（基础数学专业论文）动力系统中的若干问题.pdf

动力系统中的若干问题 专业：基础数学 博士生：陈仁莲 指导教i j i l i ：周作领教授，王燕鸣教授 摘要 本文主要研究了动力系统中的三个方面即分别是拓扑动力系统研究的图像方法帐 篷映射的动力性态和高维空间中系统的动力性状借助于几种回复时间集引入几类相应 的极限集，由此建立这些极限集的拓扑结构或分形结构与紧致拓扑动力系统( x ，) 的动 力性状之间内在联系，从而，可以在动力系统研究中引入有较多几何味道的图像方法，从 新的角度提供了理解动力学现象的统一框架接着中和了帐篷映射的一些基本性质，得到 非最终周期点集，传递点集，敏感点集等都是稠密于【0 ，1 】，混沌方面证明了其是r u e l l e - t a k e n s - k a t o 和m a x t e l l i 意义下的混沌等几乎所见到的混沌；还讨论欧氏空间中线性映 射的动力性状，给出了平面竞争系统的混沌性的例子 第一章，绪论，主要介绍了动力系统的兴起和目前的相关研究方面的现状并给出 了本文相关的一些基本概念和本文的工作 第二章，拓扑动力系统研究的图像方法，主要是借助于几种回复时间集引入几类相 应的极限集，由此建立了这些极限集的拓扑结构或分形结构与紧致动力系统( x ，) 的动 力性状间的联系给出了函数图像序列 g r a p h ( f n ) ) 的另外两种模式的极限过程，即 ( 1 ) 若存在，的传递点且是弱几乎周期点，则正下密度极限等于x x ； ( 2 ) 若存在，的传递点且是拟弱几乎周期点，则正上密度极限等于x x 第三章主要是运用不同的方法，从不同的角度中和了帐篷映射的动力性状。如周期 稠密性，拓扑传递性，初值敏感依赖性，伪轨性及熵与混沌之间的关系等，并得到一些 新的结果：如非最终周期点集，传递点集，敏感点集等都是稠密于【0 ，1 1 ，l i - y o r k e 敏感 的，拓扑遍历性等，同时还给出了帐篷映射具有些新的混沌，如tr u e l l e - t a k e n s - k a t o 和m a r t e l l i 意义下的混沌，s p a t i o - t e m p o r a l l y 混沌 第四章主要讨论了礼维欧氏空间中线性系统的不传递性，给出了其具有伪轨跟踪性 的等价条件是其具有模非1 的特征根，并利用典型的h 6 n o n 映射回答了王毅等人提出的 问题：“时间反序”的平面竞争动力系统是否具有l i - y o r k e 混沌或d e v a n e y 混沌 关键词；图像方法，动力系统，拓扑动力，拓扑上极限，拓扑下极限，帐篷映射，稠密性， 传递性，敏感依赖性，伪轨跟踪性，混沌，竞争映射 s o m ep r o b l e m so nd y n a m i c a ls y s t e m s m a j o r ：p u r em a t h e n 【a t i c s p h d c a n d i d a ，r e ：r e n l i a nc h e n s u p e r v i s o r ：p r o f z u o l i n gz h o u p r o f y a n m i n gw a n g a b s t r a c t 1 1 1 i nt h i sp h dt h e s i s ，t h r e ep r o b l e m sa r ec o n s i d e r e dm a i n l yo i ld y n a m i c a ls y s t e m s ，t h a t i s ，g r a p h i cm e t h o di nt h et o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m s ，d y n a m i c so ft h et e n tm a pa n d d y n a m i c so fs y s t e m so ft h ee u c l i d e a ns p a c e 舻t h em a i na i mi st oi n t r o d u c es e r v a ll i m i t s e t sb yu s i n gd i f f e r e n tr e c u r r e n tt i m es e t s ，a n dd i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nd y n a m i c s o ft h eu n d e r l y i n gc o m p a c ts y s t e m ( x ，) a n dt h es t r u c t u r eo ft h e s el i m i ts e t s ，f r o ma t o p o l o g i c a lo rf r a c t a lv i e w p o i n t t h i si se s s e n t i a l l ya ni n t r o d u c t i o no fg r a p h i ca p p r o a c h i n t ot h es t u d yo fd n a m i c a ls y s t e m s t os h e do nt o p o l o g i c a ld y n a m i c sab i tl i g h tw h i c h m i g h tp r o v i d ean e wv i e w p o i n ta m o n gt h o s ea l r e a d ye x i s t i n g f o rt h et e n tm a p ，s o m e b a s i cp r o p e r i t i e so fa r ep u tt o g e t h e r ，n e wr e s u l t sa r eo b t a i n e d ，s u c ha st h ec o m p l e m e n t s e to fe v e n t u a l l yp e r i o d i cp o i n t s ，t h es e to ft h et r a n s i t i v ep o i n t sa n do ft h es e n s i t i v e p o i n t sa r ed e n s ei n 【0 ，1 】a n da l m o s tc h a o sw h i c hw ec a nk n o wi sf o u n di ni t ，s u c ha s r u e l l e - t a k e n s - k a t oc h a o sa n dm a r t e l l ic h a o s a tl a s t ，d y n a m i c so fl i n e a rm a pi ne u l i c e a n s p a c e 舻a r eg i v e na n da nf a m o u se x a m p l ea n s w e r st h eo p e np r o b l e mf r o mt h ep l a n a r c o m p e t i t i v es y s t e m s i nc h a p t e r1 , w ei n t r o d u c et h ep r e l i m i n a r i e sf o rd y n a m i c a ls y s t e m s ，a n ds u m m a r i z e t h er e s e a r c hs t a t u so fi t s c o n t r i b u t i o n sh a v i n gb e e nd o n eb yo t h e rp e o p l ea n do u rw o r k i nc h a p t e r2 , g r a p h i cm e t h o d si nt o p o l o g i c a ld y n a m i c s t h em a i na i mi st oi n t r o d u c e s e r v a ll i m i ts e t sb yu s i n gd i f f e r e n tr e c u r r e n tt i m es e t s ，a n dd i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e n d y n a m i c so ft h eu n d e r l y i n gc o m p a c ts y s t e m ( x ，f ) a n dt h es t r u c t u r eo ft h e s el i m i ts e t s ， l v f r o mat o p o l o g i c a lo rf r a c t a lv i e w p o i n t a n dw ea l s oo b t a i ni ft h e r ei sat r a n s i t i v ea n d w e a k l ya l m o s tp e r i o d i cp o i n t ，t h e nt h ep o s i t i v el o w e rd e n s i t yl i m i ti se q u a lt ox x i ft h e r ei sat r a n s i t i v ea n dq u a s i w e a k l ya l m o s tp e r i o d i cp o i n t ，t h e nt h ep o s i t i v eu p p e r d e n s i t yl i m i ti se q u a lt ox x i nc h a p t e r3 ，d y n a m i c so ft h et e n tm a p f r o mt h ed i f f e r e n tv i e wa n dd i f f e r e n tm e t h - o d s ，d y n a m i c so ft h et e n tm a pi sc o n s i d e r e d ，s u c ha st h ed e n s i t yo fp e r i o d ，t o p o l o g i c a l l y t r a n s i t i v i t y , s e n s i t i v i t y , p s e u d o - o r b i tp r o p e r t y , a n dr e l a t i o nb e t w e e ne n t r o p ya n dc h a o s s o m er e s u l t sw h i c hd e n s i t yo ft h ec o m p l e m e n ts e to fe v e n t u a u yp e r i o d i cp o i n t s ，t h es e t o ft h et r a n s i t i v ep o i n t sa n do ft h es e n s i t i v ep o i n t s ，l i y o r k es e n s i t i v i t y , a n dt o p o l o g i - c a l l ye r g o d i c i t ya r eo b t a i n e d m o r e o v e r ，r u e u e - t a k e n s k a t oc h a o s ，m a r t e l l ic h a u d s ，a n d s p a t i o - t e m p o r a l l ya r ef o u n di ni t i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h a tl i n e a rm a pi ne u l i c e a ns p a c e 舻h a s h tt r a n s i t i v i t y , a n dg i v et h ee q u i v a l e n c ec o n d i t i o nb e t w e e nt h ep s e u d o - o r b i t - t r a c i n gp r o p e r t ya n dn o e i g e n v a l u e so fm o d u l u s1o f ，a tl a s ta ne x a m p l e ( i e t h ec a n o n i c a lh 6 n o nm a p ) a n s w e r st h eo p e np r o b l e mf r o my i ，w a n ge t cw h i c hi sw h e t h e rc h a o t i cd y n a m i c si nt h e s e n s eo fl i - y o r k eo rd e v a n e yc a no c c u ri nt i m er e v e r s a lp l a n a rc o m p e t i t i v ed y n a m i c a l s y s t e m s k e y w o r d s ：g r a p h i cm e t h o d ，d y n a m i c a ls y s t e m ，t o p o l o g i c a ld y n a m i c s ，t o p o l o g i c a ls 1 1 p e r i o rl i m i t ，t o p o l o g i c a li n f e r i o rl i m i t ，t e n tm a p ，d e n s i t y , t r a n s i t i v i t y , s e n s i t i v i t y , p s e u d o - o r b i t t r a c i n gp r o p e r t y , c h a o s ，c o m p e t i t i v em a p 插图目录 2 1 定理2 4 中的图1 4 3 1 帐篷映射t = 1 一i1 2 xi ，z 【0 ，1 】2 0 3 2 帐篷映射的2 n ，礼一o 。次迭代的图像2 5 3 3 线段上点的0 1 序列表示2 6 3 4 帐篷映射的三次迭代3 2 3 5 闭区间上混沌间的关系4 2 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品成果对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：陈仁莲 日期：2 0 0 8 年1 0 月1 8 日 第1 章绪论 1 1 问题的引人 动力系统是非线性科学中一个十分活跃的分支，它的研究可以追溯到牛顿那位创 立微积分并建立三大运动定律以及万有引力定理得卓越科学家在牛顿的体系中，以时 间为参变量的微分方程占据了主导地位到了十九世纪末，h j p o i n c a r d 创立的微分方 程定性理论( 即几何理论) ，其主要思想是通过微分方程的显示解来研究解的几何性质二 十世纪初，g d b i r k h o f f 关于动力系统公里化的工作为这一学科建立了大范围的理论框 架，并成为了动力系统各方向研究的理论基础直到目前，动力系统的研究已相对比较 成熟，尤其是拓扑动力系统方面 本文主要是对动力系统方面的研究，尤其是拓扑( 度量) 空间上的动力系统，即由拓 扑( 度量) 空间上的连续自映射所生成的迭代系统对于拓扑动力系，其性质可以通过其 全部子系统表现出来，而一个子系统通常是连续自映射的不变闭子集当然，这样的不 变闭子集可能是一个分形还有，从当前某些学科的发展来看，拓扑动力系统在其中起 着重要的作用。因此对它深入研究具有重要的理论意义 对于一个系统，如果它没有一定的复杂性，比如说每一有界轨道或是渐进一个不动 点或是某一2 - 极限环，我们一般认为它的研究价值比较小而用来描述一个系统复杂程 度的量一般来说，有拓扑熵，混沌性和一些拓扑传递的属性等 混沌是用来描述动力系统某种复杂性的个重要概念，但至今混沌也没有个统一的 数学定义，不同的学者从不同的角度给出不同的定义，以满足其研究的需要混沌的思想 亦可追溯到h j p o m c 疵他在常微分方程定性理论的研究中发现的同宿轨( h o m o c l i n i c o r b i t ) 事实上已孕育了混沌的萌芽而在著名的s m a l e 马蹄中，混沌则已呼之欲出在 文献中首先使用混沌”( c h a o s ) 一词的是李天岩( t y l i ) 和约克( j a y o r k e ) 他们的 被大量引用的周期3 蕴含混沌”一文，【鹋】开启了数学混沌研究的先河于此同时，一 类被通称“混沌”被掀起了研究的热潮其中l i - y o r k 混沌和d e v a n e y 混沌是两个很重 要的混沌 设，：x _ x 是一个动力系统，其中x 是度量空间，d ( ，) 是度量一个含有至 少两个点的集合s x 称为相对于，的l y - s c r a m b l e d 集若对任意两个不同点z ，秒s 使得 l i mi n fd ( f ( z ) ，广( 秒) ) = 0 n + 2 和 第工章绪论 l i ms u pd ( f n ( z ) ，n ( 可) ) 0 ， n + 成立 ，称为l i - y o r k e 意义下的混沌如果存在一个不可数子集l y - s c r a m b l e d 集s 设x 是度量空间，映射，是x 上的连续自映射，称为d e v a n e y 混沌若满足下 面的条件： ( 1 ) ，是拓扑传递的， ( 2 ) 周期点集稠于x ， ( 3 ) ，是初值敏感依赖的 在1 9 9 2 年，j b a n k s 等人已证明上述条件( 1 ) 和( 2 ) 蕴含着( 3 ) 因此在d e v a n e y 混沌的定义中，至少应该去掉一个条件由d e v a n e y 混沌的定义可以知道条件( 1 ) 表明 系统的不可分解性，条件( 2 ) 表明没有周期点的系统( 如无限极小系统) 都不是d e v a n e y 混沌，条件( 3 ) 则说明了系统不可预测性而条件( 2 ) 把诸如极小系统排斥在混沌系统之 外。是不适当的所以可以去掉条件( 2 ) ，即保留条件( 1 ) 和( 3 ) ，这样的系统称为r u e u e - t a k e n s 意义下的混沌这是1 9 7 1 年d r u e h e 和f t a k e n s s s l 讨论混沌性态时提出的， 文( 1 2 2 ) 称之为修改的d e v a n e y 意义下的混沌 还有一些其它的混沌，如，称之为r u e l l e - t a k e n s k a t o 意义下的混沌，如果，既 是r u e l l e - t a k e n s 意义下的混沌，又是处处混沌 5 9 ( a p 如果，是敏感依赖于初始条件的 而且是可达的( 指的是如果对于x 的任意两个非空开集以y 以及任意的5 0 ，存在点 z 以y v 和n nu o ) ，使得d ( f n ( z ) ，f n ( 可) ) ) ，称之为m a r t e l l i 意义下的混 沌如果存在一点z o x 使得下面两个条件 i ) 点z o 的轨道稠于x ； i i ) 点x 的轨道是不稳定的，即存在r 0 使得对任意的s 0 ，都可以找到y x 和佗1 满足d ( x oy ) r 设( x ，) 是紧动力系统，其中x 是紧度量空间，是其上的连续自映射，和6 0 ，是g e n e r i c a l l y 混沌若l y ( f ) 在x 2 中是剩余集，是g e n e r i c a l l y6 一混沌若l y ( f ，6 ) 在x 2 中是剩余集，是d e n s e l y 混沌若l y ( f ) 在x 2 中是稠密集，是d e n s e l y5 一混沌 若l y ( f ，6 ) 在x 2 中是稠密集及( x ，) 称为s p a t i o - t e m p o r a l l y 混沌如果x 中的每个 z 是那些是p r o x i m a l 的但不是a s y m p o t i c 的点的极限，即z p r o x ( t ) ( x ) a s y m ( t ) ( x ) 对所有的z x ，等等混沌自然地要问有没有这样的一个动力系统满足几乎所有不同 定义的混沌呢? 本文第三章第七节就讨论了一类动力系统( 即帐篷映射) 满足文中被提及 的混沌 】1 问题的引入 3 拓扑传递是动力系统的一个重要性质，原因之一就是它与其它学科若遍历理论，微 分方程，混沌理论，分形几何，哈密尔顿力学及数学和物理中其它学科间都有着密切联 系s m a l e 分解定理和b a r g e - m a r t i n 分解定理都是在其基础上建立起来的拓扑传递的 属性可以分为许多层次，例如拓扑混合，拓扑弱混合拓扑传递性等众所周知，拓扑混 合蕴含拓扑弱混合，拓扑弱混合又蕴含拓扑传递近年来，叶向东教授等在( 5 3 1 1 5 6 1 1 5 a 1 ) 中通过不同的方式在拓扑混合与拓扑传递之间引进了几个新的回复层次，如强扩散，扩 散，弱扩散等 紧动力系统( x ，) 称为m i l d 混合的是指对任意传递系统( k 9 ) ，( x y ；，9 ) 仍为 传递的；称为扩散的是指，它弱不交于所有极小系统；强扩散是指它弱不交于全体e 一 系统( 即它为传递的，并且存在一个不变测度p m ( x ，) 使得s 唧( p ) = x ) ，弱扩散 是指它弱不交于极小等度系统 它们之间的关系如下。 混合兮m i l d 混合兮弱混合令强扩散号扩散兮弱扩散令完全传递 从而使人们对一个系统的回复性有了更深的了解，并且有例子表明对一般的系统。它们 是不同的概念本文第三章对帐篷映射的讨论可知它具有这些性质，因而满足第二章注 2 2 中几种模式与极限之间的关系 符号动力系统是由有限符号空间上的转移自映射所生成的迭代系统它作为一个特 殊系统，有着广泛的应用，包括在混沌物理学，计算复杂性，计算机科学乃至编码学等 学科和分支中的应用，也包括在一般系统理论研究中的应用在动力系统研究中。符号 动力系统又是一个重要的研究对象，同时又是一个强有力的研究工具( f 1 2 3 】) 本文在一 些定理得证明过程中，有的就是用了这一强有力的工具，从而使得系统更加的清晰 回复时间集的研究在这里就显得比较必要了回复时间集是由w h g o t t s c h a l k 3 5 】于 1 9 5 5 年在研究传递性首次提出的，它是指所有满足下面条件的所有时间集： ( 以v ) = n 4 ：，n ( u ) nv d 】- 对任意的非空开集阢y x 那么回复时间集当是某一类特殊的集合时，会有些什么样 的性质呢? 在g o t t s h a l k 3 5 】，f u r s t e n b u r g 3 0 等人的工作中就曾利用所谓的回复时间集 来研究动力系统，a k i n 2 ，g l a s n e r 和w e i s s 酬，叶向东，黄文与邵松等人的工作发展了 回复时间集的想法，着重探讨这些极限集的拓扑结构或分形结构与，的动力性状之间的 内在联系，目的是揭示动力学性质如何在某些集合的结构上体现出来，探讨其中的一般 性规律或典型的现象形成族的理论，并且在拓扑动力系统的研究中取得许多深刻结果 4第1 章绪论 陈巩、黄煜【2 1 】等人几年前在有界变差的增长速度方面的工作，本质上他们是针对线 段映射各次迭代的有界变差序列，研究这一数列的极限过程，得到一些有价值的结果 之后将“研究有界变差序列的极限过程这一想法加以改造之后，黄煜，罗俊和周作领 1 4 9 1 5 1 】开始探讨一般紧致度量空间( x ，d ) 上的连续映射，的各次迭代广的图像序列 g r a p h ( f n ) ：n 1 ) 的上极限a ( ，) 和下极限么( ，) ，得到上极限4 ( ，) 的结构与，的动 力性状之间的密切联系其中，“紧致曲面x 上微分同构，存在同宿横截相交蕴含上极 限才( ，) 的h a u d o r f f 维数严格大于2 ”等结果引人注意正是基于以上工作研究的启发， 促使了本文第二章的产生 给定一个拓扑空间x 和其上的一个连续自映射，而生成的一个动力系统( x ，) 对 于这样一个系统来说，其研究的核心问题是点的轨道的仅仅性质或拓扑结构在点的轨 道拓扑结构讨论中是不是每一点都是同等重要的呢? 其实并是这样，事实上只有那些具 有某种回复性的点才是重要的当然我们希望得到x 上的一个，不变的子集合，讨论 其中的点就可以了，并且其越是“小越好( 从集合包含的角度来说) 而按回复性的划 分，我们已知有 f ( f ) p ( f ) a ( f ) r ( f ) q ( ，) x 它们分别是，的不动点集，周期点集，几乎周期点集，回复点集，游荡点集r ( f ) 是上 述提到的那种集合，而a ( f ) 却未必具有r ( ) 是不是最小的集合呢? 其次，的动力 性状可由它的全部子系统来决定( ，本身亦可看作是它的一个子系统) 是否，的每一个 子系统都是基本的呢? 自然地，我们希望找出它的全部基本子系统，从而只讨论它们就 够了从这两个观点出发，周作领教授在文( 1 2 3 1 1 2 8 1 1 1 2 6 ) 中分别引入了弱几乎周期点 和拟弱周期点两个基本概念，并得到了一些具有重要意义的结果，从而使人们对一个动 力系统中点的轨道的回复层次有了更清晰的认识而这两种模式是否能用前述的极限集 来刻画呢? 我们给以了肯定回答 竞争系统的研究具有很长的历史。它诞生于上一世纪2 0 年代，由意大利数学家v v o l t e r r a 所开创在上世纪8 0 年代后，著名数学家s s m a l e 和m w h i r s e h 开创了这 一分支研究新阶段一利用动力系统原理研究竞争系统共有的动力学性质而后m w h i r s c h 和h m a t a n o 创造的单调动力系统理论又迅速促进了竞争系统的发展近年来， e c z e e m a n ，m l z e e m a n 以及由i c m 9 8 一小时报告者k s i g m u n d 为首研究小组对 竞争l o t k a ，v o l t e r r a 系统的研究工作尤为突出以上的工作都集中于自治系统，而当考 虑到环境条件因时间或季节而周期变化时，就相应产生了竞争周期系统，利用周期系统 的p o i n c a r 6 映射往往可将周期系统解的动力学性态用离散动力系统来刻划而对离散竞 争系统的研究吸引了包括j k h a l e ，p h e s s ，h l s m i t h 以及p t a k a c 在内的大量学 者的注意近来王毅，蒋继发等证明了关于平面竞争映射的s a r k o v s k i i 定理。进一步讨 1 2 本文的主要工作 5 论了平面竞争映射产生的l i - y o r l 崆浑沌等复杂动力学性状本文中一部分是对王毅等讨 论平面竞争映射产生的l i - y o r l 艰浑沌等复杂动力学性状给出了一个实例，肯定回答了王 毅等提出的“时间反序平面竞争动力系统是否能够产生l i - y o r l 贮混沌或d e v a n e y 混沌? ”的问题 1 2 本文的主要工作 本文主要研究了动力系统中的三个方面即分别是拓扑动力系统研究的图像方法，帐 篷映射的动力性态和高维空间中系统的动力性状讨论了极限集的拓扑结构与映射，之 间的内在联系，从新的角度提供了理解动力学现象的统一框架，接着中和了帐篷映射的 一些基本性质，得到非最终周期点集，传递点集，敏感点集等都是稠密于【0 ，1 】，混沌方面 证明了其是r u e l l e - t a k e n s - k a t o 和m a r t e m 意义下的混沌等几乎所见到的混沌；还讨论 欧氏空间中线性映射的一些性质给出了平面竞争系统的混沌性的例子 第一章，绪论，主要介绍了动力系统的兴起和目前的相关研究方面的现状并给出 了本文相关的一些基本概念和本文的工作 第二章，拓扑动力系统研究的图像方法，主要是借助于几种回复时间集引入几类相 应的极限集，由此建立了这些极限集的拓扑结构或分形结构与紧致动力系统( x ，) 的动 力性状间的联系给出了函数图像序列 g r a p h ( f n ) ) 的另外两种模式的极限过程，即 ( 1 ) 若存在，的传递点且是弱几乎周期点，则正下密度极限等于x x ； ( 2 ) 若存在，的传递点且是拟弱几乎周期点则正上密度极限等于x x 第三章主要是运用不同的方法，从不同的角度中和了帐篷映射的动力性状，如周期 稠密性，拓扑传递性，初值敏感依赖性，伪轨跟踪性及熵与混沌之间的关系等，并得到一 些新的结果：如非最终周期点集，传递点集，敏感点集等都是稠密于【0 ，1 】，l i - y o r k e 敏感 的，拓扑遍历性等，同时还给出了帐篷映射具有一些新的混沌，如：r u e l l e - t a k e n s - k a t o 和m a r t e l l i 意义下的混沌和s p a t i o - t e m p o r a l l y 混沌 第四章主要讨论了佗维欧氏空间中线性系统的不传递性，给出了其具有伪轨跟踪性 的等价条件是其具有模非1 的特征根，并利用典型的h 6 n o n 映射回答了王毅等人提出的 问题： “时间反序”的平面竞争动力系统是否具有l i y 0 r k e 混沌或d e v a n e y 混沌 第2 章拓扑动力系统研究的图像方法 2 1 引言 设f ：x _ x 为紧致度量空间( x ，d ) 上的连续映射，其各次迭代广的图像序列 g r a p h ( f n ) = 【z f n ：z x ) ，构成乘积空间xxx 上的紧致子集序列这里，乘积空间 xxx 上定义度量d d ( x y ，z y ) = d ( x ，z ) q - d ( y ，y ) 后成为紧致度量空间本文结 合拓扑动力系统研究中已经取得的成果，包括f u r s t e n b u r g a o ，a k i n 2 】【4 】，b l a n c h a r d 1 0 】【1 1 】， g l a s n e r 【3 2 】俐，叶向东，黄文，邵松 5 3 5 5 5 6 1 1 8 等人的工作，考虑上述图像序列的几类 极限集，着重探讨这些极限集的拓扑结构或分形结构与，的动力性状之间的内在联系， 目的是揭示动力学性质如何在某些集合的结构上体现出来，探讨其中的一般性规律或典 型的现象由此，可以在动力系统研究中引入有较多几何味道的图像方法，从新的角度 提供了理解动力学现象的统一框架 本文最初的想法来自陈巩、黄煜【2 1 】等人6 年前在有界变差的增长速度方面的工作， 本质上他们是针对线段映射各次迭代的有界变差序列，研究这一数列的极限过程，得到 一些有价值的结果5 年前，将“研究有界变差序列的极限过程”这一想法加以改造之 后，黄煜，罗俊和周作领 4 9 1 1 5 1 】开始探讨一般紧致度量空间( x ，d ) 上的连续映射，的各 次迭代广的图像序列 g r a p h ( f n ) ：佗1 ) 的上极限4 ( ，) 和下极限么( 厂) ，得到上极限 一a ( f ) 的结构与，的动力性状之间的密切联系其中， “紧致曲面x 上微分同构，存在 同宿横截相交蕴含上极限才( 厂) 的h a u d o r f f 维数严格大于2 ”等结果引人注意随后， 受叶向东、黄文、邵松等人的工作以及叶向东在几个学术会议上所作报告的启发，以上 想法的进一步深入就形成了写作本文的直接动机 在g o t t s h a l k a s 3 6 1 ，f u r s t e n b u r g a o 等人的工作中就曾利用所谓的回复时间集来研究 动力系统，a k i n 2 1 ，g l a s n e r 和w e i s s ，叶向东、黄文与邵松等人的工作发展了回复时 间集的想法，形成族的理论并且在拓扑动力系统的研究中取得许多深刻结果 为方便叙述，我们列出某些满足特定条件的2 ，+ 的无限子集以及它们构成的族，相关 定义与基本结论来自叶向东、黄文与邵松的专著和近期的学术论文分别以疋，五删，五棚 表示正整数z ，+ 的所有余有限子集( 若z + 弓a 是有余限的是指z a 为有限的) ，所有 正下密度集、所有正上密度集组成的集合 首先，我们借用正整数z r + 的几类子集族给出以下主要概念 定义2 1 设，：xhx 为紧致度量空间( x ，d ) 上的连续映射，如果非空集合 2 1 引言 a ，b x ，记回复时间集 n ( a ，b ) = 佗4 ：，n ( a ) nb d ) 7 设，是2 r + 的无限子集的族，如果任意非空开子集阢ygx ，( 配v ) 五，则称，是拓 扑强混合；如果任意非空开子集以y x ，( uv ) ，则称，是乒传递；各次迭代 广的函数图像序列 g r a p a ( 1 n ) 的厂极限a ( ，) 由满足以下条件的点z y x x 组成：对任意开集u 弓z 和v y ，存在序列s ，使得广( u ) nv 0 对所有n s 成立集合a = a l 0 ， 使得 x 。) ( ，( z ) ) n ，v n 0 ， i = 0 这里y ( z ，e ) = z s l a ( = ，y ) 0 ，存在北 0 和正整数递升 序列佗ft ，使得 唧c 一1 x v ( e ，。) ( ，( z ) ) 哪， 0 ， i = 0 这里y ( z ，e ) = z x l a ( = ，! ，) 0 ，v o ； ( 2 ) z q w ( s ) 尸二( y ( z ，e ) ) 0 ，v e 0 注2 3 由上易知z w c s ) 兮( y ( z ，e ) ) 乃d ，z q w ( s ) 兮( y ( z ，e ) ) 五 t d 定理2 1 设拓扑传递系统( x ，) 由紧致度量空间( x ，回以及其上的连续映射，： xh x 组成，各次迭代广的函数图像序列为【夕7 印 ( 广) ) ，则以下断言成立： ( 1 ) 若存在，的传递点且是弱几乎周期点，则正下密度极限等于x x ； ( 2 ) 若存在，的传递点且是拟弱几乎周期点。则正上密度极限等于x x 证明设歹是z i 的无限子集组成，各次迭代广的函数图像序列 g r , w h ( s 几) ) 的， 极限为a ( i ，厂) 根据定义可以直接验证，点zxy x x x 属于4 ( ，厂) 的充分必要条 件是：对z ，y 的任意邻域巩，k ，回复时间集( 玩，k ) = 礼：广( 观) nk 0 ) 厂 进而，厂极限a ( ，) = xxx 的充分必要条件是，是乒传递：对任意非空开子集 y x ，( 阢v ) 厂 ( 1 ) 与( 2 ) 的证明类似，我们只证( 1 ) 由上面的分析，我们知道只要证明如果z 的 邻域有( z ，) 五l d 等价于对x 的任意非空开子集配y 有( 阢v ) 五，l d 设3 7 是弱几乎周期点且是传递点，则对于任意非空开集阢y x ，存在几1 z r + ， 使得f n l ( x ) u ，存在n 2 4 ，使得广1 + 啦 ) v ，那么w = ，地( u ) nv 0 ，且 1 0 第