北京市朝阳区2014届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教B版

1 北京市朝阳区 2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类） 2014.1 （考试时间 120分钟 满分 150分） 本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分 第一部分（选择题 共 40分） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1函数 1()1f x xx的定义域为 A 0, ) B (1, ) C 0,1) (1, ) D 0,1) 2 如果 点 02,Py在以点 F 为焦点的抛物线 2 4yx 上，则 PF A 1 B 2 C 3 D 4 3命题 p ： 22,0x x a x a R ；命题 q ： xR ， sin c o s 2xx，则下列命题中为真命题的是 A pq B pq C ()pq D ( ) ( )pq 4 在 ABC 中， 30A ， 3AB ， 1BC ， 则 ABC 的面积等于 A23 B43 C23或 3 D23或43 5 执行 如图所示 的 程序框图，输出 结果 是 4 若 0 1, 2, 3a ，则0a所有可能的取值为 A 1,2,3 B 1 C 2 D 1,2 0i 1ii 21aa 结束 是 0aa 否 a2013? 输出 i 开始 2 6已知正方形的四个顶点分别为 (0,0)O ， (1,0)A ， (1,1)B ， (0,1)C ，点 ,DE分别在线段 ,OC AB上运动 ， 且 OD BE ，设 AD 与 OE 交于点 G ，则点 G 的轨迹方程是 A (1 ) ( 0 1 )y x x x B (1 ) ( 0 1 )x y y y C 2 ( 0 1)y x x D 21 ( 0 1 )y x x 7 已知平面向量 a ， b 的夹角为 120 ，且 1 ab ，则 |ab的最小值为 A 6 B 3 C 2 D 1 8 已知数列 na满足 ( , 0 1 )nna n k n k N下面说法正确的是 当 12k时，数列 na为递减数列； 当 1 12 k时，数列 na不一定有最大项； 当 102k时，数列 na为递减数列； 当1kk为正整数时 ，数列 na必有两项相等的最大项 . A. B. C. D. 第 二部分 （非选择题 共 110分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 .把答案填在答题卡上 9 某校 为了解 高 一 学 生寒 假期 间的阅读情况，抽查 并统计了 100名同学 的某一周阅读 时间 ， 绘制了 频率分布直方图 （如图所示），那么这 100名学生中阅读时间在 4,8) 小时内的人数为_ 10 在各项均为正数的等比数列 na中， 若2 2 2 8l o g l o g 1aa，则37aa 11直线 y kx 与圆 22( 2 ) 4xy 相交于 O ,A 两点，若 =2 3OA ，则实数 k 的值 是 _ 频率 /组距 0.04 0.05 0.12 小时 8 4 2 6 10 12 0.15 0.14 3 12一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 13实数 ,xy满足 3,2 0,xyxy若 ( 2)y k x恒成立，则实数 k 的最大值是 14所有真 约数（ 除 本身 之外的正 约数）的和等于它本身的 正整数 叫做完全数 如： 6=1 2 3 ； 2 8 = 1 2 4 7 1 4； 4 9 6 = 1 2 4 8 1 6 3 1 6 2 1 2 4 2 4 8 已经证明：若 21n 是质数，则 12 (2 1)nn 是完全数， n N .请写出一个四位完全数 ；又 6 2 3 ，所以 6 的所有正约数之和可表示为 (1 2) (1 3) ； 228 2 7，所以 28 的所有正约数之和可表示为 2(1 2 2 ) (1 7 ) ； 按此规律， 496 的所有正约数之和可表示为 三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 15 （本题满分 13分） 已知 函数 2( ) c o s s i n 1f x x x （ ）求 函数 )(xf 的 最小值 ； （ ）若 5()16f ，求 cos2 的值 俯视图 侧视图 正视图32 3332 6 4 16（本题满分 13分） 甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人 5 次测试的成绩（单位：分）如下表： 第 1次 第 2次 第 3次 第 4次 第 5次 甲 58 55 76 92 88 乙 65 82 87 85 95 （）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图 . 你认为选派谁参赛更好？说明理由（ 不用计算）； （）若从甲、乙两人 5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中， 90分以上的个数为 X ，求随机变量 X 的分布列和期望 EX 17（本题满分 14分） 如图，在三棱锥 P- ABC 中， PA 平面 ABC ， AB AC . （）求证： AC PB ； （）设 ,O D 分别为 ,AC AP 的中点，点 G 为 OAB 内一点，且满足 13O G O A O B（ ）， 求证： DG 面 PBC ； （）若 = = 2AB AC ， =4PA ， 求二面角 A PB C的余弦值 18（本题满分 13分） 已知函数 ( ) ( ) lnf x x a x ， aR （）当 0a 时，求函数 ()fx的极小值； （）若函数 ()fx在 (0, ) 上为增函数，求 a 的取值范围 19.已知椭圆 C 两焦点坐 标分别为1( 3,0)F ,2( 3,0)F，且经过点 1( 3, )2P B P D O A C G 5 （）求椭圆 C 的标准方程； （）已知点 (0, 1)A ，直线 l 与椭圆 C 交于两点 ,MN若 AMN 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线 l 的方程 20（本题满分 13分） 已知 ,abc是正数， 1 lgaa，2 lgab，3 lgac （）若 ,abc成等差数列，比较12aa与23aa的大小； （）若1 2 2 3 3 1a a a a a a ，则 ,abc三个数中，哪个数最大，请说明理由； （）若 at ， 2bt ， 3ct （ t N ），且1a，2a，3a的整数部分分别是 ,m 2 1,m 22 1,m 求所有 t 的值 北京市朝阳区 2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学答案 （理工类） 2014.1 6 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D B A A C 二、填空题 题号 9 10 11 12 13 14 答案 54 2 33 18 2 36 3 23 8128 234( 1 2 2 2 2 ) ( 1 3 1 ) 三、解答题 15 解： （ ） 因为 2( ) c o s s i n 1f x x x 2sin sinxx 211( s i n )24x ， 又 sin 1,1x ，所以当 1sin2x 时， 函数 )(xf 的 最小值为 14. 6分 （ ） 由 （ ） 得 21 1 5( s i n )2 4 1 6 ， 所以 219( s i n )2 1 6 于是 5sin4 （舍）或 1sin4 又 22 17c o s 2 1 2 s i n 1 2 ( )48 13分 16解：（）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平 均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应 选派乙参赛更好 6分 （）随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2 1144115516( 0 )25CCPXCC ， 1411552 8( 1 )25CPXCC ， 1155( 2 ) 25PX CC ， 随机变量 X 的分布列是： X 0 1 2 8 7 5 6 9 8 2 6 甲 乙 5 5 7 2 5 8 5 7 P 1625 825 125 1 6 8 1 20 1 22 5 2 5 2 5 5EX 13分 17证明：（）因为 PA 平面 ABC ， AC 平面 ABC ， 所以 PA AC 又因为 AB AC ，且 PA AB = A ， 所以 AC 平面 PAB 又因为 PB 平面 PAB ， 所以 AC PB 4分 （） 解法 1:因为 PA 平面 ABC ，所以 PA AB ， PA AC 又因为 AB AC ， 所以建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz 设 =2AC a ， =AB b ， =2PA c ， 则 (0,0,0)A ， (0, ,0)Bb， (2 , 0, 0)Ca ， ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 , )P c D c， ( ,0,0)Oa 又因为 13O G O A O B（ ）， 所以 ( , , 0)33abG 于是 ( , , )33abD G c， ( 2 , , 0 )B C a b， ( 0 , , 2 )P B b c 设平面 PBC 的一个法向量 0 0 0( , , )x y zn，则有 0,0BCPB nn 即 002 0 ,2 0 .a x b yb y c z 不妨设0 1z ，则有002 ,ccyxba，所以 2( , ,1)ccabn 因为 22( , , 1 ) ( , , ) 1 ( ) 03 3 3 3c c a b c a c bD G c ca b a b n， 所以 DGn 又因为 DG 平面 PBC ， 所以 DG 平面 PBC 9分 解法 2： D O B A P C G x y z C P D O A G 8 取 AB 中点 E ，连 OE ，则 1 ()2O E O A O B. 由已知 13O G O A O B（ ）可得 23OG OE, 则点 G 在 OE 上 .连结 AG 并延长交 CB 于 F ，连 PF . 因为 ,OE分别为 ,AC AB 的中点， 所以 OE BC ,即 G 为 AF 的中点 . 又因为 D 为线段 PA 的中点， 所以 DG PF . 又 DG 平面 PBC ,PF 平面 PBC , 所以 DG 平面 PBC 9分 （）由（）可知平面 PBC 的一个法向量 2( , , 1 ) ( 2 , 2 , 1 )ccabn 又因为 AC 面 PAB ，所以面 PAB 的一个法向量是 (2, 0, 0 )AC 又 42c o s ,3 2 3ACACAC nnn， 由图可知，二面角 A PB C为锐角， 所以二面角 A PB C的余弦值为 23 14分 18 解：（）定义域 (0, ) 当 0a 时， ( ) lnf x x x ， ( ) ln 1f x x 令 ( ) 0fx ，得 1ex 当 1(0, )ex时， ( ) 0fx ， ()fx为减函数； 当 1( , )ex 时， ( ) 0fx ， ()fx为增函数 . 所以函数 ()fx的极小值是 11()eef 5分 （）由已知得 ( ) l n xaf x xx 因为函数 ()fx在 (0, ) 是增函数，所以 ( ) 0fx ，对 (0, )x 恒成立 由 ( ) 0fx 得 ln 0xaxx，即 lnx x x a 对 (0, )x 恒成立 设 ( ) lng x x x x，要使“ lnx x x a 对 (0, )x 恒成立”，只要min()a g x B 9 因为 ( ) ln 2g x x ，令 ( ) 0gx 得21ex 当21(0, )ex 时， ( ) 0gx ， ()gx 为减函数； 当21( , )ex 时， ( ) 0gx ， ()gx为增函数 . 所以 ()gx 在 0, 上的最小值是2211()eeg 故函数 ()fx在 (0, ) 是增函数时，实数 a 的取值范围是21( , e 13分 19解：（）设椭圆标准方程为 22 1 ( 0 )xy abab 依题意 12112 1 2 444a P F P F ，所以 2a 又 3c ，所以 2 2 2 1b a c 于是椭圆 C 的标准方程为 2 2 14x y 5分 （）依题意，显然直线 l 斜率存在 .设直线 l 的方程为 y kx m，则 由 2 2 14x yy kx m 得 2 2 2( 4 1 ) 8 4 4 0k x k m x m 因为 2 2 2 26 4 4 ( 4 1 ) ( 4 4 ) 0k m k m ,得 221 0km 设1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y，线段 MN 中点为00( , )Q x y，则12 2212 28414441kmxxkmxxk 于是0 0 0224 ,4 1 4 1k m mx y k x mkk 因为 AM AN ，线段 MN 中点为 Q ，所以 AQ MN （ 1）当0 0x ，即 0k 且 0m 时， 001 1y kx ，整理得 23 4 1mk 10 因为 AM AN ，1 1 2 2( , 1 ) , ( , 1 )A M x y A N x y ， 所以 221 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 1A M A N x x y y k x x k m x x m m 222224 4 8( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 1 04 1 4 1m k mk k m m mkk ， 整理得 25 2 3 0mm ，解得 35m或 1m 当 1m 时，由 不合题意舍去 . 由 知， 35m时， 55k （ 2）当0 0x 时， （） 若 0k 时，直线 l 的方程为 ym ，代入椭圆方程中得 221xm . 设 2( 2 1 , )M m m ， 2( 2 1 , )N m m ,依题意，若 AMN 为等腰直角三角形，则 AQ QN .即 22 1 1mm ，解得 1m 或 35m . 1m 不合题意舍去， 即此时直线 l 的方程为 35y. （） 若 0k 且 0m 时，即直线 l 过原点 .依椭圆的对称性有 (0,0)Q ,则依题意不能有AQ MN ,即此时不满足 AMN 为等腰直角三角形 . 综上，直线 l 的方程为 35y或 5 5 3 0xy 或 5 5 3 0xy . 14 分 20解：（）由已知得1 2 2 3( ) ( )a a a a=2lg lg lga b a cb c b 因为 ,abc成等差数列，所以2acb ， 则1 2 2 3( ) ( )a a a a 24lg()acac， 因为 222a c ac ，所以 2( ) 4a c a c ，即24 1()acac ， 则1 2 2 3( ) ( ) 0a a a a ，即12aa 23aa，当且仅当 abc时等号成立 4分 （）解法 1：令12m a a，23n a a，31p a a， 11 依题意， m n p 且 0m n p ，所以 0mp 故120aa，即 lg lgab ；且130aa，即 lg lgac 所以 ab 且 ac 故 ,abc三个数中， a 最大 解法 2：依