（概率论与数理统计专业论文）二维光正交码的构造方法及性能分析.pdf

二维光正交码的构造方法及性能分析 李明瑶 南 开大学数学科学学院 天津，3 0 0 0 7 1 摘要 本文在二元循环置换等重码和二元半循环置换等重码的基础上给出了二 维光正交码的三种构造方法对于每一种构造方法，本文都给出了具体的例 子 ，例如由r - s 码，广义b - j 码，循环乘积码毛 元循环h a m m i n g 码和扩展 g o l a y 码构造的二 维光正交码.本文中构造的一些二维光正 交码还是最优的或 渐近最优的另外，本文还对二 维光正交码的检错性能进行了分析，给出了 它的不可检错误概率计算公式，并对文中构造的几类二维光正交码的检错性 能进行了具体分析 关 键 词 二维光正交码、 循环置换等重码、半 循环置换等重码、不可检错误概率 c o n s t r u c t i o n s a n d p e r f o r m a n c e a n a l y s i s o f t w 。 一 d i me n s i o n a l o p t i c a l o r t h o g o n a l c o d e s l i mi n g y a o s c h o o l o f ma t h e m a t i c s , n a n k a i u n i v e r s i t y t i a n j i n , 3 0 0 0 7 1 ab s t r a c t b a s e d o n t h e b in a r y c y c l i c a l l y p e r m u t a b l e c o n s t a n t - w e i g h t c o d e s a n d t h e b i n a r y q u a s i - c y c l i c a l l y p e r m u t a b l e c o n s t a n t - w e i 咖 c o d e s , t h r e e c o n s t r u c t i o n s o f t wo - d i m e n s i o n a l o p t i c a lo r t h o g o n a l c o d e s ( 2 - d o o c s )a r e g i v e n in t h i s t h e s i s a f t e r w a r d s , w e p r o v i d e s e v e r a l e x a m p l e s a c c o r d i n g t o e a c h c o n s t r u c t i o n , s u c h a s t h e 2 - d o o c s g e n e r a t e d f r o m t h e r - s c o d e s , g e n e r a l i z e d b - j c o d e s , c y c l i c p r o d u c t c o d e s , b i n a r y c y c l i c h a m m in g c o d e s a n d t h e e x t e n d e d g o l a y c o d e s . i n p a r t i c u la r , s om eo f t h e 2 - d o o c s p r e s e n t e d i n t h i s t h e s is a r e o p t i m a l o r o p t i m a l . f u r t h e r m o r e , w e p r o v i d e a n a n a l y s i s o f t h e p e r f o r m a n c e a s y m p t o t i c a l l y o f 2 - d口o c s , d e r i v e t h e f o r m u l a f o r c a l c u l a t i n g t h e u n d e t e c t e d e r r o r p r o b a b i l i t y a n d d i s c u s s t h e p e r f o r m a n c e o f t h e 2 - d o o c s p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s i n d e t a i l f w o - d i m e n s i o n a l o p t i c a l c o d e s , q u a s i- c y c l i c a l l y p r o b a b i l i t y . k e y w o r d s a t c o d e s , c y c li c a l l y p e r m u t a o l e c o n s t a n t - w c t g n t p e r m u t a b l e c o n s t a n t - w e i g h t c o d e s , u n d e t e c t e d e r r o r 引言 自 从1 9 8 9 年8 月j . a . s a l e h i 的奠 基性文章 光纤网络中的c d m a ( 码分多址) 技术一 1 基本原则 1 1 系统性能分析1 2 一文发表以后， 光纤网 络中的c d m a技 术得到了充分发展， 有很多人在光正交码的构造方法及性能分析方面做了 大量的工 作. 但是， 他们所考虑的系统和编码都是一维的， 也即仅仅考虑时域中的编码.而 当 激光脉冲的宽度固定时，如果采用一维时域编码， 数据传送的b i t 时间就会随着 码长的增加而线性增加， 从而降低了数据传输率，这是我们不希望得到的.对于这 一问 题的改进方案之一就是采用t e s ( 时/ 空) 网络中的二维编码( 矩阵) 技术， 也即 本 文要研究的二维光正交码.下面的图示给出了 二维c d m a通信系统结构图13 . 用户 用户 接收端 用户 发送端 编码器 第 m条信道 f ig . i 一维c d m a 侮个用户都被分配给 译码 器 注:m个) 11 户，m 条信道 通信系统结构图 一 个m x n阶_儿知阵作为它的签名模式矩阵 二维光正交码是一组元素为。 或 1 的。x 。 阶二元矩阵的集合， 其中。对应 于空域中 信道的数目 ，。 对应于时域中 编码的长度.在二维光纤c d m a网 络中， 每个用户 都被分配给二维光正交码中的一 个码字作为它的签名模式矩阵. 如果要传 送的消息是 1 ， 则传送者就把表示接收者的签名模式矩阵的脉冲序列传送给对方; 如果要传送的消息是。 ， 则在传送周期内什么 也不传送. 在接收端， 接收者需要计算 收到的消息与它自 身的签名模式矩阵之间的相关函数. 由 于二维光正交码具有良 好 的自 相关和互相关性质、 所以如果接收到的消息正确， 就会得到相对较大的自 相关 函数值， 否则会得到一个相对较小的互相关函数值. 这样就可以通过对相关函数值 的判断将被传送的消息恢复出来 与一维光正交码相比 ， 在用户数目 和码重相同的 条件下， 二维光正交码可以极大地降低码长， 进而提高数据传输率. 另外， 使用二 维网络还可以大大地降低系统的成本 二维光正交码有很多重要应用， 特别是在图 cd ma一 c o d e, d i v i s i o n mu l t i p l e a c c e s s 象传输方面， 二维光正交码使得图 象的并行传输和接收成为可能.同时， 二维光正 交码还可应用于无线电移动和跳频通信， 雷达和声纳的信号设计等， 具有重要的理 论价值和实际意义.因此，二维光正交码的构造是一件很有意义的工作. 关于 二维光正交码的 构造已 有一些方法( 见文献川阎同侧) . 本文将进一步给出 二维光正交码的构造方法，并对其检错性能进行了分析. 本文分为三个部分:第一部分给出了二维光正交码的定义及性质，并对将用 到的其它定义， 记号和引理做了介绍; 第二部分给出了二维光正交码的三种构造方 法 ， 对 每 种 构 造 方 法 文中 都 给 出 了 具 体 的 例 夭 第 三 部 分 对 二 维 光 正 交 码 的 检 错 性 能进行了分析， 给出了它的不可检错误概率的计算公式， 并对第二部分中 构造的几 类二维光正交码的不可检错误概率进行了计算和比 较. 1 定义，记号和引理 定 义1 x7 1 一个( 二 n , w , a 凡 ) 二维 光正 交码c就是由 一组 元素为。 或1 ， 重量 为 。的7 n x 。阶矩阵组成的集合，并且满足: ( 1 ) 自 相关性: 对于c中的任一矩阵a = a ( i , j ) ， 当。 o r n - 1 , 0 二 n - 1 且( 。 ， 二 ) : ( 0 , 0 ) 时， 朴乙 -1n-1 艺艺 a ( i , j ) a ( i 。 。 。 ， ， 。 丁 ) 三 入 。 ， r0 j = o ( 2 ) 互相关性: 对于 c中的任意两个相异矩阵 a二 -(i,7), b二 b ( i ; i ) . 当 () 。兰。 一l , 。 t n 一1 时， 艺艺a ( i , j ) b ( i (d ,n o , : 二: ) a , i - 0 j = 0 其中ie m 。 表示 i 与。的模二加法. 在( 。/ n , w , a . , a c ) 二维光正 交码c中， 矩阵的个数( 即 c i) 称为此码的容 量， 此容量的最大可能值记为叫mx n , w , a 。 , a , ) . 称满足 c=叫m x 7 i , w , a . , a , ) 的 码为 最优 二 维光正 交 码， 特别当入 。 = 入 。 二 入 时 ， 将( 。x 。 ， 。 ， 入 。 ， 入 。 ) 二 维光正 交码 记为( 。 n , w , a ) 二维光正交码.我们以 下只讨论人 。 =入 。 =久 的二维光正交码. 引 理1 7 1 对于( 二x n , w , a ) 二维 光正 交 码c , 的 容量i c 有 i cj + ( r n x 。 ， 。 ， a ) ( t i n 一1 ) ( ? ? i t 一2 ) ( 。 。一a ) 。 ( 。一1 ) ( 。一2 )， ( 。一a ) 以下设c为凡上的卜 川循环码，g c d ( n , 川 = 1 ， 即c为 单根循环码. 定义z 19 11 1 0 1 码字。 = ( c o , c l , . . . , c n - 1 ) 的 循环 置换 定义 为s ( c ) = ( c - 1 , c o , c l , c ; - 2 ) . 如果 存在正 整数r 及u e f y ， 使 得s r ( c ) =。 + u 。 1 ， 这 里 1 =( i l l . . . 1 ) ， 则 称r 为码字。 的一个广义周期，记。 的最小广义周期为t ( c )特别地， 如果v 二0 , 称r 为。 的一个周期， 记c 的最小周期为t ( c ) . 若码字c 的 最小周期( 或广义周期 ) 为n ， 则称c 无内 周期( 或广义周期) ， 记r , 中 最小周期为 的 码字数目 为讯 ， 称 ( i t ) i = 1 为码c的 周期分布 f v 1x 1 中的多项式f ( 二 ) 的周期定义为使f ( 二 ) : 一1 成立的最小正整数/ t l ， 记为t ( f ) 定义s 1 1 称两个码字。 ， ， 。 : 循环等价， 若存在。 : 。 ， 使得 s ( c l ) =c 2 ， 称两个 码字c i , c 2 广义 循环 等 价， 若存在0 。 ， 使得 o ( c ) 二 c ， 则称: 为 码字c 的半循环周期. 若。 的最小半循环周期为: ， 则称。 无半 循环内周期. 定义 1 0设。 , , c : 为( r i m , n k ) 半循环码q c中的两个码字. 称。 ; ， 。 : 半循环等价， 如 果存在0 r 0 ， 使得， 二 s , w o ) , s ( q 1 ) 一， s , 泳一 ， ) ， 则称q 的内 循 环系数为r . 设p 和。 为q v中的两个相异 码字， 若存在。 v 。 一 i , 0 r 二一 1 且 ( 。 ， : ) 0 ( 0 , 0 ) ， 使得n 二o ( s ( g o ) , s ( q l ) , ， ，( 、 。 一 1 ) ) ， 则称p 与q 二重循环等 价. 设c为一个( 。 。 ， 。 的半循环码. 为研究方便起见， 将c的生成矩阵中的各列 重新排列 1 2 : 把第1 列， 第m+1 列，一。 第( 。 一 1 ) m+1 列排在一组， 得到k 个 。 x 。 阶c i r c u l a n t 矩阵; 把第2 列， 第m+ 2 列， 第( 。 一 1 ) m+ 2 列排在一组， 又得到k 个n x 。 阶c i r c u l a n t 矩阵;依次下去，可以得到m组。 x n 阶矩阵 由 此，我们可以得到c的等价形式的生成矩阵: 、leseseses.口吸卫1了7 阴mtti c 1 ,2 c , c 2 ,2 c 2 ( 戈2 峨 ci汤:几 了了口召.月.、 其中c ; .; 是形如: c o c 1 c n _ic 0 c n _1 c ” 一2 c _ 2 c._1c n一: 弓 cl c z 的， x 。 阶c i r c u l a n t 矩阵，; 二1 , 2 ， 一， k ; j =1 , 2 , ， m . 特别地， 如果一个半循环 码的等价形式的生成矩阵为: 、. m爪m爪 ci岛几.久 c l ,k + 1 c 2 ,k + l c 3 .k + l c k .k + l nn万j。们介 orlnn曰 了jfl八“。n目 2才.、1月ies卫tt 一- s g 则称之为系统半循环码. 2 二维光正交码的构造方法 在这一部分中， 我们给出了二维光正交码的三种构造方法 由于对一维编码的 构造方法已 有很多研究， 因此一个很自 然的想法就是通过寻找一维向量与二维矩阵 之间的对应关系来构造二维光正交码 我们知道19 1 对于一个。x 。 阶 矩阵a = a ( i , 川 当g c d ( m , n ) =工 时， 可由中 国余数定理得到n=二 。 一 重二元向 量。 = ( a o , o l , . ., ， a n _ 1 ) 以 及a与。 之间的一一 映射: a i =a ( i m o d m, i m o d 。 )( 2 . 1 ) 由 映射( 2 .1 ) ， 当给定一个( n , w , a ) 一维光正交码c时， 便可以得到一个( mx n ， 二 ， 的二维光正交码 a ， 其中n=m/ 。 ， a中的每个矩阵都由c中的一个码 字按映 射( 2 . 1 ) 对应得到. 而实际 上18 1 一个 n , w , a ) 一 维光正交码就是一个 二 元 ( n , m , d , = 2 w - 2 勺循环置 换等 重码 因 此， 二 维 光正 交码的 构造也就转化为 对二 元循环置换等重码的构造， 基干上述思想、我们得到了本文的前两种构造方法. 另一方面， 由 第一部分半循环码的定义， 我们不难发现半循环码中的每个码字 与 二维矩阵之间的另一种对应关系: 任取基长为。的( n m , n k ) 半循环码q c中的 一个码 字。 二( c o 。 ， 卜 , c 、 一 日 ， 其中。 : =( c , ,o , c i ,i , - i i l e i,二 一 ， ) = 。 ， i， 。 一i . 若将 c o . c , ， 一， 。 。 一 ， 分别 转 置， 则可以 对 应得到 矩阵a 二( 塔， 好一 菇 一 ， ) . 由于 半 循环码 的这种特殊性质， 我们考虑是否可以 通过半循环码来构造二维光正交码? 答案是肯 定的 通过寻找半循环置换等重码中内 循环系 数为m且互不二重循环等价的 码字， 我们得到了第三种构造方法. 2 . 1第一种构造方法 构造方法i设p 为素数，c为p 元【 n , k 司线性循环码，9 c d ( n , a ) 二1 . 1 ( : c . 设v 为 一个1r 重二元向 量， 重 量为。 回， 且f 的。 一 表示为等距的， 极小距离为 武 v ) . 设v为c的广义循环置换子码. 将v中 每一个码字。 二( c o , c f ， 二， c n _ , ) 都对 应一个p x i t 阶矩阵a 、 其中a 的第 列为分量c 的v 表 示的转置( 列向量) 、 则犷中 的 v 个 向 量 对 应 得 到 的 矩 阵 集 合滩 构 成 了 一 个(p x n , ti = 。 二 回， “ 二 、 一 j v) 二维光正交码，且容量为i vi 1 a 是 一 个(; x 。 ， 。 = 。 。 间， * 二 。 一 1 aa) 二 维 光 正 交 码 分三步证明， 。 二仆w ( v ) 显然成立 证 明a中 的 任 两 个 矩阵a 与b ， 当0 。 p 一 i , 0 5 ， 且p 为一个奇素数，。 =p + 1 , 5 k 。 . 设c b j 是一个p 元 n , k , d =。一k 十广义b - j 码， 取。 二( 1 , 0 , 0 ， 一， 。 ) 为一个p - 重向 量， 此时由 构 造方法 1 a b j i= 可得到p x ( p +1 ) 。=p +1 , a = 1(r + 1 )+ 1 ) 艺 r : r l p+l ， ( : ) ; ， 十 2 1 1 其 中s 二 导 k 一1 ) 二维光正交码a b j ， 它的 容量为 ， 且a r ， 是渐近最优的. 证 明 : 由 文 献! 1 1 知 ， 广义b - j 码c b j 中 无内 周 期 码 字 的 数目 为t= rte . p ( r ) p + 2 ! ; r : r 刀 其 中、 = k - 12、 因 而c b j 的 无 内 周 期 循 环 等 价 类 的 数目 为令 因 为 不 是、 ( 二 ) 二 。 的 根 ， 由 引 理2 知 ，工 e c b j ， 故c *的 广 义 循 环 置 换 子 码 的 码 字 数目 为? exzp由 构 造方法工 可得到 ( p x ( p +1 ) , w=p +1 , a =k 一工 ) 二维光正交码a b j ， 它的容量为 a b j 二 p p + 1) r :r fp+ a ( v ) p , , ， 因为 limp - ! o o i a b 川 d ( p ( p + 1 ) , p + i , k 一1 ) p ( p + 1 ) 艺 i, ( r )p l + a r 怒 r ; r lp +l ( p ( p + 1 ) 一 1 ) ( p ( p + 1 ) 一 2 ) 一( p ( p + 1 ) 一( k 一 1 ) ) = 1 沙+1 ) ( ( p + 1 ) 一1 ) ( ( p + 1 ) 一 2 ) . . . ( ( p 十 ) 一沙一1 ) ) 故a b .r 是渐近最优的. 由a r 。 及a b ! 的构造可以看出，它们的渐近最优性取决于p - 重向量1 的选 取 在推论1 和推论2 中， 当。 取为一个l e g e n d r 。 序列时， 对应还可以 得到两个二 维光正交码a r s 和a b ,r 定 义1 5 回 设， 为 素 数 ，1- 1z为 奇 数 ， 称p - 重 二 元 向 量。 二 ( 、 ， 、一， v p _ i ) 为一 个l e g ee n d r 。 序列， 如果 当i 是模p 的平方剩余时， 当云 是模p 的非平方剩余时， 当 ， 二口 时. ，勺. neel胜 1.j犷1、 一一 u 例 如。 =( 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 ) 是 一 个 长 为p 二 7 的l e g e n d r e 序 列 引 理4 间; 长l e g e n d r 。 序 列。 得 到 的f p 的。 一 表 示 都 是 等 距 的 ， 且d ( v ) 二 p -f 12 在推论 ( p x ( p 一 1 ) , w 1 和推论2 中， 取。 为一个长为p 的l e .g e n d r 。 序列， 此时可以 得到一个 = 史 魏 i(p - 1 )( p2业 ， 入 二 翔二维光正交码a r s 和一个( p x ( p +1 ) . w= l 尧 攀 沐 二 lp 缨型) 二 维 光 正 交 码a a j ， 且 a r s 司a r s ， 刃 a j 目a b .1 2 . 2 第二种构造方法 构造方法2设c为二元卜 ， k 阅线性循环码， 其中。 二。 ; x n 2 、 且g c d ( n 1 . r t 2 ) 二l . 设v为其循环置换子码， 川) =- 1 为v的 重量分布. 令v二 ;v e v ， 且。 侧 二 ， ) ， 则 v , 卜a , , i =1 , 2 , . 、 、 。 . 因为g e d ( n 1 , n 2 卜1 、 故由 文中的( 2 . 1 ) 式可以 得到一个 。 ， x 。 ; 阶 二 元矩 阵的 集 合a ; . 当d 为 奇 数 时， a ; 是 一 个( 。 、 x n 2 、 = ， 、 “ = i - 警) 二 维 光 正 交码， 当d 为 偶 数时 ，a : 是 一 个( n 1 n 2 , lo = : a =e - 若 ) 二 维光正 交 码，且 i a , =a , 定理 2当 d 为奇数时， 为偶数时，a， 是一个 八 : 是 一 个( i i i x 、 ，。 二 i , a = 2 - 午) 二 维 光正 交 码， 当d ( 。 、 。 、 。 二 : 入 = 一 dz ) 二 维 光正 交 码， =1 , 2 、 一、 。 证明:分三步证明， ( 1 ) 。=i 显然成立. ( 2 ) 证明a : 中的任两个矩阵a 与b ， 当。 三 。 n r 一 1 , 0 t n 2 一 1 、 且( o , r ) 9 - ( 0 , 0 ) 时， a尹r t ( d 0 ( b ) ) 设a ( - - ) a , b 一 b ， 其中。 ， b e v , . 注 意 到 ， 用b j - k 。 。 、 1 1 1 2 替 换向 量b 中 的b , 可得到s k ( b ) ; 用 (: m o d n r , ， 一 二 m o d n 2 ) 替换矩阵b中的b (j m o d 。 ， ， ; m o d n 2 ) 可得到 w田)由于9 o d ( n 1 , n 2 ) =1 ， 因而存在 1 二 v 8 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 碱一 一 - + v , o v 4 , v 6 , v 8 , v 。 分别对应着一个二维光正交码， 例如:v 6 对应( 5 x 3 , 6 川 二维光 正交码 、.，月.r、了、. 、，.口吸.月通.了 n引.上n几 1火nj.nu日 ，土1.nuc卜“ jz一、 r 、1.r.r卫，.ij 们目们tllc inln门 11门n介llcll ，子夕.t.、.口，.性. ， 、.，.月.lwe月. 1门们1门门 n以n钊万土n1 inn曰nl jz沙.t月.月 、.、口.卫，. les门1日0 八曰1111户n钊 lloc曰nll /了万. 了.t，.1.少、tes.es 一- 6 八 2 .2 .2 由 二元2 - 一 1 , 2 - 一 m一 1 . 3 循环 设1 1 .2 ( 7 1 1 ) 为二元2 -一 1 , 2 -一 m一 1 , h a m m i n 。 码构造二维光正交码 3 循环h a m m i n g 码， 由文献( 1 7 ) 知h 2 ( ?二 ) 中重量为 3 和 4 的码字数目分别为 a 3= ( 2 - 一 一 1 ) ( 2 -一 1 ) 3 ( 2 一1 ) ( 2 -一2 ) ( 2 - 一4 ) 月，= 2 4 考虑h zh( 二 ) 的循环置换子码v中重量为3 和4 的码字集合姚和讥， 为确定 姚 与h a 中的码字数目a , 与a , ， 我们先讨论h z ( 7 a ) 中 重量为3 和4 的码字构成的两 个子码的周期分布. 显然， 重量为3 和4 的码字集合分别构成了( 7 ， 二2 一 1 , a 9 = a 3 , d = ， 。=3 ) 和( 。 =z m一1 . m二a 4 , d 二4 , w=4 ) 等重码. 定 理3设c为( n , m, d , 叼等重码， 若。 c d 恤 ， 哟=1 ， 则c中 所有的码字都没有内 周期. 证明 : 用反证 法， 设。 e c有内 周期. 设。 的最小正周期为t ， 则。 1 ， 与已 知条件矛盾， 故定理 得证. 推论 3二元 !2 - 期. 2 - 一 m一 1 , 3 循环h a m m i n g 码中 重量为4 的码字都没有内 周 证明:因为y c d ( 2 -一1 , 封=1 ， 故由 定理3 可得结论 推 论4当，为奇 数时， 二 元俘 ? 一 1 , 2 ” 一 。一 1 , 3 循环h a m m i n g 码中 重量为3 的 码字都没有内周期. 一 + r n 9 证明: ,1 r 一 2 + 设; ; =2 r +1 ， 则2 0 一1 = =2 4 r 一1 =2 ( 4 r 一1 ) +1 =2 . 3 ( 4 r 一 + +l ) 十 1 ， 因而g c d ( 2 r0 一 1 , 3 ) 二1 ， 故由定理3 可知所有重量为3 的码字都没 有内周期. 定 理4当m为偶数时， 二元俘 爪 一 1 , 2 0 一 m 一 1 , 3 ) 循环h a m m i n g 码h 2 叫 中 重量为 3 的 码 字 中 周 期 为2 1誓 生 的 码 字 数 目 为2 争， 无 内 周 期 的 码 字 数 目 为12 0 - u 12 ra -1 证明: 设a 为f 2 。中的一个本原元， 令。 = 2 - 一1 ， 则h二(q l l , 同， . . ， 。 ” 一 ) 为二 元 循环h a m m i n g 码的校验矩阵， 其中日表示由f 2 ,- 中的 元对应的二元。长列向 量.设c c h 2 ( 二 ) ， 且、 ( c ) 二3 . 一方面 ，由 定 理3 的证明知， 若 有内 周期t ， 则t =号 ， 且c = ( b o , b o , b o ) . 这 里 。 为二元: 长行向 量.另一方面， 任取 b o 二( 0 , . 二 ， 0 , 1 , 0 ， 二 ， 0 ) ， 其中 1 为第， 个分量，7 二0 , 1 , _ . . , t 一1 . 因为1 十了 二。 ， 故( 1 + a t ) ( 1 +夕+护 ) -1 +护 二 l + a , 二。 ， 由 于。 是本原元， 故 ( 1 +a 勺笋。 ， 因 而有 l +a t + a 二。 ， 并民 对于 ， g t 一 1 . a + 0 1 + 1 + q i + 2 t = 0 ， 即c =(b o , b o , b o ) 一 定 是h 2 ( 7 n ) 中 重量 为3 的 码 字 因 此h 2 ( m ) 中 内 周 期 小 于。 且 重 量 为3 的 码 字 共 有号 =2 _3一s个( 注 :。 为 偶 数 ， 3 1 2 - 一 ， ) ， 且 这 些 码 字 的 最 小 正 周 期 都 是32 - l ， 而 剩 下 的(r - 1 2 - - 2 1 个 重 量 为3 的码字均无内 周期. 由 推论3 可知，h 2 ( 7 n ) 的循环置换子码v中 重量为4 的码字数目拟 1 m - 2 劣 生丝如 果。 二 。 ， x 7 12 ， 且， c d ( 7 1 , , n 2 ) 一 ， ， 则 可 按 构 造 方 法“ 由v 4 t 7i i “ n 2 , 田 = 4 , 入 二 2 ) 二 维 光 正 交 码人， 且 a 4 = a 4 ， 因 为 l i m 一”1 一 争f x) a4 ( 2 - 2 ) 2 m - 4 ) 2 4_ $ ( n , x n 2 , 4 , 2 ) l i m 甲 n 一十 丫 2 -21 f 2 -3 所以a ; 是渐近最优的. 类似地， 可由v 3 构造出( 。 ， x n 2 , w = 3 , a =1 ) 二维光正交码a 3 ， 且! a 3 卜4 3 由 引 理1 , (h (n , x n 2 ,3 , 1 ) m 2 3 一 一 ， ， 所以当。为偶数时a s 是渐近最优的 2 . 3 第三种构造方法 构造方法3设q c是基长为。的二元( 。 饥n k ) 半循环码，q v为其半循环置 换子码. 令q u , 二 9 : g c- q v且。 ( 9 ) =i ) ， 则q v , 是一个重量为: 的半循环置换等重 子 码， 二1 , 2 , ， 。 。 . 将q v中所有最小内 循环系 数为。且彼此互不二重循环等价 的码字取出 做成一个集合， 记之为m; . 任取m、 中的一个码字4 二( 4 o , 9 i 、 一， 、 二 一 i ) 其中4 j 二( $ .o , 9 3 , , . , , r j ,. - i ) , .7 = 0 , 1 ， 。 一 i 则9 对应一 个。x 。 阶 二元 矩阵 a 二(9 a j- , 9 it , . , q _厂 ) 、 设a 、 为由川、 中 所 有码 字对 应 得 到 的。x 。 阶 二 元 矩阵 的 集 合 ， 则a , 是 一 个( m x 。 ， 。 二 、 ， 入 = 卜d g s2 ) 二 维 光 正 交 码 ， 其 中d 9 是。 、 的 半循环极小距离. 5 a , 是 一 个( m x 。 ， 、 二 “ = 、 一 誓) 二 维 光 正 交 码 ， 一 1 , 2 , . . . , n m 分三步证明， 里丹公 七正j ( 2 ) 证明 : 显然成立. a ， 中的任两个矩阵a与b ， 当。 t 。 三 。一 1 , 0 ) 由于c的互相关系数为a ， 易知a 与b 之间至多有a 个位置重合;( ii i ) c中的每个 码字都是二x r 阶二元矩阵，且。 和飞 以等概率发送.另一方面，不可检错误概率 p ( c )二 尸 ( 错误 m个用户) m -! 艺p (1 个 干 扰 者( m 个 用 户 ) p (错误i a 4 个 用 户 ， r 个 干 扰 者 ) ( : .: ) 而 (i个 干 扰 者 m 个 用 户 ，一 ( m 一 1 ) q1(1一 )“ 一一 ( 3 a) 在接收端，只有当被传送的数据是。 ， 而干扰者的数目 大于等于阂值0 时，检 测错误才会发生， 并且由于 。 和 1 以等概率发送，因此， 尸 (错 误 “ 个 用 户 ， 个 千 扰 者 ) 一 ; ( 一 “ ) ( 3 . 5 ) 其 中 ) 6(x，一 如果x 0 , 否则 通常， 我们 取闹 值0 为二维光正交码的码重 . 将( 3 .4 ) ( 3 . 5 ) 代人( 3 . 3 ) 式可得， ， m 1 p (u ) 一 2 z - ( m 一 1 ，? 、 /2 、 耐一 卫 一 乞 i 声一i 1 - -井二 / l m ti a /l t ri t i a / ( 3 . 6 ) 由( 3 .6 ) 式， 我们可以对第二部分的 三种构造方法中 构造的几类二维光正交码 的不可检错误概率进行计算. 3. 1 其中 第一类二维光正交码的检错性能分析 在推论1 中， 我们 构造了 p x ( p 一 1 ) , 、 二 p 一 1 , a 。 5 且 为 奇 素 数 ，“ “ ; 一 川a r s 卜z 尚 =k 一 1 ) 二维光正交码a r s r la - ft ( t ) p ， 十 1k - tf- 由( 3 .6 ) 式 矢 口 ， p( a r s ) 2 tit- 1 f miv一 ， 、 ( 里 二 兰 1 ( 2 p k - 3 p + 1 1 m - 一3 .7 ) = n - 八 、) 2 p ( “ 一 ) / 、 2 ， ( * 一 1 ) / 为了 分析( p , k , m ) 的不同取值对p的 影响， 我们 分别取 ( p =了 、 k =4 , m 二7 5 田, ( p =7 , k =5 , yw二了 又1，飞， 日0 广注，口 ， =l l , k =4m =1 卜 t 5 0 ) , ( p =1 1 ， k =5m= 1 1 t p =1 3k 二4 , m =1 3 一 5 u ) . ( p ) =1 3 , k 二5 , :1 9 二工 : ， 代入( 3 了 ) 式进行计算， 可以得到对应的p . 值如f ig - 2 所示 。卜四 1 0 2 0 2 0