（应用数学专业论文）banach空间中一类算子及算子方程的可解性.pdf

摘要 本文利用半序方法研究了含基b a n a c h 空制中非线性算子的不动点的存在性， 及算子方程的可解性，得到了几个新的不动点定理和算子方程的解的存在唯一性 定理，主要内容如下： 第一章预备知识 第二章在b a n a c h 空间e 中定义了由其规范基确定的半序关系，讨论了该半序 及其导出的锥的性质，在此基础上证明了几个新的不动点定理最后，我们讨论 了有限维空间中h a m m e r s t e i n 积分方程解的存在性 第三章在b a n a c h 空间中讨论了算子方程a ( x ，y ) = b x 和a ( x ，y ) = b ( x ，y ) 的可 解性问题，在算子非连续和非紧的条件下，利用半序方法得到了方程解的存在唯 一性定理 第四章在赋范线性空问中的p f 锥上讨论了。类混合单调算子的不动点问题， 在算子非连续和非紧的条件下，得到了新的不动点定理，并把结果应用于 h a m m e r s t e i n 积分方程 第五章利用山路引理，在有界区域上得到了p o ) 一l a p l a c e 方程的弱解的存在 性定理 关键词：规范基；半序：锥；混合单调算子：不动点；山路引理；弱解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a k eu s eo fp a r t i a lo r d e rm e t h o dt os t u d yt h ee x i s t e n c eo ff i x e d p o i n t so fn o n f i n e a ro p e r a t o r si nb a n a c hs p a c eew i t has t a n d a r db a s i cs e q u e n c e a n dt h es o l v a b i l i t yo ft w oc l a s s e so fo p e r a t o re q u a t i o n s m o r eo v e rw es e tu ps o m e t h e o r e m so ff i x e dp o i n t ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o no ft w oc l a s s e so f o p e r a t o re q u a t i o n s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n d p r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 ，w ed e f i n eap a r t i a lo r d e rw h i c hd e p e n d so i lt h es t a n d a r db a s i c s e q u e n c ei nb a n a c hs p a c ee u s et h ep a r t i a lo r d e r , w ec o n s t r u c tac o n ei nea n d d i s c u s s e sp r o p e r t i e so f t h ec o n ea n dt h ep a r t i a lo r d e r b a s e do nt h ep r o p e r t i e sa b o v e ，w e p r o v e ss o m ef i x e dp o i n tt h e o r e m sa n dd i s c u s s e st h ee x i s t e n c eo ft h eh a m m e r s t e i n i n t e g r a le q u a t i o n ss o l u t i o n si nt h ef i n i t ed i m e n s i o ns p a c e i nc h a p t e r3 ，w eu s ep a r t i a lo r d e rt h e o r yt os t u d yt h es o l v a b i l i t yo ft w oc l a s s e so f o p e r a t o re q u a t i o n so f a ( x ，y ) = b xa n da ( x ，y ) = a ( x ，y ) i nb a n a c hs p a c e ，a n dh a v e t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo ff i x e dp o i n tw i t h o u tc o m p a c to rc o n t i n u o u s o p e r a t o r s ：i i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s sf i x e dp o i n t so fs o m em i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r so nt h e p fc o n ei nt h el i n e a rn o r m a ls p a c et h r o u g hp a r t i a lo r d e rt h e o r y , a n dg e tt h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s st h e o r e mo ff i x e dp o i n to nc o n d i t i o nt h a tt h eo p e r a t o r sa r en oc o m p a c t 西 n oc o n t i n u o u s ，f i n a l l yw ea p p l yt h en e wr e s u l tt o s t u d yt h es o l v a b i l i t yo f t h eh a m m e r s t e i n i n t e g r a le q u a t i o n i nc h a p t e r5 ，w eu s et h em o u n t a i np a s si e m m at oo b t a i nt h ee x i s t e n c et h e o r e mo f w e a ks o l u t i o n so fp b ) - l a p l a c e e q u a t i o n si nt h eb o u n d e dd o m a i n s k e yw o r d ss t a n d a r db a s i cs e q u e n c e ( s t a n d a r db a s i s ) ；p a r t i a lo r d e r ；c o n e ；m i x e d m o n o t o n eo p e r a t o r ；f i x e dp o i n t ；m o u n t a i np a s s l e m m a ；w e a ks o l u t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意 学位论文作者签名：王l 刀奄。签字日期：0 7 年3 - 隽j 乡日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阕本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：王矽惫 签字日期：川年朔；日 导师张新够砻 导师签名：铆船需 签字日期：硎年上月三j 日 b a n a c h 空间中的一类算f 及算子方榉的可解性 1 1 引言 第一章绪论 近年来，分析学研究对象和方法的快速发展，表明泛函分析的地位同益重要 在科学技术进步中，要求分析和控制客观现象的数学能力向着富有全局性的高， 精水平发展，从而使非线性分析的成果不断积累，逐渐促成了分析数学内新分支 学科的诞生在无穷维空间框架中，处理分析学的线性及非线性问题的方法有着 无穷的潜力，近数十年的成就以充足理由要求人们接受非线性泛函分析这一重要 的分支学科 自8 0 年代以来，郭大钧和他的学生孙经先，杜一宏，孙勇，周德堂，刘兆理等 诸位博士利用半序方法研究缺乏紧性或是缺乏连续性的非线性问题，获得了一系 列优秀的结果( 参看文献 2 】) ，主要有卜) 在完全不考虑紧性条件的情况下，仅使 用有关序的某种不等式，获得了增算子，减算子以及混合单调算子不动点的存在 唯一性以及迭代序列的收敛性，并应用于无界区域上的非线性积分方程二) 在 完全不考虑连续性条件的情况下，仅使用很弱的弱紧性条件，获得了关于增算子 的若干新的不动点定理，并应用于右端具有间断项的非线性微分方程( 三) 将半 、 序方法系统的应用于b a n a c h 空蚓非线性积分，微分方程( 包括脉冲型方程) 基于 这些结果，人们丌使用半序的方法来研究各种算子的不动点问题，并将得到的理 论应用到实际中遇到的非线性积分微分方程中 本文研究了一类算子的不动点问题和算子方程的可解性，首先我们在第一章 中介绍了相关的研究动念及基础知识；第二章主要是利用b a n a e h 空问中的基的 性质和b a n a c h 空i 日j 结构理论，在含基b a n a c h 空间e 中定义了由其规范基确定的 半序，山此导 h 上的锥j d ，讨论了这种锥的一些性质，并在算予非连续和瞧紧 的条件f 证明了几个新的不动点定理，使得不动点存在性条件得到了简化；从l f l i 使这t ! 不动f j 定理的应硐交的更j j 玎方便：第三章利用仁序方法在剪子非连续和扯 紧的条件卜- ，研究丁两种鲐f 万猩a ( x ，v 忙b x 和a ( x ，y ) = b ( x ，l - ) 的吖解性，j i ： 甜到了几个返两种办程解的存舀；i 唯。性定理当算：a 和艿是一：元算j ，时，我 们还给了个关。j ：方雕a ( x ，v ) = b ( x ，r ) 的解的存彳 性定理；在第阴章，f ，我t ( j ，r b a n a c h 空间中的一类算子及算子方稗的可解性 实赋范线性空i 日j 中的p r 锥上的算子不动点问题做了进一步研究，并在算子非连 续和非紧的条件下，得到了一类混合单调算子的不动点定理最后我们把结果应 用于r “上的h a m m e r s t e i n 积分方程在第五章中讨论了下述j d ( j ) 一l a p l a c e 方程 的弱解的存在性： - d e v ( n u l m - 2 v “) = 五卜i 用”一2 “+ f ( x ，i g ) ，j q ( p ) i u = 0 x 讹 其中，q 是r “中的有界区域，n l ， j p ( 工) 是q 上的实值连续函数2 o ，是q 上的实值连续函数，且对z q 有2 ( j ) o 满足： 护z y i i x l l - n l l y 0( 1 2 1 ) 则称p 为正规锥，满足( 1 2 1 ) 式的正数n 中的最小者叫做p 的f 规常数 定义1 2 5 设p 是e 中一个锥： ( f ) 如果e 中每个按序有上界的增序列必有极限，即若 _ ) c e 满足： 工l x 2 工 y ( y 是中的某元素) ，必有x e 使k - x r i o ( n 寸m ) ，则称| p 是正则的 ( f ) 如果e 中每个按范数有界的增序列必有极限，即若 c e 满足： x l x 2 s x h y tm = s u p o o 必有工e 使k x 8 斗o ( n 一。) ，则称p 是全币则的 定义i 2 6i 5 e 足实b a n a c h 空i u j ，设dce ，算f a ：d e ( f ) 如果、，工! d 一x ：ja x l a x 2 ，则称a 是d 上的增算子 b a n a c h 窆间中的一类算于及算子方程的可解性 ( f f ) 如果_ ，z 2 d ，x ， x 2ja x ， 0 ，l l y - x l l - - , oj l k - x l i 寸o ( 3 ) 任何区自j k ，x ：】_ 缸1 一工z ： 都是有界的 引理1 2 3 如果“ 三是b a n a c h 空问e 的基， 口，) ：是任一非零数列，那么 俐刍也是到腑基特别, 础研x i “是的规范基 引理1 2 4 川 设 工f 7 - l 是b a n a d h 空自j e 的基，工e ，。且x = 口，t ，令 f _ l 一啦刊i 4 捌 则 ( 1 ) 对任意的工ee ，i i x l ：是有限的； ( 2 ) | i 1 f 也是上的范数： ( 3 ) ( ， | | | ) 构成b d h n 幽 f e j ( 4 ) 范数| i | i 与| 1 1 | 等价 引理1 2 5 m 1 漫e 是b a n a c 空l 日j ，p 是e 中的币规体锥，a ：j i ；声一声 是混合单调算子，且满足以下条件： ( 1 ) 对尉定的y ，爿( ，y ) ；p p 是a 凹的，即满足a ( t x ，y ) 2 o， t a a ( x ，y ) ，0 t l ：j e 中0 a ( 2 ) 存在u 。tv ( ，尸，f 止得0 “【l v f ) ，“。a ( “o ，v 0 ) ，a ( ，“。) b a n a c h 空间中的一类算子及算子方程的可解性 v o 及o 1 ，使得爿( u o ，v o ) a ( v o ，u o ) ； 则算子a 在 ，v 。】中存在唯一不动点x ，且对任意的( x o ，y 。)阻。，v 。】 m 。，v o 及迭代序列x 。= a ( x ，f ，少h ) ，y 。5a ( y ，工h ) ，h2 1 ，2 ，有 怫一x - i i - , o ，k x l 卜o ( 门一o o ) b a n a c h 空间中的一类算子及算子方程的可解性 第二章含基肋”a 曲空间中的不动点问题 利用半序理论讨论非线性算子的不动点，一直受到人们的关注其中关于增 算子及混合单调算子已有许多作者作了大量的研究，建立了许多不动点的存在性 定理，在这些结论中，算子的连续性条件和紧性条件是两个基本的条件，但这些 条件的检验是比较困难的，这给其应用带来很多不便 为了克服上述困难本章利用b a n a c h 空间中的基的性质和b a n a c h 空间结构 理论的知识，在含基b a n a c h 空帕j e 中定义了由其规范基确定的半序，由此导出e 上的锥p ，讨论了此种锥p 的一些性质，并在算子缺乏紧性或连续性的条件下证 明了几个新的不动点定理，不动点存在性条件得到了简化，从而使这些不动点定 理的应用变的更加方便 2 1 含基b a n a c h 空间上的半序的定义及其性质 定义2 j 1 1 ：设e 是无穷维的胁口幽空j 白j ，f 石，) ：，是e 上的一个规范基，定 性质2 1 1 此关系有如下性质： ( 1 ) 自反性：对任意的x e ，有x s x ： ( 2 ) 若xs y ，y 石：贝工= y ； ( 3 ) 传递性：若工y ，y z ；则x ：；( 显然成立) 于是在这种半序关系下构成半序集 性质2 1 2 令p = 工e ：x2 毋th lj 指x 2 石，中口，0 ，f = l ，2 t ，则p ，= i 有如下性质： ( 1 ) p 是e ：的闭集 2 l = f 良 一 口曹 眈 。 ： y 工口 。h i l x y ；时，有p i ”- a ? l o 时，有恢_ 知8 5 a 7 - a 扣，限卅卟峥叫h 8 。沙i i 巾扪z i i 。 n 。s u p i ( a ? 一a ? 4 + 号s ， l i i n o 于是z o = z ”a ? x ，满足z 。p 且恢一z 。i i 一0 , n - # , q - c o - 所以j p 是闭集 ( 2 ) p 足l r 5 集( j 6 然) ( 3 ) p 毋； ( 4 ) ? x p ，五2 ( ) ，贝u 五工p b a n a c h 空间中的一类算子及算子方程的可解性 ( 5 ) 若z p ，一x p ，则x = 曰；( ( 4 ) 和( 5 ) 由p 的定义易见) ， 所以p 是e 中的一个锥，称p 是由规范基导出的锥 注：b a n a c h 空间：c 。，q 口，6 ，l p ，6 等都是有基的，所以我们定义的半序 是有实际意义的 2 2 含基b a n a c h 空间上的单调增算子的不动点定理 设e 是无穷维的b a n a c h 空间，“”是由规范基确定的半序关系，p 是中 由规范基导出的锥以下总假定e 是无穷维的b a n a c h 空间，“”是由规范基确 定的半序关系， x ，) 墨，为e 的规范基 定理2 2 1 ：设e 是无穷维的b a n a c h 空间，“”是由规范基确定的半序关系， d 是e 上的非空闭子集，又设4 ：d d 是连续的增算子，且存在z 。d ，使 得护z 。耋a ( z o ) ：那么当序列j = a ( z 。) ，h = 1 ，2 ，按序有上界，即存在 y 。e ，使得对任意的一，有z ， - y 。，则a 在d 中有不动点，序列口。 二收敛于a 的不动点z + ，且对任意的n 有zsz 。 n 证明：由a 的单调递增性及毛a ( z 。) 知： 0 z o z i z 2 ：z 。s s y o ， 其中z i = 。? 工，z 。2 z a ；x ，= z b t x ， i z l持ll ，l 于是a 墨口；s a ? 劈对每个i = 1 ，2 ，都成立由数列的收敛性知 ! 受口? = a o , 舅，i = 1 ，2 ，：令：2 a ? z ，由j d 是e 中闭集的证明知 恢一：+ 0 一o ，( h - - o o ) 成立，且对任意的胛有z 。z 。因为- 是连续的， a ( z ) = l i m a ( z 。) 21 受z 一2z t 义d 是闭集，所以：d 且z 是爿的不动点 定理2 2 2 设e 足无穷维的b a n a c h 宅1 1 f j ，“”足由规范基确定的半j f 关系， d 足el ：的非空闭j - - 集t 又发a ：d d 怂连续的增算子，且存在：。d ，使 b a n a c h 空间中的一类算子及算子方程的可解性 得z 。a ( z 。) 0 ：那么当序列z 。= a ( z 。) ，n = 1 ，2 ，：按序有下界，即存在 y 。e ，使得对任意的n 有z 。y 。，则a 在d 中有不动点，序列扛。 ：，收敛于a 的 不动点z 。，且对任意的胛有z z + ( 证明类似于定理2 2 1 ，此处略) 注：定理2 2 1 和定理2 2 2 不同于 2 中的增算子的不动点定理，此处只 要求序列扛。 二按序有上界或按序有下界 定理2 2 3 ：设三是无穷维的b a n a c h 空间，“s ”是由规范基确定的半序关 系，设“o ，y o e ，u o 墨v o ，a ： ，v o 一三是一个增算子，满足： u o a ( u o ) ，a ( v 。) v o ：则4 在 u 。，y 。 中必有最小不动点t 和最大不动点石+ ， 其中u 。= a ( u 一i ) j 、= a ( v 。一1 ) 。甩= l ，2 ，；满足甜o “l “。x 。 x + s y 。v 1 v o 。 证明：( a ) 先证明a 在cu 。，v o 中有不动点记d = ，v o ，由 a ( u 。) ，a ( v o ) y o 及a 是一个增算子知： u os u l su 。v 。v isv o ，记= z d ：2 a ( z ) ，硅i 已知 u o x ，所以x 矿：下面证明( ，s ) 有极大元，设 z 。 ，刀是( x ， ) 的任一全序子集，其中是定向集，即：如果n ，m ，疗m 营z 。z 。 。 。”一! 而 乙 ，”有上界z 。2 d ? tsy 0 2 卵t 则? a i a i ”兰酽对每 扣li l l 一个f = l ，2 ，都成立，于是! 受口? = 口? 卵，f = 1 ，2 ，；令z + 2 a ? t ，由p 是e 1 5 i 上的闭集的证明知工一石且x 。工，对任意的n 所以x 是 z 。) 的一个上 界，显然z 。a ( z 。) a ( x ) ，v 盯，对”取极限有工a ( x ) ；所以工仨x ， 由z o r n 引理知：( x ，) 有极大元x 。t 吐lu 。s 石。a ( x ) 及a 的增性有 “。4 ( x 。1 a ( a ( x ) ) ，所以4 ( x ) x ；又出x 。的极大性知x 。4 ( x 。) ：所以 。= a ( x ) ，从而a 有小动点 ( b ) 再征a 在d 中有最小不动点。和最大小动点工+ 令瓦a = ( x d ：a x = x ) 山( a ) 的结果知c 。a o b a n a c h 空间中的一类算子及算子方程的可解性 令s = ( ，= u ，v ：“，v d ，“sv ，“a u ，a v v ，凡ac “，v ) 因d s ，故s 妒在s 中取包含关系为序关系( 即若厶，i ：s ，i 。c ，：，规 定i sj ：) ，则s 成为半序集设s ，= j ，：r ) 是s 的任一全序子集，其中 是定向集，这罩i ，= u ，v ， 令h i = ( “，：，) ，g 1 = v ，：，) 则日。， g ，都是d 中的全序子集类似于( a ) 的证明知： z = s u p h l 和w = i n f g i 均存在，且z ，w d 由于“，石v ，v ，工瓦a ，故z 。x 茎w ，vx 凡爿，从而z s w 另夕h ，由u ，sz + w sv ，v ，得u ，a u ，a z a w + a v ，v ，v ， 从而z s a z ，a w w 综上知j + = z ，w + s ，并且，+ 是s 的一个下界 根据z o r n 引理，s 有极小元，= 戈。， 从而有： x ，工+ d ，以工+ ，工a x ，a x s 工，f i x 。sxs j c + ，_ vx 瓦a 于是有墨s 瓜。, i x j ，以血= x a x + ，vx 瓦爿所以 z i x 爿( 血。) s 爿( 出) sa x x 于是，= 加。，血 s ，并且i i 。根 据，的极小性，得i = l ，即x 。= a x 。，a x + = x + 再注意到t xsx ，vx 瓦爿，即知t 和j 分别是a 在d 中有最小不动 点和最大不动点 2 3 含基b a n a c h 空间上的混合单调算子的不动点定理 设e 是无穷维的b a n a c h 空间，“”是由觇范基确定的半序关系，p 是中 由规范基导出的锥以下总假定是无穷维的b u n a c h 窄问，“”是由规范基确 定的半序关系，i x , 兄为的规范基 定理2 3 1 ：设是无穷维的b a n a c h 窄问，“”是由规范基确定的 ，序关 系，设“”，e ，u 。h ，a ：d x d e 足个混合唯调算子，u o a ( u ，v n ) ， 爿( v o ，“o ) s ；则： b a n a e h 空间中的一类算子及算子方程的可解性 ( 1 ) 混合单调算子4 存在极大极小藕合不动点( 工+ ，y ) d x d ， 任意的藕合不动点( x , y ) d d ，若x + s 工，y y ，则x = x ，y = y + ； ( 2 ) 混合单调算子a 存在极小极大藕合不动点( 工y ) d x d ， 任意的藕合不动点( x ，y ) d d ，若x 石y y ，则石= 工y = y ： 即对a 的 即对a 的 证明：令x = ( ( x ，y ) d d ：z a ( x ，力，) ，a ( y ，石) ) ，由题设条件 u os a ( u o ，v o ) ，a ( v o ，u o ) v o 知：( “o ，v o ) 肖，所以x 矽；爿上的半序关系为： ( x 1y i ) ( 工2 ，y 2 ) 曹_ x 2 ，y ，_ y 2 ，那么( x ，) 是半序空间，- v i i e x 有极大元： 设( j 。，y 。) ，”是( x ，) 的任一全序子集，其中是定向集，即： 女日果盯，m ， m 车，( _ ，y 。) ( 石，y ，) ； 易见 工。) ， n ) ，n 满足： u o x os _ x 。y 。) ，l y o v o ； 由定理：2 2 3 的证明矢口 x ，( n 是收敛的，设x 。j 石，y 。一y ，疗一o o 易见 s z 。x y o ，x o y y 。y o ，对任意的 ：由a 的混合单调性知： x 。a ( x 。，) 爿( 工，y ) ：y 2 a ( y 。，膏。) 一( y ，j + ) ，对任意的行对n 取 极限有x 4 ( 工，y ) ，y 彳( 工。，y ) ，所以( j ，y ) x 由z o r n 引理知：( x ，s ) 有 极大元o + ，y ) 下证( a ( x ，y + ) ，一( y ，x ) ) x 且0 ，y ) ( 爿0 ，y ) ，4 ( y ，x + ) ) ： 因为x o 工爿( j 。，y ) a ( y o ，x o ) y o ，工o a ( x o ，y o ) 4 ( y ，x ) y y o ， 所以( 石，y ) ( 爿( x 。，j ，) ，爿( y 。，x ) ) ； 又由彳的混合单调性有： 爿( x + ，y + ) a ( a ( x ，y + ) ，a ( y ，x ) ) ，a ( y ，工) 彳( 彳( y ，工) ，爿( 石，y ) ) ， 所以( ，4 ( 石+ ，y ) ，a ( y ，+ ) ) x ； 义由扛，y ) 的极大惟知：( 爿协，y ) ，爿( j ，+ ，x ) ) 0 ，y ) ： 所以( 爿“，y + ) ，a ( y ，x 。) ) = + ，y ) ，从而( j ，y + ) 是a 的极大极小藕合不动点 类似地可证存在爿的极小极人藕合升i 动点 b a n a c h 空阃中的一类笄子及筇子方程的可解性 2 4 含基b a ”a c h 空间上的算子不动点定理的应用 我们知道对于b a n a c h 空间c 。，c a ，明，l p k ，6 】都是有基的，于是由引理 1 2 3 知它们都有规范基下面我们利用定理2 2 3 来讨论q a ，b 】空间上的一个 例子： 例2 4 1 ：考察q 月”_ k 的h a r e m e 船把i n 积分方程：z ( f ) = k ( f ，s ) x o ) a s ， 其中q 是r 8 中的有界闭集，k ( f ，j ) ： qxq r + 连续，则积分方程x ( t ) = k ( f ，s ) 工( s ) 如在c ( q ) 中必有解 ， 证明：令e = c ( q ) 为定义在q 上连续函数的全体，范数0xm = s u p l j o ) j ，n 则e 为b a n a c h 空间，由 1 知e 有规范基，不妨设“埕为e 的规范基； p = f x e ：z 口 ，则p 是中的一个锥 下面我们考察算子( 血) ( r ) = g ( t ，j ) x 0 ) a s ，其中k ( f ，s ) 0 设 一( j ) j ：( j ) ( 即当五( s ) = 口；一( 引，工删2 d 胤s ) 时，4 。i 口：i ，( i - 1 ，2 ，) f l i汪l 、 s q ) ；因为q 是r ”中有界闭集，烈r ，s ) x ，( s ) 在q 上连续，所以 f t ( s ) g ( t ，s ) 在q 一致收敛，于是 酬呦5 一酗i 删西2 酗i 础删凼； 扯! ( 功= l l k ( ) 芝a 孙s ) 出= 至a ：即，啪，( s ) 出 从斯爿( x i ( 5 ) ) 爿( 2 ( s ) ) ，所以a ：f ( q ) 一c ( q ) 是增弹子，墩u o ，y o e ，使 褂i i 。v ，令“。= 彳( “) ，v 。= a ( v h ) ，”：i ，2 ：! l ! i j a 满足定理2 2 3 的条 什，所以结论成立 b a n a c h 空间中的一类算于及算子方程的可解性 注：当我们不是利用上述方法引入的半序时，可能无法判断p 的正则性，这 时只要此无限维b a n a c h 空间是有基的我们就可以利用规范基引入半序，从而可 以利用本文相关定理解决问题因为经典的b a n a c h 空间都是有基的，所以定义在 这些空侧上的许多非线性方程问题都可以利用上面的方法解决 4 b a n a c h 空间中的一类算子及算子方程的可解性 第三章b a ”a c h 空间中的算子方程的不动点问题 本章在算子非连续和非紧的条件下利用半序方法研究了两种算子方程 a ( x ，y ) = b x 和a ( x ，y ) = b ( x ，y ) 的可解性，并得到了几个这两种方程解的存在与唯 一性定理当算子a 和b 是二元非混合单调算子时，我们还给出了一个关于方程 a ( x ，y ) = 8 ( x ，y ) 的解的存在性定理 3 1b a n a c h 空间中算子方程4 ( 工，y ) = b x 的可解。陛 定理3 1 1 设e 是一个b a n a c h 空间，d 是e 中非空子集，p 是e 中的锥且p 是正规的，a ：d d e 是混合单调算子，而b ：e e 是连续的算子，若下 列条件满足： ( ”存在，1 o d ，使得“osa ( u o ，v o ) ，a ( v o ，“o ) v o ? ( 2 ) 存在，( 0 ，1 ) ，使得a ( v ，u ) 一a ( u ，v ) st ( v - - u ) ； ( 3 ) 对任意的u o “v v o ，有a ( u ，v ) b u b y 4 ( v ，1 4 ) ： 则算子方程a ( x ，y ) = b x 在d 中必有唯一解 证明：因为a ：dxd e 是混合单调算子，且存在，v o o ，使得 u o g ( u o ，v o ) ，a ( v o ，u o ) v o ；构造迭代序列u na ( u h ，v h ) ，心= 一( 心- i ，u ) ， n = 1 ，2 ，3 ：那么易见下式成立： “o s “1 “v sv 1 v o ( l ) 利用上式及题设中的条件( 2 ) 可得： 口5p n u 。：爿( v 卜l ，u n - i ) 一a ( u 胪i ，v 。一1 ) t ( v 。1 一u 。一i ) t 。( v o 一“o ) ； 对任意的自然数m ，有护su 一u 。一u 。st “( v o u o ) ； 0 v 。一v ，。v n - “。t ”( v o u o ) 从盯百知 “ ， k 为c a u c h y 列，又由p 的正 觇十 ：可得： i | v 。一。i | n ，”| | k u o 忆 i l “一“。| 1 nt ”1 | v 0 一“o 忆 i k 一i | snt “0v o u oi i ； b a n a c h 空间中的一类算子及算子方样的可解性 其中是p 的正规常数 所以存在“+ ，v e ，使得| i mu 。= “，l i r av = v ：且“。s “sv s 匕， 1 = 1 ，2 ，3 ：由p 的正规性及m 一“。l f s ( 1 一f 。) 帆8 可知：”2 v + d 令，2 u + 2 v ，则“。x v n ，p l = 1 ，2 ，3 ： 下证z + 是方程在 “。，v o 中的唯一解： 由条件( 3 ) 及( 1 ) 式可知有下式成立： u 。u 。+ l 三a ( u 。，v ) b u 。b v a ( v 。，“。) = h “su ，月= l ，2 ，3 ； u 。u 。+ i = a ( u ，) 彳( 石，j ) a ( v ，u 。) = v 。+ l v n ，”= 1 ，2 ，3 由p 的正规性及上面两式知：l i r aa ( u 。，v 。) = l i ma ( v 。，u 。) = 彳( 工+ ，x ) ：从而 又由口的连续性可得b x = 4 0 ，石+ ) ； 设工+ ，y o ，由( 1 ) 式及算子的混合单调性知：u 。x 1 v n ，n = l ，2 ，3 ， 所以由l i m “。= x ，l i m v 。= ，有，= x 注：从定理3 1 1 我们可以看出此定理是利用算子问的关系确定方程的可解 性的，因此在实际利用中，如果我们知道或可以证明方程a ( x ，y ) = 觑中的算子爿 ， 与b 之间有定理中的关系( 3 ) ，那么我们可以利用目盼已知的关于混合单调算子 的不动点存在定理判断a 是否具有不动点，如果算子a 有不动点，则利用定理 3 1 1 我们知道方程a ( x ，y ) = b x 有解 3 2b a n a c h 空间中算子方程爿( z ，y ) ：b o ，y ) 的可解性 当算子方程a ( x ，y ) = b ( 工，y ) 中的算子彳和b 都是混合单调算子时，我们用半 序方法讨论疗程a ( x ，y ) = b ( x ，y ) 的可解性问题： 定理3 ，2 1 殴e 是一个b a n a c h 窄问，d 址e 中l i ：空j 二集，p 足e 中的锥且p 舰的，a ，b ：d d e 足混合单调算九若f 列条件满足： ( 1 ) 存亿“o ，d ，使得“i j a ( u o ，v o ) ，爿( u ，“o ) v o 及【) 1 ，使得 b a n a c h 空间中的一类算子及笄子方程的可解性 a ( u o ，v o ) 2 a ( v o ，u o ) ； ( 2 ) 对固定的y ，爿( ，) ，) ：p p 是0 【凹的，即满足a ( t x ，y ) 2t 4 。 口 a ( x ，y ) ，0 t i ：其中0 仅 ； ( 3 ) 对任意的“v ，有a ( u ，v ) b ( u ，v ) b ( v ，“) a ( v ，u ) ： 则算子方程a ( x ，y ) = 曰( 工，y ) 在d 中有唯一解 证明：因为a ；d d 一是混合单调算子，且存在u 。，v oe d ，使得 u o a ( u o ，v o ) ，a ( v o ，u o ) ；构造迭代序列u 。= a ( u h ，v ) ，v n = 彳( 叱- l ，“) ， 疗= l ，2 ，3 ：那么易见有下式成立： u o u 1 ”。k h ( 1 ) 由题设中的( 1 ) 及如上( 1 ) 式知： u 。u l u ， n = l ，2 ，其中o o ：“。fv 。 ，疗= l ，2 ，：贝4 “t 。v 。，n = l ，2 ，： 由“川“。f 。v t n v “知：o t t t 1 所以i i m t 。= t + 存在且 o t + 1 下证t = l ： 若不然o t + 1 则由题设( 1 ) 和题设( 2 ) 及a 的混合单调性知： p u n + l ：爿( “。，) 彳( ，匕，“，) f ；4 ( v 。，“。) f ；a ( v ，f ：“。) f ：f ；a ( v ，u ) = f ：。a ( v ，u 。) = 中k + ： 9 k i l t 。的定义有f “f ：4 两边取极限有f t “。；而o 2 a 1 ；所以矛盾，所 以t + = r ；所以l i m t = 1 由( 1 ) 式及u 。2 j u ，n = 1 ，2 ，知： 0 u 。+ 。一“v 。一“。s ( 1 一t 。) v 。( 1 一t 。) v o ( 2 ) 0 心一v 。+ ，。心一u 。( 1 一f 。) v 。( 1 一t 。) ( 3 ) j 中坍”为任意自然数 【! | l 为p 是i l i 舰的及上面( 2 ) 、( 3 ) 两知存在p 的i f i 规常数 r ，使得： 帆+ ，一l n ( 1 - t 。) l l v 。i i ： b a n a c h 空间中的一类算子及算子方稃的可解性 l i v 。一v 1 l n ( i o ) l i v 。8 ； i i v 一u n 忙n ( 1 - t 。) | ： 综上知 u 。) 和 v 。) 都是p 中的一c a u c h y 列，由p 是e 中的闭集知： 存在u ，v p ，使得l i m u 。= u 。，l i m v 。= v ； 且“。s “+ v + v 。，n 2 l ，2 ，3 ：由p 的j 下规性及帆一u n0 n ( 1 - t 。) 帆8 可知： u = v + d 令工= “= v ，贝0 “。sx + s ，n = l ，2 ，3 ： 下证( 工+ ，x + ) 是方程a ( x ，y ) = 口( x ，y ) 在 ， 中的唯一解： 由条件( 3 ) 及( 1 ) 式可知有下式成立： “一“。+ i 2 a ( u 。，y 。) b ( “。，v 。) sb ( 1 ，“。) 爿( _ ，“。) = k + i 嵋， p 。1 ，2 ，3 ； ， “。“。+ l = 4 ( “，v 。) a ( x ，x ) a ( v 。，“。) = v “sv 。，托2 l ，2 ，3 由p 的正规性及上面两式知：! i m 爿 。，屹) 21 觋4 ( ，“。) 。彳o ，工) ；从而又由b 的连续性可得b o ，石+ ) = 爿o + ，x ) 下证解的唯一性： 设x + e u 。，v o ，由( 1 ) 式及算子的混合单调性知：“。z ，n = l ，2 ，3 ， 所以由l i m u 。= x ，l i m v 。= 工，有，= x 定理3 2 2 设e 是一个b a n a c h 空间，d 是中非空子集，p 是e 中的锥且p 是正规的，a ：d x d f 是混合单调算子，b 是关于a 保持单调性的二元连 续算子，如果算子a 有不动点工d ，那么有a ( x ，j ) = b 缸，