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硕士论文 基于跳扩散模型的最优投资策略研究 摘要 2 0 0 0 年，x y z h o u 和d l i 在连续时间下均值方差组合选择问题一文中， 利用随机线性二次型控制理论，研究了当资产价格满足随机扩散微分方程时的最优投 资组合策略，给出了投资组合的有效前沿。 本文在x y z h o u 和d l i 等工作的基础上，考虑了当资产价格变化过程满足跳跃 扩散微分方程时的投资组合选择问题。 类比于x y z h o u 和d l i 的研究思路，文中利用扩展的伊藤法则，将资产价格变 动中的跳跃部分分解成非随机项和随机项两部分，再将投资者希望的最大化其投资收 益同时最小化其风险这一双目标函数，通过对两个目标分别赋予相应权重，进而将其 改写成单目标函数。利用现代控制论中的随机线性二次型控制理论，求出了满足目标 函数的最优控制，即给出了对于无风险资产和风险资产各自的投资份额的解析解。同 样地，我们也给出了该最优组合选择问题的有效前沿。本文所得的结果可视为 x y z h o u 和d l i 等工作的一个自然推广。 关键词：跳跃扩散模型，均值方差，投资组合，随机线性二次型方法，有效前沿 a b s t r a c t硕士论文 a b s t r a c t x y = z h o ua n dd l i ，i n2 0 0 0 ，s t u d i e dt h eo p t i m a lp o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e mb y v i r t u eo fs t o c h a s t i cl i n e a r - q u a d r a t i cc o n t r o lt h e o r yw h e nt h ea s s e tp r i c ep r o c e s ss a t i s f y i n ga d i f f u s i o ns t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n , a n do b t a i n e dt h ee f f i c i e n tf r o n t i e rf o rt h i s p o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e m f o l l o w i n gt h ew o r ko fx yz h o ua n dd l i ，w ep a yo u ra t t e n t i o no nt h eo p t i m a l p o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e mw h e nt h ep r i c ep r o c e s ss a t i s f y i n gaj u m p - d i f f u s i o ns t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n a n a l o g yt ot h er e s e a r c ho fx yz h o ua n dd l i ，w eu s et h ei t of o r m u l a t i o nt o d e c o m p o s et h ej u m pi nt h ep r i c ep r o c e s si n t ot w op a r t s ：ad e t e r m i n i s t i cp a r ta n da s t o c h a s t i cp a r t ( r e a l i s t i cs i t u a t i o n ) i no r d e rt om a x i m i z ei t si n v e s t m e n tr e t u r n sa n dt o m i n i m i z et h er i s k , w ea d o p tt oc o m b i n et h e s et w oo b j e c t i v ef u n c t i o n si n t oal i n e a rs i n g l e o b j e c t i v ef u n c t i o nb yp u t t i n gw e i g h t so nt h et w oc r i t e r i a w ea l s og e ta na n a l y t i cs o l u t i o n o ft h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mb yu s i n gt h es t o c h a s t i cl i n e a r - q u a d r a t i cm e t h o d s i m i l a r l y , w ea r r i v ea tt h ee f f i c i e n tf r o n t i e ro ft h eo p t i m a lp o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e mp o s e di nt h e p r e s e n tp a p e r , t o o t h ec o n c l u s i o n so b t a i n e d h e r ec a nb e r e g a r d e da s an a t u r a l g e n e r a l i z a t i o nt ot h ew o r ko fx yz h o ua n dd l i k e yw o r d ：j a m p - d i f f u s i o nm o d e l ，m e a n - v a r i a n c e ，p o r t f o l i o ，s t o c h a s t i cl i n e a r - q u a d r a t i c m e t h o d ，t h ee f f i c i e n tf r o n t i e r i i 声明尸i 刃 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 夕7 口年多月节日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 硕士论文 基于跳扩散模型的最优投资策略研究 1 引言 1 1 理论背景 投资组合管理是现代金融学和现代投资理论的重要研究领域之一，是当今金融工 程中的重要研究内容，也是金融风险管理的重要手段和技术。m a r k o w i t z 1 - 2 1 于1 9 5 2 年 在o o u m a lo f f i n a n c e ) ) 中发表了具有里程碑意义的论文 p o r t f o l i os e l e c t i o n ) ) ，并1 9 5 9 年出版了论著 p o r t f o l i os e l e c t i o n ：e 伍c i e n td i v e r s i f i c a t i o no fi n v e s t m e n t s ) ) ，在这两篇 论著中，m a r k o w i t z 阐述了如何构造一个投资组合的边界以使得在给定的风险水平下 组合中的每一证券的预期收益率都达到最大化，此即经典的均值方差理论。这一组 合选择理论既是金融投资定量化系统理论研究的开端，构成了投资组合理论的核心基 础，也是投资组合管理与风险等相关决策实践的重要的研究工具。 自m a r k o w i t z 之后，很多研究者都在这一理论和方法的基础上开展投资组合理论 的研究工作，19 6 4 年、19 6 5 年和19 6 6 年，w i l l i 锄s h a r p e t 3 1 ，j 0 l ml i n m e r t 4 1 ，j a nm o s s i n t 5 1 三人分别独立地提出了著名的资本资产定价模型( c a p m ) ，它是第一个在不确定的 条件下探讨资本资产定价理论的模型，为金融市场收益结构的分析提供了理论依据。 19 6 5 年，f 锄a 【6 】和s a m u e l s o n 7 提出了有效市场理论。19 7 3 年，m 醣o n 【8 j 推导连续时 间交易情况下，资产收益率是对数正态分布的资本资产定价模型，开始了时际资本资 产定价模型的研究。1 9 7 6 年，r o s s | 9 j 突破性的发展了资本资产定价模型，提出了套利 定价理论( a p t ) ，为现代投资组合理论的发展和金融市场的壮大奠定了坚实的基础。 投资组合选择实质上是投资者在不确定环境下怎样进行资产配置。投资组合理论 研究的主要内容是指，在不确定的环境下，对投资收益和相应承担的风险进行计量， 为投资者作出投资决策，提供理论上的支持，而伴随着当代各种科学技术的飞速发展， 也为投资组合理论、建模以及数值计算等提供了多方位的支持。 经过半个世纪的发展，关于投资组合选择问题，无论在组合选择的理论研究上， 还是在实证分析中都取得的长足进展，研究成果也极为丰硕。 1 2 研究现状 m a r k o w i t z 于1 9 5 2 年、1 9 5 9 年最早提出了关于投资组合的均值方差方法，开创 了投资选择的定量化研究之先河。在m a r k o w i t z 开创性的工作之后，均值方差模型 被迅速推广到多时期的投资组合选择问题应用中。然而，相比于单时期模型的解析结 果，多时期投资组合选择问题的均值方差有效前沿还没有得到解析解。对于多时期 投资组合选择的研究一直被最大化期终财富的期望效用所主导，即最大化 1 引言硕士论文 e lu ( x ( 丁) ) i ，其中u 是一个效用函数。对数型、指数型、二次型的效用函数已经被 广泛的研究过了。这些研究结果的不足在于最优投资策略缺乏长远考虑。原因是利用 期终财富的效用函数来研究多时期投资组合选择问题时，一方面难以确定投资者的效 用函数，另一方面，有关风险和期望收益的交易信息并不明显，使得许多投资者在做 决策时凭的是直觉。在这一意义上，m a r k o w i t z 的均值方差方法并没有被充分利用于 动态的，多时期投资决策中。 关于投资组合的研究，最初，仅局限于单阶段资产组合选择问题，即不考虑投资 期间投资组合的调整问题，投资者在期初购买某一资产组合并将其持有到投资期结 束，这显然与实际的投资行为不吻合。而在实际的投资环境中，资产的收益分布往往 也随阶段不同而变化。为此，一大批金融经济学家将单期的均值方差投资组合选择 理论推广到多期，得到了离散时间和连续时间多阶段模型。m o s s i n 发表于1 9 6 8 年的 文章最早考虑多阶段投资组合问题，他用动态规划方法将m a r k o w i t z 的单阶段模型推 广到多阶段的情况。1 9 7 2 年，m e r t o n 给出了标准形式的m a r k o w i t z 均值方差模型的 解析解。此后，m e 加n 【1 伽1 1 】和s a m u l e s o n l l 2 1 构造了多阶段模型的一个可参考的框架。 c h e n , j e n 和z i o n t s ”】改进了s m i t h 提出的模型，并将其推广到了多阶段的情况。 h a k a n s s o n 【1 4 1 给出了多阶段均值方差分析。 国内有关投资组合理论的研究和应用起步较晚，与西方市场经济国家已经形成了 成熟的理论体系相比存在着差距，尽管如此，我国学者已经在这一领域作出了许多重 要的、创造性的贡献。王秀国和邱菀华【1 5 】研究了均值方差偏好和下方风险控制下的动 态投资组合决策模型。陈收、邓晓铁、汪寿阳和周奕【1 6 】在均值方差模型基础上、引 入随资本结构变化对利率影响这一重要因素，研究其对投资组合有效边界及有效组合 的作用以及优化模型的解析解。李婷和张卫国【1 7 】研究了在预期收益和v a r 约束下存 在无风险资产的投资组合问题。陈伟忠【l8 l 和侯为波、徐成贤【1 9 1 研究了允许卖空条件 下证券数量增加对于证券组合m v 有效前沿的漂移。张卫国掣2 0 - 2 2 进一步研究了不 允许卖空条件下证券数量增加或者预期收益变化对于证券组合投资比例及m v 有效 前沿影响的动态问题。 2 0 0 0 年，z h o u 和l i l 2 3 1 利用随机线性二次型控制原理，研究了均值方差最优化 问题，得到了连续时间下，均值方差组合选择问题的最优投资策略的解析解和有效 前沿的显式表示。此文的特别之处在于将原始问题通过处理转变成一个随机最优线性 二次型问题，并利用线性二次型理论求解。而原始问题的解可以通过变换后的问题来 求得。它的贡献在于将投资选择问题与标准随机控制模型联系起来，为处理更为复杂 的情形提供了一个一般统一的框架。 人们一般认为股票价格变动服从几何布朗运动，z h o u 和l i 的研究就是假定金融 资产的价格过程为关于时间的连续过程。然而，在金融实践中，金融资产的价格过程 2 硕士论文基于跳扩散模型的最优投资策略研究 不一定是连续过程。例如受到重大信息( 如突发重大事件、政策调整等) 的影响，股 票的价格会发生大起大落式的跳跃。这类信息发生的时间和产生的影响是随机的，因 此，可以利用泊松过程来描述。 本文在x y z h o u 和d l i 【2 3 】研究的基础上，假设资产价格变动满足跳跃扩散模型， 利用均值方差分析方法和随机线性二次型控制理论求出了最优投资组合及有效前沿， 使得研究结论更符合市场现实，具有一定的实际意义。 1 3 本文内容 本文的主要工作是对x y z h o u 和d l i 的连续时间下均值方差组合选择研 究结果进行了扩展，用带p o i s s o n 跳的扩散方程来描述资产价格变动规律，利用随机 线性二次型最优控制方法，求解出最优投资组合的解析解形式，并给出了有效前沿。 本文的一个主要想法是将资产价格变动中的跳跃部分分解成非随机项和随机项 两部分，再结合文献 2 3 】的思想，较好地完成了本文的具体研究工作。 本文的主要内容如下： 第一章简要介绍了现代投资组合理论的发展过程和本文涉及内容的研究现状。 第二章介绍了一些相关的预备知识。 一 第三章提出了研究模型，利用扩展的伊藤法则，将资产价格变动中的跳跃部分分 解成非随机项和随机项两部分( 符合现实情形) ，再将投资者希望的最大化其投资收 益同时最小化其风险这一双目标函数通过分别对两个目标赋予相应权重，改写成线性 单目标函数。利用现代控制理论中的随机线性二次型方法，求出了满足目标函数的最 优控制即对于无风险资产和风险资产各自的投资份额的解析解形式，并给出了相应的 有效前沿。 第四章主要进行了总结。 3 2 预备知识硕士论文 2 预备知识 在开始介绍主要的研究内容之前，先来简要介绍一下接下来将涉及到的一些概念 和理论。 2 1 均值方差模型 由m a r k o w i t z 最早提出的关于投资组合的均值方差方法是现代投资组合理论的 核心基础。它利用概率论和最优化技术模型化了不确定条件下的投资行为。投资收益 用收益均值描述，投资的风险由收益的方差描述。m a r k o w i t z 的均值方差模型可以用 两种数学模型表示： 在期望收益给定的条件下，最小化风险；在风险给定的条件下，最大化期望收益。 假设投资者选择了疗种风险资产进行组合投资2 卯。 记： r = ( ，i ，吃，：，) 1 表示风险资产的期望收益向量 矿= ( ) 表示风险资产收益的协方差矩阵 石= ( 7 r 。，7 c 2 ，- ) 1 是投资于各风险资产的比例向量 ，= ( 1 ，1 ，1 ) 1 是分量全部为1 的向量 则资产组合的期望收益是，( x ) = r r x ，风险是仃2 ( x ) = ，v x 投资组合的均值方差模型被描述为如下两种形式的二次规划模型 m i n x t v x s t r r x = j l l l r x = 1 a x b 其中j l l 是投资者给定的期望收益水平 么是一个m x g l 常数矩阵 b 是一个m 维常向量 m a xr r x s t x 7 v x ：仃2 l r x = 1 a x b 其中仃2 是投资者给定的风险水平 a x b 表示投资者或者投资市场对于投资行为附加的限制条件，比如，不允许卖 空，投资数量限制等。 4 硕士论文 基于跳扩散模型的最优投资策略研究 2 2 有效前沿 一个投资组合被称为有效投资组合需要满足如下条件：一是对于给定的期望收益 水平，具有最小风险；二是对于给定的风险水平，具有最大的期望收益。 所有有效投资组合构成有效前沿，或称为有效边界 2 5 3 0 2 3 最优控制 最优控制是现代控制理论的一个重要组成部分，它所研究的关键问题是如何选择 控制u ( t 1 以使控制系统的性能达到最优。 最优控制理论通常是将控制问题抽象为数学问题后再求解，其问题的提法及相关 概念主要有 1 8 1 ( 1 ) 最优控制问题的提法 已知受控系统的状态方程及给定的初始状态，规定一个目标集，求一容许控制， 使得系统在初始时n t o 由初始状态出发，在终止时刻r ，状态转移到目标集，并使性能 指标最小。 ( 2 ) 性能指标 评价控制效果好坏或控制品质优劣的性能指标函数。 ( 3 ) 容许控制 由控制约束条件所规定的点集称为控制域，凡在闭区间lt o , t ，i 上有定义，且在控 制域内取值的每一个控制函数均称为容许控制。 ( 4 ) 目标集 对末态( f ，时刻的状态) 的要求一般用末态约束条件来表示，末态约束规定了状 态空间的一个时变或非时变集合，此种满足末态约束的状态集合称为目标集。 3 基于跳扩散模型下的最优投资组合问题 硕士论文 3 基于跳扩散模型下的最优投资组合问题 3 1 前提假设及记号 3 1 1 假设条件 本文的研究是基于资产价格的变动服从跳跃扩散模型这样一个假设。在实际的 金融市场中，资产价格的不确定性由两部分构成：第一种变化时价格的“正常”波动， 例如供需的暂时不平衡，经济前景的变化等，这种变化可以用概率空间( q 矿，f w ，p 旷1 上的b r o w n 运动w ( t 1 来描述，它具有连续的样本路径；第二种变化是价格的不正常 “振动”，它是由于重要信息的到达，对股价产生了重大影响。一般来说，这样的信息 是关于具体公司和行业的，对整个市场影响不大，属于“非系统”风险，这种变化可以 通过反应信息重要影响的“跳跃”来刻画，跳跃可用概率空间( q ，f ，p 1 上强度为 a ( f ) 的p o i s s o n 过程( f ) 来表示。v c ( t ) 与( r ) 在( q f ，尸) 相互独立。 3 1 2 记号 ：任意向量或矩阵的转置 勺：任意向量的第，维分量 h = “蠢，：任意矩阵或向量彳= ( 吩) 所有分量平方和的平方根 b 一：”阶对称矩阵空间 彤：中所有非负定矩阵组成的子空间 彤：中所有正定矩阵子空间 c ( 【o ，丁】；x ) ：h i l b e r t 空间x 上的【哆丁】上赋范鼹值连续函数b a n a c h 空间 e ( o ，丁；x ) ：h i l b e r t 空间x 上的以i 州厂( r ) 睡西r 为范数的r 可积函数。 喀( o ，r ；孕”) ：所有适应于域流 e 奠二的可测酌随机过程厂( f ) 的集合，厂( f ) 满足 e i i 厂( f ) id t 0 ”7 其中r ( t ) 为无风险利率。 另外聊种风险证券( 股票) 的价格过程日( f ) ，昱( f ) ，己( f ) 满足如下跳- 扩散随机 微分方程： f厂 mm 1 粥( f ) = 只( ，) 【包( f ) 西+ j = 1 ( f ) d 髟( f ) + 荟o ) d n k ( f ) l ( 3 2 ) 1 l i = 1 j p 纠 【( o ) = b ，f 【o ，t 】 其中匆( ，) o 为平均收益率；o i ( f ) = ( 仃n ( ，) ，( r ) ) ：【o ，t 卜尺”肘为波动率， 仍( f ) = ( 仍。( f ) ，( f ) ) ：【o ，t - r “艉为跳跃幅度。 假设投资者在时刻f 的总资产为x ( t ) ，投资于每种证券的份额为m ( t ) ，则在f 时 刻： x ( 0 - - m ( f ) ( f ) ，t o ( 3 3 ) 假设交易可连续进行，不考虑交易费用和消费，有 出( f ) = m ( f ) 妲( f ) = 呲) 砷) 嘻) 哪) 聃) 卜 + m ( f ) # ( f ) ( t ) d w j ( t ) + m ( f ) p ( f ) ( f ) 烈( f ) f l j = l i = 1k = l r 一、 = t r ( f ) 工( f ) + l i - z , , ( f ) 一，( f ) ( 讲西 肼 卅耐m + ( f ) m ( f ) d 彤( f ) + ( f ) ( ，) 巩( f ) ( 3 4 ) j = n i = l k = la = l 其中u z ( f ) = m ( ，) 只( ，) ，i - - 1 ，2 ，m 3 基于跳扩散模型下的最优投资组合问题 硕士论文 ”( f ) = ( 地( f ) ，( ，) ) 2 为投资者的一个投资组合。 投资者的目标为最大化期终财富的期望戥( r ) 同时最小化其方差： ( r ) = 虹x ( 2 ) 一及( 丁) 2 = 凰( 丁) 2 - 凰( 丁) 2 ( 3 5 ) 将上述均值方差投资组合最优化问题记为： m i n ( j l ( “( ) ) ，以( ”( ) ) ) = 胁( 一戥( 丁) ，v a , - x ( r ) ) ( 3 6 ) s m t ( ) 嚣( o ，t ；r ”) ( x ( ) ，”( ) ) 满足( 3 4 ) 。 定义3 1 若投资组合“( ) 满足甜( ) 0 ( o ，t ；r 册) ，则称其是一个容许投资组合。 定义3 2 对于一个容许投资组合百( ) ，若不存在容许投资组合“( ) ，使得 ( 甜( ) ) 以( 订( ) ) ，以( “( ) ) 以( 瓦( ) ) 且至少有一个不等式严格成立，则称万( ) 为有效投资组合，称 f 以( 瓦( ) 1 ，以f 百( ) 1 1 r 2 为有效点，而所有的有效点构成有效前沿。 、。、一、， 有效投资组合的意思就是在满足均值尽可能大，方差尽可能小的双重要求时，没 有别的投资组合比它更优了。因此，我们的问题即变为求有效前沿上的有效投资组合。 根据标准多目标最优化理论，一个有效投资组合可以通过求解一个单目标最优化问题 来获得。这个单目标函数是在凸条件下，通过将双目标函数中两个变量赋予相应权重 得到的。而有效前沿则可以通过变化权重来得到。所以，原始问题可以通过求解下述 最优控制问题来解决： 其中j l l 0 m i n d 。( u ( ) ) + j l l 以( “( ) ) = 一及( 丁) + p ( 丁) ( 3 7 ) s 删t ( ) 砟( o ，t ：r 朋) ( x ( ) ，“( ) ) 满足( 3 4 ) 将上述问题记作。 定义3 1 = 甜( ) 卜( ) 是圪中的一个最优控制) 3 3 问题虼的等价变换 8 硕士论文 基于跳扩散模型的最优投资策略研究 我们的思路是用随机线性二次型控制理论来求解最优投资策略，注意到不是标 准随机最优控制问题，难以直接求解，因此，要将转化成标准随机线性二次型问题。 考虑如下问题： 删( 甜( ) ；j l l ，a ) = e 沁( r ) 2 一a x ( 丁) s t “( ) p ( o ，t ：r ”) ( 3 8 ) ( x ( ) ，“( ) ) 满足( 3 4 ) 其中p 0 ， a o ，有u ，并且若万( ) ，则当石= l + 2 历( 丁) 时，有万( ) 。其中i ( ) 是最优控制瓦( ) 所对应的财富过程。 证明：我们只需证明第二个结论即可( 第一个结论是第二个结论的直接结果) 。 假设历( ) 吒，如果万( ) 叠，则存在“( ) 和相应的x ( ) ，使得： ，( “( ) ；，万) ，( 历( ) ；j l l ，石) ， j l l 及( 丁) 2 一万晟( 丁) j l l 厥( 丁) 2 一万历( 丁) 即： p ( 晟( 丁) 2 一厨( 丁) 2 ) 一石( 丘( 丁) 一厥( r ) ) 0 ( 3 9 ) 令7 r ( z ，y ) - - z x - p y 2 - y ，此为( x , y ) 的凹函数，且： 万( 及( 丁) 2 ，凰( 丁) ) = 及( r ) 2 一j l l ( 晟( 丁) ) 2 一戥( r ) = 一及( r ) + p ( 及( r ) 2 一( 晟p ) ) 2 ) = 一e x ( t ) + j v a r x ( t ) 恰为问题的目标函数。而由万( x ，y ) 的凹凸性，有 9 3 基于跳扩散模型下的最优投资组合问题 硕士论文 万( x ，y ) - l r o ( x ，y ) + z g ( x ，y ) d x + 7 r yx ，y ) d y 注意到以( x ，少) = j l l ，兀，( x ，少) = 一( 1 + 2 u y ) ，( x ，y ) = 万( 厨( 丁) 2 ，厨( 丁) ) ，有 万( 晟( 丁) 2 ，戥( 丁) ) 万( 麝( r ) 2 ，厥( 丁) ) + j l l ( 戥( 丁) 2 一厨( 丁) 2 ) 一( 1 + 2 厨( 丁) ) ( 戥( 丁) 一厨( r ) ) 令1 + 2 p 厨( 丁) = 万，由( 戥( 丁) 2 一厨( 丁) 2 ) 一x ( e x ( r ) 一厨( 丁) ) o ，霞( f ) = r ( f ) + d ( ，) r 户( f ) d o ) o 。 由于 k - l ( 0 1 和1 e 一1 ( ，) i 是连续一致有界的，应用gr o n w a l l s 不等式可得户( r ) = o ，解的唯 一性得证。 下面来证明解的存在性。 考虑如下r i c c a t i 方程： 心一尸( f ) 彳( 小埘尸( f ) 一尸( f ) b ( f ) k 。1 ( f ) 蝌尸( ，) + q ( r ) ( 3 2 7 ) 【e ( r ) = h 、7 记，c = k r ( o ，丁；印) 卜_ r ( o ，丁；印) ) ，可看出c ( o ，丁；霹) ck ，q c ( o ，丁；霹) 。 对每一个k ，c ，由传统的r i c c a t i 理论，我们可以知道( 3 2 7 ) 有唯一的解 3 基于跳扩散模型下的最优投资组合问题 硕士论文 p ( f ) c ( o ，r ；掣) ，因此我们可以定义一个映射f ：i c - - - c ( 0 ，t ；s ”) ，记作 p ( f ) = r ( k ( f ) ) 。 引理3 1 映射r 是单调递增且连续的。 证明：令k ，霞k ，尸= r ( k ) ，户= r ( 霞) 。记户= p 一户，则户满足： 肛曾。叩一献。1 矿户+ 垂- 0 ( 3 2 8 ) 【户( 丁) = 0 、。 其中- = 彳一武一1 b r 户，0 = p b ( g 一一k 一1 ) b 7 p 。如果k 霞( o ) ，则霞一1 k 一1 o ， 使得0 - o 。所以，( 3 2 8 ) 的解是非负定的，t g a p 户o ，这就证明了单调性。另一方 面，如果霞专k ，则由( 3 2 8 ) 和g - r o n w a l l s 不等式可以看到p 一户= 户专0 ，连续性得 证。 引理3 2 & c c a t i 方程( 3 2 5 ) 有解当且仅当存在一个k c ( o ，t ， “+ m ) ，使得 r = k - d r f ( k ) d ( 3 2 9 ) 引理3 3 黜c c a t i 方程( 3 2 5 ) 有解当且仅当存在k + ，k - ec ( o ，丁；印) 使得： k + r + d r i ( k + ) d r + d r r ( x 一) d k 一 ( 3 3 0 ) 证明：先证必要性。如果( 3 2 5 ) 有一个解p ，则( 3 3 0 ) 5 k + = k 一= r + d r p d 时成立。 再证充分性。令k + ，k 一满足已知条件( 3 3 0 ) 定义序列 f ) ；， 巧) ：， 只+ ：， p j - ) ： 分别如下所示： f 群= k + ，巧= k 一，昂= r ( k ) ，厅= r ( 肖) 磁l = 尺+ d r 只+ d ，瓯l = r + d r 霉一d ( 3 3 1 ) i z ：。= r ( k ：，) ，z ：。= r ( k ：) ，i = 0 ，1 ，2 由( 3 3 0 ) 有瞄群矸k o ，再由于映射r 是递增的，所以还有 臂互+ 墨一疗o ，通过归纳可得： 曼龃：鼍。粥曼犯- t 三疗三o ( 3 3 2 ) 【胃群群l k l 奸k 0 i = 1 ，2 硕士论文 基于跳扩散模型的最优投资策略研究 可以看出矸k ，且存在k + ，c 和尸+ 使得 l i m k ，= k + ， l i m 只+ = p 【3 3 3 ) l - - 9 0 0i - - - ) , a o 由引理3 1 ，我们有： p + = ! i r a p 。+ = 妞r ( 群) = r ( 烛群) = r ( k + ) ( 3 3 4 ) f 1 1 ( 3 3 4 ) 有p + c ( o ，t ；s ”) ，因此它是k = k + 时m c c a t i 方程( 3 2 7 ) 的一个解。此时 k + = r + d 7 p + d c ( o ，丁；霹) 。由引理3 2 ，我们得到结论：p + 是( 3 2 5 ) 的一个解。 定理3 3 若g ( f ) 是r i c c a t i 方程( 3 2 6 ) 的一个解，贝l jg ( t ) ec ( 【o ，丁】；尺”) 并且是方程 的唯一解。 证明同上。 定理3 4 若式( 3 2 5 ) 和式( 3 2 6 ) 有解尸c ( 【o ，丁】；掣) 、g c ( 【o ，丁】；r “) ，则随机线性 方程问题式( 3 2 3 ) g 式( 3 2 4 ) 具有一个最优控制： “( f 力一+ 姜吼) 归 州( 心) 心) ( 3 3 5 ) 并且，最优值函数为：， ，= 三2 玎2 厂( r ) rg ( ，) 一g ( ，) b ( f ) ( r ( ，) + 喜q o ) rp ( r ) 巧o ) - tb ( ，) rg ( r ) 刃 + 去。尸( o ) 而+ x o g ( o ) ( 3 3 6 ) 在证明这个定理之前，我们先给出二维伊藤德布林公式。 定理3 5 心7 1 设函数厂( r ，x ，y ) 的偏导数z ，六，厶，厶，厶和厶有定义并且 连续。 没x ( t ) g ly ( t ) 是两个伊藤过程。二维伊藤一德布林公式的微分形式为： 矽( f ，x ( f ) ，】，( f ) ) = z ( f ，x ( f ) ，】，( f ) ) 者+ 六( f ，x ( f ) ，】，( f ) ) 扰( f ) + ( r ，x ( ，) ，y ( t ) ) d y ( t ) + 告厶( f ，x ( f ) ，】，( f ) ) 趔( f ) 扰( f ) + 厶( ，工( f ) ，】，( f ) ) 以( ，) 刃( ，) + i 1 厶( f ，x ( f ) ，y ( t ) ) d y ( t ) d y ( t ) 现在我们来证明定理3 2 。 证明：令厂( x ( f ) ，】，( f ) ) = x ( f ) 2p ( t ) x ( t ) ，由定理3 3 可知： 3 基于跳扩散模型下的最优投资组合问题硕士论文 矽( x ( ，) ，】，( f ) ) = 六( x ( f ) ，】，( f ) ) 册( f ) + ( x ( f ) ，y ( t ) ) d y ( t ) x ( ，) ，】，( ，) ) 趔( f ) 扰( r ) + 厶( x ( f ) ，y ( t ) ) d x ( t ) d y ( t ) x ( f ) ，r ( t ) ) d y ( t ) d y ( t ) 而：f x ( x ( t ) ，】，( ，) ) = 正( x ( f ) ，尸( f ) ) = 2 尸( f ) x ( ，) ( x ( f ) ，y ( f ) ) = ( x ( f ) ，p ( f ) ) = ，( f ) x ( r ) 厶( x ( f ) ，】，( f ) ) = 厶( x ( r ) ，尸( ，) ) = 2 尸( f ) 厶( x ( f ) ，】，( ，) ) = 厶( x ( f ) ，尸( ，) ) = 2 x ( f ) 厶( x ( f ) ，】，( f ) ) = 厶( x ( r ) ，尸( f ) ) = o d x ( t ) d x ( t ) ：羔 ( ，) rd j ( t ) rd j ( t ) “( t ) d t d x ( t ) d y ( t ) = d y ( t ) d y ( t ) = o 所以 d ( x r p x ) = 2 p x d x + x r ( 卯) x + 甜r q r 蚂” j - i = ( 2 x r p a x + 2 u ，b r p x + 2 x r p f ) d t + 2 _ p d ：u d w j j l l 一( ，胁+ ，彳丁 + x 7 一，p b k 。1 艿r ) 西+ ( 善”r 巧码材 出 = 2 “7 矿a + 2 ，形一， + ，p b k 。1 b r a + 羔j = l “r q r 码甜) 国 + 2 肋i u d w , _ 一 jj 三d ( x r a ) = 三 2 “r 戥+ 2 ，黟一，参+ ，p b k 一1 + 兰j = l “r q 7 哆甜) 衍 且 1 6 + 码谢- jj j 暑l ( 3 3 7 ) ，j一，-一， 厶 厶 一2一2 + + 硕士论文基于跳扩散模型的最优投资策略研究 d ( x r g ) = 础+ ，匆 = 材r 矿g + 厂r g + x t p b k 一1 8 7 g - x r p f d t + 芝q z 卅形 ( 3 3 8 ) j = 1 分别将式( 3 3 7 ) n 式( 3 3 8 ) 从0 积到丁，取期望，再相加，并注意到式( 3 2 4 ) ，可得： 晰) ) _ e 殄 坪) t q m ( ，) r r ) 卜i 1 州即) ) = 三e 翼“r 勋+ 2 u r b r ( a + g ) + ，p b k 。1 矿a + 2 x r p b k 一1 8 7 g + 2 f 7 g ) 西+ 互ix 。r e ( o ) x o + 而g ( o ) = 三ej c r n ( a + g ) 批 “竹谚( a + g ) + 2 f r g 一耻一1 b t g d t + 互1x 。r e ( o ) x o + g ( o ) ( 3 3 9 ) 由式( 3 3 5 ) 可知式( 3 2 3 ) 可简化为： a x ( ，) = 彳( ，) x ( f ) 一b ( ，) k ( ，) _ b ( r ) r ( 尸( r ) x ( r ) + g ( ，) ) 出 一md j ( f ) k ( f ) _ b ( ，) 7 ( 尸( f ) x ( f ) + g ( t ) ) d w j ( t ) ( 3 4 0 ) y = l x ( o ) = x o 由于p c ( 【o ，丁】；霹) ，g c ( 【o ，丁】；彤) ，k 。c ( 【o ，丁】；霹) ，再由非齐次线性随机 微分方程的解存在性定理，可知( 3 4 0 ) 有且只有一个解。 定理证毕。 3 5 等价问题的解 首先不加证明的介绍一个引理。 引理3 4 【1 6 1 ( 如公式的推广) 令x ( f ) 是一个d 一维的半鞅： z ( f ) = 置( o ) + f z ( s ) d 形+ f g ( s ) 批 其中形是一个布朗运动，m 是一个与强度为a 的p o i s s o n 过程n 相关的鞅，则有： ，( ，x ( t ) ) - f ( o ，x ( o ) ) 1 7 3 基于跳扩散模型下的最优投资组合问题 = f 瓢删凼+ 芝i = if 孔z ( s ) d 喇) + 三吾f 象聃 + f ( s ，五一+ g ( s ) ) 一f ( s ，五一) 删( s ) + f 卜五十g ( 州帆聃军弘珧m 凼 由引理3 4 可知强度为a 的p o i s s o n 记数过程n ( 即本文中资产的跳跃) 可以分 解为非随机项和随机项两部分。 考虑资产动态方程： 出( ，) 彳( f ) x ( f ) + b ( r ) 甜( r ) + ( f ) 出+ q ( r ) “( f ) d ( f ) + 甲。( f ) “( ，肌( f ) ( 3 4 1 ) x ( o ) = x o 对每个“( ) 砟( o ，t ；r 新) m ( ) ) = e t i e x ( ，) r q ( r ) x ( ，) + 甜( ，) r 天( ，) ”( r ) 出+ 互1x ( r ) r 侬( ，) ) ( 3 4 2 ) 由推广的h o 公式( 引理3 4 ) 得： d x ( t ) = a ( t ) x ( t ) + b ( t ) u ( t ) + f ( t ) d t + z d j ( t ) u ( t ) d w s ( t ) + 、王，。( f ) 甜o ) ( 锄以( f ) + 丸( f ) 西) = l 彳( f ) x ( ，) + b ( f ) “( f ) + 厂( ，) + 甲。( f ) ”( f ) 九( f ) l d t l k = l j + d j ( t ) u ( t ) d w j ( t ) + 甲。( t ) u ( t ) d u k ( t ) ( 3 4 3 ) 接下来，我们求解问题k 。 基于跳扩散模型的最优投资策略研究 为了将目标函数坳，( ”( ) ；p ，a ) = e p x ( 丁) 2 一a x ( 丁) 化成随机线性二次型标准目 标函数形式，我们利用配方法： e x ( 丁) 2 一a 工( 丁) ) a 2 4 j l l 2 令y = 老，y ( r ) = x ( ，) 一y 舢阳玎砘( 丁) 净k 盯一爿 求m i n e x ( 丁) 2 一a z ( 丁) ) 等价于求： 一陟2 ( 3 4 4 ) d y ( o = i4 ( f ) y ( ，) + b ( f ) 甜( f ) + 厂( f ) + 也( 咖( f ) 疋( r ) i d t l k = l j + 9 ( t ) u ( t ) d w j (