（基础数学专业论文）递归集上自相似集和康托集.pdf

摘要 自然界中出现的诸如云层边界、山脉的轮廓、雪花、海岸等等。不规则。的几何 形体，都难以用经典几何中的直线、光滑曲线、光滑曲面来描述而这些不规则的 集合往往能够提供许多自然现象的更好描述2 0 世纪8 0 年代由b b m a n d e l b r o t 所鲥立的分形几何提供了这类研究这类不规则几何对象的思想、方法和技巧特 别近年来，这新兴学科在数学、物理、化学、生物、医学、地质等学科获得巨 大成功，同时，不同学科中提出的大量问题刺激了分形几何的深入发展 本篇论文对三种经典的分形集合一一递归集、上自相似集和康托集作了一些 粗浅的讨论 递归集是d e k k i n g 在1 9 8 2 年在文 1 1 ， 2 1 ， 3 1 引入他深入的讨论了它们的分 形，代数及组合性质b e d f o r d 4 】在开集条件下确定了自相似递归集的豪斯多 夫维数文志英，吴黎明与钟红柳在一般的情形下确定了该集的豪斯多夫维数和 计盒维数李文侠8 1 对递归集进行了推广 本篇论文主要考虑可交换假设( 即正文中的( 1 ) ) 成立的条件，l 在相似 意义下的整数化，给出了：= 三k a “( 叫) j 在厶不为扩张时也收敛的一个 例子，同时给出了l ，不为扩张映射时，不收敛的一个充分条件 自相似集是分形中最简单的一类分形集合，它的维效性质人们巳经完全了解 了对自相似集有了各种不同的推广和变形，倒如上自相似集、下自相似集、半 自相似集、随机自相似集和自仿集等等上自相似集的定义在文【6 l 已经给出按 此定义的上自相似集。就是自相似集本身，它的豪斯多夫维数和计盒维数相等 本篇论文首先修正了上自相似集的定义，然后构造出a ，它是上自相似集， 但是豪斯多夫维数和计盒维数不相等，说明：对于本篇论文所定义的上自相似 集，计盒维数和豪斯多夫维数不相等 三分康托集是一个最经典的分形集合，它的分形维数和豪斯多夫测度都为人 所熟知个三分康托集平移后与自身的交集的性质和分形缳数在文 5 】已经绘 出 本篇论文在一维n ( 3 ) 分康托集上得到了三分康托集的维数公式的推广形 硕士学位论文 m s t e r st h e s i s 式 关键词：递归集，自相似集，上自相似集，康托集，同态 硕士荦垃论文 1 、引e r | ，1 i i l 、i s a b s t r a c t a n o m a l y g e o m e t r i c a lo b j e c t st h a ta p p e a ri nt h en a t u r es u c ha st h eb a n k o fc l o u d s ，t h eo u t l i n eo fm o u n t a i n ，s n o w f l a k e t h eb o u n d a r yo fc o a s ta r ea l ld i f - f i c u l tt od e s c r i b ew i t ht h es t r a i g h tl i n e ，s m o o t hc u r v e ，s m o o t hs u r f a c eo fc l a s s i c g e o m e t r y b u tg a t h e r i n go ft h e s ea n o m a l i e sc a nb e t t e rd e s c r i b em a n yn a t u r a l p h e n o m e n a i nn i n e t e e ne i g h t i e sf r a c t a lg e o m e t r yf o u n d e db yb b m a n d e l b r o tp r o v i d e d t h o u g h t s ，m e t h o d sa n dt e c h n i q u e st os t u d yt h i sa n o m a l yg e o m e t r y s p e c i a l l yi n r e c e n ty e a r s ，t h i sn e w l ya r i s e ns u b j e c tr e a c hl a r g ea c h i e v e m e n ti nm a t h e m a t i c s ， p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y ，m e d i c a ls c i e n c e ，g e o l o g y , e t c a tt h es a m et i m e ，t h e l a r g eq u a n t i t yo fp r o b l e m sq u e s t i o n e db yd i i r e r e n ts u b j e c t ss t i m u l a t e dt h ef f a c t a l g e o m e t r yt od e v e l o p t h i sp a p e rg i v e sas u p e r f i c i a ld i s c u s s i o no ft h r e et y p e so fc l a s s i c a lf f a c t a l s - - r e c u r r e n ts e t s ，s u p e rs e l f - s i m i l a rs e t sa n dc a n t o rs e t s r e c u r r e n ts e t sw e r ef i r s ti n t r o d u c e db yd e k k i n gi np a p e r ( i 3 i n1 9 8 2 ， w h od e e p l yd i s c u s s e dt h e i rp r o p e r t i e so ff f a c t a l ，a l g e b r aa n dc o m b i n a t i o nb e d f o r d 【4 】g o t h a u s d o r f fd i m e n s i o no fs e l f - s i m i l a rr e c u r r e n ts e t su n d e ro p e ns e t c o n d i t i o n z h i y i n gw e n ，l i m i n gw u a n dh o n g l i uz h o n gd e t e r m i n e dh a u s d o r f f d i m e n s i o na n db o xd i m e n s i o no fr e c u r r e n ts e t su n d e rc o m m o ns i t u a t i o n w e n x i a l i 8 e x t e n d e dt h ec o n c e p to f r e c u r r e n ts e t s i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h ec o n d i t i o nu n d e rw h i c hh y p o t h e s i s ( 1 ) h o l d s ， o sb e i n gi n t e g r a li nt h es e n s eo fs i m i l i t u d e ；w eg i v ea l le x a m p l ef o rw h i c h ：= 巧“k o “( 叫) 】c o n v e r g e se v e ni fl di s n te x p a n d i n g a n da l ls u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r k st of a i lt oc o n v e r g ew h e nl 口i s n te x p a n d i n g s e l f - s i m i l a rs e t sa r eak i n do ft h es i m p l e s tf r a c t a ls e t s ，w h o s ed i m e n s i o n p r o p e ri sw e l lk n o w n t h e r ea r em a n yk i n d so fe x t e n s i o no fs e l f - s i m i l a rs e t s ， s u c ha ss u p e rs e l f - s i m i l a rs e t s ，l o ws e l f - s i m i l a rs e t s ，s u b - s e l f - s i m i l a rs e t s ，r a n d o m 7 s e l f - s i m i l a rs e t s ，e t c t h ed e f i n i t i o no f s u p e rs e l f - s i m i l a rs e ti sg i v e ni n 6 s u p e r i i i 交一 硕士学位论文 m a s j e r 丌也s i s s e l f - s i m i l a rs e t sd e f i n e db yt h i sd e f i n i t i o na r es e l f - s i m i l a rs e t s t h e m s e l v e s ，w h o s e h a u s d o r f fd i m e n s i o na n db o xd i m e n s i o na r ee q u a l i nt h i st h e s i sw ef i r s tm a k eam o d i f i c a t i o nf o rt h ed e f i n i t i o no fs u p e rs e l f - s i m i l a rs e t s ，t h e nc o n s t r u c tt h es e ta ，w h i c hi sas u p e rs e l f - s i m i l a r ，b u tw h o s e h a u s d o r f fd i m e n s i o na n db o xd i m e n s i o na r en o te q u a l w h i c ht e l lu st h a th a n s d o r f fd i m e n s i o na n db o xd i m e n s i o no f s u p e rs e l f - s i m i l a rs e t sd e f i n e db yt h i st h e s i s a r e n te q u a l t h ec a n t o rs e ti st h em o s tc l a s s i c a ls e ti nf r a c t a l ，w h o s ef f a c t a ld i m e n s i o n a n dh a u s d o r f fm e a s u r ea r ew e l lk n o w n t h ec h a r a c t e ra n df f a c t a id i m e n s i o no f i n t e r s e c t i o no ft r a n s l a t i o n st h ec a n t o rs e ta r eg i v e ni n 5 j a tl a s t ，w eg e tt h ee x t e n d e df o r mo ft h ed i m e n s i o nf o r m u l ao ft h ec a n t o r s e to n1 - d i m e n s i o nn s e c t i o nc a n t o rs e t s k e yw o r d s ：r e c u r r e n ts e t s ：s e l f - s i m i l a rs e t s ；s u p e rs e l f - s i m i l a rs e t s c a n t o rs e t s ；h o m o m o r p h i s m i v 霸斛1 a s e 学i c 伍s 沦if e 文s i 。 第一节、引言 自然界中出现的诸如云层边界、山脉的轮廓、雪花、海岸等等“不规则”的几何 形体，都难以用经典几何中的直线、光滑曲线、光滑曲面来描述而这些不规则的 集合往往能够提供许多自然现象的更好描述。2 0 世纪8 0 年代由b b m a n d e l b r o t 所创立的分形几何提供了这类研究这类不规则几何对象的思想、方法和技巧特 别近年来，这一新兴学科在数学、物理、化学、生物、医学、地质等学科获得巨 大成功，同时，不同学科中提出的大量问题刺激了分形几何的深入发展 对于特殊的分形，我们有了不少好的结果，例如自相似集的维数，如何生成 自相似集，等等但是，对于一般的分形集却没有更多的好的结论本篇论文对 三种典型的分形集一一递归集、上自相似集和康托集作一粗浅的讨论 第二节、递归集 递归集有很多好的性质，而且许多熟知的分形集，如康托集、双龙的边界、 和科克蓝线都可以用递归的方式生成 递归集是d e k k i n g 在1 9 8 2 年在文 1 1 ，( 2 1 ， 3 j 引入。他深入的讨论了它们的分 形，代数及组合性质b e d f o r d 4 在开集条件下确定了自相似递归集的豪斯多 夫维数。文志英，吴黎明与钟红柳在一般的情形下确定了该集的豪斯多夫维数和 计盒维数李文侠【8 】8 对递归集进行了推广。 设s 为n 元字母表，记为s = n 1 ，“2 ，口。 s + 是元素在s 上，长度 有限组成的集合在9 上定义乘法为词的连接，则s 为自由半群，空词西为 该半群的单位元 我们考虑下列图表 s ，与胛与剧 i oi d 吐il o s 与r n 与r d 其中盯是p 到9 的自同态；7 r 是s 到彤上的一个投射，满足：7 r 把q 映 成第i 个分量为1 ，其余为0 的单位向量；g 是r n 到r d 的一个线性满投射， 1 ：警窿h 硕士学垃沧文 量爹7 讯吲、 d n ；a 。b 是由a 诱导出的酽到尼的自同态。于是上述表中的左半部分为 可交换的，即 6 彳r2t 口。 l 因为协u = o ，i 一o 。k s + ，叮( 叫) = ，f a ，f ，6 ：= 带 s j ：o 。，= 啦，j = l ，2 ，七 ，矗= 带 0 ：8 。= n ：，j = 1 2 ，2 ，j = 1 ，2 ，忍，贝4 ”( ) = ( b l ，靠) ，7 r ( 盯) ) = ( e l ，c n ) ，此时有6 ( 6 h 一，b 。) = ( c 一，c 。) ，即 6 ( 叫) - = 7 r 一) ) k 为到的自同态映射，且使得上述图表整体可交 换，即 k 卵= g t r a 。( 1 ) 令，= 9 7 r ，则由( 1 ) 。f = 加( 2 ) 若厶，的所有特征值的模均严格大于l ，刚称l 。为扩张的 设c ( r 4 ) 为剧中紧子集组成的空同。对任意集合a ，b c ( r 。) ，记4 。= 上：i 一弘i e ，v a ) ，b = 茗： 。一， 可以扩张为胛的一组正交基，考虑到g 为满射，则有 g ( s p a n e 。一“一， ) = r “= s n 乳，矗 n 记g l 为g 在s p a n e n d + ”一，e 。) 上的限制，则g t 是双射设j = q = t = l n d“ z l + 上2 ，其中x l = e 。，z 2 =e 。设m ( z 2 ) = y ，定义如( ) = i = l2 = n d 牟l g 盯曲( 口f 1 ( ! ，) ) 贝0 l ，9 ( z ) = l 。g ( x t 十x 2 ) = l ，夕l ( x 2 ) = l ，( ) = 9 仃曲( 夕f 1 ( 可) ) ：= g 。曲p 2 ) + g a ( x 1 ) 。9 0 a b 3 ： g 满秩，而且行数小于或等于列数则9 9 7 可逆，g 为g 的转譬故有l ，= g a n g ( g g ) 一1 口 我们给出引理2 2 和引理2 3 ，详细证明参见f 1 0 ) 号f 理2 2 设丁为n 阶方阵，则t 实相似于准著当阵：d i a g ( j l ，j i ，m 1 ， 恤) ，其中 ，厶为著当块， 磊为形如 3 营准的 、， g a 召 a ，。，。， ，c o s ps i n p 当块，拈”i “n p c 。s pj ：丁( ) ：a ，。r ) 称为属于n 阶方阵丁的特征值a 的特征子空间， 在不弓f 起误会下我们简称为t 的特征子空间 引理2 3 设a 是n 阶方阵丁的k 重特征值，而且是属于a 的特征子空i 司 是一维的，x l 是t 属于a 的特征向量。当x l 给定时，方程组 f t x l = a x l f 4 1 1 丁墨= a x 。+ 五“i = 2 ，3 ， ， 有唯一正交向量解瞵l ，x 2 ，一，x 女) 。 我们称( 4 ) 的解向量中的x 。，y 女为属于a 的广义特征值 命题2 4 口。6 若有m 个实特征值a h 一，k ，而且每个特征子空间是一维 的，m n ，则口曲的任一不变子空间均由6 的特征向量和相应广义特征向 量张成 证明：设u i n v ( ) ，u = s p 帆 ，钆j ， e 0 1 为u 的一组基因 为乳6 ( e ，) 己l i = 1 ，2 ，：k 从而存在阶实方阵b ，使得口。h ( 。一、8 j 2 ，g b ) b 存在可逆阵c ，( g 可能是复矩阵) ，使得c “b c = 出9 ( 一，) ：2 f 其中墨= x 1 k 令毛= c i 勺， c 西 = c 从而有 t = l l 墨 氏6 ( 矗，一一，) = ( f l ，一，矗) l 则6 ( 舐) = 码白，从而 ；为口曲的特征值，a ：r ，即实矩 r 、，f ，。 、， l + d 1 岛 令 阵b 和实数矩阵j 相似，由代数学知识可知b 和j 可以实相似，从而可以挑 选实矩阵c ，使得( 5 ) 式在实数范围也成立更进一步我们可以通过对- ， 进行列变换使得它们正交，丽保持( 5 ) 式在实数范围内成立锄，锄+ - 一为 属于特征值x 的相应的特征向量和广义特征向量 口 在命题2 4 的条件和记号下，设x 为的啦重特征值，则n o q ，由引 理2 3 知， f 6 吼= a q l 1 碾= a 啦+ 仉一l ，i = 2 ，3 ，。一，啦 当仇= 鼠时，有唯一正交向量解，且 妇。一= 琅+ j ，jsr i ；仉+ j 芒阢n 0 酽中的子集族，记 弼( f ) = i n f j m l 。：f c u 胍，1 w , i 0 且覆益f 的 墩 而言的我们称 t ( f ) 2 溉“；( f ) 1 3 为集合f 的s 维豪斯多夫测度；称 $ = i n f t ：7 4 ( f ) = o ，= s u p t ：丸( f ) = o 。) 为榘合f 的秉新多夫缳效，记为d i m h ：= s 设f 是邪上的任意非空的有界子集，( f 15 ) 是宣径最大为d ，可以覆 盖f 的集的最少个数，则f 的下、上盒维数分别定义为： 垴f = 蛾。一l o 可g n ( f , 5 ) d - i - 丽b f = 匾。t 可o g n ( f , d 一) 如果这两个值相等，则称这共同值为f 的计盒维数或盒维数，记为： a i m b f = 舰铲。 设，为区间 0 ，lj ，m = f 1 ，2 ，c 为三分康托集在三分康托集的构造 中，记 ，= l ，2 ，2 n 为第n 阶的一个基本区间的，c n 为第凡阶2 “个基本 区间的并i ( z ) = ；z ，止( z ) = ；( z + 2 ) 在唔 1 的闭区间上任取一个递增的可数的点列 玩，函那么这个点列具 有唯一聚点，设此聚点是6 0 ，我们如下构造集合 。 ( 1 ) 令u i = ( ，6 1 ) u ( b ，) ，队= ( k t ，k ) ，n = 2 ，3 ，。 ( 2 ) 令k = u 墨l 阢，k = 1 ( w 一- ) u 尼( k 1 ) ，i = 2 ，3 ，一 ( 3 ) a t = ，k ，a = a f l k ，i = 2 ，3 ( 4 ) a = n 是l a 。= l i i f i - + o o 4 。，显然4 是紧集 我们再构造集g ： ( 1 ) 令b l = h i ：i = 0 ，l ，2 ， 1 4 ( 2 ) b 2 = f 1 ( b 1 ) u ，2 ( b ，) ，b = f l ( b i 一- ) u ，2 ( b 1 ) ，i = 3 ，4 ，一 ( 3 ) g 1 = b 1 u c ，g 2 = g t u b 2 ，g 。= g i l u 最，i = 2 ，3 ， ( 4 ) g = u 丞l g 。= l i m 。一+ m g 。 命麓3 3gca ，其中g ，a 由上面的构造所得 证明：由构造的过程可知g 。c a 。，两边对n 取极限，就有 g = ，密臻g nc 兽恐a n2 4 口 命趣3 4 虿= a ，其中g ，4 由上面的构造所得 证明：a 中任意一点z 可以用三进制来表示z = 0 o2 啦n 3 ，其中n 。= 0 ，l ，2 ，i n ，丽且至多只有两种表示式，当工4 用三进制表示不唯一时，其 表示式为如下两种： ( i ) 存在。n ，当 时，= 0 ； ( i i ) 存在oen ，当 时，8 h = 2 ； 若z 有一种表示式不包含l ，则由三分康托集的三进制表示式可知，z e 若z 的每一种表示式都包含1 ，则z 崔c 我们知道用表示( i ) 式和表 示式( i i l 不影响点。的位置，所以对于z 掣e 只须考虑其采用( i ) 的表示式 的情形记= m i n i ：a = 1 ，j ，显然l n 0 时，有击 而 llp o o a k 2 。 l z 一j = 虿 击 0 ，存在n o n ，使得i 盯1 j i 扣由a 的构造可知， a 。= g u n _ 。风对于g ，选择其自然覆盖，即它的2 n 个基本区间厶的并；记 d n ：= u 1 鼠，因为d n 为可数点集，故我们可以取u 。d 。( 3 7 为d 。的覆盖 显然我们有 acg u z 考虑到豪斯多夫的测度的定义，我们有 弼( a ) = i n f 1 w d _ 4 c u 眠， ? i 。 女= 1 o d 。 = 叫= 二3 n s 。 1 6 豢憨篡篆，6 趋向舔时硝( 佻l ，从础刚器口 利用( 2 2 ) 式即知命题成立 “ 引理3 7 【j 卫对任意给定的0 d i m 汀a = 器 证明：由命题3 8 可知，对任意的s ( 罴，1 ) ，存在可数点列b ，= 6 使得d i m 口鼠：s 对于此b 我们按照上面的构造方法构造集合g ，a ，显然， 由命题3 5 可知a3 ，i ( a ) ，t = l ，2 由于鼠cg ，召= a ，故b s ca - 考虑 到一个集合的计盒维效( 下、匕计盒维数) 和它的闭包计盒维数( 下，上计盒维 数) 相等，找们有； 地! z a a = 出班b g s 1 t 因为s 硒l 0 9 2 ，而由命题3 6 可知d i m 日g = d i m ua = i l 雨0 9 2 ，所以 l o g j1 0 9 j 垴a s d i “a = l l 。o g g _ _ 2 3 z 口 上述定理表明由定义3 2 给出的上自相似集并不满足定理3 1 所述的维 数性质，即d i m 日a = d i m p a = d i m 口。4 不再成立 1 8 ，；氟硕士学色沧之 、晨醪? 。，。 j ：掣： “1 、一1 、 第四节、康托集 康托集是一类非常经典的分形集合，一维三分康托集合的很多性质已经为人 所熟知，如它的分形维数和豪斯多夫测度。一维三分康托集平移后与自身的交集 的性质和分形维数在文 5 j 已经给出本篇论文在维n ( 3 ) 康托集得到了其 维数公式的推广形式 本小节中口取实数，其余如无特殊说明，均取自然数设r 2 ，n r 记 d 1 = u + d | l r ：i = 1 ，2 ，s ) ，u 0 ，0 u + d l r u + d 2 r u + d $ r n 1 ；d 2 = v + e i r ：i = 1 ，2 ，一，s ) ， 0 ，0 v + e l r v + e 2 r 女。时，d ( 七) = 一( n 1 ) j 证明：从定义看出，如中的点工在q 中一定有表示式若表示式不唯 设。有m 2 种表示式，。= 妒) i = l ，2 ，m ，其中 o i = ( 矾( 1 ) ，叻( 2 ) ) ，。= 1 2 ，一，m 记f = m i n k ：吼( 自) 乃( ) 儿j l ，2 ，m 任取j ，j ，使得i j q ( f ) 一1 。 此时，2 rsq ( z ) 一仉( ? ) = 2 ，且 即 = l ，2 ，m ，k r ) ，则2 在 不妨设吼( f ) z 2 0 = 警 字掣 随 孚 + 警 h 警 硕士幸位沦炙 、i h ；f i 上、j f n 令女o = f ，则命题结论成立 巨和易可以表示为 口 蜀= nu厶i ( o ，l 】) ，i = 1 ，2 ( 2 3 ) 在介绍定理4 2 前，我们回忆广义m o r a n 集和广义m o r a n 集的维数 设( n ) 女! l 是一个整数序列，瓦= o k o 时，都有r ( a 。) = 1 ，从而由定理4 2 可知 d i m he 1n ( 岛+ a ) = d i m p e ln ( 毋+ a ) = d i m be ln ( e 2 + a ) = 0 ； 当a i 在q 上表示式唯一时， e 1n ( e 2 + n ) = ( 妒( u ) ：u ( i ) z 。：z 。一玑= a i ，z ，d 1 ，y i d 2 。 显然e 1 n ( e 2 + q ) 是广义m o r a n 集，而且自相似映射函数族为 h ( o ) 啷， h ( a k ) = 丘i ：x k y k = a k ，茁t d 1 ，弧d 2 ，由定理4 2 可知乳满足 n 叁。 墨。( 苟) 】= 1 ，