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硕士论文 电阻抗成像技术的研究与系统设计 摘要 电阻抗断层成像技术( e l e c t r i c a li m d 蛆t o m o g r a p h y ，简写为e i t ) 是近 二三十年发展起来的一种新的医学成像技术生物组织的电阻抗含有反映组织、 器官的生理状态及功能的信息，e i t 技术是以电流流过人体时人体组织呈现出的 电特性为依据，对它的电阻抗分布进行计算机成像 首先对电阻抗成像技术的理论进行了探讨，包括：e i t 技术前向问题模型的 建立、采用有限元法解偏微分方程、逆问题中重建算法的推导，并在m a t l a b 平台 上进行了图像重建算法的验证。接着介绍了e i t 成像系统的设计方案，然后对硬 件电路进行了设计，包括交流信号源、滤波器、电极阵列的逻辑控制、a d 采样电 路及f p g a 实现数字相敏解调器。 仿真结果表明，n e r c o n 类算法可以重建出电阻抗的分布图；基于f p g a 设计的 数字相敏解调器模块适用于e i t 系统中信号处理的应用场合。 关键词；电阻抗成像，正问题，有限元法，逆问题。f p g a ，正交解调 硕士论文 电阻抗成像技术的研究与系统设计 a b s t r a c t t h et e c h n o l o g yo fe l e c t r i c a li m p e d a n c et o m u g r a p h yi st oe s t i m a t et h e c o n d u c t i v i t yo f a n o b j e c tf r o mt h eb o u n d a r yv o l t a g e o rc u r r e n t m e a s u r e m e n t s ag r o u po fe l e c t r o d e si sa t t a c h e dt ot h es u r f a c eo ft h e o b j e c tw h i l et h ec u r r e n ts t i m u l ia r ea p p l i e dv i at h e s ee l e c t r o d e s t h e n t h er e s u l t i n gv o l t a g e sf o mt h eb o u n d a r ya r em e a s u r e d 。u s i n gt h ev o l t a g e m e a s u r e m e n t sa tt h es u r f a c et oe s t i m a t et h ec o n d u c t i v i t ya saf u n c t i o n o fs p a c ei n s i d et h eo b j e c ti sc a l l e dr e c o n s t r u c t i o n t h ee i tt e c h r i o l o g yc o n t a i n st w op r o b l e m st h a ta r et h ef o r w a r dp r o b l e m a n dt h ei n v e r s ep r o b l e m - m a t h e m a t i c a l l yt h ep r o c e d u r eo ft h e e i t r e c o n s t r u c t i o ni san o n - l i n e a ra n dm o r s i d i t yi n v e r s ep r o b l e m , s ot h e s t a b l es o l u t i o no fw h i c hr e q u i r e sr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d s t h i st h e s i si sm a i n l yc o m p o s e db yt w op a r t s ，t h eb a s i cm a t h _ p h y s i c s t h e o r yo fe i ta n dt h eh a r d w a r ed e s i g no fa ne i ts y s t e mi nt h ep a r to f t h e o r y ，t h ef o r w a r da n di n v e r s ep r o b l e m sa r ed i s c u s s e d t h ef i n i t e e l e m e n t sm e t h o di sa p p l i e dw h e nw es o l v et h ef o r w a r dp r o b l 眦t h e r ea r e t w om a i nr e c o n s t r u c t i o nm e t h o d st os o l v et h ei n v e r s ep r o b l e m , t h ed y n a m i c a n ds t a t i cr e c o n s t r u c t i o na r i t h m e t i c i nt h i st h e s i st h es t a t i c a r i t h m e t i ci sm a i n l yi n t r o d u c e d ，e s p e c i a l l yt h el i n e a rn e w t o ni t e r a t i v e a r i t h m e t i ca n dt h er e g u l a r i z a t i o nn e w t o na r i t h m e t i c 。t h el a t e rc a n d e c r e a s et h ec o n d i t i o n so fj a c o b j a nm a t r i x a tt h ee n do ft h i sp a r t ，a s e r i e so fe m u l a t i o n a li m a g e ss i m u l a t e db ym a t l bs o f t w a r ea r ep r e s e n t e d t h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i si st od i s c u s st h ew a yo fh a r d w a r ed e s i g n o fag e n e r a l i z e dm e d i c a le i ts y s t e mi nt h ef o u r t hc h a p t e r t h ee i ts y s t e m c o m m o n l yc o n s i s t so ft w ob l o c k s ，t h es i g n a ls t i m u l a t i o ns o u r c ea n dt h e v o l t a g em e a s u r e m e n tb l o c k t h i st h e s i sa d o p t st h ef p g aa st h em a i nl o g i c a l c o n t r o la n ds i g n a lp r o c e s s i n gc h i p d i f f e r e n tf r o mt h er o u t i n em e t h o do f u s i n ga na n a l o gp h a s e s e n s i t i v ed e m o d u l a t o rf o re i t w ed e s i g n e dad i g i t a l p h a s e s e n s i t i v ed e m o d u l a t o ru s i n gf p g 九 k e yw o r d s ：e i t ，f e g ，r e c o n s t r u c t i o n ， n e w t o na r i t h m e r i c ， f p g a ，p h a s e s e n s i t i v ed e m o d u l a t o r 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名： 矿 年；月2 口日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名 硕士论文电阻抗成像技术的研究与系统设计 1 绪论 1 1 电阻抗成像技术的发展 电阻抗断层成像( e l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y ，简称e i t ) 技术是继 形态结构成像之后，于近二十多年出现的新一代无损伤的功能成像技术。它根据 人体内不同组织具有不同的电阻抗原理，充分利用人体阻抗所携带的丰富的生理 和病理信息，达到功能成像的这一日的。e i t 技术是通过布置在被测物体表面的 电极将交流小信号电流注入到物体内部，同时测量其余电极上的电压值，并将测 得的电压信息经过一定的重建算法求得被测物体内部组织的电阻抗值分布，进而 实现阻抗值的图像重建过程完整的e i t 系统包括；精准的交流信号源、激励和 测量电极阵列、测量电路、控制电路、数据采集和计算机实现图像重建，其中图 像重建部分是电阻抗成像系统的关键环节之一，典型的医学e i t 简化系统如图1 1 所示。 乏 注入激励电流 采集数据 重建图像 测量边界电压 e l e c t r o d e s o np a t i e n t d a t aa c q u i s i t i o nr e c o n s t r u c t i o n s y s t e ms y s t e m 图1 1 医学e i t t t 术的原理 因为在e i t 技术中注入到人体内的交流电流的幅度和频率都相对较低，所以 e i t 检测技术与其他检测手段相比较，具有对人体无损害的优点，且设备成本低， 目前它已经成为医学界研究的热点。从上世纪7 0 年代中期开始国外生物医学研究 者首先提出了圆形电极阵列的断层电阻率测量技术，1 9 7 8 年h d e 渤n 和w g b t e f 作出了第一幅电阻抗图像，他们使用了固定于胸部上的由一个大电极和与之相对 的若干小电极组成的电极系统，通过测量从各小电极流向大电极的电流所形成的 等位差获得了可以清晰地显示肺脏位置的阻抗图像1 1 1 ：1 9 8 2 年由英国s h e f f i e l d 大学的b r o w n 和b a r d c r 实现了第一个手臂的阻抗层析图像，开辟了电阻抗层析成 像( e r r ) 技术这新的研究领域。8 0 年代末特别是进入9 0 年代以来，e r r 技术进 入了迅速发展时期，1 9 9 0 1 9 9 3 年问g r i 伍也s ，d i j i 蛔等人根据他们的研究对e i t 成 像技术、成像原理、及临床应用前景作了综合评述。实时e i t 系统的设计也开始 起步，相继出现了一些精度高速度快的e i t 系统，其中最具有代表性和重大成果 的是英国o x f o r d 大学设计完成的o x b a c t 系统，现已经发展到第四代 硕士论文 电阻抗成像技术的研究与系统设计 0 j a c t4 ，可用于实现三维成像【2 删 在最近几年里，对e i t 技术的研究正经历着从单一频率到多频、从二维到三 维成像、从1 6 电极到3 2 电极甚至更多、从试验阶段到临床监护阶段等多方面的转 变。其中e i t 研究的成像目标由二维向三维的发展取得了很大的进步，早期的e i t 研究小组的成像过程都是基于注入的电流被限制在电极平面内的假设，将成像目 标看作一系列的二维断层，从环绕平面边界的电极上采集数据。但事实是电流穿 过成像目标时是成三维发散的，在e i t 中从一个断层注入的电流并不能被限制于 电极平面内，而是同时会流过电极平面以上和以下的部分，这意味着所有的这些 区域的电阻率分布都对测量信号有贡献要消除这个问题的影响，数据采集和图 像重建都必须以完全意义的三维问题来考虑，也就是说，要通过在整个目标表面 放置电极来实现。典型的做法是以多组平面电极的形式放置电极，平面内和平面 问的电极对都用来注入电流和提取测量电压。在三维成像研究方面，1 9 9 0 年i d e r 等提出了一种三维测量数据得到二维图像的方法，采用的是有限元和迭代等位线 的投影算法重建二维图像；1 9 9 5 年，m o r e ：c i 等提出了一种用于快速3 d - e i t 成像的 直接灵敏度矩阵方法；1 9 9 9 年，v a n l 由a e n 等人将全电极模型应用到三维图像重建 中得到同一实验装置的静态成像结果与动态图像扫描结果相当；1 9 9 9 年清华大学 的宫莲等用三维有艰元法解多向异性e i t 的正问题，用广义线性增量函数理论和 奇异值分解法解逆问题，并做出了计算机模拟成像f j 近期国外研究小组出版的文献大都开始偏重于e i t 系统数字化的研究，多数 e i t 硬件设计都是基于以下两个原则： ( 1 ) 普遍采用可编程门阵列( f p g a ) 作为产生信号和测量信号的器件。 ( 2 ) 普遍采用d s p 作为系统控制和信号接收模块以及完成数据处理和数 据交换的任务 目前，国际上有3 0 多个研究小组从事e r r 方面的基础及应用基础研究。每年 在英国都要召开e i t 国际研讨会，并在维也纳已连续召开了两届欧洲e i t 联合会， 在国内约有l o 来个研究小组从事e r r 方面的基础研究，主要都集中在模型成像算 法和硬件系统设计等方面的研究，为了加速和推动我国e i t ：技术的研究，2 0 0 1 年 1 2 月在西安第四军医大学召开了国内第一届e i t 学术研讨会，北航，河北工业大 学，天津大学，中国医学科学院生物研究所，上海大学，重庆大学，第四军医大 学生物医学工程系等7 个单位参加了会议并以上述几个单位为主成立了联合研究 小组用。 1 2e i t 成像技术的原理和应用 电阻抗技术本身是属于电磁成像领域的。k 0 b n 和v o g e l 地已经从理论上证明 硕士论文 电阻抗成像技术的研究与系统设计 了只要获得覆盖全部被测区域边界的无限精度的电压( 或电流) 测量数据即可唯 一地确定被测区域内各向同性的阻抗分布该项技术简单的讲就是通过在被测 物体的四周边界上安放一系列的电极，从电极上注入安全的交流电流( 对于人体 测量时，电流的频率通常小于1 0 0 k h z ，幅度小于5 m a ) ，同时测量电极上的电压 值，由获得的电压数据及电流、电导等一些先验参数经过一定的算法计算得到被 测体内部的电阻抗分布，最后由计算机给出电导率( 或电阻率) 的分布成像图。 1 2 1 生物组织的电特性 从生物电子学上看，人体通常可以看作是一系列生物组织的复合传导体，这 些组织各自具有不同的电特性参数，当然，生物体导电过程是不同于金属导电的， 生物组织的导电性是由离子运动产生的。我们知道人体的组织器官是由细胞和细 胞外层的流质构成的，细胞的外表是细胞膜，里面是细胞流质，在高频激励电流 下细胞膜上的容抗短路了其阻抗，电流可以穿过细胞层；在低频激励下细胞主要 表现为阻抗性，可以忽略其容抗效应因而根据细胞的电特性可知，人体组织的 阻抗( 电阻率) 是随着激励电流的频率增大而减小的。根据人们对生物组织电特 性的研究发现：频率在1 0 k h z 一1 0 m h z 范围内的电流信号激励下，组织的纯电阻特 性起主要作用，同时在该频率范围内的激励信号对人体也是安全的，因此在e i t 系统中采用的电流源的频率一般在1 0 0 k h z 以内，电流大小在1 - s m a 范围内以保证 对人体无损伤。可以采用如图1 2 所示的模型来近似一个细胞及其外部的流质1 们。 r 1 图1 2 细胞的电特性模型 其中电阻置和电容c l 代表细胞膜，五。和r 分别代表细胞内外流质的阻抗 值，细胞的阻抗特性为电阻抗成像技术的应用提供了可能。 电阻抗成像技术的目的是对被测体内倍的电导率发生异常的区域进行检测， 因此应用在医疗检测上时，就有必要清楚地了解人体健康状况下组织区域的电导 率分布。人们在对人体组织器官的研究中测得不同组织的阻抗分布是不同的，表 1 1 给出了在正常情况下不同组织在不同信号频率激励下体现出的电导率大小 【7 l 。 磺士论文电阻抗威像技术的研究与系统设计 表l1 由试管测量得到的不同组织的电导率( 单位s 加_ 1 ) 不同组织频率 l 五i i zl u 五眦l u u f 6 l gl 皿皿i u a t i z 大脑几i皿1 3也1 5乱2臣3 肝脏匝m仉0 5也d 9仉2m3 肾脏 正i 2n1 5皿2正3仉5 肌肉 儿3也3 5正4n5 仉b 肺仉d 5也n 6n n1 d正2 口 皮肤臣n 7 o 口4 正 n 3 & 4 脂肪组织nd 盟 d 0 幻正监3n 飘n 跖 表1 2 给出了人体部分组织在激励频率为2 0 - 1 0 0 k h z 内的阻抗值【1 ； 表1 2 部分人体组织正常状态下的阻抗值 组织脑髓肝脏骨骼 心肌 神经腊肪血液淋巴 阻抗 6 53 5 01 6 6 0 04 1 0 一7 5 05 8 02 0 6 01 5 06 6 ( q c m ) 从上表可以看出，人体内部组织的阻抗分布范围很广，差别也很大，更重要 的是某些组织器官的阻抗值在病变状态和正常状态下的差异非常大，特别是肿瘤 组织细胞和正常细胞之间的差值最大。如正常的乳腺组织的阻抗为3 7 0 q 硎， 而乳腺肿瘤组织的阻抗约为1 5 0 q c t ，其阻抗值减少了一半以上【”。e i t 技术用 于临床检测的重点就是要寻找出类似病变的区域，以便及早治疗 1 2 2e i t t t 术的成像过程 e i t 技术基本的目标就是通过被测物体表面四周测得的电压信号重构出物体 横截面电导率的空间分布图，从而得到被测物体电阻抗的断层图，用数学方法描 述就是：如果g 是边界测量值( 以矢量形式存储) ，c 是反映物体内部电阻抗分 布的电导率矢量，两者之间可以通过相应的转换矩阵t 相联系，表达式如下： g = t c( 1 1 ) 该等式的计算是非常复杂的，因为表面电压的测量值和物体内部电导率的分 布是里非线性关系的，建立这样一个转换矩阵以及求得成像所需的电导率就显得 非常困难i ”。 硕士论文 电阻抗成像技术的研究与系统设计 到目前为止，电阻抗断层成像技术都是基于正问题的计算和逆问题的重构算 法来进行的所谓正问题，即在己知场域电导率分布和表面边界电压电流分布的 情况下，能够求出场域内任意一处的电位分布，只有在能够有效地计算出正问题 之后，才能鉴别所确定的电导率分布是否与表面存在的电压电流相吻合，同时使 得电导率成像问题转化为找到一种有效的估计电导率的分布并对其分布进行校 正的方法，即找到一种合理的解决逆问题的重构算法。 然而由于e i t 的电场域分布表现为一个具有特殊边界条件的偏微分方程，在 重建计算过程中人们发现场域边界电位的变化对其内部电导率的变化并不敏感 m 】，换句话说即在求解场城内部电导率时，其边界电位值的微小变化会导致求 解出的内部电导率有很大的变化，它的求解过程是不稳定的，通过场域离散化后 得到的重建方程其重建矩阵是一个病态的矩阵，而病态矩阵求逆过程是数值计算 中典型的不稳定过程。因而e i t 技术中的图像重构较为困难，另外由于被测物体 边界上的电位分布差异很大，对测量系统的精度要求很高，因此诸多技术上的障 碍使得该技术未能得到迅速发展和应用。 i 2 3e i t 技术的应用 在e i t 技术的不断研究与发展的过程中，人们做了很多的临床调查与实验， 也获得了有用的生理学信息，这些信息在该项技术的应用中也得到了证实。 h o l d e r 在1 9 9 3 年就指出e i t 技术可用于对人体的多个部位迸行检测，包括恶性肿 瘤，肠胃、神经、胸腔、大脑等等。正因为e i t 技术用于医疗检测时对人体无损 伤、无辐射，使得该项技术的研究、发展和应用得到了人们的广泛关注。 与此同时e i t 技术用于非医学检测应用也得到了一定程度的发展，例如应用 于地理研究、考古学、非破坏性探测等等。 以下是e i t 在医疗检测中的应用例子【l l ： i 脑部成像 由于脑功能的变化和大脑疾病的生理病理改变，都伴随有生物电阻抗的变 化，因此在脑科学研究和大脑疾病的诊疗过程中，e i t 也非常具有应用价值。 对脑部阻抗成像的可行性研究早在9 0 年代出就已经被提出，在实际应用中 最根本的难点是施加于头骨上的电流其流向受到生理结构的阻碍，导致这个低电 导率区域成像的结果极易产生失真。在1 9 9 4 年和1 9 9 6 年b o o n e 和h o l d e r 分别对动 物的脑部阻抗成像技术进行了试验，实验结果清楚地显示了动物大脑神经细胞元 活动及其阻抗变化的情况虽然试验的测量条件并不能适用于人体的临床检测， 但实验结果却是鼓舞人心的，因为某些用于人体检测的限制因素可以通过提高数 据采集精度和改进重建算法来克服。 硕士论文 电阻抗成像技术的研究与系统设计 2 肺部检测成像 近来e i t 技术用于检测肺功能的医学实验已经得到开展，一系列的临床研究 也正在进行当中很多的研究工作都采用了s h e f f i e l d 大学的a p tm a r k1 系统， f r e r i c h s 采用e i t 技术对一个受伤的肺进行了实验，结果显示在减少空气流通的 条件下肺部阻抗值随之减小了4 1 ，相反在增加空气流通的情况下肺阻抗增加了 2 0 由此可见肺部呼吸系统功能的好坏是可以通过测量其阻抗值来检测的 3 乳腺癌检测 从人们先前的一些研究数据显示，癌细胞组织与正常状态下的细胞组织的电 特性有显著的不同( 比正常状态下的电阻抗低得多) 利用测量电阻抗的方法来 检测乳腺癌的方法已经进行了一段时间，也有相关的文章发表，其中最被这一领 域熟知的文献是由z o u 和g o u 撰写在乳腺癌的扫描诊疗技术中，采用电阻抗成像 方法的研究小组还是很少的，大部分的研究结果都是采用平面电极阵列的检测仪 器获得的，例如t - s c a n 系统( 由西门子公司推出，型号为t s 2 0 0 0 ) e i t 技术在医学检测中的应用还有几种，如用于检查癫痫症，静脉淤血等。 e i t 技术的研究虽然已经经历了2 0 多年，但是最终用于常规的临床检测的阶 段却还没有到达，该技术仍然处在一个不断研究和试验的阶段，过去人们所傲的 努力和成果极大地推动了它的发展，多项有价值的研究著作也相继发表，e i t 技 术是完全能够用来研究和分柝诸如肺、胸、脑等的生理现象，越来越多的相关病 人也愿意接受该技术的临床试验。以国外专家的观点认为，医学e i t 技术最有发 展前途和成果的领域是对肺部高血压血管特征的诊断。 硕士论文 电阻抗成像技术的研究与系统设计 i 3 本文的主要工作和结构 目前国内对e i t 技术的研究主要集中在图像重建算法的研究和改进上，对于 数据采集系统的硬件电路的研究不够深入和广泛，用于l 晦床检测的e i t 硬件系统 尚未实现。本文对e i t 技术的原理和模型进行了详细的介绍和研究，对该项技术 的数学物理模型中存在的前向问题和逆向问题作了讨论和算法实现本课题确定 以e i t 技术的理论研究和硬件电路设计相结合的思路。给出了一个完整的用于计 算机模拟实验的e i t 系统结构。 本文的主要成果是对e i t 技术中的理论算法( 包括前向问题、逆向问题、雅 可比矩阵、图像重建) 做出了m a t l a b 仿真，对硬件电路的设计提出了以f p g a 和单 片机为核心的e i t 数据采集系统设计方案，最后实现了模块的设计。 各章具体内容安排如下： 第一章介绍了e i t 成像技术的发展，阐述了其成像原理，并简述了该项新技 术的应用及其在国内外的研究概况。 第二章介绍了e i t 成像技术的数学物理理论，包括它的正向闯题和逆向闯题 的阐述，并建立了正向问题的模型，主要采用有限元法对正问题进行求解。 第三章讨论了几种图像重建的算法，重点推导了牛顿算法和几种改进的牛 顿算法，并对牛顿类图像重建算法实现了m a t l a b 仿真。 第四章是本文的重点，具体讨论了e i t 成像系统的硬件电路结构，并对数据 采集模块，交流信号源模块，电极阵列控制模块等给出了本文的设计。本章的主 要创新点：采用电流镜方案设计电压控制电流源( v c c s ) 、用f p g a 设计信号的相 敏解调器和作为电极开关的逻辑控制器件 第五章对全文的总结和对该系统的进一步研究作了展望。 硕士论文电阻抗成像技术的研究与系统设计 电阻抗成像的基本原理与模型 2 1e i t 技术的基础理论 如前所述e i t 技术最基本的目的是对被铡物体内部组织的电阻抗分布进行成 像，主要操作过程是：首先在物体四周安放一定数目的电极( 通常有1 6 电极和3 2 电极) ，通过电极向物体施加一定频率和幅度的交流电信号，再在其余电极上测 量得到边界电压信号值，由测得的电压值计算出内部区域的电阻抗分布，进而实 现电阻抗分布图。e i t 技术从理论上讲研究的目标是一个电场域，电场内部电流 的流动受到电阻抗分布的影响，利用边界电压信号计算内部阻抗的分布一般包括 两个问题，即前向正问题和逆向反问题。图2 。l 给出了e i t 技术的理论结构。 图2 1e t i 技术的理论构成 图中前向问题的计算是指在已知激励电流大小和假定内部区域电导率分布 已知的前提下计算被测区域内部和边界上的电压值，以便同实际测量得到的电压 值相比较。逆向问题的计算是指由边界实际测量得到的电压值和前向问题计算得 到的电压计算值来求解和修正被测区域内部的电导率分布，由此可知在求解e i t 的逆向问题时必须先求解正向问题。 2 2e i t 成像技术的数学物理模型 e i t 系统在对被测物体内部电导率做图像重建前，有必要建立一个解决前向 问题的数学模型来对所要测量豹边界电压进行估计和计算，这个模型是在给定激 励电流和电导率分布的前提下建立的。在本节的开头，首先从麦克斯韦方程出发， 通过对e i t 存在的电磁场分析并建立这样一个数学物理模型，要对e i t 技术前向问 题模型的计算就要对其存在的电场有特定的假设i s ，如：1 ) 被测体内的电导率 分布是呈线性和各向同性的；2 ) 电磁场强度的变化是非常缓慢的；3 ) 所要研究 的场域内没有与激励电流源相同频率的电流源，这样保证敏感场就各处电流的散 硕士论文电阻抗成像技术的研究与系统设计 度为零，可以在该场域内运用欧姆定理、电位和电场强度之间的关系式；4 ) 电 导率的分布和电流密度无关，这样电导率的分布就可以采用标量形式表示 盯似力；5 ) e i t 的电场是个似稳场，即在场域四周施加交流信号时，认为电流 同时在场内各点都引起变化这样根据以上假设，就可以对场内的任一点任一区 域运用电磁场理论进行分析。 2 2 i 模型的建立 我们知道当对一个物体施加激励电流时，在物体的周围就会产生磁场和电场， 场内任意一点也就满鼬l a x w e l l 方程9 1 ： v 日：j + 丝 牙 v e ；一票 ( 2 1 ) a 一1 v b = 0 v d = p 其中v 为哈密顿微分算子，h 为磁场强度，e 为电场强度，d 为电位移矢量， b 为磁感应强度，为电流密度，p 为电荷密度对于e l i 中各向同性的场域而 言，上述物理量满足如下关系1 8 1 ： d = t e歹= 仃e b ；h( 2 2 ) 其中占为介电常数，叮为电导率，为磁导率。对于线性介质它们都是一常 数，对于非线性介质，它们是随着场强的变化而变化。根据矢量场的运算规则 v v x a = 0 对式( 2 1 ) 中的第一个方程进行散度运算得： v - v h = v v + 詈) = 0 ( 2 3 ) 由式( 2 2 ) 的关系代入上式得； v ( 盯占+ - ，硼= v ( 盯+ ，国g ) e = 0( 2 4 ) 其中国为注入场域内电流信号的角频率。接下来我们引入场域内的节点电势翟， 由e = - v 材可得： v 一+ 歹嬲x - v 即) 1 = 0( 2 5 ) 这样场域q 内任意一点似) ，) 处的电势“( x ，力就满足l a p l a c e 方程 v 【( 盯( 罩，) ，) + ，嬲( 毛y ) ) v 】= 0 即v 眇口，y ) v - 砧】= 0 ( 2 6 ) 9 颈士论文 电阻抗成像技术的研究与系统设计 其中从而力= 盯( 毛力+ _ ，傩似力称为该点的复电导率由于电流是通过人体表面 安放的电极注入体内的，这就必然会在体表产生表面电流密度以，即n e u m a n n 边界条件为： ，_ 0 u = 厶o na q ( 2 7 ) o r 由式( 2 6 ) 和( 2 7 ) 加上电荷守衡定律山= o 及选择一个参考电压蠡= o 这样 就构成了一个e i t 的连续模型，但实际应用和计算时，该模型是不适用的，首先 边界条件中电流密度以实际上是个未知量，两是只知道注入电极的l 个离散电 流分量，虽然可以将厶设定为一个常量，形成另一种模型，但该模型仍就不太 适合实际运算，因为还没有考虑以下两个因素：电极是离散的附加于场域边界的； 电极本身的导电特性( 主要指与表面物质的接触阻抗) ，若考虑到以上因素，我 们可以对边界条件傲如下处理： 令电流密度在每个电极上的积分等于漉入该电极的全部电流，即 【，= ， 犯0 髀 1 = 1 、2 l ( 2 8 ) 上式中蜀表示第，个电极所在的区域， 电极问的电流密度为0 ，即，婴= 0 。 a 打 是注入第，个电极的电流量，而电极与 ( 2 9 ) 若考虑到电极与体表接触会产生一定的电化学变化，因此实际电极与体表层 之间存在一定的电阻层，用z ，表示该电阻值，又称为接触阻抗，在计算过程中 一般当作常数来看待( 若对接触阻抗不加以考虑，则令乃= 0 ，本文的模型建立 和求解过程未考虑表面接触阻抗) 。因此在电极上的电压边界条件可以如下得到： 巧= t i + z i ，罢o n 蜀( 2 1 0 ) 瑚 最后由式( 2 6 ) ，( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 得出人体内部组织内各点的复电导率分 布，和电势分布甜是满足脚l a c e 方程的： 该微分方程的2 个边界条件为： d i r i c h l e t 边界条件为： 巧= u - t - z 1 y 罢， m n 唧呦边界条件为：= 【，笺! 西， v 【厂瓴y ) v ”】= 0 z = l 、2 l ( 芷边界极点上) l = 1 、2 l ( 在边界极点上) 其中巧为测量的边界电极上的电势，五为电极上的激励电流。考虑到在实际 测量时测得的是边界各点上的电压而不是电势，因此需要在边界上取一个零电势 的参考c ( x o ，y o ) ，其他边界点与c 点之阆的电势差即为其电势值，则实际测得 硕士论文 电阻抗成像技术的研究与系统设计 的电势分布巧在参考点的电势为巧( x o ，y o ) = o ( 可以作为一个边界条件) 这样就 得到了e i t 问题求解所要建立的完备模型( c o m p l e t em o d e l ) ，该模型被证明具有 唯一解。 在e r r 技术中人们常用的激励电流源的频率较低( 1 0 k h z - - 1 0 0 k h z ) ，采用 这样一个低频范围内，可以忽略介电常量的影响，即内部组织表现出的是纯电阻 特性，这样式( 2 6 ) 的l a p l a c e 方程v ( ，力- v 砧) = 0 可简化为： v p 0 ，力- v u ) = 0 ( 2 1 1 ) 通常e i t 的目的就是要求解该方程的电导率盯瓴y ) 的大小和分布，即复电 导率的实部，省略其虚部分量( 当然也可以求解复电导率) 式( 2 1 1 ) 实际上 是一个椭圆型的偏微分方程，对于这类偏微分方程的求解只有对具有径向对称的 正规几何场域时才存在解析解，而对于不规则区域内的求解必须采用数值计算的 方法也就是说e i t 问题不能使用解析法来求解，而需要用“解正问题最优化” 的方式借助于迭代计算来实现让”，即先假定已知电导率c r 0 以) ，) 的分布，通过求 解正问题，解出各点的电位分布值，再根据已知的边界条件不断的修改假定的电 导率分布( 即迭代步长) ，通过不断的迭代求解正问题，直到收敛到满足已知的 边界条件，从而最终求出未知的电阻抗分布值，再重建出其图像 2 2 2e i t 技术的正问题和逆问题 所谓正问题是指，对于l a p l a c e 方程式( 2 1 1 ) 在已知电导率盯( x ，力的分布 和外界施加的激励电流j 的情况下求解被测区域内部及边界的电位群的分布。它 的求解可分为解析法和数值法两类，由于e i t 重建计算的是一个具有特殊边界条 件的电场，场域的数学描述为二阶偏微分方程，涉及到的场域的几何形状是不规 则和不固定的，并且电阻率分布情况未知，所以只能应用数值计算方法进行求解 常用的数值计算方法有有限体法( f 州) 、有限元法( f e m ) 、边界元法( b 踟) 等。本文采用有限元法求解e i t 正向问题求解过程为，先利用有限元方法直接 求解拉普拉斯方程，得到区域内部的节点电位，然后由模型内部给定的电阻率分 布及边界条件计算场域内部的电流密度，进而达到全面分析这一电场的目的，并 为逆问题的求解和实际测量提供参考数据，也为雅可比矩阵的计算提供数据。 e i t 成像的逆问题是指，对于l a p l a c e 方程式( 2 1 1 ) 给出边界电压的测量 值和激励电流的值求解被测场域内的电导率的分布，即由k 和五来求盯沁) ，) 对于逆问题的求解，本质上是解非线性方程，e i t 逆问题最大的困难在于它的病 态性：测量得到的边界电压的信息量非常有限，而边界电位的变化对场域内部电 导率的变化不敏感，也就是说在求解e i t 的逆问题时，边界电压测量值的微小变 硕士论文电阻抗成像技术的研究与系统设计 化会导致求解出的场域内部电导率与很大的变化，使得求解过程不稳定】因 此如何克服微分方程的不稳定性是求解逆问题的最大障碍。 2 3 正问题的有限元( f 蹦) 解法 上节提到传统的解析法在求解e i t 模型的正问题时是很困难的，而经典的有 限元法( f i n i t ee l e m e n t sm e t h o d ) 是以变分原理为基础，将所要求解的微分方 程首先转换为相应的变分问题，即变分求极值的问题：然后利用剖分插值函数， 将变分问题离散化为普通多元函数的极值问题【2 l 】。该方法广泛应用于拉普拉斯 方程和泊松方程所描述的各种物理电磁场的计算中，它不受场域边界形状的限 制，对不同物质分界面上的边界条件不必作单独的处理，这些优点正是简化e i t 问题求解所需要的 利用有限元法计算具有边界条件的边值问题时其计算步骤如下： ( 1 ) 找出与边界问题相应的泛函及其变分问题 ( 2 ) 将场域进行剖分，然后将剖分单元中任意点的未知函数用该单元的形 状函数及离散点上的函数展开，同时完成图像离散化的过程。 ( 3 ) 求泛函的极值，并导出代数方程组，即有限元方程。 ( 4 ) 利用合适的矩阵算法求解有限元方程组 2 3 1e i t 有限元法的原理和区域剖分 2 3 。1 1 变分问题 用有限元法解e i t 正问题就是对式( 2 1 1 ) v ( o ( x ，y ) v u ) = o 描述的拉酱拉斯 方程采用离散化的代数方程a 工= 6 的形式求鳃。原理就是从电磁场的微分方程 出发，寻找一个泛函使它的极值与求解的偏微分方程的边值等价，转化为代数方 程，再采用各种数值计算法求解线性方程。 在数学上称泛函的极值问题为变分问题，变分法寻找的就是泛函积分式的极 值，既然有限元法是以变分原理为基础。那么对于式( 2 1 1 ) 有必要寻找与其等 价的变分问题，在此我们直接引用文献的推导结果，在e i t 场域中与上述拉普 拉斯方程和边界条件对应的等价变分问题为： f ( u ) = 一【鲇v ( o r v u ) d q = m i n ( 2 1 2 ) z “ 边界条件不变。对上式进行如下化简，有恒等式 v 国盯v u ) = v u o v u + u v - ( o v u ) ( 2 1 3 ) 对( 2 1 3 ) 式应用高斯散度定理i v 彳咖= d 彳出得 颈士论文 电阻抗成像技术的研究与系统设计 户 盯v u ) d v = ! f u a 墙= p c ) 2 咖+ p p v 甜) d r ( 2 1 4 ) 对( 2 1 4 ) 作移项变化得 l u v ( 盯乳沙= 一p ( ) 2 咖+ 扣盯v 群西 ( 2 1 5 ) 这样对与式( 2 1 2 ) 就有 ，似) = 一吾v p v u ) d n = 三盯( 勖) 2 d n 一吾争口珊西 ( 2 1 6 ) 对于边界条件电流密度厶= 盯婴代入( 2 1 2 ) 式得： m ) = 圭e 口材) 2 魂一圭争厶d s = m i n ( 2 1 7 ) 经过上述推导便得到t e i t 场域中l a p l a c e 微分方程的等价变分问题，它的求解过 程采用有限元法，将电场域均匀削分为m 个离散的三角单元，则根据叠加原理有 ，( ) = 只 ) ( 2 1 8 ) 这样式( 2 1 6 ) 可作如下表示 f ( ) ；萋e = 姜争l 矿陬) 2 a x 2 。一 山越啦】 f ( ) ；善e = 善争l 矿陬) 2 。一 山越凼。1 ；漕p e + 爹2 妫一扣创 亿蚴 由上式可以看出：e i t 中连续场域的计算已经离散化为多个小单元的计算，接下 来讨论如何将连续场域进行离散化，即场域的有限元剖分 2 3 1 2 场域的有限元剖分 在采用有限元方法求解电磁场问题时，对所求场域进行小单元剖分是必不可 少的。为方便计算与划分，在本文中我们将被测场域的二维形状近似为一标准的 圆，边界采用1 6 电极的模型。对场域的剖分可采用两种方式，即三角形和四边形 单元剖分方式，对于圆形的场域常常采用三角形的割分法，本文采用姒t l a b 软件 对圆形场域进行了均匀单元剖分，对圆剖分的具体过程如下； ( 1 ) 确定边界上的极点个数( 1 6 ) 、半径长度、半径上的节点数。 ( 2 ) 对整个圆的1 8 扇形进行三角割分，由半径上的节点个数确定凡层圆，每外 层圆的边界节点比内一层的多一个，最后由每个节点所在的坐标采用m t l a b 中的 t r i m e s h ( ) 函数对1 8 的圆按指定的节点进行三角形剖分【1 1 1 ( 3 ) 利用圆的对称性和节点坐标转换对其余7 8 个圆进行三角剖分 ( 4 ) 对剖分好的区域进行节点编号、三角单元编号，并给出各个节点的二维坐 标( x ，y ) 以下给出了基于1 6 个边界极点数的一次剖分和二次剖分图。 一1 3 硕士论文 电阻抗成像技术的研究与系统设计 ；箴强； ：坯岁! 覆j 蠹个数为1 6 的二孜区域剖分圈 半径等于b 节直个数为刚三禽单元为1 盈 图2 2 场域的三角单元剖分 2 3 2 正向问题有限元矩阵方程的建立 2 3 2 1 - - - 角单元矩阵的建立和求解 在将连续的场域剖分为离散的有限个三角单元之后，接下来便是要对三角单 元内的电场进行分析与求解。 以右图为例：设该三角单元的电导 率为叮，对其单元内的电位分布采用一个 简单的线性插值函数表示叫： ( 薯力= 口+ 皿+ ( 2 2 0 ) 令，砧2 ，蚝为三角形三个顶点( 节点) 的 电位，从而在每个节点处的电位为：图2 3 三角单元 砘瓴力= 口+ 声气+ d t 狂2 瓴力- - - - d t + f i r 2 + 2 却，( 量力= 口+ 肛+ 7 弘 ( 2 2 1 ) 由上式( 2 2 1 ) 可以求得插值函数的系数t 2 ，p , r 分别为 口2 去乃一x 3 y 2 ) u t + ( x ，y l - x t y ，) u 2 + ( x a y 2 一x 2 y 1 ) u 3 2 玄一y 3 ) u l + 如一y o “2 + “一y 2 ) u ，】 ，2 互- e e c x , 一x 2 ) u t + ( 而一x 3 ) u 2 + ( x 2 - - 而) 砧，】 ( 2 2 2 ) 其中a 代表三角单元的面积 1 = 亡( 屯乃一而耽+ x 3 y t 一而乃+ x l y 2 - x 2 y i ) 为了运算方便可以设定如下系数： 硕士论文电阻抗成像技术的研究与系统设计 岛= x z y 3 一而儿毛= y z 一乃 q ；而一而 a 2 = x 3 y t 一而乃6 2 = 弱- y l吒= 而一而 从而求得三角单元中某点( x ，y ) 处的电位分布为 以“力= 甜l z k 力+