（基础数学专业论文）一类双曲型守恒律方程组的初边值问题.pdf

摘要 双曲型守恒律方程( 组) 的初值和初边值问题一直是数学家和物理学家关注 的热点问题边界熵条件的提出解决了一般初边值问题的不适定同题初边值问 题在理想悬浮物的沉积理论及控制论等中有广泛的应用 本文主要考虑构造一个含有乒波解的一类双曲型守恒律方程组的初边值问题 的解利用d u b o i sf 和l e f l o c hp 在j d i f f e q u s ( 1 9 9 8 ，7 1 ) 中所得到的结果，选 取一对合适的熵流对，使得在边界z = 0 上得到了一个边界熵条件通过求解相 应的r i e m a n n 问题，并利用这个边界熵条件及基本波的相互作用构造性的得到了 方程组初边值问题的解类似于一个边界的情况，又给出了边界z = 1 上的熵条 件，进而得到了具有两个边界的初边值问题的解的构造这里的初边值都是分段 常数 关键词初边值问题，相互作用，乒激波，熵流对，边界熵条件，r i e m a n n 问题 a b s t r a c t t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e ma n dt h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fh y p e r b o l i cs y s - t e mf o rc o n s e r v a t i o nl a w sa r ei m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l df o rt h em a t h e m a t i c i a na n dp h y s i c i s t f o ral o n gt i m e t h eb o u n d a r ye n t r o p yc o n d i t i o nm a k e st h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b - l e mb ew e l l - p o s e d t h ep r o b l e mc a nb ea p p l i e dw i d e l yi nt h et h e o r yo fs e d i m e n t a t i o no f i d e a ls u s p e n s i o n sa n dc o n t r o ls y s t e m i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ei u l t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fah y p e r b o l i cs y s t e m f o rc o n s e r v a t i o nl a w sw i t h8 - s h o c kw a v e $ ab o u n d a r ye n t r o p yc o n d i t i o nf o rt h eb o u n d a r y = 0j 8d e r i v e dt h a n k st od u b o i sfa n dl ef l o c hp sr e s u l t s ( j d i f f e q u s ，1 9 9 8 ，7 1 ) b yt a k i n gas u i t a b l ee n t r o p y - f i u xp a i r b ys o l v i n gt h ec o r r e s p o n d i n gr i e m a u np r o b l e m ， t h es o l u t i o nt ot h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i so b t a i n e de o u s t r u c t i v e l yb yb o u n d a r y e n t r o p yc o n d i t i o na n dt h ei n t e r a c t i o no fe l e m e n t a r yw a v e s a n a l o g u et ot h ec a s eo fo n e b o u n d a r y , w ea l s og i v et h eb o u n d a r ye n t r o p yc o n d i t i o no nt h eb o u n d a r y 善= 1 t h e nw e o b t a i nt h es t r u c t u r eo ft h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t ht w ob o u n d a r i e s h e r e ，t h e i n i t i a l - b o u n d a r yd a t aa y ep i e c e w i s oc o n s t a n ts t a t e s k e yw o r d s ：i n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，i n t e r a c t i o no fe l e m e n t a r yw a v e s ，r i e m a n u p r o b l e m ，5 - s h o c kv i r v e 8 ，e n t r o p y - f l u xp a i r ，b o u n d a r ye n t r o p yc o n d i t i o n 原创性声明 本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参 与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 本论文使用授权说明 0 7 & 2 - 0 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即- 学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 繇娥姊臌。爹l 嗍 乜7 - t 沙 - 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文1 第一章引言 1 1 背景介绍 非线性双曲型守恒律是现代数学研究领域中重要的挑战之一，它有重要的物 理背景，如空气动力学，燃烧理论，等离子物理等对于一般的双曲型守恒律方 程( 组) ，主要研究其初值问题，得到激波解、简单波解以及接触间断解它们主 要来源于气体动力学中的许多实际饲子，很多相当重要的工作是在1 9 世纪就通过 流体力学的形式出现了 气体状态方程这方面的研究是随早期的声学理论发展起来的，p o i s s o n 和s a l n o s h a w 首先把声学理论推广到向一个方向传播的有限幅度的扰动问题，r i e n m a n ( 1 8 6 0 年) 提出一个理论，这个理论适于用来计算向两个方向传播的有限波幅平面 波他看到了压缩波的变陡过程，变到后来终于在完全流体中形成突跃把这类突 跃变化用质量、动量及能量守恒处理，以及这些突跃和爆炸所产生的激波之下的 关系即激渡条件是地k m ( i s 8 9 年) 和h u g o n i o t ( 1 8 8 7 年) 提出来的r a y l e i g h ( 1 9 1 0 年) 又指出越过激波熵增加，用这样一些结果就可以建立起气体动力学的激波理 论 在第二次世界大战期间，对气体动力学的研究得到了相当的大推动力，这主 要有两个原因首先，人们对爆炸以及由此而产生的压力波有相当大的兴趣战时 由r c o u r a n t 与k f r i e d r i c h e s 领导之下的一大批人在这方面所进行的研究工作已 经总结在1 9 4 8 年他们共同完成的s u p e s o n i cf l o wa n ds h o c kw a v e s ( 【1 1 】) 中 对于守恒律的严格的数学理论是由e i b p f ( 1 7 ) 在1 9 5 0 年研究形成的随后有o o l e i n i k ( 3 6 】【3 8 1 ) 。p d h a x ( 2 5 一f 删) 和j s m o n e r ( f 4 4 】) 等相继完善了这些理论其 次，由于超音速飞机的出现，使得对激波现象和气体动力学方程的研究开创了更 完整的理论许多。纯”数学家也对这一领域产生了极大的兴趣 气体动力学中的激波现象为双曲型守恒律方程组的间断解的研究提供了一个 很好的模型在2 0 世纪5 0 年代，非线性波现象又吸引了许多物理学家的注意激 2 四! 笙土瀣太堂亟堂僮迨塞 ! 波是一个非常重要的自然现象，当它在任何地方出现，比如气体动力学，流体力 学，弹性力学等，都会引起人们的关注地球上的自然力造成的激波现象比比皆 是，如炸弹在空中、地下和水中爆炸，超音速飞行体在大气中飞行，两物体的高 速碰撞，雷电激波，地震，火山喷发，化学爆炸还有核爆炸等等都将产生激波激 波在宏观上表现为一个高速运动的高温，高压高密度曲面，穿过该曲面时介质 的压力、密度、温度等物理量都发生急剧的变化，即所谓的。突变4 或。跃变” 除了激波，还有一类具有高奇异性的波d j k o r c b i n s k i ( 2 3 ) 在他1 9 7 7 年的 博士论文中考虑了具有初值 “，”) i t ：o = ( u 士，t ，士) ，( 士z o ) ， ( 1 1 1 ) 髅= m 抛， t z h g ( 脚1 ，【4 8 】，【4 5 】) 对于两维的守恒律方程组的r , i e m a n n 问题 计k “训户0 ( 1 1 3 ) i 仉+ ( k + ( t 1 2 ) v = 0 ， 们发现对于特定的初始值 心，仇) ) 冬1 ，经典的弱解是不存在的；在分布的意义 ；q q ! 生土星太堂亟堂僮迨塞 y z h e n g ( 4 6 ) 考虑了在区域z r ，t 0 中具有初始值( 1 1 1 ) 的简化一维模型 i 毗+ p ) 。= 0 ， ( 1 1 5 ) 【仇+ ( u k = 0 ， 的r i e m a n n 问题他们发现，作为方程组( 1 1 5 ) 的粘性消失的解的极限，乒波是 存在的并且，除了解的存在性和唯性，他们也证明了对某些粘性扰动。解是稳 定的还有，当粘性消失时，乒波解是白相似粘性方程组的解的弱t 收敛的极限 1 9 9 5 年，w s h e n g 和t z h a n g ( 4 3 】) 研究了气体动力学零压流方程组 ia + 伽k + ) p ；0 ， l 咖) t + 2 k + ( 舢 ) v = 0 ， ( 1 1 6 ) i 【( ) t + ( p l z + ( 2 ) ，= 0 ， 得到了一维二维r i e m a n n 问题解的存在唯性及稳定性1 9 9 7 年，h y a n g 和 j l i ( 4 7 ) 对一维r i e m a n n 问题做了推广f h u a n g 和w z h e n 利用x d i n g 所引 进的l e b e s g u e - s t i e j e s 积分的广义解对一维的零压流方程进行了研究( 1 8 1 ) 两维的零压流方程组在附着粒子动力学中一般被称为。粘合粒子模型。( 【3 1 】) 这个模型常被用来描述相互碰撞后粘合在一起的自由粒子的运动，也被用来解释 在宇宙中大尺度结构的形成如果我们考虑个在无重力情形下的冷的齐次传播， 在初始时刻t = 0 时，这个传播具有已给定的光滑的速度分布特殊粒子的实际位 置( 欧拉坐标x ) 是由其初始( 拉格朗日) 坐标n 及时间t 的一个函数给出 x ( t ，= n 4 - t g o ( a ) 粒子以常速度移动除非它们产生碰撞，这是很自然的，因为物质如此的冷， 以至于压力和粘性都可以忽略，并且也没有外力的作用自由粒子的运动产生了 轨道的相交以及无限密度区域的形成，也就是说在碰撞中，相互碰撞的粒子相粘 合并行成了新的大质量的粒子密度成了奇异的测度，它的质量及动量得到保留 且满足质量和动量守恒 此外，k t j o s e p h ( j 1 9 ) 考虑了具有初值( 1 1 1 ) 的方程组 ft - t + ( 萼k 2 e u z z ， ( 。，7 ) 【仇+ ( “u k = f “目， ! 盟z 生上整太堂亟堂僮迨塞! 的r i e m a n n 问题他得到的解为( u c ，t ，e ) ，并且他证明了当e 一0 时，矿) 的极 限包含了d e l t a - 测度 与乒波有关的解，还在f b a m p i 和c z o r d a n ( 【4 】) 的基本线性方程组，j r a u c h 与m e d ( 【4 2 】) 的半线性方程组。以及b k e y f l t s 与h k m m - ( 2 2 1 ) 的广义非线性 严格双曲型方程组 it t + ( 舻一u k = 0 ， ( 1 1 8 ) 【砘+ ( u 3 一。= 0 ， 还有【14 】中也都曾出现过 而早在上世纪7 0 年代末。数学家们对于守恒律方程( 组) 初边值问题的兴趣 也有很明显的发展众所周知，在经典意义下守恒律方程( 组) 的初边值问题是不 适定的，一般来说既得不到解的存在性也没有唯一性，这就需要有一个边界条件 的概念的扩张事实上，在边界区域是非特征的情况下，对于特殊的气体动力学 方程组的初边值问题已经由不同的作者研究过了( t l i u ( 3 2 ) 。t n i s h i d a 和j s m l l e r ( 【3 5 】) ) 附于一般的非线性方程组也可参见j g m d m n n ( 1 6 】) ) 对于非线性双曲型守恒律方程( 组) 的初边值问题已经证明经典的初边值问题 是不适定的，而需要一个额外的边界条件的概念也就是说相对于初值问题的熵 条件，我们希望在边界上定义一个边界熵条件，使得满足这些条件的守恒律方程 ( 组) 初边值问题的解是存在且唯一的也就是说对于固定的初值，在边界上我们 不能把已给定的边值强加上去，而是有必要找一个与边界条件相关的边界熵条件 ( 【5 卜【3 9 ) 在1 9 7 9 年。c b a r d o 目等( 【5 】) 研究了单个守恒律方程的初边值问题，通过运 用s k r m b v ( 阻】) 中的粘性消失法，他们在边界上定义了熵条件，并且得到了多 维的单个守恒律方程具有广义初边值问题的解的存在唯一性这一理论可以运用 到理想悬浮物的沉积理论和控制论( 【8 】，【3 9 】，【7 】，【9 】，【6 】和【3 】) 中去在2 0 0 0 年初，h l i u 和t p a n 利用t z h a n g 和l x i a o 的基本波的相互作用理论( 【1 0 】) ，得到了单 个守恒律方程的基本波在边界区域上的相互作用的一系列结果( 【3 3 1 ，【叫和【4 0 】) 在后来的工作中。对于自由边界z = x ( t ) ，t p a n 等也得到了很好的结果( 【4 1 】) 在1 9 8 8 年，f d u b o i 8 和p l ef l o c h ( 1 3 ) 考虑了一维的双曲型守恒律方程组 垫监生上塞盔堂亟圭堂僮迨塞 的初边值问题，并且对边界z = 0 ，对所有的熵流对得到了边界熵条件他们给 出了两个边界条件的公式，其中一个是通过粘性法得到的熵不等式，而另一个是 以r i e m a n n 问题为基础得到的对于第二个公式，他们没有考虑双曲型方程的零 特征线域是线性退化的情况而我们要考虑的方程组( 1 1 5 ) 是非严格双曲的，并 且有一个线性退化的特征线域，在这个特征线域上特征值可能取零值此外，对 于守恒律方程组的初边值问题，d a m s d o r i ( 1 ，【2 】) ，o k j o s e p h 和p l ef l o c h ( 【2 0 】， 2 1 1 ) 也在这方面做了很多研究工作 1 2 研究方法 考虑非线性双曲型守恒律方程组( 1 1 5 ) 的初边值问题 p b 刮仕k ”n ( 1 2 9 ) 【“v ) l 。= 0 = ( u 一，口一) ( t ) ，t 0 ， 其中( u 0 ，) ( z ) 和( u 一，n ) ( t ) 均是有界变差函数，流函数( 舻，w ) 定义在状态集合 彩cr 2 中 我们看到方程组( 1 1 5 ) 是非严格双曲的，并且有一个线性退化的特征，可以 出现d e l t a ，波，以激波为支集的d e l t a 一函数，又记为乒波 本文考虑( u o ，蜘) ( z ) ，( 一，”一) ( t ) 为分片常状态时( 1 1 5 ) 的初边值问题首先要 做的就是找到合适的边界熵条件使得初边值问题的解是存在且唯一的 方程组( 1 1 5 ) 是一个非严格的双曲型方程组，它的两个特征值分别是u 和 2 u ，并且对于特征值u 它的特征线域是线性退化的当u 0 或u 0 ， 它是由t a n 等在( 1 4 5 ) 中研究的，其中( u 一，一) 和，v o ) 均是常状态下面我们 简要的给出一些结果 方程组( 2 1 3 ) 的特征根及相应的右特征向量分别是 a l = ，t 1 = ( 0 ，1 ) 7 沁= 2 w ，r 2 = ( 1 ，z l w ) 7 ， 和 v a l r l ；0 ，v k r 2 ；2 ， 因此方程组( 2 1 3 ) 是非严格双曲的，a 1 是线性退化的， 2 是真正非线性的除了 常状态解( w c ，z c ) 之外，很容易检验第一族自相似解( ”，z ) ( ) 嬉= = i t ) 是接触间断 j ：f 2 伽2 1 0 r ， 第二族是疏散波 r ：= 2 w ，t l ，z = w z z l ，t 以 1 1 1 r 0 ，或0 w l w r ， 其中1 和r 分别表示左右状态j ，r 和s 是( ( t ) ，z ( i t ) ) b v 的渡，称它们 为经典波事实上，这里还存在一种非经典波，即乒波( 后面将会做详细讨论) 运用基本波，我们可以将r i e m a n n 问题的解的构造分成如下几种情况， ( 1 ) 一 0 分析如图f i g 3 1 f i g 3 3 所示 2 嫂! 生上鲞盔堂亟堂僮途塞2 ( 1 1 ) 珈 t 一 0 ，解为s + j ； ( 1 2 ) t 一 u o 0 ，解为r + ，； ( 1 3 ) i t 一 0 分析如图f i g 3 4 - f i g 3 5 所示 ( 2 1 ) u o t 一 0 i 解为，+ r ； ( 2 2 ) u - u o 0z 解为i ，+ s 对于情况t 一 0 = u o ，当t 一， 一，t 1 0 固定，u 一 0 并且t l o o + 时，我们考 虑解( ( f ) ，。( f ) ) 的极限当0 0 u o 的情况可由类 似的讨论得到( 见f i g 3 6 ，f i g 3 8 ) 定义2 1 1 在f = 上，解，。( f ) ) 中的间断解称为偿1 剀的6 一波，记为 岛，如果下面两个条件成立， ( 1 ) 岛- r a n k i n e h u g o n i o t 条件1 2 1 3 1 + t 脚 ( 2 ) 岛熵条件一 a 2 r 1 r 印a a 甜 显然，上面的经典解在分布的意义下满足( 1 1 5 ) 同样乒波解在分布的 意义下也满足( 1 1 5 ) ，只要沿着间断线选择某些“并且选择合适的密度p ，这里 的p 为加权的d e l t a - 函数为此，我们定义一个以光滑参数曲线管：t = t ( s ) ，z = z ( s ) ( o 。 o 中，对任意的熵流对均满足熵不等式 q ( u ， ) t + q ( u ，口k 0 我们仅在区域 ( z ，t ) l 。 o ，t o 中结合解( “，”) ( ，) 的值，来考虑熵不等式 ( 2 2 6 ) 沿着边界，下面给出了一个充分条件- 边界熵不等式 引理2 2 1 对任意的t 0 及熵流对( 口，帕，初边值问题口j 砂口2 圳的解( ) 在边界上的取值 ) ( o + ，t ) 与边界值( u 一，n ) ( ) 可以通过下面的边界熵不等式相 联系起来 咖c 0 + , t ) - - q i u - , v - ) i t ) - v t ：l ( u _ , v - ) i t ) c 怒：高叫。，) z 力 注2 2 1 注意到边界不等式俾et ) 的导数并不需要考虑对特征线域是真正非线 性还是线性退化的假设 定义2 2 2 对彩中的每一个状态( u 一，“) ，在边界上的可容许解的集合芎( u 一，“) 可以定义成，对每一个熵流对( 7 1 , 口) ，在彩中所有满足 如，旷咖一v 枇掣寸( 。竺一) 仁z 固 的状态( i , ， ) 所构成的集合 而且，对于初边值问题( 1 1 5 ) 1 1 2 9 ) 我们可以把边界熵条件用公式表示成 ( “，口) ( o + ，t ) 矽( 一，口一) ，t 0 ， ( 2 2 9 ) ! 鲤! 至上瀣友堂亟堂僮迨塞! ! 对任意的边值( u 一， 一) 彩 对于我们所要研究的方程组( 1 1 5 ) ，其中一个特征线域是线性退化的通过 观察我们找到一个熵流对( q ，q ) q 0 ， ) = ( u 2 一胪) 8 9 n ( t 一七) ，k r 则对任意的状态( u 1 3 ) ，边界熵不等式( 2 2 8 ) 等价于 ( “2 一萨) s g n ( u 一七) 一( t 芒一k 2 ) s g n c u 一一七) 一( 2 一t 芒) s g n ( u 一一奄) 0 ，七r ， 因此我们得到 ( t 1 2 一胪) ( s g n ( 一) 一8 9 n ( “一一) ) 0 ，女r 如果k 不在和“一之间，上个不等式显然是成立的，进而我们得到如下性质t 性质2 2 1 在边界z = 0 上的可容许解( u ，口) ，要么在集合 f 扣一， 一) = ( ，v ) l u + 女0 ，1 0 , ，一) ( 2 2 1 0 ) 中，其中，( 口，b ) = 【m i n n ，6 ，m “ o ，6 ht 要么是( “，口) i 。= o = ( u 一， 一) 文章中我们只考虑， 一0 的情况，其他的情况可以类似的进行讨论 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 第三章含有乒波的非线性双曲型守恒律方程组的 一点初边值问题 在本章中我们考虑以 “一) 1 t = 0 2 蛳，珊l 。 0 ( 3 o 1 ) i ( u ，口) i 。= 0 = ( 一，“) ，t 0 ， 为值的初边值问题( 1 1 5 ) ，其中( 一，“) 和汹，t 船) 均是常状态( “0 ，v o o ) 记f h ； 0 ，t ) i o ，t o ) ，0 2 = 扛，t ) i z o 首先，我们求解初值同题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ，然后通过验证解，z ) 在边界 ( o ，) p o 上是否满足边界熵条件( 2 2 1 0 ) ，这样我们能够得到初边值问题( 1 , 1 5 ) ( 3 0 1 ) 的 解t 如果解满足( 2 2 1 0 ) ，我们取初边值问题的解为( u ，”) = ( ”，圳n 。；否则我们通 过构造满足性质2 2 1 的解进而得到初边值同愿的解 通过“一t 0 取值不同，我们将问题分成以下三种情况展开讨论t1 ，u 一 0 ，伽 0 i3 ，u 一0 t 0 3 1c a s e 缸一 0 在这种情况下，通过t o 取值的不同我们又可以将其分为三种子情况进行讨 论 c a s e3 1 1 t o “一 0 此情况下，初值问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 的解可以简单的表示成( 见f i g 3 1 ) 0 一，儿) + s + “。，) + j + ( t l o ，) ， 其中u - - - - u o ，仉= 妻t o 。+ 。意味着。随后。， s ：z = ( t 一+ t 上o ) t ，j ：善= u o t 很显然性质2 , 2 1 成立，因此，我们通过切除初值问题( 2 , 1 3 ) ( 2 1 4 ) 在z 一左上 半平面上的解得到初边值问题( 1 1 5 ) ( 3 0 1 ) 的解，即( “，”) = 似，圳n ，= ，t 】o ) ( 见 f i g 3 1 ) ! 鲤! 生土瀣太堂亟堂僮迨塞 ! ! n 。 s ：e 皇 t j ：e = t o “一+ u o ? o 9 、0 o 表示( u 一， 一) 表示( ，) ，荨 f i g ，3 1 c a s e3 1 2 一 t 旬0 与情况3 1 1 类似，初值问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 的解为 ( 一， 一) + r + ( u 。，仉) + j + ( u o ，t 砸) ， 其中 r ：z = 2 w t ，( u 一删t “= 1 工o ) ，j ：z = u o t 由性质2 2 1 初边值问题( 1 1 5 ) ( 3 0 1 ) 的解为“，”) = ( t ，z ) l n ，= ，) ( 见 f i g 3 2 ) n r ：f ：2 i “。巡 一t幻0 0 f i g 3 2 c a s e3 1 3 一 0 0 0 同样，由“一和u o 的位置关系。我们将这一情况分成两种讨论 c a s e3 2 1 u o “一 0 在此情况下，初值问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 的解为 ( “一，口一) + ，+ ( “。，仉) + r + ( u o ，t 协) 由性质2 2 1 ，我们通过切除初值问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 在z t 左上半平面上的解得到 初边值同题( 1 1 5 ) ( 3 0 1 ) 的解( 见f i g 3 4 ) ，可见初边值问题的解仍为 ( 一，t l ) + ，+ ( t ，仉) + r + ( u o ，t j 0 ) o 甏 j j t 2 。一 r j f ：2 t i 纥 o c a s e3 2 2 一 t l o 0 f i g 3 4 此情况中。初值问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 的解为 ( “一，t l ) + ，+ ( u * i 仉) + s + ( t 上o ，啦) ! q q z 至土整太堂亟堂僮迨塞! 与上面的分析类似，我们得到初边值问题( 1 1 5 ) ( 3 0 1 ) 的解为( u ，”) = ( w ，列n 。 ( 见f i g 3 5 ) ，即 ( u 一， 一) + t ，+ ( u 。，“) + s + ( u o ，伽) o j o 3 ： 2 。一 o | s i 罗七 9 3 3c a s e t 一0 u o c a s e3 3 1u 一= 0 u o 在这一情形中我们看到了乒波岛而初值同题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 的解是 ( 一，u 一) + 岛+ ( 蛳，伽) 因此由性质2 2 1 ，知道初边值问题( 1 ，1 5 ) ( 3 0 1 ) 的解是( ，口) = ( ，z ) l n 。= ( t o ，) ( 见f i g3 6 ) s ：f 0 f i g 3 6 0 c a s e4 3 2 t 一 0 = u o 由图f i g 3 7 ，初值问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 的解仍然是( u - - 1 “) + + ( u o ，v o ) 通过 c a s e 4 2 中的分析，很容易得到初边值问题( 1 1 5 ) ( 3 0 1 ) 的解为( u ，”) = ( ”，z ) l n 。， 也就是( u 一，u 一) + 岛+ ( u o ，v o ) ( 见f i g 3 7 ) + t 嵋一0 f i g 3 7 c a s e4 3 3 t 一 0 u o 这种情况下，同样出现矗波& ，且其传播速度为印= “一十u o 。我们分两种 情形进行讨论，即j “一i i u 0 1 显然两种情况下初值问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 的解均为 ( 一，口一) + + ( t o ，伽) 与前面的情况类似，显然( 2 2 1 0 ) 成立，我们通过把初值问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 的解限 制在z t 的右上半平面上得到初边值问题( 1 1 5 ) ( 3 0 1 ) 的解， 当i t 一i i u o i 时，0 6 = 一+ u o 0 ， 卜叫嚣一o o 。啦= 扛，t ) f z o ) 首先，我们解具有三段初值 的初值问题( 2 1 3 ) ( 4 0 2 ) 接着，通过检验基本波相互作用后得到的解( ，z ) 在边 界 ( o ，t ) i t o ) 上是否满足边界熵条件( 2 2 1 0 ) 即可以得到初边值问题( 1 1 5 ) ( 4 0 1 ) 的解如果满足，我们就按上一章的讨论取解为0 ，”) = ( 劬圳。，；否则，我们就 通过性质2 2 1 来构造满足( 2 2 1 0 ) 的初边值问题( 2 1 3 ) ( 4 0 2 ) 的解 根据“一和u o 的值，我们把问题分成以下六种情况一u 一 u o 0 ，t o u 一 0 ，0 ”一 t 上0 。0 u o “一，u 一 0 u o ，u o 0 “一 4 1c a s e 牡一 u o 0 在这种情况下，初值问题( 2 1 3 ) ( 4 0 2 ) 的解的大时间状态是r + j 这里我们只考虑以下两种子情况，其他的子情况可以做类似的讨论 c 蛳4 1 1 一 t m 0 ：t 一 u m t o 仉 l z 0 茁 心础砒 ，-_j【l_ii ! 鲤! 生土显太堂亟堂僮迨塞! ! 这里，当t 很小时，初值问题( 2 1 3 ) ( 4 o 2 ) 的勰可以简单的表示成( 见f i g 4 1 ) ( t 一， 一) + r l + “，“) + j 1 + ( t 正，i ，t h ) + 飓+ ( ，以) + 也+ ( u o ，v o ) 其中1 ，= ，仉= ，= 如，t ，：塾蛳和 暂一tm r l ：z = 2 w t ，( u 一叫u 。每) ， ：z = u , t ， 岛：一1 = 2 w t ，( u m t l ，以= 脚) ，j 2 ：一1 = t 接触间断j 1 在时刻t l = 一l t ，i 追赶上疏散波飓，接着它们发生了相互作用我 们记接触间断为j ：z = z ( t ) 则得到 ，警钏雄) _ 1 一一她 iz ( t 1 ) = 。l = 一1 ， 通过简单的计算，我们有 型d t = w t o 时，初边值同题的解是，) c a s e4 1 2 一 t 1 0 = 0 ：t 上t ，l o ， 则规掣= 2 “一 o ( 见f i g 4 2 ) 因此，我们通过在右上半z t 平面截取初值 ! 盟! 笙土整太堂亟堂焦迨塞! ! 骶 处 威 b 缸卜- 训 以 两镀 o、 “一t10=0埘0 1 z f i g 4 2 氏 爷按。 u o t h “一o 、弋 协 恤，t 0 、：、h z 。八 q s x 飞遗 01 z 总之，在c a s e t 一 t 1 0 0 中，所有的波在t o o 时都被边界吸收掉了并且 在t 一+ 时，可以把相互作用的结果形象的看成r + ， 4 2 c a s eu o t 一 0 在这种情况下，初值问题( 2 1 3 ) ( 4 0 2 ) 的解的大时间状态是s + j 由u 仇的取值，我们仅讨论下面两种子情况，其他的两种子情形可以通过类似 的分析进行讨论 c a s e4 2 1 t 0 “一 t 2 时，初值问题( 2 1 3 ) ( 4 0 2 ) 的解是 ( 见f 培4 3 ) ( u 一， 一) + 岛+ ( t 厶，t 厶) + 矗+ ( 越，以) + 也+ ( t 1 0 ，t i o ) 对于接触间断如的分析见c a s e4 1 1 因此初边值问题( 1 1 5 ) ( 4 0 1 ) 的解等价 于初值问题( 2 1 3 ) ( 4 o 2 ) 在右上半$ 一t 平面的解，即( 4 1 4 ) 当t 很小时，初值问题( 2 1 3 ) ( 4 o 2 ) 的解可以简单的表示成( 见f 远4 4 ) 当& 2 与r - 在点。- ，t 1 ) = 瓦2 忑u m ，瓦 瓦) 相遇以后，相互作用开始了我们 对间断：z = z ( t ) 的方程进行求导，得到， 慧饥邢) - 姚一似 万d 2 = ( 0 = 警= 等 0 1 矿2 石2 仇 对于& ，跏熵条件满足 2 u o u o = u o + w 埘2 w ，( o t l ，t ，1 ) 但是，当”( u 一，o ) 时，岛一熵条件是不满足的，因此岛变成了s + j 初值问 题( 2 1 3 ) ( 4 o 2 ) 的解如图f i g 4 4 所示由边界熵条件( 2 2 1 0 ) ，不难得到初边值阃 题( 1 1 5 ) ( 4 0 1 ) 的解，它是在右上半z t 平面截取解( ，= ) 综合c a s eu o u 一 0 的所有情况可知，所有的波在t 一定大的时候都被边界 ! 鲤! 生土整太堂亟堂垡迨塞望 曩萝守一： | 蕊 | o 、， 0l z f i g 4 4 4 3 c a s e0 u 一 u o ：t m 0 t 一 u 0 由于u 。的取值，我们把这种情况分成以下两种子情况 c a s e4 3 1 u 一 t h 0 u 一 u o 当很小时，初值问题初值问题( 2 1 3 ) ( 4 0 2 ) 的解可以简单的表示成( 见f i g 4 5 ) ( u 一，t l ) + 毋l + ( t l t 。，珥。) + j b + ( u o ，咖) 弗一步，戴1 j 芍祭曲1 与地盯稠且作用看i h j 所团瑷曲：z = 烈 f 掣= u 一托) = 2 卅1 ，” o ，” 0 ) ，d 2 疵2 t 1 ” # 日s ，樯篓伴县潜旱的轻们辑到。 2 w i i ) o 6 = 1 1 , 一+ w o ( 见f i g 4 5 ) 在t 一+ o 。时，间断s ：z = z ( t ) 的传播速 度趋向于疏散波r 的一个特征速度2 u 一( 这时可以将s 形象的看成是一个接触间 断) ，所以间断s ：。= x ( t ) 不能够完全穿透疏散波当t 一定大的时候，初值问 题( 2 1 3 ) ( 4 0 2 ) 的解如下 ( 一，口一) + d + ( t 厶，吒) + s + r + ( t 0 ，伽) 当t 一+ o o 时，可以将相互作用的结果形象的看成是，+ 丑我们通过在右上半 z t 平面截取( w ，。) ，得到问题初边值问题( 1 1 5 ) ( 4 0 1 ) 的解( 见f i g 4 5 ) o 角： i 彩(z2,t2) o t h0uuotl，0 f i g 4 5 c a s e4 3 2 t l f ，l 一“一 0 u 一 u o 第一步和第二步与c a s e4 3 1 类似在这个子情况下，我们只考虑初边值问题 ( 1 1 5 ) ( 4 0 1 ) 的解的构造问题 ( 2 2 a o ) ，其中特征线z l = 一2 u 一与边界z = o 在时刻t 2 = 赤 t 相交因 讹讧= 誊哦蚤， h 将( ”，：) 扩展到( 一o o ，) i o , * ) 令( ”，”) = ( ”，z ) | n ，因此，由性质2 2 ，1 得到 象一机z = 2 w t + l ，一一 w t 3 时，间断岛变成了个接触间断和一个激波当t 0 0 时，激波的速度趋 向于2 u 一( 见f i g 4 6 ) 可见s 也不能穿透r 2 综合c a s e0 “一 u o 中的所有情况，可将相互作用后的结果形象的看成 ，+ r 4 4 c a s e0 u o t 一：t b n 一