（基础数学专业论文）三维时空空间上的类空曲线的研究.pdf

摘要 本文主要讨论了三维时空空间砰上的类空曲线的理论。三维时 空空间是内积为( x ，y ) = x l y l + x 2 y ：一屯乃的三维实数空间，它是和三维欧 几里德空间一样重要的空间。在三维欧几里德空间的曲线论中，正则 曲线在每一点处的标架的确立，f r e n e t 公式的建立，以及曲率和挠率 的确定是其中的最重要的内容。本文用三维欧几里德空间中曲线论的 方法研究三维时空空间中的类空曲线，得到足3 中类空曲线上的几何不 变量，并且给出了具有特殊不变量的类空曲线的分类。 作者首先对三维时空空间足3 上的有关概念进行了介绍，其次建 立了足3 上类空曲线的在任意一点处的标架与标架方程，进而得到了碍 上类空曲线的几个不变量，在很多清情况下，这些不变量可以完全确 定曲线的形状最后讨论了三维时空空间足3 上一些特殊的曲线。 关键词：三维时空空间；标架方程；不变量 a b s t r a c t t h e t h e o r y o f s p a c e _ - 1 i k e c u r v e si nt h et h r e ed i m e n s i o n a l s p a c e - - t i m es p a c e i sd i s c u s s e di nt h ep a p e r t h et h r e ed i m e n s i o n a l s p a c e - - t i m es p a c ei st h ed i m e n s i o n a lr e a ln u m b e rs p a c ee n d o w e d w i t h i n n e rp r o d u c t 红，y ) = 墨m + x 2 y 2 - x 3 y 3 ，i ti sa si m p o r t a n ta st h et h r e e d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e i nt h ec u r v et h e o r yo fa t h r e ed i m e n s i o n a l e u c l i d e a n ，i ti st h em o s ti m p o r t a n tc o n t e n t st oc o n s t r u c tt h e f r e n e t f r a m e ，t of i n dt h ef r e n e tf o r m u l a e ，a n dd e t e r m i n ei t sc u r v a t u r ea n dt o r s i o n s os p a c e m l i k ec u r v e si nt h et h r e ed i m e n s i o n a ls p a c e - - t i m es p a c ea r e s t u d i e db yu s i n go ft h em e t h o di n t h ec u i v e t h e o r yo ft h e t h r e e d i m e n s i o n a le u c l l i d e a ns p a c e ，t h eg e o m e t r i c a li n v a r i a u t so fs p a c e - - l i k e c u r v e si n 碍a r eg o ta n dt h ec l a s s i f i c a t i o no ft h es p a c 卜- l i k ec u r v e s w i t hs p e c i a li n v a r i a n t sa r eg i v e n f i r s t l y , t h er e l a t e dc o n c e p t so nt h et h r e ed i m e n s i o n a ls p a c e - - t i m ea r e i n t r o d u c e d ，s e c o n d l yt h ef r a m e sa n df r a m ee q u a t i o n so fs p a c e _ _ l i k e c u r v e si n 砰a r ec o n s t r u c t e d f o rt h e r e m o r e ，s e v e r a li n v a r i a n t s o n s p a c e - - l i k e c u r v e si n 群, w h i c hd e t e r m i n ec o m p l e t e l yt h es h a p eo f c u r v e si nm a n ys i t u a t i o n s f i n a l l y ，s o m es p e c i a l c u r v e si nt h r e e d i m e n s i o n a ls p a c e - - t i m es p a c e 霹a r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：t h r e e d i m e n s i o n a l s p a c e t i m es p a c e ；f r a m e - e q u a t i o n ； i n v a r i a n t s i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果电本人承担。 学位论文作者签名：绣f 高兹沙哆年矽月日_ f 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密嘭 ) 谚似 月月 护矽 一霉 相期期 上日日 在 漕缀t 蕴刁毒伤浩 垂鄂 签签 者师作导 三维时空空间上的类空衄线的研究 1 引言 一、三维欧氏空间中的相应的理论与结论 微分几何对三维欧氏空间的曲线和曲面的有关性质进行了研究， 得出了一些重要的理论与结论。找出了决定曲线和曲面形状的不变量 系统，在处理方法上采用f r e n e t 标架与双参数活动标架法这种有力的 工具，讨论欧氏空间中曲线和曲面的局部性质。见文献 1 2 1 1 3 4 三维欧几里德空间主要内容有：曲线论与曲面论。曲线论包括 参数曲线，曲线的弧长，曲线的曲率和f r e n e t 标架，挠率与f r e n e t 公 式，曲线论基本定理，曲线在一点处的标准展开，平面曲线；曲面论 包括曲面的定义，切平面与法线，曲面的第一基本形式，曲面上正交 参数网的存在性，保长对应，保角对应，可展曲面，曲面的第二基本 形式，法曲率，g a u s s 映射与w e i n g a r t e n 映射，主曲率和主方向的计 算等基本理论。n e w t o n 和l e i b n i z 当初发明微积分的目的之一就是为 了处理诸如曲线的切线，曲线的弧长以及曲线所包围区域的面积等几 何问题。由于微分几何这门学科在科学技术和其它自然科学的领域中 日趋广泛的渗透和应用，所以它的生命力至今还很旺盛，从内容和方 法上，不断有所更新。见文献 5 6 7 微分几何在力学和一些工程技术问题方面也有广泛的应用，比 如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分 应用了微分几何学的理论；它已渗透到各数学分支和理论物理等学 高校教师在职硕士学位论文 科，成为推动这些理论发展的一项重要工具。随后，由于黎曼几何的 发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相 对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛 的独立学科。见文献 8 9 】 12 二、三维欧几里德空间的曲线论 在三维欧几里德空间的曲线论中，正则曲线在每一点处的标架的 确立，f r e n e t 公式的建立，以及曲率和挠率的确定是其中的最重要的 内容。 三维时空空间是内积为( x ，y ) = x l y ! + x ：y 2 一而儿的三维实数空间( 见 文献 8 1 0 它是和三维欧几里德空间一样重要的空间。那么三维时空 空间中的类空曲线有什么特点? 与三维欧几里德空间上的正则曲线 的曲线论是否相似? 三、本文的主要工作 本文用三维欧几里德空间中曲线论的方法研究三维时空空间中 的类空曲线，三维时空空间上的类空曲线论，论文的结构体系与三维 欧几里德空间上的正则曲线的曲线论相似，但要完成这一结果并不是 所想象的那么容易，照搬e 3 中曲面论的方法是行不通的，因为在三维 时空空间中没有叉乘，并且内积可能为负，所以在建立髯上的类空曲 线的标架时，所用的方法与e 3 完全不同。运用高等代数知识，采用了 一种巧妙的方法固定了标架的方向。另外，标架方程的推导也比e 3 中 烦琐一些。得到群中类空曲线上的几何不变量，并且给出了具有特殊 三维时空空间上的类空曲线的研究 不变量的类空曲线的分类。见文献 5 6 四、本文的主要结构 1 首先对三维时空空间冠3 上的有关概念进行了介绍； 2 建立了r 3 上类空曲线的在任意一点处的标架与标架方程； 3 得到了足3 上类空曲线的标架方程与坐标变换的不变量；在很多 清情况下，这些不变量可以完全确定曲线的形状；还得到了三个关于 坐标变换的不变量，这也是e 3 上的正则曲线的的曲线论所没有的。在 e 3 中，曲线为零的曲线为直线，挠率为零的曲线为平面曲线，曲率和 挠率均为常数的曲线为圆，而这些结论在足3 的类比结论并不成立，作 者通过繁琐的计算得出了在冠3 中，“曲率 为零的曲线，“挠率”为零的 曲线，以及“曲率”与“挠率”均为常数的曲线的解析形式，发现它们并 不一定是像圆或直线那样完美的曲线，我们只能通过m a t l a b 去观 察这些曲线的形状，以上的种种情况表明，三维时空空间的性质与三 维欧几里德空间有一定的差异。 4 最后讨论了三维时空空间足3 上一些特殊的曲线，利用m a t l a b 的知识画出了一类特殊的类空曲线。 三维时空空间上的类空曲线的研究 三维时空空间的基本概念 2 1 三维时空空间的基本概念 2 1 1 三维时空空l 司的定义 定义2 1 设 d ；p 。，p ：，岛) 为r 3 中任意一个关于欧几里德内积的正交标 架，对任意的x = q + x 2 e 2 + x 3 e 3 ，y = y l e l + y 2 e 2 + y 3 e 3 ，定义： ( x ，y ) = 而m4 x 2 y 2 - x 3 y 3 ， 容易验证( x ，y ) 是r 3 中的一种内积，我们把满足上述内积的三维实数 空间r 3 称为三维时空空间，记作砰见文献 1 4 2 1 2 三维时空空间中的曲线与类空曲线 本节我们对所研究的曲线作一些规定。在直观上，冠3 中的一条曲 线是指群中的一点随着时间t 的变化而运动所得的轨迹。换言之，群 中的一条曲线可以表示成从区间【口，b 】到碍的一个连续映射： p ：【口，b 】专碍 ( 2 1 ) 我们可以称它为参数曲线。在砰中取定一个坐标系 d ；f ，k ) ，则曲线 上的点p ( f ) ( 口 0 。 则称曲线，( f ) 为砰中的一条“类空 曲线见文献 1 4 2 5 3 8 2 1 3 三维时空空间中的“弧长参数” 定义2 3 设霹中一条“类空”曲线c 的方程是，= ，o ) ，0 f 6 ) ，命 s = f f i r ( t ) , r ( t ) ) d t ( 2 4 ) 称s 为霹中曲线c 的“弧长”见文献 2 4 】 定义2 4 令s ( f ) = r 扳而西瓣 ( 2 4 ) ， 则s ( f ) 就是曲线c 在碍中从口到f 的弧长，由于j ( f ) 是r 的三次以上连续 可微的函数，并且 警= 瘌 ( 2 5 ) 所以式( 2 5 ) 给出了曲线c 的保持定向的允许参数变换。换句话 说，我们总是把“类空曲线的“弧长 作为它的参数，这种参数可 称为碍中的“弧长参数”见文献 1 】 4 2 8 】 3 9 】 由于把曲线的“弧长参数 计算出来常常是很困难的，或者是做不 到，因此，下面的这个类似于e ，中的结论是十分有用的。 定理1 1 设r = ，( f ) ， f 6 ) 是碍中的一条“类空 曲线，贝, l jt 是它 的“弧长参数”的充分必要条件是( 厂7 ( f ) ，( ，) ) = l 。 三维时空空间上的类空曲线的研究 证明 因为害= 抓瓦万丽，所以凼= 出，当且仅当( ，( d ，7 ( f ) ) = 1 。 为了强调已经把“弧长”取为曲线的参数了，我们通常用“”表示 对“弧长参数”的微商，如户( s ) 等等 三维时空空间上的类空曲线的研究 3 三维时空空间中曲线的标架的确定 3 1 为三维时空空间中曲线的标架的确定所做的准备 为了在r 3 的“类空曲线”上建立类似e 3 中“f r e n e t 标架”的标架，我 们先提出以下的定理： 定理3 1 设，( s ) 是碍中一条以“弧长”为参数的“类空曲线”，设 口= 户( j ) ，令 口 上= z r 冰x ，口) = o ) ，则 口) 上是砰中的一个二维子空间， 且存在 口) 上的一对基底q ，e 2 ， ( e ie 1 ) = 1 ，e ，p 2 ) = - 1 使得 k x = a e l + b e 2 ，y = c e l + d e 2 口) 上，( x ，y ) = a c - b d ( 3 1 ) 其图形如下所示： 图3 1 高校教师在职硕士学位论文 证明先固定任意的一点j ，取易( s ) ，毛( s ) 口) 上，满足 ( 巨，易) o ，( e 3 ，岛) o ，( 易，马) = o ( 3 2 ) 设三个实数霸，如，也， 使得 式( 2 2 ) 的左右两端同时与口做内积，得毛( 口，口) = o ， ( 口，口) - 1 ， 式( 3 2 ) 的左右两端同时与易做内积，得如( 岛，岛) = o 。 因为( 易，e 2 ) o ，所以我们有如= o ；同理我们可得恕= o 。 由以上论述，我们可以知道口，岛，毛线性无关。 由线性代数知识， 口，岛，岛) 构成群的一组基。( 在这里，口，垦，e 为行向量) 见文献 5 6 2 6 】 x = 五口+ 恐易+ 玛岛，y = 乃口+ 儿易+ 儿易碍， 我们可以知道 ( x ，y ) = x 1 m 仁，c t ) + x 2 y ：( 岛，互) + 弘( 毛b ) = c 而，x 2 ，黾， 口0 口c 疋麓，。马奠0 ， 篓 c330 0 ， = ( 而，黾) l( e 2 ，易)l | 儿l () i( 丘，巨) j i 弘j 设毛= ( 1 ，0 ，o ) ，乞= ( o ，1 ，o ) ，岛= ( o ，0 ，1 ) ， 又设 针 三维时空空间上的类空曲线的研究 c ( 3 4 ) 由线性代数知识，我们得到c 为可逆矩阵。引入上( 3 4 ) 后，我 们可以得到： 付，c 叱协儿付c m ，耽，乃，c 圣 c 五y ，= x y = c 五，恐，而，c 兰 c 毛，乞，岛，c 萎 叱而班巴 由式( 3 3 ) 与( 3 7 ) 得： ( 五，x 2 ，x s ) = “，恐，而 ( 口，口) o o i 1 ) c l0 【o 甜， 。姒0i i 刭 ni ( 马，马) 八乃j 卧 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 由( 3 8 ) 以及( 毛，而，弓) ，( 乃，y ：，乃) 的任意性，我们可以得到： c 岛_ 。甜0c 0 0 0 l ( 岛，易)l = i ( 岛，岛) ji ( 3 9 ) 、， 0 o 1 o 1 o 、， 0 0 盯 ， ，。 高校教师在职硕士学位论文 式( 3 9 ) 两端矩阵的行列式相等， 可得 一l c 2 l = ( 口，口) ( e 2 ，最) ( e 3 ，毛) o ) ，( 岛( s ) ，易( j ) ) = 一b 2 ( b o ) 取q = 鲁，乞= 鲁，显然q ，乞可以作为缸) 上的一对基底， 且 ( ) = j 1 e ，巨) = 1 ，( 8 2 吃) = 一1 v x = a e z + b e 2 ，y = c 巳+ 崛缸) 上， 则 ( x ，y ) = o ( a , c c ) + j a c 。忪ee z ) - b b d 。i e e 3 ) = a c - - b d 由定理3 1 我们可以得出一个推论，这个推论会对我们后面建 立碍中吐线的标架起很大的作用 推论3 2 设，( s ) 是砰中任意一条以“弧长”为参数的正则曲线， 设 口= 户( s ) ，缸) 上= x 砰口) - - - o ) ， 则一定存在，7 口) 上， 使得 ( 夕，夕) = o ，( y ，y ) = o ，( 卢，) = 1 证明 由定理3 1 ，存在基底e l ，乞 口) 上， 使得 三维时空空间上的类空曲线的研究 v x - - a e l + b e 2 ，y = c e i + d e 2 他) 上，( x ，y ) = a c - b d ， 取 届= 孚巳+ 孚乞，乃= 孚q 一譬巳， 则可以直接验证 ( ，) = o ，( 厂，) = o ，( ，) = 1 3 2 三维时空空间中类空曲线的标架 在本章中，我们就取推论3 2 中的，y 缸) 上， 满足 ( ，p ) - - o ，( y ，y ) = o ，( ，y ) = 1 ， 使得妒( j ) ；口( j ) ，( j ) ，y ( j ) ) 为，o ) 在j 点处的标架 也许会奇怪为什么要取，y 口) 上，( ，；) - - o ，( 7 ，r ) - o ，( ，y ) = 1 ，而不 取乞o ) ，气0 ) 口) 上， 使得 ( 吃( s ) ，e 4 ( s ) ) = o ，( 吃，e 3 ) = 1 ，e 。，气) = 一1 因为若在平面 口) 上中，我们以定理3 1 中的龟，乞为 口) 上的基底， 任取满足石2 一y 2 = 1 的实数对( x ，y ) ， 取 e 32 码+ 心，e 4 。y e t + 码， 则 ( e 3 , p 3 ) = 1 ，e 。，e a ) = - 1 ，e ，e 4 ) - - 0 由此刻知，在平面缸) 上中满足( 巳，e 3 ) - 1 ，e 4 ，气) = 一1 ，e 3 ，气) = 0 的向 高校教师在职硕士学位论文 量岛和巳在 口 上上有无数条，并且他们的方向不固定( 见图3 2 ) 。 因此，如果取口，e 3 ，e 4 作为r ( s ) 的三个标架，这个标架的方向就不 能被固定下来。 如图3 2 口 上 设 得到 再设 但是，如果取，y 满足 ( ，) = o ，( y ，7 ) = o ，( ，y ) = 1 ， = 码+ y 乞，、由( ，) = 0 ， 图3 2 7 = 蛾+ m 乞， 由( 7 ，厂) = o ，可以得出聊= z 。又因为( ，y ) = 1 ，所以，7 分别被固定在 1 4 三维时空空间上的类空曲线的研究 了两条直线：y = x 和y = - x 上( 见图3 3 ) ，从而使得标架妒( s ) ；口，7 ) 的 三个方向完全被固定下来。 上 图3 3 在三维欧几里德空间中，曲线的f r e n e t 标架可以通过一定方法完 全确定下来，但是在砰中，我们无法再效仿e 3 中的方法，所以我们 才通过上述方法来确定标架的方向。 三维时空空间上的类空曲线的研究 4 三维时空空间中曲线的标架方程与坐标变换的不变量 4 1 三维时空空间中类空曲线标架方程 在三维欧几里德空间的曲线论中，“f r e n e t 公式 是一个非常重要 的内容，在本章中，我们将建, - ye 、3 中类似 f r e n e t 公式 的标架方程。 设，( j ) 是碍上一条以“弧长 为参数的正则曲线，如第2 章所述， 我们取口，y ，使得 口= 户( s ) ( 口，) = o ，( 口，y ) = o ，( ，) = o ，( y ，y ) = o ( ，7 ) = 1 另外由于s 是弧长参数，因此( 口，口) = 1 设 竿= x l a + 恐+ 为y ， ( 4 1 ) 船 式( 4 1 ) 两端同时与口做内积， 得 坼 因为( 口，c t ) = l ，所以对其两端求导， 得到 + = 2 一o ， 从而 五= 一o m ， 式( 4 1 ) 两端同时与y 做内积， 高校教师在职硕士学位论文 得 嘶 式( 4 1 ) n 端同时与做内积，得： 滢d a ， = 鼍 如果我们设 孔 吡 那么由式( 4 1 ) ( 4 4 ) ，我们有： 华：o a + k f l + z n s 再设 d - f l = y , a + y 2 f l + 乃厂， 础 式( 4 6 ) 两端同时与口做内积，得： = m 由于( 口，) = o ，对上述求导，得到： + 一o ， 所以 以= = 一 一， 式( 4 6 ) 两端同时与p 做内积，得： 嘶 由于( ，) = o ，所以对其两端求导，得到： ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 三维时空空间上的类空曲线的研究 + = 2 = 。， 从而 y 3 = 0 式( 4 8 ) 两端同时与7 做内积，得： 嘞 如果我们设 喁 那么由式( 4 7 ) ，( 4 8 ) ，式( 4 6 ) 可以表示为 塑= - r o r + m f l + 0 7 ， d s 。7 再设 华= 乙口+ z 2 + o z 3 y ， 船 式( 4 1 0 ) n 端同时与口做内积，得： 扩d y ) 由于( 口，7 ) = o ，所以对其两端求导，可得到： + - o ， 从而 毛= = 一 下的类似式( 4 1 2 ) 的公式， 由式( 4 5 ) 得 三维时空空间上的类空曲线的研究 _ d c r ：尼+ 可：冬( 丑) + ( 旯f ) 冬， a s l九 _ d ( a f l ) ：见，夕+ 兄皇：拿：兄，一旯f 口+ 旯垅 a sa s 卅似m 郴一础+ 等等( 概 掣书+ c 始 一砉y + 去c 一施叫， = 一扣去c 一参一y = 一一口+ 一( 一- = 了一_ ) y 无名、五2兄“ = 一万k 口+ 诈砉一万m ，万ya九a九 = 一鲁口+ e 一鲁一扰，孟2 一万口+ ( 一百一扰) j 豺 o 一允f 后 兄 o 允f o 一旯一无，” 允 ( 4 1 3 ) 由式( 4 1 3 ) ，在坐标 厂( j ) ；，口，屈，乃) 下， 气：了k ，：五f ，_ ，z l ：尝竽：( 1 n x ) ，+ m ， ( 4 1 4 ) 以以 虽然这三项均与 厂( s ) ；，口，y ) 下的结果不同，但是我们却有： 毛= 打， ( 1 n * o 一，啊= ( 1 n a ) + ( 1 n f ) 一【( 1 i l 旯) 7 + 扰 = ( 1 n r ) 一所， ( h l 墨) 7 + = 一( h 1 名) + ( 1 i l 七) + ( h 1 兄) + 聊 = ( 1 1 1 七) + 肌 由此我们得到以下两个定理： 定理4 1 设k s ) 是砰中一条以“弧长”为参数的正则曲线，则由上 面定义的鼢，( 1 i l f ) ，( 1 l l 七) + 扰都与元( s ) 无关，而只与j 有关，即它们都是关 2 1 七一力一五 高校教师在职硕士学位论文 于兄( s ) 的不变量 定理4 2 设，( s ) 是群中一条以“弧长”为参数的正则曲线，则由 上面定义的k ，f 是否为零，与坐标系的选取无关 注：由于k r ，( i n k ) + 班是曲线上的不变量，它们的几何意义是，惫，7 为曲线r ( s ) 的某种意义上的曲率；而m 反映的是曲线，( 5 ) 一部分挠率 的信息见后面的分类例子，如七= f = 0 ，则，( s ) 为直线，从而说明后，f 为某 种意义上的曲率 三维时空空间上的类空曲线的研究 5 决定曲线形状的一些不变量以及一些特殊的曲线 尼或f 取特殊值的类空曲线 在以下的讨论中，我们只关注k 、f 恒为零或者恒不为零的情况， 而不讨论这两个量时而为零时而不为零的情况，因为这些情况过于复 杂繁琐。 5 1 1 k 兰o ，f 暑0 的类空曲线 定理5 1 群中类空曲线为直线的充分必要条件是k - - o ，r - 0 证明 当k - - 0 ，i - - - - - 0 时，由式( 3 1 2 ) 得： d a 兰0 ， 出 从而得到： 口骨， 因此 小，馁 ， 所以此时，曲线是一条直线反过来，显然成立 5 1 2k - 0 ，f 恒不为零的类空曲线 定理5 2 碍中类空曲线七童o ，r 0 的充分必要条件为 高校教师在职硕士学位论文 ，( ，) = 其中c l ，c 2 ，c 9 满足 口+ q g = o ，c l c 4 + c 2 c ，一c 3 c 6 = 0 ，口+ g q = 1 证明当k 由式( 4 1 2 ) 得： d o ： 凼 三o ，r 0 时， 哪譬= - r o t + m f l ，_ d y ：唧 = 可，_ ，_，_ = 一朋， 璐c l s 由上面的第三个式子： d r = 一m y ， d s 我们得到： 又因为 所以有： 7 ( s ) ：p 一m ( f ) 出 ( y ( j ) ，7 ( s ) ) = o ， 口+ 暖一q = o ， 将式( 5 2 ) 代入( 5 1 ) 的第一式中， 我们得到： 孥：，) e - r ( s ) e 舯出- 2 ” a s ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) 凸 磊 西 ，f 74，f 甜 反 巴 产一2产一2产一2 厶 厶 厶 g q q ，。一 q q q，。一 三维时空空间上的类空曲线的研究 用常微分方程知识解得： c lrr ( f ) p l m ( i ? 出+ g 口( s ) ：lc 2r f ( r ) p 一：州”出出+ c 5 c 3rr ( f ) 口一m ( i ) 破出+ c 6 由于( 厂( j ) ，口( j ) ) = 0 及式( 5 3 ) 司以推出： q c 4 + g c ，一c 3 c 6 = 0 ( 5 4 ) 又因为 忙( j ) ，口( s ) ) = 1 ， 所以： ( c 2 1 + g g ) ( r r ( t ) e - i ： ( 1 w k d t 2 + ( 口+ c ；一c ：) + 2 ( r f ( r ) e 州”出出 ( g c 4 + c 2 c 5 一c 3 g ) = 1 ( 5 5 ) 由式( 5 3 ) ，( 5 4 ) ，( 5 5 ) 得： 口+ 一口= 1 ，( 5 6 ) 令 ，：如弦舯破a r t ， ( 5 7 ) 则 粤：f ( s ) ，脚出 a s 因为f ( s ) 恒不为零，所以半恒不为零，式( 5 7 ) 给出了曲线的保持 口s 定向的允许参数变换。 换句话说，我们可以把，作为曲线的参数我们用，换元后， 高校教师在职硕士学位论文 得到： 所以 k t ) = 我们可以对( g ，c 2 ，c 9 ) 赋以一些特殊的值，使他们满足 砰+ 岛一g = o ，c l g + c 2 c ，一c 3 c 6 = o ，口+ g 一口= 1 然后可以用m a t l a b 画出在这些值下的曲线。在下图中我们画出了 ( c l ，c 2 ，c 9 ) = ( 1 ，1 ，互，互，0 1 ，1 ，1 ，1 ，) 时的曲线： a 一 1 ，1 ，s q r t ( 2 ) ，s q r t ( 2 ) ，0 ，1 ，1 ，1 ，1 ； 仁一1 ：o 0 1 ：1 ； x = 0 5 冰a ( 1 ，1 ) 水t 2 + a ( 1 ，5 ) 木t + a ( 1 ，8 ) ； x = 0 5 书a ( 1 ，1 ) 木t 2 + a ( 1 ，4 ) 木t + a ( 1 ，7 ) ； y = 0 5 术a ( 1 ，2 ) 木t 2 + a ( 1 ，5 ) 术t + a ( 1 ，8 ) ； z = 0 5 水a ( 1 ，3 ) 木t 2 + a ( 1 ，6 ) 术t + a ( 1 ，9 ) ； p l o t 3 ( x ，y , z ) 已& 色 + + + q q c ，。，_ = 、，u 口 白 磊 西 ， & 以 严一2产一2产一2 n 1 q q 1 0 图5 - i 5 i 3f 兰o , k 恒不为零的类空曲线 定理5 3 碍中类空曲线f 暑o ，七o 的充分必要条件为 r ( o = 其中g ，c 2 ，g 满足 口+ q g = o ，q q + c 2 c ，一c 3 c 6 = o ，口+ 一q = 1 证明当f 羞o ，k 0 时，由式( 4 1 2 ) 得： 了d f z ：七夕，皇擘：m ，d - y ：一七口一所厂 出a sa s 由上面的第二个式子：华：邶， 出 3 ( 5 8 ) 3 5 2 s 1 5 8 z 1 0 1 西 & 凸 ， ， q g g p 一2 产一2 p 一2 q g q 高校教师在职硕士学位论文 得到： 又因为 所以有： 郎阳肛咖， ( 夕( s ) ，夕( s ) ) = o ， 砰+ 碍一口= 0 将式( 5 9 ) 代入( 5 8 ) 的第一式中， 得到： 等= 尼c j ，p c m ( 1 ) 出 差 ， 用常微分方程知识解得： 所以 口o ) = c l 胁) e 脚积以+ c 4 c 2 肌) e 脚毋出+ c 5 c 3r 丁( f ) g j ：m ( i ) 戤协+ c 6 由于( ( s ) ，口( s ) ) = o ，且注意到式( 4 10 ) 可以推出： 又因为 g c 4 + q c 5 - - c 3 c 6 = 0 ( 口( j ) ，口( s ) ) = 1 ， ( c ? + c ；一g ) ( r 忌( t ) g j ：州幻出出) 2 + ( + c ；一c ：) ( 5 9 ) ( 5 1 0 ) ( 5 1 1 ) 三维时空空间上的类空曲线的研究 + 2 ( r 尼( t ) e r 耐n 班d t 、 ( c 1 c 4 + c ：c 5 一c 3 c 6 ) = 1 ( 5 1 2 ) 由式( 5 10 ) ，( 5 1 1 ) ，( 5 1 2 ) 得： 口+ g 一四= 1 ( 5 1 3 ) 令 ，：r 七( f 4 出砒 ( 5 1 4 ) 则 粤：七( j ) e 曲( 5 1 5 ) a s 因为f ( s ) 恒不为零，所以导恒不为零，式( 5 1 5 ) 给出了曲线的保 钌 持定向的允许参数变换。换句话说，我们可以把，作为曲线的参数。 我们用，换元后，得到： 叫) ：【：c c 2 i l ，+ + c c 5 4 、1 i ， l g t + g c 1 一1 2 + c 4 z + c 7 2 l， 厂( z ) = 【c 2 了1 2 + c 5 ，+ c 8 c 3 i 1 2 + c 6 ，+ c ， 发现情形5 1 - 3 与5 1 2 下的曲线是同一类型的 5 2k 恒不为零时，可以决定曲线形状的两个变量 尼恒不为零时，在式( 5 1 3 ) 中，取旯( j ) = 七( s ) ，令层= 七( s ) ，乃2 志， 则在坐标系p ( s ) ；口，屈，乃) 下，q ( s ) - 1 ，并且标架方程为： 2 9 高校教师在职硕士学位论文 o1 丢= 卜 i + k m k k r 0 1o - k - k m 后 易知当s 取定时，屈，所均是唯一确定的。 口 k | 3 兰 七 定理5 4 ：k s 0 ，则存在唯一，厂，满足尼= 1 证明若屈，履，乃，屁存在，使得墨= 乞= 1 ，即沿曲线，0 ) ， 活动标架缸，层，以) 与缸，及，殇 所定义出的霸= 乞= 1 设 层叫鹕，则乃2 南， 所以 墨：丧：1 五( s ) ：1 ， 1 见( s ) 7 由此得到 展= 殷，苁= 圪 ( 5 1 6 ) 定理5 5 ：设两条类空曲线( s ) ，吃( s ) 所定义的毛( s ) o ，如( s ) o ，则如 ( 4 1 6 ) 所定义，可以定义曲线，i ( j ) 上不变量向_ ，霸 i + k l m l ，在曲线吃( j ) 上定义不变量砭吃，下k 2 r + c 2 t m ，且毛t ：如吃，笠之嗵：_ k 2 + k 2 m ：，则曲线 ，c ，咒版 ( 吐吃( j ) 至多相差碍中刚体运动全等即打，生# 两个量完全决定曲 线的形状 证明在曲线，；( s ) 上有 三维时空空间上的类空曲线的研究 辩 i 乃 在曲线吒0 ) 上有 料 0 一毛1 - 1 墨q 0 o 二生：二生! ! 墨 01 包吃 一也吒犟 q 乜 一1o 二型二生垒 也 在j = j 。点处，( ( s 。) ，局( s 。) ，乃( ) ) 与( ( s 。) ，厦( s 。) ，儿( j 。) ) 相差砰中刚体运 动。故不妨设 la , ( s o ) = ( s o ) ， 屈( ) = 屐( s 。) ， 【乃( ) = 儿( s 。) ， 则计算 三罢 ( q 一) 2 + ( 届一屐) 2 + ( 乃一心) 2 = 。， ( 一) 2 + ( 局一屐) 2 + ( 乃一兄) 2 = o ， 继而有 因此七f ，业k 这两个是与坐标系的选取无关的量，可以确定在 ，( j ) ；口，局，所) 这一个固定坐标系下的标架方程，从而确定整定整条曲 1娩一q1 华 高校教师在职硕士学位论文 所以，在七恒不为零的情况下，七f ，竺# 与三维欧几里德空间中 的曲线的曲率和挠率一样能够完全确定曲线的形状，它们两个量具有 重要的意义。 例5 1 求碍中的曲线【x z _ o + y 2 = 1 的打，竿 解该曲线的参数方程为：r ( t ) = ( c o s t ，s i n t ，o ) ，r 【o ，2 万】， 因为 ( ，9 ) ，0 ) ) = l ， 所以由定理2 1 ，f 为曲线的“弧长参数”，即s = f 容易算得： 口( s ) = ( - s i n s ，c o s s ，0 ) ， 取 容易验证出 又容易算得： 所以 = ( c o s s ，s i n s ，1 ) ， y = 1 2 ( c o s s , s i 矗s ，一1 ) ， ( 夕，夕) = o ，( y ，y ) = o ，( ，7 ) = 1 ，( 口，夕) = o ，( 口，7 ) = o ， 掣：( - c o s s , - - s i l l c o ss i l l s ，u “) ， = s ，) ， 钌 掣：( 一s i l l s , c o s s , o ) ， 嬲 立=(一半，军，o)ds 、 2 。 2 。 三维时空空间上的类空曲线的研究 七= 警十一丢， f = 叫，弘i 一l ， 朋= = 所以 1 七+ l a n1 庀r = 一一= 一 2 。 七2 从上面的例子我们得到：单位圆的打和竺粤都是正常数。那么 在尼恒不为零时，k r 和竺粤都是常数的曲线的一般形式是什么样子 呢? 会是圆吗? 这个问题相对较为复杂，留到以后继续研究。 参考文献 1 陈省身，陈维桓微分几何讲义 m 北京：北京大学出版社， 1 9 9 8 2 陈维恒微分几何初步 m 】北京：北京大学出版设，2 0 0 5 ：l m 3 5 3 沈一兵整体微分几何初步 m 杭州：浙江大学出版社，2 0 0 4 ：1 8 2 4 丘成桐，孙理察，微分几何讲义 m 】高等教育出版社，2 0 0 4 5 丘维声高等代数( 第二版) 上册 m 】北京：高等教育出版社， 2 0 0 4 ：1 8 _ 2 1 6 史荣昌，魏丰矩阵分析( 第二版) m 北京：北京理工大学出版 社，2 0 0 6 ：2 4 8 - - 2 9 5 7 i t 高雄常微分方程 m _ 匕京：高等教育出版社，1 9 8 3 ：1 _ 5 3 8 丁同仁，李承治常微分方程教程 m 】北京：高等教育出版社， 1 9 9 1 9 姜国英，黄宣国微分几何2 0 0 例 m 】北京：高等教育出版社， 1 9 9 2 10 n h k u i p e r , o nc o n f o r m a l l yf i a ts p a c e i nt h el a r g e j a n n o f m a t h ，19 4 9 ( 5 0 ) ：9 16 - 9 2 4 11 m o b a t a ，t h ec o n je c t u r e so nc o n f o r m a l l yt r a n s f o r m a t i o n so f c o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l d s j d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , 19 71 ( 6 ) ：2 4 7 - 2 5 8 1 2 s h u k i c h i t a n n o ，c o m p a c tc o n f o r m a l l y f l a tr i e m a n n i a nm a n i f o l d s j zd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ，19 7 3 ( 8 ) ：7 1 7 4 1 3 s t c h e n g ，s t y a u ，h y p e r s u r f a c e s 埘mc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e m a t h a n n 19 7 7 ( 2 2 5 ) ：19 5 2 0 4 14 l it o n g z h u ，c h e nl i u - x i n ，t h ec l a s s i f i c a t i o no fc o m f o r m a lf l a t n e s s i nt h ep r o d u c tr i em a n n i a nm a n i f o l d j j 。o fy u n n a nn o r m a lu n i v e r s i t y , 2 0 0 1 ( 2 2 ) ：9 1 3 ( c h i n e s e ) 1 5 s s c h e m ，g l o b a ld i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ( e d i t o r ) ，m a as t u d