（计算机应用技术专业论文）基于物理模型的树木动画技术研究.pdf

摘要 摘要 树木是自然场景中一个不可或缺的组成部分，在世界各地以及平原山 川，到处都覆盖着各种各样的树木和森林，而且随四季变迁呈现不同的景 象，因此对于采用计算机模拟生成复杂自然场景来说，树木的重要性不言 而喻。目前关于树木的动画的工作较少，主要的工作都集中在建模和绘制 方面。本文提出了一种基于物理模型的动画技术，能够逼真而有效的模拟 各种树木在风力及其它外力的作用下的运动效果。 本文对基于物理模型的树木动画的技术进行了研究。首先，结合材料 力学，在综合总结了树木的各种材料特性的基础上，提出一个物理模型， 它能够恰当的表示树木的枝干和叶子，能够体现出树木的形态结构、材料 特性和运动特性，比如，杨氏模量，剪切模量，在空气中的粘滞系数等， 为建立运动模型提供必备的参数，并且这个模型能够容易的从现有的树木 建模系统，如a r b a r o 的结果中提取。然后根据树木受外力时运动的特征，分 别建立了枝干以及树叶在外力作用下的运动模型。把枝干的复杂运动分解 为弯曲和转动，把树叶的摇曳分解为叶柄的摇动，叶面的转动和弯瞌。利 用简单的刚体运动规律和前面的提出的物理模型计算树木的枝条以及叶片 的运动方向，速度，以及最大幅度等等。本文提出的方法不受树种的限制， 可以应用在树木以及植物上，具有较强的适用性，且用简单的代数计算代 替了以往的有限元计算，大大减少了动画生成过程中的计算量，提高了计 算速度，增加了动画的逼真程度。 关键字计算机动画；树木动画：物理模型；模拟；弯曲：转动 。茎坐盔兰三兰堡圭堂堡笙苎 a b s t r a c t t r e e sa n d p l a n ta r et h ei m p o r t a n tp a r to f t h en a t u r es c e n e t h e r ea r ev a r i o u s s p e c i e so ft r e e so nt h ep l a i n , m o u n t a i n sa n da l lo v e rt h ew o r l d t h e yc a nb e d i f f e r e n ts c e n e s 、i t l lt h es e a s o n sc h a n g i n g s oi t ss i g n i f i c a n c en e e d n tt ob e e m p h a s i z ei ns i m u l a t i n gt h ec o m p l e xn a t u r es c e n e sa n dt h ep h e n o m e n ao f n a t u r e a tp r e s e n t ，t h e r ei sn o tm a n yw o r k s0 1 1t h ea n i m a t i n gt h et r e e s ，t h em a i nw o r k a r ef o c u so nt h em o d e l i n ga n dr e n d e r i n g t h i sp a p e rp r e s e n tam e t h o do n a n i m a t i n gt h et r e e sb a s e do nt h ep h y s i c a lm o d e l i tc a nm o d e lv a r i o u st r e e sw i t h f a s ta n dr e a l i s t i ca n i m a t i o nu n d e rt h ew i n d so ro t h e rf o r c e s t h i sp a p e rr e s e a r c h e dt h ep h y s i c a l b a s e da n i m a t i o nt e c h n i q u e so ft r e e s f i r s t ，c o m b i n i n gt h em a t e r i a lm e c h a n i c sa n dc o m p u t e rd a t as t r u c t u r e ，p r e s e n ta p h y s i c a lm o d e lb yi n t e g r a t i n gt h ev a r i o u sm a t e r i a lc h a r a c t e r i s t i c so ft r e e s i tc a n e x p r e s st h eb r a n c ha n dl e a v e so ft r e e sn i c e l y ，c a l le x p r e s st h es h a p e ，m a t e r i a l a n dm o v e m e n tc h a r a c t e r i s t i c so f t r e e s f o re x a m p l e ，t h ey a n g sm o d u l u s ，s h e a r m o d u l u s ，a n dt h ec o h e s i v ec o e f f i c i e n ti nt h ea i r i tc a np r o v i d et h en e c e s s a r y p a r a m e t e rf o rt h em o v e m e n tm o d e l i ti sa l s oe a s yt ob eo b t a i n e df r o mt h e e x i s t i n gm o d e l i n gs y s t e m ，e g a r b a r o t h e n , f o u n dt h em o v e m e n tm o d e lo f b r a n c ha n dl e a fr e s p e c t i v e l yb a s e do nt h em o v e m e n tc h a r a c t e r i s t i c sw h e nt h e y a r eu n d e rw i n df o r c eo ro t h e r f o r c e s d e c o m p o s et h eb r a n c h sc o m p l e x m o v e m e n tt ob e n d i n ga n dr o t a t i o n a n dd e c o m p o s et h el e a f sm o v e m e n tt o t h r e ep a r t s ：l e a f s t a l k sr o t a t i o n , l e a fs u r f a c e sr o t a t i o na n db e n d o b t a i nt h e m o v e m e n t sd i r e c t i o n , v e l o c i t y , a n dr a n g eo ft h eb r a n c h e sa n dl e a v e sb ys i m p l e r i g i db o d ym o v e m e n tr u l ea n dt h ep h y s i c a lm o d e lp r e s e n t e di nt h i sp a p e r t h i s m e t h o di sg e n e r a lu s e dt e c h n i q u e ；i tc a l lb eu s eo nt h em o s to ft r e e sa n dp l a n t s i tr e p l a c e dt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o db ya l g e b r ae q u a t i o n , s oi tr e d u c et h e c o m p u t i n gt i m eo fb u i l dt h ea n i m a t i o n , i n c r e a s et h ee f f i c i e n c y t h em o s t i i a b s t r a e t i m p o r t a n ti st h a ti tc a nm a k ev e r yw o n d e r f u l l yv i s u a le f f e c t k e y w o r d sc o m p u t e ra n i m a t i o n ；t r e e sa n i m a t i o n ；p h y s i c a lm o d e l ；s i m u l a t i o n ；b e n d i n g ；r o t a t i o n i i i 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文基于物理模型的树木动 画技术研究，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读硕士学位期问独立进 行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除己注明部分外不包含他 人已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和 集体，均己在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签字旅杠 晚础萝月确 燕山大学硕士学位论文使用授权书 基于物理模型的树木动画技术研究系本人在燕山大学攻读硕士学 位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归燕山大学 所有，本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位及相关人员。本人完 全了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关 部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权燕 山大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的 全部或部分内容。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密臼。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 粕扣日期：2 0 - o 薛g 聊 隰年彬妒 第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 所谓计算机动画就是利用传统动画的基本原理，结合科学与艺术，突 破静态、平面图像的限制，创造出栩栩如生的动画作品【l 捌。传统动画的制 作是非常精细，也是非常艰苦的劳动，其中的许多步骤只是重复性的，不 需要特别的训练，在实际的制作中，费用也是十分昂贵的【3 ”。在7 0 年代初， 计算机图形技术对图像生成处理提供了支持，计算机动画很自然地成为一 个应用对象，那时的研究主要集中在中间画面的自动生成和变形，研究人 员集中搞真实感很强的景物生成方法以及一些其它方法所得不到的特殊效 果【5 1 。一个计算机辅助制作动画系统与动画师的关系就像文字处理器和文 字作家的关系一样，他们都致力于使用户集中精力从事艺术创造，并减少 创作过程中的繁杂劳动，采用的手法也基本相同，方位的推拉、摇移等基 于摄影的效果【6 7 j 。 安静祥和的雷龙缓慢行走在绿色原野上；凶残暴戾的霸王龙在丛林中 对猎物紧追不舍；灵活的翼龙自由地翱翔在天空中，这一切如此真实， 仿佛回到侏罗纪时代。这一幕来自导演史蒂文斯皮尔伯格1 9 9 3 年的科幻电 影侏罗纪公园，这令人震撼的视觉效果背后是计算机图形技术的淋漓尽 致的应用，由美国i l m ( i n d u s t r i a l l i g h t a n d m a g i c ) 公司完成。该公司从1 9 7 7 年至2 0 0 5 年获得奥斯卡最佳视觉奖提名3 4 次。而今特效的应用越来越普遍， 已经成为一种必需的手段。例如指环王3 ：王者无敌中6 万人的战争场 面，终结者中液态金属变形的全过程，等等。更不要说那些c g 电影了， 如怪物公司中的怪物s u l l y 的毛发和小孩b o o 的t 恤衫效果。这些无不体 现了计算机图形技术的价值所在。另一个重要的计算机图形技术的强力推 动力量是电子游戏。游戏的发展使人们对计算机画面的真实感要求越来越 高，电影级的游戏效果成为人们追求的目标，而且整个游戏过程必须实时 燕山大学工学硕士学位论文 运行。 计算机动画制作过程分为三个重要阶段：造型、运动生成以及绘制8 一。 其中造型和绘制不仅仅是计算机动画独有的问题，而是计算机图形学以及 c a d 等相关学科共同的东西，可以直接利用这些学科的现有成果，可以说 计算机动画的发展与它们的发展息息相关的。经过多年的研究与开发，这 些学科目前已经比较成熟，因此计算机动画里的造型和绘制过程相对来讲 要比运动生成成熟一些【l 叭。现在提到计算机动画的研究主要是指运动生成 方面的研究。 1 2 研究的意义 作为计算机图形学的一个分支，计算机动画是计算机图形学和艺术相 结合的产物，始终处在研究的前沿【1 1 ”2 1 。它是伴随着计算机硬件和图形算法 的高速发展而兴起的一门高新技术，它综合利用计算机科学、艺术、数学、 物理学以及其它相关学科的知识，在计算机上生成绚丽多彩的连续的虚拟 画面。给人们提供了一个充分展示个人想象力和艺术才能的新天地。 在生成计算机动画时，人们不仅要求形象的真实感，也要求运动的真 实感。而真实运动的复杂性往往使得人们难以用一些过程表述，这个时候 只有借助于真实世界的物理规律才能得以体现 1 3 , 14 1 。真实的背后就是物理， 自然界的所有物体都遵循着牛顿运动定律来运动，如果要逼真再现它们， 应用必要的物理以及力学原理是不可避免的。物理定律描述了物体如何运 动、如何动作以及它们之间如何相互影响。基于物理的计算机动画一方面 使得本身体现的现象能充分满足人们对真实的需要，提高整个场景的沉浸 感 1 5 , 1 6 ；另一方面减轻了程序开发人员和艺术家的劳动强度，不再需要脚 本去控制物体【1 ”，不再需要单独去管理每一个细小事件，因为所有的事情 都会按着它本身的性质来完成。这其中包括，物体的材料属性，如密度， 表面粗糙度，硬度，弹性等，刚体动力学和碰撞检测等【1 8 】。然而一方面， 这个世界的有些物理规律本身很复杂，对于现象的物理描述并不是很好， 这些对应的学科发展也尚不成熟，因此在计算机图形学领域里也很难建立 2 第1 章绪论 一个比较完善的物理模型 1 9 2 0 l ；另一方面，即使存在一个模型可供利用， 但离计算机图形学的研究目标不一致，或者由于计算的复杂度，或者于视 觉上的效果并无关系，导致直接应用的困难。这些都使得计算机动画的研 究充满艰辛。另外有些物体如单个刚体的运动，若不考虑碰撞，可以给出 它们运动的严格数学表达式，而对于变形体，如水波、云彩、树木、人体 等，人们无法直接获得它们的运动，只能由通过求解微分方程等手段来获 得 2 1 捌。更为严重的是，有些物体如人体等至今尚未有有效的物理原理可 资利用，这就更增加了动画实施的难度。但是，如果不采用必要的物理原 理，将无法生成它们的动画。因此，基于物理的计算机动画技术是目前计 算机动画领域的研究热点田l 。对于基于物理的计算机动画，绝大多数成功 的工作都集中在块状物体、橡皮、衣物、纸张、旗子等，比较逼真地模拟 了它们的各种物理行为诸如刚体运动、弹性、塑性及断裂变形，碰撞问题 等等口4 】。但是，所有这些物体的结构、外型都是简单的。更进一步，对于 拥有复杂结构和外型，尤其是植物、树木一类物体，很少有人在这方面做 专门的工作p 1 。 树木是自然场景中一个不可或缺的组成部分，世界各地，在平原山川， 到处都覆盖着各种各样的树木森林。它是一种多分枝柔性系统，而且随四 季变迁呈现不同的景象，因此对于采用计算机模拟生成复杂自然场景来说， 树木的重要性不言而喻。近年来人们花了很大的精力来研究探索用计算机 来构造和描绘树木的方法并且取得了很大的进展。但是，这些成功的工作 仅仅是限于研究领域，在绝大多数应用领域，如广告、电影、虚拟现实中， 纹理映射仍然是描绘树的主要手段，树的动态模拟更是很少涉及【2 6 2 7 1 。而 树木的各种动态效果不仅在电影特效制作中得到广泛应用，在新的一代电 子游戏中也正逐渐普及起来，因此，研究基于物理的模型的树木动画将具 有广阔的应用前景。 1 3 本课题国内外研究现状 现有的树木动画技术主要分为两类，即基于过程的方法和基于物理的 燕山大学工学硕士学位论文 方法。 1 9 9 7 年o n o 利用递归过程函数构造整棵树，并利用弹簧质量模型计算 树的变形，其中湍流风场由p e r l i n 噪声函数得到【1 3 1 。 1 9 9 7 年j o n e s 等则采用l 系统构造树的模型，并基于数据场空问计算风 的衰减，再根据过程变形模型算出树枝的变形1 1 4 j 。 1 9 9 9 年s a k a g u c l l i 等人根据真实照片来获取树的数据场表达，再利用简 单的分支规则生成树枝，然后在变形计算中先计算每段树枝的变形进而组 合得到整棵树的动画1 引。为了高效地计算风的作用，s a k a g u c l l i 采用数据场 方式来表示树周围的风场并以此计算风力。 以上都是基于过程的方法，这些方法往往采用递归结构对树进行建模， 并多采用过程函数来描述风场。尽管它们简单易用，但需要进行大量的参 数调整，不便于处理复杂树的模型。 基于物理的方法有如下几个。 1 9 9 2 年s h i n y a 利用随机理论通过积分运算计算树在风中的变形。 1 9 9 7 年s t a m 通过在频域空间对白噪声进行滤波得到湍流效果，然后采 用有限元模态分析的方法来计算枝条的自振频率，从而得到风力作用下枝 条的振动效果【3 j 。 为了提高计算速度又有很好的物理性质，2 0 0 1 年g i a c o m o 采用了基于 过程和基于物理两种方法来实现树的动画，且只在近距离观察树时才使用 费时的后者。但所有这些方法所处理的模型，其规模局限在几千个面片以 内。显然，这不足以体现足够的细节以获取高度真实感，并且往往将整个 树枝作为一个控制单元来进行变形计算，降低了变形计算的精度。 2 0 0 3 年l m s c a r l o s y a n o e n d o 等人提出了反向恢复力的概念，从而利用 相应的约束方程和简单的物理运动方程实现了实时的灌木模拟，但是还不 能很好地实现树木的运动模拟【6 j 。 为了实现复杂树的动画，中科院软件所的吴恩华研究员等人提出基于 图像的方法从真实照片中抽取树的骨架，并基于此重建树的三维模型，他 们通过对主要枝干的变形采用非线性力学方程组积分的运算，对摇摆的枝 条变形采用波动方程求解，获得了整棵树的变形。 4 第1 章绪论 1 9 9 9 年他的博士生冯金辉实现了杨树的动画【1 0 】，2 0 0 5 年柳有权则实现 了柳树的动画。但这种方法都是依据复杂的力学分析原理，需要解大量的 偏微分方程和波动方程，计算开销很大并且需要预先做出一定的假设，因 此其适用性也有一定的限制【9 】。 1 4 本文的主要内容及结构安排 本文讲述了基于物理模型的树木动画技术研究的整个过程。重点研究 了如何构造一个能够恰当表示树木的枝干和叶子且能够体现出其形态结构 以及材料性质的物理模型，和这个物理模型在各种不同外力( 主要是风力1 作用下的运动模型。从设计以及实现都做了详尽的分析，最后通过原型系 统的结果来证明本文提出方法比前人方法的进步之处。 第1 章绪论介绍了课题的背景、研究意义以及国内外的研究现状等。 第2 章讲述了在材料力学基础上结合计算机动画技术对自然界中树木 的枝条以及叶子进行抽象，以构造一种能够体现其本身各种材料性质的物 理模型。 第3 章深入分析了自然界中树木最主要的外力来源，风力的本质以及性 质，并研究了如何用计算机的手段来模拟风力。除此之外，还套路了其它 外力的表示方法。 第4 章介绍了分节物体运动的几何表示和普遍的运动规律，并在此基础 上分别对树枝和树叶在外力作用下的运动方式进行了描述。 第5 章讲述了利用前面提出的物理模型和运动模型生成树木动画的各 个方面。 燕山大学工学硕士学位论文 第2 章树木的物理模型 2 1 材料力学基础 材料力学( m e c h a n i c so fm a t e r i a l s ) 研究的是作用于构件的载荷与其产 生的内效应( 内力，应力) 和变形之间的关系。对于各种植物以及树木的枝 干，它们是建筑材料的一种主要来源，因此它们符合材料力学的假设且在 受到外力作用时所发生的变形，也遵循相应的变化规律。 在材料力学中有如下定义：对于一个柱形物体，若所受力或力矩的方 向与其轴线垂直，则称之为梁；若所受力矩与轴线平行，则称之为杆。另 外若所受力与轴线平行也称为杆，但因为此时结构只有伸长和压缩变形， 而我们假定树枝不可伸长，所以我们不考虑这种变形形式。对于单根树枝， 不论是其重力还是风力，它们作用的平面均在重力或风力与树枝轴线所组 成的平面内，因而树枝从力学的角度讲是一种梁，而且可以归结为悬臂梁， 如图2 1 所示。 梁一端固定在墙壁上，另一端自由，梁的轴线将在与外力组成的平面 内运动；同时树枝间的相互作用还会使树枝产生扭转变形，这时树枝可以 归结为杆件。因为本文所采用的算法可以同时处理弯曲和扭转，我们就不 再区分这两种变形形式，一并称之为杆。考察其运动必然要涉及到其受力 分析，现把有关概念和理论作一下简要描述。 图2 1 悬臂梁 f i g 2 - 1c a n t i l e v e rb e a m 在力和力偶的作用下，梁内产生应力，般有正应力，也有剪应力， 正应力方向垂直于横截面，剪应力作用在横截面内。 6 第2 章树木的物理模型 2 1 1 弯曲变形 弯曲作用在杆件上的载荷和支反力都垂直于杆件的轴线，变形时杆件 相邻横截面各绕其横向轴转动，产生相对角位移，杆件的轴线由直线弯成 了曲线。梁的变形主要是弯曲变形，即梁在中心线其与载荷决定的平面内 弯曲转动。对于弯曲，显然，梁的上半部分伸长，下半部分压缩，中间存 在一个面，在该平面内没有变形发生，称之为中性面。正应力在中性面上 下两侧的方向是相反的，这样正应力相对于中性面就相当于一系列力偶， 这些力偶的和称之为梁的弯矩。弯矩引起梁的弯曲变形，它在梁的变形中 起主导地位( 一般梁的伸长很小，均可忽略，对于树枝，我们也假设其只有 弯曲，没有伸长) 。研究表明，以中性面上一点为原点，梁的轴向为x 轴，梁 内正应力的分布呈线性，现设其表面处最大正应力为盯，则梁内部任一点 的正应力为- c r y ，这样正应力形成的弯矩为： 向 m = r 缈y d 4 = 2 r 口仃y 3 d y = 和3 = 甜( 2 - 1 ) 式中门尔之为抗弯截面模量，它只与梁的横截面有关，表征了梁抵抗弯曲 的能力。对任意形状截面： ，= s y 2 d a ，= p 2 d a ( 2 - 2 ) 分别是相对于x 和y 轴的截面二次矩( 轴惯矩) 。梁受力后发生弯曲变形，称 位移y 为梁的挠度，挠度是x 的函数，称为挠度曲线y ) 。研究表明，对于梁， 设其弹性模量为e ，抗弯截面模量为i ，在x 处弯矩为m 贝j j y ( x ) 满足： 日掣：m( 2 3 ) d 。x 这样，解方程即可得到挠度曲线，也就是梁各点的位移。 2 1 2 扭转变形 受扭杆通常称为轴。变形特征是各轴线垂直，各横截面绕轴作相对转 7 燕山大学工学硕士学位论文 动。扭矩可根据静力平衡方程求出，但由于其截面各点扭转剪应力不相同， 不能利用静力学方程( 横截面各点应力的合力等于内力) 确定圆轴横截面扭 转应力，要综合几何、物理和静力学三方面求解。 2 1 3 典型结论 端部受集中载荷时其形变规律由式( 2 4 ) 决定，如图2 2 所示。 y = 击( 等一孚) ( 2 - 4 ) 图2 - 2 端部受集中载荷 f i g 2 - 2l o a d e do nt h ee n d 受均布力作用时，会在力的作用下产生一定的弯曲， 以通过式( 2 5 ) 计算得到，如图2 - 3 所示。 y = 击( 等一云( h ) 4 _ 孚x )j ，2 面【百一面吖) 。了x j 其大小和方向可 ( 2 5 ) 图2 3 受均布力载荷 f i g 2 - 3l o a d e do r lt h ea l lb e a m 端部受力偶作用时，如图2 - 4 所示。 y = 一丝2 e l ( 2 - 6 ) _ 8 第2 章树木的物理模型 图2 - 4 端部受力偶 f i g 2 - 4c o u p l el o a d e do nt h ee n d 当梁受到与其轴线平行的力偶作用时，如图2 5 所示，梁将发生扭转变 形( 在材料力学里通常称之为杆) ，用扭转角来表示，在杆上任意一点x 处的 扭转角大小可以通过式( 2 - 7 ) 计算得到： 日= 面t x ( 2 - 7 ) 图2 5 端部受平行力偶 f i g 2 - 5p a r a l l e lc o u p l el o a d e do nt h ee n d 式中丁为力偶( 这时称为扭矩) ，g 为剪切模量，助截面扭转模量( 也称极惯 矩) ，与弯曲截面模量对应，同表示为： ，= f ( x 2 + y 2 ) 幽 ( 2 8 ) 对于其他复杂加载形式，均可以把它们分解为以上加载形式的线性组 合，因而最终挠度曲线也是上式的线性组合。 2 2 树枝的物理模型 树是一种复杂的自相似结构。熟悉数据结构的人们都知道在数据结构 9 燕山大学工学硕士学位论文 理论中树( d a t as t r u c t u r et y p eo f t r e e ) 是一种很重要的数据类型。而这正是 借用了天然树木的结构特点。这种自相似的结构特点使得它便于用计算机 来表示，这一点但是，树的物理性质却比较复杂。而且不像钢铁等为人们 所熟知的工程材料，因为人们对工程材料已进行了长时间广泛的研究，获 得了大量的有用资料。而木材则缺乏必要的研究，因为对现代工程来讲木 材除了可以用作制造家具外别无用途，对于新鲜的树枝尤其是小枝可以说 根本没有人研究过它1 2 8 1 。这样，我们对树做动态模拟是可资利用的资料很 少，这无疑增加了问题的难度。对于树的各个部分，从主干到树梢，物理 性质的变化相当剧烈：主干的弹性相当好、承载能力很强；小枝则稍有风 吹即可来回摆动。主干硬度也相当大，而对于像柳树末端枝条这样的树枝 则柔如绳索。主干与末端枝条的杨氏模量可以相差好几个数量级；另外主 干一般都是很粗的，而枝条则可以很细。还有树叶，有些基本上相对其母 干不动，有的则有可能作相当激烈的震颤( 如杨树叶) 从运动的尺度来考察， 树的主干在肉眼可见范围内基本上是不动的，从主干到末端，运动的程度 越来越大。像柳树的末端枝条，在风的吹动下甚至可以从低垂状态转变到 呈水平状飘舞，宏观上观察枝条的转动角已经大于9 0 度1 2 9 1 。随着运动尺度 的变化枝条各部分运动的性质也发生了本质的变化：即从线性运动过度到 非线性运动。所谓线性运动是指运动的幅度与所受的外载荷成正i z ( 线性) 。 与线性运动相反，非线性运动是指运动的幅度不再与外载成正比，而是一 种相当复杂的关系，有些关系甚至至今还不为人们所掌握。对于线性运动， 目前人们已经充分掌握了它们的规律，而且可以非常准确地计算出来。例 如桥梁在受载时的变形，用有限元等数值计算方法可以有效地进行计算， 许多商业软件都可以提供这种功能。对于树木，主干以及与之紧邻的一些 较为粗壮的分枝都属于线性运动范畴，因而可以使用商业软件直接进行计 算。不幸的是，尽管计算结果非常准确，运动的尺度却都不为人眼所觉察。 所以这对计算机动画来说毫无意义。 我们知道函数都可以用泰勒级数的形式来表达，线性运动相当于泰勒 展开的一次项( 零次项表示刚体运动) ，线性运动并非不含高次项，只是高 次项相对于一次项来说是无穷小量，可以忽略罢了。当运动的幅度增大到 l o 第2 章树木的物理模型 一定程度后( 从计算机动画来讲，直观理解这种程度就是指足够大，能为人 眼觉察) ，高次项的影响将不能忽略1 3 0 , 3 1 1 ，于是线性运动转换为非线性运动。 非线性运动的求解远不如线性运动成熟。对于非线性运动可以说没有哪一 种方法是完全有效的，无论线性还是非线性，目前只有通过数值算法求解。 用于线性运动求解的算法性能稳定，精度高，而对于非线性运动，因其非 线性性质往往导致数值求解算法方程病态、不收敛、精度差等。总之求解 非线性运动是一件相当困难的事。 2 2 1 树枝的基本物理性质 鉴于树的性质是如此的复杂，对其作一些简化是必要的。从计算机动 画角度考虑，我们没必要追求物理上的精确，只要达到物理上的真实即可。 基于此，我们作如下假定。 ( 1 ) 枝条是各向同性的弹性材料不考虑塑性变形( 塑性变形意指变形 后不能回到原始状态) ，不考虑树枝被风吹断等极端情形。 ( 2 ) 风力呈均布力作用于枝条上与枝条半径的平方( 相当于横截面积) 成正比，落在树叶上的力一并通过枝条半径来确定，不再单独计算树叶上 的风力对树枝受力的影响。 ( 3 ) 重力被枝条的弹性力平衡掉我们认为树在不受风力时的状态为 树的原始平衡状态，不再考虑重力的影响。这样当风力消失后枝条将凭借 自身弹性返回其原始平衡状态，计算时不再有重力参与。 ( 4 ) 暂时不考虑碰撞像杨树一类枝条比较直的树种，因为在生长过程 中存在着竞争空间、阳光等外部因素，它们在空间的分布是很合理的，在 运动时碰撞较少。 2 2 2 枝条的分类 综上所述，根据树的物理性质及运动性质，我们把树各部分分为：固 定枝条、可动枝条和波动枝条。这种分类不是固定的，对不同的树木将会 有些差别，如垂柳将包含全部三种类型，而对于松树、杨树等则没有波动 枝条，固定枝条和可动枝条存在于所有树种当中。 燕山大学工学硕士学位论文 2 2 2 1固定枝条包括主干及它的绝大多数分支，它们在通常风力作用 下的运动一般是不为人眼所觉察的，因此在模拟过程中不需要计算它们的 运动。我们把这些枝条定义为固定枝条。 2 2 2 2可动枝条包括树的末端枝条和它们的一些上级枝条，它们比固 定枝条要软，其运动可以很明显的被人眼所觉察。一般来说它们的位移都 比较大因而是非线性的，经典理论不能很好地解决。 2 2 2 3 波动枝条通常指树的末端枝条，像柳树的末端枝条在风吹动下 的运动实际上是一种波动，在枝条中有机械波在传播。 事实上，所有的枝条，无论是哪一种，如果分成很多小段，并观察其 中的一段的话，那么它的都可以看作是可动枝条做线性运动。我们人为的 把枝条分成上面三种，主要是考虑到模拟的有效性和逼真性两个矛盾的因 素。对于固定枝条，我们认为它的运动非常小，所以在对它进行分段的时 候，就可以相应的粒度大些，而对于波动枝条，则必须分的细一些来保证 效果的真实性。这些内容，在后面有详细的叙述。 2 2 3 树枝的物理模型 树枝的物理结构均为一端生长在其母干上，另一端自由，中间有一定 数目的分支。单纯就一根树枝来讲，假设不考虑其分支的存在，那么它在 风力作用下的运动可以抽象为材料力学中的梁及杆的运动。 2 2 4 模型简化 通常工程中遇到的变形都是小变形( 小于肉眼可见范围) ，因此上述各 式是不能直接用来计算树枝运动的。对于计算机动画，计算非肉眼可见的 运动是无意义的，但是理论提供了一种思想、概念、方法。在此基础上， 可以寻求新的适合于计算机动画的算法。对于树枝在计算时，我们可以用 如下简化来代替梁的复杂计算和小位移。 首先，我们把一段长的树枝分为几个小的部分，当树枝弯曲时，仅仅 每一小部分的连接处进行弯曲，而小段树枝本身则做刚体运动，不发生任 何变形。我们规定，在临近树干的一端为固定端，而远离树干的一端则为 第2 章树木的物理模型 自由端。如图2 6 所示。 树干 自由端 图2 6 树枝的分段模型 f i g 2 - 6t h es e c t i o nm o d e lo f b r a n c h e s 其次，对于分布在每一小段树枝上的分布力，我们假设它等效于作用 在其中自由的一个端点上，即树枝仅受到集中载荷的作用。从而简化了受 力模型。 最后，根据梁弯曲变形和扭转变形的性质，我们还假设当每一小段的 树枝受到弯矩的作用时，在两个小段的连接处会产生相应的“抗弯矩”， 其大小与“抗弯矩”模量和弯曲的角度成正比： m = k l ok 2 i k = k o ， ( 2 9 ) 式中，k l ，恕是一个经验常量，0 为弯曲的角度，五为抗弯矩模量。，k 与材 料力学中的抗弯截面模量成正比，对于同一种树木来说，与树枝的截面面 积成正比，对于不同的树木，还与树种有关，比如松树的“抗弯矩”要大 于相同截面面积的柳树“抗弯矩”。 同样，在树枝受到平行力偶( 扭矩) 作用时，在每- - 4 , 段的连接处也会 产生相应的“抗扭矩”，其大小与“抗扭矩”模量和扭曲的角度成正比： t = k l ok 2 j k g = k oj gf 2 - 1 0 ) 式中k l ，岛是一个经验常量，0 为扭曲的角度，以为抗扭矩模量。以与材料 力学中的抗弯截面模量成正比，同样与树木的直径的截面和树木所属的种 类有关。 这样，我们就把树枝的物理受力模型由材料力学的小位移和复杂计算 转化为了可以利用牛顿力学来计算的适合计算机模拟和快速生成动画的简 1 3 燕山大学工学硕士学位论文 单模型。如图2 7 所示。 d 图2 7 树枝受力示意图 f i g 2 - 7t h es k e t c hm a po f b r a n c h w h i c hw a sb e n d e d 当树枝的每一段受到外力作用时，它有可能进行相应的弯曲和扭转运 动。其中弯曲的动力学公式可以表示为： 卢= 半 式中口为角加速度， 伪外力的弯矩，版为“抗弯矩”， 于树枝可以简化为细杆，因此： j = 三m ，2 3 式中m 为质量，z 为杆的长度。 ( 2 - 1 1 ) 伪转动惯量，由 f 2 - 1 2 ) 扭转的动力字公式司以表不为： 卢：m _ - m k ( 2 - 1 3 ) 式中口为角加速度，m 为外力的扭矩，坛为“抗扭矩”，伪转动惯量，由 于树枝可以简化为细杆，因此： ，：昙所矗：( 2 - 1 4 ) 式中m 为质量，r 为杆的半径。 2 3 树叶的物理模型 春去秋来，四季变换。如果说树木的枝干是一个人的骨架，那么树叶， 无疑才代表了树木真正的面目。树木之所以不同，之所以有的道劲有力而 1 4 第2 章树木的物理模型 有的千娇百媚，绝大部分的表现在它们的叶子上。因此对于模拟树木来说， 出了模拟它的枝干之外，逼真的模拟它的叶子也是至关重要的。并且相对 于树干来说，叶子的树木要多上几个数量级，而叶子在随风力或其他外力 的作用而进行运动时，其规律性更加弱。因为树木的枝干毕竟曾经是重要 的建筑材料，并且和钢铁等的研究规律是相近的，在材料力学里面也有相 应的论述。而树叶则不同，树叶从古至今都是以一个美学的目的而存在的， 它更多的是受到文学上的研究和赞扬，或是用在各种工艺品上面，几乎没 有一门学科涉及到了树叶的物理以及力学性质。在计算机图形学以及计算 机动画发展的近十年以来，对于树木的动态模拟和动画技术研究中，大多 数也是忽略了树叶的运动，而只是把它们作为一个附加的修饰品。只有少 数的研究涉及到了单独的叶片运动，但是都是模拟而已，没有能够提出能 够让人信服的运动模型。一个著名的哲学明言叫做：“世界上没有两片完 全相同的树叶”。它揭示了不同的树叶的运动也是多种多样的，对它们进 行模拟是非常困难的一件事情。幸运的是，无论是树叶的大小还是它们运 动的幅度，对于它们的主干来说都是非常小的。因此，我们在进行视觉效 果的模拟和动画生成的时候，也要针对这一特点来进行，以便于既取得逼 真的动态效果，又尽量减小对于存储和计算带来的压力。 2 3 1 树叶的分类 如果我们保持一定的距离来观察多树叶的树的话，可以发现两种特殊 的叶子，一种是树枝本身的柔韧性非常好，而叶片的运动对于树枝的依附 比较到，例如柳树，它的枝条细长，柔韧性非常好，可以随风飞舞，而其 叶子的叶柄相对比较短小，叶片的面积也小，因此基本上是伴随着枝条的 飘动而运动；另一种情况则是叶子的形状更加小，硬度也是相对比较大， 例如松树，它们聚集在一起，处于树枝末节的顶端，并且在外力的作用下 基本上不会发生变形，其的微小的运动也可以忽略掉，对于这种情况，树 叶只是树枝的一个简单延伸。基于以上的叙述，我们可以把各种不同的叶 子分为两大类：不可动的叶子，例如松树，杉树等等，它们的叶子很小， 同时也比较坚硬，因此运动的幅度非常小，很难被人眼所察觉，因此在对 燕山大学工学硕士学位论文 树木进行运动模拟时，完全可以忽略它们的运动，而只是让它们随着所属 的枝干一起运动。我们仅仅考虑那些运动相对比较明显的阔叶树的叶子， 如图2 8 所示，例如杨树，枫树以及梧桐树，以及拥有相类似种类叶子的树 木。可动的叶子，它们的运动必须进行精确的计算，同时它们也会随着所 属的枝干一起运动。通过观察和抽象，得出可动叶子的运动可以看成是三 种运动的叠加而成。叶柄的摇动，叶面的转动以及叶面的弯曲。 图2 - 8 阔叶树的叶子 f i g 2 - 8b r o a d l e a v e s 2 3 2 树叶的基本物理性质 如上所述，如果说对于树枝的模拟，其运动及物理模型是没有现成的， 尤其是细小的末枝，那么树叶的模型则可以说是根本没有任何依据【3 ”。我 们这个研究也是秉承前人的研究方式，从树叶运动的视觉效果出发并最终 以之作为检验标准来进行模拟。树叶，尤其是阔叶树的树叶，它们的共同 特征是都拥有个具有一定长度叶柄以及一个大的叶面。它们通过这个叶 柄连接在末端的树枝上。叶柄具有一定的柔韧性，并且由于树种的不同， 其柔韧性也不同，但是普遍来说叶柄的柔韧程度要好于末端树枝，这就使 得树叶可以产生各种姿态的运动，而不是完全受树枝的运动的约束，因而， 树叶的摇曳方向可以与其所属树枝当前的运动方向相反，当运动方向相同 时，其幅度也可能比树枝大的多。在叶柄的末端，通常是一个比较大的叶 面，形状和颜色是多种多样的，而且也有不同的质地。比如杨树的叶子就 要柔软一些，而梧桐的叶子要硬一些。但是不管它们的形状颜色如何，有 1 6 第2 章树木的物理模型 一点是共同的，它们都具有一定的面积，且相对于树枝以及叶柄来说要大 的多，这就意味着即使是在微风中，它们也能够进行摇曳。这是因为流体 具有力的作用，而具有较大面积的树叶容易承受更多载荷，而从经典力学 上来讲，叶柄的长度越长，树叶的灵活机动性就越大。 2 3 3 树叶的简化模型 2 3 3 1叶柄的摇曳一个树叶的运动最明显部分就是叶片的随着叶柄的 摇曳。对于单个的叶子来说，在任一时刻，它的叶柄的末端固定在树枝上， 可以看作是不动的固定端。而树叶则是受力的载体，大面积的叶片承载了 绝大多数的力。当叶面受到外力的作用而向着力的方向进行运动时，由于 叶柄的柔韧性，必然会产生一个回复力来使得树叶向回到原位的方向运动。 由于叶柄一般只是发生弹性变形，因此树叶的摇曳是以叶柄的固定端为中 心进行一种类似于单摆的简谐振动运动。简谐振动只是理想的情形，在实 际振动中，由于阻力的存在，振动系统最初所获得的能量，在振动过程中 因不断克服阻力做功而减小。振动强度逐渐衰减，振幅也就越来越小，最 后停止振动。这种振动称为阻尼振动i 1 。能量减少的方式通常有两种。一 种是由于摩擦阻力的存在，例如弹簧振子周围空气等介质的阻力和支承面 的摩擦力的作用，使振动的机械能逐渐转化为热能：另一种是由于振动系 统引起邻近介质中各质元的振动，振动向外传播出去，使能量以波动形式 向四周辐射出去，这虽然只是机械能的转移，但对振动系统本身来说，其 能量也因不断输出而在衰减，例如，音叉在振动时，不仅要克服空气阻力 作功而消耗能量，同时还因辐射声波而损失能量1 3 。在振动情况下所受的 摩擦阻力中，一般来说，往往是考虑介质的粘滞阻力。实验指出，在物体 运动速度甚小的情况下，粘滞阻力的大小与物体运动速度的大小v 成正比， 阻力方向与速度方向相反，即： f = 一 ( 2 一1 5 ) 我们把树叶的摇动的运动模型设定为一种类似单摆的机构。单摆是一 种典型的简谐振动，一条长度为f 的细绳，上端固定于一固定点，下端连一 质量为m 的物体( 可以看成是质点) 就组成了一个单摆。根据上面的叙述，我 1 7 燕山大学工学硕士学位论文 们把树叶的摇曳模型抽象为如图2 9 所示。 广义 叶面 图2 - 9 树叶的摇曳模型示意图 f i g 2 - 9s k e t c hm a po f l e a f s t a l k sv i b r a t i o n 树叶的叶面不但受力占了外力的绝大多数，而且质量也一般是叶柄的 几倍以上，在计算中，我们把叶面抽象为一个质点，它的质量就是叶面的 质量，而叶面所受的外力也就完全的集中在这个质点上。叶柄则抽象为一 个具有回复力的弹簧。这里的树叶运动虽然类似于单摆，但是和单摆的运 动还是又很大区别的，首先，它的回复力不是来自于重力的分量，而是叶 柄的回复力 这个回复力的大小与叶面已经偏转的角度日成正比关系，即： 厂= k o ( 2 1 6 ) 式中k 为一个经验常量，随着树木种类的不同而不同，由于叶柄的直径并不 是差别很大，因此我们假设所有的叶柄的直径都是一样的。另外一个值得 注意的地方是由于树木在静止的时候是一个平衡状态，即我们所建立的模 型本省已经包含了重力的平衡，因此在运动的计算过程中就不再考虑重力 的作用。由于空气属于流体，因此在运动的过程中，不可避免的要受到空 气粘滞阻力的作用，这里的阻力与两个因素有关，一是运动速度，速度越 大，阻力越大，二是叶面大小，叶面越大，它的阻力则越大，由此可得： f = k a v佗- 1 7 ) 式中，是空气的粘滞系数，而a 是叶面面积，v 是运动的速度。树叶就在风 力以及以上两个力的作用下摇曳。具体的运动在第4 节中叙述。 2 3 3 2 叶面的弯曲在大多数的阔叶树中，叶面也都是带有一定的柔韧 性，虽然它们的弯曲幅度需要在近距离内才能被人眼看见，但是在某些特 殊效果中，例如昆虫的特写，雨点的打砸等等，其作用还是很明显的。树 第2 章树木的物理模型 叶本身是一个具有面积和柔韧性的物体，它具有各向异性、不可压缩、抗 拉不抗弯曲等一些明显