（计算机应用技术专业论文）基于几何连续的曲线曲面延拓问题研究.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 参数多项式表示方法被广泛的应用到c a d 及c a g d 系统和自由曲线曲面的 一 。 表示中，例如b e r n s t e i n - b 6 z i e r ，s c h o e n b e r g b s p l i n e 和h e r m i t e c o o n s 等【l “。b 、 6 z i e r 曲线是c a g d 中最基本也是最重要的造型工具之一，有着广泛的应用背景，、 其中b a z i e r 曲线曲面的应用尤为广泛。 在曲线曲面设计应用中，单独的一段参数曲线或者一片参数曲面的表示能力 有限，如果所设计的曲线曲面形状比较复杂，就需要利用分片、分段技术进行表 示，将多段曲线曲面光滑的拼接在一起，得到更为复杂的曲线曲面表示。用户经 常遇到的一个问题是延长已知的参数曲线曲面延伸到一个给定的延伸点或一条 给定的曲线，把所延长的曲线曲面段也用同次的参数曲线曲面表示，并要求曲线 之间在拼接点处达到某种程度的光滑连续性。通过这种参数曲线蓝面延拓方法可 以使多段曲线曲面拼合在一起，从而可以表示更为复杂的曲线曲面形状。对于参 数曲线曲面延拓问题，现在普遍使用的是利用参数连续性描述所拼接曲线曲面之 间的光滑性。如果参数曲线曲面在拼接处达到了最高参数连续，则曲线曲面将不 具有调整性，因此无法得到最为光顺的曲线曲面。 几何连续已经可以满足用户对于曲线曲面之间的光滑性要求，针对上述问 题，本文提出了一种参数曲线曲面延拓的新方法，采用几何连续描述曲线曲面拼 接点处的光滑性，从而为延长曲线曲面提供额外的自由度，克服了参数连续曲线 曲面的不可调整性。本文分别用曲线弧长最短、能量最小、曲率变化率最小的近 似表达式定义目标函数，通过极小化目标函数确定几何连续所提高的曲线曲面自 由度，从而得到更为光顺的延拓曲线曲面，并分析了各个目标函数自由度的存在 性问题。新方法具有计算量小，所得到的延伸曲线曲面更为光顺，并且具有更小 的应变能和曲率变化率的优点此外，也可以根据实际需要在所得到的自由度值 的附近来继续调整曲线，或者把其中两种目标函数的加权和作为新的目标函数求 解，以达到满意的效果，增加曲线调节的方便性。但是，本文所提到的三种近似 公式所确定的目标函数并不是在任何情况下都能得到最好的效果，并且在某些情 况下得不到自由度的解，这是我们以后要研究的问题。 由近似曲线弧长最短、能量最小、曲率变化率最小公式所确定的目标函数得 山东大学硕士学位论文 到的延拓曲线曲面并不是最优解，本文进一步采用精确能量和精确曲率变化率公 式作为目标函数确定延拓瞌线，通过实例看出，延拓曲线具有更为理想的光顺程 度。 关键词：曲线曲面延伸；几何连续；弧长；能量；曲率变化率 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t 一 p a r a m e t e rp o l y n o m i a lf o r mi su s e dhc a d ，c a g ds y s t e ma n df r e ec u r v e s u r f a c ee x p r e s s i o nw i d e l y s u c ha sb e r n s t e i n - ba z i e r - s c h o c n b e r g - b s p l i n ea n d h e r m i t e c o o n s b 6 z i e rc r i n ei so n eo ft h em o s tb a s i ca n dt h em o s ti m p o r t a n t 一 一 s h a p e f o r m a t t i n gt o o l si nc a g d i th a sw i d ea p p l i e db a c k g r o u n d 1 1 1 eb 6 z i e rc u r v e a n ds u r f a c ea r eu s e dw i d e l ye s p e c i a l l y i nt h ec u r v e sa n ds u r f a c e sd e s i g na p p l i c a t i o n , b e c a u s et h ee x p r e s sa b i l i t yo fa s i n g l ep i e c eo fp a r a m e t r i cc u r v eo rs u r f a c ei sf i n i t e ，i ft h es h a p eo ft h ec d r v ea n d s u r f a c ei sc o m p l e x , t h es e g m e n t a lt e c l 】n o l o g ym u s tb eu s e dt od e n o t et h ec u r v eo rt h e s u r f a c e , u s e rc a ng e tt h em o r ec o m p l e xc u l - v eo rs u r f a c et h r o u g hs e v e r a lp i e c e so f c 1 j 1 v e so rs u r f a c e sc o m b i n e df a i r l y aq u e s t i o nu s u a l l yc o m i n gi st oe x t e n dap i e c eo f c u r v eo fs u r f a c et 0ak n o w np o 砬0 1 ap i e c eo f c u r v e , t h ee x t e n d e dc u r v eo rs u r f a c ei s a l s op r e s e n l e di np a r a m e t r i cc b r v eo rs u r f a c ew i t ht h es a m ed e g r e e ，a n da tt h ej o i n to f t h et w oc u r v e so rt w op i e c e so fs 1 l r f a c c sa r r i v ec e r t a i l ls m o o t h n e s s t h r o u g ht h i s m e t h o ds e v e r a lp i e c e so f c u r v ec a nb ec o m b i n e dt o g e t h e r , s ot h em o r ec o m p l e xs h a p e o fc 脚r v eo rs u r f a c ec a nb ee x p r e s s e d t h em e t h o di sl 塔ef o rp a r a m e t r i cc u r v ea n d s n r f a c ee x t e n du s u a l l ya r r i v ep a r a m e t r i cc 0 删妇i 何i fa tt h ej o i n tb e t w e e np a r a m e t r i c c u r v e sa n ds u r f a c e sa r r i v et h eh i g h e s tc o n t i i l 伍坝t h ec u r v e s o rs u r f a c e si s u n a d j u s t a b l e , s oc a n tg e tt h em o s tf a i r l yc b i v e0 1 s u r f a c e b e c a u s eg e o m e t r i cc o n t i n u i t yc a l lf i tt h en e e do f t h es m o o t h n e s sb e t w e e nc u l v e s a n ds u r f a c e s ，a i ma tt h ep r o b l e mp r e s e n t e da b o v e ，an e wm e t h o do fp a r a m e t r i cc b l v e a n ds u r f a c ee x t e n d e di sp r e s e n t e di nt h i sp a p e lg e o m e t r i cc o n t i n u i t yi su s e dt o d e s c r i b et h es m o o t h n e s so f t w op i e c e so f p a r a m e t r i cc i l r v e sa n ds u r f a c e sa tt h e h j o i n t i nt h i sp a p e r , w h i c ho f f e r st w oa d d i t i o n a lf r e e d o md e g r e e sf o ra d j u s t i n gt h es h a p eo f t h ee x t e n d e dc u r v e ，t h u st h et m a d j u s t a b i l i t yo f c u b i cc u r v e si np a r a m e t r i cc o n t i n u i t yi s r e m o v e d n es h o r t e s ta r c l e n g t h , m i n i m u me n e r g ya n dm i n i m u mc l l r v a t u r ev a r i a t i o n o ft h ec u r v e ，a r eu s e dt os e tu pt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n s ，r e s p e c t i v e l y n ef r e e d o m d e g r e e so ft h ee x t e n d e dc u w ea 化d e t e r m i n e db ym i n i m i z i n gt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n s 山东大学硕士学位论文 s oc a ng e tt h em o r ef a i r i n gg b r v e so rs u r f a c e s ，a n da n a l y z et h ee x i s t e n c eo ft h e f r e e d o md e g r e e s t h en e wm e t h o di sc a l c u l a t e ds i m p l y , t h ee x t e n d e dc u r v ea n d s u r f a c ei sm o r ef a i r i n g ，a n dh a v el e s se n e r g ya n dm o r es m o o t hc u r v a t u r ev a r i a t i o n u s e rc a n a d j u s tt h ec i l r v c sa n ds u r f a c e st h r o u g hm o d i f yt h ef r e e d o md e g r e e s ，o r c o m b i n et w oo b j e c t i v ef u n c t i o n sa st h en e wo b j e c t i v ef u n c t i o nt og e tt h ef r e e d o m d e g r e e s ，t h ef a c i l i t y o fc u r v e sa n ds u r f a c e sa d j u s t e di se n h a n c e d b u tt h et h r e e o b j e c t i v ef u n c t i o n sc a n n o ta l w a y sg e tt h eb e s tr e s u l t ，b e s i d e s ，u n d e rs o m ec a s e s c a n n o tg e tt h ef r e e d o md e g r e e s ，t h i si sap r o b l e mw ew i l lr e s e a r c hi nt h ef i l t u r e b e c a u s et h eo b j e c t i v ef u n c t i o n sa r ec o n f i r m e dw i t ha p p r o x i m a t es h o r t e s t a r c - l e n g t h , m i n i m u me n e r g ya n dm i n i m u mc u r v a t u r ev a r i a t i o nf o r m u l a , t h ef r e e d o m d e g r e e sc o n f i r m e d 、 ，i t ht h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni sn o tt h eo p t i m a lr e s u l to f t h ee x t e n d e d c 1 1 1 v ea n ds u r f a c e t h ep r e c i s ee n e r g ya n dp r e c i s ec b r v a t u r ev a r i a t i o nf o r m u l ai su s e d a st h eo b j e c t i v ef u n c t i o n st oc o n f l r r at h ee x t e n d e dc u l w e t h ee x t e n d e dc u r v eh a v e m o r ei d e a ls h a p ea n df a i r n e s s k e yw o r d s ：p a r a m e t r i cg l l l v ea n ds u r f a c e ；g l l l v ea n ds u r f a c ee x t e n s i o n ；g e o m e t r i c c o n t i n u i t y ；a r c - l e n g t h ；o l r v ee n e r g y ；c u r v a t u r ev a r i a t i o n i v 原创性声明和关于论文使用授权的说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独、 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：日期：丝丝：竺，【7 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 、 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 师繇辋日期：螋j 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究背景和意义 c a d 和c a g d 技术起源于飞机造型，2 0 世纪6 0 年代初，美国波音飞机公 、 司的弗格森采用参数矢函数来描述产品的形状。从此以后它就成为形状数学描述 的标准。b d z i e r 在1 9 6 2 设计了以逼近为基础的曲线曲面造型系统u n i s u r f ，其 核心思想是用控制网格定义曲线曲面的b 6 z i e r 方法 1 0 - 1 5 】。随后，f o r r e s t ， g o r d o n 和r i e s e n f e l d 【2 4 】等对b 6 z i e r 方法做了深入研究，揭示了b 6 z i e r 方 法与b e r n s t e i n 多项式之间的联系，从而使其具有更坚实的理论基础。1 9 8 3 年， f a r i n 2 ”6 1 更进一步研究了能统一表示圆锥曲线与自由曲线的有理b 6 z i e r 曲线。 2 0 世纪8 0 年代中后期，法国d a s s a u l t 飞机公司研制推出了c a t i a 系统，也广 泛采用了b 6 z i e r 方法参数多项式表示方法被广泛的应用到c a d 及c a g d 系 统和自由曲线曲面的表示中，例如b c m s t e i n - b a z i c r ，s c h o e n b c r g b s p l i n e 和 h e r m i t e c o o n s 等 1 - 3 q b 6 z i c r 曲线是c a g d 中最基本也是最重要的造型工具之 ，有着广泛的应用背景，其中三次b 6 z i e r 曲线曲面的应用尤为广泛 1 2 参数曲线曲面的延拓问题研究现状 在设计复杂的自由曲线曲面时，人们经常使用分段、分片技术。用b 6 z i e r 曲线表示复杂形状的自由曲线常采用分段定义的方法，即把复杂形状的曲线分解 为多段较为简单的b 6 z i e r 曲线，将多段简单b 6 z i e r 曲线首末拼接起来形成整 体曲线。 由于使用控制多边形生成曲线，所以曲线拼接的过程很直观，也很容易实现。 另外，因为户( f ) 和q ( r ) 在拼合点处的曲率不一定相同，所以，当两条曲线的曲 率不相同时，g c 2 拼接至少需要改动一条曲线的形状。 对于曲线延拓问题的讨论有很多嗍，在大多数的系统中，常采用的一种方 法是在曲线p ( t ) 的末端控制点和延伸点矗之间构造一条g c l 连续的三次b 6 z i c r 曲线。s h e t t y 和w h i t e l 4 1 对于有理b - s p l i n e 曲线曲面的延拓问题提出了一种直接 山东大学硕士学位论文 而实用的方法，但是在文章中，所延长曲线被表示成b - s p l i n e 曲线的节点向量形 式却不适合于c a d 系统的应用。在h u 【6 】的文章中，提出了对于b s p l i n e 曲线延 拓问题的另一种方法，所延拓的曲线同原曲线在拼接点处达到了曲线的最大连续 性，即对于三次曲线，在拼接点处可达到萨连续。因为b 6 z i e r 曲线是b s p l i n e 曲线的一种特例，所以文章中的方法也可以应用于三次b 6 z i e r 曲线的延拓问题 上，构造出来的曲线虽然在拼接点处达到了c 2 连续，但曲线的形状却是唯一的， 没有可调整性 - q ，如果在某些情况下构造出来的曲线形状不理想或者不满足用户 的需要，却无法对曲线进行修正。 1 3 研究目的和主要研究成果 本文提出了一种对于三次b 6 z i e r 曲线延拓的新方法在实际应用中，在拼 接点处达到了几何伊连续的曲线基本可以满足需要，因此我们采用g 2 连续来描 述曲线拼接点处的光滑性。采用g 2 连续可为构造的延拓曲线提供两个额外的自 由度，用于调整曲线的形状如果希望延伸的曲线达到c 2 连续，则可对铲连续 的曲线重新参数化使其达到产连续。本文分别以曲线弧长最短，能量最小1 8 9 1 町 和曲率变化率最小的近似表达式作为目标函数，通过极小化目标函数确定所延长 的曲线。文章对三种目标函数确定的延长曲线进行了比较。最后，我们对具有相 同插值条件的铲连续曲线和c 2 连续曲线的形状做了比较。通过第三章的实例比 较可以看出基于几何连续的延拓曲线形状明显好于参数连续的曲线形状，从曲线 能量角度比较，基于几何连续的延拓曲线能量要小于参数连续的曲线能量 由近似公式所确定的目标函数虽然计算方便，但所得到的延拓曲线自由度并 不是最优解。因此，本文还利用精确能量公式作为目标函数，并将近似能量公式 作为目标函数所得的自由度值作为初始值，通过牛顿迭代法确定自由度，并比较 了所延拓曲线的能量和光顺性，可以得出，由精确能量公式所确定的目标函数得 到的延拓曲线要好于近似目标函数所确定的延拓曲线。本文还将新方法应用于三 次b 6 z i e r 曲面的延拓中。 1 4 各章节安排 本文第一章首先介绍了b 6 z i e r 曲线曲面的定义及曲线曲面的参数连续性和 2 山东大学硕士学位论文 几何连续性。对曲线曲面延拓问题进行了叙述，对当前曲线曲面延拓问题的研究 进行了概括性的描述，指出了其中的不足之处。 本文第二章介绍了一种对于b s p l i n e 曲线延拓问题的方法【6 】i 所延拓的曲线 同原曲线在拼接点处达到了曲线的最大连续性，即对于三次曲线，在拼接点处可 达到c 2 连续。因为b 6 z i e r 曲线是b - s p l i n e 曲线的一种特例，所以文章中的方法、 也可以应用于三次b ( ! z i e r 曲线的延拓问题上，构造出来的曲线虽然在拼接点处 达到了c 2 连续，但曲线的形状却是唯一的，没有可调整性川，如果在某些情况 下构造出来的曲线形状不理想或者不满足用户的需要，却无法对曲线进行修正。 本文第三章提出了一种对于三次b 6 z i e r 曲线延拓的新方法。在实际应用中， 在拼接点处达到了几何g 2 连续的曲线基本可以满足需要，因此采用g 2 连续来描 述曲线拼接点处的光滑性采用g 2 连续可为构造的延拓曲线提供两个额外的自 由度，用于调整曲线的形状。如果希望延伸的曲线达到产连续，则可对g 2 连续 的曲线重新参数化使其达到萨连续。 ( 1 )确定目标函数：本文分别以曲线弧长最短，能量最小隅 卅和曲率变化 率最小的近似表达式作为目标函数，通过极小化目标函数确定所延长的曲线。文 章对三种目标函数确定的延长曲线进行了比较。并对具有相同插值条件的g 2 连 续曲线和c 2 连续曲线的形状做了比较。 ( 2 )求解目标函数：对于三种目标函数进行求解，并判断解的存在性和 唯一性，从而确定延拓曲线所需的两个自由度。 ( 3 )实例比较；将三种目标函数所确定的延拓曲线同c 2 连续曲线进行比 较，最终判断曲线的光顺性和能量大小。 ( 4 )曲面延拓：将新方法应用于曲面延拓。 最后本文第四章采用精确能量模型和精确曲率变化率公式作为目标函数确 定三次b 6 z i e r 曲线延拓自由度，因为求解精确能量模型和精确曲率变化率公式 将会导致非线性问题，文中采用牛顿迭代法进行求解，将使用近似能量模型所得 的解作为初始值代入精确能量模型求解可得到延拓曲线更好的结果。并将所延拓 的曲线同近似公式作为目标函数所确定的延拓曲线进行了比较。 3 山东大学硕士学位论文 第二章一种参数连续的曲线曲面延拓方法 2 1 基础知识 参数连续性： 如果曲线p = p ( f ) 在f - - t o 处满足左右以阶导数均存在且相等，即 刽d t 畸= 割d t 。k1 。 k = o ，l ，聆 则称曲线p 0 ) 在f = f o 处是竹阶参数连续的，或称p 连续。若曲线在区间【o ，1 】内 处处是，连续的，则称该曲线是p 连续的。 均匀参数化： 。 。 例如，如果曲线在t = f 0 处满足产连续，则它一定满足下述条件： ，( 石) = p ( 瞄) ，p ( ) = p 7 ( 瞄) ，p ( t o ) = p 。( 瞄) 使每个节点区间长度( 向前差分表示) 。= “一为正的常数，f = 0 ，1 9 t tj $ n - 1 ， 即节点在参数轴上呈等距分布，为处理方便起见，常取成整数序列 = i = o ，1 ，疗这种参数化法仅适合于数据点多边形各边( 或称弦) 接近相 等的场合。否则，在多边形相邻段弦长相差悬殊的情况下，生成插值曲线后弦长较 长的那段曲线显得较扁平，弦长较短的那段曲线则臌得厉害，甚至出现尖点或打 圈自交的情况。 出现上述问题，从物理上可解释如下：把参数f 看作时间，质点p 随着时间变 化在空间扫出一条依次经过给定位置( 即数据点) 的曲线p ( ，) 。采用均匀参数化 就意味着在任意两邻点间花费同样多的时间，而不管它们间的距离如何。如果汽 车沿着这样一条插值曲线行驶时，数据点成了站点，当两邻站点间距离大时，就必 须高速前进。如果接下来的两相邻站点间距离很小时，由于不能把速度突然减下 来，就会发生过冲问题 累积弦长参数化： 4 山东大学硕士学位论文 令 f o = 0 = 。+ l 纰，l ， 其中i 必i 是向量蝇的长度，必= 最“一最即弦线矢量。这种参数化法反 、 映了数据点按弦长的分布情况，一直被认为是最佳参数化法。它克服了数据点按。 弦长分布不均匀情况下采用均匀参数化所出现的问题。在较多情况下能获得较满 意的结果，即所得插值曲线具有较好的光顺性。弦长参数化法生成的插值曲线在 某种程度上可看作粗略的弧长参数化，切矢模长较接近单位长，似可看作为较好 光顺性的解释。应该指出，插值曲线的光顺性不仅与数据点的参数化有关，还与所 采用的插值法有关。当所取的数据点足够密，且当插值法具有收敛性质，即加密数 据点时插值曲线收敛到被插曲线的性质时，将生成近似弧长参数化的插值曲线。 但在工程实践中，都不希望费这样的麻烦。人们希望能用尽可能少但又足以表示 形状的数据点，方便地生成所要求的曲线。 2 2 一种参数连续的b 样条曲线延拓方法 一条具有控制点只o ；o , 1 , 2 , 3 ，”) 的k 阶的b 样条曲线被定义为： p q ) = 只啦( f ) ，t - 1 1 ，他们的方 法通过映射点p ( 1 一f ，) 对于曲线在点p ( 1 ) 处的法矢量来计算目标点。 首先估计延拓曲线的参数化。在增加了一个目标点之后，- 曲线p ( f ) 的节点矢、 量由t l 变为： 。 - e ：唑二尘 ， 地譬：兰 其中砧 1 ，本算法采用弦长参数化来确定材的值。因此，砧的值可以由下式 确定： + 丽生l ( 2 3 ) l i r a 。+ ，) - p ( t 。+ ，。h i， 其中为欧几里德泛式 一旦参数被估计，可以将曲线p ( f ) 的节点向量由t l 变为： 唑：2 ， 1 ，坐：哆 并且利用算法2 1 计算新的控制顶点q ，0 s s n 。延拓之后的新曲线表达式为： 声( f ) = 只0 ( ，) ， o s ，s 、一 其中： 图2 1k - - - 4 时的d e b o o r 算法计算过程 山东大学硕士学位论文 只段竺? 珥 根据b 样条基函数的性质，可以重写节点向量t 3 如下： 0 , 0 ，0 ，生，一t n ，土11 ，1 。尸“丫。 图2 1 表述了延拓一条4 阶b 样条曲线的实例：( a ) 表示了原始曲线和目标点， ( b ) 是经过非收缩之后的同一条曲线，( c ) 是经过延拓之后的新曲线。 。 2 2 2 多个目标点的曲线延拓 在此仅考虑将一条b 样条曲线延拓到两个目标点的情况。设两个目标点为胄 和r ，曲线进行延拓之后，新曲线的节点向量由t 1 变为： t ：唑掣埘t k ”，t n ，1 ，掣 其中v h 1 ，我们根据弦长参数化确定甜和v 的值，也就是h 的值由等式 ( 2 3 ) 来定义，v 的值由下式确定： ，例+ 鬲型l ( 2 4 ) 0 j ( f 。+ ，) - p ( t 。+ ，) 0 通过解开曲线p ( f ) 的节点向量由t t 到： 9 2 卫厶，“坼芝芝2 应用算法2 1 来计算新的控制定点q ，0 i s 行，对于重新参数化的曲线q ( r ) ， 首先考虑如何将曲线q ( t ) 延长到第一个目标点五，获得曲线的节点向量： v 0 , 0 , - - , 0 ，t k ，乙l ，! ： 由点r 延拓r 到的过程前面所叙述的过程类似。因为以，) 是一条j 阶b 样条 曲线，因此能够在先前的曲线段之间( 在曲线的终点p ( 1 ) = 只) 和所延拓的由终 点p ( 1 ) 和r 的曲线段达到c 扣2 连续。事实上，在原来的曲线段的控制顶点为q ， i = - - k + 1 ，n - k + 2 ，一。新曲线段的控制点为q ，f - - ? l k + 2 , n - k + 3 ，n + l - 因此仅仅有一个新的控制顶点q 。需要被计算。 8 山东大学硕士学位论文 基于d e - b o o r 算法的逆过程，提出了一种外推算法。为了证明该算法的思想， 以4 阶曲线为例，在图2 i 中，令_ ，= n + l ，娲为目标点r ，通过给定的插值 点只和已知的控制顶点喘，确，计算未知的控制顶点掣，下面给出的两 个计算步骤可以达到这个目的： 、 1 通过d e b o o r 循环计算中间点，球：，墨，也就是说，由确和瑞 计算控制顶点p ，t 。，由喘和瑞计算控制顶点艺：，由和p i 计算控制顶点 喘； 2 通过d e b o o r 循环计算的逆过程计算控制顶点p 一2 ，绉，掣，也就是说， 由确和晴2 r 计算控制顶点确，由砖：和鼍：计算控制顶点，因此由礞。 和啪计算控制顶点q 。q = 掣 这个递归的算法对于大多数的k 阶外推b 样条曲线的情况如下： 图2 2 将一条4 阶b 样条曲线延伸到一个目标点 9 山东大学硕士学位论文 图2 3 将一条4 阶b 样条曲线延伸到多个目标点 算法2 2 ：通过外推法计算控制顶点q 。 1 设定初始值；令，n + l ，t = t j + 1 ，g k 。- ) + l ( r ) ；r 和绒j - k + ) ( ，) = q + 2 。， f = 0 ，1 ，k 一2 ； 2 d e b o o r 算法循环：令 饼= 糕( f ) + 急簖( f ) r t l ，2 ，七- 2 ；i = _ ，一岔+ l ，_ ，- r - 1 r = l 2 一, k - 2 ；i = j - k + l ，j - r - 1 3 d eb o o r 算法的逆循环： 纠( f ) ：虹i 丛丛生趱 t t ，+ ， ，= j - 2 ，k 一3 ，o ；f = _ ，- r 4 q 。= q o ( f ) 通过算法2 2 计算了控制顶点q + 。之后，仅需要令q 。= r ，且新的b 样条 曲线表达如下： + 2 q ( f ) = q ( f ) ，0 s r s l s - o o 山东大学硕士学位论文 其节点向量为： o ，o ，i ，生，蔓，! ，兰，1 ，1 ，l 。r 1，vvv t 。 图2 3 表示了延长多个b 样条曲线到两个或三个目标点的结果。被延拓的曲线 段用点线来表示而原始曲线段用实线来表示 、 2 2 3 b 样条曲面的廷拓 一个k x l 阶的b 样条曲面p ( f ，j ) 具有控制顶点( o s i n , o s ，聊) 可以被 定义如下： p ( t ，s ) = 弓以( f ) ( s ) ，t k 一，f ，j “玉j s 蒯 i w oj 卸 其中m j ( f ) 和m ，( f ) 是b 样条的k 阶和，阶基函数分别定义于基函数t l 和，一 正：必盼“，! ：她 f， 我们现在考虑将曲面p ( f ，j ) 在方向f 上延伸到两条，阶的目标曲线t i 和t 2 ， 其节点向量为t 5 且控制顶点分别为爿和譬( = o ，1 ，朋基于b 样条曲面的张 量积结构，需要延拓到坍+ 1 阶b 样条曲线。 弓o ) = 乃。o ) ，j = o ，l ，研 i - o 对于具有普通参数化的目标点爿和呼，因为节点向量t 1 在延伸之后应该被转化 为节点向量t 4 ，我们通过平均“，( ，= o ，l ，1 ”m ) 和v , o - - 0 , 1 ，m ) 来各自计算“和 v ，其中”，和分别由公式( 2 4 ) 和公式( 2 3 ) 来计算。 图2 4 表示了将一个b 样条曲面延拓到两个目标曲线的结果。被延拓的曲 面片由点线表示，而原来的曲面片和目标曲线由实线来表示。 山东大学硕士学位论文 2 3 小结 图2 44 x 4 阶的b 样条曲面延拓 至两条目标曲线 本章所给出的方法是对于给定的b 样条曲线曲面的延拓一种常用的方法，在 很多系统当中，一个常用的解决方法是在b 样条的末端增加一段g c l 连续的b 6 z i c r 曲线，并且把整段曲线转换为b 样条形式 本章是应用8 样条曲线的非收缩算法和d eb o o r 算法的递归性质为延拓b 样 条曲线，曲面提出一个新的算法。确定延拓曲线的节点向量，并在曲线拼接点处 达到了曲线的最大连续性，即对于三次曲线，在拼接点处可达到c 2 连续。因为 b d z i c r 曲线是b s p l i n t 曲线的一种特例，所以文章中的方法也可以应用于三次b d z i c r 曲线的延拓问题上，构造出来的曲线虽然在拼接点处达到了c 2 连续，但曲 线的形状却是唯一的，没有可调整性，如果在某些情况下构造出来的曲线形状不 理想或者不满足用户的需要，却无法对曲线进行修正。 下一章我们将提出一种参数曲线延拓的新方法，在实际应用中，在拼接点处 达到了几何g 2 连续的曲线基本可以满足需要，因此我们采用g 2 连续来描述曲线 拼接点处的光滑性。采用g 2 连续可为构造的延拓曲线提供两个额外的自由度， 用于调整曲线的形状。如果希望延伸的曲线达到c 2 连续，则可对g 2 连续的曲线 重新参数化使其达到c 2 连续。本文分别以曲线弧长最短，能量最小和曲率变化 率最小的近似表达式作为目标函数，通过极小化目标函数确定所延长的曲线。 山东大学硕士学位论文 第三章g 2 连续约束的三次b d z i e r 曲线廷拓 3 1 基础知识 3 1 1 几何连续性 几何连续性与选择的参数无关，只与曲线本身有关。几何连续性的条件要比 参数连续性的条件更苛刻，它们存在着如下的关系： ( 1 ) 如果曲线在f = f 0 处是g 乎的，则经过适当参数化，该曲线也是c 2 的。 ( 2 ) 曲线在f = 毛处是g c 2 连续的充要条件是存在常数口 o 和，使得； l p ( t o ) = p 瞄) p ( 巧) 篁口p ( 培) i p ( t d = 口2 p 。( 瞄) + 尸( g ) 取口= 1 ，夕= o ，上式就成为c 2 连续的条件了。 设p 口) 和q 为两条一次b d z i e r 曲线，拼接时在连接点处需要满足一定的 光滑性要求，这些光滑性要求是： 1 ) g c o 连续：其充要条件是只= q o 。 2 ) g 连续；其充要条件是只= q o r 瓦磊和再z 均不为零且同向， 即只。、只和q l 三点共线 3 ) g c 2 连续：其充要条件是p ( ，) 和q ( f ) 在连接点处达到g c l 连续，还要 满足j l ：，j k ，只，q o ，q l ，q 2 六点共面；只：和q 2 或同在直线只一。q l 上或位于直线 只一。q l 的同侧，而且 生! 墨= z ：墨= ，堡2 ； d ( q 2 ，只q 1 ) 其中d ( 幺，只一。q 1 ) ，d ( 只。，名。q 1 ) 分别表示点q 2 和点只- 2 到直线只q l 的距离， 如下图所示。 婴网 山东大学硕士学位论文 、 昂只= 锄 q 诫只t ，q l 由，次b 6 z i e r 曲线的端点曲率公式知 一导鬻铲l - 孵 f p口 删2 导背一 根据以上讨论，调整曲线p ( r ) 和q ( f ) ，使它们在连接处达到o c 2 连续的算。 法如下： ( 1 ) ：平移控制多边形蜴q l 幺使绥与只重合一 ( 2 ) ：围绕蜴点转动控制多边形幺q l g ，使得磊西与乏z 同向。 ( 3 ) ：围绕线段幺q l 转动多边形幺q l 幺，使得q 2 落在只申j ，只所确 定的平面内，并且与。位于直线q l 的同一侧。 堋整满足怒器2 爵 3 1 2 能量优化方法 由于能量优化造型方法的历史比较短，目前还没有一个统一的标准，经常被 称为基于物理模型的造型、变量造型、数学规划或最优化造型等。定义如下：以 数学规划或优化问题为表达形式，以曲线曲面拥有最小物理变形能量为目标，运 用各种约束及施加外载荷的方式控制曲线曲面形状的造型方法，统称为能量优化 法造型。也就是说，能量优化法造型就是希望在符合几何及非几何约束条件下的 情况寻找具有最小物理变形能量的曲线曲面。采用能量优化方法进行曲线曲面插 值具有许多传统方法不具备的优越性，可以得到更为光顺的曲线曲面。 山东大学硕士学位论文 3 2 基本思想 对控制点只，只，足，己定义的三次b d z i e r 曲线 p ( f ) - - ( i - t ) 3 只+ 3 ( 1 - t ) 2 t e , + 3 ( 1 - t ) t 2 最+ f 3 e te 【0 ，1 1 给定一个不在曲线e ( t ) 上的点只，要求将曲线延长至只，并且所延长的曲线同 原曲线在拼接点处要达到g 2 连续。设延长的曲线也为三次b d z i e r 曲线，记为 q ( f ) ，其控制顶点为q o ，q i ，q 2 ，q 3 。只和q o 为两条曲线的拼接点，两条曲线在 拼接点处达到g 2 连续时控制顶点之间的几何关系为： q 0 = 只， 妻三叠：箍二咎肥圳州b 圳， 瓴， q 2 = 只+ 口( 只一只) 一( 墨一只) + ，( b 一足) ， q 3 ；只 其中口 0 ，夕= 口2 ，为任意实数【1 0 1 ，如图3 1 所示。 下面讨论如何选取自由度o f 和，使所延长的三次b 6 z i c r 曲线具有比较理想 的形状。因为曲线的弧长、能量和曲率的表达式过于复杂，如果直接利用这些表 达式作为目标函数确定自由度，就会引起非线性问题，使求解十分困难，为此我 们采用近似的方法定义目标函数。近似方法对应的三个目标函数为：f 睑( f ) 1 2 a r t 、 山东大学硕士学位论文 j 【q 。( f ) 1 2 西和l 旧。( ，) 1 2 a r t 这三个目标函数分别可看作是曲线弧长、能量和曲率 变化率的近似表达式，通过极小化这些目标函数来确定延长曲线的自由度口和 3 3 确定口和y 的值 3 3 ，1 确定目标函数爱达式 考虑目标函数j l q 。( o i 2 d t 设三次b 6 z i e r 曲线 q ( ，) = ( 1 一r ) 3 q o + 3 ( 1 - 0 2 t q i + 3 ( i t ) t 2 0 - 5 + f 3 q 3 原曲线p o ) 控制点的坐标分别为只( 而，咒) ，只0 2 ，y 2 ) ，只魄，_ y ，) 只o ，以) ， 令 q2 屯一屯色2 屯一毛 口3 2 _ 一而，结合( 3 1 ) 式计算得： a 42 y 3 一y 2口52 y 2 一y la 62 儿一乃 j l 叫2 西= 3 6 ( 矿+ 缈+ 广蝴+ 3 够2 b 2 + 1 2 b 3 3 6 ( u p + 2 ，r ) b 4 3 鼬+ ，池+ 3 魄 ( 3 2 ) 其中，2 口；+ 口2。口；+ 口；2 霹+ 露 ( 3 3 ) 钆= a i a 2 + a 4 a 5 如2 a l a 3 + a 4 口2 口2 a 3 + 吼吼 把自由度约束条件= 口2 代入( 3 2 ) 式得到下面的目标函数表达式 五慨力= 3 鼬2 + 吖+ ，2 地+ 3 缸4 6 2 + 1 2 6 3 3 6 ( a 3 + 勉2 ，地一3 6 + ，地+ 3 缸2 6 ( 3 4 ) 同理，可以求出目标函数睑( ，) 1 2 d t ，j i q 。( f 1 2 西的表达式分别为： 鼻 力= 耐+ 研+ ；，2 溉+ ；口龟+ 弘9 一耐+ 詈口2 力6 4 一 鹏+ ；口2 6 6 e ( 口，) = 3 2 4 y 2 b l + 3 2 4 0 t 4 屯+ 6 如一6 4 8 口2 砖一2 1 6 f l ，5 + 2 1 6 a 2 b 6 其中b i ，b 2 ，6 3 ，b 4 ，b 5 ，b 6 由( 3 3 ) 式定义 3 3 2 求解目标函数 目标函数表达式求出以后，通过极小化目标函数的方法来确定自由度口、r 1 6 山东大学硕士学位论文 的值，从而得到所延拓的三次b 6 z i e r 曲线q 的控制顶点。 对( 3 4 ) 式中的易 n ，由婴：o ，孕：o 并整理得 口d ， 8 ( 6 1 6 2 6 ；) 口3 + ( 3 6 7 4 b 4 b 5 + 4 b 1 6 6 ) 口一b , b 5 = 0、 声= 鲁扛尹1 缶 。巧 定理1 ：三次方程组( 3 5 ) 式中的口有唯一的一个正实根。 证明：方程组( 3 5 ) 式的第一式为 4 矿+ c a + d = 0 ( 3 6 ) 其中a = 8 ( b 1 6 2 一瑶) ，c = 3 b ? - 4 b 4 b s + 4 b l b 6 ，d = - b l b 5 。 以三次b 6 z i e r 曲线