（应用数学专业论文）基于多重分形与小波的金融时间序列模型.pdf

摘要 本文首先介绍了资产收益多重分形模型( m m a r ) 。乘积层叠理论，多重分形测度是建 立m m a r 模型的基础通过h b l d e r 指数的多样性，多重分形过程在局部高斯耗散与跳跃 耗散等经典模型之间建立起了沟通的桥梁我们通过该过程的多重分形谱刻划了h o l d e r 指 数的分布，并讨论丁m m a r 的性质 我们构造了一个连续时间过程p o i s s o n 多重分形模型( p m m ) 提出了对未来收益分 布预报的分析方法该过程可捕捉到许多金融时间序列呈现出的胖尾性，长记忆性以及阶矩 标度性为了预报未来的收益分布，我们引入了该模型的离散化形式p m m 是一个具有有 限状态空间和一个分析解的模型当随机格点步长大小趋于零时，离散模型弱收敛到连续时 间过程 我们采用由r i e d i 提出的多重分形小波模型( m w m ) ，描述了具有长记忆性绝对金融资 产收益m w m 模型对数据集的合成给出了一个高效的迭代算法我们研讨了此模型的多 重分形性质和统计性质，并推出了一个拟合实际金融数据的模型格式，证明了它的有效性。 我们利用正交小波变换的方法，根据小渡系数的特点，给出了分数布朗运动的自相似 指数( 或分形维) 的估计方法以及以分数布朗运动为基础的多重分形谱估计的小波方法并 讨论了它们的统计性质 我们基于沪深证券市场数据进行了大量的实证分析 1 我们基于m m a r 模型的结构函数，得出我国金融市场数据中也存在多重分形性和长 记忆性 2 我们采用离散p m m 模型对国内、国外证券市埸的股票价格数据进行了预报并将预报 结果与1 9 9 9 年s i n g h 提出的p m r s 模型( p a t t e r nm o d e l l i n ga n dr e c o g n i t i o ns y s t e m ) 的预报结果进行了比较仅从绝对误差上看，p m m 优于p m r s 模型预报的结果 v p m m 模型不仅可以象m m a r 模型一样能较好的描述金融市塌数据特性，而且还可预 报金融资产收益分布。 3 利用r i e d i 提出的小渡多重分形模型，对我国证券市场股票价格数据进行了实证模拟 结果表明小波多重分形模型m w m 与m m a r ，p m m 模型模拟效果一样，较传统模 型如布朗运动模型和随机稳定分布模型效果更佳 4 采用分数布朗运动( f b m ) ，根据小波系数的统计性质，用小波方法对沪深指数数据的 分形维数以及多重分形谱进行了估计。 关键词：多重分形，小波，金融时间序列 分数布朗运动，随机过程，交易时间 长记忆性，h u r s t 指数，多重分形谱 资产收益，统计自相似性，布朗运动 多重分形测度，胖尾性，标度律， 乘积层叠 v i a b s t r a c t ) t h i s p a p e r t h e f i r s t p r e s e n t s t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e m u l t i f r a c t a l m o d e l o f a s s e t r e t u r n s ( m m a r ) t h em u l t i p l i c a t i v ec a s c a d e sa n dm u l t i f r a c t a lm e a s u r ea r ef o u n d a t i o no fc o n s t r u c t i n gm m a r ， m u l t i f r a c t a lp r o c e s s e sb r i d g et h eg a pb e t w e e nc l a s s i c a ll o c a l l yg a u s s i a nd i f f u s i o n sa n dj u m p - d i t 羊u s i o n sb ya l l o w i n ga m u l t i p l i c i t yo fh s l d e re x p o n e n t s w ec h a x a c t e r i z et h ed i s t r i b u t i o no fh s l d e re x p o n e n t sb yt h em u l t i f r a c t a ls p e c t r u mo ft h e p r o c e s s ，a n dd i c u s st h ep r o p e r t i e so fm m a r w ec o n s t r u c tt h e nan e wc o n t i n u o u s t i m ep r o c e s s - - t h ep o i s s o nm u l t i f r a c t a lm o d e l ( p m m ) ， a n dd e v e l o pt h e na n a l y t i c a lm e t h o d st of o r e c a s tt h ed i s t r i b u t i o no ff u t u r er e t u r n st h e p r o c e s s c a p t u r e st h et h i c kt a i l s ，l o n gm e m o r y ，a a dm o m e n ts e a l i n ge x h i b i t e db ym a n yf i n a n c i a lt i m e s e r i e st of o r e c a s tt h ed i s t r i b u t i o no ff u t u r er e t u r n s ，w ei n t r o d u c ead i s c r e t i z e dv e r s i o no ft h e m o d e lt h a th a saf i n i t es t a t es p a c ea n da na n a l y t i c a ls o l u t i o n a st h eg r i ds t e ps i z eg o e st oz e r o ， t h ed i s c r e t i z e dm o d e l w e a k l yc o i l v e r g e st ot h ec o n t i n u o u s t i m ep r o c e s s ，i m p l y i n gt h ec o n s i s t e n c y o ft h ed e n s i t yf o r e c a s t s w ed e s c r i b ea b s o l u t ev a l u e df i n a n c i a lr e t u r nw i t hl o n gm e m o r yb ym u l t i f r a s t a lw a v e l e t m o d e l ( m w m ) t h em w m w a sd e v e l o p e db yr i e d ii nn e t w o r kt r a f f i cm o d e l i n g t h em o d e l p r o v i d e sar a p i dc a s c a d ea l g o r i t h mf o rs y n t h e s i z i n gp o i n td a t as e t s ，w es t u d yb o t ht h es e c o n d o r d e ra n dm u l t i f r a c t a lp r o p e r t i e so ft h em o d e l ，w ed e r i v eas c h e m ef o rm a t c h i n gt h em o d e l t or e a lf i n a n c i a ld a t ao b s e r v a t i o n sa n d ，t od e m o n s t r a t ei t s e f f e c t i v e n e s s ，a p p l yt h em o d e lt o f i n a n c i mt i m es e r i e s ，t h ef l e x i b i l i t ya n da c c u r a c yo ft h em o d e la n df i t t i n gp r o c e d u r er e s u l ti n ac l o s ef i tt ot h er e 甜f i n a n c i a jd a t as t a t i s t i c s w e s t u d yf l a c t i o n a lb r o w n i a nn l o t i o n s ，am o d e lf o rl o n gm e m o r yp r o c e s s e sp r o p o s e di n t h ec o n t e x to fe c o n o m i c s o u ri n t e r e s tf o c u s e so nt h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h ew a v e l e t i d e c o m p o s i t i o no ft h e s ep r o c e s s e s ，l o n gm e m o r ya n ds t a t i o n a r i t y lw h i d la r ei n s t r u m e n t a lt o w a r d s c o m p u t i n gt h es t a t i s t i c so fw a v e l e t b a s e de s t i m e t t o r so ft h em u l t i f f a s t a ls p e c t r u ma n ds e l f - s i m i l a re x p o n e n t w eh a v ed o n em u c he m p i r i c a le v i d e n c ew i t hd a t af r o ms h a r l g h a ls t o c ke x c h a n g e ，o rf r o m s h e n z h e ns t o c ke x c h a n g e 1m u l t i f r a c t a lm o m e n t ； 2 f o r e c a s t i n gt h ed i s t r i b u t i o no ff u t u r er e t u r n s ； 3 s i m u l a t i n gs t o c kp r i c ep r o c e s sb ym w m ； 4 e s t i m a t i n gf f a c t a ld i m e n s i o no fs t o c km a r k e ti n d i c e s k e y w o r d s ：m u l t i f r a e t a l ，w a v e l e t ，f i n a n c i a lt i m es e r i e s ，a s s e tr e t u r n ，b r o w n i a nm o t i o n ， s t a t i s t i c a ls e l f - s i m i l a r i t y ，f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，t r a d i n gt i m e ，l o n gm e m o r y ， s c a l i n gl a w st h i c kt a i l s ，h u r s te x p o n e n t ，m u l t i f r a c t a ls p e c t r u m ，m u l t i p l i c a t i v ec a s c a d e 1 1 研究背景 第一章绪论 关于金融时间序列建模的同题，早在1 9 0 0 年，b a c h e l i e r 曾指出金融市塌的价格波动服 从布朗运动，金融资产的收益分布服从正态分布正态分布存在有限的均值和方差基于这种 收益分布的正态性假设上，建立了内容非常丰富的现代金融理论如1 9 5 2 年，m a r k w i t 。提出 了投资组合理论。6 0 年代中期，s h a r p ，l i n t n e r 和m o s s i n 提出的资本资产定价模型f c a p i t a l a s s e tp r i c i n gm o d e l ，简称c a p m ) 1 9 7 6 年，r o s s 提出的资产套利定价理论( a r b i t r a g e p r i c i n gt h e o r y , 简称a p t ) 1 9 7 3 年，b l a c k s e h o l e s 提出的期权定价理论( o p t i o np r i c i n g t h e o r y , 简称o p t ) 然而，1 9 6 3 年，m a n d e l b r o t 通过大量的实证研究，指出大多数资产 的收益分布在均值附近有比正态分布的峰值更高的峰值，有比正态分布更厚的尾部收益分 布并不是服从一种正态分布，而是一种稳定分布【7 5 】我们以深证深发展的股票价格为例 删i l k 。山l 【i 上1 i l j m h 。山山山_ - ” 下_ 町t 7 r 唧邢r i f i g u r e1l ：深发展股票收益波动( 1 9 9 6 0 41 6 - 2 0 0 1 0 3 1 2 ) 从图1 1 1 3 中我们可以看到，我国金融市塌的资产收益分布也可以用这样的一种稳定分 布来描述这类分布的特征最初由l e v y 在发表于1 9 2 5 年的论文中提出l e v y 的工作是在 2 浙 江大 学博 士 学位论 文 f i g u r e1 2 ：深发展股票收益直方图 1 8 9 7 年p a r e t o 讨论收入分布的基础上进行的实证分析表明，高峰厚尾并不仅仅是股票市 场特有的现象，其它资本市场也表现出同样的特性这些厚尾分布常常显示出由非线性随机 过程所产生的一种具有长记忆系统的迹象【7 2 】l e v y 概括了其概率分布的特征函数为： 当o 1 时， l o gf ( t ) = i s t 一7 1 t l 。【1 + i f l ( t i t l ) t a n ( a 7 r 2 ) 当o = 1 时， 0 l o g f ( t ) = i ! s t 一7 1 t l 1 + i n ( t i t l ) 三l o g i t l 其中n 口1 1 ，6 为特征参数d 是均值位置参数；1 是尺度参数；口【一1 ，1 是倾斜参数； o ( o ，2 1 是分布的峰度和厚尾参数稳定分布的性质是均值有限，方差不存在 取d = 2 ，口= 0 ，1 = 1 ，d = 1 ，上式即为正态分布的特征函数 随着计算机技术的发展，金融市埸数据越来越丰富，为金融数据的性质研究提供了数据 基础1 9 8 2 年，e n g l e 指出金融时间序列存在条件异方差，提出了一个自回归条件异方差 模型( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i e i t y ，简称a r c h ) 并证明了。当1 一n l l n 2 2 一o 。l q = 0 的根的绝对值大于1 时，a r c h ( q ) 过程是协方差平稳的【3 2 】1 9 8 6 年，b o l l e r s l e v 将a r c h 模型推广到g a r c h 模型， 其中地是i id ，和 eo ，m + 1 h 岛g 一 十 0 口 = h 浙江大学博士学位论文3 f i g u r e1 3 ：深发展股票收益分布的胖尾性稳定分布 并证明了g a r c h ( p ，q ) 过程是宽平稳的一个充要条件【“1 9 9 1 年n e l s o n 通过在h l 与过去 值 ( 自h t 一。) ) 之间存在的函数依赖关系，建立了不同震荡( 如正或负震荡) 的模型【7 9 】 a r c h 模型和g a r c h 模型集中地反映了金融时间序列的方差变化特点，所以被广泛地应 用于金融数据建模它们可以较好地应用于短记忆性时间序列然而，对于具有长记忆性的 时问序列就不是鄢么有效1 9 9 6 年，b a i l l i e 等提出的f i g a r c h 过程，该过程可获取一种 简洁的长记忆象g a r c h 一样，f i g a r c h 在平方收益中有一个无限次a r c h 表示 此模型可看成为一个限制在它的a r c h 参数上的无限维集合数学上，这些约束通过一个 分数算子被传递与f b m 和a r f i m a 相比，分数差分影响平方差( 这主要是与误差项本身 相比) 通过这样的处理后，f i g a r c h 模型就可在保留价格的鞅性质的同时也保留了在绝 对收益中的长记忆性在这类模型中，现在还未探索研究在不同时间尺度上各f i g a r c h 表 示之间的关系1 9 9 3 年，d r o s t 和n i j m a n ，1 9 9 6 年，d r o s t 和w e r k e r 研究了g a r c h 在不 同时间尺度上统计描述之间的关系问题 2 s , 3 1 】对给定的一类离散过程，他们考虑了对数价 格的时河聚合，得到了定义在较粗时间尺度上价格过程如果聚合过程都属于初始过程所在 类，则他们称此类为在时间聚合下的闭对这个性质的另一个可能的术语是尺度致，因为 它隐含在不同时间尺度上模型表示之间的一种等价关系在实证分析工作中，由于缺乏尺度 一致性，研究者在选择数据时间尺度时，就要加入额外的限制条件进行建模通过对a r c h 4 浙江大学博 士 学位论文 和g a r c h 以及其扩充模型的研究，我们知道，时间序列的长记忆性和标度性以及胖尾性是 金融时间序列的重要性质，多重分形是分形的数学推广，用于描述具有分数维，标度性以及 自相似性的对象。现已发现众多自然现象可通过随机多重分形很好地描述包括损失保险， 气象条件，人口分布以及金融时间序列 1 9 9 4 年，p e t e r 对分形市塌假说提出的五个基本假设： 【8 5 】 1 金融市埸是由大量不同投资规模的众多个体组成； 2 信息对不同的投资规模有着不同的影响； 3 当市塌由许多具有不同投资规模的投资者组成时流动性存在流动性是指市埸供求 平衡市塌的稳定性大部分是流动性事件； 4 价格反应了一个短期技术交易和长期基础价值的组台； 5 如果一个证券没有依靠经济周期那么将不存在长期趋势交易量，流动性以及短期 信息将占优势 分形市塌假说( f m h ) 强调关于投资者行为的影响，如信息的影响和投资规模在传统 金融理论中，信息处于很一般的地位对投资者来说，该理论隐含了所有类型的信息都是同 样程度影响着所有投资者这样的假设，从而很可能导致建模失败在f m h 下，我们可以建 立一个更好拟合我们对金融市埸运动和投资者行为中的经验发现的模型不象e m h ，f m h 要求信息按投资者的不同投资水平具有不同的价值1 9 9 7 年。m a n d e l b r o t 等在多重分形测 度 6 9 , 7 0 】的基础上提出了资产收益的多重分形模型( m u l t i f r a c t a lm o d e lo fa s s e tr e t u r n ，简称 m m a r ) 【2 3 】此模型可以产生胖尾性和长记忆性以及易变性聚集体等金融时间序列特性 它并不象n l e v y 稳定过程要求阶矩的方差是无穷的它允许增量的阶矩是有限该模型考 虑的是一个在时间尺度上的随机形变过程资产收益多重分形模型的多标度性是对随机过程 自相似性的一种推广我们知道一个具有指数日的自相似过程x ( t ) 是满足下列关系式的。 x ( c t ) = 8e h x ( f ) ， 而一个多重分形过程x ( t ) 则要求满足更一般的标度规律 x ( a ) = 4m ( c ) x ( f ) ， 其中m ( c ) 是一个与x ( ) 独立的随机过程 堂兰盎堂攮堂堡笙圭 5 关于金融数据模型的性质，我们可用如下两表列出 表1 1金融时间序列模型主要特性 i金融模型性质 l a r m ag a r c h 短记忆性，标度不一致 l a r f i m af i g a r c h 长记忆性，标度不一致 lf b mm m a r长记忆性，标度一致性 表1 2金融时间序列模型相关性 c o v ( 1 x t + 。+ a t x t + s，i 置+ f 一甄0 ( 噩+ 。+ a t 一丑置+ a t 一置) a r m a 弱弱 g a r c h 弱 零 a r f i m a 强强 f i g a r c h 强零 f b m 强强 m m a r 强零或强 总之，多重分形市埸的主要特征是 1 波动长记忆性； 2 收益分布胖尾性 3 标度性 通过对以往金融数据模型的介绍，我们认为，金融多重分形模型能较好地描述金融时间 序列的上述波动长记忆性，收益分布胖尾性以及标度性等性质但我们也知道，虽然m m a r 能较好地拟合金融数据性质，它也存在局限性，如乘积层叠只能在有限格点上造代以及缺乏 收益分布的预报功能为此，我们基于m m a r 的建模思想，提出了一个新的收益分布预测 分析模型主要思路是在有限区间上，利用随机层叠选代过程，构造极限为p o i s s o n 分布的 时间变形过程我们首先建立一个连续时间p o i s s o n 多重分形过程，然后导出其离散格式。 该过程不仅可捕捉到许多金融时间序列呈现出来的胖尾性、波动持续性以及阶矩标度性，而 且其离散格式可对资产收益分布情况进行预报与m m a r 不同的是我们主要的想法是将区 间进行随机分割层叠，以得到一个p o i s s o n 多重分形测度这样构造的模型可以解释为是一 个具有多频和m a r k o v 潜在状态的随机波动性模型，所以此模型具有预报功能 我们要解央的主要问题是金融时间序列的长记忆性和与之相对应的状态空间的无限维 情形我们引入了具有有限状态空间和有解析解的离散化模型当格点的步长大小变化到0 时，离散化模型弱收敛到连续时间过程由此说明离散化模型可以作为未来收益分布的预测 6 堂垒叁芏壁堂垡堂圭 模型我们将波动性看成是一个随机函数的无限序列的乘性积每个函数包含递增频率的 p o i s s o n 可达次数在构造中频率服从几何增长。这就可保证在一个广泛频率范围上存在波 动性聚集体这与具有不同时间尺度的经济因素的直观是相容的( 或者说一致的) ，如技术 震荡，商业循环以及流动性震荡 为了构造一个简洁的模型，我们假设波动项有不同的生命期和相同的分布。我们提出 的这种模式可发生在完全理性的均衡模型中。既可来自多重分形震荡的外部，也可来自市埸 不完全性或信息层叠的内部另外，由于波动项不是直接可观察到的，所以过去数据就是关 于当前潜在状态的信息从而，在给定易变性当前水平下，收益分布的预测就可不同程度地 依赖过去的历史 1 2 本文的组成结构： 本文共分五章第二章重点介绍了m m a r 建模机制，它是我们后几章的讨论的基础 主要乘积层叠理论，多重分形测度的构造，m m a r 的性质等第三章是本文的重点基于 m m a r 建模思想，我们提出了p o i s s o n 多重分形金融模型利用随机层叠的方法，以p o i s s o n 分布为迭代极限，建立了其连续模型及其离散格式研究分析了p o i s s o n 模型的预报功能， 并讨论了离散格式的收敛性第四章是利用r i e d i 在研究网络交互时提出的多重分形小波模 型( m w m ) 。来建立金融数据模型我们主要是设计了一个基于m w m 的金融时间序列的 建模程序，并对金融数据的统计性质进行了实际拟合最后提出了一个m w m 的多重分形 公式，并给出了其证明的大致思路第五章主要根据分数布朗运动的小渡系数的统计性质， 重点研究了以它为模型的金融时间序列的分数维估计的小渡方法和多重分形谱估计的小渡 方法 我们基于沪深证券市场数据进行了大量的实证分析 1 我们基于m m a r 模型的结构函数，得出我国金融市场数据中也存在多重分形性和长 记忆性 2 我们采用离散p m m 模型对国内、国外证券市埸的股票价格数据进行了预报并将预报 结果与1 9 9 9 年s i n 曲提出的p m r s 模型( p a t t e r nm o d e l l i n ga n dr e c o g n i t i o ns y s t e m ) 的预报结果进行了比较。仅从绝对误差上看，p m m 优于p m r s 模型预报的结果 p m m 模型不仅可以象m m a r 模型一样能较好的描述金融市塌数据特性，而且还可预 报金融资产收益分布 3 利用r i e d i 提出的小渡多重分形模型，对我国证券市场股票价格数据进行了实证模拟 浙 江大学 博 士 学位论 文 7 结果表明小波多重分彤模型m w m 与m m a r ，p m m 模型模拟效果一样，较传统模 型如布朗运动模型和随机稳定分布模型效果更佳 4 采用分数布朗运动( f b m ) ，根据小渡系数的统计性质，用小波方法对沪深指数数据的 分形维数以及多重分形谱进行了估计。 本文主要贡献如下： 1 构造了p o i s s o n 多重分形测度；( 本文的3 1 节) 2 建立了p o i s s o n 多重分形金融模型( 连续时间模型) ；( 本文的3 2 节) 3 建立了收益分布预报方法；( 本文的3 3 节) 4 建立了p o i s s o n 多重分形金融模型( 离散时间模型) ；( 本文的3 , 3 1 节) 5 提出并证明了p o i s s o n 多重分形测度的收敛性定理；( 本文的3 3 7 节) 6 设计了收益分布预报算法；( 本文的3 , 3 5 ) 7 设计了一个基于m w m 上金融数据建模框架；( 本文的4 5 节) 8 建立了基于m w m 模型的金融数据性质的统计分析框架；( 本文的4 7 节) 9 提出了一个基于f b m 上的金融时间序列分数维估计的小渡方法；( 本文的5 12 节) 1 0 ，以f b m 为例，提出了一个多重分形谱估计的小波方法( 本文的5 2 节) 除金融时间序列分数维估计的小波方法外( 5 ，1 2 ) ，以上贡献均待投稿 本文有以下几个特点： l 本文采用的是当前最新金融数据建模方法一一多重分形方法和小渡方法。自1 9 9 7 年 m a n d e l b r o t 等人提出资产收益多重分形模型后，国外越来越多的学者采用多重分形方 法来建立金融数据模型，此方法可较好地描述金融时问序列的长记忆性、胖尾性和多 标魔睦，故逐渐成为当今金融数据建模的热点方法然而，国内采用此方法研究的人 数不多 2 本文是一个交叉学科的研究工作涉及数学、经济和金融等学科领域 3 本文提出的p o i s s o n 多重分形金融模型不仅具有m m a r 的优点，而且可以进行有限步 预报收益分布模型简单有效 8 浙 江 大学博 士 学位论文 4 改进了以往金融模型的预报功能与f i g a r c h 模型相比，p i o s s o n 多重分形金融模型 可进行多步预报，而在f i g a r c h 模型中，由于预报有关的状态变量需要所有的过去 收益数据，状态空间数量很大，以致不可能进行多步预报与l m s v 模型相比，p o i s s o n 多重分形金融模型有着更简洁的预报方法 2 1 概述 第二章资产收益的多重分形模型 近年来，国外越来越多的学者在金融数据建模方面，关注金融时间序列的长记忆性、胖 尾性和多标度性的描述，渐渐使之成为当今金融时间序列建模的研究热点 4 8 , 4 9 , 5 0 , 5 4 ，6 驯。采 用多重分形的方法建立的金融时间序列模型可以较好地描述这些性质为此，我们首先来 介绍此金融模型的建立方法及其思想1 9 9 7 年，f i s h e r 等对德国马克美元汇率，美国金 融市埸上公正指数以及一些个股进行了实证分析，确认了资产收益数据序列中存在长记忆 性，丰富的时间标度性以及收益分布的胖尾性为了更好地描述这些金融数据的性质， m a n d e l b r o t 等提出了一个资产收益多重分形模型( m u l t i f r a c t a lm o d e lo fa s s e tr e t u r n s ，简称 m m a r ) 1 2 “m m a r 是一个连续时间过程该过程可捕捉到许多金融时间序列呈现出来的 胖尾性，持续长记忆易变性等它是由一个标准布朗运动与一个随机时间变形过程复合而 得到的这里的时间变形过程指定是一个多重分形过程，它可产生波动性的聚集体和长记忆 性它隐含了收益的阶矩按时间尺度的幂律形式而变化。 m m a r 可通过一个称为多标度的时间不变性形式来描述它将超额收益与长记忆易变 性结合在一起。m m a r 模型具有标度特性，它可在几方面改进传统模型首先，它与经济 均衡相一致最简单的形式可推出不相关收益和半鞅价格，从而在一个标准的两项资产经济 系统中可排除套利机会的存在此模型在匹配数据方面有很突出的可行性收益有一个有限 方差且它们的最高有限阶矩可取大干2 的任何值。收益的无条件分布随着时间的增加显示 出更薄的尾部，与许多金融时间序列呈现的性质一致但是，与早期的过程相反该分布不 必在低频上收敛到一个高斯过程，而在高频处永不收敛到一个高斯过程从而m m a r 模型 可捕捉到由金融数据呈现出的收益分布非线性性，而同时又保留了标度模型的简明和易处 理性。 时间变形过程可作为一个简单乘积层叠过程迭代的极限其构造可从一个适当长的时 间范围内用一个可变的均匀分布开始构造过程在每步层叠上按照同样的规则进行这就给 9 1 0 浙 江 大学博士学位论文 模型提供了简明性并隐含了阶矩标度性通过构造，我们就可知道在所有的频率上都产生波 动性聚集体直观上这与具有不同时间尺度的经济因素是相容的( 或者说一致的) ，如技术 震荡，商业循环以及流动性震荡等因素在不同的时间尺度上都可能发生我们提出的这种模 式可发生在完全理性的均衡模型中，既可来自多重分形震荡的外部，也可来自市塌不完全性 或信息层叠的内部 对金融经济学者来说，m