（电路与系统专业论文）大规模集成电路系统中芯片间互连线的瞬态分析.pdf

硕十论文人j ；见模集成电路中芯片间且连线的瞬态分析 嘤2 5 5 细 摘要 在高速集成电路系统当中，随着信号频率的增加和特征尺寸的减小，互连线的作 用显得越来越重要，互连线的时域响应分析成了保证所设计的电路能正常“l 作的必 要环节。近十年来，大规模塞戍盘路( v l s i ) 的工作速度与集成发不断提高，对互 连线网络时域响应分析的精度与效率提出了越来越苛刻的要求，而由于传统的电路 模拟软件无法胜任这一工作，致使人们刈互连线网络的时域响应分析作了大量的研 究，不断地探索与改进，以便寻找出更有效的方法。【对于芯片与芯片问的互连线， 人们通常以传输线网络来模拟，模拟的方法通常是先建立传输线的频域或时域模型， 然后求解模型得到传输线的时域响应，这样就产生了分析传输线网络的两种方法一 时域方法与频域方法。人们所作的工作更多的集中在频域方法的研究上，而对时域 方法的研究相对较少本文在前人工作的基础之上，提出了一种新的时域方法。它 直接在叫域中利用c e b y s h e v 展丌式逼近传输线电压、电流变量，使时、空变量分 离，化偏微分方程为常微分方程，从而建立传输线的时域模型，再对互连线进行时 域响应分析。本方法模型简便实用，不必进行解耦即可处理耦合传输线，并可很容 易地应用于非均匀传输线的分析。 关键词：v l s i ，互连线，传输线，时域模型，c h e b y s h e v 展开式 堡：! 笙苎查塑堡垒堕皇些! ：鱼! j 塑皇堕垡竺坚查坌塑 a b s t r a c t w i t ht h er a p i di n c r e a s eo fs i g n a lf r e q u e n c ya n dd e c r e a s eo ff e a t u r es i z e s i nh i g h s p e e di n t e g r a t e dc i r c u i t ( i c ) s y s t e m s ，i n t e r c o n n e c t sp l a yi n c r e a s i n g l yi m p o r t a n tr o l e s ，a n d t h ea n a l y s i so ft h et i m e d o m a i nr e s p o n s eo fi n t e r c o n n e c t sb e c o m e sn e c e s s a r yt oe n s u r et h e c i r c u i td e s i g n e dw o r k i n gp r o p e r l y i nt h el a s td e c a d e s ，t h ew o r ks p e e da n dt h ed e g r e eo f i n t e g r a t i n go fv l s li n c r e a s ec o n t i n u o u s l y , w h i c hm a k e s t h er e q u e s ti nt h ep r e c i s i o na n d e f f i c i e n c yo ft h ea n a l y s i so ft h et i m e d o m a i nr e s p o n s eo fi n t e r c o n n e c t sv e r yh i g h ，a n d c o n v e n t i o n a ls o f t w a r eo fc i r c u i ts i m u l a t i o nc a n td ot h i sw o r kw e l l s om u c hw o r kh a s b e e nd o n ei nt h ea n a l y s i so ft h et i m e d o m a i nr e s p o n s eo fi n t e r c o n n e c t s i n t e r c o n n e c t s b e t w e e n c h i p sa r es i m u l a t e db yr e g a r d i n gt h e m a sn e t w o r k so ft r a n s m i s s i o nl i n e s u s u a l l y ， t h em e t h o do f s i m u l a t i n gi sm a k i n gt i m e - d o m a i nm o d e lo rf r e q u e n c y - - d o m a i nm o d e lo f t r a n s m i s s i o nl i n e sa n dt h e n g e t t i n gt h er e s p o n s eo f t i m e d o m a i n ，f r o mw h i c h t w om e t h o d s o f a n a l y z i n gn e t w o r k so f t r a n s m i s s i o nl i n e sa r eg o t t e n _ 1 h et i m e d o m a i nm e t h o da n dt h e f r e q u e n c y - d o m a i nm e t h o d m u c hm o r ew o r ki n t h e f r e q u e n c y d o m a i nm e t h o di s d o n e t h a nt h a ti nt h et i m e d o m a i nm e t h o d b a s e do nt h ew o r kd o n eb y p e o p l ei nf o r m e rt i m e s ， t h i sp a p e rp u t sf o r w a r dan e wt i m e d o m a i nm e t h o d i ta p p r o x i m a t e sv o l t a g ea n dc u r r e n t v a r i a b l e so ft r a n s m i s s i o nl i n e sb yt h ec h e b y s h e ve x p a n s i o nd i r e c t l yi nt h et i m e d o m a i n ， m a k e st h et i m ea n d s p a c e v a r i a b l e s s e p a r a t e ，w h i c h m a k e st h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sr e d u c e dt ot h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt h e nt h et i m e d o m a i nm o d e l o ft r a n s m i s s i o nl i n e si sm a d et o a n a l y z et h et i m e d o m a i nr e s p o n s eo fi n t e r c o n n e c t s t h e m o d e lo ft h i sm e t h o di ss i m p l ea n d p r a c t i c a la n d i tc a nb ea p p l i e dt oc o u p l e dt r a n s m i s s i o n l i n e sw i t h o u t d e c o u p l i n ga n dn o n u n i f o r mt r a n s m i s s i o nl i n e sv e r ye a s y k e y w o r d s ：v l s i ，i n t e r c o n n e c t ，t r a n s m i s s i o nl i n e ，t i m e d o m a i nm o d e l ，c h e b y s h e v e x p a n s i o n 2 堡! 堡苎 查塑塑堡盛皇堕主苎苎塑至堡些堕竖查尘型l 一 第一章绪论 1 1 背景介绍 在电子和信息领域中，大规模和超大规模集成电路( l s i 和v l s i ) 作为信息处 理的载体受到了特别的重视。l s i 和v l s i 的发展方向主要是提高集成度和工作速 度，前者使电路容量和功能进一步扩展，后者则使信息处理速度明显提高。剖析l s i 和v l s i ，其中除单元电路外，有必要将芯片内各单元电路之间，芯片的i 0 接1 2 1 与 周边电路或其它芯片之间按拓扑性质进行连接，此即所谓互连。互连借介质基板上 的导体线条完成，这就是所谓互连线。在早期的电子工业中，对大多数的电路系统 而言，互连线尺寸远小于信号波长，在这种情况下，由于逻辑门和晶体管所引起的 信号延迟远远大于互连线所引起的延迟，所以，互连线通常只被看作是简单的金属 导体，它仅具有电连通的意义，这时，整个电路系统的性能主要取决于电路的逻辑 设计，只需利用传统的电路模拟工具就可在时域内有效地对这一类电路系统分析与 模拟。但是近些年来，随着半导体材料科学与信息产业的迅猛发展，大规模集成电 路及多芯片组件( m c m ) 的系统规模越来越大，工作速度越来越高，特征尺寸日 益减小，使电路中互连线的长度逐渐变得能与信号波长相比，互连延迟在整个电路 系统中的作用随之变得越来越大。下面例子可以说明互连线与信号波长的关系对响 应信号延迟的影响。假定有一正弦电压信号v = s i n ( 4 ，r 1 0 8 t ) 。这个电压信号在 互连线上经过o 7 5 米后将延迟o 2 5 1 0 8 秒。这一点的电压( 假定其幅值没有衰减) 可以写为如下形式：v ：= s i n ( 4 z c 1 08 ( t o 2 5 1 0 “) ) = 一v ，。换句话说，在任何 时间f ，这两处的电压相位都正好相反。从波长的角度来看， = 1 5 米，而传输的 距离则恰好为此波长的一半。但是假如频率不是2 0 0 兆赫，而是2 0 0 千赫，则两处 电压就几乎相同。由上述例子可见，当互连线的长度能与信号波长相比时，在互连 线终端将会出现较为明显的信号延迟。对于现在的大多数高速集成电路系统而言， 互连延迟【l 】在整个系统的延迟中已占据主导地位。与此同时，其它的互连效应，诸 如：时延、畸变、回波、干扰等的影响也同趋明显【2 】，已经在很大程度上影响到电 路的性能指标，严重时甚至将影响电路系统的正常工作，互连效应的影响再也不容 忽视。这时，互连线已不能再视为简单的电连通，在设计高速集成电路时，必须将 此因素连同电子元器件及单元电路作为一个整体全盘地加以考虑。高速集成电路系 统中的互连网络的分析和研究也因此成为保证系统正常工作的必要环节，引起了人 们空前的重视。 对于互连效应，人们首先是从电路的工艺和结构方面进行改进以减轻其影响， 堕主堡苎 盔塑塑塞堕皇垡主堕苎：塑至堡垡塑堕查坌塑一 特别是针对多芯片互连时连接线过长的缺点而推出一种多芯片结构【4 2 【4 3 ，其基本 构想是利用半导体薄膜工艺在硅晶片上沉积多层聚合介质薄膜及导线层构成多层 布线作为连接线系统，从而将固定于顶部的多块芯片连接起来，得到结构紧凑晶片 范围的多芯片系统。这种多芯片结构具有结构紧凑，电路功能多，可靠性好和功耗 低的优点，也缩短了连接线的长度，但是它并不能消除互连问题。因为多芯片结构 中的连接线线长仍达到了必须考虑互连效应的程度，再者其紧凑的结构与极细的线 条使线间互耦和线损耗增大，从另一方面加剧了互连效应。所以，对多芯片结构的 连接线系统，互连效应对信号传输的影响是一个必须充分考虑的问题，在考虑互连 效应的基础上才能最后确定布线结构和几何尺寸。 由上述的分析可知，在l s i 和v l s i 系统中，互连效应已成为必须考虑的问题， 而为了确保所设计的电路的总体性能，就必须准确分析互连效应对信号传输的影 响，但常规的集成电路理论及c a d 方法不能胜任这一任务。要完成这一任务，应 该运用电磁场及微波的理论与方法分析互连线，建立一整套专门的分析和计算方 法。对于互连线的影响人们先是引入集总或分布的r c 网络来模拟，后来信息系统 中信号频率进一步的提高使得信号脉冲在：占片外部甚至芯片内部的互连线上均呈 现出波效应，传统的r c 互连网络模型就不再适用，而应当将互连线作为具有分布 参数的信号传输线来处理。为此人们根据互连线的具体情况的不同分别引入了均匀 、非均匀、无损、有损及频变等传输线模型来模拟互连线对系统的影响。 随着半导体工业的迅速发展，电路系统的速度和集成度均进一步提高。在高速 v l s i 及多芯片组件( m c m ) 中，如何准确、有效地对于信号经过互连线传输之后 所产生的互连效应进行定性、定量的分析、计算和控制已经成为高速电路系统设 计中的主要问题之一，它对于电路系统的优化设计至关重要。所有这些均将从客观 上对分析、模拟v l s l 电路互连网络的工具的准确性及有效性提出越来越高的要 求。为了准确、有效地进行高速v l si 电路的模拟和设计，就需要各类传输线的精 确模型，然后进一步地建立一般的电路互连网络的模型。因此掌握传输线及v l s i 电路系统互连网络的特性，从而建立其准确、有效的模型，对于更好地进行v l s i 电路的优化设计、改善电路系统的性能具有非常重要的意义，也因此成为目前电路 系统领域人们所关注的焦点之一。 1 2 传输线瞬态分析方法的现状及发展 目前，人们所研究的互连线主要有两种。一种是中、高频集成电路芯片上的互连 线。这种互连线一般具有较高的线上电阻，线上电阻对于电路的影响远远大于也感， 2 塑主笙兰 盔塑塑塑堕里堕! 至1 3 塑皇堡些堕堕查坌塑一 可以用r c 树 3 或r c 网络 4 之类的线性电路模型 5 】来表示，由一阶或高阶近似来 分析。另一种是芯片外或芯片间的互连线。这种互连线一般选用各种r l g c 传输线 模型进行模拟。本文所研究的就是芯片外或芯片间的互连线。 分析r l g c 传输线的瞬态响应时，一般采取两个步骤：首先应用电磁场理论建 立传输线的电磁模型，求出其分布电磁参量：然后对传输线的分布参数电路模型进 行分析。目前应用较多的传输线分布参数电路模型是在准t e m 波的近似下建立的， 其描述方程在时域中是一组偏微分方程，在频域中是一组常微分方程( 俗称电报方 程) 。本文即是利用这一模型，并在有关的电磁参量近似问题已经解决和研究传输线所 需的电磁参量已知的假设下进行传输线的瞬态分析。 前面已述及，准t e m 波近似下传输线的描述方程是一组频域常微分方程或时域 偏微分方程。相应的，常用的传输线瞬态分析方法也分为两类，即频域方法和时域 方法。下面我们介绍一下这两种方法的现状及发展。 频域方法是指从频域电报方程出发，建立传输线的频域模型。频域方法一般可分 两步进行，第一步是建立频域模型，第二步是如何从频域模型出发得到传输线的时 域响应。我们先介绍一下频域模型的概况。比较容易想到的方法是直接求解频域电 报方程，得到传输线的频域响应表达式，然后对表达式进行处理得到传输线频域模 型。利用此方法能建立可以嵌入改进节点法导纳矩阵的模型 6 1 1 7 1 ，也能建立具有较 强物理概念的二端口模型【8 】【9 】 1 7 。这些模型容易建立、使用方便，但是随着电路 系统规模的增大，其计算量会迅速增加，缺乏应有的效率。为了提高传输线频域模 型的分析效率，人们引入了有理逼近，基于频域有理逼近的方法是目前最为流行的 传输线分析方法。开始人们利用矩匹配求得传输线传递函数或导纳矩阵的有理逼近， 先是单点( s = o 或s = 一) 矩匹配法 1 0 1 1 1 1 1 ，由于这种方法的精度会随频率点远离展 开点而降低且数值稳定性无法保证，所以人们又引入了精度更高的多点矩匹配法 【1 2 】。为了进一步提高精度及稳定性，有人将p v l 算法引入了传输线分析当中 1 3 。 最近，频域有理逼近方法进一步发展为采用k r y l o v 子空间技术的各种降阶方法 【1 4 1 5 】，以保证模型的高精度及无源稳定性。基于频域有理逼近的方法有一个明显 的缺点，那就是物理概念不明确。为了弥补这一缺陷，最近，有人提出了矩元件法【4 1 】。 这种方法将矩转化为矩元件，改矩匹配为矩元件匹配。这种方法不仅解决了其它矩 匹配法很难解决的不稳定性问题，而且具有很强的物理概念，从而可以比较容易地 嵌入传统的电路模拟软件当中。在由频域模型得到时域响应的方法中，较常使用的 主要有两种。一种是快速傅立叶逆变换法( i f f t ) 8 1 6 1 1 7 1 1 8 1 9 ，这种方法速 度快、效率高，使用较多。但是，频谱混迭效应 2 0 1 的存在使其应用受到了一定的影 l 帆另一种比较常用的方法是数值拉普拉斯逆变换( n i l t ) 6 】，这币f f 方法稳定性女， 堡! ：堡苎查型堡堡堕! ! 堕! ：鱼堕塑皇堡垡塑坚查! ! 堑一 、精度高，但是运算速度较低，应用也局限于初始值为零的电路系统。为了提高精 度，拓宽其应用范围，人们对n i l t 法作了诸多改进 2 1 2 2 2 3 。对于文献 1 0 1 3 】 所建立的模型，则可直接应用拉氏逆变换将所建立的频域模型转入时域得到传输线 的时域响应。 时域方法是指建立传输线的时域模型，直接在时域中进行传输线的瞬态分析。时 域方法又可细分为两种：一种是从频域电报方程出发，经过各种处理得到时域模型， 从而可在时域中直接求得传输线的时域响应。一般来况，这利t 方法都会牵涉到卷积。 由于利用卷积求取响应需要任一时刻都要在整个历史上将信号展开，运算量非常庞 大，所以在很长一段时期内，在传输线瞬态分析研究中，卷积仅是作为一种理论而 存在。递归卷积方法的出现改变了这种情况。与直接卷积相比，递归卷积法的运算 量大大减少，运算速度也有很大提高，这使得卷积应用于传输线瞬态分析成为可能 2 4 。但是，因为递归卷积法利用了有理逼近，所以它的稳定性与精度不易保证。为 了提高精度与保证稳定性，文献 2 5 2 6 2 7 2 8 1 从频域电报方程出发，经过一系列的 变换与处理并结合递归卷积得到了传输线的两端口时域模型。另一种时域方法是直 接从时域电报方程出发，建立传输线的时域模型。在数学当中，求解偏微分方程的 传统数值方法是将所有自变量同时离散，从而得到方程的近似解。所以，将时域电 报方程的时、空变量同时离散从而求得传输线时域响应的方法是人们比较容易想到 的 1 6 1 。但是，长期以来，人们认为这一方法原始笨拙，分析效率太低，无法在实际 中使用，所以对这种方法研究很少。最近，有人对这种基于电报方程时空离散的分 析方法作了重新研究，提出了新的离散方案，提高了这一方法的分析效率，使它的 实际应用成为可能 2 9 】。除了这种时空离散方法之外，直接从时域电报方程出发建立 传输线时域模型的方法是很少的。本文将直接从时域电报方程出发，并提出一种不 同于时空离散法的新时域方法。这一方法利用c h e b y s h e v 展开式逼近传输线的分布 电压和分布电流，使时域电报方程中的时空变量分离，化偏微分方程为常微分方程， 从而建立传输线的时域模型。 1 3 本文的主要工作及章节安排 前面我们介绍了传输线瞬态分析的频域方法与时域方法，因为时域电报方程是偏 微分方程，而频域电报方程是常微分方程，所以从数学角度来看，建立频域模型比 建立时域模型要更为容易，计算量也更小。但是，我们研究的传输线网络是用来模 拟高速集成电路中的互连线的，这一部分在整个集成电路系统中通常是作为二端口 网络关注其外部特性，而系统。i l 其它r u 予元器件的时域响应分析通常直接在时域，f ， 4 硕_ _ l = 论文大规模集成i u 路中芯片问互连线的瞬态分析 进行，如果作为传输线的互连线部分采用频域分析，那么实际计算中对应的这一部 分就需要在时域和频域之间来回变换或者将频域模型再变成时域模型，这样势必会 大大地增加计算的工作量。更重要的是，在目前的高速集成电路系统中，互连线所 端接的负载通常都是非线性的，使用频域方法分析它们的时候，必须首先用线性负 载网络对非线性负载进行逼近，这必然会加大计算量并会降低分析的精度。所以， 从上述角度来看，设法建立传输线的较为准确的时域模型，从而在时域内直接对其 进行时域响应分析是十分必要的。由于高速集成电路系统的信号频率与集成度不断 提高，从而对互连线模拟在速度与准确性方面所提出的要求也就越来越高，而目前 存在的大多数时域方法在这些方面仍不够完善，这使得推出一种高效的传输线时域 方法变得越来越重要。本文的主要任务就是推出一种用于传输线瞬态分析的新时域 方法，由于这一方法的理论核心是进行时空变量分离，所以我们以后将称此方法为 新变量分离法。本方法模型简便实用，只需较少的离散点就可获得较高的精度，并 且不经模式分解 1 6 即可应用于任意耦合线，同时可很方便地处理非均匀传输线，计 算效率很高。 本文章节安排如下：第二章将作几项必要的准备工作：第三章详细介绍新方法的 模型建立过程；第四章对新方法的精度及计算效率进行一下简要的分析；第五章将 给出本方法的几个应用实例，并给出仿真结果；第六章给出结论。 5 堡堡苎 查塑堡堡些! 坠堕! ：竖丛塑皇些竺堕坚查坌堕一 第二章准备工作 2 1 电报方程 对高速集成电路系统中互连网络的传输线模型进行时域响应分析的最为直接的 方法就是求解麦克斯韦方程组。这种方法从原则上讲可以将传输线系统的各科t 几何 ，电磁参数的影响都考虑在内，也可以处理各种端接负载，但是它存在着明显的缺 点，那就是分析、计算过于复杂，而且对于计算机的速度、内存等方面的要求也相 当苛刻。因此，人们通常采取一定的近似方法，构造出传输线系统的近似模型，适 当地简化整个传输线系统的时域响应分析过程。 对于近似模型，一般有以下两个假设： 第一个假设是传输线的横向尺寸在其长度方向上是连续的，在两个端点处则可以 接有任意负载网络。对于传输线中存在有不连续点的情形，一般是将其分割成若干 段连续传输线，至于其中不连续点的影响则通过引入适当的网络来等效。 第二个假设是传输线上的电磁波为准t e m 波，即近似认为传输线上沿波传输方 向的电磁分量远远地小于其横向分量。严格地说，t e m 波只能在均匀介质中的无损 传输线上存在，对于非均匀介质和有损传输线的情形，线上所传输的电磁波实际上 是t e 波与t m 波的混合，一般不具有t e m 波的性质。但是对于我们所要研究的高 速集成电路中芯片问互连线的传输线模型而言，其横向尺寸比传输线最高频率分量 的波长还小得多，沿波传播方向的电磁场分量也就比横向分量小得多，这种电磁波 可以近似认为是t e m 波，即准t e m 波。目前，对于高速集成电路中芯片间互连线 的研究，人们通常是先从静电场的角度出发，得出传输线分布参数模型，然后再从 电路的角度对其进行时域响应分析。 有了上述的两个假设，我们就可以在假定各种传输线的分布参数( 即单位长度的 分布电阻、电导、电感、电容) 已经确定的前提下得出般传输线的常用模型【3 0 】。 考虑传输线上的一个微分长度单元出，它可由下述四个参数来描述：单位长度的电 阻r ；单位长度的电感三：单位长度的电导g ：单位长度的电容c 。设f ( x ，) 与v “，) 分别为传输线上x 点处的分布电流与分布电压，则其等效电路如图2 1 1 所示： x x + 如 图2 2 1 传输线的分布参数模型 6 硕1 ：论文 火规模集成屯路中芯片问互连线的瞬态分析 由上图利用基尔霍夫电压定律得： v ( 列) 一r i ( x , t ) a x 一里掣缸：v ( x + a x , t ) 当a x 寸0 时，上式可写为： 一_ o v ( x , t ) ：l o i ( ，x , t ) + r i ( x , ，) ( 2 1 1 ) 同理，由基尔霍夫电流定律可得类似方程： 一了o i ( x , t ) ：c o v ( 。x , t ) + g v ( x ，) ( 2 1 2 ) 上述偏微分方程( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 就是一般传输线的描述方程，俗称时域电报方程。 频域当中的传输线等效电路及描述方程推导过程与时域中类似，只是分布电压 与分布电流变为v ( x ，s ) 与l ( x ，s ) ，由于频率不随空间位置的变化而变化，所以传输线 描述方程为常微分方程： d v ( ：_ x , s 一) ：一z ( x ，s ) ( 2 1 3 ) 砒 d l = ( x , 一s ) ：一y v ( x , s ) ( 2 1 4 ) 积 上述两个方程俗称频域电报方程。式中，v ( x ，s ) 、i ( x ，s ) 分别表示长度坐标x 上 的复数分布电压和电流，其中z 和y 分别是传输线单位长度的阻抗和导纳，且有z ： r + s i 与y = g + s c 、 2 2 c h e b y s h e v 展开式 为了后面建立新方法模型的需要，我们有必要介绍一下c h e b y s h e v 展丌式。我们 首先来看一下c h e b y s h e v 多项式的概念及其性质【31 。 c h e b 3 , r s h e v 多项式被定义如下： l ( z ) 。c o s ( na l c c o sx ) 一1 x 1 ( 2 2 1 ) c h e b y s h e v 多项式在逼近理论中有重要作用，它有下列几个重要性质： 性质1 ? ! ? ：22zxft。、(x：)。-1 l _ 】。x 月= 1 2 ，一 ( 2 2 2 ) 【瓦( x ) = ，z ( z ) = x 2 2 j 性质2 c h e b y s h e v 多项式瓦( x ) 是h 次代数多项式，这结论从性质1 可很容易推出。 性质3 c h e b y s h e v 多项式瓦( x ) f f j n n n x ”项的系数为2 - i 。 性质4 l ( x ) 在卜1 ，1 】中有n 个不同实根，即。个零点： 一一 碳卜论文人j j ! l ! 模集成 u 路中芯 问互连线的瞬态分析 矿c o s 芝竽 ( 2 2 3 ) 性质5 t a x ) 在 - 1 ，1 中有n + 1 个极点： 。：c 。s 堕 k = 0 , 1 ，( 2 2 4 ) 月 c b e b y s h e v 多项式在这些点上轮流取最大值l 和最小值一1 。 性质6 c h e b y s h e v 多项式是 一1 ，1 上带权撕二丁的正交多项式，即有如下式子成立： f l 警= 牙，当聊= 月= 0 三石，当脚= n o( 2 2 5 ) 0 当m ” 下面我们介绍c h e b y s h e v 展开式。我们在线性空阳jc 【一1 ，1 】中定义内积运算及模如 下： ( m ) = f l 挚 ( 2 2 6 ) 2 = 第争 眩z ， 同时，我们取一由次数不超过 的c h e b y s h e v 多项式组成的线性集合为q ，则q 中 的任一元素均可写成： s = a ，l ( x ) ( 2 2 8 ) 若在q 中寻求对某一函数，( z ) 的最佳平方逼近，则式( 2 2 8 ) 中的系数日应满足： 旷黑，_ o ，1 ，。 由性质5 及内积定义可得 a 。( ，) = 去f f ( x 1 ) 一t x o ( ：x ) d x 州f ) - 三7 rf 掣州，2 一，。 q2 - ” 则在逼近理论中有如下结论【3 l 】：如果函数厂( x ) 在卜1 ，1 上有r - p r ，那么由 ( 2 2 8 ) 、( 2 2 9 ) 所定义的最佳平方逼近多项式s 。，当n _ 。时一致收敛于厂( x ) 。 我们称 d ，t i ( x )( 2 2 1 0 ) 3 = 0 一 8 堡主堡苎查型堡塞些! ! 堕主苎! ! 塑皇堕垡堕坚查坌堑 其中 铲扎学出 眨： 旷瓢等半蚶乩z ，” 为函数，( x ) 的c h e b y s h e v 展开式。因为c h e b y s h e v 展开式是在 一1 ，1 上的最佳平方 逼近，其逼近是对整个区间 一1 ，1 而言，而不是象t a y l o y 展开式一样只考虑x = 0 近 旁的情况，所以c h e b y s h e v 展开式常用作函数在整个区间的近似计算。 9 堡主堡壅 查塑塑叁盛皇堕! 苎竺塑里望丝堕堕查坌堑一 第三章新变量分离法模型的建立 3 1 新方法对单根传输线的处理 为了方便，我们先以单根传输线为例，介绍新变量分离法的模型建立过程，然后 再将这一结果推广到多导体传输线及频变参数传输线。 我们已经知道，传输线的时域电报方程为： 一旦! ! ；二堕：旦堕；j 堕+ r i ( x t ，r ) ( 3 1 1 ) a x8 t 一 一竺华：c 塑掣+ g v ( 以，) 出讲 假设传输线线长为1 ，则x 0 ，f 。因为c h e b y s h e v 多项式的值域为 我们令x = 2 x7 t l ，则x 一1 ，1 ，电报方程就化为： 昙m 力一，知力一扣m 彬， 知力= 一扣，扣力一扣m 列， ( 3 1 2 ) 1 1 ，所以， 由式( 2 2 1 0 ) ，我们用c h e b y s h e v 展开式逼近传输线分布电压与分布电流得 f 3 1 3 1 ( 3 i 4 ) v ( x ，) = d 。( ，) l ( x ) ( 3 1 5 ) m = o i ( x ，r ) = 6 。( r ) 乙( x )( 3 1 6 ) m = o 我们截取展开式的前 什l 项( 即在传输线上取 舟1 个分点，将传输线分成m 段) 可得： 村 v ( x ，) = 甜。( f ) l ( x ) ( 3 1 7 ) m = 0 m i ( x ，) = b 。( r ) ( x ) ( 3 1 8 ) m = o 由式( 2 2 1 1 ) 可得系数为： 姒归罄糍出 b ， 州) _ 三i t f 。等字蛐乩z ，n 一 0 堡土堡壅 叁婴堡堡垡坚堕生兰鲨! 坚尘望墨塑竖查竺堑一 渺扎掣出 限。 啪，= 要i 等字如一，门 对于上述展开式的系数a 。( ，) 与b 。( ，) 我们有如p 结论： 黝鸭，= 云寺薹掣 1 1 d k = 云寺薹半 l 1 2 ) 其中 f 1 m 0 且m m 2 1 2 其它 证明：在式( 3 1 9 ) 中，令x ：s i n “，a 卜i 1 ，刍，则由式( 3 1 9 ) 我们得到： a 。c ，= 去f 挚2 去乓v c s ；n 口，c s ；n a ，d 口 同理可得：( ，) = 昙f ，挚2 昙垂v ( s i n 口，f ) 乙( s i n 甜) d 口 我们在 _ 1 ，1 】之间取m + 1 个点x o ，x l ，x m ，即为s i n a o ，s i nc t l ，s i n c t m ，将 区间均分为m 段并利用复化梯形公式【3 1 得： ( f ) = 砉，吾1 1 v ( s i r t t ：t o , t ) 瓦( s i n 口。) + v ( s i r l t 2 1 , t ) 瓦( s i n t ) 】+ f v ( s i n 口1 ，f ) t o ( s i n l 2 1 ) + v ( s i n t 72 ，t ) r o ( s i n l 2 2 ) 】+ + v ( s i n 口m 一2 ，t ) t o ( s i n 口m 一2 ) + v ( s i n 口村一i ，t ) t o ( s i n 口m i ) + v ( s i n 口 彳一l ，) 兀( s i n a m 1 ) + v ( s i n 口m ，f ) r o ( s i n 口m ) 1 = 云- i 1 i 1v ( x o , t ) l 。) + v ( z 。，r ) 瓦( z 。) + v ( x ：，f ) 瓦( x ：) + + v ( x m _ i ，1 ) 瓦( x 。一。) + 晏v ( x 。，) 瓦( x 。) 】 同理可得： 硕士论文 大规模集成电路中芯片间互连线的瞬态分析 州归i 2 吾i 1 【v ( s i n a o , t ) l ( s i n a o ) + v ( s i n a l , t s i n a , ) + 【v ( s i n a l ，) l ( s i n a l ) + v ( s i n 口2 ，f ) 一，( s i n 口2 ) 】+ - + v ( s i n 口m 一2 ，f ) l ( s i n 口吖一2 ) + v ( s i n 口m i ，f ) l ( s i n t 2 盯1 ) 】+ v ( s i n 口m l ，t ) r ( s i n “m 1 ) + v ( s i n t 2 m ，f ) l ( s i n 口 ，) 】 = 万2 i 1v ( x 。，) l ( ) + v ( x ，) l ( x ，) + + = 1v ( x 。，f ) l ( z m ) 将上述结果合并可得：口。，“j = 三m 上c m 争一o 同理碍k 川= 去毒姜 v ( xn t h 。i ( x ，) i ( x 。t ) 1 m x ，) 证明完毕。 将式( 3 1 1 1 ) 与( 3 1 1 2 ) 代入( 3 1 7 ) 与( 3 1 8 ) 得 v ( x ，r ) v ( x 。，f ) l ( 矗) i ( x 。，) 瓦( h ) ) 瓦，( x ) ) l ( x ) 由( 3 1 1 3 ) 与( 3 1 1 4 ) 可得如下结论 v ( x ，f ) = v ( ，) ( x ) 结论2 ： m 。 i ( x ，r ) = f ( x 。，) “x ) 其中，( x ) = 坠乏宝筹, x = x m 时取极限值 证明：将( 3 1 1 3 ) 与( 3 1 1 4 ) 展开可得： v c 剐，2 薹云。寺毒v c 。乙c 乙c x ，+ 薹砉毒 v c 。乙c l c 。， + + 薹云百1 - i 1 v ( ，) l ( z 。) 乙( x ) 叫，) 寺薹吾c m 如以+ v ( x 叫咿专薹0 吾1 v 1 船戊 + v ( ，) 吾一，( ) l ( x o m = c n ， ( 31 1 4 ) ( 3 1 1 6 ) ( 3 1 1 7 ) 一 1 2 m 2 一m ( ，一 2 一m ( m | j )弧 + 以0 ， ：一m m ，一q ) ! 堕主丝塞 _ 丈塑堡叁盛皇堡! 兰竺塑皇堕垡塑竖查竺堑一 钺= 寺姜寺。吉驰嘏胪0 1 1 ，朋棚情 v ( x ，) = 厶( x ) v ( 靠，) 所以要证结论只需证g 。( x ) = l a x ) ，即证 ! ! 二兰：墨坠2 1 二! 型 m ( x x 。，j 囊( 靠) l ( x ) h ；0l “ ( 3 1 1 8 ) 由c h e b y s h e v 多项式的性质2 与性质3 可知式( 3 1 1 8 ) 左边与右边均为最高次数为 m 的多项式且最高次数项的系数均为( 一1 ) ”。我们取脚1 个点，即 x = x 。= c 。8 百r ：r ，( n = 。，l ，一，m ) ，则当m n ( x x m ) 时，( 3 _ 1 _ 1 8 ) 式左边为： ( 妒l s i n 等s i n m n 石m 石 8 百川0 8 百 当= n ( x = 靠) 时，( 3 1 1 8 ) 式左边为： l i r a = 0 ( 一1 ) v a + ls i n 吾s i n 肼 7 1 万m 丌 8 百q 0 5 百 = c m m 由此我们知道( 3 1 1 8 ) 式左边多项式有m 个零点( x o 、x m _ - 、o “、 且当m x 。) 时为c ，m 。而( 3 1 1 8 ) 式右边为： 瓦 。) v d x 。) + 2 正 。) 五o 。) + + ( x 。) ( x 。) = - +zm善-!+cosm，rcosmr c o s ( k 予m t gc o s = 1 + 2 百) c o s ( 女詈) 小广”+ t 警+ t 学 在三角函数理论中，有如下结论 3 2 】： ( 1 + 2 m - 1 c o s k a ) k a ) s i n 等：s i n ( m 一丢( 1 + 2 sn 詈= 一寺 由( 3 1 2 0 ) 式可知当m ”时有： 崞砒警= 释 坨， ) ( j 咖 心 、 o 堡! ：堡兰 查型堡堡盛塑堕! ：兰! ! 塑皇垄垡盟竖查竺堑一 而s i n ( m i 1 ) 量竺去笋生= s i n 【( m + n ) z ( 3 1 2 1 ) 式得： 警 - ( _ 1 ) m + , + ts i n 与产将其代入 茗c o s t - 警斗矿 则有： m 善- i c o s k - 等产= 扣广1 _ ，- 等= 争( 一1 ) “一1 1 女= 】 。 同理可知当m n 时有： 1 + 2 c o s k ( 删训石s i n ( m 一尹1 学 s i n 呸1 学 由刊n ( m 一争学= s i n 胁刊俨( m 2 - 朋n ) z _ ( _ 矿 则将其代入( 3 1 2 4 ) 式可得： l + 2 m y - i c o s k ( m - n ) z ：( 一1 r l + 2 善。m ( _ 1 ) ” 女= l 则有 m荟-i学=扣，m-n+l-1cosk ， 警= 争( 一1 ) 女；l o s i n ! 型二竺堡 2 彳 ( 3 1 2 2 ) ( 312 3 ) ( 3 1 2 4 ) ( 3 1 2 5 ) 将式( 3 1 2 3 ) 与( 3 1 2 5 ) 代入式( 3 1 1 9 ) 可知当m 时，( 3 1 1 8 ) 式右边为： l + ( 一1 ) ”+ 吉【( 一】) l 一1 】+ 圭【( 一1 m - n + l - - 】= o 所以( 3 1 1 8 ) 式的右边多项式也有m 个零点( 、x 、x 。、x 。、x 。) 。 当m = r 0 且m = h m 时， 薯c o s 陋学h 小州= 由式( 3 1 2 2 ) 得： + 2 薯c o s k 学卜 1 + 竺1 _ 一1 则有 ( 3 1 2 6 ) 薯c o s 限学卜， ， 将式( 3 1 2 6 ) 与( 3 i 2 7 ) 代入式( 3 1 1 9 ) 可知当m ： o h ：”m 时( 3 】8 ) 4 堡圭堡苎 查型堡垒堕! ! 些! ：查竺塑皇垄垡竺坚查坌堑 一 虱抽】丑力： 1 + ( 一1 ) + ( 一1 ) + m 一1 =