蚴= _ 4 , 。m r 8 nr c o s 口挪。s 屁y 剞o f 。x = a 协+ 口。 兰 ( d 。c o s 行万一c 。) + 见厶。d一4 8 如, g c o s m r c f c o s & y d f ( 刚卜等f c o s f l y d f ( 吣)+ 口。e 警- ( d 。c o s ”f l f - - c m ) + 鼠：。u西安建筑科技大学硕士论文故= ! 鲁乒c o s m 万 c 。s 成y 厂( q y ) i ；言+ 鼠fs i n 尾y 厂( q _ y ) 咖d d”一兰兰粤c。s岛yf(o，y)】瞻：+成fsin尾yf(o，y协at)帆 争( 如刀：堡尾c o s m z 以一堡屁吒+ 口。【孕( d 。刀一) + 尾厶。口ad：三三生( 6 c o s m r e - a n ) 尾+ 兰拿( d 。玎丌一。) 口。+ 口。以六。a0甜2o x o v善薹已 ( b c o s r n r r - a , , ) f 1 + 争( 如c 。s 万一) 口。+ 尾厶。 c o s l 2 m x c o s 尾y如果函数关于x = ( 或) y = 对称，则以上式子还可以简化。把函数展成余弦傅立叶级数，是作正对称周期延拓，无间断点，所