（检测技术与自动化装置专业论文）ert图像重建算法及三维图像显示研究.pdf

中文摘要 电阻层析成像( e l e c t r i c a lr e s i s t a n c et o m o g r a p h y ，简称e r a ) 技术是近年来发 展起来的一种高新检测技术，可实现对封闭的管道或过程容器设备内部多相组 份物质参数的可视化测量，适用于两相流，多相流中以液相为连续相的生产过程， 是过程层析成像技术中的一个研究热点。 随着工业技术的发展及实际应用中的需求，对e r t 图像重建算法的精度、 速度及两相流中参数的设定提出了更高的要求，因此论文从e r t 技术重建算法 的原理出发，探讨了图像重建算法的改进、基于单电极激励这种新型数据采集 模式下图像重建算法的研究，三维图像重构等问题，并建立仿真软件包，编写 了用于两相流测量的上位软件。 在本论文的研究中，作者主要完成以下几个方面的工作： 1 深入探讨了常用图像重建算法，对图像重建算法的改进作了探索性研究， 尤其是线性反投影算法，提出了一种加权线性反投影算法，同时阐述了三维电阻 层析成像图像重建的一些发展状况。 ， 2 讨论基于单电极激励模式的图像重建算法，以传统相邻激励模式下的基 于等位线的线性反投影和灵敏度系数反投影算法为基础，对单电极激励模式的 敏感场进行分析，提出了改进的基于等位线的线性反投影算法、改进灵敏度系 数反投影算法及基于电力线的单电极激励模式的反投影算法，并进行了仿真研 究。 3 研究e r t 系统三维图像重构及应用软件包的设计，三维图像显示主要是 c + + b u i l d e r 结合o p e n g l 系统，采用b e i z e r 曲线拟合的方法利用二维求值器进 行图像显示。 关键词：电阻层析成像正问题反问题图像重建三维图像重 构 a b s t r a c t e l e c t r i c a lr e s i s t a n c et o m o g r a p h y ( e r r ) i san o v e lc r o s ss e c t i o nm e a s u r e m e n t t e c h n o l o g yd e v e l o p e di nr e c e n ty e a r s i tc a na c h i e v et h ev i s u a l i z a t i o nm e a s u r e m e n to f m u l t i - p h a s em e d i ac o m p o n e n tp a r a m e t e ri nt h ec l o s e dp i p ea n dp r o c e s sv e s s e li n s i d e i ti s a d e q u a t ef o rt w o m u l t ip h a s e f l o wp r o c e s st h a tt h ec o n d u c t i v el i q u i di s c o n t i n u o u sp h a s e e r ti s 她i m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o no f p r o c e s st o m o g r a p b y w i t ht h ed e v e l o p m e n to f i n d u s t r yt e c h n i q u ea n dt h er e q u i r e m e n to ft h ep r a c t i c a l a p p l i c a t i o n , i tn e e d st h eh i g h e ri m a g ep r e c i s i o na n di m a g es p e e d t h e r e f o r e ，t h i s p a p e rd i s c u s s e st h em o d i f i e di m a g ea l g o r i t h m ，t h er e a l i z a t i o no f i m a g er e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m sf o re r tb a s e do ns i n g l ed r i v ee l e c t r o d em e t h o d ，t h et h r e e d i m e n s i o n i m a g er e c o n s t r u c t i o n a n ds oo n m e a n w h i l e ，t h es o f t w a r ep a c k a g eb a s e do n c + + b u i l d e ri sd e v e l o p e d t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa n dw o r ka r ea sf o l l o w s ： 1 d e e p l yd i s c u s st h ec o m m o ni m a g ea l g o r i t h m s ，e s p e c i a l l y t h el i n e a r b a c k p r o j e c t i o na l g o r i t h m ，s u g g e s tal b pa l g o r i t h mw i t hw e i g h ta n de x p a t i a t et h e d e v e l o p m e n to f t h r e e d i m e n s i o ni m a g er e c o n s t r u c t i o n 2s t u d yt h ei m a g er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m sb a s e do ns i n g l ed r i v ee l e c t r o d e m e t h o d w i t ht h ea n a l y s i so fs e n s i t i v ef i e l db a s e do nt h es i n g l ed r i v ee l e c t r o d e m e t h o d ，t h i sp a p e rp r o p o s e st h em o d i f i e dl b pa l g o r i t h m ，t h em o d i f i e ds b pa l g o r i t h m a n dt h el b p a l g o r i t h mb a s e do ne l e c t r i cl i n e so f f o r c e 3s t u d yt h et h r e e d i m e n s i o ni m a g er e c o n s t r u c t i o no fe r t s y s t e ma n dd e s i g nt h e i n t e r a c ta p p l i c a t i o n ss o f t w a r ep a c k a g e t h et h r e e d i m e n s i o ni m a g ed i s p l a ym a i n l y u s e st h et o o lo f c + + b u i l d e rc o m b i n e dw i t ho p e n g l s y s t e m k e yw o r d s ：e l e c t r i c a lr e s i s t a n c e t o m o g r a p h y , f o r w a r dp r o b l e m ， i n v e r s ep r o b l e m ， i m a g er e c o n s t r u c t i o n , 3 di m a g er e c o n s t r u c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：趣诚论签字日期： 聊年 , 9d 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫洼盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 趣试泠 签字日期：柳；年j 月7 吾日 日 z 目鼍年弓圳 名 期 签 日 师 字 导 签 第一章绪论 第一章绪论 在自然界和工业过程中广泛存在着多相流，其中两相流是一种非常典型的 多相流形态。随着工业生产自动化水平的不断提高，两相流参数检测技术在科 学研究和工业生产中发挥着越来越重要的作用，对两相流参数进行测量的需求 也越来越迫切。过程层析成像技术( p r o c e s st o m o g r a p h y ，简称p t ) 是二十世 纪八十年代中期，随着计算机技术和检测技术的进步正式形成和发展起来的新 一代过程参数检测技术，是以两相多相流为主要研究对象的过程参数二维_ - - 维 空间分布状况的在线、实时检测技术，大大提高了人们对生产过程信息的获取 和分析能力，为在线检测和过程设备的优化设计提供了一种全新的手段。 1 1 电阻层析成像( e r t ) 技术简介 电阻层析成像( e l e c t r i c a lr e s i s t a n c et o m o g r a p h y ，简称e r a 3 技术是近年来发 展起来的一种高新检测技术，可实现对封闭的管道或过程容器设备内部多相组 分物质参数的可视化测量【1 】，适用于两相流，多相流中以液相为连续相的生产过 程，是过程层析成像技术中的一个研究热点。 e r t 技术的物理基础是基于不同媒质具有不同电导率，通过判断处于敏感 场( 测量时建立的电磁场) 中物体电导率分布来得知物场媒质分布状况。一般 采用的工作方式是电流激励，电压测量。当场内电导率分布变化时，电流场的 分布随之发生变化，导致场内电势分布变化，从而场域边界上的测量电压也发 生变化。测量电压的变化情况反映了电导率的变化信息。利用边界上的测量电 压，通过一定的成像算法，可重建出场内的电导率分布或反映电导率分布情况 的灰度分布，实现可视化测量。 图1 - 1 电阻层析成像系统结构图 第一章绪论 电阻层析成像系统主要由以下三个部分构成( 如图1 1 所示) ：获取被 测物场信息的空间敏感阵列。它在交流电流激励下，形成一个可从不同观测角 度扫掠被测物场的空间敏感场，物场内部组份分布或结构的运动变化对敏感场 产生调制作用，使敏感阵列输出相应的信号。数据采集与处理单元。它的任 务是快速实时地采集空间敏感阵列输出的反映被测物场二维- - 维分布状态的 大量瞬时信号，并完成相应的解调、滤波处理，以获得直接反映物场变化的信 息( 包括实部、虚部、模以及相位等等) 。图像重建与物场参数提取单元。 它的任务是运用图像重建算法，根据处理后的数据，获得被测物场的二维或三 维图像及其变化的时间历程，使人们能够直接看到过程设备或装置内部某个截 面上组份的分布，同时又可运用相应的基于知识工程的软件库，提取出被测物 场的特征信息，如流型、相速度、相含率、相尺寸等等【”。 可以说e r t 技术是新一代过程参数在线检测技术，也是一种多学科交叉的 高新技术。与传统的过程参数检测技术相比具有诸多突出优点： ( 1 ) 能提供在线连续的二维- - 维可视化信息： ( 2 ) 可提取大量被测对象的特征参数，如流速，截面相含率，流型识别等； ( 3 ) 多点、界面分布式、非侵入、无放射性测量，不破坏、干扰物场； ( 4 ) 结构简单，成本低。 1 2e r t 技术发展概况 e r t 技术的起源，可追溯到上个世纪2 0 年代地球物理学研究者所使用的电 阻率成像( r e s i s t i v i t yi m a g i n g ) 技术。当时的系统是利用插入地下的电极阵列， 测量非激励电极上的电位变化来获得地层电阻率分布，从而描绘出地层中油岩 等的分布，这一技术目前仍被广泛应用【3 】。然而由于当时无法满足层析成像技 术所需要解决的庞大计算量，该技术并不是真正的e r t 技术。 2 0 世纪7 0 年代，随着电子技术和计算机技术的发展，生物医学研究者提 出了圆形电极阵列的断层电阻率测量技术( t o m o g r a p h i er e s i s t i v i t ym e 舢e m e m t e c h n i q u e ) 。8 0 年代初，在临床和生物医学领域，电阻抗层析成像技术得到了 极高的重视，世界各地尤其是欧美对此领域进行了深入研究，医学e r t 不断地 得到改进，并得到了临床应用，如利用多频率谱方法( m u l t i f r e q u e n c y s p e c t r o s c o p y ) 来检测病变组织等。但是同医学x 射线和磁共振成像( m a g n e t i c r e s o n a n c ei m a g i n g ， m r i ) 相比，医学e r t 的空间分辨率比较低，因此并没 有得到广泛认可，不过作为医学诊断的辅助工具，人们并没有停止对医学e r t 第一章绪论 的研究，目前医学e r t 的研究已经可以获得三维图像1 4 j 睁j 。 2 0 世纪8 0 年代中后期，医学e r t 技术被移植于工业领域，成为过程层析 成像( p r o c e s st o m o g r a p h y ，p t ) 技术的一种 6 1 。尽管过程e r t 技术同医学e r t 技术之间有很多相似之处，但由于测量对象、测量目的以及运行环境条件的不 同，使得它们之间无论是在信息的获取方式、处理方法上，还是在结果的解释、 应用上都有着显著的不同；尤其是医学e r t 有丰富的先验知识可以利用，而过 程e r t 的检测对象通常是时变的，这使得过程e r t 的研究过程存在着相当大 的困难。直至2 0 世纪9 0 年代初，电阻层析成像方法在p t 领域中的研究才开 始有文献报道。 为了促进欧洲电学成像技术的发展，1 9 9 0 年欧盟科技委员会拨款开展了一 项为期四年的e c a p t ( e u r o p e a nc o n c e r t e da c t i o no np r o c e s st o m o g r a p h y ) 计划；大 大促进了欧洲地区e r t 技术的发展，较为突出的是：慕尼黑大学研究的定量图像 算法，在在线辨识气液两相流流型实验中，其组份浓度的测量精度可达士2 ； 英国u m i s t 大学地电机工程系的k d i c k i n 完成了m k 1 b 系统，数据采集速度可达 2 0 , 哥秒以上【7 】【8 】。随后，1 9 9 5 年“f r o n t i e r si ni n d u s t r i a lp r o c e s st o m o g r a p h y ”的 国际性学术会议在美国加利福尼亚举行，第二次会议于1 9 9 7 年在荷兰d e l f t 召 开；1 9 9 9 年第一届世界工业层析成像技术大会在英i 虱d e r b y s h i r e 召开，会议涉及 系统应用、图像重建算法、硬件系统开发和相关新技术四个主题，2 0 0 1 年第二 届大会在德国汉诺威举行，2 0 0 3 年第三届会议在加拿大班夫成功举行，2 0 0 5 年 第四次会议在日本召开。国际交流与合作促进了p t 技术的发展，也带动t e r t 技术的发展。 英国u m i s t 大学在该技术领域首先做了大量研究，其研究成果主要表现 在：1 9 9 4 年开发出适用于金属容器的e r t 系统，拓宽了e r t 技术的适用范 围【9 】，继m k 1 b ，1 9 9 8 年开发出的m k 2 b 系统，数据采集速率可达1 0 0 幅， 秒，数据传输速率大于1 m b s 1o 】；2 0 0 1 年开发出利用双极性脉冲电流源作为 激励源的电阻层析成像硬件系统，这一技术克服了常规直流激励源带来的介质 电极化效应，系统的运行速度快，为解决实时性提供了一种新的途径【1 ”。 目前在该领域处于领先地位的是英国l e e d s 大学。1 9 9 8 年英国l e e d s 大学 w i l l i a m s 教授领导的研究小组研制出i t s 1 0 0 0 型e r t 系统样机，该系统数据采 集速率为2 5 幅秒( 3 8 4 k h z 电流激励、1 0 4 点幅、数字解调) ，如果采用模 拟解调，其采样速率为7 幅秒【1 1 1 。最新开发出的一套两相流在线数据采集和 测量处理双截面e i t 系统，数据采集速度每个电极平面达1 0 0 0 幅秒，被测流 速可达到1 0 m s ，精度5 l 1 3 j * 第一章绪论 在我国，对e r t 技术的研究开始于8 0 年代后期天津大学p t ( p r o c e s s t o m o g r a p h y ) 研究小组，现已开发出多种系统样机，其采样速率可达5 0 幅秒 ( 4 0 k h z ，1 0 4 点幅，模拟解调) 1 1 4 】，成像系统完成动态试验，为最终设计出 工业实用化的系统积累了经验；目前以d s p 为核心的成像系统 1 5 】，正在研制中， 该系统设计注重在提高系统的实时性能，采用u s b 技术实现p c 机与e r t 系统 的通讯f 1 6 1 ，解决了以往的数据采集系统不便与携带和与上位机通讯的数据传输 问题，为将e r t 技术最终应用于工业起到了推动作用。此外北京航空航天大学 在成像系统图像算法的研究上取得了一定的成果；东北大学、浙江大学7 l 也在 e r t 技术上开展了一些相应的研究。目前国内很多其他高校及科研机构也开展 了对过程成像的技术研究，但主要集中在敏感场的仿真研究及成像算法的研究 f 嘲。 1 3e r t 技术研究现状 作为p t 技术的一个热点，当前e r t 技术的研究主要集中在三个方面： 1 ) 硬件性能的提高：包括传感器子系统、电极阵列的优化设计，数据采集 系统稳定性、信噪比、实时性的提高； 2 ) 图像重建算法的改进：要求开发高性能的图像重建算法，实现快速有效 的定量图像重建，以满足工业过程在线监测的要求； 3 ) 工业领域的应用开发：技术最终要为生产和科研服务，应用性的开发包 括开拓技术的应用领域和针对不同对象的适用范围，这样会促进e r t 技术的发 展，使之成为真正实用的在线监测技术。 硬件方面研究成果主要表现为：传感器的优化与设计，主要是克服和解 决e r t 软场问题，尽可能提高敏感场灵敏度分布的均匀性【1 9 1 2 0 ；改善硬件电 路，提高系统的实时性【2 l 】多电极阵列系统的研究：采用多排电极阵列测取数 据，来形成三维图像，提取物场信息【3 】，解决由二维场近似分析实际三维场引 起的误差；多信息融合技术：将多种测量技术与层析成像技术相结合，用于 工程实际。 在算法方面，其主要成果：高质量的图像重建算法：主要是非线性算法 的研究，算法收敛性的改进，精度和实时性的提高；基于三维场描述敏感场 特性，研究媒质分布、图像重建算法1 2 2 ；应用小波变换，神经网络等现代 信息处理技术对图像物理意义解释算法的开发：如在两相流测量中流形识别， 特征参数的提取计算等】。 第一章绪论 1 4e r t 图像重建算法研究概况 e r t 的图像重建是由测量到的边界电压重建出对象内部电导率分布的过 程，是最终实现e r r 技术可视化测量的过程。为了简化计算，早期的许多e r t 研究组的成像都是基于激励电流被限制在电极平面的假设，将成像目标看作一 系列的二维断层，从环绕平面的电极上采集数据，忽略三维效应。但事实上电 流穿过成像目标时是三维发散的，在e r t 中从一个断层注入的电流并不能被限 制于电极平面内，而是同时会流过电极平面以上和以下的部分，这意味着所有 的这些区域的电阻率分布都对测量信号有贡献，要消除这个问题的影响，数据 采集和图像重建都必须以完全意义的三维问题来考虑。目前国内外已经有很多 研究小组进行三维问题的研究，包括数据采集、成像模型、成像算法等方面， 国内目前也对三维问题有所探讨，包括三维图像重建算法及三维图像显示等【2 5 】。 e r t 图像重建算法可以有多种分类方法。根据重建过程可分为直接法与迭 代法；根据算法的推导过程分为定性和定量的两种。定性的重建算法比较容易 实现，计算量小，重建速度快，但图像的精度较差，只能用于初步的观察与研 究，重建过程多为单步的直接法，这种算法以基于等位线的线性反投影算法和 基于灵敏度系数反投影算法为代表，是目前主要采用的e r t 图像重建算法。定 量的图像重建算法是本质上具有较高精度的图像重建算法，但计算量大，重建 速度慢，重建过程多为多步迭代的迭代法，主要有l a n d w e b e r 迭代法【2 6 1 2 7 ，牛 顿拉夫逊算法，最速下降法，迭代的基洪诺夫算法等等田1 1 2 9 】【3 0 1 1 3 ”，这类迭代算 法迭代过程较长，耗时，但精度高，可应用于一些对精度要求较高，对速度要 求较低的场合，如医学领域。 1 5 本课题主要研究内容 本研究课题受国家自然科学基金重点资助项目：多模态过程层析成像关键 技术研究( 批准号：6 0 5 3 2 0 2 0 ) 和国家自然科学基金项目：两相流测量新方法 研究( 批准号：5 0 2 7 6 0 4 3 ) 支持。研究工作从e r t 技术重建算法的原理出发， 探讨了图像重建算法的改进、基于单电极激励模式下算法的研究，三维图像重 建等问题，并建立仿真软件包，编写了用于两相流测量的上位软件。 作者在论文研究中所完成主要工作如下： 1 深入探讨了常用图像重建算法，对图像重建算法的改进作了探索性研究，尤 其是线性反投影算法，提出了一种加权线性反投影算法。 第一章绪论 2 对单电极激励模式进行原理性介绍，提出了单电极激励模式下相应算法的实 现，主要是基于电力线的线性反投影算法。 3 研究e r t 系统三维图像显示及应用软件包的设计，三维图像显示主要是 c + + b u i l d e r 结合o p e n g l 系统，采用b e i z e r 曲线拟合的方法利用二维求值器进 行图像显示。 1 6 本论文的组织 本论文共包括六章： 第一章，绪论。简单阐述电阻层析成像技术，包括e r t 技术的原理、系 统构成、发展概况、存在问题、算法综述等；最后阐述了本论文的主要研究内 容及本论文的组织结构。 第二章，e r t 技术的数理基础。由雷登变换、似稳场理论基础给出e r t 敏感场的数学模型；介绍e r t 系统的正问题及其解析和数值( 有限元) 求解方 法；介绍e r t 几种常用图像重建算法，重点介绍l b p 算法，并对其进行改进， 提出加权反投影算法。 第三章，电阻层析成像技术数据采集模式。主要介绍e r t 系统常用的几 种数据采集模式，针对传统的四电极模式的弊端，提出了单电极激励模式并建 立荜电极模式的数学模型、等效电路。 第四章，单电极激励模式下图像重建算法的研究。提出了改进的线性反 投影算法、改进的灵敏度系数反投影算法及基于电力线的反投影算法。 第五章， e r t 系统三维图像显示及应用软件包的设计。基于c + + b u i l d e r 结合o p e n g l 系统进行e r t 三维图像显示，同时建立了基于c + + b u i l d e r 的e r t 应用软件包。 第六章，总结与建议。 第二章e r t 技术的数理基础 第二章e r t 技术的数理基础 本章介绍似稳场的概念以及e r t 的正反闯题；同时介绍几种常用的e r t 图像重建算法，并对反投影算法进行加权改进，与简单的线性反投影算法进行 比较。 2 1e r t 技术理论基础 过程层析成像技术起源于医学中的c t ( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ) ，是c t 在工业应用中的移植，因此同c t 一样，它的数学基础也是r a d o n 变换和逆变 换【3 2 1 。 l ， 厂 旋一 |f 妊，n 0 晶 心 使澈一 。 巾 图2 - 1r a d o n 变换( 图a ) 和r a d o n 逆变换( 图b ) 的几何表示 若定义于平面域q 上的函数f ( x ，y ) 是连续的，且在整个平面上双重积分 l 惜由 是收敛的，则函数f ( x ，y ) 沿某一直线g 的线积分： ( 2 1 ) 第二章e r t 技术的数理基础 f ( p ，伊) = e 厂( 尸c o s 缈一j s i n o ，p s i n l 5 0 + j c o s 伊) d ，( 2 - 2 ) 是完全确定的，称f ( p ，妒) 为函数f ( x ，y ) 的r a d o n 变换，以符号f = r f 表示。 r a d o n 还证明函数f ( r ，口) ( 即，o ，y ) 的极坐标形式) 在定义域q 中任意一点 p ，回处的值可以由它的无穷多个观测角度护下的线积分值f ( 岛彩按下式唯一 地确定 m 脚= 谚- 1f ”跨( 脚万壶两批( 2 - 3 ) 称为r a d o n 逆变换，用符号厂= 且。1 f 表示。公式中各参量含义如图2 - 1 所示。 r a d o n 逆变换说明，为了重建出函数f ( r ，口) ，首先必须获得该函数在无限多个 不同观测角度( 妒= 0 2 石) 下的“投影”数据。然后，对这些“投影”数据 按式( 2 3 ) 中的运算反投影回去。 因此过程层析成像技术实质就是：基于某种传感机理，用阵列式传感器以 非接触或非侵入方式获取不同方向上反映多相流流动信息的投影数据( 即实现 r a d o n 变换) ，并运用定性或定量的图像重建算法，重建反映多相流体某一截面 或工艺装置中某一部分流体流动信息的图像( 即实现r a d o n 逆变换) ，然后依据 所获得的重建图像提取特征信息及检测参数实现多相流参数监测和状态监控。 建立e r t 数学模型的另一理论基础是似稳场假设p “。似稳场是电磁场理论 中的概念，它满足微分方程组( 2 - 4 ) ： v x h = j r = , r e o ba h 。占一i 一百( 2 4 ) v b = 0 v d = 0 这里h 为磁场强度，以为电流密度，e 为电场强度，b 为磁通密度，盯为 电导率，为磁导率，d 为电位移。 另外，似稳场遵循静态场的规律，即矢位a 和电位谚分别满足p o i s s o n 方 程( 2 5 ) 和l a p l a c e 方程( 2 6 ) ( 为磁导率) ： v a = 一f v 2 西= 0 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ， ， 第二章e r t 技术的数理基础 满足似稳场条件的电磁场有三类： ( 1 )随时间变化很慢或频率很低的电磁场，即缓变电磁场，遵循静态场 的规律，是似稳场； ( 2 )导电媒质中位移电流远小于传导电流，位移电流可以忽略不计，电 磁场仍满足方程( 2 - 4 ) ，也是一种似稳场。 ( 3 )当电磁场的变化并不缓慢、媒质中的位移电流与传导电流相比并不 能忽略的情况下，场源近区部分属于似稳场。( 场源近区是指以场 源为中心，以远小于2 6 的距离为半径的空间区域。a 是电磁波的 波长。) 在e r t 系统中，激励电流的频率小于1 0 0 k h z ，以真空中电磁波的传播速 度v = c = 3 1 0 8 m s 计算，电磁波的波长a v f = 3 1 0 3 小，而实际e r t 对象 直径不会超过1 0 m ，远远小于9 0 6 = 5 0 0 m 。所以e r t 敏感场满足第三类似稳场， 可以用静态场的理论来描述和求解。 2 2e r t 数学模型 根据电磁场理论可以对所研究的e r t 问题作两点假设： 一、e r t 系统的敏感场为似稳场。当在场域周围施加正弦交流激励时， 认为各处电场同时发生变化，即忽略掉电流由一点流至另一点所经历的时间。 二、所研究的敏感场内没有激励频率范围内的电流源或电流汇，从而敏 感场内各处电流的散度为零。 由于e r t 的敏感场内部没有激励源，也没有涡流效应，这一条件也可满足。 根据以上假设，对于e r t 的敏感场内任意一点，有： j = 盯e ( 2 7 ) v j = 0 ( 2 8 ) 其中，为电流密度，盯为电导率，e 为电场强度。又由于 e = - v 矿 ( 2 9 ) 其中庐为场内电势分布，则妒满足 v - p v 矿) = 0 ( 2 - 1 0 ) 展开：v c r v 矿+ 盯v 2 = 0 ( 2 1 1 ) 第二章e r t 技术的数理基础 在均匀、线性、各向同性的导电媒质中，盯为常数，( 2 - 1 1 ) 式简化为l a p l a c e 方程： 2 3e r t 正问题 v 2 击= 0 ( 2 1 2 ) 德国学者雷当于1 9 1 7 年提出的雷当变换和雷当逆变换是今天计算机层析 成像的数学基础。在电磁场分析中存在正问题和反问题的求解，正问题是已知 物场的分布和敏感场的初始及边界条件，求取电磁场分布；反问题则是根据电 磁场的分布及边界条件求取物场的分布。e r t 系统的工作过程就是根据正问题 的解，反映场内介质分布的边界测量电压或电流，求解反问题进行图像重 建，获取物场的介质分布图像。 求解e r t 正问题主要有三种方法：实际测量法、解析计算法和数值分析法。 实际测量法也是e r t 系统工作过程的一个环节，即在激励电极上加电流，在测 量电极上直接测取边界电压或电流。由于电极安装在过程对象的周围，这种方 法通常不能直接测取敏感场内部的电场分布。解析计算法首先要建立准确的场 模型，然后利用数理方法经理论推导，求得场内电势分布的解析表达式，从而 求得边界上测量电压的解析结果；这种方法推导过程复杂，适用于二维规则形 状的均匀场或简单非均匀场的e r t 正问题计算。数值分析方法有边界元素法 ( b e m ) 、有限单元法( f e m ) 、有限差分法( f d m ) 等几种，其中在e r t 问 题研究中更优先采用的是有限单元法p 4 】，因为有限元法能更好地模拟电极尺寸 和电极与电解液之间的连接阻抗。 2 4e r t 反问题 e r t 反问题主要是根据测量数据进行图形重建。根据式( 2 1 1 ) ，可知，重 建断层图像就是已知矿求取电导率盯。由于矿是仃的函数，这是一个非线性问 题，直接求解盯很困难，这样 l a p l a c e 方程可写成： v 2 = v g r v 妒 ( 2 1 3 ) r r = 一l ac y( 口为区域电导率) ( 2 1 4 ) 设步是方程( 2 - 1 3 ) 的解，而当时有一变化至鼢+ 印时，方程变为： 第二章e r t 技术的数理基础 v 2 = ( v r r + v 印) v 矿( 2 1 5 ) 方程( 2 1 5 ) 的解设为= 步+ 勿，则： v 2 咖+ v 2 步= ( v r p + v r r ) v 勿+ ( v 印+ v r r ) 步( 2 - 1 6 ) 设电导率变化很小，所以v 勿与v 步相比起来很小。方程可近似为： v 2 勿+ v 2 步= ( v r p + v e t ) v 步 参照方程( 2 1 3 ) v 2 勿= v p v 步 ( 2 1 7 ) 这表明在区域电导率变化较小的情况下，电导率对数变化与电位的变化呈一种 近似的线性关系。因此可以用一个线性的变换来表示这个关系： = f a r( 2 1 8 ) 其中西表示电位变化量，表示电导率对数的变化 这个线性的近似是反投影算法的基础1 3 5 】。 2 4 1 等位线线性反投影( l b p ) 算法 由于边界电位的变化和阻抗分布信息的变化具有近似的线性，所以可以用 一种线性的过程来近似求得阻抗分布的变化。等位线反投影算法借鉴于x 射线 c t 的反投影技术，将边界测量数据沿区域等位线进行投影，利用通过某点的所 有投影射线和的累加来估算该点的密度值，从机理上这是一个不完全的逆雷当 变换过程( 完整的逆雷当变换要包括微分、希尔伯特变换、反投影和归一化等 一系列运算) 。数学表达式为：引用一反投影矩阵b ，将曰乘以边界数据就等价 于将边界数据反投影【3 5 】【3 6 】，即 b a v = a r 佗1 9 ) 其中a v 表示电位变化量，缸表示电导率对数的变化 这里的b 矩阵的元素既表示第_ ，个边界电压投影到第i 个像素时的系数， 当该像素在等位线时口。为1 ，否则为0 ，同时通过改变激励电极迸行反复的投 影和叠加，最后得到重构结果。 根据b 矩阵的特性，我们可以看到该矩阵为稀疏矩阵，直接参与运算必然 会延长计算时间，因此可以简化为下面的形式。 第二章e r t 技术的数理基础 假设电阻率均匀分布为r ，则当在第k 、七+ 1 电极施加激励时，各电极所 在的等位线终止于电极k 和k + l 之间的边界，相邻两条等位线形成了一个投影 区域。按照硬场理论，假设电阻率的变化比较小，场内等位线分布可以近似地 认为不变，则当边界测量电压矿。变为k 时，如果相应的投影域内的平均电阻 率r j 变为一，有： ；生或= 等(2-20)v y ， 如果将所有反投影结果叠加起来，就可以得到一个电阻率的分布图形。 为简化算法，可以对场的模型进行线性化逼近，设场内的电阻率分布为，令 r = h a r ，则 r ，= r 。+ l n v ，一h k ( 2 - 2 1 ) 简单反投影就是如上所述将边界上的电压变化直接沿等位线反投影，其实 现过程如下： 第一步，对场域进行剖分，将图像数字化。 第二步，生成投影覆盖矩阵，确定反投影等位线的位置和各剖分单元对应 的等位线区域。 第三步，利用反投影算法实现反投影成像。 在这一过程中，反投影覆盖矩阵的生成是关键。首先利用解析法计算出各 电极对激励时场内所有剖分节点的电位，并由此计算出每个单元的平均电位； 根据每一次激励时各个电极的电位，将各个单元划归到相应的测量电极对的投 影域，如图2 2 ，投影域的划分是在离线状态下实现的，只需计算一次，而重建 过程不需要求大型矩阵的逆，因而计算量小，重建速度快，适于对快速的动态 过程作定性的在线观测。 图2 - 2 投影域划分 由于测量电位对远离电极的区域不敏感，所以可以对曰加权 3 4 1 3 6 1 ，区域中 第二章e r t 技术的数理基础 心距离激励电极远，灵敏度低，加权系数大。而边晃部分灵敏度高，则加权系 数小，因此考虑加权函数是单调递减形式。加权的l b p 算法提高了场域中心的 灵敏度，当中心与边界都有物体时，加权的l b p 算法可以重建出场域中心有介 质分布，但场域中心灵敏度的提高是以牺牲边界区域的灵敏度为代价，所有的 图像都向场域中心靠拢，原来边界图像的清晰成像会有所下降。因此，这就要 求加权函数满足：一方面边界区域的灵敏度不能降的太低，另一方面要设法提 高场域中心的加权系数以提高中心区域灵敏度，力求找到个最优值，因此适 当选取加权函数的表达方式是影响图像重建一个很重要的方面。 这里只采用了如下两种的加权公式进行对比； w e i g h t = 等 w e i g h t = 鲁 式中w e i g h t 是加权系数，是要加权元素距离区域中心的距离。 根据几种典型仿真模型，进行了l b p 算法及加权l b p 算法的仿真实验， 并给出仿真结果图，如图2 3 所示。 ( 1 ) 原型 ( 2 ) l b p 算法 ( 3 ) 加权l b p 算枞卿= 鲁 第二章e r t 技术的数理基础 ( 4 ) 加权l b p 算法w e i g h t = 丢二二 图2 - 3 加权l b p 图像重建仿真结果 由图2 3 仿真结果看出，加权的l b p 算法取得一些效果，提高了场域中心 的灵敏度，如对于第三种仿真模型，当中心与边界都有物体时：简单的l b p 算 法根本不能重建出中心区域的图像，而加权的l b p 算法可以明显重建出场域中 心有介质分布，同时在边界区域的脱尾现象也得到了一些改善，但从图中我们 也可以看到，场域中心灵敏度的提高是以牺牲边界区域的灵敏度为代价，所有 的图像都向场域中心靠拢，图( 4 ) 优于图( 3 ) ，主要在于加权函数这种减函数 的趋势要缓，这样对边界的影响会小一些。因此，适当选取加权函数的表达方 式是影响图像重建一个很重要的方面，本论文加权函数选取如下形式 w e i g h t = 等 2 4 2 迭代算法 对于e r r 图像重建，由于激励电极数的限制，测量数据少，实际上图像重 建过程是一个不完全投影数据的重建问题。不完全投影数据的出现，给重建带 来了困难。若仍使用常规的完全数据重建技术，在所得到的重建图像中会存在 严重的伪像干扰，几何畸变等难以接受的失真。针对这些问题，迭代算法是目 前解决这类算法比较有效的算法。其最大优点在于可以利用各种已知的先验知 识，通过逐次迭代使结果逐步向原图像逼近，能够解决许多完全投影数据重建 所难以解决的问题。在医学图像重建算法，先验知识大多采用直方图约束，尽 快获得较好的重建图像 3 7 1 。 在迭代算法过程中合理的利用先验知识，对这种不完全图像重建是很有好 处的，包括了测量系统零空间的一些先验知识。这样做的结果，一方面加快了 算法的收敛速度，另一方面还可能得到在观测数据中所得不到的零空间的信息。 第二章e r t 技术的数理基础 2 5 三维电阻层析成像( 3 d - e r t ) 图像重建研究发展 e r t 的图像重建问题是根据边界的测量值重建出区域内部的电导率分布的 过程。为了简化计算，早期的许多e r t 研究小组的成像都是基于注入电流被限 制在电极平面的假设，将成像目标看作一系列的二维断层，从环绕平面边界的 电极上采集数据，这种近似对于c t 成像由于射线不发散的原因可以应用，但 对于电流激励这种p t 成像过程，由于电流穿过成像目标时是三维发散的，会 流过电极平面以上和以下的部分，这意味着所有这些区域的电阻率分布都对测 量信号有贡献。要消除这个问题的影响，数据采集和图像重建都必须以完全意 义的三维问题来考虑。也就是说，要通过在整个目标表面放置电极来实现。典 型的做法是以一系列平面电极的形式放置，平面内和平面间的电极对都用来注 入电流和提取测量电压。尽管3 d e r t 的成像原理与2 d e r t 没有本质的区别， 但由于涉及到更多的测量和更大的灵敏度矩阵，要求具有更快的收敛速度和更 大的存储空间，因此在成像模型和成像算法的选择上更具有挑战性【2 5 l 【3 8 1 1 3 9 。 1 9 9 0 年，i d e r 等【4 0 j 提出了一种用三维测量数据得到二维图像的方法。他们 首先将边界条件和电势场用傅立叶级数展开，对于给定的边界条件，计算三维 和二维均匀媒质测量电压的比值，再将这个比值和三维真实测量电压值相乘得 n - 维边界数据，最后用有限元和迭代等位线反投影算法重建二维图像。 1 9 9 2 年，g a d d 等1 4 l j 将3 d e i t 的测量结果应用于二维成像，他们的采集系 统为三个电极平面，每个平面1 6 电极，上下平面距中间平面1 0 c m 。三个电极 平面的测量结果被独立的用于相应平面的二维成像。中间平面的物体和中间平 面以外的物体在中间平面的图像重建中均为可见的。他们提出将上下平面的图 像以合适的比例归一化，并与中间平面图像相减，这样就可以消除平面以外的 物体在中间平面引起的扰动。 1 9 9 6 年，m o r u c c i 等 4 2 1 改进了经典灵敏度法，用于计算灵敏度矩阵的电势 分布从下式解得： ，l 、，2 分别表示图像点到激励电极对和测量电极对得距离。 s h e f f i e l d 研究组使用三维电极矩阵进行全三维成像。系统采用6 4 电极数据 采集装置和专用矩阵技术，3 2 独立电流驱动和3 2 电压测量通道环绕被测对象。 重建算法将被测区域分成4 6 0 8 个四面体单元，每层5 7 6 个单元共8 层，与二维 算法一样，使用g e s e l o w i t z 关于电导幅值的微小变化引起物体边界上电位差改 第二章e r t 技术的数理基础 变的灵敏度理论，建立了3 1 3 6 4 8 0 6 元素的灵敏度系数矩阵，应用 m o o r e p e n r r o s e 伪逆技术进行矩阵的逆运算。 1 9 9 9 年，清华大学的宫莲等用三维有限元法解各向异性e i t 的正问题【4 ”， 用广义线性增量函数理论和奇异值分解法解逆问题，并作了计算机模拟成像， 成像结果误差范围很小。 对于三维电阻率层析成像，可以将简单基于等位线的反投影算法进行推广 应用，不是沿等位线进行反投影，而是沿等位面进行反投影，称之为“等位面 反投影算法“m 】。何为等应用该算法，有限元模型由2 5 6 0 个楔形单元和1 7 3 4 个节点组成。测量电极数为6 4 ，从上到下分4 层，每层1 6 个电极，进行三维 仿真实验，从重建结果可以看出，利用等位面反投影算法进行电阻抗成像，可 以对目标准确定位，具有一定的分辨率。 近年来，3 d e r t 的研究虽然取得了很大的进步，但系统的实时性仍然很 差，图像重建的空间分辨率仍然很低。 制约3 d e r t 图像重建质量的因素，方面在于其庞大的计算需求远远超 过二维情况，包括对计算速度和存