（基础数学专业论文）完备brouwer格上fuzzy关系方程的极大解和极小解的一些性质及应用.pdf

完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程的极大解和极小解 的一些性质及应用 基础数学专业 研究生舒乾宇指导教师王学平( 博士教授) 论文摘要：本文对定义在完备b r o u w e r 格上的f u z z y 关系方程的极小解和极大解 的性质进行了探讨一方面从完备b r o u w e r 格出发，给出了求解方程aox = 6 极 小解的方法，并证明用该方法可以求出方程所有的极小解：另一方面给出了方 程aox = 6 不存在极小解的情况然后在无限论域上对方程a = 6 的解的性 质做了深入的讨论从方程a ( 司= 6 的系数出发给出了存在可达解和不可达解 的充要条件进一步，当彩0 时，刻画了方程a = 6 在1 0 ，1 1 上解的结构接着 在非负整数格上讨论其元素的性质，然后给出了非负整数格的一些性质，并刻画了 非负整数格上一f u z z y 关系方程的解集最后讨论了幂等矩阵的性质及其分解问 题特别地，就幂等布尔矩阵的情况进行讨论，并用一种较简单的方法给出了它的所 有平方根 关键词：f u z z y 关系方程；完备b r o u w e r 格；极小解；极大解；解集；平方 根 第i 页，共5 页 s o m ep r o p e r t i e so ft h em i n i m a ls o l u t i o n sa n dm a x i m a l s o l u t i o n so ff u z z yr e l a t i o n a le q u a t i o n sa n dt h e i r a p p l i c a t i o no nc o m p l e t eb r o u w e rl a t t i c e m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s w r i t e r ：s h uq i a n - y u s u p e r v i s o r ：w a n gx u e - p i n g k e yw o r d s ：f u z z yr e l a t i o n a le q u a t i o n ；c o m p l e t eb r o u w e rl a t t i c e ； m i n i m a ls o l u t i o n ；m a x i m a ls o l u t i o n ；s o l u t i o ns e t ；s q u a r er o o t s l = ( l ，a ：v ) 0 ，1 v j ( ) ( ) s u p ，v i r l f 。a 0 u n l ，j 1 k o i q l = o o l q l o o a = ( a i ) 。i e l a = ( a 。) 乏， a = ( o i ，) j j 彤，氍， r o 2 曩r ( + 1 r ( 一) ，t a b 【0 ，1 】2 部分符号说明 格 格l 的最大下界与最小上界 对每一个 存在 大于( 小于) 大于或等于( 小于或等于) 上确界 下确界 空集 集合的并 集合的交 指标集 s u p - i n f 合成算子 i n f - a 合成算子 q 为无限集( 包括可数无限集和不可数无限集) q 为有限集 取值于格上的一个行向量 向量( n i ) ，的转置 取值于格上的i j 阶矩阵 方程的解集 方程的极小解集 方程的极大解集 方程的可达解、不可达解的集合 自然数集 从1 到n 的所有自然数构成的集合 由属于集合a 而不属于集合b 的元所构成的集合 【0 ，1 】与 o ，1 】的笛卡尔积 第i v 页，共j l 页 四 i i o i ：p 范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师壁醴指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论义不含任何其他个人或集体已 经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而引起的学 术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有学位论 文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版和电子版学位 论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；2 ) 为教学和科研 目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场 所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 做作者繇均 厕年4 月。瑁 引言 “关系”是一个普遍使用的，又很重要的概念例如“父子关系”、“兄弟关 系”、“大小关系”等等它表示了事物之问的某种联系经典关系只能说明元 素之间关系的有无但现实世界的关系不是简单的有无，而是有不同程度的相 似性质例如家庭成员之间相貌相似的关系，就不是简单的相似或不相似，而是 有不同的相似程度反映这种性质的关系就是f u z z y 关系f u z z y 关系不仅在 模糊理论中占有重要地位，而且在模式识别，模糊控制系统建模、模糊聚类分 析( 如天气预报，地震预测，地质勘探，环境保护及图象语言识别等) 、模糊综合 评判( 如评估某工程的设计质量，包括外观，结构，造价以及合理性等；课堂教学 的质量，学生作业的好坏等) 以及信息处理等方面有着广泛的应用 关系方程是以关系为研究对象的一个数学分支，在关系结构中布尔变量 的处理f 4 2 1 以及数字线路的研究f 2 7 1 等方面有着广泛的应用在f u z z y 集领 域中【6 4 ，f u z z y 关系方程的研究是1 9 7 6 年由法国学者s a n c h e z1 4 3 】从医疗 诊断的论题出发作为综合评判问题的逆问题而引入的研究f r i z z y 关系方程 的目的一方面是为了丰富布尔方程的理论并推广布尔方程中有关的工作，如 l u c e 【3 3 1 关于布尔方程求解的工作等，另一方面也是为了深刻揭示并处理如 医疗诊断这类复杂系统中的模糊现象 1 4 1 理论方面，f u z z y 关系方程的研究 主要集中在方程解集的刻画【2 0 ，3 0 ，5 5 弓8 1 ，具有某些代数性质的解的确定等 【2 5 ，2 6 ，3 2 ，6 2 i 果题 以下我们大致回顾一下完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程解集结构方面 有关研究工作的历史与现状： 完备格上f u z z y 关系方程解集结构的刻画研究的是：在解集非空时， 如何确定定义在完备格上带有某种合成运算的f u z z y 关系方程的解集在 f u z z y 关系方程的研究中所涉及的合成算子很多，但一直以v a ( m a x m i n ， s u p 一孰，) 为重点这是因为在实际中事物的性质往往由起主导作用的因素决 定，而f u z z y 算子v 一 ( m a t m i n ) 正好刻划了这一规律，且v a 这对算子 的结构简单，从而相应的f u z z y 关系方程的解集的性质、结构以及求解方法等 第l 页，共j i 页 引言 方面的研究相对容易 1 9 7 6 年s a n c h e zf 4 3 1 酋先建立了完备b r o u w e r 格上s u p - i n f 合成f u z z y 关 系方程解集非空的充要条件：证明了方程有解则一定有最大解，曰- 绘出了最 人解的公式从此人们开始了定义在完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程的研 究不久，人们发现定义在完备b r o u w e r 格上的f u z z y 关系方程的解集通常是 一上半格，解集是由一个个区间构成1 4 4 ，4 弭田此在方程有解时，考察对解集 中的每一个解是否存在一个小于等于它的极小解对确定定义在完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程解集特别重要，因为如果能够证明对方程的每一个解存 在一个小于等于它的极小解，且这样的极小解只有有限个那么方程的整个 解集便可确定因此围绕定义在完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程的解集中 对每一解是否存在一个小于等于它的极小解问题，研究者们做了大量的工作 1 1 7 ，1 9 。3 4 ，5 t 】，矧1 9 7 6 年，s a n c h e z 确定了方程的最大解为此仅仅需要确定 解集的下方，为了解决这个问题，人们首先选择了定义在f 0 1 1 格上的f u z z y 关系 方程作为研究的突破口当论域为有限集时，证明了方程解集中每元存在一 个小于等于它的极小元而且这样的极小元只有有限个f 3 6 乩并由此给出了 确定定义在【0 ，1 1 格 2 f u z z y 关系方程整个解集的方法m 1 ( 在以后的二十余年里， 当论域为有限集时，对定义在f o ，1 1 格上的f u z z y 关系方程解集的刻画工作仍在 进行，主要是改进解集中极小元确定的方法 3 ，2 2 ，2 8 ，到及极小元个数的估计 【4 ，6 ，3 5 ，5 2 ，5 3 1 ) 之后，人们进一步研究了当论域为有限集时定义在完备完全 分配格上f u z z y 关系方程在解集非空时对解集中每一个元是否存在一个小于 等于它的极小元的问题：1 9 8 7 年，z h a of 6 5 1 讨论了完备完全分配格l 上矩阵方 程aox = b ，当l 中每个元有不可约有限交( 并) 分解时，得出了方程可解的充 要条件在可解的情况下，给出了方程的整个解集1 9 9 0 年d in o l af 2 0 l 对定义 在完备完全分配格上f u z z y 关系方程进一步给出了如何从一个解计算出一个 小于或等于它的极小解的方法，从而，当论域为有限集时定义在完备完全分配 格上f u z z y 关系方程在解集非空时对解集中每一个元存在一个小于等于它的 极小元同时，当论域为有限集时，人们还研究了对通常意义下完备b r o u w e r 格 上f u z z y 关系方程在解集非空时对解集中每一个元是否存在一个小于等于它 的极小元的问题1 9 9 0 年，d in o l a f 2 叫给出了定义在完备b r o u w e r 格上f u z z y l s a b e l s 2 1 c n c o m第2 页共jl 页毕业论文 引i 关系方程的解是极小解的一个充要条件s e s s af 4 6 1 给出了定义在完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程有唯一解的一个充要条件，但是对于完备b r o u w e r 格上 f u z z y 关系方程的解集非空时是否存在极小元问题很长一段时间未得到解决 2 0 0 0 年，d eb a e t s 【9 从序结构的观点讨论f u z z y 关系方程，在有限论域完备 b r o u w e r 格上b 有不可约有限并分解时表示出了方程的解集2 0 0 1 年，w a n g f 5 5 l 在有限论域下，讨论了方程月ox = 缸当方程解集非空，b 有不可约有限并 分解时，给出了方程的解集中存在极小元的条件并给出了f u z z y 关系方程极 小解的个数公式进一步，在相同条件下也给出了定义在完备b r o u w e r 格上一 般f u z z y 关系方程的求解方法2 0 0 2 年，王f 5 7 1 在有限论域上对完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程极小解的存在性作了深入的研究，给出了在解集非空时方 程每一个解都存在一个小于等于它的极小解的一个充要条件进一步，对方程 a o x = 口当b 的每个分量有不可约有限并分解时也得出了同样的结论并给 出了极小解中元素与b 中元素的关系，即方程解集中有极小元的充要条件本 文第一章主要对完备b r o u w e r 格上s u p i n f 合成的f u z z y 关系方程的解作了 深入的讨论首先讨论了在完备b r o u w e r 格中方程解的情况，并在有解时给出了 求解所有极小解的方法进一步，刻画了s u p i n f 合成f u z z y 关系方程解集的 结构 在模糊控制中【6 3 】，人们通常采用s u p i n 型合成算子( 记为。合成 算子) 去作模糊关系或应用于推理过程中推理规则的合成而在1 9 8 5 年，d i n o l a 8 】等人发现用i n y o t 型合成算子( 记为0 合成算子) 去进行模糊关系 的计算或推理规则的合成效果更好1 9 8 5 年，d in o l a 等人提出 f u z z y 关 系方程并构造出了完备b r o u w e r 格上 f u z z y 关系方程的最小解1 9 8 9 年，d i n o l a ，p e d r y c z ，s e a 和s a n c h e zf 1 9 1 又在完备b r o u w e r 格上证明了 一f u z z y 关系 方程有解的一个充要条件，即一个 f u z z y 关系方程有解当且仅当方程有最小 解，并在线性格上构造出了f u z z y 关系方程的极大解2 0 0 3 年，李 2 9 j 在有限 论域下，讨论了方程a a x = b ，当方程解集非空，6 有不可约有限交分解对，给 出了方程的解集中存在极大元的条件，并给出了f u z z y 关系方程极大解的个数 公式进一步，在相同条件下也给出了定义在完备b r o u w e r 格上一般f u z z y 关 系方程的求解方法2 0 0 3 年，李【3o l 在有限论域上对完备b r o u w e r 格上f u z z y b a b e l s 2 1 c n t o m 第3 页，共j 页 毕业论文 ；：言 关系方程极人解的存在性作了深入的研究，给出了在解集非空时方程每一个解 都存在一个大于等于它的极大解的充要条件进。步对方程a0 x = b 当b 的每个分量有不可约有限交分解时也得出了同样的结论，并给出了极大解中 元素与b 中元素的关系，即方程解集中有极大元的允要条件本文第二章主要 对l o ，1 】格上，论域无限时， f u z z y 关系方程( 其中 表示i n f - a 合成) 的解作了 深入的讨论从方程的系数出发，给出了存在可达解和不可达解的的充要条件 进步，在解集不空时蕴4 画了 f u z z y 关系方程的解集的结构第三章则主要 讨论了非负整数格的性质和该格上元素的性质，从而完全地刻画了非负整数格 卜囝一f u z z y 关系方程的解集 d in o l a 在【1 _ 1 中提出t f u z z y 关系的分解问题后，进而又在f 1 7 1 中给出了 f u z z y 关系分解的解集之后t a n 在f 4 捌中也讨论了这个问题这个问题的解 决对于许多非决定性系统都是一个很好的模型工具幂等矩阵是一种特殊的 f u z z y 矩阵特别地，从组合问题中提炼出来的布尔矩阵的平方根问题直悬而 来决( 2 础。具体说来既没有一个一般的标准去判i i 给定的布尔矩阵是否有平方 根，也没有一种在有平方根的情况下能很快找到给定布尔矩阵平方根的方法 1 9 8 5 年，d in o l a 等【1 】进一步研究了f u z z y 矩阵的平方根问题，利用构造矩阵 的方法给出了一种判断f u z z y 矩阵是否有平方根的方法，并对有平方根f u z z y 矩阵的平方根进行了完整的刻画，但方法太繁琐本章首先讨论了幂等矩阵的 性质及其分解问题特别地，就幂等布尔矩阵的情况进行讨论用一种较简单的 方法给出幂等布尔矩阵的所有平方根 1 s a b e l s 2 1 c n c o u l 第4 页洪? ；页 毕业论文 第一章 完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程极小解的一 些性质 设a = ( a j ) 托j 为完备b r o u w e r 格l 上的已知向量，x = ( 为) j ，为一未知 向量称 a o x = b ( 1 - 1 ) 或 v ( a j a 即) = b j l 为定义于完备b r o u w e r 格l 上的f u z z y 关系方程，满足方程( j 一 ) 的x 称为方 程( 1 一1 ) 的解，记彤= x ：a o x = 6 ) 本章在完备b r o u w e r 格上，论域有限时，讨论方程( i 1 ) 的解一方面从完备 b r o u w e r 格出发，给出了求解方程( i - 1 ) 极小解的方法，并证明用该方法可以求出 方程所有的极小解另一方面给出了方程( 卜l ) 不存在极小解的情况 1 1 基本知识 定义1 1 1 【2 1 设( p ) 为一偏序集，如果v a ，b p ，上确界s u p a ，b - 与t 确 界i n f a ，6 ) 均存在，则称( p 】) 是格i g a v b = s u p a ，6 ) ，nab = i n f a ，6 ) 如果 对于格l 的任意非空子集t ，v t = v 口与a t = ho 均存在，则称l 为完备 a e rd r 格， 定义1 1 2 【2 】如果格l 满足：v a ，b l ，存在使o a 2 6 成立的最大元z ， 则称l 为b r o u w e r 格，记该最大元为a a b 如果格还是完备的，则称为完 备b r o u w e r 格 定义1 1 31 1 】设( p ，) 为一个偏序集且x p ，如果p x ，不存在z x 使 得z p ，则 第5 页，共j 1 页 l1 笨本知识 称p 为x 的极人元如果g x ，v z x ，都有z g ，则称g 为x 的最人元对偶 地，v r x ，都有。g ，则称g 为x 的最小元 定义1 1 4f 1 7 l 设，4 = ( 仉) 吲，b = ( 6 1 ) 训，定义偏序关系( ”) ，并( v ) 和 交( “a ”) 如下： a b 当且仅当v t ， b i ，a vb = ( 啦v 岛) i ，a ab = ( a ，a6 ；) 州，其 中第一个“”( “v ”，a ) 是f u z z y 集合之间的运算，第_ 个“”( v ，“ ”) 是格 上元素之间的关系运算，v = s u p ，a = i n f 定义1 1 5 【1 9 1 如果x 是方程解集中的极小元( 如果存在) 则f 4 x 为f u z z y 关 系方程的极小解 注1 1 1 由定义11i 可知兄彤是彤的极4 、元当且仅当v x 彤，x x 蕴含x = 兄 定义1 1 6f 4 3 】在【o ，1 】格中，设a = ( a i ) i i ，定义a o c b = ( a z n 6 ) ，其中， ，。 础= 篆 显然，a ( a a b ) = 口ab 对于a 算子，更多的性质可以参看【1 9 ，3 1 】等 引理l 1 1 【4 3 】彤o 当且仅当a 口6 劣进一步，v x 彤，x a a b 引理1 1 2f 1 9 】如果x l 髟，x 2 彤且x l x 拖，则x 彤 引理1 13 【1 9 】如果x l 彤，托彤，则局v 彤 引理1 1 4 2 】设l 是一个完备b r o u w e r 格，则l 是分配格 下面给出一类后面例题中将要用到的格：设格l = 【0 ，l 】“，n n ，l 中 的偏序“”及“v ”、“a ”的定义分别为：v ( n l ，啦，o 。) ，( b l ，- ，b n ) l ，( a l ，a 2 ，一，a 。) b l ，6 2 ，k ) 当且仅当口l b 1 ，a 2 6 2 ，a n 6 n ； a l ，n 2 ，d 。) v ( b i ，6 2 ，一，k ) = 0 l vb l ，n 2 v 如，v 扫。) ； a 1 ，a 2 ，a 。) a ( 6 l ，6 2 ，一，6 n ) = ( 口i ab l ，a 2 ab 2 ，a n a k ) i s a b e l s 2 1 c n c o r n 第6 页共0 i 页 毕业论文 第一章完备b r o u w ( r 格上f 、l z n 差系方程极小解的一些性质 引理1 1 5f 6 5 设口，b 厶则方程dv2 = 6 有解的充要条件是口6 ，且若方 程a v z = 6 有极小解则有最小解 引理1 1 6f 5 8 1 如果r 0 ，x = ( z 。) l ，是中极小元，则 ( i ) 6 = v i ，； ( i i ) v i i ，戤e , 引理1 1 71 4 0 j i n x = ( ) l ，影，则x 是中极小元的充要条件是 ，是a i = z l ：a l a z = z ，v j i d # 。弓v z = 以中的最小元 引理1 1 8 【4 0 l 影d 的充要条件是6sv i e l 龟 定义1 1 7f 2 5 i 曼x = ( ) i i 影，如果存在i ，使得啦a 以= 6 ，则称x = k ) 耐为方程( 1 - 1 ) 的可达解方程( 1 1 ) 的所有可达解构成的集合记为z ( + ) ，如 果任意的i i ，d ia b ( 1 - 3 ) d v z sb ( 1 - 4 ) 其中d ，b l 令= z ：avz 6 ，2 j = z ：口v z h 显然= 弱n 或 ( i ) b g 对偶伪补元由定义1 1 8 知不等式( 1j ) 总是可解的，且j = z z2 a o t 6 ，不等式( j 一 ) , - 7 f $ 当且仅当a 蛆j = zi 。6 ) 所以方程( 一? ) 可 解当且仅当ns6 且其解集为= 筋n 瓢= k a b ，6 j 因为n o b 6 ：所 以弼o ( i i ) 6 是对偶非伪补元时，显然方程( 1 - 2 ) 有解的充要条件是o 6 当a = 6 时，方程( “) 有最小解0 ，最大解为6 ；当n o ，否则 若x = o ，则v0 o 任取巧x l 构造x = ( z i ) i ，其中 一协。，善 因为k r o ，从而q = ，y ( x ，j ) ，又由z ，的任意性知由a 0 6 可以构造出极 小解兄再由兄的任意性知，由a a 6 可以构造出方程( 1 - 1 ) 的所有极小解，而在具 体操作时只需改变所确定的分量的次序即可 例1 3 2 设格l = f 0 ，1 1 3 在方程 ( ， ， ) ( ) ( z l ，z 2 ，。3 ) 丁： 中，显然此时的6 是对偶伪补元又最大解= a 曲= ( ， ) 影，从而由上面的方法有： 一y ( x ，1 ) = m i n x ：z 日( x ，1 ) ) = ，x 1 = “ ， ， ) ，y ( x l ，2 ) = m i n x ： h ( x 1 ，2 ) )= ，x 1 2 = ( 7 ( j f ，1 ) ，7 ( x l ，2 ) ，正3 ) = ( ， ， ) 7 ( x 1 2 ，3 ) = m 妞 ：e ( x 1 2 ，3 ) ： ，x 1 2 3 = ( 1 ( x ，1 ) ，7 ( x t ，2 ) ，7 ( x 1 2 ，3 ) ) = ( ， ， ) 显 然x 1 2 3 彩o 变换所确定分量最小值的顺序同理可得其它极小解： l s a b e l s 2 1 c n c o r n 第l o 页，共；i 页毕业论文 苇一事完备b n ) 1 i w t ：1 罄k b ；, z z y g 系方程极小解的。些性质 x 1 3 2 = n ( x ，1 ) ，( x i ，3 ) ，7 ( x 1 3 ，2 ) ) = ( ， ) ， x z 3 l = ( 7 ( x ，2 ) 7 ( x 2 ，3 ) ，7 ( x z , ，1 ) ) = ( ， ) ， 1 3 = ( 1 ( x ，2 ) ，7 ( x a ，1 ) ，7 ( x 3 ) ) = ( ， ) ， x a 2 l = ( 7 ( x ，3 ) ， ( x s ，2 ) ，7 ( x a 2 ，1 ) ) = ( ， ， ) ， x a l 2 = ( 1 ( x ，3 ) ，( x a ，1 ) ，7 ( x a , ，2 ) ) = ( ， ， ) 本节下面部分未经特别指出，6 均表示强对偶非伪补元znf 表示z 与口不可 比较大小 o ( b ) a 时由定理1 3 1 ，显然方程( 1 1 ) w 极小解所以现在只讨 论g ( 6 ) = 口的情况 定理1 3 3 若彤0 ，则彤o 的充要条件 a o ( b ) 谚 证明, y z , 要f i 设x = ( 戤) 讵a j 旷( ”，则由定义1 1 7 知存在 n 使n t a x i = 6 ，从而b 啦，r , a ( b ) 9 充分性，若a ( b ) 0 即存在g ( 6 ) ，使得钆b ，定义x = ( 乱) 8 满足： 旦， fb ，i ；k ， 戤。10 ，i k 则v ，a ( n t z i ) = 诹a = b , l a 而x 劳，显然由定义知x o 旷” 定理1 3 4r x = 扛；) t 钮彩o ，则对任意的j n w x 2 = 0 或巧= 6 且即= 6 时j g ( 6 ) 1 s a b e l s 2 1 c n c 0 1 t i第1 1 页共5 j 页 毕业论文 ! ：! 查堡! i ：12 堕壁苤箜丝堕 证明 设x = ( 孔) 。e j 旷o ，则由引理1 1 6 有v 钮( n 。a 岛) = v ；2 ( 戤) = b ， 由定义1 1 8 和1 2 节的讨论显然有彤n ，码= 0 或q = b 当q = 6 时，由引 理1 1 6 ：# j a i = b 即此时j g ( 6 ) 定理1 3 ，5 影o g 的充要条件是g ( o 证明必要性设x = ( 文) b 彤o ，由定理1 3 5 ，当6 o r e ：必存在了 强使得= 6 否则v i 璺( d 。a x i ) = a k a z = 0 6 矛盾 充分性由定理1 3 1 可直接得证 定理1 3 6 若万g ，g ( 6 ) = 织则万= ( ，且彤o = 毋 证明因为g ( = 日，由定理1 3 3 知髟i + ) = 0 ，因此z = e g - t 一若o 9 ，则由定理1 3 ，5 有g ( 6 ) 口，矛盾故o = o 定理1 3 7 设x = ( ) * 髟，x ；( ) 趣形的充要条件是，若i g ( 6 ) ，则丑芝b 证明必要性设x = ( 戤) 坨影( 一，则v t 垦，a iaq b 特别的 当i g ( 6 ) 时，显然有矗芝b 充分性设x = ( x i ) i 彤，则n ，吐ta 6 ：当i g ( 6 ) 时周z ，芝6 ，则 显然有g ( 6 ) ，a t a x l 既当吼 6 时，显然有d i a z l 6 ，当哦| | 6 时，若啦a x 。= 6 ，则必有啦b ，五6 ，矛盾，因1 1 七a a 町，c ( b ) = a ，：a isb 1 j 定理2 2 1 设彤瓯若i ，g ( 6 ) ，则0 l o t x = 1 证明设x = ( x 1 ) i e ，彤，则 b = 八( 0 o z t ) ， = 八( n t n ) 】a t 八( 吼n 而) 1 e g ( 砷i ，o ( 6 ) 于是有i 八g ( b ) 时，a i c t x b ，而i 八g ( 6 ) 时，a b 吣 定理2 2 4 设x = ( z ：) 剧 a a b ，x 彤1 - ) 的充要条件是 。= b ， 证明充分性设x = ( 五) t ，z ( ，由定义2 2 1 有，对任意的i ，o ，口黾 b ，所v g a q z = l 或o t o 甄= 矾 b 显然一定存在i ，使n ，q 墨= 墨 b ，所以存在i 使a i 墨 6 于是 b = 八( 啦a 甄) l ， = 【八( 吼a 墨) 】八( 八( o t 口以) 】 i e l , a ， i e lv a 。 z ， = 八甄 l ，8 。 # t = 八 瓤 i e ，m z t 6 = 八 必要性 八( n 。n l ) i e ， = f 八( n 。n a ) 】八【八( l n q ) 】 i e l ，d t s is e i ，a s z i = 八 i e l ，4 - z - 又x aa6 所以a i 时有皿 墨 b 从而 ，q 戤= 讵= b n 此x 影又x aa6 所以 a za6 ，因此当啦s 孔时，a i o 丑= l 6 ； l s a b e l s 鸯, 2 1 c n c o r n 第1 8 页共；j 页毕业论文 笙：里墅：! 整圭竺垄里鱼：璺兰鲨茎墨查堡箜堑叁 当a 。 墨时，必有a z 。 6 因此a , c k x = b ，所以a ；o z 。 6 ，由定义2 2 1 显 然x 2 5 - ( 推论2 2 1 设x 影卜) ，则lx bi = o 。 由定理2 2 4 可直接得证 定理2 2 5f 3 0 g ( b ) 日：( i ) 令女g ( 6 ) ，定义x = ( 砖) 科，其中 牡r 嘉 则x = ( z ) j 是彤的一个极大元； ( i i ) 所有的极大元都具有x 的形式； 定理2 2 6 如果x = ( 以) i j 彤，s j x 影( + ) 的充要条件是存在x 彩使得x x 证明充分性令x = ( x 1 ) 训彤( ”，则必存在i o g ( 6 ) ，使得a ，。n 。0 = b 定义x + = ( z ；) ，任意的i ， 。b ，i = i o ， q 一11 ，否妣 显然x 彤，由定理2 2 5 知x + 彤+ ，且x x + 必要性任意的x = ( 孔) ，影，存在x 彤使得x x ，则由定 理2 2 5 ，存在i o g ( 6 ) ，使得b a l 。口z 。o r x i ；= 6 ，所以6 = o 如o l x o ，从而x 2 ( + ) 2 3 方程的解集的性质 设x = ( x i ) i “记 吼( x ) = l j ，x i 6 ) ，。巩( x ) = f j ，z i 6 ) ； 丑( x ) = a ，：毗孔，乃( x ) = i ，m 戤，显然日l ( x ) n 乃( x ) = x b 1 s a b e l s 2 1 c n c o i l l 第1 9 页共5 l 页毕业论文 2 ，4 方程的解集 定理2 3 1 设x = ( 矗) ，i ，n x 髟的充要条件 是2 ( x ) n 乃( x ) 0 ， 证明 设x = ( 孔) ，r ( ”，则由定义2 2 1 知存翻，使得吼q 毛= b ，从 而仉 墨= 6 因此i h 2 ( x ) n t 2 ( x ) 反之，若 ，2 ( x ) n t ：( x ) 0 ，设也( | 】( ) n 正( x ) ，i l 且l l a k 巩，巩b ，从 而a , a x k = z is6 因为x 彤所以a k 巩b ，从而n 七 z = 6 ，b o a