（基础数学专业论文）超结构的若干研究.pdf

摘要 本文主要研究了关于超代数的若干问题超代数的研究起源于上世纪3 0 年代， 是由m a r t y 在1 9 3 4 年的第八届s c a n d i n a v i a n 数学大会上提出来的【1 】m a r t y ；j i 进了 超群的概念，从那以后，很多学者在这个现代数学分支领域进行研究并发展其理 论。其运用范围包括非欧几何，图形，超图，二元关系，格，自动化理论，密码 系统，代码，人工智能，概率论等。其中，二元关系和超结构的联系是在1 9 9 6 年 由r d s p 砌暇首次提出来，而早在两年前的1 9 9 4 年，c h v a l i n a 就把超结构运用到序关系 中，2 0 0 0 年，c o r s i n i , l e o r e a n u 等人在图和超图领域引入超结构概念。在最近的几年，超 结构自身的基础理论得到极大的发展，比女h 2 0 0 6 年发表的对超模的范畴概念进行相关研 究的文献【1 5 】，对超环运用的相关研究的文献【1 4 1 ，以及研究超模的同构定理的文献【1 3 1 超环和超域的概念首先由k r a s n e r 对其进行研究【5 】，之后，其他学者相继进入该领 域，例如文献【4 】正则超群是一类特殊的超群，最初是从超环和超域中的加法部分得 到，m i t t a s 是第一个对其进行广泛研究的人【8 】在随后的正则超群的研究中，一些数学 家研究了加法结构为正则超群的超模【刁 本文第一章首先介绍了超代数中相关的定义和若干重要例子，并综述自由超模和循 环超模阴，其中里面证明的方法对本论文其它地方具有很好的指导意义，最后一节给出 超模的一个应用。 第二章对超环和超模的基础性知识进行了细致的研究，包括超环的超理想，超模的 直积，子模和商模，超模的态射。并对超模同构定理给出了另一种证法。 最后一章，本文对超模的范畴性质进行了简单的研究，包括超模范畴的正合性及投 射超模概念的提出。 关键词：超代数、正则超群、超环、超模、范畴 a b s t r a c t t h i sa r t i c l ei sm a i n l ys t u d y i n gs o m e t h i n ga b o u th y p e r s t r u c t u r e s t h et h e o r yo fh y p e r - s t m c t l u e sh a sb e e ni n t r o d u c e db ym a r t yi n1 9 3 4d u r i n gt h e 8 t hc o n g r e s so ft h es c a n d i n a v i a nm a t h e m a t i c i a n s 【1 】m a r t yi n t r o d u c e dt h en o t i o no fah y p e r g r o u pa n ds i n c et h e n m a n y r e s e a r c h e r sh a v ew o r k e do nt h i sn e wt o p i co fm o d e ma l g e b r aa n dd e v e l o p e d i t h y p e r g r o u p sh a v ep r o v e dt ob ea ni n t e r e s t i n gt o p i ci na l g e b r a ，f r o mt h et h e o r e t i c a l p o i n t o fv i e w , a n df o rt h e i ra p p l i c a t i o n si no t h e rf i e l d sfs u c ha sg r a p h sa n d h y p e r g r a p h s ， e u c l i d i a na n dn o ne u c l i d i a ng e o m e t r i e s 。b i n a r yr e l a t i o n s 。l a t t i c e srf u z z ya n dr o u g hs e t st a u t o m a t a ，c r y p t o g r a p h y , c o d e s ，p r o b a b i l i t i e sa n ds oo n a m o n gt h e s e ，c o n n e c t i o n sb e - t w e e n h y p e r s t r u c t u r e sa n db i n a r yr e l a t i o n sw e r ec o n s i d e r e df o rt h e f i r s tt i m ei n1 9 9 6 ，b y r o s e n b e r g b u ti ns p e c i a lc a s e sh y p e r s t r u c t u r e sh a db e e na l r e a d ya s s o c i a t e dw i t hb i n a r yr e l a t i o n s , b yc h v a l i n ai n1 9 9 4w i t ho r d e rr e l a t i o n s , b yc o r s i n i ( 2 0 0 0 ) a n db yl e o r e a n u ( 2 0 0 0 ) w i t hh y p e r g r a p s ( as e t t i n gm o r eg e n e r a lt h a na y m m e t r i cr e l a t i o n s ) ，a n db y n i e m i n e n ，c o r s i n i ，r o s e n b e r g ，w i t l lg r a p h s i nt h e r e c e n ty e a r s ，t h eb a s i st h e o r ya b o u tt h e h y p e r s t r u c t u r e sh a sg e tm u c hm o r ed e v e l o p m e n t ，f o re x a m p l e ，t h ea r t i c l e 【1 4 】a b o u t s o m es t u d i e so fh y p e r r i n g sa p p l i c a t i o n , t h ei s o m o r p h i s m so fh y p e r m o d u l e s 【13 】a n dt h e c a t e g o r yn o t i o no fh y p e r m o d u l e s 【1 5 1 t h en o t i o no fah y p e r r i n ga n dah y p e r f i e l dw a ss t u d i e df i r s tb yk r a s n e r 【5 】a n dt h e n s o m ea u t h o r sf o l l o w e dh i m ，f o re x a m p l e ，s e e 【2 0 1 t h ec a n o n i c a lh y p e r g r o u p sa r eas p e - c i a lt y p eo fh y p e r g r o u p i n i t i a l l ym e yw e r ed e r i v e df r o mt h ea d d i t i v ep a r to ft h eh y p e r r i n ga n dh y p e r f i e l d t h en a m ec a n o n i c a lh s ab e e ng i v e nt ot h e s eh y p e r g r o u p sb y m i t t a s ，w h oi st h ef i r s to n et h a ts t u d i e dt h e me x t e n s i v e l y 【8 】a g a i ni nt h ec o n t e x to f c a n o n i c a lh y p e r g r o u p ss o m em a t h e m a t i c i a n s ，f o re x a m p l e ，【7 】s t u d i e dh y p e r m o d u l e s w h o s ea d d i t i v es t r u c t u r ei sj u s tac a n o n i c a l h y p e r g r o u p t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h er e l a t e dd e f i n i t i o n so fh y p e r s t r u c t u r e sa n ds o m ei m p o r - r a n te x a m p l e w es u m m a r yf r e ea n d c y c l i ch y p e r m o d u l e s 【7 】，s i n c et h e m e t h o d so fp r o o f h a v et h eg u i d es i g n i f i c a n c ef o rt h i sa r t i c l e a n dw eg i v eae x a m p l eo ft h eh y p e r s t r u c t u r e s a p p l i c a t i o na tt h ee n d i nt h es e c o n dc h a p t e rw e s t u d yd e t a i l l ya b o u t t h eh y p e r r i n g sa n dh y p e r m o d u l e s 7b a s i s k n o w l e d g e ，i n c l u d i n gt h eh y p e r i d e a lo fh y p e r r i n g s ，t h ed i r e c tp r o d u c t so fh y p e r m o d i i u l e s ，s u b h y p e r m o d u l e sa n dq u o t i e n th y p e r m o d u l e stt h em o r p h i s m so fh y p e r m o d u l e s a n dg i v en e w p r o o f sf o rt h ei s o m o r p h i s mt h e o r e m so fh y p e r m o d u l e s i nc h a p t e ri i i ，w ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p ta n dp r o p e r t yo fh y p e r m o d u l ec a t e g o r y w e d i s c u s ss o m et h e o r e m sa b o u tt h i sc a t e g o r ya n df i n dt h e yc o u l eb e h a v el i k es i m i l a rw i t h t h ec a t e g o r yo fm o d u l e s ，w h i c hi n c l u d i n gt h ee x a c tr o wa n dt h e p r o j e c t i v eh y p e r m o d u l e k e yw o r d s ：h y p e r s t r u c t u r e s fc a n o n i c a lh y p e r g r o u p s lh y p e r r i n g , h y p e r m o d u l e f c a t e g o r y i i i 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得堑江太堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：嘲辗短 签字日期： 咱年多民踟 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝江太堂有权保留并向国家有关部门 或机构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 延太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传 播，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：彳涵般铅 签字日期： 0 7 年夕月，侈日 一名：劣易 签字眺。夕箩月t 乒 第1 章超结构概述 1 9 3 4 年，m a r 哆在斯德哥尔摩进行的第八届斯堪的那维亚数学家大会上首次提 出超结构的概念。之后，国内外许多数学工作者将超结构应用到更多的数学分 支。1 9 8 3 年，k r a s n e r ；j l 入超环的概念，c o r s i n i ，d a v v a z ，o l s o n ，v r o u 舀o u k h s 和r o t a 等人 进一步研究超环的结构和性质。同时a m e r i ，d a w a z ；和m a s s o u r o s 等人讨论了超模的性 质，得到一些深刻的结论。在讨论超环和超模的基础上，本文作了进一步研究。 1 1 基本概念 定义1 1 【3 】一个超运算( h y p e r o p e r a t i o n ) 是指( 日，。) ，其中。是h h p ( 日) 的映射。这里尸+ ( 日) 表示包含日的所有非空子集的集合。 设z 日，a ，b p ( 日) ，记a ob ，a 。z 和zob 分别表示 a 。b = ua ob ，a 。z = a 。 z ) ，z 。b = z ) 。b a e a b e b 定义1 2 【3 】一个超结构伊e r s t u r c t u r e ) ( h ，。) 称为超半群，如果它满足z 。( 3 ，oz ) = ( z0y ) 0z ，比，y ，z h 定义1 3 【3 】一个超群是指它是一个超半群，同时满足下面等式： hoz = zoh = h 、 、h 例1 1 ( 见文献【9 】2 6 7 ( i ) ，p 1 1 2 ) 令日= ( o ，1 ，4 ) ；o ) ，其中。是由下面c a y l e y 表 格给出 可以证明日为超群 10 旦i!l 三i兰l 兰 001 21 23 4 3 4 11 2 3 430 0 21 233 40o 33 40 01 21 2 43 4001 21 2 定义1 4 3 1 设( 日，o ) 是一个超半群，一个元素e h 称为幺元或恒等元，如果 比日，有a a 。eneo 口 1 浙江大学硕士学位论文第】章超结构概述 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! i i i i ml i e t ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 定义1 5 【3 】3 记( h ，o ) 为一个超群，同时含有至少一个恒等元。一个元素a h 叫 做a 日的逆元，如果存在恒等元e 日，使得e aoa 7na 7 。a 定义1 6 【3 】设( 日，。) 是一个超半群，k 是日的非空子集合k 叫做日的子超半 群，如果k 。k 一个子超半群k ( ch ) 叫做超群日的子超群，如果( k ，o ) 是一个 超群。 例1 2 【1 8 】在化学领域，有一种反应为链反应，比如说： a 2 - 4 - b 2 _ 一2 a b 在这个反应中，a 2 ，b 2 ，a b 分子及其离子部分介，b 。均存在这些物质都可以互相组 所有可能的化合物质组成集合s = 介，b 。，a 2 ，b 2 ，a b ) ，这些物质无需能量的情况 下可以组成下列情况： +a 。b 。 a 2b 2 a b a o a o ，a 2a 。，b o ，a ba 。，a 24 。，b 。，b 2 ，a ba 。，b 。，a 2 ，a b b 。 a 。，b 。，a bb 。，b 2a o ，b o ，a 2 ，a bb 。，b 2a 。，b o b 2 ，a b a 2a 。，a 2a 。，b 。，a 2 ，a ba 。，a 2a 。，b 。，a 2 ，岛，a b4 。b 。a 2 a b 岛a 。，b 。，疡b o ，b 2 ，a ba 。，b o ，a 2 ，玩刀。，易，a ba 。，b 。，局a b a b 介，a 2 ，岛a 。，b o ，b 2a 。，b o ，a 2 ，a ba 。，b o ，b 2 ，a ba o ，b 。：a 2 b 2 、a b 则( s + ) 是超群。 证明：我们仅对一部分情况进行验证： i ( a b + a 2 ) + b 2 = a b ，a 2 ，a 。，b 。) + 岛= 岛，a b ，a 2 ，a 。，b 。 ia b + ( a 2 + b 2 ) = a b + a 2 ，b 2 ，a 。，b 。，a b = a 2 ，b 2 ，a b ，a 。，b 。 - i ( a b + a 。) + a 。= a b ，a 。，a 2 ，b 。) + a 。= a 2 ，a 。，a b ，b 。) i a b + ( a 。+ a 。) = a b + a 2 ，a 。) = a 2 ，a b ，a 。，j e 7 。) l ( a 2 + b 。) + 岛= a b ，a 。，a 2 ，b 。) + b 2 = b 2 ，a b ，b 。，a 。，a 2 ia 2 + ( b 。+ 岛) = a 2 + b 2 ，b 。) = a 2 ，a 。，a b ，b 。，b 2 我们还可以证明岛= _ 4 。，a 2 ) 和岛= 召。，易) 是( s + ) 仅有的两个子超群。 2 浙江大学硕士学位论文第1 章超结构概述 件： 定义1 7 【1 5 】一个含超运算+ 的非空子集h 叫做正则超群，如果它满足下面四个条 1 ( x + y ) + z = z + ( y + z ) ； 2 x + y = y + z ： 3 存在一个元素0 h 使得对每一个x h ，存在且只存在一个z 7 h 使得 0 十z 7 ) n ( x 7 + z ) 我们i 己z 7 为一x ，称为x 的逆元。彳己x 一耖为z + ( 一) ； 4 z x + y = 今x z y 备注：o 是唯一的且v x h ，x + 0 = 0 + x = z ，一( 一z ) = x ，一 + y ) = 一x y 定义1 8 【7 】一个非空集合，假如它有两种运算，一种是超运算( 用+ 表示) ，一种 是普通结合运算( 用表示) ，并且还满足下面三个条件时，就叫做超环： 1 ( r ，+ ) 是一个正则超群； 2 ( r ，) 是一个乘法半群，0 具有双边吸收率，即z 0 = 0 x = 0 ，比r ； 3 z ( z + y ) = z z + z y ， + y ) z = x z + y z 如果r 0 是一个乘法群，那么( r ，+ ，) 是一个超域显然v a ，b ，c ，d r ，我们有 ( a + b ) - ( c + d ) a c + b c + a d + b d 例1 3 【5 】兄为环，g 是其乘法半群的正规子群( 乘法半群r 的正规子群g 是指， 比r ，x g = g x ) 那么，乘法类牙= x g ( z r ) 形成r 的一个剖分记豆= r c 为这些 类组成的集合。牙，雪( 元) 的积作为r 的子集同样也是一个类( m o d g ) ，而它们的和则是 这些类的并集。如果我们定义牙，y ( e 应) 的积巧等于r 中这些子集的积，定义它们在元 中的和牙+ 雪为所有包含他们子集的和的乏元，那么我们得到的结构就是超环。( 我们把 这叫做冗上的g 的商超环) 证明： 在r 中我们有( g 是正规的) 动= x g y g = z y g g = x y g = 5 y ，z _ 牙是冗 到詹的乘法满态射，因此詹是一个乘法半群。我们有6 窑= 面= 6 和牙6 ：面：6 所以6 是双边吸收如果冗是一个乘法拟群，即r = r uf 0 ，其中r 是个群，并且如果1 是兄+ 的恒等元，我们有比r 牙z 二1 ：z 二1 孟：i ，即元也是一个乘法拟群 取r 中的元素z ，y 牙4 - 雪定义为r 中子集可的和。让z 是牙+ 雪中的一个元素。那 么，存在z 7 牙和y 7 雪使得z = z 7 + 可7 但是，因为g 是群，z 7 x g 意味着方：z 7 g ： 3 浙江大学硕士学位论文 x g = 牙，同样y 7 雪意味着矿= 雪然后因为乏= z g = ( z 7 + 可7 ) g x g + y g = 牙+ 雪 因此24 - 雪是类( m o dg ) 的并集。且由定义有，牙+ 雪= 乏r 障牙4 - 雪) 由于r 中的加法是结合的，所以显然等式牙+ 雪= 雪+ 牙成立我们有( 牙+ 雪) + 乏= u ( 弭互) = u 面元i 面f + 乏) = 面元i 雷u ( f + 乞) ) = 哥豆i 亏 + 痧) + 乏) 同样的，我们可以证明牙+ ( 雪+ 乏) = 面矗l 雷牙+ ( 雪4 - 乏) ) 因为r 中的子集加法是结 合的，所以我们有( 牙+ 雪) + 乏= 牙+ ( 雪+ 乏) 和 + 雪) 4 - 乏= 牙4 - 4 - 乏) 假设6 牙+ 雪即0 牙4 - 雪也就是说存在z 7 牙使得一x 7 雪但由于雪= 一z 7 = ( 一z 7 ) g = 一z g = 一方= 一孟因此仅存在雪五满足6 孟+ 雪的是雪= - - - - x = 一z g 最后，孑( 牙+ 雪) 等价于乏( 牙4 - 雪) 因此存在一个z 7 孟和一个y 7 雪，使得 z = 茁7 + 可7 和y 7 = z + ( 一z ，) 因此我们有箩= 可7 = z + ( 一z ) 乏4 - ( 一z ) = 乏丰白和 雪乏一牙 我们有乏( 孟+ 爹) = 韧f 孟4 - 雪= z g + 秒g ) 但是荔= 磊= z t g = z 手和 云x g4 - y g 兮疗z ( z g4 - y g ) = z x g4 - z y g = 庇4 - 勿= 历4 - 动另一方面，如果 雷乏牙+ 乏雪= z ( z g4 - y g ) ，我们有v z ( z a4y c ) ，因此v = z t ，其中t x g4 - y g = 牙+ 爹 和乃= 三云f 互+ 雪因止匕雷乏( 孟+ 雪) 等价于雷冬丢牙4 - 乏雪即雷乏牙- f 乏雪所以有 乏( 牙+ 雪) = 乏牙+ 乏雪同样的方法可以证明( 孟+ 爹) 乏= 牙乏+ 雪乏 在文献【5 】中，m i r a s n e r 提出一个问题：是否超域都同构于商超域? 这个问题对超 域理论的发展显得非常重要，因为如果超域都是商超域的话，那么一大部分超域理论都 可以直接从域理论中相对应的结果推导出来。不过遗憾的是，随后的学者给出了否定的 答案。 例1 4 1 4 1r 为含幺交换环，a = 岔= z ，一x l x r ) 则如果定义超运算至。雪= 而，两) 和乘法运算牙。雪= 万巧，那么元成为一个超环 给定一个半群s ，8 0 = su o ) 如果+ 为超运算，而为的自身的运算，使得 ( 铲，+ ，) 成为一个超环，那么就说半群s 含有一个超环结构 例1 5 【1 4 】g 为群，定义g o 上的超运算+ 为： z + 0 = 0 + z = z ) v z g o ， z + z = g ! o z ) v z g 尹 o ) ， z 4 - y = z ，y ) v z ，y g p o ) ，z y 很容易证明( g o ，+ ，) 是一个超环。从这个例子中，我们知道每一个群都含有一个超环结 构。 4 下面给出一个超域的例子，且其不同构于商超域。 例1 6 【1 7 】给定一个交换乘法拟群( 日，) ，( 拟群是指日= gu o ) ，其中g 为群，o 是 一个g 的双边吸收元) 在里面给定超运算+ 为： z + 0 = 0 + z = z )v x 日， z + z = 日_ ( z )v x 0 ， z + y = ( z ，可) v x ，y 0 ，z y 性质1 9 1 4 1 ( h ，+ ，) 是一个超域。 证明： 由于0 z + z ，故z 的逆元为z 自身。如果z ，y ，名当中有一个为0 ，则超运算 是交换和结合的。如果z ，y ，z 0 且互不相同，则有： z + ( + z ) = z + 可，z ) = ( z + 可) u ( z + z ) = z ，可) u z ，z ) = z ，y ，z ) 同样可知 + 3 ，) + z = x ，夕，z ) 再假如z ，y ，z 当中有两个是相同的，比如说z ：秒我们 确： z + ( 可+ z ) = z + ( z + z ) = z + ( 。，名) = + z ) u + z ) = ( 日 z ) ) u z ，z ) ：h ( z + ) + 名= ( z + z ) + 名= ( 日( z ) ) + z2 ( z + z ) n ( 叫+ 名) = ( 日( z ) u 叫，z ) = 日，( 叫z ) 下面证明其满足正则超群的第四条要求。 ( i ) 如果y = z ，那么z + y = z + z = 日和) 有此可知对每一个名日 3 且z 2 = l ，v x 日( o ) 然后利用上面的 方法得到一个超域( 日，+ ，) 假设这个超域同构于一个商超域( 丢，+ ，) 那么对于言，下面 几条成立： 5 浙江大学硕士学位论文第1 章超结构概述 i i l ( i ) x g x g = g 或z 2 g = g ， v x f ( i i )g = 一g ( i i i ) 从g + g = f g 得到g 牛g = ( 丢) g 由( i ) 可以知道，g 包含所有f 的元素的平方次幂。但如果f 的特征不是2 ，那么f 中的 每一个元素- - j v x 写成两个不同的平方次幂： z = ( t x + 1 ) 2 一( 丁x - 1 ) 2 = ( 孚) 2 + ( 一1 ) t x - 1 ) 2 因此我们有g g ：g + g = f 这与条件( i i i ) 矛盾。 如果f 的特征是2 ，那么两个平方次幂的和总是平方次幂，所以gcg + g 这与条 件( i i i ) 矛盾。故日不可能同构于任何商超域。 备注： 1 这个定理其实也说明，日甚至不可能同构于商超环的子超域。 2 两类完全不同的超域可以在 1 2 1 中找到，这些超域与商超域的同构问题在那里一样 得到讨论，但最终的答案并未给出。 定义1 1 0 【1 4 】超环r 的非空子集i 叫做超理想，当且仅当 1 a ，b i 兮a b ，； 2 a i ，r r r a i 定义1 1 1 【1 3 】假定m 是正则超群( m ，+ ) ，r 是超环，m s 的元m 与r 中的元r 的运算 是指r m m 的运算，7 仇一r m ，且满足下列条件，那么m 叫做( 左) r - 超模。 1 r ( m 1 + m 2 ) = r m 1 + r m 2 ； 2 ( r l + r 2 ) 仇= r l m + r 2 m ； 3 ( r l r 2 ) m = r l ( r 2 m ) v r l ，r 2 rm l ，m 2 m 本文中超模均指左超模。超模m 的非空子集a 称为子超模，假若( a ，+ ，) 是超模 m 的子超模称为正规的，假若z + a z 曼a ，比m 成立 下面两个性质是显见的：【1 3 】 6 浙江大学硕士学位论文第1 章超结构概述 性质1 1 2 设a 是m 的子超模，则 1 ( 4 + x ) + ( a + y ) = a + z + y ， v x ，y m ； 2 a + z = a + y v y a + z 性质1 1 3 设a 和b 是m 的子超模，且b 是正规的，则 1 anb 是a 的正规子超模； 2 b 是a + b 的正规子超模 例1 7 【7 】令m 为p 超模，其中尸为含恒等元的环g 为p 的乘法半群的子群， 满足a g b g = a b g ，v a ，b p 则这个条件等价于当p o 为群时( 也就是除环) g 是正规子 群。下面我们在m 中引入等价关系一如下： x y 营x = t y ，t g 记府为所有m 模一的等价类形成的集合。我们给厨赋上一个超结构+ ，其定义如 下： 牙+ 雪= 面m i m 一牙+ 雪) 或者说，牙丰雪是所有包含孟，雪集合间的和的类面府显然( 厨，+ ) 是一个正则超群。记户 为p 模去g 的商环。考虑户x 厨到府的合成运算，其定义为：a x = 咖诡户，叠肋 我们所定义的运算满足超模定义，因此府是一个户一超模。 在下面的说明中，可以知道，这个超摸跟解析射影几何以及欧氏球形几何有很大的 关系。 记m 是除环d 上的模。因为d = d o 是乘法群，我们那这与超模府对比。注意 到府中的零元是m 中的零0 a 府的逆元是面本身：五+ 五= 五，0 我们在m 中引进 一个新的超运算。为：孟。雪= ( 孟+ 雪) o 牙，雪( x y ) 如果面oa 被定义为整个超模厨 那么这个超运算满足正则超群的定义。( 证明见文献) 如果我们把厨0 中的元素看作 点，把任意两个点叠，雪( z y ) 的超运算孟0 雪结果看作线，那么我们构建了一个解析射 影几何。甚至，所有的解析射影几何都可以用这种方法获得。 再假设y 是一个有序域上的向量空间记f + 为f 的正向区域。因为f + 是f 的乘 法子群，我们可以在超域户： f + ，0 ，f 一 上构建向量超空间。比如说f 的中心在o 的超 球s ，矿到su0 的映射牙_ z 是一一对应的且五牛云，a 云映射到大圈中以a ，b 为端点 7 浙江大学硕士学位论文第1 章超结构概述 的小圆弧晶记a4 - 二0 = 五，一面，o ) 而两个端点o ，b 并不属于盎因为西，5 a 牛云但如果 我们考虑超运算o ，那么a ，5 面o5 因此晶是闭的且五。一a ：矿也就是两个相反的 点可以生成整个超球s 而这个结果看起来更切合实际，因为通过两个点可以生成无限多 的圆弧，而这些圆弧包含了s 所有的点。所以每一个欧氏球形几何可以看作是商超模。 定义1 1 4 【7 1 记m ，n 为两个r - 超模，p + ( ) 是n 的幂集。一个映射妒：m _ 如 果满足下面的条件，就叫做正规态射 1 妒( 七z ) = 克妒( z ) v 七r ，z m 2 妒( z + y ) = 妒( z ) + 妒( 可)比，y m ； 如果相比于2 ，我们有下面的式子成立，则此态射叫严格态射。 3 妒( z + y ) 妒( z ) - i - 妒( 可) ， 一个映射妒：m _ p + ( ) 如果同时满足上述条件1 和2 ，则称妒为强态射，如果满足 条件1 3 ，称此态射为弱态射。 本文中，除特别标记的地方，其余未指明的均指正规态射。 1 2 自由超模和循环超模 1 2 1 自由超模 记m 为p 一超模。 定义1 1 5 7 1m 的一族元素( 既：i ，) 的线性组合是指形为e a i 如，的和。( 其中 a i p ， n i ：n 0 ) 是有限的) ( x i ：i j ) 是线性独立的如果存在一个线性组合e a i x t ，包 含o ，其中a t 并不全等于0 否则( 甄：i j ) 叫做线性独立。 定义1 1 6 【7 1m 的子集x 生成m 如果m 的每个元素都属于x 的元素的线性组 定义1 1 7 【7 1n 为p 一超模。x 为n 的子集。那么x 自由生成n ，如果满足下面 条件： 、x 蔓戍n 8 浙江大学硕士学位论文第1 章超结构概述 2 对每一个x 到p 一超模m 的映射矽，总存在一个态射妒：n p + ( m ) 使得 妒( z ) = _ ( 妒( z ) ) ，v x x 三p ( m ) 啵l x ，m i ) 如果存在一个的子集x 自由生成。那么我们把超模叫做自由的。生成 的任意子集叫做的自由基。 下面我们构造一个超环p 上的自由超模。 给定一个非空集q 和定义域为q ，值域为p 的函数集合p q 。然后从p e 中选出所 有的几乎处处消失的函数，把这记为1 8 l ( q ) 如果我们在里面定义一个超运算如下，那么 e ( q ) 成为一个正则超群。 厂+ g = ( 忽e ( q ) i ( v 。q ) ，h ( x ) ，( 茁) + 9 ( z ) ) 我们现在定义一个映射 ：p ( p ) xe ( q ) 一p + ( e ( q ) ) 如下： ：( a ，厂) = _ 夕e ( q ) l ( v z q ) ，9 ( z ) u n ，( z ) ) ) a e a 下一步，由上面的映射，我们引进一个从pxe ( q ) 到e ( q ) 合成运算( a ，) _ a f 其中 a f 是集合：( a ，) 中的唯一元素因此如果a p 我们定义a ，= 亲：( a ，) 定理1 2 【7 】e ( q ) 加上引入的超运算+ 和合成运算构成一个p 一超模 定理1 3 【7 】e ( q ) 中存在生成e ( q ) 的线性独立的子集b ，且c a r d b = c a r & q 定义1 1 8 【7 】7p 一超模m 的元素x 是无扭的当且仅当由r z = 0 可以推出r = 0 如 果m 的所有元素都是无扭的，则m 叫做无扭超模。 性质1 1 9 【7 】记为p 一超模b = 佗l ，n 2 ，几七) 为n 的有限子集。那么下面几 条性质等价。 1 b 是的自由基； 2 b 是线性独立的且生成n ； 9 浙江大学硕士学位论文 七 3 对每一个礼n 有唯一确定的元素8 1 ，8 2 ，8 南p 满足n 8 i n i ； i = 1 4 每一个n t 是无扭的，且 n = p n x0p n lo 0p n k 说明：直和概念文献中并没有给出，本人在第二章第二节里给出并介绍了其类似模 论中的性质。 性质1 2 0 7 1 记m 为p 一超模n 是个有限生成的自由p 一超模。，：m _ n 是满 同态。那么m 有一个子超模f 同构于，且有： m = f0 k e r r 定理1 4 【7 】m 是舍幺交换超环尸上的自由超模，x = 兢l i ，) ，y = 协b 以 是它的两组基，则c a r di ：r dz 定理1 5 【刁如果x a l x l + + a k x 七和y b a x l + + b k x 七那么对于每一个 c a i + b ( i = 1 ，2 ，k ) 我们有： + y ) nfa l + b 1 ) x l + + c x i + + ( 钆+ b , ) z k 0 定理1 6 【7 】m 是主理想超整环p 上的有限生成自由超模，是m 的子超模，那 么也是自由的且d i mn d i mm 定理1 7 【7 】每一个有限生成的无扭p 一超模是自由的，且含有有限基。 1 2 2 循环超模 在这节中，我们将使用如下一些概念：a 整除b ，单位元，素元，互素，最大公因 子等。所有这些概念都只跟超环的乘法结构有关，这与环中的情况一样。因此这些概念 在超环中并没有改变，故不再重复。 定义1 2 1 【7 】如果一个p 一超模m 是由一个元素生成的，则把m 叫做循环超模。 在这节里，以下都把冗记为超主理想整环。 令m 为r 一超模，如果( z ) 是由z m 生成的m 的循环子模，那么我们有( z ) 竺 r l ，其中( n ) 是使z 为零的超理想。事实上，令，：r 一( z ) 为函数，满足，( t ) = t x 那么，是r 一超模r 和扛) 间的一个正规满态射，但是k e r r = t i t r ，t x = o ) ，因此 ( o ) = k e r r 再由性质1 2 0 知r k e r f 竺扛) 或r ( n ) 望扛) 1 0 浙江大学硕士学位论文第1 章超结构概述 性质1 2 2 【7 】如果a ，b r 是互素的，令c = 口6 那么冗( c ) 竺bop 2 ，其中 r 兰r ( o ) 和恳笺r 性质1 2 3 【7 】令p 是r 中的素元，m 是一个r 一超模，m = r x l0 or x 知， 其中r x t 是阶为p a t 的循环超模。a 1 so 凫如果m m 且c 是整数，同时 0 c a l , p - 1 一c m = 0 那么仇= p 。礼其中礼m 定义1 2 4 【7 】一个r 一超模m 叫做p 一扭的，如果p 一是个素数，且对某一个a 有 p 。m = o ) 性质1 。2 5 【7 】记m 为由元素m 1 ，m 2 ，m k 生成的p 一扭的r 一超模，其中m i 的阶为p a i , a 1 a 2 a k 那么存在n 1 ，n 2 ，n 恐其中的阶为p b l ，b t = a i 和 m = r n l + r n 2 + q - r n 。 性质1 2 6 【7 】记m 是非空的r 一超模，且d m = 0 其中d r 既不是零元，也不 是r 的单位元令d = 印? 1 p 笋p 其中u 是单位元p i 是互素的，那么m 可以写成直和 形式m = 尬。尥o o 坛，其中舰= ( o ) 性质1 2 7 【7 】m = 尬0 尬0 o 尥，其中尬是阶为n 的循环无扭超模，且 ( ，勺) = 1 ，i j 那么m 是阶为r l r 2 r 3 仉一1 仇循环超模。 定理1 8 【7 1m 是主理想超整环r 上的有限生成自由超模，那么m 可以写成( 内) 直和形式m = 尬。尬0 o 尥，其中舰是阶为d i 的m 的非平凡循环子超模，且 d , l d i + 1 ( i = 1 ，2 ，8 1 ) 附注：在这里我们将证明在超主理想整环r 中，任意两个不同于0 的元素a 6 都有最 大公因子，且属于下面的线形组合形式中： k a + s bk ，8 r 事实上，记c ( a ，b ) 为集合u ( z 8 + u b ) 对任意的p ，口c ( a ，6 ) ，存在z l ，z 2 ，y 1 ，y 2 r 彳，可r 满足p x l a + 1 6 ，q x 2 ah - y ：b 由此可知 p + q ( x l a + 可1 6 ) + ( x 2 a + y ：b ) = ( z 1 + x 2 ) a + ( y l - f 秒2 ) 6 = u z 口) + u 加) z z 1 + z 2掣暑，l + l 2 1 1 浙江大学硕士学位论文第1 章超结构概述 所以p + q c ( o ，6 ) 同样0 v ( a ，b ) 对每一个z c ( o ，b ) 有一x c ( 口，b ) 和r x c ( a ，6 ) ，v r r 所以c ( n ，b ) 是超理想，又因为r 是超主理想整环，故存在d c ( n ，b ) 使得 = c ( o ，6 ) d 属于忌口+ s b ，k ，8 r a ，b 一样属于c ( a ，b ) 因为a ：l a + o b ，b ： 0 0 + 1 6 因为a ，b 都是超理想 的元素，故都是d 的倍数。如果c 是n b 的公因子， 那么有a = a i c ，b = 6 7 c ，a ，b 7 r 所以d k a + s b = k a 7 c + s 6 7 c = ( k a + s b 7 ) c 这就意 味着存在t k a