（基础数学专业论文）纤维超空间的可数性.pdf

学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他 同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢 意。 学位论文作者签名：书0 砭 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅本文授权辽 宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论 文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：迭煎指导教师签名 签名日期：年月日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 可数性是拓扑学的基本性质之一，它在超空间理论中占有重要的地位本文的主要 目的就是要补充超空间理论中的可数性在纤维拓扑中的性质及相关定义本文首先在纤 维拓扑理论的基础上给出了纤维超空间的定义，并结合已有的纤维空间中纤维第一可 数、纤维第二可数的定义给出了纤维紧集第一可数的定义并且得到下面结论：若d 朋 是纤维第一可数的，则艉纤维紧集第一可数的：d 是纤维第二可数的当且仅当x 是纤维第二可数的本文在研究了纤维超空间d 朋中纤维可数性与x 的纤维可数性、紧 性之间的关系的基础上，又与纤维拓扑中纤维分离性的知识进行简单的融合，进而讨论 了纤维超空间中纤维第一可数性、纤维第二可数性与原纤维空间中纤维分离性( 如纤维 石，纤维互，纤维正规，纤维正则等) 之间的关系，并且在纤维正规的基础上给出了纤 维弱正规的定义得到下面的若干结论：是纤维乃的当且仅当d 州是纤维乃的；j 是纤维正则的当且仅当d 脚是纤维正则的；若d 是纤维第二可数的纤维正规空间， 则j 是弱纤维正规的 文章还涉及到纤维超空间的纤维可数性与纤维林德洛夫性，可分性，紧性，弗雷歇 空间，列行空间等拓扑知识之间的关系证明了类似下面的结论：当d 神是却) 上的纤 维第一可数空间且d 彦) 是第一可数空间时，x 是弗雷歇空间 关键词：超空间；纤维第一可数：纤维第二可数；纤维林德洛夫 纤维超空间的可数性 t h ec o u n t a b i l i t yo ff i b e r h y p e r s p a c e a b s t r a c t t h ec o u n t a b i l i t yi so n eo fb a s i c t o p o i o g i c a ! p r o p e r t i e s i th o l d st h ec e r t a i n l yi m p o r t a n t s t a t u si nt h eh y p e r s p a c et h e o r yr e s e a r c h t h em ai np u r p o s eo f t h i sp a p e ri s s u p p l e m e n t i n gt h e d e f i n i t i o no fc o u n t a b i l i t yi nt h ef i b e rh y p e r s p a c et h e o r y c o m b i 鹏dw i t ht h ed e f i n i t i o n so f f i b r e w i s ef i r s t c o u n t a b i l i t ya n df i b r e w i s es e c o n dc o u n t a b i l i t y , w eg e tt h ed e f i n i t i o no f f i b r e w i s ec o m p a c ts e tf a s tc o u n t a b i l i t y w eg e tt h ec o n c l u t i o nt h a ti f d 神i sf i b r e w i s ef a s t c o u n t a b il i t y , xi sf i b r e wi s ec o m p a c ts e tf a s tc o u n t a b il i t y c l x ) i sf i b r e wi r e s e c o n d c o u n t a b i l i t yi f f 肌f i b r e w i s es e c o n dc o u n t a b i l i t y c o m b i n e df i b r e w i s es e p a r a t i o nc o n d i t i o n s ， i to b t a i ns o i t l er e l a t i o n so ff i b r e w i s ef i r s t c o u n t a b i l i t y , f i b r e w i s es e c o n dc o u n t a b i l i t ya n d f i b r e w i s es e p a r a t i o nc o n d i t i o n so nf i b r e w i s eh y p e r s p a c e o nt h eb a s i so ft h ed e f i n i t i o no f f i b r e w i s en o r m a1w eg e tt h ed e f i n i t i o no ff i b r e w i s ew e a kn o r m ai w ep r o v e ds o m ec o n c l u t i o n s s u c ha sf o l l o w s ：xi sf i b r e w i s eh a u s d o r f f i f f d 加i sf i b r e w i s eh a u s d o r f f xi sf i b r e w i s e r e g u l a ri f fc ( 加i sf i b r e wi s er c g u h r i fd 却i sf i b r e wi s es e c o n dc o u n t a b il i t ya n d 助佗wi s e n o r m alx i sf i b r e wi s ew e a kn o r m al t h ep a p e rd i s c u s s e dt h er e l a t i o n so ff i b r e wi s ec o u n t a b i l i t y , f i b r e wi s el i n d e l 占fp r o p e r t y , c o m p a c t n e s s ，f r d c h e ts p a c ea n ds e q u e n t i a ls p a c eo nf i b r e w i s eh y p e r s p a c e i tp r o v e dt h a ti f d 加i sf i b r e w i s ef a s tc o u n t a b i l i t yo nc f b ) a n d 荆i sf i r s tc o u n t a b il i t y , ji saf r d c h e t s p a c e k e yw o r d s ：h y p e r s p a c e ；f 曲r e wi s ef i r s tc o u n t a b il i t y ；f i b r e wi s es e c o n dc o u n t a b il i t y ； f d o r e w i s el i n d e l6 fp r o p e r t y 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 弓i言1 l 预备知识2 2 纤维超空间的第一可数性4 2 1 纤维超空间的纤维第一可数性4 2 2 纤维超空间的纤维第一可数性与纤维分离性之间的联系9 3 纤维超空间的第二可数性1 2 3 1 纤维超空间的纤维第二可数性1 2 3 2 纤维超空间的第二可数性与分离性之间关系1 6 结 论2 0 参考文献2 l 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 2 致 谢2 3 辽宁师范大学硕士学位论文 引言 超空间的研究起源于将由拓扑空间x 中闭子集组成的集族拓扑化的想法拓扑学家 e m i c h a e l 于1 9 5 1 年在t r a n s a m e r m a t h s o c 发表著作( t o p o l o g yo ns p a c e so f s u b s e t s ) ，该文对于赋予有限拓扑的超空间性质进行了系统的讨论，给出了v i e t o r i s 拓 扑的基元素的形式 可数性是基本的拓扑性质之一，作为超空间理论的研究课题必然会引起人们的注 意1 9 5 1 年，e m i c h a e l 给出紧子集空间第一可数和第二可数的充要条件分别是基本空间 第一可数和第二可数1 9 7 6 年，r e s m i t h s i o n 举反例指出了基本空间的第一可数性不能 保证紧子集空间第一可数性，并且给出紧子集空间第一可数的充要条件是基本空间第二 可数1 9 7 7 年，t a k e m im i z o k a m e 给出以正则空间为基本空间的紧子集空间第一可数的要 充条件是基本空间是第一可数特征的且每个紧子集在j 内是可分的 纤维拓扑是近代拓扑理论中发展较为迅速的一个分支，近些年来，某些数学家对此 门学科显示了巨大的关注和兴趣i m j a m e s 在1 9 8 7 年对纤维拓扑空间理论进行了系统 的整理，详细地阐述了纤维拓扑空间的来源而大多数性质都是从每个纤维入手，纤维 拓扑空间具有的性质，在某些情况下等价于它的每个纤维具有的性质但在大多数情况 下，这些等价性是不存在的纤维拓扑中的许多基本拓扑性质，前人己给出了许多结果， 但对于纤维拓扑中的超空间理论的研究却还处于探索阶段为完善纤维拓扑学理论，纤 维超空间的可数性便有了研究的意义一般拓扑空间中我们研究了超空间可数性的许多 性质，如何将这些性质过度到纤维拓扑所研究的局部性质上就是本文所要讨论的问题 除前言外，文章分成三部分第一部分介绍了正文中一些符号的含义以及必要的预 备知识本文主要讨论纤维超空间的可数性质，所以第二，第三部分主要讨论纤维超空 间的第一可数性，第二可数性及其与纤维分离性，纤维林德洛夫性，可分性等性质之间 的关系 纤维超空间的可数性 1 预备知识 设z 是拓扑空间，7 为其拓扑，符号规定如下： 只内= 扩彳神：朋 ， d = 江2 z ：e 科非空紧集) ， ( u r ，u ，) = z 2 ，：z c 壹够且z r 、髟妒， 1 ，刀垮， 【，司= 4 期：cg ( g 是j 中开集) ， i g = u a ( ：n g 6 ) ( g 是肿开集) ， 定义1 1 z 设是刀上的纤维拓扑空间，投射尸是闭的，称是纤维闭的 定义1 2 ：设j 是占上的纤维拓扑空间，投射尸是开的，称j 是纤维开的 定义1 3 z 设z ，都是刀上的纤维拓扑空间，投射分别是p , q ，若纤维映射 妒：j 专，满足：q o 驴= 夕且妒是闭的，称妒是闭纤维映射 定义1 4 ：设z ，都是bi - _ 的纤维拓扑空间，投射分别是p , q ，若纤维映射 妒：j 专，满足：q o 爹= p r 妒是开的，称妒是开纤维映射 定义1 5 ：设是彦上的纤维拓扑空间，若v b eb ，以，z 一存在z 的邻 域不包含，或者存在z 7 的邻域不包含z ，则称z 是纤维兀的 定义1 6 ：设z 是彦上的纤维拓扑空间，若v b eb ，眠也，z ，存在z 的邻域不包含，且存在石的邻域不包含z ，则称j 是纤维石的 定义1 7 ：设局黾彦上的纤维拓扑空间，若v b eb ，v x , we 以，z ，在j 中 辽宁师范大学硕士学位论文 存在以，的不交邻域形矿，则称彤是纤维互的 定义1 8 ：设j 是刀上的纤维拓扑空间，若v b eb ，坛以，对于在j 中的点z 的任意邻域矿，在彦中存在点b 的邻域且在以中存在点z 的邻域，使得易n 矿 包含在中，则称彤黾纤维正则的 定义1 9 ：设j 是刀上的纤维拓扑空间，若v 6 彦，对于z 中任意两个不交闭集 h , k ，在b 中存在点扫的邻域，使得在j 中存在易n 口，易n 石的两个不交邻 域以，则称x 是纤维正规的 定义1 1 0 ：设z 是刀上的纤维拓扑空间，比以，其中6 b ，r 为z 在，中的邻 域族，若z 的任意邻域以，存在r 中一元素矿和彦中彦一邻域，使得易n v c 以， 则称r 是纤维拓扑空间臃z 点处的纤维邻域基 若r 可数，则称纤维拓扑空间z 在z 点处有可数纤维邻域基 定义1 1 1 ：设艉彦上的纤维拓扑空间，任意乃刀，对于以在中的任意开覆盖 r ，存在刀中6 的某邻域和f 的可数子覆盖r ，使得r ，覆盖以，称纤维拓扑空间 z 有纤维林德洛夫性 定义1 1 2 ：设是刀上的纤维拓扑空间，上在每一点处都有可数纤维邻域基，则 称纤维拓扑空间z 满足纤维第一可数性公理，或称纤维拓扑空间腮纤维第一可数的 拓扑空间z 是第一可数的，任意底空间刀上的纤维拓扑空间j 一定是纤维第一可 数的 定义1 1 3 ：设j 是彦上的纤维拓扑空间，的开子集族托 走，满足： ( 1 ) 任意z 中一点z ，至少存在 兜，中的一个元素彳包含z 这点 ( 2 ) 对于z 的任意邻域以，都存在“ 走，中的一个元素彳和基底刀中西( 6 以) 一个邻域，使得易n a c 以 ( 3 ) 对于 彳 定，中的任意两个元素4 ，4 ，4n4 中的任意点z ，都存在“ 患，中 纤维超空间的可数性 的一个元素4 和曰中乃( 彦五) 一个邻域，使得厶n 4c 24r 、4 ，则称 彳) 走， 是纤维拓扑空间的纤维基 定义1 1 4 若纤维拓扑空间具有可数纤维基，则称纤维拓扑空间满足纤维第 二可数性公理或称纤维拓扑空间z 是纤维第二可数的 显然纤维第二可数性一旦满足，纤维第一可数性一定成立 2 纤维超空间的第一可数性 2 1 纤维超空间的纤维第一可数性 定义2 1 1 ：设j 是b 上的纤维拓扑空间，若对于刀中的任意点历，j 中任意与 j 巳交不空的紧子集彤，存在包含i 的j 中可数个开集 ：。使得：j 中任意包含足 的领域，存在占的邻域及 以 二使石c 以r 、cv ，则称腥纤维紧集第一 可数的 定义2 1 2 ：设是刀上的纤维拓扑空间，夕是z 到刀上的纤维投射，若q 与 “功都赋予某种拓扑使歹连续，则称d 是上的纤维超空间其中歹定义如下： 歹：d 专“功 髟h 朋 d 却和印) 都赋予有限拓扑时，易证歹连续 下面我们都假设d 与“功赋予有限拓扑 定理2 1 3 ：设j 是彦上的纤维拓扑空间，d 是d 功上的纤维拓扑空间，若 d 在d 功上是纤维第一可数空间，则j 是纤维紧集第一可数的 证明：任取b e b ，取z 中与以交不空的紧子集k ，则有k ed 神因为d 神在 一4 一 辽宁师范大学硕士学位论文 d 功上是纤维第一可数空间，则存在d 中的可数个开邻域 以 ：。，不妨设 玩= ( ，) ，其中( = 1 ，色)是中开集令圪= u 2 ，则 巧( 力= 1 ，2 ，3 ) 是包含眉的开集设g 是包含的z 中任意开集，则有石( 回那么存在 是。及尸l 卅的邻域( 叨( 其中爿卅c ，是钟开集) 使 c ( 叼r 、c ( 谚 则丘互易n 形cg ( 是刀中邻域) ，所以j 是纤维紧集第一可数的 定理2 1 4 ：设艉刀上的纤维拓扑空间d 是d 功上的纤维第一可数空间，则 的每个紧子集是可分的 证明：因为d 却是d 功上的纤维第一可数空间，则易见d 是第一可数空间 由文献 1 引理4 可知：z 的每个紧子集是可分的 定理2 1 5 ：设z 是b 上的纤维拓扑空间，是纤维紧集第一可数的，且每个紧子 集可分，则d 神在d 功上是纤维第一可数的 证明：任取d 功中一点e ，任取刀的纤维能上一点丘因为肿每个紧子集 都是可分的，则在j 中存在石的可数稠密集 ：彬磅设( 蠢) = 气则气4 畅功 因为是紧纤维第一可数的，则z 是纤维第一可数的，对于任意乞，因为， 则存在在中的可数纤维邻域基 巧k ) ：厅以，由于紧纤维第一可数，则对气， 存在j 纯j 中可数纤维邻域基 髟：i e 册，令y = 形0 。) ：朋奶设y ，：，是，中全 部有限子集构成的集族对于n ，令 ，蟛) = x c f x ) ：g co , ，v v ey ，k r 、r d ，则，杉) 是d 却中包含髟的开集 下证形) ：州是髟在d 中纤维可数邻域基设彤( 蟛，形) 其中形为中 开集，则石匕u 兰。形且髟r 、形妒( ，= l ，2 ，功，由j 紧纤维第一可数，则存在免的邻域 纤维超空间的可数性 么及中开集够 钐：，朋使k c 够广、& cu 形因为丘n 形，则存在聊 及整数缸，) 使得： ，) k j n 饭c 形， 则 ( ，) ：，= 卜，嘲= y ，臼，加易见足) ，) nd 却( ) c ( 厮，形) ，则d 是纤维 第一可数的 下面研究d 神的子空间的纤维第一可数性 定理2 1 6 ：设是b 上纤维拓扑空间，j 是纤维紧集第一可数的，j 的任意紧子 集是可分的，若彳是z 的子空间，则反句作为d 却的子空间是纤维第一可数的 证明：先证彳作为z 的纤维子空间是纤维紧集第一可数的任取6 b ，k 是彳中与 4 交不空的紧子集因为彳是z 的子空间，则髟是j 中的紧子集因为z 是紧纤维第一 可数的，则存在k a ：j 中的紧可数邻域基 职 ：。，彳中任意包含的开集口n 彳( g 是z 中开集) 那么k cg ，则存在6 的邻域及玩 玩 二使得：z c 厶n 亿cg ， 则石c 易r 、( 以r 、句cg n 彳，则彳是纤维紧集第一可数的，对于彳中任意紧子集墨 则j 弛是j 中紧子集，则眉是可分的则由定理2 1 5 可知d 矽是纤维第一可数的 下面研究纤维第一可数空间的可乘性 定理2 1 7 ：设彤( ，= l ，2 ) 是刀上的可数个纤维拓扑空间若杉( ，= 1 ，2 ) 是纤维紧 集第一可数的，且彤的每个紧子集是可分的，则d 彤) 是d 功上的纤维第一可数 空间 证明：因为z ( ，= 1 , 2 ) 是纤维紧集第一可数的且z 的每个紧子集是可分的则由 定理2 1 5 可知d 彤) 是d 功上的纤维第一可数空间( ，= l ，2 ) 下证兀删d 杉) 是纤维第一可数空间任意( 髯) “占) d z ) ，办k 】- f “功， 一6 一 辽宁师范大学硕士学位论文 髯q 彤j ，由于q 彤j 纤维第一司效，则征q z ) 中存在髯的司数纤维邻域基 y _ ，) 名t ， ( 鬈) 的任意邻域，不妨设垂和) 童。d z ) ，则有： t ( ，功， x j q x , x ：- 斌 则存在f 的邻域彬及，使髟d 彤) 竹n y 。c ( ，刀) ，令= 刍彬，则是f 的邻域 阮) d 杉) ) ，n ( 垂y 钆x 垂y l 荆毗) ) 而l e - i 却，荆，妻，删毗) ， 则 垂) ，钆d b ，童i - i 。删“杉母以刀= l ，2 ，) 是( 髯) 的可数纤维邻域基，则) d z ) 是纤 维第一可数的 。 定理2 1 8 ：设彤黾刀上的纤维拓扑空间，d 却是d 功上的纤维第一可数空间， d 功是第一可数空间，则彤黾弗雷歇空间 证明：因为d 是纤维第一可数的，由定理2 1 6 - f e ，z 是纤维第一可数空间， 又因为砌) 是第一可数的，由文献 i 中引理4 ，则彦是第一可数空间根据文献 2 中 定理3 2 1 可知：黾弗雷歇空间 推论2 1 9 ：d 是纤维第一可数空间，d 功是第一可数空间，则z 是列行空间 证明：由定理2 1 7 及弗雷歇空间是列行空间易得 引理2 1 1 0 = 和只黾曰上的纤维拓扑空间，如果f ：x - - y 是连续的纤维映射且 图2 1 可交换，则：d 却专d 力也是连续映射，且图2 2 可交换 k - a 4 纤维超空间的可数性 f x y 反 图2 1 图2 2 证明：任取刊中基本开集( “，以) 一8 一 d 动 辽宁师范大学硕士学位论文 冰“，以) 】 = 巾句：州”，以) ) = u 髟：a 4 s 壹够，爿明r 、髟妒, i = 1 , 2 , - - - 母 = u 髟：髟扩阿】 ， n 厂1 眇】如= 1 ，如矗 由于连续，则易见孤“，妃) 】是d 中开集则夕连续下证交换性：摇d 力 q o 确= 矿。刷= 刺= 彳幻，则q o f 一：多故图2 2 可交换 定理2 1 1 1 = 若z ，是彦上的纤维拓扑空间，映射厂d 专d 力定义见引理 2 1 1 0 ，且图2 i 可交换，d x ) 是纤维第一可数的且对j 中每个收敛于z 的序列 z 腱肛有杪k ) l 。以收敛于州则是连续映射 证明：因为d 神是纤维第一可数的，所以是纤维紧集第一可数的则z 是纤维 第一可数的由已知k 。以收敛于z ，则扩乜) l 。肌收敛于久力则根据文献 2 中定理 3 2 3 可知厂连续由引理2 i 1 0 ，则7 连续且图2 2 可交换 2 2 纤维超空间的纤维第一可数性与纤维分离性之间的联系 弓i 理2 2 1 lz 是刀上的纤维拓扑空间，刀是离散空间，则艉纤维乃的当且仅当 d 力是纤维互的 证明： v c e “功，d f = d 力：爿卅= 口，蝎，正d 幻f ，不妨设 钙妒，则可取z 墨五由于刀是离散空间，且是纤维互的，易证存在j 中开 集以使得：石以置c 且n 矿= 9 i ，则局【，明，五乃，【，明n 乃= ，则 纤维超空间的可数性 d 力是纤维五的 反之：v 6 b ，弘吒以则k ，k 以，则k ，k “) 由于d 却是纤 维互的，则存在“习中开集乞，么使：k ，k 么且么厂、么= ，则 q ，五g 且qng = 6 ，则j 是纤维五的 定理2 2 2 - 设j 是刀的纤维空间，刀是离散空间，d 却是纤维第一可数空间， v b eb ，也中的序列至多有一个极限，则d 是纤维互空间 证明：因为d 力是纤维第一可数空间由定理可知j 是纤维第一可数，又因为 v 6 b ，也中序列至多有一个级限，可知z 是纤维互空间( 由文献 2 定理3 3 2 ) 在 由引理2 2 1 可知d 是纤维互的 推论2 2 3 ：设艉刀上的纤维空间，彦是离散空间，d 是纤维第一可数空间则 v b eb ，五中序列至多有一极限当且仅当d 却是纤维互的 定理2 2 4 ：设j 是b 上的纤维拓扑空间，j 是纤维紧集第一可数的纤维石空间且 z 的每个紧子集都是可分的，则d 的每个单点集是瞑集 证明：因为艉紧纤维第一可数的，且j 的每个紧子集可分，则d 力是纤维第一 可数的又因为z 是石空间，则2 z 是石的( 由文献 3 中定理4 9 2 ) 则d 神是石的则 d 埘的每个单点集是仁集 定理2 2 5s 设j 是刀上的纤维互空间，彦是离散空间，若d 是纤维第一可数 空间，则j 是石空间 证明：因为d 却是纤维第一可数空间由定理2 1 5 ，可知z 是纤维第一可数空间对 于z 中非闭子集彳，取z 才彳，设爿力= 乃，设彬 ：。是z 的可数纤维邻域基( 不妨设 辽宁师范大学硕士学位论文 c 形，= 1 ，2 ，) ，则对杉 形蒎。，存在乃的邻域及 形 ：。使z n 亡鬈 取n ，对于类似存在彦的邻域及彬 使：n c 厂、 取屯n ，得kl 地且。厂、c n z 易见z t i m 气，令 髟= k 匕u 埘，则髟紧， 觚石= 而 ：。不闭则是量空间 一l 卜 纤维超空间的可数性 3 纤维超空l 司的第二司数性 3 1 纤维超空间的纤维第二可数性 定理3 1 1 ：设j 是刀上的纤维拓扑空间，若d 力是纤维第二可数的当且仅当 是纤维第二可数的 证明：因为d 神是纤维第二可数的，则存在可数纤维基 ( 印，明) 艺。记为由 纤维第二可数定义有： ( 1 ) v e d ，存在( 研力，明) 使e ( 可。，吲) ，又因为v z z ， 协州，则存在( 卯，掣) 使得：协( 可力，础) ，则有z 圣拶 记，) ：天删，则有z 沙) ( 2 ) 对于z 在d 力中的任意邻域如，都存在( 卅，唆) 及爿司= f 在d 功中 的邻域，使d 却，广、( 研d ，) c 对于z 的任意邻域以，则 矗( 以) ，爿力= 彦， 则协d 动则存在( 巧力，掣) 及侈 在d 功中的邻域( 功( 6 w ) 使得： 乱琅功r 、( 印，) c ( 以) ，则易n c 配 ( 3 ) v e ( 研刀，咄) n ( 研。，碍) 设夕阁= c ， 则存在 c 在d 功 中的邻域及 ( 巧引，础) 使 e e ( 砰，唆) n 州，c ( 掣，嘴) n ( 研o ，嘴) ，则觇洲r 、力设 众力= 易，则有 斟( 掣，咄) 厂、( 研d ，叼) ，则存在 砖的邻域( 功及易及 ( 研，蟛) 使 似( 砰，唆) r 、嘲叼( 掣，蟛) n ( 研。，叼) ， 则z 泸) r 、兄c n 由纤维第二可数定义可知： 辽宁师范大学硕士学位论文 ，：= 圣( ，) ，( 钟) ，硝) 0 是z 的可数纤维基，则艉纤维第二可数的 反之，因为z 是纤维第二可数的，则存在可数纤维基臼援。 ( 1 ) v e ed ，v x e ，存在4 彳拦。使z 4 ，则 4 。f 覆盖e 由于z 紧， 则存在有限子覆盖 彳句， ，则占 ， ( 2 ) 任意z 掣，掣 ( 其中矽( = 1 ，吩) 4 ：。) ，爿卅= c ，则z 壹掣 易见任意z z ，存在掣注。，使z 掣设刖= 扫，由于爿纤维第二可数，则存 在易的邻域形及4 托艺。使得：z 4n c 群， 砺k f 覆盖g ，由于f 是刀中 紧子集，则存在有限子覆盖坛， 令= u u ，则c e ( 功， z s 匕4 ) n 以c 未掣，由于 4 ) 。f 覆盖z ，f 紧，则存在有限子覆盖翻，) ， 则有：z 矽) n 以c 壹矽，z ( 尸，) r 、州。即c ( 掣，) - c 3 ，若z ( 掣，掣) n ( 掣，掣) ，设蒯= f ，则有：z ( 壹掣) r 、 易见v z z 存在掣弛涩，及掣使z 掣n 设刖= 彦，由于_ 智 维第二可数，则存在b 的邻域形及4 4 ：，使得：z 4n c 掣n ， 况) 知f 覆盖g 由于f 是刀中紧子集，则存在有限子覆盖，设为坛， 令 = 呢u u ，则f ( 功，则： 占包4 ) n 厶c c n 障) 由于 4 。f 覆盖z ，而e 紧，则存在有限子覆盖 彳日，掣j 则 纤维超空间的可数性 z s ( 矽) n 以cc 壹矽，n ) ， 则： z ( 彳功，) r 、d m 功c ( 掣，管) n ( 彳力，) ， ( 功是f 的邻域由( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 可知 ( 4 ，4 ) ：4 a y ，后= l ，习是d 的可数纤维基 则d 问是纤维第二可数的 首先讨论纤维空间的子空间的纤维第二可数性 定理3 1 2s 若z 是刀上的纤维空间，彳是z 的纤维子空间，若j 是纤维第二可数 的，则d 动作为d 的子空间也是纤维第二可数的 证明：因为j 是纤维第二可数的，由定理3 1 i ，可知d 是纤维第二可数的 设= ( 掣，础) 艺。是d 力的可数纤维基， ( 1 ) 任意z d 力，则e 州，则存在( 趔，吲) ，使z ( 印，咄) ， 则有：z ( 硎，明) n 剥 ( 2 ) 任意z nc ( 矽，爿司= c ( 是岔在d 却中的邻域) ，存在f 的邻域矽及 ( 巧，唆) ，使z ( 础，k ) nd 幻，c 纷，则 刀( ：砰) ，2 ) n c ) n f ，c nd 句 ( 3 ) 任意z ：印，础) 厂、“句) n 删，咄) r 、“句) ，存在f 的邻域矽及 ( 研，蠼) ，使得： 刀( 砰，嘴) n 州，c ( 印，瑶) n ( 掣，础) ， z ( ( 砰，咣，) r 、“句) nd 句，c ( 印，破，) n “句) r 、( ( ，咄) r 、d 纠 辽宁师范大学硕士学位论文 则 ( 醇，掣) r 、a 句曩。是d 力的可数纤维基，则d 卅是纤维第二可数的 定理3 1 3 ：若z 是曰上的纤维拓扑空间，若z 是纤维第二可数的，则d 神的任 意纤维子空间是纤维第二可数的 证明：由定理3 1 1 ，类似定理3 1 2 可证 再来研究纤维超空间的积空间的纤维第二可数性 定理3 1 4 - 若x ( = i ，2 ，刀) 是彦上的有限个纤维第二可数空间，则，、q z ) 闽，1 硒 是d 曰) 上的纤维第二可数空间 f 证明：因为z 是彦上的纤维第二可数空间，由定理3 i 1 ，可知“髟) 是d 功上的 纤维第二可数空间下证珥。“z ) 是d 功上的纤维第二可数空间设 a ； 二是d z ) 日a 研 、。 7。 的可数纤维基， ( 1 ) 任给磊d z ) 中的一点( 髯) ，设尸i z 】= c ，则髯q z ) ，= l ，2 ，刀，则存 在a 夕 a 夕) 二使局a 夕，那么( 髯) 垂a 夕 ( 2 ) 任给( 鬈) 垂“功d z ) ，尸k 】= c ，对( 鬈) 的任意邻域，不妨设为垂a ，则有 髯a 由于d 彤) 是纤维第二可数的，则存在f 的邻域彤及a ( ， a 夕) 2 。，使得 髟a 夕r 、d z ) 竹ca 办( i = 1 , 2 ，功，则： ( 髯) ( 垂a ，r 、( 垂d 功毗) ，) c 垂a o 其中1 , , i v = n 矽， ，o q ( 3 ) 任给( 鬈) 垂d 研d t ) ，设夕k 】= c ，设( 鬈) ( 垂a ，) 厂、( 垂a 。) ， 则髯a 夕na9 由于氓五) 纤维第二可数，则存在f 的邻域彬及a 夕 a 夕 。使 得： 髟a ，( _ i r 、f 0 0 蜂ca ( ，0c 、a 9 ( ，= lo ) 力， 纤维超空间的可数性 则： ( 鬈) ( 垂删a ，r 、( 垂d 研 ) ，) c ( 垂a ) n ( 垂a 。， 其中= 刍蟛，则 垂a ：a 夕 a 夕) 知，= 1 ，刀) 是垂d 神“影) 在d 功上的可数 纤维基 定理3 1 5 。若 z 是刀上的可数个纤维第二可数空间，则n ，d z ) 是d 曰) 上的 、。 _ l 一口l 7、7 纤维第二可数空间 证明：类似定理3 1 4 定理3 1 6 ：设：局黾刀上的纤维拓扑空间，若d 是d 功上的纤维第二可数空 间，则v 西b ，以是第二可数的 证明：由定理3 1 1 易得 3 2 纤维超空间的第二可数性与分离性之间关系 定义3 2 1 ：z 是猡上的纤维拓扑空间，若z 中任意不交闭集彳，曰，且 爿卅n 朋妒存在b eb 及彦在b 中邻域，及中不交开集， 使 彳厂、以cu , b c 、易c 则称朋蜀纤维正规 引理3 2 2 ：设五，是口上的纤维空间，则丫是纤维正则的当且仅当d 是纤维正则 的 证明：任意k ed ，设爿：斛= c ，设( 戤，以) 是髟的邻域，令= 虽以，则 石量u v x e 石设刖= 彦，则6 c 由于j 纤维正则，则存在6 的邻域形及z 的邻域圪，使 z 瓦n c u ， 则 巧 。f 覆盖髟且 形) 彦节似。f 覆盖f 因为藤，则存在有限子覆盖 砭，乞) 辽宁师范大学硕士学位论文 因为f 紧，则存在有限子覆盖 ， 取么，气在石中的对应点的邻域 ，么，记k ，么 为 v l ，圪 ， 巧，圪 是的邻域，则 肖壹矿n 易c ，其中= ，则： f ( 功i ( 露，露) 厂、d 以即( “，) ， 则： k e 以巧，巧) nd 以) ( “，) 由纤维正则定义可知，d 力是纤维正则的 反之，若d 力是纤维正则空间，则坛以p 功，有d 神且尸嗍= 协 设是z 的邻域，则 囊( 由于d 神纤维正则，则存在移 的邻域( 功( b e 功及协 的邻域( 巧，巧) ( 巧，圪为x 中开集) 使得： 矗o 吆巧，圪) ) 厂、d ( 矿) c ( 印， 则z ( 当矿) n 以c 令= 壹形，则有z 矿n 以c 是z 的邻域，是彦的邻 域，则j 是纤维正则的 定理3 2 3 ：设厂是刃上的纤维空间，d 刃是“功上的纤维正则的纤维第二可数 空间且彦是离散空间，则是纤维林德洛夫空间 证明：由于d 是纤维正则的，则由引理3 2 2 - j - 知j 是纤维正则的又因为d 神 是纤维第二可数的，由定理3 i i ，j 是纤维第二可数的任取彦b ，设 配 穗j 是以 的开覆盖，由定理3 1 6 可知以是第二可数的，则以以) z 。由文献 4 中定理1 1 1 4 可知，存在 配) 。岛正 以 时，其中i s o l - x 。，使芝妣r 、也) 2 吕( 以n 以) ，则鼽 。岛是 厶的可数子覆盖又因为刀离散，则可取彦的邻域= 移 ，则 彰l 品覆盖易由纤维 纤维超空间的可数性 林德沼天至1 日j 足义，日j 知爿是升维杯德牾天至1 日j 定理3 2 4 ：设z 是刀上的纤维拓扑空间，m ，) 是纤维第二可数的纤维正规空间， 则艉弱纤维正规的 证明：由定理3 1 i 及引理3 , 2 2 可知z 是纤维第一i 可数的纤维正则空间现任取 j 中不交闭集a ，刀令p n = q ，爿刎= g 且仁ng 妒由于j 纤维第二可数，设 膨) 序o o 。是j 的可数纤维基又因为z 纤维正则，则比彳存在形 杉) 及么力= 6 的邻域 使z 况n 名现x b 令“= 芝，则彳n 毛羔圪且瓦n c j 刀 即： 彳n 毛sy 圪且露厂、毛厂、彦= 妒 ( 3 1 ) * 月 同理比刀存在巧彬) 及彦= 么力的邻域，使z 露n 毛cz 彳令= m 呢， ”隹l 则： 刀n 黾 * 圪且瓦n r 、彳= ( 3 2 ) 令u = u , n u , 取b o q n g ，则是磊的邻域由式3 1 得：彳r 、以c 三形 因为 圪 。彳可数，记 圪 。彳为眵p 也，则： 彳n 乃c 刃力，谚铆厂、易) 厂、猡= 妒 ( 3 3 ) 由式3 2 得刀r 、易c 品圪设 巧 。寥为眇墨则： 夕n 乃c 圣形，谚r 、以) n 彳= ( 3 4 ) 令6 ；= 垆、髟矽，够= 矽、x 矽，则：6 ；r 、矽= u 力，则qn 髟2 砂u ，) ， 类似髟n 衫彳= 妒( 力，则髟n 哆= 9 i ( ，) ，则髟n 嘭2 妒g = 1 州2 一令 辽宁师范大学硕士学位论文 g = u e = t j - , ， ，2 l ，1 则g n - = 妒由式3 3 和式3 4 可知， 。 矧。1 1 由弱纤维 a n xr ? c u g ?g 正规定义可知，z 是弱纤维正规的 一1 9 一 b n x 。c u h j = - j 兽1 纤维超空间的可数性 结论 本文对纤维超空间中的可数性的定义及性质给出较详细讨论重点研究了纤维超空 间的可数性与原纤维空间的可数性之间的关系以及纤维超空间的可数性与纤维分离性 等拓扑性质之间的关系但是，本文的研究仅限于d 上的有限纤维超空间拓扑，而对 于只，4 力上其他纤维超空间拓扑的可数性的研究尚未展开讨论，值得继续探究 辽宁师范大学硕士学位论文 参考文献 1 谢琳紧子集空间的半度量与一个度量化定理