（电工理论与新技术专业论文）基于backstepping理论实现混沌同步与控制研究.pdf

a b s 口a c t a b s t r a c t t oc o n s t r u c t g e n e r a ls c a l a r ( h y p e r ) c h a o t i cs i g n a ls y n c h r o n i z a t i o ns y s t e m s ，t h e c o n t r o l l e r so f ( h y - p e r ) c h a o t i cs i g n a ls y n c h r o n i z a t i o ns y s t e m sa r e d e s i g n e db a s e do n b a c k s t e p p i n gd e s i g nt h e o r yu n d e rd i f f e r e n tc o n s t r a i n t si nt h i st h e s i s t h em a i nw o r ko f t h i st h e s i si sp r e s e n t e da sf o l l o w s ： 1 f i r s tab a c k s t e p p i n gd e s i g no ft h ec o n t r o l l e ri s p r o p o s e df o rac l a s so fn o n l i n e a r s y s t e m sw i t hk n o w np a r a m e t e r s i nt h es t r i c t f e e d b a c k f o r m ，t h e n a n a d a p t i v e b a c k s t e p p i n gd e s i g no f t h ec o n t r o l l e ri sp r o p o s e df o rs u c hs y s t e m sw i t hu n k n o w n p a r a m e t e r s u s i n g t h ec o n t r o l l e r p r o p o s e d ，t h ec l o s e d l o o p e r r o r s y s t e m s c a r l a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e 2 ag e n e r a ls c a l a rc h a o t i cs i g n a ls y n c h r o n i z a t i o ns y s t e mi s d e v e l o p e db yt a k i n gt h e s y s t e mi nt h es t r i c t - f e e d b a c kf o r ma st h er e s p o n s es y s t e mi nw h i c ht h ep a r a m e t e r s a n dt h ew e i g h t so ft h ea r t i f i c i a lc o n t r o lt e r m sa r eb o t hv a r i a n t af e e d b a c kc o n t r o l l e r a n da s s o c i a t e dp a r a m e t e ra d a p t i v el a w sa r ec o n s t r u c t e dv i aa d a p t i v eb a c k s t e p p i n g a p p r o a c hw i t ht u n i n gf u n c t i o n su n d e ra l la s s u m p t i o nt h a tt h ep a r a m e t e r sa n dt h e s t r u c t u r eo ft h es y s t e mw h i c h p r o v i d e sas c a l a rc h a o t i cs i g n a la r ek n o w n u s i n g t h e c o n t r o l l e ra n dt h ep a r a m e t e r a d a p t i v el a w sp r o p o s e d ，t h eo u t p u to ft h eg e n e r a l s y s t e ma s y m p t o t i c a l l ys y n c h r o n i z e sw i t ha n ys c a l a rc h a o t i cs i g n a l b o t ht h e o r y a n a l y s i sa n ds i m u l a t i o nr e s u l t si l l u s t r a t et h ev a l i d i t yo ft h eg e n e r a ls c a l a rc h a o t i c s i g n a ls y n c h r o n i z a t i o ns y s t e ma n di t sc o n t r o l l e r 3 b a s e do nt h en o n l i n e a rc o n t r o l s y s t e mt h e o r y a n d b a c k s t e p p i n ga p p r o a c h ，a s y s t e m a t i cp r o c e d u r ei sd e v e l o p e df o rt h ed e s i g no f an o n l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o l l e r t oc o n t r o lt h eo u t p u ts i g n a lo fas m o o t hn l y p e r ) c h a o t i cs y s t e mt o a s y m p t o t i c a l l y s y n c h r o n i z ew i t ha n ys c a l a r ( h y p e r ) c h a o t i cs i g n a lo fa n yu n k n o w n ( h y p e r ) c h a o t i c s y s t e mu n d e ra 1 1a s s u m p t i o no ft h e ( h y p e r ) c h a o t i cs i g n a lw i t hr - o r d e rc o n t i n u o u s d e r i v a t i v e s t h er e s u l t ，w h i c hi sg l o b a l ，i sr i g o r o u s l y p r o v e db ym e a n so fl y a p u n o v t h e o r y s i m u l a t i o nr e s u l t sa l s oi l l u s t r a t et h ev a l i d i t yo f t h ec o n t r o l l e r 4 b a s e do ne x t e n d e ds t a t eo b s e r v e ra n dt h ed e s i g no fac o n t r o l l e rv i a b a c k s t e p p i n g ，a g e n e r a ls c a l a rc h a o t i cs i g n a ls y n c h r o n i z a t i o ns y s t e mi sd e v e l o p e df i r s tt h ed r i v e r a b s t r a c t s ”t e mw h i c hp r o v i d e s ac h a o t i cr e f e r e n c e s i g n a l i sl o o k e du p o nas t a n d a r do r s t a n d a r d l i k es y s t e m ，t h e nan o n l i n e a r r e s p o n s es y s t e mi nt h es t r i c t f e e d b a c kf o r mi s c o n s t r u c t e d t h es t a t e sa n dt h es t r u c t u r eo ft h ed r i v e rs y s t e ma r ee s t i m a t e db ya n e x t e n d e ds t a t eo b s e r v e r t h ec o n t r o l l e ri s d e s i g n e dv i ab a c k s t e p p i n ga p p r o a c ht o c o n t r o lt h eo u t p u to f t h eg e n e r a lr e s p o n s es y s t e mt oa s y m p t o t i c a l l ys y n c h r o n i z ew i t h a n ys c a l a rc h a o t i cs i g n a ll m d e rs o m ea s s u m p t i o n so ft h es c a l a rc h a o t i cr e f e r e n c e s i g n a lw i t h o u tr - o r d e rc o n t i n u o u sd e r i v a t i v e sa n dt h ed r i v e rs y s t e mw i t hu n k n o w n p a r a m e t e r sa n da n k l o 、n s t r u c t u r e b o t ht h e o r y a n a l y s i s a n ds i m u l a t i o nr e s u l t s i l l u s t r a t et h ev a l i d i t yo f t h eg e n e r a ls c a l a rc h a o t i cs i g n a ls y n c h r o n i z a t i o ns y s t e m k e y w o r d s ：c h a o s c o n t r o l ，c h a o s s y n c h r o n i z a t i o n ，b a c k s t e p p i n ga p p r o a c h ， s t r i c t f e e d b a c k ，e x t e n d e ds t a t eo b s e r v e r 基于b a e k s t e p p i n g 理论实现混沌同步与控制研究 第一章绪论 本章在综述混沌学的起源和发展的基础上，介绍了混沌同步与控制研究的概 况，最后指出了论文的研究意义、主要内容和结构安排。 1 1 混沌学的起源和发展 混沌现象是一种自然界与人类社会均普遍存在的复杂运动形态，是确定性非 线性系统中不需附加任何随机因素就可以出现的类似随机的行为。混沌运动的基 本特征是运动轨道的不稳定性，表现为对初值的敏感依赖性，或对小扰动的极端 敏感性。从1 9 7 5 年华人学者李天岩和j a y o r k e 首次提出混沌( c h a o s ) 一词f 1 并给出了混沌的一种定义开始，整个学术界迅速掀起了一股研究混沌现象的世界 性热潮。经过2 0 多年的迅速发展，混沌学己经成为涉及各个学科领域极具发展前 途的新兴交叉学科。 混沌学研究的渊源可以追溯到1 9 世纪。法国数学、物理学家h p o i n c a r e 在研 究三体问题时发现，三体引力相互作用能产生出惊人的复杂行为，确定性动力学 方程的某些解有不可预见性，这就是我们现在所讲的动力学混沌现象。他为人们 打开了一个观察混沌新世界的窗口。之后，一大批数学家和物理学家在各自的研 究领域为混沌学的建立提供了宝贵的知识积累。他们把h p o i n c a r e 的拓扑动力学 思想推广到耗散系统，发现并建立了许多著名典型混沌系统的方程，如d u f f i n g 、 v a n d e r p o l 和l o g i s t i c 等方程。 经过漫长的知识积累，到了2 0 世纪五、六十年代，学者们在众多学科领域都 发现了混沌现象，并针对各类混沌建立了各种特殊的数学处理方法。特别是著名 的k a m ( a n k o l m o g o r o v 、vi a r n o l d 和j m o s e r ) 定理的提出，被公认为混沌 学理论创建的历史性标记。 1 9 6 3 年，美国气象学家e n l o r e n z 发表了以确定性非周期流为代表的四 篇论文，揭示了一系列混沌运动的基本特征，如确定性非周期性、对初值的敏感 依赖性、长期行为的不可预测性等，还发现了混沌学研究的第一个奇怪吸引子一 一l 0 r e n z 吸引子，为混沌研究提供了一个重要模型，并最先在计算机上采用数值 计算方法进行仿真研究，为以后的混沌研究开辟了道路。 2 0 世纪7 0 年代初，混沌学研究终于在多个学科领域同时展开，形成了世界性 研究的热潮。1 9 7 1 年，法国数学物理学家d r u e l l e 和荷兰的et a k e n s 联名发表了 t 郑州大学工学硕士论文 著名论文论湍流的本质，独立地发现了动力系统存在一套特别复杂的新型吸引 子，证明与这种吸引子有关的运动即为混沌，并命名这类吸引子为奇怪吸引子。 此后，判别是否存在奇怪吸引子，刻划其特征，成为耗散系统混沌研究的基本课 题。同一年起，r m a y 用数值算法计算l o g i s t i c 模型，既看到规则的周期倍分叉 现象也看到了不规则的“奇怪现象”，同时还发现随机运动中又会出现稳定的周 期运动，从而对混沌现象的深入研究起到了巨大的促进作用。这一时期，三位学 者( n m e t r o p o l i s 、m l s t e i n 和pr s t e i n ) 把符号动力学引入混沌研究，建立了 著名的m s s 定理，为根据计算结果和实验数据确认周期解以及周期轨道分类和排 序提供了方便的工具。 1 9 7 5 年，正在美国马里兰大学攻读博士学位的华人李天岩和j a y o r k e 联名 发表了一篇震动整个学术界的论文周期3 蕴含混沌，在动力学研究中率先引入 了“混沌”( c h a o s ) 一词，并给出了混沌的一种数学定义，从而为这一新兴研究领 域确立了一个中心概念，为各学科研究混沌现象树起一面统一的旗帜。1 9 7 6 年， 法国天文学家m h e n o n 通过对l o r e n z 方程的简化，得到了h e n o n 二维映射，发 现它也能产生混沌运动，并依据数值计算绘制出了奇怪吸引子，研究了它的复杂 结构特征。1 9 7 3 年起，分形学创始人法国数学家b m a n d e l b r o t 相继出版了分形 对象形、机遇和维数、分形形、机遇和维数、自然界的分形几何学 等专著，奠定了分形研究的基础。他的工作为混沌探索者们描绘种种不规则的、 回转曲折的相空间轨道提供了理想的工具，强有力地推动混沌研究走向高潮。 2 0 世纪7 0 年代中期开始，人们开始用实验来研究混沌现象。1 9 7 4 年，a h l e r s 在低温下观察了液氮的失稳过程，j pg o l l u b 和hl s w i n n e y 用实验间接证明了 奇怪吸引子是流体流动随机性的来源，初步证明了混沌决不是一堆有趣的数学现 象，而是客观存在的事实，这在混沌学研究中具有十分重大的意义。同时期，美 国加州大学克鲁兹分校的物理学家r s s h a w 、n p a c k a r d 、j f a r m e r 和j p c r u t c h f i e l d 等用各种形状的龙头流水进行实验，独立地开展了混沌研究，同样证实 了混沌的客观性，他们创造了一种从实验数据中重构奇怪吸引子的技术。1 9 7 7 年 夏天，物理学家j f o r d 和g c a s a t i 在意大利科莫组织了关于混沌研究的第一次国 际性科学会议，进一步营造了混沌研究的氛围，促进了混沌学研究的世界性热潮。 到了2 0 世纪8 0 年代，混沌的理论体系迅速完善，标度性、普适性、l y a p u n o v 指数、分数维和吸引子等一系列刻划混沌的概念先后被确定下来。1 9 8 3 年，物理 学家m b e r r y 首次提出了混沌学( c h a o l o g y ) 的名称，并已逐渐为科学界所接受。 1 9 8 6 年，中国第一届混沌会议在桂林召开。中国科学家徐京华首次提出三种神经 细胞的复合网络，并证明它存在混沌。 近1 0 年来，混沌学更是与其他科学互相渗透，无论是在生物学、生理学、心 基于b a e k s t e p p i n g 理论实现混沌同步与控制研究 理学、数学、物理学、电子学、信息科学，还是在天文学、气象学、经济学，甚 至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。 1 2 混沌同步与控制研究概况 从总体上看，人们对混沌的研究主要集中在两个方面： 第一，如何利用混沌学的思想分析复杂的非线性系统，发现并证明系统中存 在混沌现象弘叫： 第二，当系统中出现混沌现象时，如何对它进行控制，以满足人们的需要【5 4 。 因为混沌运动是极为复杂的运动形式，传统控制方法又难以直接应用，因此， 混沌控制成了长期困扰学术界的难题。到了2 0 世纪9 0 年代，随着e o t t 、c g r e b o g i 和j a y o r k e 提出参数微扰法 7 ( 简称o g y 方法) 控制混沌，lm p e c o r a 和t l c a r r o l l 提出驱动一响应方法 m 。1 】同步混沌以来，混沌同步与控制的研究取得了突 破性的进展，国内外掀起了混沌同步与控制研究的热潮。 目前国内外已经提出了许多不同的混沌控制方法，也取得了比较好的效果， 如纳入轨道和强迫迁徙法【1 2 “引、o g y e 7 1 及其改进方法 1 4 叫5 1 、偶然正比反馈( o p f ) 法 1 6 1 、正比于系统变量的脉冲反馈( p p s v ) 法【1 ”、连续反馈控制法( 包括外力 反馈控制法和延迟反馈控制法) 9 d a d s 、线性反馈法【1 9 】、非线性反馈法【2 0 1 、自适应 控制方法1 2 1 q3 1 、参数共振法【2 4 埘】、外部噪声法 2 6 l 、模糊控制法2 7 屯8 1 和神经网络法 2 9 3 1 1 等。最近，罗晓署等用数字有限脉冲响应滤波器法【3 2 】和间歇性正比于系统参 量的脉冲微扰法 3 3 1 分别实现了1 2 8 p 和1 9 2 p 高周期轨道的稳定控制。 从控制的原理上，混沌控制方法可以分为微扰反馈控制法和无反馈控制法。 前者反馈的对象可以是系统参数、系统变量或外部参数等，对不同对象的微扰反 馈，则形成不同的控制方法，如o g y 及其改进方法、o p f 法等都是对系统内部参 数随时间改变的一种参数反馈控制方法，而连续反馈控制法、线性反馈法和非线 性反馈法等都是对系统变量进行微扰反馈的控制方法，它们的共同特点是利用与 时间有关的连续或不连续的小微扰作为控制信号，当微扰变得很小或趋于零时， 实现对特定周期轨道或非周期轨道的稳定控制。而无反馈控制方法，如参数共振 法和外部噪声法等，它是利用一个小的外部扰动，如小驱动信号、噪声信号、常 量偏置和系统参数的弱调制，作为输入的控制信号来控制混沌，且大都与所需的 轨道无关，因而当系统达到控制时，控制信号并不趋于零，受控后的系统可能产 生新的动力学行为，它们的共同特点是通过外界作用抑制掉混沌，以达到控制的 目的。 从实现的目标上，混沌控制方法可以分为两种，一种是基于混沌吸引子内存 郑州大学工学磺士论文 谯的无穷多不稳定周期轨道，对其中某个不稳定周期轨道进行有效的稳定控制， 滚方法夔特是是不改变系统中源骞戆辕遴，o g y 方法、连续变量爱镄控素法彝爨 邋应控制滋等都属于这种类型；另一种怒通过可能的策略、方法及途径，将系统 行为有效她控制到我们所需的周期轨道上，或抑制掉混沌行必，即通过对系统的 按期获褥入稍辑需静耨懿动力学行为，聚阮于系统变量酶躲冲反馈法、舞部嗓黟 法等都属予此类。 实繇上，实现混漶控制的枫理都是将原来正戆l y a p u n o v 攮数变为受馕，或融 加控翻困素居使系统其有负的l y a p u n o v 指数，从蕊实现混淹系统的稳定控制。前 具有两个或两个以上正的l y a p u n o v 指数的超混沌系统，至少在一个环颟上产生缴 激帮扩张，霆瑟具有更戈复杂躲魂力学行瓷，对其实现稳定控枣4 羲受必匿难。骧 则上，混沌适用的控制方法只要经过适当的拓广，即可用于超混沌的控制。罗晓 瓣等用相空间压缩法实现了对r o s s l e r 超混沌系统的稳定控制【3 4 】，用f i r 滤波器一 p p s v 级袋控裁法实现了复蘩l o r e n z h a k e n ( c l h s ) 趣混淹系统懿稳定控翻p ”。 混沌同步的概念是最初由p e c o r a 和c a r r o l l 提出，意思是个混沌系统的运动 轨道收敛到另一个混淹系统的阅一值，并一直保持相互步调一致。因为混沌运动 麓道对初娥条 串帮对微小撬动静裰端敏感性，所以人们一煮认为在实验室内重鞠 相同的完全同步的混沌系统简赢是不可能的事情。崴到1 9 9 0 年，p e c o r a 和c a r r o l l 繁次在电予泡路的实验中实现了薅个系绞的混淹嬲步，提出了驱动一噱应固步方 法，才冲破了这个禁锢，极大地推动了漓沌同步麴理论研究，拉开了捌用混沌的 序幕。随髓，人们开展了将混沌同步应用于保密通信等研究，展现出了诱人的应 爆发曩裁豢。 混沌湖步，从总体上讲，属于混沌控制的范畴。迄今为止，人们已l 发现了几 种类型的混沌同步。第一种类型就是驱动一响应同步，其思想是把混沌系统分成 稳定帮不稳定懿嚣个子系统，复裁一个冬稳定戆予系统籀嚣熬毫潞，作为璃应系 统，原系统作为驱动系统，以驱动系统的混沌信号作为驱动信号，将响应系统与 驱动系统耨台起来，由此可达到响应系统与驱动系统的同步。两且这荦申同步思想 殴拓震到 # 混淹同步( 周麓、准周期等 及高酴缀联两步。由于这种间步方案需 疆将系统i 藏行特定分解，在实际应用中受划很大的限制。1 9 9 5 年，k o c a r e v 和p a r l i t z 提懑了一秘改进方法，鄹主动一被动方淡 3 6 1 。德们黪愚想楚，透过掇藕合变量藏 驱动变量弓1 入复制系统，导出系统变量之差的微分方程，得到总体系统的误差幼 力学，再利用线性化稳定性分析方法或l y a p t m o v 函数方法 难明复制混沌系统与原 系绕遮裂稳定嚣步。 混沌湖步的第二种类型是将两个不同的混沌系统相互耦含，进而宓现两者的 同步，由g a p o n o v g r e k h o v 及其合作者程研究流体湍流时提出p ”。1 9 9 4 年，美燃 。 基于b a c k s t c p p i n g 理论实现港沌霹争每控制研究 学者r o y 稻t h o m b u r g 及黧本学者s u g a w a r a 等人聱j 雳激巍光强楣菹藕合i 辅。j ，分 别独立地从实验上观察到两个混池的激光系统达到完全同步。第三种类型的混沌 同步是裁羯连续交爨爱续，实褒系统敬凌淹溺步，是由p a r a g a s 首先提密抟p ，并 与t a m a s e v i c i u s 一起从实验上进行了验证【h j 。第四种类型的混沌阑步是由m a r i t a n 弱b a n a v a r 发展起寐鳇裁题噪声感应导致闲步咎6 ，4 “，只要嗓声强袋足够大，则可熊 导致两个混沌系统间步。 随着滋涟网步阅题研究匏深入，在以上几穆类型混邋同步方法翡基懿上，人 们又提出了很多混沌同步的方法，如基于极点配鬣的混沌同步4 ”、脉冲同步 4 2 - - 4 3 、 自遁应控制同步 4 4 4 5 1 以及卒申经网络控制同步 4 6 。4 7 】等。相对予混沌信号，趣混沌信 号肖着更丰富的动力学行为，所阻超混沌同步更肖挑战性，在保密通信等领域的 应用前景更广阔。国内学糟方锦清对于c l h s 超混沌系缆进行了研究，蓠先发现 并实现了麓混淹丽步【4 懿，提出了怒混淹同步麓疑据，即当响应系统眈驱动系统稿 对稳定时，尽管系统存在两个或更多的l y a p u n o v 指数大于零，则可以达到响应系 统与驱葫系统夔趣澹淹嗣步。 通过l k o c a r e v 等人的工作【4 ”5 0 ，混沌同步与控制现在已经合并成一个问题， 鄹把浸涟舞步终为控裁潺题季德，逶过莲操终部控巷l ( 参数控毒l 秘变量反谈控豢1 ) ， 实现混沌同步。 1 3 论文的研究意义、主要内容及缩构安排 目前，绝大多数混沌阔步与羧制的方法都是针对特定的系统提出的，对普遍 适用的一般形式j # 线性混沌系统涉及的不多，因祗不具有通用性。有鉴于此，本 文以寻求通用的标辍( 超) 混淹信号同步系统为磊标，基予b a c k s t e p p i n g 设计理论， 在不同的约束条件下，进行了( 越) 混沌信号同步系统的控制器设计。全文共分 为六牵，箕结擒安捧魏下； 第一章绪论。 第二章 线羧系统接裁襄莰诗豹b a c k s t e p p i n g 方法。 对一类严格反馈非线性系统，在已知与未知系统参数的情况下，分别基于 b a c k s t e p p i n g 方法与叁适应b a e k s t e p p i n g 方法对控拳l 器进行了设诗。严格爱镬j 线 性系统在擦制器的控制下，能够实现闭环误差系统渐近稳定。 第三露通用标量混湾信号圊步系统及蔟控毒4 器的b a c k s t e p p i n g 设计。 以虚拟控制项加权为变量的严格反馈变参数系统为对象，给出了一种通用标 量混淹信母同步系统。在产生标量混沌信号的系缝参数与结构已蛔的翦撮下，采 用带有调谐函数的自适应b a c k s t e p p i n g 方法，进彳亍了反馈控制器和相应韵参数自适 s 郑州大学工学硕士论文 应律设计。通用系统的输出在控制器与自适应律的控制下，渐近同步于任意标量 混沌信号。理论分析和计算机仿真结果均证实了通用标量混沌信号同步系统及其 控制器的有效性。 第四章实现标量( 超) 混沌信号同步控制的b a c k s t e p p i n g 方法。 将非线性控制系统微分几何理论与控制器的b a c k s t e p p i n g 设计方法相结合，给 出了一种实现标量( 超) 混沌信号同步控制的非线性反馈控制器设计方案。在标 量( 超) 混沌参考信号r 阶连续可导的前提下，应用设计的控制器，不仅可以使非 线性( 超) 混沌系统的标量输出同步于( 超) 混沌参考信号，而且是大范围渐近 同步的。计算机仿真结果也证实了控制器的有效性。 第五章基于扩张状态观测器的通用标量混沌信号同步系统及其控制器设计。 将扩张状态观测器理论与控制器的b a c k s t e p p i n g 设计方法相结合，把产生混沌 参考信号的驱动系统看作具有规范形或类规范形的系统，构造出严格反馈非线性 系统作为响应系统，给出了一种通用标量混沌信号同步控制方案。该方案可以在 不要求标量混沌参考信号，阶连续可导及已知驱动系统参数和结构的前提下，利用 扩张状态观测器估计驱动系统的状态和结构信息，采用b a c k s t e p p i n g 方法，设计出 了实现通用响应系统的输出渐近同步于任意标量混沌信号的控制器。理论分析与 计算机仿真结果均证实了控制方案的有效性。 第六章结论及展望。 对全文所做研究内容进行了总结，并对今后需要进一步开展的研究工作做了 简单展望。 基于b a c k s t e p p i n g 理论实现混沌同步与控制研究 第二章b a c k s t e p p i n g 方法 过去2 0 年来，谯控制理论与工程领域，人们关注的焦点从线性系统转变到了 非线性系统，并提出了很多非线性系统的控制方法。b a c k s t e p p i n g 方法【5 “】就是非 线性系统控制器设计娥常用的方法之一，它给出了一种构造l y a p u n o v 函数的系统 纯方法。b a c k s t e p p i n g 设诗方法载未要悉路是，针对吴有严格爱续形式静静线瞧系 统，基于l y a p u n o v 稳定性理论，邋过反向递推设计，构造如l y a p u n o v 函数和反 馈控制嚣，从而使闭环误差系统在l y a p u n o v 意义下渐近稳定。对于未知系统参数 载严格葳馈菲线髓系绞，可以采雳繁毒调谐蠢数豹塞逶应b a c k s t e p p i n g 方法1 5 4 】设诗 控制嚣波楣应的参数趣适应律。 实现系统有效控制的关键是确保受控系统的稳定性。非线性动力学系统存在很 多种稳寇性问题，这熙我们所关心的是平衡点的稳定性。 2 1 l y a p u n o v 稳定性 考感如下的非线性系统 童= 厂( 工，f ) ( 2 。1 ) 其中z 毫r ”是系统的状态，f ：r ”x r + j r “是连缕的非线性映射，若f ( x ，t ) 满足如下 的l i p s c h i t z 条件 l ，( 毛, t ) - f ( x ：毒蔫 o ，总存在占( ) o ，使得忙( 0 ) 一并( o ) 0 ，有l i x + ( f 卜硝) | | 0 ，使得k ( o 卜工( o ) l 艿，当t - - - 。0 时，若有 ( f ) 一x ( f ) 0 甘o ，则认为系统的解工( f ) 渐近稳定。 显然，绘定系统的解霹能稳定，逛可能不稳定。如果存在常数解鼻( 颤) ；x ， 满足，( 以) ；o ，鞠t 怒系统( 2 1 ) 的平餐点，鄹么t 可能稳定，也可能不稳定。 郑州大学工学硕士论文 对于任意给定的初始状态x 。，若存在一个吸引域q ( x o 的邻域) ，对于所有q ， 当f 斗。时，有x ( t ；x o ) _ x 。，则x e 渐近稳定。当吸引域q 是整个空间r “时，x 。为全 局稳定，否则x 。为局部稳定。这样，我们就可以通过平衡点的性质，分析系统解 的行为。 定义2 2 ( 平衡点的稳定性) 设t 是系统( 2 1 ) 的平衡点，工( f ) 是它对应于 初值x ( o ) = t 的解，即对于所有t o ，有x + ( f ) = t 。如果系统的解x ( t ) 稳定、不稳 定或渐近稳定，那么平衡点x 具有同样的性质。 定义2 3 ( 全局渐近稳定) 如果系统( 2 1 ) 的平衡点工稳定，且当f _ 。时， 有x ( f ) 一工，那么称工，为全局渐近稳定。 根据上述定义，要判定x ，的稳定性，首先需要确定系统( 2 1 ) 的精确解x ( f ) 。 但是，一般而言，很难用解析方法得到x ( f ) ，这时就需要用其它方法来确定x 。的稳 定性。俄罗斯数学家和工程学家a m l y a p u n o v 提出了一种方法，即采用状态矢量 x ( f ) ，构造辅助的标量函数v ( x ) 。v ( x ) 是一个类似能量无限大的正定函数，如果 它持续减小，则系统的解必定趋向平衡点。人们把这种判别稳定性的方法称为 l y a p u n o v 直接法，所构造的标量函数v ( x ) 称为l y a p u n o v 函数。 在进一步讨论l y a p u n o v 稳定性的定理之前，首先有必要来明确几个概念。 定义2 4 设，( z ) 是一个正的标量函数， 1 若矿( o ) = 0 ，对于x o ，矿( x ) o ，则称y ( x ) 为正定。 2 若y ( o ) = 0 ，对于x o ，矿( x ) o ，则称v ( x ) 为半正定。 3 若一v ( x ) 为( 半) 正定，则称v ( x ) 为( 半) 负定。 4 若当_ 时，有y ( x ) - 。，则称v ( x ) 为无限大。 现在我们就可以给出用来证明系统l y a p u n o v 稳定性的重要定理，即著名的 l a s a l l e y o s h i z a w a 定理p “。 定理2 1 ( l a s a l l e - y o s h i z a w a 定理) 设x = o 是非线性系统( 2 1 ) 的平衡点，y ( x ) 是一个连续可微的标量函数，若v ( x ) 满足 1 矿( z 1 正定； 2 y ( z ) 无限大； 3 矿( x ) = 一( x ) ，( 工) 一w ( x ) ，w ( x ) 为半正定； 则系统( 2 1 ) 的所有解满足 l i m w ( x ( t ) ) = o ( 2 3 ) 若w ( x ) 为正定，则系统平衡点x = o 为全局渐近稳定。 证明见文献 5 5 或 5 6 。 如果系统( 2 1 ) 的平衡点x 。不在原点，那么通过变量代换z = x x 。，可以将其 变换到原点。若矿( x ) o ，即矿( z ) 为半负定，无法直接应用定理2 1 ，这时就需要考 虑下面的推论。 推论2 1 设x = o 是系统( 2 1 ) 唯一的平衡点，矿( z ) 是一个正定无限大连续可 微的标量函数。令e = k 矿( x ) = o ，假定除x z o 外，没有其它解能够始终停留在e 内， 则系统平衡点x = o 为全局渐近稳定。 证明见文献 5 5 3 或 5 6 。 显然，应用定理2 1 的前提是能够找到这样的l y a p u n o v 函数，但它并没有给出 任何寻找l y a p u n o v 函数的系统化方法。众所周知，在某些系统中，如电系统或机 械系统，可以用总的能量函数作为l y a p u n o v 函数，但在其它情况下，我们应该如 何寻找一个合适的l y a p u n o v 函数昵? b a c k s t e p p i n g 方法是最常用的构造l y a p u n o v 函数设计的系统化方法之一，它在 设计非线性反馈控制器的同时，构造出相应的l y a p u n o v 函数。然而，这种方法对 系统形式有一定的限制，即系统必须具有严格反馈形式。 2 2 b a c k s t e p p i n g 方法 考虑如下形式的非线性系统 毫= g l ( x 】，t ) x 2 十一( x i ，t ) 主2 = g2 ( x l ，x 2 0 ) x 3 + 工( x l ，x 2 , t ) !( 2 4 ) 支。一l = g 。一】( 工l x n _ i , t ) x 。+ 一1 ( x lr x n _ 1 , f ) j 。= 巩( 工1 i x n , t ) u + 工( x 1 x n j ) 其中x = 石1 ，x 2r - ，z 。 7 r ”为系统的状态，u e r 为系统的控制输入，正：r r + 一r 和 邑：胄i r + - r ( i = 1 r 州) 为光滑的非线性函数，且g 。0 。因为非线性项，和g 。仅 与反馈状态x ，一“，有关，所以系统( 2 4 ) 称为“严格反馈”系统。 假设系统( 2 4 ) 的平衡点为原点，即x = 【o ，0 7 。我们的目标是寻找合适的 反馈控制器和相应的l y a p u n o v i 菊数，使闭环误差系统渐近稳定。通常情况下，对 于阶系统( 2 4 ) ，控制器的b a c k s t 印p i n g 设计共有n 个步骤。 第l 步定义误差变量w 1 = 五，则其导数为 川= 主l = 占l x 2 + = g l w 2 + g l 口l + ； ( 2 5 ) 其中w 2 = x ：一口，为误差变量，是待定的虚拟控制作用， ，= 工。 选取候选的l y a p u n o v i 函数k 为 k = i 1 m 2 ( 2 6 ) 粥强漆( 羔5 ) 式瑟对闽匏导数为 k = 一吨 = h f g l 韩名g l 群l + 五。) = 譬l q 耐+ 强g 强点，) ( 2 。? ) 逡取虢为 鼍= 一二。i 墩+ 五，) o 为一个常数。将( 2 8 ) 式代入( 2 7 ) 式，褥副 甄盘一。，孵g l 毪舔毫 ( 2 。9 ) 鸯虑戮 l l 麓= 系统翡全禺稳定性，糕台瑷凝w t 将程下步中溱去。将( 2 蔫) 式代 入( 2 5 ) 式，镄到( 2 5 ) 式的闭环形式为 嗽= q 码+ 窖l 勰 2 1 0 ) 繁2 多豫翁导数惫 1 吒。岩2 痊j 碣恐斗磊一挚即川) 鲁 = g ! 名+ 掌2 盘2 + 厶， 2 1 1 ) 旗串码2 尚一吩为误菠变l 霆，盘：楚薅定鹃蠹毅控测终愆，f 2 ；= f 2 一孥反而五) 8 d ， 一百4 逸毅谈遥鹳珂茚h 珏洲露鼗娩为 匕= 巧+ 妄蜒 ( 2 ，1 2 ) 溺玛添( 2 + 1 1 ) 式瓣嚣雩瓣翡导数蕊 = k + 鸭也 一c , w i 2 + g ，强w 2 + 鹄 o 为一个鬻数。将( ：，1 4 ) 式代入( 2 1 3 ) 麓，褥到 攻= 一琏一g 2 嵋十薯2 玛 ( 2 1 5 ) 其中耦合埙g ：w 2 码将在下一步中漓去。将( 2 1 4 ) 戏代入( 2 1 1 ) 式，褥剥( 2 1 1 ) 基于b a c k s t # p p i n g 理论舞凝混沌同步姆控i 碰究 式的闭环形式为 鹄= 一c 2 毪一g l h + 9 2 韩i ( 2 1 6 ) 第i 步( 3 o 兀丹善等( g k x k * t + f k ) 一百o c t i - t ，1 ，h ，= o 。 通过上述设计过程得到的闭环系统( 2 2 9 ) 渐近稳定，其稳定性由下面的定理 给出。 定理2 2 系统( 2 4 ) 在控制器( 2 2 6 ) 式的控制下，无论w 的初值取何值， 总有l i m w = o ，且状态x = ，嘣。 7 和控制器m 均有界。 证明以w = w 1 ， 7 为变量的系统对应于由非线性系统( 2 4 ) 和控制器 ( 2 2 6 ) 式构成的闭环系统( 2 2 9 ) 。l y a p u n o v i 垂l 数( 2 2 4 ) 式沿误差系统( 2 2 9 ) 的导数为( 2 2 5 ) 式，此即证明了平衡点w = o 是大范围渐近稳定的。 由于w l = _ ，所以x 1 有界。又w 2 = x 2 一，吼只与x l 有关，所以工2 有界。同样 地，w f = 工f 一“h ，口h 只与z 】，x 2 ，x i - 1 有关，所以一有界，3 o 是自适应增益矩阵，则“沿( 2 3 1 ) 式对时间的导数为 或= w ，嘲+ ( 毋一8