（基础数学专业论文）ko型模李超代数.pdf

摘要 李超代数在数学和物理学领域都有显著的发展基于其在物理学 上的重要应用，李超代数的研究领域仍需拓广 特征零域上李超代数的研究已经取得了丰硕的成果，而素特征域 上的李超代数( 即模李超代数) 的研究是近十几年才开始的，结论尚少 在1 9 7 7 年，k a cv g 给出了特征零域上李超代数的分类，而模李超 代数的分类问题至尽还没有解决在1 9 9 7 年，张永正教授构造了四类 有限维单c a f t a n 型模李超代数：彤s ，h ，并提出一个关于有限 维单模李超代数分类的猜想现已发现第五类有限维单r ”t at t 型模李 超代数h 0 由于导子代数在李代数及李超代数的研究中起着非常重要的作 用到1 9 8 8 午，已研究了有限维c a f t a n 型模李代数的导子代数 本文首先给出特征大于3 的域上的一类新的有限维c a r t a n 型李 超代数b k o ( n ，n + 1 ，) ，并得到以下结论： 定理1 丽n ，n + 1 ，! ) 是单李超代数 定理2k o ( n ，n + 1 ，) 无非退化的结合型 定理3d i m k o ( n ，n + 1 ，t ) = 2 “+ 1 p “，其中m = t 。 t = 1 定理4t = x k l c , x 2 。+ ij1 2 n ，0s 也sp 。t 一1 ) s = z 。+ i x 2 。十l li = 1 ，2 ，n ) ， 1 生成k o ( n ，n 十1 t ) 定理5g = a d l o 凡 关键词 李超代数；阶化代数；似吉合型；j 导子代数 a b s t r a c t l i es u p e r a l g e b r a sh a v es e e nar e m a r k a b l ee v o l u t i o nb o t hi nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s a n dt h er e s e a r c hf i e l do fl i es u p e r a l g e b r a si ss t i l l a c t i v eb e c a u s eo ft h e i ri m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni np h y s i c s t h es t u d yo fl i es u p e r a l g e b r a so v e raf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r o h a so b t a i n e dp l e n t i f u lr e s u l t s b u tt h a ti sn o tt h ec a s ew i t hm o d u l a rl i e s u p e r a l g e b r a s i n1 9 7 7 ，k a cv g g a v et h ec l a s s i f i c a t i o no fl i es u p e r a l g e b r a so v e rac h a r a c t e r i s t i cz e r o b u t i ti s n tt h ec a s eo fm o d u l a rl i e s u p e r a l g e b r a s i n1 9 9 7 ，p r oz h a n gc o n s t r u c t e df o u rc l a s so fs i m p l ef i n i t e d i m e n s i o nc a r t a n t y p em o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a s ：w ，s ，h ，k a n dg a v e as u p p o s i t i o no ft h ec l a s s i f i c a t i o no fm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a so ff i n i t e d i m e n s i o nn o ws o m e o n ef o u n dt h ef i f t hc l a s ss i m p l ef i n i t ed i m e n s i o n c a f t a n ，t y p em o d u l a r l i es u p e r a l g e b r a sh o d e r i v a t i o na l g e b r a sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h er e s e a t ( ho tl i , a l g e b r a s a n dl i e s u p e r a l g e b r a su n t i l 1 9 8 8 、t h ed e r i v a t i o n a l g e b l a s o f f i n i t ed i m e n s i o n a lm o d u l a rl i ea l g e b r a so fc a r t a n t y p eh a db e e nr e s e a r c h e d i nt h i sp a p e rw eg i v ean e wc l a s so ff i n i t e d i m e n s i o n a ls i m p l el i e s u p e r a l g e b r a so v e raf i e l do fp r i m ec h a r a c t e r i s t i c ( p 3 ) ：k 0 、t h e no b t a i nt h e s er e s u l t s ： t h e o r e m l k o ( n ，n + 1 ，) i ss i m p l el i es u p e r a l g e b r a s t h e o r e m 2k o ( n ，n + l ，t ) h a v e n tu n d e g e n e r a t ea s s o c i a t i v ef o r m s t h e o r e m 3 d i m k o ( n ，n + 1 ，t ) = 2 “p “t h e r f = f ， t h e o r e m 4 t = x k t e , 2 2 。十i i1 zsn 0sk ，p 。1 ) s = x n + z 1 2 n + l i = 1 、2 ，2 ) 1 i st h eg o n ( 1 “u n o f k o ( n ，n + 1 、t 1 t h e o r e m 5g = a d l o k e y w o r d s ： l i es u p e r a l g e b r a s ；g r a d e da l g e b r a s ；a s s o c i a t i v ef o r m s ：d e r i v a t i o na l g e b r a s l l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已存论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 3 的域，是非负整数集，n 足自然数 集u ( 。) 是具有生成元集 l6 - 4 ( n ) 的f 上的除幂代数，其中 a ( n ) ： j ：( j i ，j 2 ，矗) i 文a t 0 ) 令a ( n 十1 ) 为具有n + 1 个生成元 z 。z 。忆，z 2 。+ l 的f 上的外代数设a ( n ，札+ 1 ) = u ( n ) ( n + 1 ) 并简记，o9 为培，v ，己，( n ) ，vg a ( n + 1 ) 在( n 7 c + 1 ) 上定义 v6 ， a ( n ) v6 a ( n ) ，i = n4 - 1 ，n + 2 ，一，2 n + 1 i j = n + 1 ，n 4 - 2 ， ，27 。十l 个重”z 则、( n ，n + 1 ) 足f 一代数我们简记j 5 7 为，一= 12 m 其中 。= ( 文1 ，巧；2 ，6 m ) a ( n ) 、设1 r n + 1 ，口r = ( ，l z 2 7 ，) | ， + 1 si l i 2 i ，2 n + 1 ：约定b o = 中 设b ( n + 1 ) = ，u 。b r 若u b o ，则约定z “= 1 ；约定e = ( n 十1 ，n + 2 、 ，2 n + 1 ) ；于是 f z ( f t c u i6 a ( n ) ，u b ( n + 1 ) ) 构成a ( n n + 1 ) 的f 一基底，因此 a ( n 、n + 1 1 的每一个元素都是此基底中有限个元素的线性组合 设z 2 = d ，t 是整数环z 与理想2 z 的商环，显然对于u ( n ) 的 平凡的汤一阶化与a ( n4 - 1 ) 的自然的而一阶化，a ( n 、n + 1 ) 也是具 有而一阶化的结合超代数： ( n ，n + 1 ) 6 = “n ) 、( ) i ：、( m ，j + 1 ) i = u 8 、( ) i 对于6 a ( n ) ，令 6l ：釜6 。；对于u 8 ，令 i u i = _ 若8 ，中不含 l = l 2 n + 1 ；| | u | | = r - t - 1 ，若b ，中含2 n + 1i i 中【= 0 d z 1j 叩 ， + j ， 孔 0 巧 鳓一 = = = 一 孔 码 乩 系关 令d ；是a ( 札，n + 1 ) 的线性变换，i = 1 ，2 ，2 n + 1 它使得 i = l ，2 ，一，n i = n + 1 ，n + 2 2 n + 1 则d 1 ，仇，一，d 2 。+ l 是超代数a ( n ，n + 1 ) 的超导子 2 n + l 令仉7 ( n ，n + 1 ) = n ：d 。1a 。 ( n 7 l + 1 ) ，i = 1 ，2 一，2r t + 1 ) 则1 4 ( 仃，n + 1 ) 是李超代数d e r a ( n ，n 十1 ) 的无限维子代数 若本文某个表达式出现d e g x ，则约定z 是关于历一阶化的齐次 元素且d e g x 是x 关于易阶化的次数 w ( n ，n + 1 ) 中有如下公式： f a d i ，6 b 卜a ( d i b ) d j 一( 一1 ) d e g ( a d , ) d e g ( b d , ) b ( d j a ) d ： f 】) 其中a ，b a ( n ，n + 1 ) ，1 i ，j 曼2 n + l 令t = ( t l ，2 ，t 。) - 4 ( 礼) ；丌= ( 丌l ，丌2 ，7 7 n ) ，其中亓。= p “一 1 ? = 1 2 n 记4 ( n ，) = ( d = ( “，如，矗) 【d 。曼w 。i = 1 ，2 ，7 1 从而 4 ( t z ，n + l ，) = 是( n ，7 + i ) 的一个子代数； 2 2 l + l 鲨眠 z z ，_ij(，_j_ = zd d 吼数澄蒜齿 川 + w m 是 其中 2 k o 型模李超代数的构造及其单性 若n a ( n ，n + 1 ) ，令d o ：a ( n ，n + 1 ) _ 1 4 7 ( 礼，n + 1 ) ，使得 d d ( n ) = ( 一1 ) “a ) d e g a ( d 。a ) d i ，+ ( 一1 ) 如9 。( d 2 n + l a ) x i d i l 一2 n # l + ( z 。( d 。n ) 一2 a ) d 2 n + 1 i = 1 2 n = ( 一1 ) “咖。d ；，o + ( 一1 ) d e g a ( d 2 ”i n ) t r 】d 2 i = 1 2 n 十( x d d 。) 一2 a ) d 2 n + 1 如 芷： i = 1 2 - - n 1 i n n + 1 i 2 n + 1 令k o ( n ，凡4 - 1 ) = 利用( 1 ) 式，可验证如下等式： d o ( o ) ，d d ( 6 ) 】= d 。( d n o ( n ) ( 6 ) 一( 一1 ) 4 。9 。2 ( d 2 。 l ) b ) 则可得k - o ( n ，n + 1 ) 是李超代数i i - ( n ，n4 - 1 ) 的子代数 令f ：k o ( n ，n + 1 ) a ( 7 2n + 1 ) 使得 2 n + 112 n 户( n 。j d ：) = 一：( 一一( 1 ”“_ m ，) z = l = 1 则9 ) d k o ( a ) = 妒 ( 一1 ) “( 2 ) d e g a ( d 。，o ) 4 - ( 一1 ) 。8 9 。( d 2 。+ l a ) x ： d 。十( r t ( d z 刚 t = 1 0 = 1 - 2 a ) d 2 。+ l 。一；霎z ：c 。：n ，+ ；霎z c 。一n ，+ ；墨c 3 n h 小 沪 m卜 0 ( 姆 z 1 她匹吲小 l 一2 = = o + i 1 ( 一1 ) “2 4 8 9 。+ “。出9 。+ 1 ( _ d 2 n + l n ) z l ，z t l = l 12 n = n + ；( 一1 ) 如”却。( d 2 。+ l a ) x i 儡 t = 1 = a 故妒d o = i d l a ( 。，。+ 1 ) 而d k o 妒( d o ( n ) ) = d o ( n ) i 故d o 妒= i d l - 丽5 f 。+ 1 ) 从而妒 与d * o 均是线性空间的同构，于是 【a ，b = dd k o ( a ) ( b ) 一( 一1 ) d e 妒2 ( d 2 。+ l a ) b 2 n 【( 一1 ) “( i ) d e g a ( d 川) + ( 2 n + ( z ：( d 。n ) 一2 a ) d 2 ( 6 ) 一( 一1 ) d e q a 2 ( 现。l a ) b 定义了。x ( n ，n + 1 ) 的一个【】运算，使其构或李超代数，进而使得 a ( n ，n + 1 ) 是一个与万万( n ，n + 1 ) 同构的李超代数我们记李超代数 a ( n ，几+ 1 ) 为k o ( n ，n + 1 ) 令了f 石( 礼，n + 1 ，t ) = 贝0 k o ( n ，n + 1 ，1 ) 是丽( n ，t t + 1 ) 的有限维子代数， 令k o ( n ，凡+ 1 ，i ) = k o ( n ，t t + l ，t ) ，霄西( n ，n + 1 ，! ) 显然k o ( n ，n + 1 ，t ) 中含有非零元素 定理1 一k o ( n ，n + 1 ，i ) 是单李超代数 证明：设，是一k o ( n ，n + 1 t ) 的非零理想，则存在0 f ， 不妨设f = f o j2 。+ l + f l ，其中，u ，l 不含“+ 1 j - o 0 因为【，1 j = 一( 一1 ) 出9 1 2 d 2 。+ 1 ( f ) = 一( 一1 ) 出9 ，2 d 2 。+ 1 ( 如z 2 。+ 1 + f 1 ) = 一( 一1 ) 出g f + p ( 2 ”1 ) 出9 ，0 2 f o 0 ，而【，、l 】，故可在，选取，使 得，不含x 2 。+ l 设f = ，0 x 2 。+ ，l ，f o ，f l 不含。孰且f o 0 因为 ，x 。】= ( 一1 ) “( ) 如9 i d 。，( ，) = f o o ；而 f ，z 。】，故可 在，中选取，使得，不含z 2 。，x 2 。+ 1 假设f = f o z ，+ ，l ，f o ，f l 不含 z ，x j + l ，- ，z 2 n + l ；j n + 1 且f o 0 4 因为 ，x j ，】= ( 一1 ) ”( ，) d e 9 ，d j ( ，) = ( 一1 ) “( j ) 如9 ，+ p ( j ) 出g ，0 ，o 0 ，而 f ，】i ，故可在，中选取，不含巧，f i , + 1 js2 n + 1 对于某个2 ，1sisn ，设f = ( l o x ；+ a l t k 。_ 1 + + n k l 了l + 女， 其中a o ，( 2 1 ，钆不含z l ，x n + l x n + 2 ，z 2 n + l ： 因为 f ，x i ，】= ( 一1 ) m * ) d e g f d 。f = ( 一1 ) “( 2 ) d e 9 7 ( 。o 士? 叫+ n l z ：一2 + o 女一1 ) 0 ， 而 f ，x t ， ，用归纳法依次降阶可知，在，可选取，不含孔，l i 2 n 十1 又因为f 0 ，从而f = 1 ， 对v z ，= l ，2 ，2 咒) ， z 。z 2 n 十i ，1 = 一( 1 ) “( 2 ) + p ( 2 n + 1 ) 2 d 2 。+ 1 ( z 。z 2 。+ 1 ) = 2 x 。 而c h a r f 2 ，即得z 。，vi j f 1 ，z ”z 8 = 一2 d 2 n + l ( 矿z 5 ) 且口r ”z f 2 “+ 1 ， ，”z f ，丁l j = ( 一1 ) “( 1 ) 如g ( c ”x e j d 。+ l ( z ”z f ) 一( 一1 ) d e g ( z ”r 5 d 2 n + i ( t ”r e ) 7 1 = ( 一1 ) 4 8 9 ( x z e z ”z e 一 1 = e ( ( 一1 ) “( 。) 。d ：，( z 2 z n 十l z 。+ 2 ) + ( 一1 ) 。d 2 。+ l ( x 2 z 。+ i z 。+ 2 ) z ：) d i ( t ”z 8c n + 1 ，) + ( 2 nz ：d 。( z 2 z 。+ l z 。+ 。) 2 x 2 x n + l x n + 2 ) d 2 n + l ( x n x e 一 ”+ 1 ) ( 一1 ) 。2 d 2 n + l ( z 2 z n + l t n + 2 ) z 7 r l , e n + l = x n + 1 x n + 2 z ”z e 一“+ 1 一“+ 2 + ( 一1 ) 。x 2 z n + 2 3 ：n - e l x e + ( 一1 ) 。+ “( “+ 2 ) 4 。9 ( 。2 。n + 1 ) z 2 z n 十l 丁”i2 丁e “十1 十f72 。h + i n 。2 + t n 十】了2 3 7 n 十2 一( 一1 ) “( “+ 2 ) “即( 。2 7 u + 1 ) r + 2r 2 ，l + 1 2 j27 i ，i ，2 f 一1 l f ( 2 “+ 1 ) ( “1 j z ”t ) 一( 一1 ) 。d 2 。+ l ( z ”z f 一2 ”+ 1 ) 上z = ( 一1 ) “( 。) 。( 一1 ) “( 。) 4 8 9 ( 几z 一1 妒3 2 6 一一2 = ( 一1 ) “+ 卜一1 z ”z e 一“+ 。一 其中o e = d e g ( x ”t e 一2 “+ 1 ) 令f 1 ，k 2 ，一，k 。) = n + 1 ，n + 2 ，一，2 n u ，贝0 n ( a d x ) ( z ”z e 一2 “+ 1 ) = a z ”z “，其e ea = 1 或一1 因为陋”z “，z ：，】= ( 一1 ) “( 2 扣d 。( 矿z “) = z - z “，其中q = d e g ( x ”) 从而 ( a d x i , ) 鼠( 卉a d z k i ) ( z ”；r e c 2 n + ，) = a r 6 t u ， 其中a = 1 或一1 3 ：+ 文= 几i = 1 2 m 即得r 6 r ”， ( 2 ) 若2 n + 1 u ，即t “ 1 ，2 ，n ，有 x l r x 5 ，x 。】 = ( 一1 ) “( 。) 0 d 。，( z ”z e ) 一( - = f 一1 ) “+ 2 z ”7 2 e 一 1 ) u 丁0 ( z “) ，丁_ ( z “z 。+ 。) i 2sk p “一1 2 = l ，2 ， n ) 生成，即对 v6 1 4 ( n ，) ，vu b ( n ) ，一z “可由a 中元生成 通过k o ( n ，扎+ 1 ，t ) - a ( n ，r t + 1 ，) 的同构映射妒将h o 的生 成元映到a ( n ，n + 1 ，t ) 中即为z 2 “，矿t x n + l ，z 已，x n + l z 。+ 女，z 括t z 。+ 1 其中i = 1 ，2 ，扎；= 2 ，3 ，n ，2 f p 一1 由前面所证，这些元 素均可由t u s u 1 ) 生成，所以对于v6 a ( n ，t ) ，v 札b ( n ) ，z 6 矿l 9 以下再证v6 ，vu ，均有z “z 2 。+ 1 y z “，x n q - i x 2 。+ 1 = z 6 一e t 。u z 2 。+ l + ( 苎z 矗d 。( z 6 z u ) 十量z 。+ 。d 。+ ；( z 6 z u ) 一2 x d x u ) z 。+ 。 = x 6 - e z “z 2 n + l + ( 占。+ | iu | | 一2 ) x 5 z “t n + 。 从而对于v6 ，u ，一z “2 2 2 。+ 1 y ，其中至少存在一个6 。，z 1 ，2 ，n 有文p - 一1 下证z ”z “x 2 。+ l y x t r - e , x “t 2 ”l ，z “x 2 n + l 】 = 一( 一1 ) 。( 一1 ) p ( 2 ”+ 1 ) ( a - t ) x ”一fc z “z “z 2 n + l + ( 量z 毛d i ( x z - f , x u t e 2 n + 1 ) n 2 二l + z n + l d n 十i ( x ”一毛z “x 2 n + 1 ) 一2 x ”一5 t z “z 2 n + 1 ) z 5 t = q ，。一1 z ”z ”x 2 n + 1 + ( 三：c p l t ，一l + q r 。2 + i i ui i 一2 ) 丁”一“丁“上2 。+ l z 5 j = l ，j z = ( 1 + ，：毛。q 钆，+ q 钆2 + i iu | | 一2 ) q 。，z ”z “z 2 n + - 其中o = d e g ( x ”“z “3 7 2 。+ 1 ) ；系数模p 之后为，+ 2 一“m 当n + 2 一| | “| | 0 ( r o o dp ) 时，工”t “i r 2 。+ l 】 当n + 2 一l i u | | 三0 ( m o dp ) 时，利用等式： i z ”z “1 2 2 n + i ，z “2 x 2 n + i = ( 一1 ) 4 州2 ”1 ) ( 阳i i 让21 | r 扩t z “2 + l + ( 量矿d 。( z ”z u t z 2 。1 ) + e9 2 n + i d n + l ( z ”扩1 x 2 n + 1 ) 一2 x ”矿1 x 2 。+ 1 ) ( 一1 ) “( 2 “+ 1 ) e l u 2 【t u 2 一( 一1 ) 口+ p ( 2 “+ 1 ) ( 卢- t ) 2 z ”z “】z “2 2 2 n + l = ( 2 一i i7 2 2 i i ) x ”z “1 + “2 2 2 n + l + ( 一1 ) i “2 岍( 2 “+ 1 + “( 2 “+ 1 ) i 【“2 ( 量c 。1 f 。一1 + t 2 l f l - ，d i | | 一2 ) 7 2 ”, 7 2 “2 2 2 n + 】 = ( 2 一 | “2 | | + qr 。一l + l i n i 一2 ) r ”，“t “r 2 。+ l = ( | i u l | | 一| | u 2 | | 一n ) z ”矿汁”x 2 。+ l 其中= d e g ( x ”3 2 x 2 。+ 1 ) 且f f “l 一f f 2 f f n = 一n 一2 + f f “f f + 2 j f u l l + i | n - | | 一l i 札z | | ；2 一u i i + i l “| i 一| | u 。| | ( m o dp ) ( ) 当| | “j = 0 时，显然z ”z 2 。+ l y ； 当j j 训j = l 时，有n + 2 一j “f = n + 1 三0 r o o d p ) ，对v 1 0 1 ，2 ，n ) ，取lsi n ，满足i j ，由等式 f t ”一“3 7 2 n + 1 z 岛z n 十j t 2 n + 】 = ( 一1 ) 3 z l re , t l x n + 3 3 7 2 n + l + ( 一1 ) 。t 1 t n r 。3 2 2 ，l + t + ( j 7 仇( j ”。t ，2 n + 1 ) 一2 x “t r 2 ”1 ) ( 1 ) ”( 2 “+ 1 ) “+ j ) “r 。+ 7 ( 一1 ) 2 j “2 t 92 ，n 】0 2 n + l 一( 。聂 。- + 2 2 ) 矿“巾 = 一【- ( 7 一1 ) 一2 2 c ：t t - - 1 z ”。+ ，f 2 。十1 = ( n + 3 ) z ”x n + j x 2 n 十l 其中层= d e g ( x7 1 - - 5 t x 2 。+ 1 ) = i ，因n + 3 0 ( r o o dp ) ，所以当怕i i = 1 时，t ”z “x 2 n + i l7 ； 当i | “| | 芝2 时，取u tu ? 2 2 = “，且i f u t | = j “| | 一2 ：i h ： = 2 贝0 ( ) = 一2此时n + 2 一u三0 ( r n o dp ) 而n + 2 一f ，i = ”+ 2 一“9 + 2 0 ( r o o dp ) ，从而j “t 2 。+ l 】? 义因为l , l t 2 12 。+ l 】， 所以ft r 1 7 “t “；1 2 u2 如十“一2 j 。 u l “1 1 i 至此即证得对v6 4 ( n ，t ) v f f b ( t ) 6r 。卜，6 ，i ，“1 卜 即有】= k o ( mn + 1 - t ) 引理1 设peg ，f l ，设 f ，z “= b 。若p ( n ) = o ( b ，) = 0 v ， j = 1 ，2 ，2 n ) ，贝4 ( ，) l 一2 _ 证明： 先证明，与关于汤一阶化都是齐次的情形 设咖eg 。，f l 口，q 卢z 2 由 f 。】= b ，矢口【o ( ) j0 + ( 一1 ) a 3 【，( _ r 。) = 毋( b 。) ，又已知( 口( 1 r ：) = p 【b 。) = 0 从而【。( ，) ，“= 0 vi ， 阁) 1 _ o ( 1 ) 小卜l “h ；j 而f o ( f ) ，1 j 二是 0 ( 1 ) ，z 。】： 西( ，) r 1 】，。+ 。】+ ( 1 ) 川”“q ( o ，4 】l ， p ( ) ，。 f 一1 ) 出9 ( 0 ( 川2 d 2 。1 ( 西( ，) ) ：故d 2 。1 ( o ( 川= 0 ( 1 ) “。“叼( 驴( ，) ) d 。，( 口( ，) ) 一( 一1 ) 出9 ( 曲( ，) d 2 。+ i ( p ( ) ) = ( 一1 ) “( o ) 幻( 口( ，) ) 取，( ( ，) ) = 0 ， vi l ，即得d 。( 咖( ，) ) = 0 ，vi j 因此( ，) l 【一2 】 若关于易一阶化不是齐次的，设= o + 曲1 g d o g r ， 则西( ，) = ( ，) + 咖l ( ，) l 【_ 2 1 ；若，关于z 2 - 阶化也不是齐次的，设 f = 凡+ f l l d ol y ，贝0 西( ，) = 6 ( o ) + 曲( ，1 ) 卜2 注：仿照引理1 的后部分证明，我们可将关于齐次元素的一罄事 实线性扩张到非齐次元素上 引理2 设g i r l ，t z ，并且咖( l b 】) = o ，j = 一2 ，一l ，0 ，5 ， 其中s 一1 若s + t 芝一2 ，则西= 0 证明：设j s ，对j 用归纳法证明西( = 0 对于va l ” 设【n ，x i = b 。，vi j ，则b 。l d 一 由已知及归纳假设可得p ( 上。) = 毋( 机) = 0 所以由引理1 可知o ( a ) l 【_ 2 】n l j + 目因j + t s + t2 2 ， 故妒( n ) = 0 命题1 g f 一2 】= a d l 一2 hg 【3 = 0 证明： 设妒g f _ 2 1 ，则西( l b 】) = 0 ，j = 一2 ，一1 因西( t 2 。+ 1 ) l 一2 1 不妨设妒( z 2 。+ i ) = p1 ，其中c r 令o = 咖+ 2 。1 c - a d l ，则妒( l = 0 、j = 一2 一1 并且l 1 ( 1 。2 。i ) = ( z 2 。十i ) + 2 c 1 ，x 2 。+ 1 】= 0 对v z ，z z ，z ) l i o l ，妒( z ，工) ) l i2 1 ，故可设v ( t ，t j ) 二d q 1 ，d i j f 将砂作用于等式【x i x j ，x 2 。+ 1 】= 0 ，可得0 = 【妒( z 。码) ，x 2 。+ 1 _ d ：j l ，x 2 。十1 2 d , j1 ，故d i j = 0 ，从而妒( z 。而) = 0 ，于是v ( l 0 1 ) = 0 由引理2 可得砂= 0 ，即a d l i 一2 1 设西g 卜3j ，贝0 ( l jj ) = 0 ，j = 一2 ，1 0 因曲( e 。f 2 。+ 1 ) 卜2 】，不妨设妒( z i x 2 。+ 1 ) = c 。l ，其中2 zc ：f 将妒作用于等式 zz z 2 。+ 1 2 7 2 n + 1 = z t x 2 n 十l ，得【c ：1 ，2 2 。+ 1 = q1 即- 2 c 。l = 一r ，1 ， 故c 。= 0 ，从而西( z 。z 2 。+ 1 ) = 0 ，对vi j 1 2 令妒( 孔q z ) = d i j k 1 ，v2 ，j ，j 将咖作用于等式k 巧，x 2 n + 1 = 孔z ，z 女可得一2 d , j k 1 = 勘k l ，同理可得d # k = 0 ，从而咖( z i z j z k ) = 0 ， 即( l ) = 0 ，由弓l 理2 ，毋= 0 ，即g 【一3 1 = 0 ，g 卜2 1 = a d l 一2 1 b l 理3t 3 ，咖g 【- ，有西( z ( 。一1 ) “z j ) = 0 ，i = 1 ，2 ，- n ，j = 1 ，2 ，一，2 n ，j i 证明：当j = n + i 时，西( z ( ) 5 - z 。+ ：) l 一2 1 ，不妨设西( z ( 。1 ) 5 1 t 。+ ：) c l ：1 ，d ：f 将妒作用于下列等式 z ( 一1 】5 t z 。+ ：，z 2 n + 1 = ( 一2 ) z 一1 ) t z 。+ ： 可得( 一2 ) a 。1 = 0 ，t d 。1 = o ；从而必有d ：= 0 ，即西( 丁( 。1 ) 5z z 。+ 。) = 0 当j n + i 时，将作用于等式【z 。1 ) ! z 。t = 一t 。1 5 1 j 1 j 即得( z ( ) 8 q ) = 0 弓f j 碧4 设妒g 卜j ，t 3 ，若矽( z 2 1 ) = 0 ，贝( z 扣1 z j ) = o v k n ，女 p 。z ；i = 1 ，2 ，一，n ，j = 1 ，2 ，2 n 证明： 首先对k 用归纳法证o ( 1 如1 ) = 0 vk ，v k p “ 因咖( z “z ) l 一2 h 故o ( x “2 ) = 0 其中0s t 时，将咖作用于等式 3 2 “2 、z “= d t ( “1 ) v f j ， 由归纳法知4 ) ( z l “1 ) z ) = o ( x f ) = 0 由引理1 得曲c 。c ) l2 ：nl ， 即得vk ，咖( z 艇t ) = 0 当j = i 时，如上所证，有妒( z 虹1 z ，) = 0 下面对k 用归纳法证毋( z “1 q ) = 0 ，v n ，k 3 ，若对v n ，k 3 ，所以西( z 5 。z 2 n + 1 ) l i t 一】= o 对于k = 2 ， 当t 4 时，v 妒g ，( z 2 “x 2 。+ 1 ) = o ； 当t = 4 时，妒( r 2 5z z 2 。+ 1 ) e i 一2 1 、不妨设0 ( r 2 j 2 。“) = r ，i 、r ，( f ，将妒作用于等式k 2 5 - t 2 。+ 1 z 2 n + 1j = 2 r 2 5 t 2 。+ 1 得 ( 21 】= 2 c 。l ，即一2 c 。1 = 2 c i l ，从而c i = 0 ，即0 ( x “1 2 2 1 ) = 0 对k 用归纳法证明当k 2 时，扛“；z 2 。1 ) = 0 因为【z 2e 1 x 2 n + 1 ，z j ：6 ，j z ( k - t ) 已x 2 n + 1 + z t z j = b j vj t ，由已 知及归纳假设，用作用于上述等式，有6 ( z j ) = 咖( b ) = 0 由引理1 曲( z 址x 2 n + 1 ) l 卜2 】nl 胩一t j ； 当t 2 时，西( z b z 2 。+ 1 ) = o ； 当= 2 时，( z 艇。z 2 。+ 1 ) l i 一2 ，不妨设曲( z 5 t t 2 。；i ) = n 1 将作用于等式 z 艇2 x 2 。x 2 。+ l 】= 妇“3 j 2 ，可得h 1 = 1 ，即一2 r ：1 = k c ：1 ，即( 1 + 2 ) ( + 。1 = 0 当+ 2 0 ( r r o dp ) 时，c 。= 0 ，即得曲( z 。2 2 2 。+ 1 ) = 0 当k + 2 三0 ( r o o dp ) 时，利用等式 k 1 6 2 9 2 n + l ，z 2 5z x 2 n + 1 】 = 一z 。1 5 t z 5 z ( k 2 - 1 ) 5 - z 2 n + l 十( 壹z 5 j d 3 ( z 。1 5 z 2 n + 1 ) 一2 z 1 5 t z 2 + 1 ) 丁。2 1 z + 2 z 女1 5 1 z 2 z 2 n + 1 = ( 七i 一女2 ) 嘴慨z 拈1 x 2 。扎 对进行归纳： 1 4 = p 一2 时，取l = p 一4 ，2 = 2 ，有 k p 一4 ) e z 2 川，z 2 t z 2 n + i l - ( p 一6 ) c 苫一2 z ( p - 2 ) “x 2 。+ l ， 用曲作用即得( z ( p - 2 ) “x 2 。+ 1 ) = 0 当女 p 一2 且+ 2 ；0 ( r o o dp ) 即k 三p 一2 ( r o o d p ) 时，设七= 壹口：p 。+ p 一2 ；0s 啦 3 ，当t p 。，d n 时，g = 0 证明： v 西g 【_ c 】，( z “t ) l 【_ 2 】不妨设西( t ) = r ：1 其中 f ：f i = l ，2 ，n ；将西作用于等式k “t ，x 2 。+ 1 】= ( f 一2 ) 。得 f c 。- 1 z 2 。十“= ( f 一2 ) c ：1 即一2 f ：l = ( t 一2 ) c ，1 即f r 。：l = 0 当f 0 ( r o o dp ) 时，c ：= 0 即p ( ，。) = 0 当f 三0 ( r o o dp ) 时，设t = n 。，o n 。 3 ，p 4 ，d n 时，v 咖g ，均有9 ( ”) = 0 由引理4 ，庐( z 艇t z ，) = 0 ，其中z = 1 ，2 ，n ，j = 1 ，2 ，2 n 再由引 理5 ，曲( z 。! 。z 2 。+ 1 ) = 0 显然有西( 1 ) = o ；痧( z 。+ ：z 2 。+ 1 ) = 0 k 、f ， p “，i = 1 ，2 ，n 贝0 由定理4 得p = 0 即g | = 0 命题3 当t = p “d 、时，g h l = 证明：设g f 一“，t = p 4 ，咖( z 峨) l l2 】不妨设j i ( t “7 ) = ( 。：1 令矽= 毋 c j d ：，贝0 有 砂( z 据：) = 咖( z 拓；) 1 5 o=c c j j z 巧 勺 。闰 由引理4 ，引理5 及定理4 知，妒( l ) = 0 ，即妒= 0 ，从而咖= eq 骘“， j 一1 所以g f 一l = 设( mn + 1 ，! ) ，若n 的任意非零加项女一j “( ，1 ) 均满足 抚 p t 一1 ，1si 茎n ，我们称n 是z 。一截头的 引理6设口。a ( n ，n + 1 ，! ) ，i = 1 ，2 ，2 n + l ，设d 。q = ( 一1 ) “( 。) p ( j d j n ： ( i ) 若礼+ 1s i s2 n + 1 ，则n 。中不含带有z ：的非零项； ( i i ) 若1 i 扎，则a i 中包含z 丌t 5 - 的非零项仅有c z t ，其中 c f ： ( i i i ) 若o 。是z ：一截头的，则存在f a ( n ，n + 1 ，t ) ，使得a i = d 。，i = 1 ，2 ，2 n + 1 证明： ( i ) 可设o 。= 上；9 + h ，其中9 与h 的各项均不含r l 十1 2 n 对于v j j 且j 2 ，贝0d ：a