（计算机软件与理论专业论文）基于分形的艺术图案生成方法的研究与应用.pdf

山东师范大学硕士学位论文 基于分形的艺术图案生成方法的研究与应用 摘要 当今社会，随着物质文明和精神文明水平的提高，人们的消费观念正在逐渐发 生变化。人们在购买商品时越来越重视商品外观和造型的艺术性。所以众多生产企 业为了提高产品在市场中的竞争力，已经开始大力开展产品的艺术设计创新。在艺 术设计过程中，设计者需要挖掘创作灵感推陈出新，仍旧依靠传统的艺术作品创作 手段，即靠纸、笔为工具，靠脑中偶尔迸发的创作灵感已经远远不能满足艺术创新 设计的需要；设计者需要的是能够激发创作灵感的辅助设计工具。随着计算机技术 的发展，计算机艺术设计已能够为设计者提供良好的辅助支持，优良的计算机设计 系统可以有效的激发设计者的灵感，帮助设计者又快又好地完成设计任务。 艺术设计工作中很大一部分工作是艺术图案设计，把分形理论与计算机图形相 结合，可以通过简单的迭代公式生成大量优美而且复杂的分形图案，十分适用于艺 术图案的辅助设计。应用分形理论所生成的图案可以应用于广告设计、包装图形设 计、家居设计等众多领域，有极为广阔的应用前景。 本文致力于研究基于分形原理的艺术图案生成方法及其应用问题，目的是探索 优良分形艺术图案的生成和选择方法，为艺术图案创新设计者提供高效、方便的支 持环境。 主要工作为： 1 在简要总结介绍课题的研究背景、国内外研究现状及选题意义的基础上，研 究了分形理论的基本原理及其在各个领域的应用。 2 系统地研究了各种分形图案生成方法，分析了这些方法的各自的优缺点及适 用情形，在研究的基础上找出适合应用于艺术图案生成的方法。 3 将经典的曼德尔布罗特集和朱丽亚集推广到广义曼德尔布罗特集和朱丽亚 集，以扩充迭代函数的数量，实现大量分形艺术图案的生成。 4 提出了可以绘制广义m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集内部细节的改进逃逸时间算 法。通过绘制内部细节可以使图案更有艺术性。 5 提出了应用周期函数对迭代函数进行调节生成不同风格艺术图案的方法。并 提出多种调节方案，大大地丰富了艺术图案的种类。 6 系统地研究了遗传算法的基本原理，提出了一种利用遗传算法对分形艺术图 案进行遗传选择的方法；通过这种方法可以帮助设计者迅速找到符合要求的图案。 7 设计了逃逸时间算法着色方法的改进方法，提出多种颜色方案。可以生成不 t h 东师范大学硕士学位论文 同的颜色风格的艺术图案。 8 实现了一个基于分形原理的艺术图案设计系统，系统利用v b6 0 在 w i n d o w s x p 平台上开发完成，设计结果令人满意。 关键词：分形；遗传算法；艺术图案；曼德尔布罗特集：朱丽亚集；逃逸时间 算法 分类号：t p 3 9 1 4 1 j i 东师范大学硕士学位论文 r e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o n so f t h e a r t i s t i cg r a p h i c sg e n e r a t i o nm e t h o d b a s e do nf r a c t a lt h e o r y a b s t r a c t n o w a d a y s ，w i t ht h ei m p r o v e m e n to ft h em a t e r i a l c i v i l i z a t i o na n dt h em e n t a l c i v i l i z a t i o n ，t h ep e o p l e ss e n s eo fc o n s u m ei sc h a n g i n gg r a d u a l l y p e o p l ep a ym o r ea n d m o r ea r e n t i o nt ot h ea r t i s t i cq u a l i t yo f t h em e r c h a n d i s e sa p l g e a r a n c ea n di t ss c u l p tw h e n t h e yb u ys o m e h t h i n g s oal o to f c o r p o r a t i o n ss t a r tt oi n n o v a t et h ea r t i s t i cd e s i g no f t h e i r p r o d u c t se n e r g e t i c a l l y i nt h ep r o c e s so fa r t i s t i cd e s i g n ，d e s i g n e r sn e e dt og e tr i do f t h e s t a l ea n db r i n gf o r t ht h ef l e s hw i t hm i n i n gt h e i rc r e a t ei n s p i r a t i o n i t sf a rf r o mm e e t i n g t h en e e do ft h ea r t i s t i cc r e a t i v ed e s i g nt h a tt h ed e s i g n e r ss t i l lu s et h et r a d i t i o n a im e a n st o c r e a t ea r t i s t i cw o r k s ，s u c ha st h ec r e a t et o o l so fp a p e ra n dp e n c i l ，t h ec r e a t ei n s p i r a t i o n s p u r to u tf r o mt h e i rb r a i no n c ei naw h i l e w h a tt h ed e s i g n e r sn e e di st h ec a d t o o l s w h i c hc a l li n s p i r et h ed e s i g n e r s c r e a t ei n s p i r a t i o n a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h e c o m p u t e rt e c h n o l o g y , t h ec o m p u t e ra r t i s t i cd e s i g nc a l lp r o v i d en i c e ra s s i s t a n ts u p p o r tt o d e s i g n e r sa l r e a d y e x c e l l e n tc o m p u t e rd e s i g ns y s t e mc a l li n s p i r et h ed e s i g n e r s i n s p i r a t i o n ， a n dc a nh e l pt h ed e s i g n e r sf i n i s ht h e i rw o r kr a p i d l ya n dp e r f e c t l y t h em o s tp a r to ft h ew o r ki nt h ea r t i s t i cd e s i g ni sa r t i s t i cg r a p h i c sd e s i g n w i t h c o m b i n i n gt h ef r a c t a lt h e o r ya n dt h ec o m p u t e rg r a p h i c s ，w ec a ng e tal a r g ea m o u n to f b e a u t i f u la n dc o m p l i c a t e df r a c t a lg r a p h i c sg e n e r a t ef r o ms i m p l ef o l x n u l a s t h i sm e t h o di s v e r y s u i t a b l et ot h ec a do ft h ea r t i s t i cg r a p h i c s t h eg r a p h i c s g e n e r a t ef r o mt h e a p p l i c a t i o no ft h ef r a c t a lt h e o r y c a nb eu s e di nt h ef i e l d so fa d v e r t i s e m e n td e s i g n ， p a c k a g i n gp i c t u r e sd e s i g n ，d e c o r a t i o nd e s i g n t h ea p p l i c a t i o nf o r e g r o u n do ft h i sm e t h o d i sv e r yw i d e t h i sp a p e r a p p l i e si t s e l f t or e s e a r c ht h eg e n e r a t i o nm e t h o da n dt h ea p p l i c a t i o no f t h e a r t i s t i cg r a p h i c sb a s e do nf r a c t a lt h e o r y i t sp u r p o s ei st oe x p l o r et h en i c e rg e n e r a t ea n d c h o o s em e t h o d so ft h ef l a c t a la r t i s t i cg r a p h i c sa n dt op r o v i d eh i g h e f f i c i e n ta n d c o n v e n i e n ts u p p o r te n v i r o n m e n tf o rt h ea r t i s t i cg r a p h i c sd e s i g n e r s t h em a i n j o bi s ： t t or e s e a r c ht h ef u n d a m e n t a lo ft h ef r a c t a lt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o ni nv a r i o u s f i e l d s b a s e do nt h eb r i e fi n t r o d u c t i o no ft h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，t h er e s e a r c ha c t u a l i t y a b r o a d ，a n dt h es i g n i f i c a n c et oc h o o s et h i ss u b j e c t + 2 t or e s e a r c ht h eg e n e r a t i o nm e t h o d so fv a r i o u sf r a c t a lg r a p h i c ss y s t e m a t i c a l l y t o a n a l y z et h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e sa n d t h e i ra p p l i c a b l es i t u a t i o no ft h e s em e t h o d s t of i n dt h es u i t a b l em e t h o d st h a tc a nb ea p p l i e dt og e n e r a t ea r t i s t i cg r a p h i c s 3 t h ec l a s s i c a ! m a n d e b r o ts e ta n dj u l i as e tw e r ee x t e n d e dt ot h eg e n e r a l i i i 山东师范大学硕士学位论文 m a n d e l b r o ts e ta n dj u l i as e t ，s ot h ea m o u n to ft h ei t e r a t ef u n c t l o nw e r ee x t e n d 嗣，a n da l a r g en u m b e ro ff r a c t a la r t i s t i cg r a p h i c sw e r eg e n e r a t e d 4 t h ea m e l i o r a t i v ee s c a p i n g t i m ea l g o r i t h mw h i c hc a l lp o r t r a yt h ei n n e r - d e t a i l so f m a n d e l b r o ts e ta n dj u l i as e tw e r eb r o u g h tf o r w a r d t h eg r a p h i c sc o u l db em o r e a r t i s t i c a l l yq u a l i f i e dw i t ht h ep o r t r a y a lo f t h ei n n e r - d e t a i l s 5 t h em e t h o do fa d j u s t i n gt h ei t e r a t ef u n c t i o nw i t hc y c l ef u c t i o nw e r eu s e dt o g e n e r a t et h ea r t i s t i cg r a p h i c sw i t hd i f f e r e n ts t y l e s ag r e a td e a lo fa d j u s tm e t h o d sw e r e g i v e nt oe n r i c ht h ek i n d so f t h e a r t i s t i cg r a p h i c s 6 t h ef u n d a m e n t a lo ft h eg e n e t i ca l g o r i t h m sw e r er e s e a r c h e ds y s t e m a t i c a l l y a m e t h o dm a k e su s eo ft h eg e n e t i ca l g o r i t h m st oc h o o s et h ea r t i s t i cg r a p h i c sw e r eg i v e n t h i sm e t h o dc a nh e l pt h ed e s i g n e r st ol i n dt h eg r a p h i c sa c c o r d i n gw i t ht h en e e d 7 t h ei m p r o v e dm e t h o do fc o l o ru pw e r eg i v e n t h i sm e t h o dm a k e su s eo ft h e e s c a p i n g t i m ea l g o r i t h m ，a n dv a r i o u sc o l o rs c h e m e v e r ep r o v i d e d s o ，t h ea r f i s d c g r a p h i c sw i t hd i f f e r e n tc o l o rs t y l e sc a l lb eg e n e r a t e d 8 a nd e s i g ns y s t e mo fa r t i s t i cg r a p h i c sw e r ec a r r i e do u t ，a n di tw a sb a s e do nt h e f r a c t a lt h e o r y t h i ss y s t e mw e r ed e v e l o p e do nt h ep l a t f o r mo fw i n d o w s x p ，u s i n gv b 6 0 ， a n dt h er e s u l to f t h ed e s i g ni ss a t i s f y i n g ， k e yw o r d s ：f r a c t a l ；g e n e t i ca l g o r i t h m s ；a r t i s t i cg r a p h i c ；m a n d e l b r o ts e t ；j u l i a s e t ； e s c a p i n g - t i m ea l g o r i t h m c l a s s i f i c a t i o n ：t p 3 9 】，4 】 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其 他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文巾作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：j 坦翩签字：囫夏 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅利借阅。本人 授权兰垄蔓可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用 本授权书) 学位论文作者签名 寸过 签字日期：2 0 0 7 年宰月叼曰 导师擗浏蓼 签字日期：2 0 0 7 年口月方日 山东师范大学硬士学位论文 第一章绪论 本章首先介绍了本课题的研究意义，其次阐述分形理论的国匹j # l - 研究现状及发 展趋势，最后介绍了本文的主要内容和组织结构。 1 1 本课题的研究意义 当今社会，随着人们的物质文明和精神文明水平的提高，人们的消费观念正在 逐渐发生变化。在购买商品时人们越来越重视商品外观和造型的艺术性。比如看 重产品的外部线条，表面的纹理，色彩的搭配等。如果说产品的质量取决于技术的 话，那么产品的品味即艺术性则取决于产品的艺术设计。对于生产企业，为了提高 产品在市场中的竞争力，藏必须大力开展产品的艺术设计创新，尤其是外观造型艺 术性的创新。所以，产品的创新设计与开发已经成为企业生存与发展的关键。 为了实现艺术设计创新，设计者需要发散思维，开阔思路；需要尽力挖掘创作 灵感。如何挖掘创作灵感，推陈出新也就成为了艺术设计的关键。在传统的艺术作 品仓作过程中，人们主要是靠纸、笔为工具把自己脑子里想象的东西表达出来。所 以作品的质量、数量受到人脑想象力的的限制。而且由于人的灵感并不是随时都有， 所以导致艺术产品的创作存在周期长，效率低等弊病。 幸运的是，随着计算机技术的发展，计算机艺术设计已能够为设计者提供良好 的辅助支持，优良的计算机设计系统可以有效的激发设计者的灵感，帮助设计者既 快又好地完成设计任务m 。计算机艺术设计是数字化的艺术设计，是随着计算机技 术的发展而新兴的艺术形式，其数字化过程与数学是密不可分的。分形理论在计算 机图形学中的应用使得设计者可以用计算机作为工具进行艺术图案创作。分形几何 使我们可以通过简单的计算方法得到复杂的图案，因为分形理论与迭代和递归有关。 所以分形生成的图形表现出某种自相似性，这种自相似性使图形表现蹬一种绮丽纯 真的美m 。通常的艺术创作手法很难产生如此的震撼力可以说分形图形是科学与 艺术的完美融合。在分形图案的不同区域涂上不同的色彩，展现在我们面前的将会 是非常美丽的画面。分形艺术图案的发展前景广阔，能够产生巨大的经济效益。比如 可以应用于民间艺术品，印刷品( 书籍装帧、杂志封面、扑克牌设计、i c 卡、挂历 台历、贺卡明信片) ，广告业( 制作新颖的广告画面、街道上的招贴画、包装材料 图案) ，纺织工业( 纺织纹样设计、印染工艺、刺绣花样设计、时装设计等) ，建 筑业等。 因此，如何通过一个简单的交流界面，使不太了解分形理论的设计者只通过修 山东师范大学硕士学位论文 改少量参数，调整颜色方案就可以利用分形理论生成符合要求的艺术图案己成为被 众多的计算机、数学乃至艺术工作者所关注的新课题，具有十分重要的研究意义。 1 2 国内外研究现状及发展趋势 分形是- - f 新兴的学科，目前仍处在不断发展之中。分形这个概念是分形几何 的创始人美国科学家曼德布罗特( b b m a n d e l b o o t ) 首次提出的。分形的原文是 f r a c t a l ，意思是不规则、破碎m f i 】。分形是描述不规则几何形态的有力工具，与传 统几何学相比，当前分形理论的研究主要分三种类型： 一、分形的基础理论研究。比如分形维数的性质、分形维数的估算，分形局部 结构的分析等方面的研究。 二、分形理论在实际应用中的研究。比如分形理论在数学建模、计算机图形学、 物理学、化学、地震学、生物学、建筑学、艺术等方面有广泛的应用。 三、分形图形生成方法研究。 后两类问题的研究成果较多，尤其是分形理论在数学、物理、化学、计算机图 形学等多个学科的应用取得了令人注目的成绩。在国夕 ，一些电脑游戏、广告、计 算机动画、书籍报刊的封面、艺术作品设计中已成功的应用了分形技术。如8 0 年代 初，弗尔聂( a f o u r n i e r ) 、富塞尔( d f u s s e l l ) 、卡本特( l c a r p e n t e r ) 将分形图形 推向好莱坞影视业，在美国鲁卡斯电影公司的影片星际旅行之二：可罕之怒( s t a r t r e ki i ：t h ew r a t ho fk h a n ) 、最后的星球斗士( t h el a s ts t a r f i g h t e r ) 中利 用分形理论制作了许多分形风景。现在，在国外的相关网站上，你很容易就可以获 得一些用分形方法制作的艺术图片，从中你可以真正感受到分形艺术的魅力。然而 在国内，虽然涉及分形的论文和书籍不断增加，有关分形的国际会议和专题讨论会 也越来越多；但是分形在其实际应用方面发展却很缓慢。分形理论有待于进一步推 广和使用，特别是在和艺术创作结合方面。 目前，分形领域仍有许多问题需要进一步深入研究，下面列举几个主要的问题： 1 、关于分形的精确定义的问题 目前，仍然没有关于分形的完整而精确的定义，没有分形的定义支持，要判断 一个事物是否是分形是困难的和不准确地。因此，还需努力给出分形的严谨定义， 以区分分形与非分形。 2 、分形维数的物理意义 分形维数是描述分形特征的定量参数，如何理解分维数确切的物理意义，寻找 分维数的更深刻的意义和实际的用途，是分形理论发展的一个极为重要的问题。 2 山东师范大学硕士学位论文 3 、分形的重构问题 分形重构问题是指某一分形的图形能否以某个指定方式生成它，具体来说就是 指是否能通过映射迭代来再现这一分形图形，这是动力学研究的逆问题。比如已知 分形维数，如何由分形维数来重构、还原这个分形。现在用分形维数来重构分形还 必须有其它的辅助参数，仅靠分形维数是无法重构分形的。 4 、关于j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集的问题 j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集是复二次多项式厂( 力= z 2 + p 迭代的结果，两者密切 褶关。关于腻集和j 集需要研究的闯题有很多。比如如何计算鹾集的边界维数；j u l i a 集发生爆炸的临界问题；以及广义j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集所涉及的些问题都需 要进一步研究。 5 、图像的分形压缩问题m 基于分形理论的图像压缩思想是把待压缩图像看作是一组不动点集t ，则分形压 缩就是寻找一组能够生成与t 相近的不动点集a 的仿射变换集的系数来代替保存压缩 的图像。由于系数的数据量可以做到比图像数据量小得多，所以可以实现图像压缩 的目的。分形图像压缩方法突破了传统图像压缩方法仅局限于局部相关去冗余的局 限性，引入了局部与全局相关去冗余的思想，从而比传统压缩方法更深一层地挖掘 了图像冗余信息，为实现高压缩比提供了可能性，具有重要的研究意义。分形压缩 需要研究的问题有很多，比如如何提高分形压缩编码速度；如何实现较高的图像压 缩比。 6 、其它问题 随机多重分形的数学问题；分形曲线的导数问题；分形的小波分析及小波变换 产生分形的问题；生物膜的分形结构及其与细胞膜病变的关系等问题。 1 3 本文的主要内容 本文系统的归纳了分形的基本理论；研究了多种分形图案生成方法；设计了多 种图案调节方案及颜色方案：设计了应用遗传算法对分形图案进行遗传选择的方法： 并在此基础上设计了基于分形原理的艺术图案设计系统。 主要内容包括以下方面： 1 在简要介绍课题的研究背景、国内外研究现状及选题意义的基础上，研究了 分形理论的基本原理及其在各个领域的应用。 2 系统地研究了各种分形图案生成方法，分析了这些方法的各自的优缺点及适 用情形，在研究的基础上选择适合应用于生成艺术图案的方法。 山东师范大学硕士学位论文 3 将经典的曼德尔布罗特集和朱丽亚集推广到广义曼德尔布罗特集和朱丽亚 集，以扩充迭代函数的数量，实现生成大量分形艺术图案。 4 设计了绘制广义m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集内部细节的方法。通过绘制内部 细节可以使图案更有艺术性。 5 设计了应用周期函数进行调节生成不同风格艺术图案的方法。并提出多种调 节方案，大大地丰富了艺术图案的种类。 6 系统地研究了遗传算法的基本原理，提出了一种利用遗传算法对分形艺术图 案进行遗传选择的方法；通过这种方法可以帮助设计者迅速找到符合要求的图案。 7 设计了逃逸时间算法着色方法的改进方法，提出多种颜色方案。 8 实现了一个基于分形原理的艺术图案设计系统，系统利用v b6 0 在 w i n d o w s x p 平台上开发完成，设计结果令人满意。 1 4 本文组织结构 第一章简单介绍了本课题的研究意义、相关领域的国内外的研究状况及发展趋 势，阐明课题所做的工作及本文的组织框架。 第二章介绍了分形的定义，分类；分形几何与传统几何的区别及分形理论在各 领域的应用。 第三章简要介绍了几种常用的分形图案生成方法一一基于生成元或基本构成元 素递归的分形图案生成方法；基于复动力系统的分形图案生成方法；基于l 系统的 分形图案生成方法；基于牛顿法迭代法的分形图案生成方法；基于i f s 的分形图案 生成方法。 第四章介绍了本文所选择的分形艺术图案生成方法；把经典m a n d e l b r o t 集与 j u l i a 集推广到广义m a n d e l b r o t 集与j u l i a 集；提出绘制广义m a n d e l b r o t 集与 j u l i a 集内部结构的方法：提出了使用周期函数对迭代函数进行调解以生成不同风 格艺术图案的方法；在图案的选择方面提出了应用遗传算法思想选择分形艺术图案 的方法；最后讨论了逃逸时间算法着色方法的改进方法。 第五章介绍了分形艺术图案设计系统的设计思想，特别说明了v b 环境下分形艺 术图案生成系统的实现。 第六章总结了本文的主要工作和迸一步的研究方向。 4 山东师范大学硕士学位论文 第二章分形理论的基本知识 自2 0 世纪7 0 年代中期m a n d e l b r o tbb 提出分形几何概念以来，分形理论已被 广泛的应用于各种领域。本章主要介绍分形理论的产生及发展过程；分形的定义及 分类；分形维数的概念及计算；分形几何与传统几何的区别及分形理论的应用。 2 1 分形理论的产生及发展过程 分形理论是人类对大自然认知能力发展的产物。在自然界中存在着许多无法用 传统几何描述的非线性问题，比如人体的经络结构，小肠的绒毛组织，大脑皮层的 褶皱，闪电的痕迹，雪花的形状，山峰的形状，宇宙中星系的分布，植物的形状， 晶体的结构等等，这些现象普遍存在于自然界中，但是这些普遍存在的现象在过去 很长一段时期内却没有相应的理论可以用来描述。所以人们迫切的需要一种与传统 几何学不同的可以用于描述大自然中丰富多彩的事物，可以用于解决非线性问题的 几何学嗍。于是，人们就创造出了一种新的解决问题的方法一分形几何学。分形几 何学的提出，不仅为描述菲线性问题提供了工其一也标志着分形理论的正式诞生m 分形理论不仅可以用于描述自然现象，还可以用于描述人类社会中普遍存在的各种 不规则现象，比如价格的波动，股市的变化，传染病的流行过程等。 最早的分形图形可以追溯到文艺复兴时期著名艺术家、科学家丢勒( a l b e r t i ) u r e r ，1 4 7 1 1 5 2 8 ) 的“五边形分形”。他首先画出一个正五边形，然后沿每边向外 再作5 个正五边形，这样又构成了另一个更大的正五边形轮廓。丢勒的艺术创作有 一个重要特点：精细，讲究科学和数学m 分形理论发展历程中的重要事件；m i t t l 1 8 8 3 年，康托尔( g f p c a n t o r ，1 8 4 5 1 9 1 8 ) 构造了三分集c a n t o r 集，它与实 直线是相对立的，具有奇特的性质，它是自相似的，不包含任何区间却还是完备的 闭集合。如今它已成为分形几何学的最典型，最简单的模型。 1 8 9 0 年，意大乖j 数学家皮亚诺( g p e a n o 1 8 5 8 1 9 3 2 ) 构造了一种充满空间的曲 线。这种曲线能够通过正方形内的所有点。这种曲线与平面应该如何区分令数学界 产生疑问。 1 8 9 1 年，大数学家希尔伯特( d h i l b e r t ，1 8 6 2 1 9 4 3 ) 也构造了一种与皮亚诺所 构造的曲线具有相同性质的曲线。并在数学年刊上发表短文，这就是著名的能 充满平面区域的希尔伯特曲线。 1 9 0 4 年，瑞典数学家柯赫( h y o nk o c h 。1 8 7 0 - 1 9 2 4 ) 构造了如今称之为“柯赫曲 山东师范大学硕士学位论文 线”( k o c hc u r v e ) 的几何对象。如果首尾闭合，这种曲线常称作柯赫“雪花曲线” ( s n o w f l a k ec u r v e ) 其性质也是处处连续但处处不可微。 1 9 1 5 年，波兰数学家谢尔宾斯基( w s i e r p i n s k i ，1 8 8 2 - 1 9 6 9 ) ) 应用实变函数理 论构造了谢氏地毯等分形图形。 1 9 1 0 年，德国数学家豪斯道夫( f h a u s d o r f f ，1 8 6 8 - 1 9 4 2 ) 开始了奇异集合性质 与量的研究，提出分数维概念。 1 9 1 8 1 9 2 0 年左右，法国数学家朱丽亚( g j u l i a ，1 8 9 3 1 9 7 8 ) 、法图 ( p j l f a t o u ，1 8 7 8 1 9 2 9 ) 对复迭代进行了大量的研究。 1 9 2 5 年柏林大学的克莱默( h c r e m e r ) 组织讨论班学习朱丽亚的工作，并首次手 工绘制了朱丽亚集的图象。 1 9 3 2 年，庞特里亚金( l - s p o n t r y a g i n ，1 9 0 8 一) 给出盒维数的定义。 1 9 3 4 年。贝塞克维奇( a s b e s i c o v i c h ，1 8 9 1 1 9 7 0 ) 给出维数的新定义。更深刻 地揭示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维。 1 9 5 4 年，波兰数学家斯坦因豪斯( h s t e i n h a u s ，1 8 8 7 1 9 7 2 ) 讨论“长度”悖论。 1 9 6 0 年，曼德尔布罗特开始研究棉花价格，在研究棉价变化的长期性态时，他 发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输 与无误差传输在时间上按c a n t o r 集排列。 1 9 6 3 年，气象学家洛伦兹( e n l o r e n z ) 在研究流体的对流运动时，发现了以他 的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。 1 9 6 7 年曼德尔布罗特在科学上发表题为英国海岸线有多长? 统计自相似 性与分数维数的著名论文。 1 9 6 8 年美国生物学家林德梅叶( a l i n d e n m a y e r ，1 9 2 5 1 9 8 9 ) 提出研究植物形态 与生长的“l 系统”方法。 1 9 7 5 年曼德尔布罗特创造分形( f r a c t a l ) 一词，以法文出版专著分形对象。 1 9 7 7 年9 月在英国塞尔福特( s a l f o r d ) 举行颗粒粒度分析会议，将分形思想引 入粒度分析。 1 9 8 0 年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集( m 集) 的 第一张图来。 1 9 8 5 年，美国佐治亚理工学院的巴斯莱( b a m s l e y ) 首先提出迭代函数系统( i f s ) 的概念，研究了含参数的函数系迭代动力系统m ，。 1 9 8 6 年，贝德浮德( t b e d f o r d ) 等人给出了有效的算法来计算由迭函数系统构 造的分形集的豪斯道夫维数。 1 9 8 5 - 1 9 8 8 年，巴恩斯利( m f b a r n s l e y ) 等人研究迭代函数系统( i f s ) ，试图解 6 山东师范大学硕士学位论文 决图形生成的逆问题一对已知图象找分形压缩算法，创建分形图形公司，分形技术 开始推向市场。 1 9 8 6 年，劳威尔( h a l a u w e r i e r ) 将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其 迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为c a n t o r 集。 1 9 8 8 年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的j 集。 1 9 8 9 年，m f b a r n s l e y 的博士生a e j a c q u i n 发表了一种基于方块划分的分形 图象压缩方法，即分割迭代函数系统( p a r t i t i o n e di t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m p i e s ) 。分割迭代函数系统( p i e s ) ，也是一个寻找仿射变换的过程。它利用图象分割 成块之后的局部与局部的关系，去除图象d o m a i n 块与r a n g e 块之间的相关性进行压 缩的。 1 9 8 9 年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。 1 9 9 1 年，科维克( z k o v a c s ) 等引入双变量迭代系统，推导出维数、嫡、李雅普 洛夫指数，提供了对多重分形相交分类的一般方案。 警 近年来分形理论又取得了更多更新的研究成果，并结合了多种其它学科实现了 一些很有实用前景的应用。 2 2 分形的定义 从分形诞生至今几十年来人们都在不断地探索从数学角度对分形下一个严格的 定义，但是至今尚无一个是完全令人满意的答案，虽然如此，只要我们可以给出分 形的描述性定义，还是可以很好的理解分形。 分形( f r a c t a l ) 理论是美籍法国数学家曼德尔布罗特( b b m a n d e l b r o t ) 首先 提出的。曼德尔布罗特( b b m a n d e l b r o t ) 于1 9 7 5 年出版了关于分形几何的专著 f r a c t a l s ：f o r m ，c h a n c ea n dd i m e n s i o n ，标志着分形理论的诞生。曼德尔布 罗特曾经为分形下过两个定义： 1 分形是豪斯道夫维数严格大于拓扑维数的集合。 2 局部与整体以某种方式自相似的形n 町w 。 经过实践的检验，人们发现这么简单的定义根本无法包括丰富的分形内容，因 而被人们慢慢淡忘了。比如定义1 把许多豪斯道夫维数是整数的分形集合排除在外， 如经典的分形集合皮亚诺曲线。 对于分形的定义。现今最流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现 象、图象或者物理过程。例如分形图形的典型例子k o h n 雪花( 如图l1 ) 和s i e r p i n s k i 7 山东师范大学硕士学位论文 三角形( 如图1 2 ) ，显而易见，它们都具有自相似特性。 o 图1 1k o h n 雪花图1 2s i e r p i n s k i 三角形 英国数学家f a l c o n e r 在其所著分形几何的数学基础及应用一书中提出分形 的定义应该以生物学家给出“生命”定义类似方法给出，“生命”没有严格明确的定 义但可以列出一系列生命体所具有的特征，比如对环境的适应能力、生命能力、运 动能力以及繁殖能力等等。大多数生物都有上述特征，但也有少数生物对其中某些 特征有例外。同样对于“分形”，也可以把它看成具有某些特征的集合，不必刻意追 求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性m ，。 下面我给出分形的一个描述性定义： 分形可以看作具有下列性质的集合f ： 1 f 具有精细结构；即f 在任意小的尺度下总有复杂的细节。 2 f 是不规则的，即不能用传统的几何语言来描述f 的局部和整体，f 既不是 满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集； 3 f 具有近似的或统计意义下的自相似性； 4 f 在某种方式下定义的“分形维数”与它的拓扑维数不相等，通常下是大于 拓扑维数； 5 f 的定义常常是非常简单的。或者是递归的。 针对不同分形对象，有时它可能只具有上面大部分性质，而不满足某个性质， 但我们一般仍然把它归入分形。实际上，自然界和科学实验中涉及的分形绝大部分 都是近似的，因为当尺度小到无法分辨时，分形性质也自然消失了，所以，严格的 分形只存在于理论研究中。 2 3 分形的分类 分形的分类方式有很多，根据分形集合生成算法的特征对分形进行分类，可以 把分形分为线性分形和非线性分形两大类。线性分形是最基本的一种，从数学上说， 山东师范大学硕士学位论文 就是实现这些分形的算法中仅含有一次项，如k o c h 曲线、p e a n o 曲线及迭代函数系 统( i f s ) 。 非线性分形则内容丰富得多，变化也多，如j u l i a 集。 我们也可以根据分形产生算法中随机因素的影响，把分形分为确定性分形和非 确定性分形两类。对于确定性分形，其算法的规则是确定的，在算法中也没有加入 随机性因素，或者虽然有随机因素的加入，但并不影响分形图形的形状；对随机性 分形，虽然其产生的规则也是一定的，但由于随机因素的影响，至使每次生成过程 产生的分形形态都会有所不同，它不具有可重现性。 2 4 分形几何与传统几何的区别 传统几何就是我们常说的欧氏几何，欧氏几何是一门具有2 0 0 0 多年历史的数 学分支，它是以有规则的几何图形作为其研究对象。欧氏几何中的对象由基本元素 构成，如点、直线、圆等。而分形对象是不具备基本元素的，所以分形首先是一种 几何语言，它不是由基本元素来描述，而是由算法和数学程序集描述的，这些算法 借助于计算机技术可以转换成一些几何形态。 由于分形几何研究的对象是非线性的不规则图形，所以分形几何研究的图形要 比欧式几何研究的图形复杂得多。例如，如果山脉都是圆锥形的，欧氏几何就可以 描述山脉，然而山脉的形状是不规则的，所以利用欧氏几何无法描述。由于自然界 中的物体不会由有规则的欧氏几何基本元素组成，例如海岸线不是圆弧的，闪电也 不是沿直线，也不是沿曲线的；所以这些自然界中的不规则几何形体难以用欧氏几 何中描述。而由于分形几何研究的对象是一类不规则的无特征长度的几何形体，所 以可以用于研究以上对象。 2 5 分形理论的应用 近二十年来，分形的研究取得了很大的发展，由于分形理论具有巨大的使用价 值，所以逐渐受到各领域的广泛的关注。分形几何学不仅引出了许许多多的新问题， 还为解决古老的难题带来了新的希望。 下面简单列举分形理论的应用领域n 帕： 一、经济领域的应用 分形被用于分析和研究股票市场和金融市场的波动m m m m ，加深了人们对资本 市场特征和规律的认识。分形还被用于研究企业的管理模式。德国学者瓦内克 ( h a n s j u e r g e nw a r n e c k e ) 教授受分形理论的启发提出了一种新的企业管理模式； 9 山东师范大学硕士学位论文 分形企业管理。这种企业适应外部环境的能力显著提高，能及时调整其结构以应付 外部变化，对处于瞬息万变的市场环境中的企业显然是十分有利的组织和管理模式 m ，。在重工业生产中，可以利用分形理论对断裂表面及熔合线图形微观特征进行研 究，能推导出断口发展的方向性，可以改进加工工艺以达到生产需要。 二、气象地理领域的应用 利用分形理论可以分析对比多年气温、气候指标，从而可以预测气候变化的规 律及台风、洪水等自然灾害时间空间的分布规律，以减轻其对人类的危害。 三、分形生长领域的应用w 在物理学、化学、生物学、材料学及医学中，存在着大量生长的实例，通过分 形理论可以研究它们的生长规律，以达到控制和利用分形生长的目的。 四、计算机图形学领域的应用 分形理论可以用于利用计算机模拟自然界景象，例如山、云、闪电、水、植物 等，可以得到十分逼真的景象。许多技术已经被应