（基础数学专业论文）hardy空间上toeplitz算子.pdf

l p ， ， 咻 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw em a i n l y d i s s c u 8 s t h e p 。r o b l e mo f t o e p 咿l i t z o p e r a t o 洲r so 咄nh d 莓釜 w ef o c u so nt h e c h a r a c t e r i z s t ，i c s o f f “r e d z h ) 。i ：mb 4 ( t o z e p ) 。：i t z ( 詈茹 蒜磊磊) ( 蒿盘 乞h er e d u c i n gs u b s p a c e so f 孔w h e n ，妒2 廿4 l z j 一旧1 6 2 八一p 堋”p i nc h a p t e ri , w ed i s c u s s s o m e r e e l a s t j e dr e s e a a n r c c e h 。b f a t c h k e g r r o e u s e n a d r c , a n n l d si p n i t c r 。o c d 。u 。c 。e 。s o 玎b e b a s l c d e f t n i t i o n sa n ds y m b o l s f i n a l l y , t h es i g n i f i c a n c eo e e m “。f 。 i n 洲e r2 ，w e i n t r 。d u c es c l m eb a s i c 蛐i 胁a n dp r o p 舶o f t h e h a r d ys p a c e i nc h 印t e r3 ，t h ec h a r a c 乞e r i s t i c s o ft o e p l i t z0 p e r a t o rw i t hf r e d h o l m 。n o r d e r e d g r o u pa r ee l a b o r a t e d i nc h 印t e r4 ，t h er e d u c i n gs u b s p a c e s 。f t h et o e p l i t zo p e r a t 。r s 。nh a r d ys p a c e 耳 w h e n q o ( z ) = b 4 ( z ) i ss t u d i e d k e y w o r d s ：o r d e r e dg r o u p ；f r e d ；h a r d y s p a u c e 8 ；t o e p l i t z 。p e 蝴 0iji8m 4 081y h a r d y 空间上t o e p l i t z 算子 t o e p l i t zo p e r a t o ro nh a r d y s p a c e a u t h o r ： 堕i 茎i 坠：! 垫 指导教师：笙壅垦 s u p e r v i s 。r ：二坠型叵生茎坠一 专 学 位： 墨堂塑 m a j o r ：f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i c s d e g r e e ：丛垒塾笪q ! 墨曼迪丝l i n s t i t u t e ： j u n e ，2 0 1 0 摘要 本篇硕士论文主要研究h a r d y 空间上的t o e p h t z 算子相关问题，主要考虑了 序群上f r e d h o l mt o e p l i t z 算子的特征和已的约化子空间其中，妒( z ) = b 4 ( z ) = ( 高薏) ( 高卫1 - 三s z ) ( 南1 1 - 叶z 、7 1 5 6 16 一。) ( q ，卢，7 ，6 d ) 第一章对相关的研究背景进行了概述，并给出t - - 此基* 概念及符号，最后说明了 研究的意义 第二章介绍h a r d y 空间和b e r g m a n 间一些基本概念和性质 第三章序群上f r e d h o l mt o e p l i t z 算子的特征 第四章在h a r d y 空间上，l 约化子空间，其中妒( z ) = b 4 ( z ) 关键词：序群；f r e d h o l m ；h a r d y 空f 司；t o e p l i t z 算子 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw em a i n l yd i s c u s st h ep r o b l e mo ft o e p l i t zo p e r a t o r s o nh a r d ys p a c e ， w ef o c u so nt h ec h a r a c t e r i z a t i o no ff r e d h o l mt o e p l i t zo p e r a t o r o no r d e r e dg u ，pa n d t h e r e d u c i n gs u b s p a c e so f 乃w h e n ，妒( z ) = 鼠( z ) = ( 啬篇) ( 南岛) ( 南焉) ( 斋品) ( q ，p ，- y ，6 d ) i nc h a p t e r1 ，w ed i s c u s ss o m er e l a t e dr e s e a r c hg r 。u n d ，a n dg i v es o m eb a s i c d e f l n i 。 t i o n sa n ds y m b o l s a tl a s tw es h o wt h es i g n i f i c a n c eo ft h er e s e a r c hw o r k i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c es o r e eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so ft h e h a r d ys p e i nc h a p t e r3 ，t h ec h a r a c t e ro ft o e p l i t zo p e r a t o rw i t hf r e d h o l mo no r d e r e d g r o u p i nd l 印t e r4 ，t h er e d u c i n gs u b s p a c e so ft h et o e p l i t z 。p e r a t 。r si nh a r d ys p a u c eb w h e n 妒( z ) = b 4 ( z ) k e y w o r d s ：o r d e r e dg r o u p ；f r e d h o l m ；h a r d ys p a c e s ；w o e p l i t zo p e r 曲叫 1 2 基本概念及符号 2 1 3 研究意义 2 第二章基本知识 5 2 1 h a r d y 空间 5 2 2 b e r g m a n 空间 7 第三章序群上f r e d h o l mt o e p l i t z 算子的特征 9 3 1 一些备用知识 9 3 2 序群上f r e d h o l m 的t o e p l i t z 算子 9 第四章h a r d y 空间上的不变子空间1 3 4 1 一些备用引理1 3 4 2 主要结果及证明1 3 参考文献2 5 攻读学位期间取得的研究成果2 9 致谢3 l 浙江师范大学学位论文独创性声明3 3 学位论文使用授权声明3 3 【。一 第一章绪论 1 1研究背景及其现状 函数空间上的算子理论，因为与算子代数，函数论以及拓扑学等数学分支的紧密联 系。特别从上世纪二三十年代开始，随着线性算子理论的不断发展，算子理论的应用领 域也开始逐渐广泛，已经深入到量子物理，动力系统，概率论等诸多学科中，对算子理 论及代数的研究也己成为一个非常活跃的研究方向 作为算子理论最重要的内容之一，不变子空间结构的刻划问题也越来越受到人们的 关注，许多人对此做了大量的研究并得到了一些很好的结果 t o e p l i t z 算子理论的开始于t o e p l i t z 矩阵的研究，t o e p l i t zo f 5 1 等人对此类矩阵的 研究作了开拓性的工作。在随后的几十年间，h a r m a np t 和w i n t n e ra f 6 】 7 】在这方面 做了很多工作，研究t o e p l i t z 矩阵谱。1 9 6 4 年美国数学家b r o w na 和h a l m o sp 【8 1 利 用算子语言给出了经典的h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子的定义，并许多h a r m a np t 和 w i n t n e ra 的工作结果推广到一般的有界的t o e p l i t z 算子 在1 9 4 9 年，a r n eb e u r l i n g 给出了h a r d y 空间中单侧移位算子s 的不变子空间的 完全刻划，他借助内函数对日2 的不变子空间进行了分类，这一算子理论和函数论中发 挥着重要的作用。用h a r d y 空间的形式可表述为： b e u r l i n g 定理1 9 ( 1 9 4 9 ，a r n e b e u r l i n g ) ：h 2 上的单侧移位算子s = m z 的非平凡不 变子空间是妒( 日2 ) ，其中9 为h 2 上的内函数 人们对h a r d y 空间的研究起步较早，比较系统的成果可见文献f 1 1 【2 】，故算子理论 也相对比较成熟。而对b e r g m m a 空间及其上算子理论的研究较晚，见文献f 3 】 4 】。就它 们函数本身而言，其申一个重要的差别在于h a r d y 空间中的函数边界值几乎处处存在， 而在b e r g m a a 空间上就变得不一样了 t o e p l i t z 算子这么多问题中，t o e p l i t z 代数的相关问题，换位以及约化问题一直 是t o e p l i t z 算子问题中，人们比较感兴趣的一些课题尤其是，在某些特定条件 下，t o e p l i t z 代数所具备的性质和符号为有限b l a s c h k e 乘积的解析t o e p l i t z 算子， 因为这种刻划能帮助我们理解算子的结构。在h a r d y 空间上，上世纪七八十年代， 国外的j a d e d d e n s ，t k w o n g 1 0 1 论证了若f 是日中非退化单叶解析函数，则 t f ) ，- 见) ，并提出了六个问题，这大大促进了该领域以后进一步的工作。基于这些 工作，b a k e r ，d e d d e n s ，u l l m a nf 1 1 证明了若f 是整函数，则存在整数k 使得 t p 7 = 磁) 。1 9 7 6 年，j e t h o m s o nf 1 2 】运用函数论的方法，得出了 砰) = 磁) ，并算出 了以二阶b l a s c h k e 乘积的解析t o e p l i t z 算子换位，孙善利【3 2 利用这些结果完全刻 划了，当垆( z ) = b 2 ( z ) = ( 啬芒壹) ( 尚芒爱) ( 口，卢d ) 时，h a r d y 空间上，瓦的约化子 空间此后，曹广福 3 4 】等人还计算出符号为有限b l a s c h k e 乘积的解析t o e p l i t z 算子 换位，并且得出了符号为b l a s c h k e 乘积的解析t o e p l i t z 算子是不可约的当且仅当它 的符号是一阶b l a s c h k e 因子。2 0 0 4 年严从荃和王霞f 3 3 】对符号为b l a s c h k e 乘积的解 析t o e p l i t z 算子给出了约化子空间的具体构造2 0 0 7 年孙善利和王小利进一步研究 了，妒( z ) = b s ( z ) = ( 蠢慧) ( 函岛) ( 南嚣) ( q ，p ，7 ，d ) 时，巧约化子空间并得到了 一些结果 由于h a r d y 空间日2 ( d ) 上的t o e p l i t z 算子，可以通过一个自然的方式看成是序 群g 上定义的t o e p l i t z 算子g j m u r p h y 2 9 1 首先研究了序群上的t o e p l i t z 算子和 t o e p l i t z 代数此后，群上t o e p h t z 算子及t o e p l i t z 代数得到了广泛的研究例如：国内 上海师范大学许庄祥教授在此领域有比较深入的研究我们在第三章，通过a b e l 群到 r 的同态映射，给出了相应序群g 上t o e p l i t z 算子是f r e d h o l m 的一个刻划，在此方面 进行了一些初步的探讨因此，一般序群上的t o e p l i t z 算子及t o e p l i t z 代数可以看成 h a r d y 空间上t o e p l i t z 算子及t o e p l i t z 代数的自然推广 1 2 基本概念及符号 令d 表示复平面c 上的开单位圆盘，t 为单位圆周，日2 表示t 上的h a r d y 空 间，日o o 是d 上的有界解析函数代数 设p 表示l 2 ( 丁) 到日2 上的正交射影，对于妒l ( t ) ，l 是日2 上定义的t o e p l i t z 算子：( 0 ，) ( z ) = 【p ( 妒川( z ) ，v ，日2 当妒h 时，兄称为解析t o e p l i t z 算子，此时 ( l 厂) ( z ) = 妒( z ) ，( z ) ，v 俨 l ( 日2 ) 表示h 2 上的所有有界线性算子的b a n a c h 代数i s ) 7 表示s l ( h 2 ) 的换 位即，s 7 = t i t6 l ( h 2 ) ，s t = t s 设b ：d d 是解析映射，用表示在日2 上如下定义的复合算子： ( c b f ) ( z ) = ( ，0b ) ( z ) ，v j f h 2 由文献【1 3 】可知，c b l ( h 2 ) ( ，) 表示h 2 上的内积，令k z ( ) 、) = 南，v z d 设b z = j e 7 z ( a ) = ( 葡z - a ) ，a d ，i z i 1 ，表示一个b l a s c h k e 因子。若b g 是函数 f h 的内外分解，即f = b g ，因为乃是稠值域的，这意味着死是单射，则 k e r t f + = k e r ( t c + 码+ ) = k e r t b 。 1 3 研究意义 1 9 4 9 年b e u r l i n g 研究了经典h a r d y 空间的不变子空间( b e u r l i n g 定理) 。b e u r h n g 借助内函数对的不变子空间进行了分类，这一理论在算子理论和函数论中发挥着重要 作用。后来他的理论被l a x ，h e l s o n ，l o w d e s l a g e r ，h a l m o s 等拓展到了其他的许多方面。同 时，b e u r l i n g 的理论对实轴线上的调和分析，预测理论，代数的表示，半群的表示。函数 代数等研究产生了深远的影响 在2 0 世纪7 0 年代，j a d e d d e n s 和t k w o n g 1 4 1 论证了若f 是日中非退 化的单叶解析函数，则 砰) = 【兄) 7 1 9 7 6 年j e t h o m s o n 1 2 】得出了 昂) = 第一章绪论 f 死，7 ，t h o m s o n 还算出了以二阶b l a s c h k e 因子积的解析的t o e p l i t z 算子的换位， 孙善利【3 2 1 利用此结果完全刻划了此类算子的约化子空间 此后，曹广福f 3 4 1 等人还计算出h a r d y 空间上，符号为有限b l a s c h k e 乘积的解析 t o e p l i t z 算子的换位，并得出符号为符号为b l a s c h k e 乘积的解析t o e p l i t z 算子是不可 约的当且仅当它的符号是一阶b l a s c h k e 因子。2 0 0 4 年，孙顺华等人1 1 5 通过构造从 双圆盘b e r g m a n 空间到双圆周h a r d y 空间的等距嵌入，刻划了双圆盘上符号国有限 b l a s c h k e 因子积的解析t o e p l i t z 算子的换位和约化子空间。2 0 0 7 年，孙善利和王小利 f 3 5 1 用函数论的方法刻划了三个b l a s c h k e 因子积的解析t o e p l i t z 算子的约化子空间 事实上，对于h a r d y 空间，从曹广福【3 4 等人的研究结果知道，n 个b l a s c h k e 因子 积的解析t o e p l i t z 算子的约化子空间是存在的，但人们至今还未能进行完全刻划 第二章基本知识 本章主要介绍h a r d y 空间和b e r g m a n 空间上的基本知识，以及分别介绍h a r d y 空 间上和b e r g m a n 空i e 上相应的b e u r l i n g 定理与内外分解 2 1 h a r d y 空间 假设d 表示复平面c 中的开单位圆盘，t 表示单位圆周( 即d 的边界) ，d m ( z ) 表 示t 上的l e b e s g u e 测度，p ( t ) 表示t 上的l e b e s g u ep 次可积的函数空间，7 - ( d ) 表 示在d 上解析的函数全体。对于，何( d ) ，有幂级数表示： 对于p 1 ，令 i ifl i ；= i 氕州p ， n - = 0 记 日p = ，7 ( d ) ：i i l i p o o ) ， 则日p 按通常的函数乘法及数乘构成线性空间，而且l i l i p 为护上的范数。在此范数 下，日p 为b a n a c h 空间，当p = 2 时，日p 为h i l b e r t 空间。 h a r d y 空间日2 ( 丁) 定义为： 日2 ( 丁) = ，2 ( 丁) ：，( 一n ) = 去露丌，e 们d 8 ，n = 1 ，2 ) 它是l 2 ( t ) 的闭子空 间对每个f h 2 ( 丁) ，f 有f o u r i e r 级数 因为 i ( n ) 1 2 = i i ，1 1 2 胡 矿 ， 脚 = 删 矿n 脚 = 勺 ， 6 一- 一 可以看到，对每个w d ，赋值泛函玩：h 2 ( 丁) _ c ，h ，) 是连续的，由船z 表示定理，存在唯一的日2 ( t ) 使得 f ( w ) = 称为h a r d y 空间在w 点的再生核 下面将具体写出玩的表示形式设：曼( 伽) e i 佗0 ，那么 n = o 铷“= = 硐 = 厕，礼= o ，1 ， 七 因此，( ) = 西n ，这给出了 k 产子f f j n e i 甜：1 _ = 甜= f 杀 1 一 - d t f n = o 。 因此，由c a r u c h y 积分公式：对f h 2 ( 丁) ，w d 舳) = 磊1 2 开等硼 = 熹上罄 设玩= 横洳= 等掣是正则化的再生核，那么i 1 2 ：南等是p 。i s s 。n 核 对f 日2 ( t ) ，我们有 伽) - 凰跏一。n ) 斟础 石7 in i e 一叫i 这就是我们熟悉的p o i s s o n 积分公式 设m 是正的一个非平凡不变子空间，那么存在内函数7 7 使得m ：7 7 日2 ( 丁) 设日是一个h i l b e r t 空间，并且s ：日_ h 是等距算子，即i l s h l l = i l h l l h h 置 h o = hes h ，巩= n8 n h n 那么，我们有下面的v o n n e u m a n n w o l d 分解定理 定理2 1 21 3 剐( v o n n e u m a n n w o l d ) 分解定理日有分解 h = h oo s 凰0s 2 凰0 0 比 进一步，乩约化s ，s l 曰。是酉的 使用b e u r l i n g 定理，我们可获得如下的h 2 ( 丁) 函数内外分解定理 定理2 1 3 设，日2 ( t ) ，那么存在内函数和7 7 和外函数夕，使得，：硼 第二章基本知识7 2 2 b e r g m a n 空间 d 上的正规化l e b e s g u e 测度我们用d a 表示，在直角坐标和极坐标的表示分别为： d a ( 名) = 妻d z d 夕= 要r d r d 口，z = z + t = r e t 口 对于q ( 一1 ，o 。) ，定义d 上的一个测度 d a 。( z ) = ( 1 + q ) ( 1 一i z l 2 ) 。d a ( z ) 对于p ( 0 ，o 。) ，d 上相对于测度d a a ( z ) 且p 次可积的l e b e s g u e 空间用p ( d ，d a 口( z ) ) 表示。1 2 ( d ，d a a ( z ) ) 中的元素，( z ) 的范数定义为： y l l p , o = 【上l m 妒地( 拼； 当p 1 ，o o ) 时，2 ( d ，d a 口( ：) ) 在上面定义的范数下成为一个b a n c h 空间，当p ( 0 ，1 ) 时，上尸( d ，d a 口( z ) ) 按下面的度量 d ( f ，9 ) = i i ，一夕q 成为一个完备的度量空间。扩( d ，d a 口( z ) ) 中解析函数全体组成的子空间就定义为d 上 的加权b e r g m a n 空间，用月暑( d ) = a 暑表示 命题2 2 1 ，如果0 p + 。和f a p ，那么存在一个a p 内函数g ，和一个循环 向量f ，使得，= g f 进一步，l i f i i p l i 州p 命题2 2 2 ( b e u r l i n 9 型定理) 假设m 是b e r g m a n 空间上的一个不变子空间，则有m = 【mez m 】 第三章序群上f r e d h o l mt o e p i i t z 算子的特征 在t o e p l i t z 算子理论中重要的问题之一，就是t o e p l i t z 代数的相关问题在某些特 定条件下，t o e p l i t z 代数所具有的性质，就变得重要起来 下面，我们利用a b e l 群到r 的同态映射，给出了序群上t o e p l i t z 算子是f r e d h o l m 的一个特征 3 1 一些备用知识 令g 是一个离散阿贝尔群，a ：g 一兄是一个同态映射由同态映射a ，在f 2 ( g ) 上， 我们可以定义一个无界自伴算子d ： b ( e 9 ) = a ( 夕) e 9 ，vg g 这里 e 9 ) 9 g 是2 2 ( g ) 的一组基也就是说， r ，。 ( ) ： 1 九_ 9 【0 ，h 夕 记台是群g 的对偶群，则0 是一个紧阿贝尔群毛表示e 9 的f o u r i e r 变换，那么 ( 岛) 妊g 形成了l 2 ( 台) 的一组基在胪( 含) 上通过b ，定义算子d ： d ( 岛) = d ( 白) = 入白) 岛 则在l 2 ( 0 ) 上d 是一个无界自伴算子，其谱为： 盯( d ) = , x c g ) l g g ) 显然，对任意g g ，入( 夕) 是d 上的特征值，其相应的特征空间是s p a n 芭1 a ( h ) = a ( 9 ) ) 令l 2 ( 含) = s p a n a gj a 0 ) o ，g g ) ，则g 上由入所决定的h a r d y 空间h 2 ( g ) 是l 2 ( 含) 的闭子空间，日( g ) = 日2 ( g ) nl ( 0 ) p e ( l 2 ( 0 ) ) 表示在区间【0 ，o 。) 上 d 的谱投影 以西为符号的t o e p l i t z 算子乃定义为： 乃( ，) = p ( ，) 3 2 序群上f r e d h o l m 的t o e p l i t z 算子 命题3 2 1 若，妒2 ( 含) ，$ 日( g ) 或妒日。o ( g ) ，则乃孔= 1 0 证明：若矽h ( g ) ，则对任意的，日( g ) ，有妒，日( g ) 因此， 乃巧( ，) = p ，) = 乃 ，) = p ( c v ) = ( ，) 类似地 巧巧= 毛巧= 因此 乃乃= ( 巧巧) 。= ( ) ) 。= = 证毕 定义3 2 1 若a ：ghr 同态映射，则k e r a 是g 的一个正规子群若子群k e r a 在g 内f g ：k e r a 是有限的也就是说， g k e r a 是一个有限群，那么我们称a 在r 具 有有限特征 若入( g ) 是r 中的个离散群，则称a 是离散的 定理3 2 1 以下条件是等价的： ( i )a 是离散的且是r 上的有限特征； ( i i ) vg g ， c l o a ( h ) l a ( g ) l 是一个有限集； ( i i i ) 在l 2 ( 0 ) 上：对每个毋c ( 含) ，尸心一心p 是一个紧算子，这里地是l 2 ( g ) 上的乘法算子： ( i u ) 圣：c ( 含) 一( b k ) ( h 2 ( g ) )咖h 【引 是一个口一单位同态，这里( b k ) ( h 2 ( g ) ) 是h a r d y 空间日2 ( g ) 上的c a l k i n 代数； ( ) 映射gh 毛 ，g _ ( b k ) ( h 2 ( g ) ) 是可乘的； ( v i ) v h g ，乇是一个f r e d h o l m 算子在这种情况，的指标为： l 一c 1 0sa ( h ) 0 ，n d ( 乇) = c 1 0 a ( ) i a ( 夕) ，a ( 9 ) 0 ，那么p 帆= 耽 尸| 一 ( ) ，) 因此 户讹一尥。p = 尥。【置一a ( ) ，) 一p 1 = 尥。毋一a ( ) ，o l 第三章序群上f 兄e d 日d l m 丁0 e p l j t z 算子的特征 1 1 显然，只一 ( _ 1 1 ) ，0 】是由 芭9 1 9 g ，一入( ) a ( 夕) so ) 所张成子空间上投影，由( i i ) 可知， 其子空间是有限维的因此，p 他。一尥。p 也如此由上述证明可知，在日2 ( g ) 上，对每 个c ( 雪) ，p 一心p 是一个紧算子 ( i i i ) 辛( i v ) v ，妒c ( 0 ) ， = 【而 - 【p 心p 帆】_ 【p 蛳执】- 【p 朋如】- 【】 西( 咖妒) = 圣( ) 圣( 妒) ，圣( 1 ) = 1 圣( ) = f 乃 = f 乃。】= 乃】= 圣( ) ( v i ) 兮( u ) g + hhm + 。】= 【死。b 】= 【正，】【正。】 ( u ) 兮( v i ) 【正，】m ，】= 【】 疋，】= 【】【毛】= 【乃】= 因此 毛】是c a l k i n 代数( b k ) ( h 2 ( g ) ) 上的酉算子从而，【毛】是一个f r e d h o l m 算 子 ( v i ) 兮( i i ) v 芑 h 2 ( g ) ，h g ，入( ) 0 ， 疋。c 乏 ，= p c 乏 + 9 ，= 0 ， 如果a ( 夕) 0 ， k e r t ,s p a n 芭h l a ( g ) + a ( h ) o ) s p a n 芭h l o a ( h ) 一a ( 9 ) ) 七e 7 t l = s p a n 芭h l o 入( 九) 入( 夕) ) i n d ( t , ，) = 0 一i ( g 1 0 入( ) 入0 ) ) = - l h g i o 入( ) l a ( 夕) 1 ) i i n d ( t a 。) g i o 入( ) 一a ( 夕) ) i 一0 ( g i o 入( 愚) l a ( g ) l 1 若a ( 夕) = 0 ，岛，巧h 2 ( g ) ，则有毪正。= 正，吃= ，因此， i n d ( t 。) = 0 1 2 所以，v9 g ， c l o a ( ) 7 ( 互o7 i = 1 ) 6 ) ( 0 ) 6 1扎学 一盟产扎 一掣z e ： o ： 令g = p z 6 ，k = 让z 6 ：h = y z 6 ，则 ( 6 ) ( 0 ) 61 夕( 6 ) ( o ) 61 go 讥( z ) = - # z 6 ，h o7 7 ：3 ( z ) = 7 2 6 ，七o7 7 2 ( z ) = 一u z 6 其中p ：忌，h c ，则u = p ，令p = c + d t ， 因此，= ( a i ) z 6 ，夕= ( c + d i ) z 6 ，h = ( 觇) z 6 ，克= ( c + d i ) z 6 ， 这里，9 ，h ，七h ，a ，6 ，c ，d 是实数 相反的证明容易验证，证毕。 定理4 2 5 若伽， 7 2 ，铂：仉：d 如上所示，则 丁硒4 ；0t = ( 乃c 7 7 1 + 毛c 7 7 2 + t h + t k c7 7 ：4 ) 且 夕：h ：k 取下面的其中一组 ( 1 ) f = 夕= h = k = 0 第四章h a r d y 空间上的不变子空间 ( 2 ) f = - 8 i z 6 ，h = 8 i z 6 ，夕= k = 0 ( 3 ) f = - 1 6 i z 6 ，h = 8 i z 6 ，g = 七= 0 ( 4 ) f = - 8 i z 6 ，h = - 8 i z 6 ，9 = k = 0 证明：设t 如则t t ) ，而且是自伴的 由引理4 2 4 ，我们有 t = 孤( 乃c 叼1 + t 9 c , 7 2 + t h c n 3 + t k c 7 7 4 ) f = ( a i ) z 6 ，夕= ( c + d i ) z 6 ，h = ( b i ) z 6 ，k = ( c + d i ) z 6 ， 这里f ，9 ，h ，k 日，a ，b ，c ，d 是实数 由定理4 2 3 ，可知 墨。c 丝。 ( 一1 6 i ) 0 = ( a i ) o + ( c + 出) ( n i 一跣) ( 一1 ) + ( b ) 0 + ( c + 出) ( c + d t o t ) ( 一1 ) ( 4 1 2 1 ) ( 一1 6 i ) ( a i + 2 c + 2 d i + b i ) = a i c a i + 2 c + 2 d i + b i ) 一( c + d i ) ( 2 a i + 2 c + 2 d i ) + o ) ( a i + b i + 2 c + 2 d i ) 一( c + d i ) ( b i + 3 c + 3 d i ) ( 4 1 2 2 ) ( 一1 6 i ) 【一2 c + ( a + b 一2 d ) i 】= a i - 2 c + ( 口+ b 一2 d ) i 】+ ( c + d i ) - 2 c + ( 口+ b 一2 d ) i 】 + ( b ) - 2 c ( a + b 一2 d ) i 】+ ( c + d i ) - 2 c + ( a + b 一2 d ) 】 ( 4 1 2 3 ) ( 一1 6 i ) ( a b ) i = ( 口t ) ( o 一6 ) 一( c 十d t ) ( 口一6 ) i ( 一i ) 十统( 口一6 ) t ( 一1 ) 一( c + d 1 ) ( 口一6 ) i i ( 4 1 2 4 ) 将( 4 1 2 1 ) ( 4 1 2 2 ) ( 4 1 2 3 ) ( 4 1 2 4 ) 化简之后，得 ( d 2 一d 6 一c ；2 ) + c ( 6 2 d ) i = 0( 4 1 2 5 ) ( 1 6 a + 1 6 6 + 3 2 d + 口2 + 2 a b 一5 d 2 + 5 c 2 + 6 d + b 2 ) ( 1 0 c d 一3 2 c b c ) i = 0( 4 1 2 6 ) ( 1 6 a + 1 6 b 一3 2 d + a 2 + 2 a b 一4 d 2 + 4 c 2 + 6 d + b 2 ) ( 3 2 c + 8 c d ) t = 0 1 6 b 一1 6 a a 2 一b 2 士2 a b = 0 当c = 0 ，d = 0 时， 若8 - - - - 一b ，则有 罄或( 口b - - ：8 8 ； 若a = 一1 6 - b ，则有( 罄1 6 或( 罄8 ； 若a = b ，则有( 鹄或_ 誉8 ； ( 4 1 2 7 ) ( 4 1 2 8 ) 若a = b - 1 6 ，则有 罄1 6 或 罄8 综上所述，故，= g = h = k = 0 或f = 一8 i z 6 ，h = 8 i ，夕= k = 0 或，= 一1 6 i z 6 ，h = 8 i z 6 ，夕= 七= 0 或f = 一8 i z 6 ，h = 一8 i z 6 ，夕= 惫= 0 反过来，容易验证，证毕 下面我们讨论一般的情况 设妒( z ) = b 4 ( z ) = ( 高空1 - 2 a z 、，立l e l 芒爱) ( 青芒甍) ( 高圭麦) ( 口，p ，7 ，巧d ) ，其中f ，已，6 ，矗 是妒1o 妒在d r 上的四个分支，则妒o & ( z ) = 妒( 名) ，i = 1 ，2 ，3 于是， ( c t 一邑) ( 届一已) ( 7 一已) ( 占一& ) i q 口7 占 丌磊酉f 刁砑f 琢丽两2 丽 化简后得 出一( q + 口+ 7 + 万) + ( 而+ 而+ 刁+ 阳) 渊c 3 ，? 。4 上i ：1 2 ，? ? 1 一l q p 7 6 i 垆 m ( 7 6 + q 口一口 ，+ q 6 一口7 + 口6 ) 一( 劢+ 丽+ 研+ 丽+ 两+ 两) c 2 十丁可荔丽一一一q 二鱼兰堕二_ 兰丝二l 竺i 壁竺专耋箬孑毛 曼型& + 竺等瓣= o ( 4 1 2 9 ) 一；q 多一7 6 ” 1 一l q p y 6 i 妒 。 、 。 1 其中t = 1 ，2 ，3 记 d 7 = = i i ( & 一白) 1 1 0 s t 4 命题4 2 6 假设妒( z 1 ：2 ，岛，已，d ，如上所示，则5 5 7 = _ ( 码( 乃q x + 乃+ 死磊。+ 疋e 0 ) i f ，g ，h ，七h ，且对任意p 日2 ，足= 古( 即。善z + g p o f 2 + h p 。f 3 + 却。矗) 可扩张为h 2 中的函数) 命题4 2 7 假设妒( z ) ，l ，已，6 ，& ，d 7 ，如上所示，则磺= 码( 乃瞑。+ 乃0 & 十 孔& 。+ 疋众。) i f ，夕，h ，k h ，且满足 ，+ 夕+ 十七= - i f ( f 十g + h + 七) 。l 十9 ( f + 夕+ 九十七) 。巳 + ( ，+ 夕+ h + 七) o 3 + k ( + 9 + h + k ) o 白】( 4 1 3 0 ) ，1 + 9 + 嗨+ j l ：& = 万1 ( ，( ，f l + 夕专2 + k 3 + 七已) 。1 + 9 ( ，1 + 夕巳十，略+ 七矗) 。6 + ( ，1 十9 已+ 圯+ 七& ) o6 + 七( 凡l + g 2 + 蟾+ 七矗) o 】 l爵醴 1 6 德器g管 l 6 酲g 第四章h a r d y 空间上的不变子空间2 1 厂髫+ 夕g + 增+ 七爵= 百t i 八，1 2 + 夕酲+ 九髫+ 七爵) o 1 + 夕( ，聍+ 夕酲+ 器+ 爵) o 2 + ( ，聍+ 夕器+ 甓+ 七器) o6 十七( ，等4 - 鲥- 4 - 危器- 4 - 七爵) o 矗】 ( 4 1 3 2 ) ，g + 9 露+ 增+ 七爵= 百il 八j 1 3 + 夕露+ 九露十七醴) o6 + 夕( ，器+ 9 露+ 九器+ 忌爵) o 已 + ( ，爵+ 9 醴+ 爵+ 七爵) o 岛+ 七( ，鲁+ 鲥+ 毋+ 七) o 矗】 ( 4 1 3 3 ) 且对任意p 何2 ，r = 古( ，p of 1 + g p o 已+ h po 3 + k po 矗) 可扩张为日2 中的函数) 证明：假设p 2 硫，则恳 耳) ，由命题4 2 7 ，存在，g ，h ，忌h 使得 户2 = ( 乃嚷，+ 乃+ 死+ 瓦) ，碍= 恳 将砰= 恳作用在1 上，由劈( 1 ) = 恳( 1 ) 得( 4 1 ，3 0 ) 式 将霹= p 2 作用在z 上，由露( z ) = b ( z ) 得( 4 1 3 1 ) 式 将碍= 岛作用在户上，由鼍( z 2 ) = 岛( z 2 ) 得( 4 1 3 2 ) 式 将碍= 岛作用在z 3 上，由鼍z 3 ) = 岛( z 3 ) 得( 4 1 3 3 ) 式 即，定理中的等式左边包含右边 反过来，令( 4 1 2 9 ) 式中，醇的系数为a ，等的系数为b ，6 的系数为c ，常数项为 d 如果( 4 1 3 0 ) ( 4 1 3 1 ) ( 4 1 3 2 ) ( 4 1 3 3 ) 式成立，再结合( 4 1 2 9 ) 式，那么有， 1 p ；( z 4 ) = 而t 【八j 乞1 4 + 夕酲- 4 - 九爵+ 七爵) o6 + g ( ，髫+ 夕爵+ 7 + 惫爵) o 已 + ( ，g + 9 爵+ 九爵+ 七爵) o 已+ 七( ，爵+ 9 酲+ 嘏+ 七爵) o 】 = ( 一a ) 去【，( ，g - i - 9 髫+ 气爵十七爵) o6 - 4 - 9 ( ，f ；+ 9 露+ 丸醇+ 七酲) o 2 + ( ，爵+ 9 酲+ h e , ；+ 七爵) o6 十七( ，；十夕醴+ 丸露+ 七爵) o 】 + ( 一b ) 寺【，( ，f ；十夕酲十 器+ 七爵) of 1 + 9 ( ，f + g 酲+ 气管+ 七髫) o 已 + ( ，器+ 夕f ；+ f ；+ 七爵) o 3 + 凫( ，鲁+ 夕酲+ k ；+ 七；) o 矗】 + ( 一c ) 音 ，( ，f 1 - 4 - 蜘+ 6 + 七6 ) o 1 + g ( f f x + 夕已+ 6 + 七已) o 巳 + 九( ，1 + 9 已+ ，婚+ 七& ) 06 + 忌( ，f