（控制理论与控制工程专业论文）多级倒立摆的稳定控制.pdf

原创性声明 奉人郑重声明：所呈交的学位论文，足本人在导师的指导下，独 痧进行研究所取得的成果。除文中已注明引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全 意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：盘塑日期：歹口口；j ， 关于学位论文使用授权的声明 本人完全厂解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：壹委导师签名： j 期： 山东大学硕士学位论文 摘要 倒立摆系统是一种多变量、非线性和自然不稳定系统。通常用以检验各种控制方 法，是控制理论中较为理想的试验装置。本论文在阐述了倒立摆系统控制的研究发展 过程和现状之后，在参考文献中已有数学模型的基础上，对一、二级倒立摆的控制进 行r 研究。 对一级倒立摆的控制本文采用了双p i d 、极点配置法、线性二次型最优控制法及 模糊控制法分别设计了控制器，为观察全部参数，还设计r 带状态观测器的极点配置 控制器和线性二次型最优控制器，并分别用m a t l a b 进行了仿真，仿真结果表明控制 效果良好。并可采用p i d 控制将摆稳定在导轨的任意位置。 对二级倒立摆的控制本文采用了极点配置法、线性二次型最优控制法及模糊控制 法分别设计了，控制器，同时也设计了带状态观测器的极点配置控制器和线性：二次型最 优控制器来观察全部参数：对导轨倾斜4 5 度时的二级倒立摆系统也采用极点配置法和 线性二次型最优控制法进行了控制，并分别用m a t l a b 进行了仿真，仿真结果表明控 制效果良好。 第3 页 a b s t r a c t t h ei n v e r t e d p e n d u l u ms y s t e m i sam u l t i v a r i a b l e ，n o n l i n e a ra n dn a t u r ei n s t a b i l i t y s y s t e m i ti sa ni d e a l e x p e r i m e n ts y s t e mo fc o n t r o lt h e o r yb e c a u s ei t i s u s u a l l yu s e dt o r e s e a r c he v e r yc o n t r o lm e t h o d a f t e rc o n c i s e l yi n t r o d u c i n gt h ed e v e l o p m e n ta n dc u l l e n t s i t u a t i o no fi n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mr e s e a r c h ，b a s e do nt h ek n o w nm a t h e m a t i cm o d e l ，t h e c o n t r o lo fs i n g l ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e ma n dd o u b l ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e ma r e r e s e a t c h e d t h i st h e s i su s e sd o u b l ep i dc o n t r o lm e t h o d , p o l ec o n f i g u r a t i o nm e t h o d ，o p t i r e a lc o n t r o l m e t h o da n d 晒c o n t r o lm e t h o dt od e s i g nc o n t r o l l e r sf o rs i n g l ei n v e r t e dp e n d u l u m s y s t e m 、 ra l s od e s i g n st h es t a t eo b s e r v e rf o rp o l ec o n f i g u r a t i o nc o n t r o l l e ra n do p t i m a lc o n t r o l l e rt o o b s e r v ea l lv a r i a b l e s g o o ds i m u l a t i o nr e s u l t sa r eg o tb ym a t l a b b yu s i n gd o u b l ep i e ) c o n t r o lm e t h o d , s i n g l ei n v e r t e dp e n d u l u mc a j lb es t a b i l i z e do n a n y s i t u a t i o no f t h er a i l 1 1 1 i st h e s i su s e sp o l ec o n f i g u r a t i o nm e t h o d , o p t i m a c o n t r o lm e t h o da n d f u z z yc o n t r o l m e t h o dt od e s i g nc o n t r o l l e r sf o rd o u b l ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mi ta l s od e s i g n st h es t a t e o b s e r v e rf o rp o l ec o n f i g u r a t i o nc o n t r o l l e ra n d o p t i m a lc o n t r o l l e rf oo b s e r v ea l lv a r i a b l e s i t c o n t r o l sd o u b l ei n v e r t e dp e n d u l u mo nt h e4 5d e g r e ei n c l i n e d r a i l 蹄u s i n gp o l ec o n f i g u r a t i o n m e t h o da n do p t i m a lc o n t r o lm e t h o dg o o ds i m u l a t i o nr e s u l t so r ea l s og o t b ym a t l a b ， 第4 。页 山东大学硕士学位论文 - _ _ l _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _ _ - _ _ _ _ 一i i _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ - - - _ - 1绪论 1 1 倒立摆系统概述 倒立摆系统就其本身而言，是一个多变量、快速、严重非线性和绝对不稳定系统， 必须采用控制的方法使之稳定。其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过 程中都有广泛用途。控制过程中的许多关键问题，如镇定问题、非线性问题、鲁棒性 问题、随动问题以及跟踪问题等也都可以用倒立摆为例加以研究。倒立摆系统的典型 性在于：作为一个装置，它比较简单而且成本低廉：作为控制对象，它又相当复杂， 只有采取有效的控制方法才能使之成为一个稳定的系统。倒立摆系统通常用来检验控 制策略的效果，是控制理论研究中较为理想的实验装置。 倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行式倒立摆和球平衡式倒立摆；倒立摆 的级数可以是一级、二级、三级乃至多级：倒立摆的运动轨道可以是水平的，还可以 是倾斜的( 这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义) ：控制电机可以是单电机， 也可以是多级电机控制。本文研究的是单电机控制的一、二级倒立栏系统，其结构和 工作原理如图l l 所示。 图1 1倒立摆装置的示意图 倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成。导轨的一 端固定有位置传感器，可以测量出沿导轨运动的小车位移；小车通过轴承连接各级摆 体，并在小车与下摆体、下摆体与上摆体之间的连接处固定有共轴角度传感器，用以 测量各级摆体的角度信号：导轨的另一端固定有直流永磁力矩电机，直流电机通过传 送带驱动小车沿导轨运动，在小车沿导轨左右运动的过程中将力传递到各级摆秆以实 第5 页 妒 山东大学硕士学位论文 现整个系统的平衡。 1 2 倒立摆系统研究的历史与现状 国外对一级倒立摆的研究从六十年代开始。c a n n o n 等人在1 9 6 6 年首次实现了对 一级倒立摆的稳定控制，s m o r i 等人于1 9 7 5 年也完成了对一级倒立摆的稳定控制，采 用的方法是最优控制和状态重构。对二二级倒立摆的研究从七十年代开始。1 9 7 2 年 s t u r g e n 等人采用模拟的方法完成了对二级摆的稳定控制，1 9 7 8 年，f u r u t a 等人采用小 型计算机实现了对二级摆的稳定控制，1 9 8 0 年，他们又完成了二级摆在倾斜轨道上的 稳定控制。 国内对倒立摆系统的研究工作是从八十年代开始的。1 9 8 2 年，西安交通大学完成 了_ 二级倒立摆系统的研制和控制，采用了最优控制和降维观测器，以模拟电路实现。 1 9 8 3 年，国防科技大学完成了一级倒立摆系统的研制和控制。1 9 8 7 年，上海机械学院 完成了一、二级倒立摆系统的研制，采用微机实现控制，并且完成了二级倒立摆在倾 斜轨道上的控制。1 9 9 3 年，北京航空航天大学自控系张明廉等人利用归约规则法设计 了一级倒立摆仿人控制器，并通过p c 一2 8 6 等设备稳定了一级倒立摆，且具有良好的鲁 棒性。 自九十年代初开始，神经网络控制倒立摆得以快速的发展，它以自学习为基础， 用一种全新的概念进行信息处理，如今有许多学者正致力于引用神经网络控制一、二二 级倒立摆的研究。另外还有预测控制与变结构控制方法、模糊控制方法等等，控制理 论的各种方法都可用于倒立摆的控制中。 1 3 论文工作介绍 本论文在吸收了文献1 2 6 1 2 7 已建立的一、二级摆数学模型的基础上，对确定数学模 型的一、二级倒立摆进行了控制。首先将倒立摆系统的非线性模型在平衡点附近进行 近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后利用双p i d 、设计降维 状态观测器、极点配置控制器、最优控制器及模糊控制的方法对一级摆进行了控制， 并且采用p 1 d 控制可使系统平衡时小车处在任意设定位置：用极点配置控制器和最优 控制器及模糊控制的方法对二级摆进行了控制，同时也设计了降维观测器，并且采用 极点配置控制器和最优控制器对导轨倾斜4 5 度角时的系统进行了控制。全文涉及到的 矩阵运算均为m a t l m 3 完成，并用m a t l a b 对各种控制方案进行了相应的仿真。 第6 _ 页 2基于确定数学模型的一级倒立摆的控制 倒立摆的数学模型的建立方法最常用的有两种：分析力学中的l a g r a n g e 方程和 n e w t o n 第二定律。这两种方法在许多文献中已有介绍，如本文的参考文献2 q 和文献2 7 1 ， 故在此不再赘述数学模型的建立过程，而直接引用文献中的结果。 2 1 一级倒立摆的数学模型 得删印l n e j 删”l o , j 删，删= 篡嚣 h 啪，= 卜警护1 g 幢耻朦 其中，各参数的含义及数值如表2 - 1 所示。 上述方程为非线性方程，为使用线性系统理论来处理问题，将上述方程在平衡点 附近作线性化处理，根据对象的实际情况，设系统的平衡点为：，= 口= 0 ，= 咿= 0 ， 且假设导轨中心点为小车位移r = 0 ，小车向左运动为正，向右运动为负，j l j s i n 0 z p ， c o s t 9 * 1 ，且可忽略口项，于是得以下线性化矩阵方程： 叫扣咖小口州一p 剖m l 凡班瞄善。 妒，= 嘲设输坩，啪制器向被控对象提供的控 制电压。选择状态变量为j = ( r 目f 百r ，则有：以j = b t z + c l g o e ，其中， a i = 10 o1 f 00 of o o m + m m l 0 0 ，押， ，+ m 1 2 0010 o001 00 00 0m g i 0 0 c l = 。将状态方程表示为 j = a x + 肋，j ，= n ，则爿= 彳l 一口l ，b = 爿j 一1 c i ，c = 【l t0 0 】，其中，“= g o e ，为旌 加在小车上的力。 由此可见，一级倒立摆实际上是一个单输入多输出的系统。 第- 7 - 页 山东大学硕士学位论文 2 2 一级倒立摆的结构参数 表2 - 1 i 参数 含义数值 m 小车系统的等效质量 1 3 2 8 2 2 k g m 摆质量0 1 7 7 k g l摆重心与小车摆连接轴之间的距离0 2 4 m f o小车与导轨问的摩擦力、电机机械摩擦转矩、皮带轮摩擦转 2 29 1 4 7 n s m 矩归算到小车运动上的等效摩擦系数 f 1 摆与小车之间摩擦力矩的等效摩擦系数 00 0 7 0 5 6 ns m j 摆对其重心的转动惯量 0 0 0 2 4 8 8 k g m 2 g 重力加速度9l 8 nm s 2 g o直流放大器和电机的放大系数1i 8 8 7 k g v 另设导轨长度为一米，因前面假设导轨中间点为0 ，故可认为小车位移范围为0 5 米r 0 5 米。将表中参数代入数学模型中，可得： a = o0 o0 o 一10 2 3 0 3 03 62 4 9 7 2 1 o 1 6 8 1 2 6 8 5 6 31 0 9 3 o 1 o 0 1 7 3 4 一o 6 1 4 4 0 ，b = c 书；翊 2 3 一级摆的可控性与可观性分析 通过计算可控性矩阵的秩，鲫| i 陋a b a 2 ba 3 驯= 4 可知系统完全可控。通过计 r r 算可观性矩阵的秩r a n k c c ac a 2 c a 3 = 4 可知系统完全可观。且系统的特征根 为：0 ，55 2 4 3 ，一5 8 3 6 8 ，1 71 1 4 6 ，说明系统为自不稳定系统，需要采用一定的控制方法使 其稳定。基于平衡点附近的线性化模型，本文首先通过使用经典控制理论中的p d 方 法使摆稳定，并可使小车稳定在任意位置。然后又使用了线性系统理论中的状态反馈 第善页 1jijf纠 。一一 山东大学硕士学位论文 方法使其稳定，分别采用的是极点配置法和设计线性二次型最优控制器的方法达到这 一目的。 2 4 p i d 控制 一级摆可以采用经典控制理论中的p i t ) 控制来实现稳定。但资料中多数是只对摆 角进行了控制，而忽略了对小车位移变化控制。仿真证明，如果只对摆角进行控制， 则在使摆角满足要求时，小车位移有可能会处于发散状态这样的结果显然是不可取 的。本文中对此进行了改进，采取了对小车位移，和摆角护分别进行p i d 控制的方法， 即双p i d 的控制方法，使在摆角满足要求的同时小车位移也处于稳定。其s i m u t i n k 框图如图2 - 1 所示。 图2 - 图2 - 1 中，小车位移，和摆角护的设定值分别为零，即平衡时摆角为0 ，小车位于 导轨中心处，并各自组成了独立的p d 控制回路，最终叠加起来作为控制输入。在初 始状态为。= f o 0 50 o j 时的小车位移，和摆角口的变化曲线如图2 2 、2 3 所示。 图2 - 2 小车位移，变化曲线 图2 - 3 摆角口变化曲线 使用双p i t ) 控制还可以很方便地将小车稳定在导轨的任意位置，只需将图2 - 中 第- 9 项 山东大学硕士学位论文 _ _ - - - _ _ _ _ - - - - _ _ _ _ _ _ - - _ 一i i _ - _ _ - 的小车位移设定值由0 改为需要位置即可。例如想把小车稳定在距中心位置偏左o 3 米处，则将小车位移设定值改为03 后即可，如图2 _ 4 所示的s i m u l i n k 框图，与图2 1 相比，只是小车位移的设定值发生了变化，在初始状态仍为x o = 1 0 o 50 o j 时仿真 运行可得结果如图2 - 5 、2 - 6 所示，由图2 - 5 可看出小车最后稳定在了0 3 米处。 图2 4 图2 - 5 小车位移变化曲线 图2 - 6 摆角变化曲线 2 5 极点配置 虽然系统可控，可以任意进行极点配置。但还要在考虑系统过渡过程性能的基础 上进行选择，使其具有较短的过渡时间同时具有较小的超调量。本文所选极点为：1 o 5 3 ，一5 5 j 。反馈增益矩阵k = 一2 5 9 5 2 - 4 5 3 0 3 1 2 7 6 3 0 1 6 0 4 1 0 。可得到 极点配置后系统的单位阶跃响应如图2 - 7 所示。 第1 0 - 页 山东大学硕士学位论文 图2 7 由图2 7 可见，经极点配置后，在单位阶跃输入作用下，系统的可直接观测参数r 和口处于稳定状态且过渡时间较短。但由于状态变量中的幻阳口不能直接观测到，故需 设计降维状态观测器重构系统的状态，以实现所要求的状态反馈。 2 6 降维状态观测器的设计 根据分离性原理，状态反馈控制规律的设计和状态观测器的设计可以独立地分开 进行。由于2 5 中已经对系统的极点进行了配置，故此处只需再设计状态观测器。 因为一级摆的数学模型是四阶的，而r a n k c = 2 ，故可殴计二维状态观测器。多次仿 真证明，设计状态观测器时特征值的选择不是任意的，如果选择不合适，将会比直接 状态反馈所得到的结果差，有时甚至出现发散现象。文献中给出的一条原则是：使 观测器的特征值负实部是( a - b k ) 特征值负实部的2 3 倍。 设计方法参考文献2 4 1 中的方法，具体过程如下： ， l 一1 6 8 1 2 6 80 0 1 7 3 4 l l0 一l 0 2 3 0 3 l i00 i 1 、引“a 2 2 5 l5 63 1 0 9 3 _ 0 6 1 4 4 0 i ，山”j o3 6 “9 7 2l ，m ”ko j r 10 1 l o1 j 2 、选l ，使( 才z z l 互t z ) 具有期望的极点，经反复实验，取l = 7 i ，此时( 孑z z l 2c 2 ) 的 极点为2 3 8 7 2 3 ，7 5 5 4 3 3 、构造二维状态观测器2 = ( 万2 2 一l 2 l o z + 【( 万2 2 一l i t 2 ) l + ( 万2 l l a u ) l y + ( b 2 一e 雨姐 第1 1 页 山东大学硕士学位论文 眠肚而城- 意啷1 2 6 8 。0 0 1 7 3 4 6 1 4 4 【，氧坜。= 羔4 3 5 3 7 7 4 1 2 1 ，即：f 2 爿2 2 一l 爿”2 i5 6 3 1 0 9 3 7 【，爿2 口2 一l 占12 i 一2 1 ， 阢a 2 2 - 删”) “( m 驰) 2 3 1 9 6 4 6 1 6 7 8 6 8 5 8 1 7 9 0 5 0 1 1 7 1f 。 一一一一 r 一 一o 1 4 、工的重构j = z ：，巧 = 9 一j ，+ q 。( z + 厶r ) ，其中，q t = o o o o 10 o1 故可得带状态观测器的状态反馈控制系统框图如图2 - 8 所示。图中系统的参考输 入为单位阶跃信号，系统的初始状态为而= 【o 0 0 0 】。仿真运行的结果如图2 - 9 至 图2 1 2 所示。 图2 - 8s i m u l i n k 仿真框图 图2 - 9 小车位移变化曲线 图2 1 0 摆角口变化曲线 第1 2 页 = 2 q 1，j 0 1 0 o 1 o o o 图2 - 1 1 小车速度，变化曲线 图2 - 1 2 摆角速度毋变化曲线 2 7 线性二次型最优控制器的设计 在一级摆数控裁中，嚣霹叛惹2 5 中熬辍点酝鬟法浚诗竣态反馕，氇鼍戳羯线毪二 次型最优控制器来完成状态反馈的任务。 由于倒立摆系统是一个嚣线性系统，模型中浆些参数本来就不煽十分准确的，又 加上忽略了一些因素的影响，并且加入了状态观测器，故在最优控制器的设计中，应 蠖溺巧系统瞧稳定禳痘大一麓。本节内客营走设计了不诗疆测器影响熬最键控铡器， 然后再加入观溅器，并霹它们豹鲁棒往遴幸亍了讨论。 2 7 1 照优控制器的设计 一级倒立摆系统的数学模型为：2 ( 0 = 舯f ( f ) + b u ( t ) ，由于我们关心的习i 只是过 渡过程中熬疆袋运季亍，嚣莲羝绫运嚣趋手平簿狻态鬟季夔灏远行走，羧我爨浚诗爱馥控 制嚣为无限时间最优控制器t 亦即令终端时刻t f 斗o o ，敞性能指标为： j = j ；【爿7 ( f ) q y ( f ) + “( t ) r u ( t ) d t ，其中，o 为半难定常值矩阵，r 为旺定的常值矩阵。 我粕豹爨酌是寻求一个最优掩制牡，使j 取极小。文献中已证磷，对于该系统“为 其最侥控锻鸥充分必要条话怒蕊其有形式：h 。( ) = 一k + 羔( f ) ，k = 建。b p ，p 为矩阵黎 卡提代数方程的正定对称解阵：p a + a r p + q p b r 。b 7 p = 0 ，最优轨线工( f ) 为下述 状态方程姻锵：j ( f ) = a x ( f ) + b u + ( 1 ) ，j + ( o ) = x o ，瓶最优性能值为：j = x t p x o ，y x o 0 。 疰l 魏露楚，最绕控钢戆熬浚诗实嚣上是建嚣一令会逶夔矩簿q 翻餮，著摇蘧嚣葵 出矩降黎卡提代数方程中的p ，就可以求出反馈增益f 了。取q = d i a g 5 0 ，5 0 ，0 ，o 】，r = 0 1 第t 3 - 贾 出东大学礤士学位论文 则通过计舞可得：f = - 2 2 3 6 0 6 8 1 3 3 1 7 3 8 0 5 轰5 5 6 8 0 2 1 。5 6 7 8 7 ，此孵，闭 环系统的极点为：一1 6 6 7 4 7 ，7 。7 9 1 0 ，- 09 8 2 9 ，- 4 2 1 7 2 。 初始状态为= 【o 00 0 l 时系统豹单位阶跃响应如图2 - 1 3 所示。 图2 - 1 3 为磅突英番捧毪，浚姆反臻壤蘸辫发生摄魂，交淹一f 述参数： c = 呷3 1 6 2 3 一1 1 6 4 9 7 8 4 2 2 2 0 2 1 & 7 5 2 ，则可得系统的单位阶跃响应如圈 2 1 4 所示。由图可看出，虽然系统的过渡过程时间延长了，但最终仍自达到稳定状态， 即该最傀控制系统具有一定嬲整转牲。 盈2 - 1 4 2 。7 ，2 加入状态窥测瓣的最优控裁 由2 7 1 可知最优控制为：甜( ，) = - k 崔( f ) ，则加入状态观测器的最优控制框 羹一l 舡嚣 出东大学硕士学位论文 圈如图2 - 1 5 所示。 口1 鹜2 i 5 没系绕稠始条髂为x = 琴l0 - 2 5 】时，酃小车初始位置为原点，则可得仿真运 行曲线如图2 1 6 2 1 9 所示。 嚣2 一1 6小车彼移交纯热线 潮2 1 7 。摆惫交豫熬线 图2 - 1 8小车穗艘变化曲线图2 1 9摆角速度变化曲线 虽然由图中可看出，最优控制的效果能达到要求，但就最优控制器的设计过程而 言，所谓的疆优控剖只是“人工”意义下的最优控制。困为它的效黎将完全取决予矩 簿q 褰l 袋懿选取，舞票逸簿不会理，不仅褥不瑟| 好黪控鬟效豢，蓉至会簿密完全浚毒 意义的解，更谈不上最优了。敞矩阵q 和r 的逡激需反复仿真才熊获得。 第1 5 页 出寨大学蘸士学藏论文 2 8 一级摆的模糊控制 2 8 1 一级摆模糊控制懿基本憨想 模糊控制将人的直觉和经验应用到倒立摆的控制中，理论上可以由人的直擞和经 验来确定模糊控制规则，假多次仿真证明，倒立摆的模糊控制规则很难确定。原因在 予，对镄立撩簸任一缭定馥誊，难浚确定用多大酶力来经它稳定，甚至连力靛方囱蘩 无法确定，有些文献中给出了部分模糊规则，但通过仿真发现，熟能控制的摆角范围 鞠受速度变化菠围很小，如文献，只镕将摆角控制在0 o ，3 。0 3 。1 瓤国内。更鲜见有通 避稚分模糊艇蚓能实时控锱级摆酶掇鼯，这是霞为无法确定摆较大范禹移瑟帮焦速 度较大时的所育位置的模糊规则。而如果控制规则不全。系统极谢可能失控。敞模颧 控制中，模糊缎魁的获取怒关键翘题。零文采用了科照参考位置确定模糊规则的方 法。 对于一级倒立摆的任意位置，我们不能确定控制所需的力的大小和方向，但如果 搬摆杼静控制范邂限定在一定区域内，则可以在这个涯域内选定藩于个位置为参考位 燮，并用极点醚置法或最恍控制法计黧滋稳定每个参考位霞所需的力，当揍链子该控 制区域内的任位置时，槐可以用这一位置附近的所肖参考位置米估算出该位鬣所需 数控翻力。 由于倒立摆的控制目静跫在保证攥符的垂直，谣辩小车其体位置的要求不离，量， 其数学模型的结构参数也a i 含，和f 项，而只含有口和日项，故选参考位置时，只考虑目 藏 4 9 ，舔不考虑r 帮 ，获褥凝少了参考经誊熬数量。毽登须遁避蛰粪绦证夸车经移在 规定范围内，否则模糊规则需修改。 一级倒囊摆麴控制范漏萄摄据实繇鬟要瑟定，本文中选夯；1 0 。茎毋十1 0 。， 一2 0 r a d s 毋董+ 2 0 t a d s ，则可以确定参考位置为：p = f 1 0 ，5 ，0 ，5 ，o 】； a = - 2 0 ，1 0 ，0 ，1 0 ，2 0 1 。由此可觅，每个参数在控铡范围内选融个参考位嚣，二个 参数拧和挣的参考位置的摊剿组合共有5 5 = 2 5 个参考位置，每个参考位置对赢一条模 糊规则，一熬肖2 5 条模糊规则。实际控制范围越大，参考位置也越多模糊规则的数 壤氇越多。荚澎式惫：“琢摆链手参考谯鬟x ，t h e n 稳定搓酝爨靛状态反馈臻必。” 第1 6 - 页 山东大学硕士学位论文 对每一个位置求出其极点配置或最优控制的状态反馈阵k ，这对计算机来泷，是一个 很大的工作量，这成为该算法是否能应用于实际，满足实时控制的主要问题。考虑到 某一时刻若摆的位置x 为：【# ，1 ，2 】，其中，# 表示任意数值，则8 = 1 ，其附近的参考 位置是0 和5 ，口= - 2 ，其附近的参考位置是0 和1 0 ，即位置x 的参考位置就是这两个 参数的排列组合，为四个，分别是群 o ，# ，一1 0 ，【# ，0 ，o l ，【# ，5 ，- i o ，碍，5 搿，o 】如果某 些时刻的摆位置x 恰好等于该参数的参考位置，则该参数的参考位置就唯一了，这样 一来，x 的参考位置将最多为四个，最少为一个。而问题也就转变成了如何在判断出x 附近的所有参考位鼍后，通过参考位置对应的模糊规则，采用模糊规则合成方法求出 x 位置的状态反馈阵k ，从而确定相应的控制力。规则数的减少使该方法的实时控制 成为可能。 模糊控制算法如下： 1 、判断出一级摆当前位置x ，并求出x 附近的所有参考位置； 2 、计算这些参考位置的状态反馈阵( 最多为四个，至少为一个) ，按一定的 方法进行模糊合成运算求出当前位置的状态反馈阵k ； 3 、输出控制量1 2 = 一k x a 2 8 2 一级摆模糊控制的仿真 模糊控制定义了三个不同阶段：一是模糊化阶段，即定义输入输出变量的模糊集： 二是模糊推理阶段，即建立模糊规则，这些规则能根据偏差和它的变化得出控制信号 的值；三是解模糊阶段，即根据推理阶段得到的值计算实际的输出值。 一级倒立摆模糊控制器有四个输入：r 、口、p 和毋，一个控制输出“。其s i m u l i n k 模型如图2 2 0 所示。 由于口实际上无法直接观测到，故图2 - 2 0 中模糊控制器的输入使用的状态观测器 ： 的对口的状态估计日，参考位置的状态反馈阵采用最优控制的方法确定，并利用 m a x - m i n 法确定任意位置x 所对应的状态反馈阵k 。采用最优控制时，取 0 2 d i a g 5 0 5 00 0 j ，r = 0 1 。仿真时由于规则较多，建立的是s u g e n o 模型，输入 第17 - 页 出东大学硕士学位论文 模糊集分粼定义为：n l 、n s 、0 、p s 、p m ，采鼹 g a u s s m f 法定义隶麟缀数；输舞变虽 取l i n e a f t 即使用这种方法计嚣。k _ ) ( 。在初始状态沟x 。= 【0 1 0 2 】时的系统的反应 曲线如图2 2 1 至图2 2 4 所示。 图2 2 0 瀚2 - 2 1 小车缆鬣变纯曲线麓2 - 2 2 。摆角变化麴缝 图2 2 3 小车速度变化曲线圈2 - 2 4摆角速度交化黼线 2 9 小结 本帮强瓣一缓摆数学模戮在乎糕点辫近线性能靛基础上，分别讨论了p i d 方法、 稷点酝燹浚移最霞控嚣法褪藏鹣浚态反绩激及模襁靛澍对一缀摆静控镪，其中p i d 方 法进行了改进，为保证小车佼移在规定范围内采用双p i d 方法分剐对摆角和位移进 行了控制，使小车在稳定的同时，位移在规定范潲内，故参数的整定较为繁琐，需反 纂1 8 - 页 山东大学硕士学位论文 复仿真试验以取得较好的组合；而极点配置法和最优控制法中极点和o 、r 矩阵的选 择“人为”性很强，如果选择不合适，将得不到较好的控制效果，故也需反复仿真试 验，取得较合适的值或矩阵。另外后两种方法都对线性化后的模型依赖性较强，虽然 具有一定的鲁棒性，在模型参数发生一定变化时，有时还能保持控制的稳定，但其过 渡过程已明显发生了变化，如果摆角偏离平衡位置较大则模型变化明显时，所采用 的状态反馈可能会出现发散现象，故控制的范围只能限制在平衡位置附近。而p i d 控 制则能控制较大范围的摆角变化，且对模型的依赖性不是很强，参数也可以在一定范 围内变化，但需注意诸多参数之间的相互关联。 设计模糊控制器时，为减少模糊规则的数量，采用了利用参考位置确定模糊规则 的新方法。虽然被控对象用的也是平衡点附近的线性化模型，但由于其状态反馈矩阵 是按不同位置的不同模型而取，故实际上对模型的依赖性也不是很强，故其控制的范 围要大得多。但如果范围取得较大，则相应的为保证控制精度模糊集划分得就多， 即参考位置增加，势必增加计算量影响控制的实时性。但对于非线性系统而言，模 糊控制因为它对模型的依赖性较小而仍不失为一种可选择的控制方法。 第1 9 - 页 3基予确定数学模型的二缀倒立摆麴控制 本章将延续上章的方法，对二级侧立摆的控制谶行讨论。 3 1 二级倒立摆的数学模型 由文献f 獬褥二缀缓立摆数学模爨淹： 榭奴，岛) f | 谚，如，嫉，0 2 m + m l + m 2 姒i + 膨：是) c o s 珐 l i捣岛c o s 0 2 + m = t , ) c o s 0 1 奴+ 掰l 2 + 鸲曩2 掰2 t 毛c o s 奴一琏； 峨如0 0 5 如l 捣毳如媲：建) l 协+ 辫：毛2 ；j 。，i m 2 z o s m o , - 只一m ：? 2 墨f 2一m ，l 2s i n ( 。厶ts i n 穗一最) - 谚一呸 l 。 l 竣x = 壤 破文 ，爨系绞麴姨态方 程为：膏= 哆x，其中， 。= 【o o ，、均为3 阵。 ，挠= r 3 篆 选取平衡点位鼍为：r = 曾t = 口：= ，p = 反= 毋2 = ，此时近似裔： = 口， = 1 ， 可得近似线性化方程为： f 。十 t 帆o ，啦l 胁嬲幽 f c 。，。，。，。牲 + c 。，。) 三 = l ：j e ，毒s c - ， 2 l +l f ，l + m l 22 第- 2 m 页 中其 窖 ，；j g o o _。，。，：l i 、，；， ，反& ruj；l 黻伊 ，l + 1，；，；， ，壤受 rj0i璞，l + 1，lll；，；， -最谚 r，ul，；，；l 最，i t f知 、 以娩以饵 5 | 分磊 、，j k 。l = 4 十 1；j f 一矾如 rjuq，il o m ：如舶兰洲 山东大学硕士学位论文 f00 一( 0 ，0 ，0 ，0 ) = l 0f + l + f 。2 0一，r 2 n ( 0 ，o ) = 其中，各参数的含义及数值见表3 - l 。 3 2 二级倒立摆的结构参数 二级摆的结构参数如表3 1 所示。 表3 - 1 将上述参数代入到数学模型中，得二级摆的线性化模型为 oo 0o 0 0 o 一2 7 3 3 0 9 04 50 9 9 5 4 o 一5 69 3 5 5 8 o 0 o o 1 6 4 0 8 一l ，1 8 0 1 9 5 n 1 9 8 5 9 一1 6 6 6 7 4 3 4 0 3 1 6 7 8 9 0 7 8 1 9 o 0 1 8 1 2 0 3 7 8 6 6 o 6 7 6 3 1 第2 1 页 0 0 m 2 9 i 2 0 0 0 5 7 0 o 1 7 3 8 0 0 4 1 7 6 9 k 正 o m 0 ，m ( 一一 1i叫，j 0 f n 参数含义数值 m o 小车系统的等效质量 13 2 8 2 2 k g m i下摆质量 o 2 2 k m 2上摆质量 0 1 8 7 k g l l下摆连接小车的轴心到上摆连接上摆的轴心之间的距离 0 4 9 m 1 1下摆重心与小车下摆连接轴之间的距离 0 3 0 4 m 1 2上摆重心与下摆上摆连接轴之间的距离 0 2 2 6 m f 0 小车与导轨间摩擦力、电机机械摩擦转矩、皮带轮摩擦转 2 2 9j 4 7 n s m 矩归算到小车运动上的等效摩擦系数 f l 下摆与小车之间摩擦力矩的等效摩擦系数 0 0 0 7 0 5 6ns ，m f 2 上摆与下摆之间摩擦力矩的等效摩擦系数 00 0 2 6 4 6 n “m j l 下摆对其重心的转动惯量0 0 0 4 9 6 2 6 k g m 2 j 2 上摆对其重心的转动惯量 0 0 0 4 8 2 3 5 k g t o 。 g o 喜流放大器和电机的放大系数 1 1 8 8 7 n v g重力加速度 9 8 m s 2 0 0 1 0 1 o l o o 山东大学硕士学位论文 b = o o o 07 2 7 3 7 1 7 5 9 4 3 03 9 6 】7 1 0 0 0 0 0 c = lo 1o oo o l 。 l o o1o o o j 3 3 二级倒立摆的可控可观性分析 通过计算可控性矩阵的秩朋础旧a b a 2 ba3 ba 4 ba 5 口j = 6 ，可知系统完 全可控。通过计算可观性矩阵的秩聊艟 c c a c a 2 c a 3 c a 4c a5 r = 6 ，可知系 统完全可观。且系统的特征根为：0 , - 1 7 2 1 1 8 ，8 2 9 1 4 ，3 9 3 8 2 ，一8 7 0 2 4 ，3 7 7 9 1 ，说明系统 为自不稳定系统，需要采用一定的控制方法使其稳定。和一级摆的控制一样，也分别 采用极点配置法和设计线性二次型最优控制器的方法使其稳定。但由于状态变量中的， 和鼠、0 2 不能直接观测到，故也设计了降维状态观测器。 3 4 极点配置 对二级摆的控制，本文所选极点为：1 o 5 j ，一5 _ + 5 3 ，一1 0 l o j 。可得反馈增益 矩阵k = 1 5 4 9 7 0 1 2 6 63 9 2 9 84 6 6 4 1 5 6 66 7 2 5 4 29 2 8 9 2 9 6 5 5 9 8 0 8 】。且可得到 极点配置后初始状态为= f o 00 0 0 o 】时系统的单位阶跃响应如图3 - 1 所示。 图3 - 1 由图3 1 可见，经极点配置后，在单位阶跃输入作用下，系统的可直接观测参数， 第- 2 2 - 页 山东大学硕士学位论文 和0 ，、0 。处于稳定状态且过渡时间较短。为了能观测到和口、p ：，f 面再在极点配 置的基础 ：殴汁状态观测嚣。 3 5 降维状态观测器的设计 因为二级摆的数学模型是六阶的，而r a n k c = 3 ，故可设计三维状态观测器。设计方 法参考文献中的方法一，具体过程如下： l 1 6 6 6 7 4 3 0 0 1 8 1 20 0 0 5 7 0l l0 2 7 3 3 0 90 、1 6 4 0 8 1 、已矢口a2 2 = 4 0 3 1 6 7 80 3 7 8 6 6 01 7 3 8 0i a2 1 = l04 50 9 9 5 4 1 5 1 8 0 1 9 1 9 0 7 8 1 9 0 6 7 6 3 1 0 4 1 7 6 9 10 5 6 9 3 5 5 8 5 0 1 9 8 5 9 0 0 0 11 0 0 五】= i0 0 0e ，五2 = 1 0 10i ： 1 0 0 0 jl o 0 l j 2 、选l ，使( 万z z l 万t ：) 具有期望的极点，经反复实验，取l = 7 i ，此时( 孑z z l 万- ：) 的 f _ 2 3 6 6 7 4 0 0 1 8 10 0 0 5 70 7 2 7 3 7i f = a 2 2 一翻t 2 = 1 4 03 1 6 8 73 7 8 70 1 7 3 8l ，h = 日2 一l b i = | _ 1 7 5 9 4 3 i ， i 一9 0 7 8 2 0 6 7 6 3 7 4 1 7 7 f03 9 6 1 7f 一一 一 一1 6 5 6 7 2 0 一2 - 6 0 6 2o1 2 4 2 i 一6 35 4 7 3 5 2 2 0 1 4 1 7 2 5 2l 。鲋= z 翻劬一z 俐谢，舻 10 01 0 0 0o 0 o o 0 ，9 2 = 0o 0 0 00 1 0 0l o 0 可得带状态观测器的状态反馈控制系统框图如图3 2 所示。图中系统的参考输入 为单位阶跃信号，初始状态为= f o 0 0 0 0 o 】时仿真运行的结果如图3 - 3 至图 3 8 所示。 第2 3 页 山东大学硕士学位论文 。丫l 警弹掣l 图3 2 图3 3 小车位移变化曲线图3 4 下摆角度只变化曲线 图3 - 5 上摆角度口z 变化曲线图3 - 6 小车速度，变化曲线 图3 - 7 下摆角速度哦变化曲线图3 8 上摆角速度幺变化曲线 第2 4 页 3 6 线性二次型最优控制器的设计 和一级摆的控制一样，对二级摆的控制也是既可以用3 4 中的极点配置法设计状态 反馈，迄可以怒线性二：次溅最优控制器来宠戏姨态反馈鲍任务。 3 。6 1 最饶控制器鹩设计 一：级摆的控制中t 取q = d i a g 5 0 ，5 0 ，5 0 ，0 ，0 ，o l ，r = 0 、1 ，则通过计算可得： 戤= 2 2 3 6 0 6 8 3 4 7 8 7 4 9 75 9 2 t 9 5 3 5 11 8 6 2 5 4 91 3 0 3 3 0 78 2 2 1 5 章此时，阙环 系绫瓣极蠢尧：一1 6 。9 1 7 3 ，- ；t o 0 7 8 6 ，蠢1 0 4 l + _ _ 0 6 3 4 8 j ，。0 9 8 9 9 ，- 2 8 3 7 3 。 系统初始状态为x 。= 【o 0 00 0 o 】时的单位酴跃响成如图3 - 9 所示。 渴3 - 9 为研究其鲁棒性，设将反馈增益阵发生摄动，变为下述参数： f = 3 1 6 2 3 - 3 4 6 2 4 4 85 2 8 9 2 9 32 6 5 7 2 4 - 4 0 7 07 7 2 11 ，爨霹缮系统静擎使除 跃桶应翔强3 一1 0 繇示。巍圈碍看密，虽然系统熬过渡过程麓阐筵长了，超谲釜逛煺麴 了，但最终仍能达到稳定状态，即该最优控制系统具有一定的镶棒性。 葵- 2 5 ，燹 出东大学硕士学位论文 嚣3 1 0 3 6 2 加入状态观测器的最优控涮 一 和一级摆的控制一样，二二级摆加入状态观测器的最优控制框图如图3 - 11 所示。设 系统初始条件为= 【o 00 20 0 o j 对，则可得仿真运行曲线如图3 - 1 2 3 1 7 所 苯。 | 1 鲁逸婴| 图3 1 1 图3 1 2 小车僚移变化曲线圈3 1 3下摆角度变化曲线 第2 6 甄 山东大学硕士学位论文 图3 - 1 4上摆角度变化曲线图3 1 5小车速度变化曲线 图3 1 6f 摆角速度变化曲线 图3 1 7 上摆角速度变化曲线 3 7 二级摆的模糊控制 3 7 1 二级摆模糊控制的基本思想 我们同样可以把二级摆摆杆的控制范围限定在一定区域内，并在这个区域内选定 若干个位置为参考位置，用极点配置法或最优控制法计算出稳定每个参考位置所需的 力，当摆处于该控制区域内的任一位置时，用这一位置附近的所有参考位置来估算出 该位置所需的控制力。 对二级摆的模糊控制同样不考虑小车具体位置，因其数学模型的