（电磁场与微波技术专业论文）大型多枝区域上电磁场边值问题的投影分解算法.pdf

摘要 大型多枝区域上电磁场边值问题的投影分解算法 博士生：孙连友 导师：洪伟教授 ( 东南大学无线电工程系毫米波国家重点实验室计算电磁学研究中心) 摘要 随着信息科学的发展，计算电磁学在目标识别、成像、高速集成电路信号完整性分析、 移动通信中的电波预测与信道估计、复杂微波毫米波电路设计等领域起着越来越重要的作 用，因此数值求解电磁场边值问题也愈来愈受到人们的重视。本文针对一类特殊的大型多 枝复杂区域上电磁场边值问题的快速解法开展了一些研究，主要工作可概括为如下三个方 面。 1 ) 将区域分解法应用于h e l m h o t z 方程时会受到边界条件的限制，一般仅在透射边界 条件下才有收敛性保证。那么，如何既能保持分区算法的优点又不受边界条件的制约就成 了大家关心的问题。为此本文提出了投影分解法、多空间投影分解法和快速投影分解法解 决了这一难题。投影分解法也是一种分区算法，它不受边界条件的制约，并对多枝区域及 枝区域上还有小枝的情形更为有效，且分区也更为灵活，一条直线段也可以当作一个区域 来处理。论文还进一步讨论了投影分解法的收敛速度、收敛特点及快速投影分解法的最优 参数选取，证明了其收敛速度和区域分解法相一致，都是几何的。当枝区域与干区域的连 接口越小时，算法的收敛速度反而越快，这一点与区域分解法正好相反。本文所设计的多 参数快速投影分解法大大加快了算法的收敛速度，更为实用的是，最优参数可以自动求得。 通过在实际的电磁场边值问题上的应用，验证了上述结论。 2 ) 在应用区域分解法时，如果是非重叠型的，就有选择参数的困难；如果是重叠型 的，又有判定收敛速度的问题。为此，论文通过分析非重叠型和重叠型区域分解法之间的 关系，证明了在一定条件下如果非重叠型区域分解法收敛，则相应的重叠型区域分解法也 收敛，且收敛速度是几何的。即能用非重叠型区域分解法则必可以用重叠型区域分解法， 此时既没有参数选择也不必进行收敛速度的判定。并且还把区域分解法与投影分解法进行 了比较，结果表明，它们的收敛速度和形式是一致的。 3 ) 研究了无界区域上静场计算问题。常用的方法都要将无界区域截断为有界区域， 再在截断边界上给出截断边界条件。虽然有很多相关结果，但都各有优点和不足之处。为 了避免截断边界问题，本文提出了无界元方法。该方法通过将区域剖分为有限个无界元和 有界元，然后构造有限维的无界元函数空间来逼近解函数所在的无限维函数空间，从而获 得问题的数值解。将该方法应用于静场的极端情况仍然取得了非常好的效果。 关键词：投影分解法；区域分解法：无界元方法 垒里! ! 苎垡篓! ! ! ! ! ! ! ! ! 些! ! ! ! 望! 翌! ! ! ! 璺! 坐! ! 竺! 型! ! ：! ! ! 坚! d e c o m p o s i t i o np r o j e c t i v em e t h o d f o r e l e c t r o m a g n e t i c f i e l db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s o nl a r g em u l t i - b r a n c hd o m a i n s p h ，dc a u d i d a t e ：s u n l i a n y o u s u p e r v i s o r ：p r o f h o n g w e i ( c e n t e rf o rc o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c s ，s a t ek e y l a b o f m i l l i m t e rw a v e s d e p t o f r a d i oe n g i n e e r i n g ，s o u t h e a s tu n i v e r s i t y ) a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , c o m p u t a t i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c s b e c o m e sm o r ea n dm o r e i m p o r t a n t i n s i g n a li n t e g r a t y a n a l y s i s o f h i g h s p e e di n t e g r a t e dc i r c u i t s ，p r e d i c t i o no f r a d i ow a v ef o rm o b i l ec o m m u n i c a t i o n s ，d e s i g n o fm i c r o w a v ea n dm i l l i m e t e rw a v ec i r c u i t s ，o b j e c td i s c r i m i n a t i o na n di m a g i n ge t c ，t h u s p e o p l ep a i dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o nt ot h en u m e r i c a lm e t h o d s f o rs o l v i n ge l e c t r o m a g n e t i c f i e l d 伍m f ) b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( b v p ) t h i sd i s s e r t a t i o n i sf o c u s e do nt h ef a s t a l g o r i t h m s f o rak i n do fs p e c i a le m fb v p sw h i c ha r ed e f i n e do nl a r g em u l t i b r a n c h d o m a i n s ，a n dt h ec o n t r i b u t i o n sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s f i r s t l y , t h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s ( d d v 1 ) c a nb eu s e dt o s o l v eh e l m h o l t z e q u a t i o n so n l yw i t ht h et r a n s m i s s i o nb o u n d a r yc o n d i t i o n s i no r d e rt os o l v eo t h e rk i n d so f h e l m h o l t zb v p sw i t hs p l i t t i n gd o m a i nm e t h o d s ，t h ed e c o m p o s i t i o np r o j e c t i v em e t h o d s f d p m ) a r ep r e s e n t e di nt h ed i s s e r t a t i o n d p mi sy e tad o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，a n d s u i t st o a n yk i n do fb o u n d a r yc o n d i t i o n s o fe l e c t r o m a g n e t i cf i e l dp r o b l e m si t sd o m a i n d e c o m p o s i t i o ni sv e r yc o n v e n i e n t s o m e t i m e sas e g m e n to fl i n e c a na l s ob et r e a t e da sa d o m a i n d p mi sa l s og r e a t l ye 蚯c i a n tt ot h ep r o b l e m sw i t hm u l t i - b r a n c hd o m a i n s 1 1 h i s d i s s e r t a t i o ns h o w s t h a t t h e c o n v e r g e n c er a t i oo f d p m i sg e o m e t r i c a l ，t h es a m eas d d m f u r t h e r m o r ei tw i l lb em o r ee f f e c t i v ew h e nt h ea d j o i n i n gb o r d e r sb e t w e e ns u b d o m a i n sa r e s h o r ta m u l t i - p a r a m e t e r sd p m i sa l s od e s i g n e di nt h i sp a p e r , i t sc o n v e r g e n c er a t i ow a s g r e a t l yi m p r o v e dp r a c t i c a l l y , t h eo p t i m a lp a r a m e t e r v a l u e sc a nb eo b t a i n e db yt h ea l g o r i t h m a u t o m a t i c a l l y n u m e r i c a lr e s u l t sv e r i f i e dt h ea b o v e c o n c l u s i o n s s e c o n d l y , t h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h eo v e r l a p p i n ga n dn o n o v e r l a p p i n gd d mi s i n v e s t i g a t e di n t h ed i s s e r t a t i o n i ti ss h o w nt h a tt h eo v e r l a p p i n gd d m c a nc o n v e r g eb y g e o m e t r i c a lr a t i ow i t hs o m eh y p o t h e s i si fn o n - o v e r l a p p i n gd d mc o n v e r g e s i na d d i t i o n ，t h e r e l a t i o n sb e t w e e nd d ma n dd p ma r ea l s oa n a l y z e d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e i rc o n v e r g e n c e r a t i o sa n dm o d a l i t i e sa r eu n i f o r m f i n a l l y , au n b o u n d e de l e m e n tm e t h o di sp r e s e n t e d f o rc o m p u t i n gt h es t a t i cf i e l d p r o b l e m sd e f i n e do nb o u n d l e s sd o m a i n s t h i sm e t h o da v o i d st h et r u n c a t e db o u n d a r i e sa n d c o n d i t i o n s n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o di sv e r ye 国c i e n ta n da c c u r a t e k e yw o r d s ：d e c o m p o s i t i o np r o j e c t i v em e t h o d ；d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o & u n b o u n d e dd e m e n tm e t h o d 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所照交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标淀和致谢的地方外，论文中不包含其他人融经发 表或撰写过静研究成果，也不包禽为获褥东南大学或其它教育规搀妁学位或证书灏使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 莠表示了落 意。 研究生签名：盘丛豳寸手芝a 豳期：巡1 。 东囊大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家丽书馆有权保留本人所遴交学位论文的 复印 牛亵电子文撼，可以采用影印、缩印戏其他复制手段保存论文。本人电子文樾的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被磷阅和借阅，可 以公布( 包螽翻黧) 论文豹全部域罄势痰容。论文豹公布( 包括铡登) 授权东枣大学歪嚣 究生院办理。 研究生签名：孑遗五导师签名：鳐 鼹；猫参，z 绪论 绪论 自1 8 5 5 年到1 8 6 5 年，英国伟大的物理学家m a x w e l l ( 1 9 3 1 1 8 7 9 ) 先后发表了关于电磁 学的三篇著名论文】f 【”，即论f a r a d a y 力线、论物理力线和电磁场的动力学理论， 从而奠定了电磁场理论的基础，并建立了著名的m a x w e l l 方程组。随着对电磁理论及其应 用技术的研究，迎来了以电气化和无线电通讯为标志的第二次技术革命”j 。电磁技术已经 应用到了生活中的各个方面，如雷达、导航、射电天文、通讯【5j - i ”、医学成像p j 【、遥感等。 由于电磁技术的应用越来越广泛，电磁场问题也变得越来越复杂，其求解也越来越困难， 那些简单的解析方法已经无法满足求解复杂电磁问题的需要。自上世纪6 0 年代以来，由于 电子计算机的出现和迅速发展，涌现出了大量的求解微分方程的数值方法【】0 】_ ”】，并且根据 电磁问题的特殊性提出了不少适合求解电磁场问题的数值方法和专门技术。但随着应用技 术的快速发展，要求解的电磁场问题所在区域越来越大，结构也越来越复杂，因而需要研 究新的数值方法来解决不断涌现出来的新问题。 1 研究背景 m a x w e l l 方程组宏观地描述了电磁场的变化规律”9 】【“j ，但在求解不同的电磁场问题时 并不总是采用这一方程组形式，因为对于特殊问题可以简化或转化为更简单、更易于数值 求解的方程形式，如积分形式、微分形式、变分形式等等。针对不同的方程形式，一般所 用的数值方法也不同。另一方面，电磁问题所在区域的形状也可能多种多样，如规则的矩 形、圆形、球形区域或者是这些区域的复杂组合，曲边区域，还有复杂超大型区域或者是 无界区域等等。针对不同特点的区域，数值方法也会有所不同。再者，方程的形式有时和 区域的形状是关联的，如在矩形、圆形和球形区域上一般分别采用直角坐标系、柱坐标系 和球坐标系下的方程形式。也就是说此时的数值方法要同时兼顾方程和区域的特点。 首先，针对方程形式的数值方法，一般是指不受区域形状制约或者区域比较规则时的 方法。这些方法又可以分为两类，一类是微分算子逼近方法，最典型的就是差分法，用差 商算子来替代微分算子，如时域有限差分法口5 1 。 ”i ( f d t d ) 、频域有限差分法【2 4 】【3 2 i ( f d f d ) 、 直线法”i ( m o l ) 等。另一类是函数逼近方法，如模式展开法 3 5 1 、有限元法“”i ( f e m ) 、 矩量法。( m o m ) 、边界元法( b e m ) 、边界积分方程法【“1 ( b i e ) 、谱域g a l e r k i n 方法【4 7 】 等。这类方法的特点是必须构造一个有限维的函数空间来逼近问题解函数所在的无限维函 数空间，并将解函数表示成有限维函数空间中基函数的线性组合，然后根据边界条件及方 程求得组合系数即得问题的近似解。此时的方程形式一般为积分形式或变分形式。 其次，针对复杂区域的数值方法有三角网的差分方法【】、有限元法”q ”、区域分解法 【5 2 】。【b o 】、无限元方法、截断边界方法【8 2 】一【9 ”等等。 东南大学博士学位论文 另外，还有一些是专门针对区域边界的数值方法，如物理光学法、几何绕射理论、粗糙 表面电磁散射特性的一些分析方法等。 当然，上述方法并不是完全孤立的，很多方法可以混合使用。如多水平方法【9 5 】i 【”1 ，它 既考虑方程的特点，也兼顾区域的要求。类似的方法有很多，它们不仅顾及到方程和区域特 点，还进一步考虑到精度、效率等方方面面。如并行算法与有限元、区域分解法及预处理方 法相结合，就可以得到更为高效的计算方法【9 8 】【9 ”。 2 本课题研究现状 求解实际的电磁场问题时，对于大型复杂区域，离散后会产生非常多的网格节点，相应 的未知量个数也就非常多，无论是存储还是求解都极为困难。针对这种由区域引起的问题， 已经有了很多有效的数值方法，如快速多极子法、区域分解法【8 0 】等。区域分解法的思想 是，将原问题所在的大型区域分成若干个小型的予区域，然后将原问题转化为若干个小问题 来求解。很显然，子区域的边界与原来大区域的边界不会完全重合，那么小问题在子区域边 界上的边界条件就无法完全给定，因而该方法不可能一次获得原问题的解，需要多次迭代才 行。不难看到，该方法有两方面的问题需要讨论：( 1 ) 区域如何剖分；( 2 ) 迭代解是否收敛 及收敛速度如何。 首先来讨论第一个问题，区域的剖分一般可分为重叠型和非重叠型两种。不同的剖分方 式导致的求解方法也不同。如非重叠型区域剖分，此时在两个相邻的子区域上必须是一个为 d i f i c h l e t 问题，另一个为n e u m a n n 问题，所以也叫d - n 交替法。当然如果是有内交点的非 重叠型区域剖分，情况就要复杂得多。另一种是重叠型区域剖分，其中任何两个相邻予区域 都是相互重叠的，此时所有的子区域上的问题都可以表示为d i f i c h l e t 问题，求解也比较简单。 但这些与问题( 2 ) 相比，还不是区域分解方法的关键所在。 其次，收敛性问题就很复杂了，这主要由定解问题的条件所决定，有时与区域的分解情 况及参数的选取也有关系。例如下面二阶椭圆型方程的d i r i c h l e t 问题 脍g 书2 舻，篆 i “=在a q 上 其中q 是月2 中的有界区域，a q 是q 的边界且是分片光滑的，a 。20 ( q ) 。该问题既可以 j j 非重叠型也可以用重叠型区域分解方法求解。如果采用非重叠型区域分解法( d _ n 交替法) ， 则收敛性由迭代过程中所选取的参数决定，但若收敛必以几何速度收敛。不过使用该方法的 晟大困难就是如何选择到合适的参数使得算法收敛j 如粟采用重叠型区域分解法( s c b w a r z 交替法) ，则也是收敛的，但会不会有几何的收敛速度呢? 这又与子区域的剖分有关，若剖 分的子区域能满足一定的条件就可以判定其是否有几何的收敛速度 7 0 1 。综上所述，非重叠 型区域分解法有选择参数的问题，而重叠型区域分解法又有判定收敛速度的问题。 绪论 当a 。 0 ( q ) 时，问题( i ) 再依照上述方法求解t 就没有收敛性保证了。因为此时算子 不再是正的。为了能利用区域分解法的优点来解决大型电磁场边值问题，b d e s p r e s 7 咿2 1 讨 论了a 。 2 ，得 一笠! 笠! f 丝二堂一丝二生 一笙! 笠! f 苎丑一! ! 二垫1 h x l + 风2lt 2h x lj h 一十h y 2lh y 2h y j 搿华铲- 砝7 “- 己- j “o 如果是正方形网格，即吃i = 以2 = h ，1 = h ，2 = h ，此时差分方程( 2 5 ) 就简化为 ( 4 h 2 k 2 ) “o 一“l 一“2 一屿“4 = h 2 f o ( 2 5 ) ( 26 ) 对于上述的差分方程式( 2 5 ) 和式( 26 ) 也可以由积分插值方法导出。式( 24 ) - ( 26 ) - - 删 五点差分格式。 东南大学博士学位论文 2 2 2 极坐标下的差分方程 如果求解区域为圆形域、环形域或扇形域，则采用极坐标系下的微分方程更方便。此 时方程( 2 2 ) 1 拘i 形式为 一三旦f ，罢 一1 1 丽0 2 u 一七2 u = (2刀o rr i 加jr 2a 臼2 “ 。 ” 其中r = x 2 + y 2 ，t g o = y x f 面给出环形区域q = ( r ，o ) i a r b ，o s 0 2 1 r 上关于变量r ，仔分别取等步长 廿，a o 时的差分方程。如图2 - 7 所示，( r o ，岛) 表示节点0 的极坐标a 在极坐标系( r ，0 ) 中 图2 - 7 实际上是一个矩形区域中的直网格，其网格生成方法和直角坐标系中的直网格一样。 、y j 篇蕊。 熄裂x 7 义 图2 7 环形区域中的极坐标网格 在节点o ( ，0 0 ) 用中心差商公式得 ( 净孰磅绁逝考必 仁s ， ( 丙1o 刊2 u ) 。，专等产 亿9 ， 第二章大型及多枝区域上h e l m h o l t z 方程的投影分解算法 将式( 2 8 ) 和式( 2 9 ) 代入方程( 2 7 ) ，得 一去虹地坚笋虹哒一专垡产+ k 2 u o = f o a a ( 2 1 0 ) n 、rr ： 甘 该差分方程也可以由积分插值法导出。 2 2 3 共形网格下的差分方程 对于凸曲边形柱体，在计算二维区域的散射场时，采用共形网格8 】唧非常方便有效。不 仅最大程度地减少了计算区域，而且吸收边界条件也易于应用，如图2 _ 8 所示。根据共形网 格的生成方法，柱体表面边界f l 必须是c 1 光滑曲线。但实际问题很难满足，此时一般要将 r 1 作适当近似，使其成为c 1 光滑曲线。 在图2 - 8 的网格下，通过积分插值的方法也可以得到个五点差分格式，具体演算和推 导过程参见文献【8 】。 生成差分方程还有一些其它方法，如直网格下的奇异卷积法【”】，三角网格下的积分插值 法f q 等等。 图2 - 8 光滑柱体的共形网格，r ，是柱体表面 c 1 光滑：r ，是截断边界 2 2 4 边界条件的处理 上面都是关于正则内节点处差分方程的生成方法，而对于边界节点、非正则内节点及边 界条件要另外单独处理。 东南大学博士学位论文 ( 1 ) 第一类边界条件 如果区域的边界是规则的，如图2 - 9 所示，“”表示边界点。此时可以将边界条件 “j r2 9 ( 2 1 1 ) 直接代入到出现该节点的差分方程( 2 5 ) n j 2 ( 2 1 0 ) 中，而其余的f , j 节点都可以用差分方程( 2 5 ) 或r 2 l o ) 。 如果边界是曲线，如图2 ，1 0 所示“”表示非正r a 0 内节点，此时一般采用近似替代f 一 阶精度) 、线性插值( 二阶精度) 或不等距差分方程( 一阶精度) 等方法进行处理。 j 、 y k 1 ， 。 0 r x 图2 - 9 规则区域的边界点图2 - 1 0 曲边区域的非正则内点 ( 2 ) 第二、第三类边界条件 如果是规则区域，即区域的边界与坐标轴平行，只要将网格向外虚延半个步长的网格 就可以用中心差商建立第二、三类边界差分方程。对于曲边区域，情况就比较复杂“1 。 j y 少f 0 步1 ：令6 2 “1 = b “一4 x ? ，并求下列问题的最小二乘解 a t x ? “= 6 2 “ 然后置x j ：= x j + x ? “ 东南大学博士学位论文 步2 ：4 b 2 ”2 = b 2 ”1 4 x ? “，并求下列问题的最小二乘解 爿2 x ? “= b 2 ”2 然后置z ：= x ：+ x ? “ 步3 ：若忙2 ”2 4 x ? “0 0 ，使得下面不等式成立 8 v i i - - i i s 一1 | | 即得 另一方面 ，v ：) i i = i i j 。( v ) i i - i i s 。v i ( i i v , 1 1 2 + i i 讲i i ) 啦- e l l v i i l i v l l 2 = ( v ，v 。+ v ，) = ( v ，v 。) + ( v ，v ：) = ( 最v ，u ) + ( 0 2 v ，v 2 ) ( 2 4 6 ) 由c a u c h y 不等式及式( 2 4 4 ) 得 1 1 2 ( 0 & v i l 2 + l l 气v i l 2 广( m i l 2 + i i v ：1 1 2 z - 1 ) ，并将上式( 2 4 9 ) 整理得 慨刊2 兰口i i 由上式及v 的任意性知 第二章大型及多枝区域上h e l m h o l t z 方程的投影分解算法 l 恢饰忙a n n n ：导慨勺忙口。证毕 由上面的引理2 2 可以得到下面的定理 定理2 1 ：在算法2 1 中，记矿= s p a n a 。，4 】，k = w a n a , 】( f = 1 ，2 ) ，且矿，k ，满 足引理2 2 中的条件，则算法2 1 是收敛的，且收敛速度是几何的。 证明：由式( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 知，算法2 1n g n 4 弋, m 十1 次后的余向量为 b 2 ”3 = ( 矗- ) ”1 b 由引理2 2 可得 垆“( 龟气“6b l - o ：m + l1 1 6 l i ( z s o ) s y - o - a c o h 9 ，1 l 矿“”1 1 - , o ，且有几何的收敛速度。证毕 2 4 投影分解法的数值算例 在周期慢波导波结构的理论分析方面，常用的主要有两种方法：一种是等效网络法，该 方法简单方便，但比较粗糙。另一种方法是场解法，即根据具体的边界条件求解波动方程， 该方法可以获得比较精确的解。随着计算条件的发展，常用数值方法求得精确的场解。 下面将用投影分解法并结合正交设计方法来分析周期性开槽方波导的槽的个数、槽的 宽度和深度对其反射系数和相位的影响，并找出影响参量的主要因素。 2 4 1 周期开槽方波导场解法的数学模型 周期开槽方波导如图2 - 3 所示，如果考虑t m 或t e 2 波的情况，可将其转化为如。f - - 维边值问题来求解 f a u j i 2 “= 厂在q 内 _ o u + j 卢“= o 在r 1 上 ( 25 1 ) io n f “= 0在r ：上 其中b 表示e 。分量。区域q 如图2 - 1 5 所示，f 1 表示两端的边界，f 2 表示其余的边界，且 东南大学博士学位论文 a q = f 1 u 1 1 2 ，方波导宽度为c t = o 7 ，槽是对称成对开的。 1 1 图2 - 1 5 开槽方波导二维截面区域：r ，表示区域 两端的边界，其余的边界记为r 2 用e ，：粤s i n 等e 一他作为激励，激励设在：o 处。采用归一化方法，取凡：1 d臼 则= 2 万，主模传播常数= j f 二i 7 矛。 2 4 2 正交试验设计法 分析周期开槽方波导槽的个数、槽的宽度和槽的深度对散射参数的影响，并确定哪些因 素是主要的，可采用多因素分析方法。这里用正交试验设计法【2 3 】口4 1 来分析上述各因素对散 射参数的影响。 在试验中，通过对一些因素选取几组不同的值来得到相应的结果，希望基于对这些数据 的分析能知道哪些因素对结果的影响比较大，哪些因素取什么值时能得到最好的结果。这些 都可以通过正交试验方法获得解决。 下面就三因素三水平正交试验的情形简要介绍正交试验原理。如果把试验结果当作函数 的因变量，那么因素就相当于函数的自变量，而水平就相当于白变量的取值。如表21 就是 三因素三水平的取值表。 表2 1 因素水平表 因素 承乎 爿 口c 1 4骂c 1 2 4b 2c 2 3 4马g 第二章大型及多枝区域上h e l m h o l t z 方程的投影分解算法 如果将不同因素的不同水平的所有组合都进行一次试验，那么要进行2 7 次不同的试验， 不仅工作量大而且成本也极高。如果依照正交试验原理，假定各因素间的交互作用可以忽略 不计，采用四因素三水平正交表厶( 3 4 ) 作为试验方案，见表2 2 表2 2 l 9 ( 3 4 】正交表 列号 l234 试验号、 1l111 21222 3l333 42123 52231 62312 73l32 832l3 9332l 表中的列号表明，该方案最多可以安排四个因素。对于三因素三水平问题来说只要取前 - - - - n 就可以安排完所有的因素，将表2 1 中的因素a 、b 、c 分别安排到表2 2 的第一、二、 三列中，并将各因素的不同水平依照其下标填入到相应的方格里，就得到一个三因素三水平 问题的试验方案，见表2 3 表2 3 三因素三水平正交试验方案 列号 爿丑c 试验结果 试验号 1 4b 【c is l 2 4岛c 2j 2 3 4岛c 3j 3 4 4b ic 2 s d 5 鸣岛c 3j 5 6 4岛c 1s 6 7 4日c 3s 7 8 4最gj 8 9 4忍g岛 东南大学搏士学位论文 衷2 3 中的试验方案具有下面两个特点 ( 1 ) 试验点分布均衡 若将一，b 、c 的各水平分别标在三个相互垂直的坐标轴上，并以此为坐标分量画出相 应的几何点刹连线，如图2 1 6 所示，一共有2 7 个交点，即如果安排所有的试验需要2 7 次 才能完成。但若选用表2 3 中的试验设计，只要9 次就完成了，即圈2 1 6 中的“o ”形点。 且这9 个点在立方体的交线、面是均衡分布的，即在平面x = a i ，y = e ，y = c ( f _ 1 ，2 ，3 ) 上都平均只有三个点，在立方体中的2 7 条直线上恰好都只有一个点。这说明所取的试验点 均衡分散，具有很强的代表性。 ( 2 ) 试验点整齐可比 由表2 3 可以看到，当因素4 取水平4 ；时，即第1 、2 、3 号试验，此时因素日、c 都遍 历了它们的三个水平，当因素一取水平4 ，4 时，也有相同的情况。若将对应于a 的三个 水平的每三个试验结果相加并取平均值，分别记为 i = ( j l + s 2 + s 3 ) 3 ；五= ( s 4 + 砖+ ) 3 ： l 2 ( s 7 + 黾+ s d 3 根据试验的上述特点，可以认为巧，瓦，正的变化主要是由因素a 的三个不同水平引起 的，而因素b ，c 的影响被最大程度的消除了。这就是正交试验的整齐可比性。 444 图2 - 1 6 正交表厶( 3 4 ) 中试验的几何分布 第二章大型及多技区域上h e l m h o l t z 方程的投影分解算法 对于因素4 的三个水平的平均值的最大差值，即 称为因素爿的极差。如果某因素的极差很大( 相对于其它极差) ，则该因素就是影响试验结果 的主要因素，如果某因素的极差很小( 相对于其它极差) ，则该因素就是影响试验结果的次要 因素或者是可以忽略的因素。 对于不同因素的各水平的最好搭配，可以由试验结果的望目特性来确定。如希望结果越 小越好，就取各因素中使试验结果最小的水平来搭配，反之亦然。 2 4 3 数值结果 ( 1 ) 试验方案及计算结果 取槽的对数、槽的宽度、深度作为三个因素，散射参数k l l 作为计算结果，并希望它越 小越好。选取如下表2 4 所示的因素水平表 表2 4 因素水平表 因素 承乎 槽数( 对)槽深( 凡)槽宽( 凡) 140 1 2 2 50 1 4 0 260 1 9 2 50 2 1 0 380 2 6 2 5o 3 1 5 其中 为工作波长。由上述水平因素表且采用表2 3 的三因素三水平正交试验方案而求得 的结果见表2 5 。 为了考察槽的对数、槽的宽度和深度对相位的影响，再用e ，：塑s i n 堡e - j t 和 口a 疋：生s i n 型e - 肚分别作为激励，相应的散射参量分别记为j k 和s 三，取方波导的口宽 “a 东南大学博士学位论文 和长度分别为a = 0 7 凡，= 5 3 9 九。选取表2 4 作为因素水平表且采用表2 3 的三因素三 水平正交试验方案，电场在输出端( z = 一5 3 9 & ) 相位差a r 9 5 五一a r g s f ：作为计算结果。所 求得的结果见表2 5 。 表2 5 三因数三水平正交设计方案 序号 槽数( 对)槽深( )槽宽( ) a r 9 5 1 1 2 一a r g s ： ( 弧度) 14o 1 2 2 50 1 4 00 0 3 6 20 4 8 8 5 24o ，1 9 2 50 2 1 00 1 7 8 00 6 7 3 5 340 2 6 2 50 3 1 50 2 8 2 00 2 6 3 4 460 1 2 2 50 2 1 00 0 4 5 80 4 7 4 4 56o 1 9 2 5o3 1 50 0 8 4 8o 3 3 1 2 6602 6 2 50 1 4 00 0 2 0 6o 3 0 1 0 780 1 2 2 5o 3 1 5o 3 1 0 71 6 5 3 9 880 1 9 2 5o1 4 00 0 4 3 123 9 3 l 980 2 6 2 50 2 1 00 1 4 3 51 6 8 9 2 k i 各 i o 1 6 5 4o 1 3 0 90 0 3 3 3 水平的 i i o 0 5 0 4o 1 0 2 l0 1 2 2 4 平均值 1 0 1 6 5 8o 1 4 8 70 2 2 5 8 i s l l l 极差 0 1 1 5 400 4 6 6o 1 9 2 5 相位差 10 4 7 5 10 8 7 2 30 8 6 0 2 各水平 平均值 i i0 0 5 2 61 0 9 1 10 9 4 5 7 i i i1 9 1 2 l0 5 5 0 50 5 2 8 7 相位极差 1 9 6 4 70 5 4 0 604 1 7 0 ( 2 ) 结果分析 由表2 5 中各因素下的b l l 极差可看出，槽的深度对i s 。1 没有什么影响，其极差只有 第二章大型及多枝区域上h e l m h o l t z 方程的投影分解算法 0 0 4 6 6 。槽的个数对卜1 1 1 有一定影响，其极差为0 1 15 4 ，为次要因素。槽的宽度对h 1 的影 响最大，其极差为0 1 9 2 5 ，是主要因素。将h l l 的各因素极差表示为柱形图就非常清楚了 见图2 1 7 。 0 2 0 0 1 8 0 1 6 0 1 4 0 1 2 - 20 1 0 堕 o0 8 o0 6 0 1 3 4 o0 2 槽数槽深槽宽 图2 - 1 7 i s i i i 在不同因素下的极差 槽宽( ) 图2 - 1 8 参量h 随槽宽三个水平的平均变化 上述简单比较可以看到，散射参量k ，l 的变化主要是由槽的宽度引起的，将表2 5 中槽 宽的三个水平对应的散射参量b 。i 的平均值表示为图2 - 18 ，由此不难看出散射参量h ，i 的变 化几乎与槽宽的变化成正比。图2 1 7 中的柱高表明其变化幅度最大。 东南大学博士学位论文 再将表2 5 中槽深和槽数的三个水平对应的散射参量l j l i l 的平均值表示为图2 - 1 9 和图 2 2 0 。结合图2 1 7 和图2 1 9 ，可以看出，图2 1 9 中的曲线虽然有波动，但图2 1 7 中槽深的 柱高表明其波动幅度很小，对散射参量i j l l l 的影响可以忽略不计。 图2 - 2 0 表明槽的数量对散射参量l j l l i 的影响是波动式的，而不是累加的，而图2 - 1 7 中 的柱高表明其有一定的波动幅度，但和图2 1 8 的几乎正比的关系相比，其影响是次要的。 从图2 1 8 至图2 - 2 0 可以看出，6 对槽，槽宽、深分别为o 1 9 2 s ，o 1 4 0 时散射参 量l s i l i 取最佳值。但由图2 - 1 8 知，槽宽越小越好。 | 7 i o a 2n 1 40 1 60 1 b0 2 00 2 20 2 402 60 2 8 槽深( 厶) l | _ 7 l ： 槽数( 对) 图2 - 2 0 参量h l 随槽数三个水平的平均变化 0 0 0 0 o 0 ，一 第二章大型及多枝区域上h e l m h o l t z 方程的投影分解算法 f 面再来分析三个因素对相位差的影响。将表2 5 中的数据表示为下面的图2 - 2 1 2 2 4 。 由图2 2 l 可以看到槽的个数对相位差的影响是波动式的，且其波动幅度由图2 2 4 中看出是 最大的，因此它是引起相位差波动的晟主要的因素。稍后的分析表明，槽的个数较少时，有 些波动，当数量较多时，其影响几乎是线性的。 2 。 15 趟。 熹 。5 4567日 槽数( 对) 图2 2 1 相位差随槽数三个水平的平均变化 0 1 20 1 40 1 60 1 802 002 20 2 402 60 2 8 槽深( ) 图2 2 2 相位差随槽深三个水平的平均变化 由图2 - 2 2 和图2 2 3 看到，槽宽和槽深对相位差的影响时波动式的，由图2 2 4 知，由其 引起的波动幅度非常小，几乎可以忽略不计。 ； i“一、， 、叶， ” 趔爵 东南大学博士学位论文 d 1 2 d 1 4n 1 6n 1 80 2 00 2 20 2 402 60 2 bn 3 00 髭 槽宽( 凡) 图2 2 3 相位差随槽宽三个水平的平均变化 赵1 0 意 槽数槽深槽宽 图2 。2 4 相位差在不同因素下的极差 ( 3 ) 结论 由上面的分析可知，槽宽是影响散射参量幅度h l 的主要因素，槽的个数是引起相位变 化的主要因素。为了进一步了解其影响，这里取定7 对槽，a = 0 7 厶，= 5 8 8 凡，给出 了槽宽和l s l l f 的变化曲线，见图2 - 2 5 。由该曲线看出，当槽宽稍大一些时，其变化关系几乎 伸 盯 巡惑 第二章大型及多枝区域th e l m h o l t z 方程的投影分解算法 是线性的。图2 2 6 给出了槽的个数与相位的变化关系，弭结合图2 - 2 1 ，不难发现当槽的个 数稍多一些时，其变化关系几乎是线性的。这里取方波导口宽a = 0 7 矗，槽深为o 1 4 凡， 槽宽为o 0 8 7 5 。计算结果表明大约1 0 对槽可使相位差达到9 0 度。 。2 d 。3 0 已 ! - 5 0 旦 - 5 0 25 2 。 弘 1 。 。5 。 0 5 4eb1 01 21 4 槽宽u n i t ：0 0 1 7 5 x 。 图2 - 2 5 散射参量幅度l s 。j 随槽宽的变化 67b 91 01 2 槽的个数 图2 2 6 输山端相位差与槽的个数的关系 u ， 东南大学博士学位论文 2 5 小结 为了求解大型区域上的定解问题( 2 1 ) ，本章提出了投影分解法。该方法也是一种分区算 法，它将大区域上的问题转化为各子区域上的小问题来计算，将计算规模减4 , n 可以接受的 程度，从而可有效地应用于大型复杂区域上电磁场边值问题的求解。应当指出，这里一条直 线段也可以看成是一个子区域。对于每个子区域来说，其离散的方法可以有所不同，因而可 以根据子区域的各自特点进行离散，以提高计算效率。由于是分区计算，因此每次仅需存储 子区域对应的块矩阵即可，这也是可用于求解大型复杂问题的主要原因。该算法还具有良好 的并行性，由于枝区域之间没有任何关联，因而它们可以同时进行求解。前面的分析表明， 该算法具有儿何的收敛速度，且其收敛性不因电磁场问题的边界条件而发生改变。 在实际的计算中，可以看到该方法对大型多枝区域非常有效。特别对于连接口较小的枝 区域来说，如果整体求解，不仅网格节点编号会使矩阵的带状性无法保持。而且矩阵存储也 很困难。但若用投影分解法来求解，不但方便，而且其收敛速度比一般的枝型区域更快。这 一点与区域分解法正好相反”“。 参考文献 1 k i ms ，o nt h eu e so fr a t i o n a li t e r a t i o n sa n dd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sf o r t h e h e l r n h o l t zp r o b l e m n u m e r m a t h ，( 1 9 9 8 ) 7 9 ：5 2 9 5 5 2 2 】c a ixc ，c a s a r i nma ，e l l i o t tfw e ta 1 o v e r l a p p i n gs c h w a r za l g o r i t h m sf o rs o l v i n g h e l m h o l t z se q u a t i o n d o m a i nd e c o m p o s i t i