（基础数学专业论文）单调、增生算子的特征及其在变分包含中的应用问题.pdf

摘要 鉴于变分不等式问题在当今数学研究中的突出地位和重要作用，并受这领域近年来研究成果 的启发，本文试臣从以下几个方面进行讨论t ( 一) 在h i l b e r t 和b a n a c h 空间中，分别引入并讨论了几类包含单调或增生算子的变分包含或变 分包含组问题所讨论的变分包含问题分别是多种已知变分不等式或变分包含问题形式上的推广和 统一另外，我们的扰动逼近算法以及扰动算法的稳定性研究都是新的和有效的 ( = ) 讨论了b a n a c h 空间中的一类增生算子疆增生算子的性质，并将其应用于研究b a n a c h 空问中一类新的含日一增生箅子的广义集值变分包含问题 ( 三) 建立了关于( ，口) 一单调算子的广义图象收敛理论，并根据所得结论和关于( h ，q ) 单调算子 的预解算子技巧，提出了一类新的算法求解含( ，叶) 一单调算子和舡强单调算子的广义非线性混 合拟变分包含问题 关键词；变分不等式；变分包含；变分包含组；极大，卜单调算子；( ，q ) 一单调算子；丑- 增生 算子；广义图象收敛；预解算子技巧；迭代算法；扰动；稳定性 a b s t r a c t b a s e do nt h ei m p o r t a n c eo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si nn m t h e n m t i c a ls t u d y a n dm o t i v a t e da n di n s p 捌b yt h et h er e c e n tw o r k so ff 1 - 2 8 j 掘t h ef o u o w i n gp r o b l e m s ， ( 1 ) i nh i l b c r to rb a n a c hs p i e s ，w ei n t r o d u c es e v e r a lc l a 目o fv a r i a t i o n a li n c l n s i o n sa n ds y s t e m s o fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n v o l v i n gm o n o t o n eo ra c c r e t i v eo p e r & t o r 8w i n c ha r et h eg e n e r a l i z a t i o na n d u n i o no fm a n yk n o w nv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s i na d d i t i o n w ep r e s e n t8n e w p e r t u r b e di t e r a t i v ea l g o r i t h mf o ra p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o n so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s o u ra l g o r i t h m s a r e d e w ( 2 ) w ee s t a b l i s h e sn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ro p e r a t o rt ob eh a c c r e t i v eo p e r a t o r b a s e do i lt h e s ec o n d i t i o n s w ei n t r o d u c ea n ds t u d yan e wc l a s 8o fg e n e r a l i z e db e t - v a l u e dv a r i a t i o n a l i n c l u s i o n si n v o l v i n gh - a c c r e t i v eo p e r a t o r sj nb a u a c hs p a c e s ( 3 ) w ee s t a b l i s ht h eg e n e r a l i z e d - g r a p h - c o n v e r g e n c et h e o r ya b o u t ( h ，q ) 一u l o u o t o n em a p p i n g s ，a n d b a s e do nt h eg e n e r a l i z e d - g r a p h - c o n v e r g e n c et h e o r ya n dr e s o l v e n to p e r a t et e c h n i q u e ，w es u g g e s tan e w i t e r a t i v ea l g o r i t h mt oc o m p u t ea p p r o x i m a t es o l u t i o n so fan e wg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rm i x e dq u a s i - i 摘要 鉴于变分不等式问题在当今数学研究中的突出地位和重要作用，并受这领域近年来研究成果 的启发，本文试图从以下几个方面进行讨论t ( 一) 在h u b e r t 和b a n a c h 空间中，分别引入并讨论了几类包含单调或增生算子的变分包含或变 分包含组问题所r i - f 论的变分包含问题分别是多种已知变分不等式或变分包含问题形式上的推广和 统一另外，我们的扰动逼近算法以及扰动算法的稳定性研究都是新的和有效的 ( 二) 讨论了b a n a c h 空间中的一类增生算子日增生算子的性质，并将其应用于研究b a n a e h 空间中一类新的含肝增生算子的广义集值变分包含问题 ( 三) 建立了关于( ，口) 单调算子的广义图象收敛理论，并根据所得结论和关于( j i ，q ) 单调算子 的预解算子技巧，提出了一类新的算法求解含( ，叶) 一单调算子和舡强单调算子的广义非线性混 合拟变分包含问题 关键词；变分不等式；变分包含；变分包含组；极大，卜单调算子；( ，q ) 一单调算子；丑- 增生 算子；广义图象收敛；预解算子技巧；迭代算法；扰动；稳定性 a b s t r a c t b a s e do nt h ei m p o r t a n c eo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si nm a t h e m a t i c a ls t u d y a n dm o t i v a t e da n di n s p i r e db yt h et h er e c e n tw o r k so f 【1 - 2 8 ，w ed i s c u t h ef o n o w i n gp r o b l e m s ， ( 1 ) i nh i l b e r to rb a n a c hs p o _ c c e ，w ei n t r o d u c es e v e r a lc l a s s e so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n ds y s t e m s o fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n v o l v i n gm o n o t o n eo ra c c r e t i v eo p e r a t o r sw h i c ha l et h eg e n e r a l i z a t i o na n d u n i o no fm a n yk n o w nv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s i na d d i t i o n ，w ep r e s e n t8n e w p e r t u r b e di t e r a t i v ea l g o r i t h mf o ra p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o n so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s o u ra l g o r i t h m s a r en e w ( 2 ) w ee s t a b l i s h e sn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ro p e r a t o rt ob eh a c c r e t i v eo p e r a t o r b a s e do i lt h e s ec o n d i t i o n s ，w ei n t r o d u c ea n ds t u d yan e w c l a s so fg e n e r a l i z e dc e t - v a l u e dv a r i a t i o n a l i n c l u s i o n si n v o l v i n gh - a c c r e t i v eo p e r a t o r si nb a n a c hs p a c e s ( 3 ) w ee s t a b l i s ht h eg e n e r a l i z e d - g r a p h - c o n v e r g e n c et h e o r ya b o u t ( ，q ) 一u l o u o t o n em a p p i n g s ，a n d b a s e do nt h eg e n e r a l i z e d - g r a p h - c o n v e r g e n c et h e o r ya n dr e s o l v e n to p e r a t et e c h n i q u e ，w es u g g e s tan e w i t e r a t i v ea l g o r i t h mt oc o m p u t ea p p r o x i m a t es o l u t i o n so fan 哪g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rm i x e dq u a s i - i v a r i a t i o n a li n c l u s i o ni n v o l v i n g ( h ，q ) 一m o n o t o n em a p p i n g sa n d ( 1 - h - s t r o n g l ym o n o t o n em a p p i n g s k e yw o r d siv a r i a t i o n a li n e q u a h t y , v a r i a t i o n a li n c l u s i o n ；m a x i m a l 中m o n o t o n em a p p i n g s ；( h ，口) - m o n o t o n em a p p i n g s i h - a c c r e t i v eo p e r a t o r s ；g e n e r a l i z e d - g r a p h - c o n v e r g e n c et h e o r y ；r e s o l v e n t o p e r a t o rt e c h n i q u el i t e r a t i v ea l g o r i t h m ；p e r t u r b ；s t a b l e 独创性声明 学位论文题目：皇翅! 增生箕主鲍挂焦及基在变金鱼金主鲍座周阎题 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：叶磊，劳、签字日期：洌7 年斗月胗日 j 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：叶压、强导师签名：噘 签字日期：例7 年“月协日签字日期：久卿年弘月z 日 学位论文作者毕业后去向： 。 工作单位：重鏖坦菹盘堂塑笠熬宣堂睦电话 通讯地址： 重鏖垣范盘堂翘笠敛直堂瞳数堂塑邮编 ! ! ! ! q ! ! 1 2 11 4 0 0 7 1 5 第一章绪论 变分不等式理论及其应用的研究是近代非线性分析理论及其应用研究的重要组成部分近年 来，变分不等式理论已显露出作为数学和工程科学的主要分支之一的苗头这一理论为我们研究源 于经济学，最优化，力学、物理学、结构分析学及应用科学的一类广泛的，互不关联的问题提供了 一个简单的，自然的，统一的、普遍的框架变分不等式的思想和技巧正被用于以简单明了的方式 说明纯数学及应用数学的基本原理值得一提的是，变分不等式理论是构成这些变分原理的重要的 且有意义的拓展；这些原理从历史上可追溯到f e r m a t ，e u l e r ，l a g r a u g e ，n e w t o n 和l e i b n i z 这一 理论可被看作是h i l b e r t 在1 9 0 0 年巴黎数学年会上提出的著名的( 2 3 个) 问题中第1 9 ，2 0 ，2 3 个问 题的自然的发展变分不等式用其新颖的，创新的技巧在理论和应用方面沿不同方向得到延伸和发 展我们通常所说的变分不等式理论的基本内容就是研究各种类型的变分不等式解的存在性和唯一 性条件，解( 或解集) 的性状及其逼近问题近二十年来，变分不等式有了重要的发展，从纯量到向 量，从单值到集值，从有限维欧几里德空间到无限维b a n a c h 空问( 甚至拓扑向量空问) ，从变分不 等式到变分包含问题 鉴于变分不等式问题在当今数学研究中的突出地位和重要作用，并受这领域近年来研究成果 的启发，本文试图从以下几个方面进行讨论t ( ) 在h i l b e r t 或b a n a c h 空间中，分别引入并讨论了 几类包含单调或增生算子的变分包含或变分包含组问题所讨论的变分包含问题分别是多种已知变 分不等式或变分包含问题形式上的推广和统一另外，我们的扰动逼近算法以及扰动算法的稳定性 研究都是新的( 二) 讨论了b a n a c h 空间中的一类增生算子日增生算子的性质，并将其应用于研 究b a n a c h 空间中一类新的含日一增生算子的广义集值变分包含问题( 三) 建立了关于( h ，们一单 调算子的广义图象收敛理论，并根据所得结论和关于( h ，q ) 一单调算子的预解算子技巧，提出了一类 新的算法求解含( h ，目) 单调算子和m k 强单调算子的广义非线性混合拟变分包含问题 本文具体安排如下第一章，绪论第二章，我们引入了一类含极大，卜单调算子的广义非线性 混合似变分包含组，讨论了这类变分包含组的解的存在性和唯性，提出了一类新的扰动逼近算法 来求解这类变分不等式，并证明了这类算法的收敛性和稳定性；第三章，我们建立了算予是z 卜增 生算子的充分和必要条件；进而，根据这些结论，我们引入了b a n a c h 空间中的一类新的含有z 卜增 生算子的广义集值变分包含，并构建了新的算法解这类变分包含另外，我们也证明了这类算法的 收敛性；第四章，我们建立了关于( h ，目) 一单调算子的广义图象收敛理论，并利用关于( h ，q ) 单调算 子的广义图象收敛理论和预解算子技巧，讨论了一类含( ，q ) 一单调算子和0 _ 舡强单调算子的广义 非线性混合拟变分包含同题第五章在b a n a c h 空间中，我们引入了一类新的含日增生算于的广 义非线性混合似变分包含组应用关于卜增生算子的预解算子技巧和不动点理论。这类变分包含 组解的存在性得到了证明我们同时提出了一种新的迭代算法来计算这类变分包含组的近似解，并 研究了这类算法的收敛性 2 第二章一类新的含极大俨单调映像的 广义非线性混合似变分包含组 2 1 引言及预备知识 在近期的文献【1 】中，黄和方在h i l b e r t 空间中引入了一类称为极大卜单调算子的广义单调算 子，它为极大单调算子有意义的推广在文中，他们也研究了极大 卜单调算子的性质。并讨论了一 类变分包含同题受以上文献的启发，本节中我们首先引入了一类含极大干单调算子的广义非线性 混合似变分包含组，其为多种变分不等式和变分包含的推广和统一；其次。我们讨论了这类变分包 含组的解的存在性和唯性；再次，我们提出了一类新的扰动逼近算法来求解这类变分不等式。并 证明了这类算法的收敛性和稳定性 令日是实的h i l b e r t 空问，其范教与内积分别由与( ，) 表示又令2 圩表示嚣的所有非 空子集组成的集族，j 是日上的恒等映射 定义2 1 1 f 1 】如果g ：h 一2 抒是极大，卜单调算子，那么与g 相关的预解算子定义如下 j 吕( “) = ( i + p g ) 一1 ( t ) ，y u e 其中p 0 为常数 定义2 1 2 2 1 单值映射g ：日一日被称为 ( 1 ) p 强单调的，如果存在常数口 0 满足 白( t 1 ) 一9 ( u 2 ) ，b 1 一u 2 ) 盯i i l t 2 l f 2 ，v u ei = ：1 ，2 ； ( 2 ) - l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数f 0 满足 9 ( 1 ) 一g ( u 2 ) i i 0 t l 一“2 玑v 嗽甄 = 1 ，2 定义2 1 3 【2 】单值映射n ：h h 一日被称为 ( 1 ) 关于第一变元c e - l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数o t 0 满足 i i n ( u 1 ，) 一n ( u 2 ，) 0 d 0 l 一“2 玑v 啦甄i = 1 ，2 类似地，我们可以定义算子“) 关于第二变元的l i p s c h i t z 连续性 ( 2 ) 关于第一变元卢强单调的，如果存在常数p 0 满足 ( ( u l t ) 一( “2 ，) ，u l u 2 ) 卢l 一“2 0 2 ，v 啦el = 1 ，2 3 引理2 1 1 【1 】1 设q ：h 日一j j r 分别关于常数6 0 和f 0 强单调和l i p s c h i t z 连续设 g ：h 一2 ”是极大卜单调算子于是关于g 的预解算子j 吕关于常数f 膨是l i p s c h i t z 连续的， 即对于任意地口日， i i j 吕( u ) 一路( ”) 忙加一训i 引理2 1 21 3 】设 鲰) 是非负实效列又设 t 。 是实数序列，满足t 0 ，1 】，面且墨。 。= o o 如果存在常数n l 使得 p n + i ( 1 一t h ) ，l f l + u 6 n ，v h n l ， 这里k 0 ，v n 0 ，且矗一0 何一o o ) 。那么l i n h - + 。肛。= 0 2 2b a n a c h 空间中一类新的变分包含组 设 ，占，e t ：j j r 一日和仉m ，啦：h h 一日是单值算子又设m ，n ：h 一2 日是两个极大 ，卜单调算子我们考虑下列问题t 求( z ，口) 日h ，满足 0 z 一弘+ 所l ( a ( ”) ，s ( ”) ) + p m 扛) t ( 2 2 ，1 ) 0 v 一2 + 7 ) 2 ( b ( 动，t ( z ) ) + 7 ( v ) ( 2 2 1 ) 式被称为含极大卜单调算子的广义非线性混合似变分包含组，这里p 0 和1 0 为两个常 数 上述变分包含组问题有如下一些特例， 1 如果极大卜单调算子m 退化为极大单调算子，而且对于任意的u ， h ，目l ( t ，口) = 班( ”，功= # + 口。那么问题( 2 2 。1 ) 等价于求( ，) h h ，满足 0 z f + p ( a ( u ) + s ( ”) ) + p f ( z ) ， ( 2 2 2 ) 0 y z + 1 ( b ( 动+ t ( z ) ) + 7 n ( y ) ， ( 2 2 2 ) 式被称为广义非线性混合拟变分包含组，被a g a r w a r l 在文汹中研究过 2 如果m = i p l ，= | p 2 ，这里妒1 ，忱：日一( r u + o o ) 是两个真凸下半连续范函于是问题 ( 2 2 2 ) 退化为求扛。，旷) 日日，满足 加( a ( 旷) + s ( 旷) ) + 2 一剪，善一z ) p 妒l ( z + ) 一p 妒1 ( 司，v z j t ( 2 2 3 ) 竹( b ( z ) + t 扛) ) + 旷一矿，一旷) 妒2 白) 一铂晚( 功，v z 日； 上式被成为广义非线性混合变分不等式 4 3 如果妒l = 伽= 以( 一个非空闭凸子集k 的指示函数) ，而且a i b i0 ，那么问题( 2 2 3 ) 退 化为t 求( 矿，圹) k k 满足 ( 心( f + ) + a ，一旷，z z ) 0 ，v 茁墨 ( 2 2 4 ) ( 1 t ( 矿) + 掣一矿，2 一旷) 0 ，v z j l ( 2 2 4 ) 式被称为非线性变分不等式组，被v e r m a 在文1 5 】中讨论过 4 如果矿= 旷，而且s ( u ) = t ( ) ，v u 日，那么问题( 2 2 4 ) 退化为，求2 。k 满足 s ( z ) ，霉一z ) 20 ，v 尼 上式即为经典的变分不等式，其由s t a m p a c c h i a 6 】引入并研究 筘3 变分包含组解的存在性和唯一性 引理2 3 1 ( 霸p ) 是问题( 2 2 1 ) 的解，当且仅当，p ，v ) 满足 z = 嘶一p 目l ( a 妇) ，s ( ) ) 】， = 晶陋一7 ，) 2 ( b ( z ) ，t ( z ) ) 】， 其中屹= ( i + p m ) 一，日= ( i + 了) ，p 0 ，1 0 为两个常数 证明：引理2 3 1 可由和j 嘉的定义直接得到 算法2 3 1 对于任意给定的2 0 ，y o x ，a ( 0 ，1 1 ，我们计算 2 n + l = ( 1 一 ) z 。+ a 【一p f 7 i ( a ( v n ) ，s ( 撕t ) ) 】， ( 2 3 ，1 ) 鼽。+ 1 = ( 1 一a ) 肌- + a 日k 一1 啦( 日( z n ) ，r ( 2 n ) ) 1 定理2 3 1 巳知”：胃日一日分别关于常数j 0 ，r 0 强单调和l i p s c h i t z 连续； m ，n ：h 一2 为极大卜单调映射又知a ：1 1 一日是f a l i p s c h i t z 连续和m a 一强单调的单值算 子；b ：日一日是l 口一l i p s c h i t z 连续和m 口一强单调的单值算子；s ：日一日是f s l i p s c h i t z 连续 的单值算子；t ：日_ + 日是l r l i p s c h i t z 连续的单值算子；算子挑：日x 日_ 日是k l i p s c h i t z 连 续的，并且关于第一变元们m 一强单调，关于第二变元l ”- l i p s c h i t z 连续( i = l ，2 ) 如果 1 - 2 m a - t - 1 2 a - t i a 订再甄= 丽i + 而。，b 兰t ， ( 2 3 2 ) 和 万j 丽+ b x 1 + 7 2 1 乞- 2 q m r n + y l n ：? b ! ( 2 3 3 ) 成立，那么存在扛，旷) h 日，其为同题( 2 2 1 ) 的唯一解并且，算法2 3 1 产生的迭代序列 ， 鼽) 分别强收敛到矿和旷 5 证明由( 2 3 1 ) 和引理2 1 1 ，我们可得 i l 菩。+ l 一新l = i i ( 1 一a ) + 一朋l ( a ( ) ，s ( ) ) 】一( i a ) $ 一1 一a 一1 一明1 似( 一1 ) ，s ( 一1 ) ) 】 ( i a ) 0 一= - i i i4 - a 引l 一所l ( a ( ) ，s ( 鼽) ) 一蜘一1 + m h ( a ( y , 一1 ) ，s ( 一1 ) ) | l ( 1 一 ) 0 一一1 1 i + a i ( 0 一如一1 一 ( ) + a ( 一1 ) l | + i i a ( y n ) 一 ( 一1 ) 一p t i ( a ( y n ) ，s ( ) ) + 朋l ( a ( 鼽一1 ) ，s ( ) ) 0 + 0 朋l ( a ( 一1 ) ，s ( 鼽) ) 一肌( a ( 一1 ) ，s ( 一1 ) ) 旺 ( 2 3 4 ) 因为 是“一l i p s c h i t z 连续的和m 强单调的，所以 i l 一一1 一a ( ) 十a ( 一i ) 1 1 2 ( 1 2 m a + f j ) i | 鼽一h 一1 1 1 2 ( 2 3 5 ) 因为7 1 是m - l i p s c h i t z 连续的，关于第一变元” 强单调的，并且a 是f l i p 8 c h i t z 连续的，所以 l j a c v 。) a ( 如一1 ) 一肌( a ( 鼽) ，s ( ) ) + 胛l ( a ( 一1 ) ，s ( 鲰) ) 1 1 2 = j i a ( v 。) 一且( 拍，一1 ) 2 + 矿i i 口i ( a ( 妇) ，s ( 辨；) ) 一m ( a ( 骆；一1 ) ，s ( 弘。) ) 2 2 p a ( ) 一a ( 一1 ) ，竹l 似( 跏) ，s ( ) ) 一竹l ( 且( 一1 ) ，s ( ) ) ) ( 2 3 6 ) i i a ( u n ) 一a ( 聃t i ) 1 1 2 + 矿曙。0 ( 弘。) 一 ( 弘。一i ) 1 1 2 2 p m 叶l0 a ( 轳n ) 一a ( 聃。一1 ) 0 2 = ( 1 + 矿l 嚣l z p r n m ) 0 a ( 弘- ) 一a ( 矾t i ) 1 1 2 ( 1 + 矿碍。一2 p ，n 可i ) 暖0 鼽一肌。一1 1 1 2 又因为m 关于第二变元是岛。，一l i p s c h i t z 连续的，s 是b l i p s c h i t z 连续的，故 h p 吼( a ( 鲰一1 ) ，s ) ) 一所l 似( 鲰一1 ) 瓯鲰一1 ) ) | f ( 2 3 7 ) 吨，0 s ( 鼽) 一s ( 一i ) 1 1 p k ，b 0 鼽一鲰一1 1 1 由( 2 3 4 ) - ( 2 ，3 7 ) 可推得 1 1 2 l 一2 n 8 ( 2 3 8 ) s ( 1 一a ) i l 舀。一茁。一18 + a 吾( 、彳= j ；弼+ h 、f 干了可夏= = _ i 万i i + 幽，f s ) 0 - y n l 同理可得 l l 掣n + l 一掣”i i ( 2 3 9 ) ( 1 一 ) 0 一一1 1 1 + a i ( 撕_ = 荔而干虿+ b 、r 了夏：丽+ 7 1 w b ) 0 一一l 6 于是，由( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) 式可得 8 z 。+ l z h + 0 v n + l 一玑川 ( 1 一a ) i i 而。一j 一1 + a i ( v i 一2 m a + z l + “以+ 矿 袅一2 9 m m + 龟，b ) l l m = 3 k 一1 1 l 一一一 【2 3 1 0 ) + ( 1 一a ) 鲰一轨一i + 碍( 以一2 r o b + 呸+ i b v l + 2 一2 7 m , n + 叫智l r ) 0 缸l n s ( 1 一i ( i 一“) ) ( 1 i 而。一a 1 1 i + i i 蚰一聃- 一1 0 ) ， 这里 ，= m a x i c j i 一2 m a + f 盖+ l a 1 + p 2 1 2 , 一2 i n n m + ”i ，l s ) ， ( 4 i - 2 r o b + i i + b 石再琢_ = 酉孬i + 1 v t ) k 根据( 2 3 3 ) 式和( 2 3 4 ) 式，易知“， 1 因为a ( 0 ，1 1 和， 0 为两个满足下列条件的常数， 卜型型笔鳍控塑i ( z j f ；。一f 觋) ( 嘎一( ；一k 1 ) 。) ； 卜型塑篙鬻型i ( 唔2 。2 一f ，2 。t 2 八。b 2 ( ；一j r 2 ) 。) ， 这里 k 1 = 4 了沅而；，k 2 = 了沅再丐 那么( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 成立 2 4 扰动迭代算法及其收敛性和稳定性 定义2 4 1 【7 】设t 是日空间中的自反映射，跏日，并且鬈- l + l = ，( t ) 定义了日中的一 个迭代序列 z 。 器o 设如h ：t x = z ) d 且 z 。) 黯。收敛到t 的个不动点矿又设 t 1 ) 为日中的任意序列，c l = l i - - + 1 一，( t “。) j j 如果1 m e 。= 0 成立可推得l l m u = 成立，那么， 由坼l = ，) 定义的迭代序列 ) 器。被称为l 稳定的或关于口稳定的 算法2 4 1 对于任意给定的跏盯，我们计算 + l = ( 1 一k ) + t 。吩i v 一胛l ) ，s ) ) 】+ t 。e m ( 2 4 1 ) y , “- i = ( 1 一t 。) + k 日一1 ，7 2 ( b ( z n ) ，t ( ) ) l + k 厶，n = 0 ，l ，2 ，一， 这里 e 。) 和t 厶) 是日的两个元列，它们被引入是由于考虑到计算中的可能误差 t 。) 满足如下 条件t 0 t n 1 ( 慨o ) e 甚o t n = o 。 ( 2 4 2 ) 设t 。) 和 ) 为日中的任意序列，并且定义e n = e ：+ 如下t 吐= 0 t t 件l 一 ( 1 一t 。) 。+ t 。【t k p 仉( a ( ) ，s ( t k ) ) j + t 。e 。玑 ( 2 4 3 ) = i i + l 一( ( 1 一t 。) + t n 届【t h i 一7 7 2 ( b ( “。) ，t ( u 。) ) 】+ t 。厶) 定理2 4 1 已知 ：h h 一日分别关于常数6 0 和r 0 是强单调的和l i p s c h i t z 连续 的；1 l f ，n ：日一2 ”为极大卜单调算子又知算予a ：h 一日是“一l i p s c h i t z 连续的和m a 一强单 调的；算子b ：日_ + 日是f b l i p s c h i t z 连续和m b 一强单调的；算子s ：日_ 日是f s l i l m c h i t z 连续 的；算予t ：日_ 日是i t l i p s c h i t z 连续的；算子挑：h h _ 日是k l i p s c h i t z 连续的，关于第 8 一变元m m 一强单调，并且关于第二变元h ，一l i l c h k z 连续“= 1 ，2 ) 此外，常数p 0 ，7 0 满足 i p - 端- 普，( m 口，睦一2 l _ ：f s ) 2 ( f a 2 2 一。2 1 ”2 ：) ( i 一k ) ； 和 卜研m,121。-j t j t i 毒，( 墙一2 1 , ：l t ) 2 ( 咯2 2 一l t 2 2 口一磁) ， 其中 k 1 = ；一万砜 o ，j r 2 = ；一万鬲i 蕊 o 如果l i n l f i - 。l l e 。0 = 0 和l i m l f l _ 。0 ，n 0 = 0 ，那么下列结论成立， ( 1 ) 算法2 4 1 产生的迭代序列 ) ， 蜘) 分别强收敛到问题( 2 2 ”的唯一的解( 矿，旷) ( 2 ) 另外，如果0 0 和1 0 为两个常数 由( 2 4 6 ) 式，算法2 4 ，1 和引理2 3 1 可得 0 0 卅l 一矿0 = i i ( 1 一t n ) 岛。一( 1 一t 。) z + t 。 j 矗【一册1 ( a ( 撕- ) ，s ( 鼽。) ) 】一j 玉细一所1 ( a ( 旷) ，s ( v + ) ) 1 + t e n 0 ( 1 一t 。) l i 一矿u + t 。i h 鲰一卿1 似( ) ，s ( ) ) 一圹+ p ，l ( a ( 旷) ，s c v + ) ) u + k l i e n i i ( 1 一t ) i l z ”一z + t 。；i i 珊。一旷一a ( w ) + a ( v + ) 0 + t n l m c w ) 一a ( v ) 一所1 ( a ( 矾) ，s ( 肌- ) ) + 胛l ( ( v ) ，s ( w ) ) i f + h i 0 所l ( a ( ) ，s ( 肼。) ) 一p 目t ( a ( v + ) ，s ( v ) ) 0 + t n l i e ” ( 2 4 7 ) 利用a 是l a - l i p s c h l t z 连续的和m a 强单调的，可得 l l 肌。一+ 一a ( v n ) + a ( v + ) 1 1 2 ( 1 2 m a + t 二) l l w f + ( 2 ，4 8 ) 因为m 是k ，一l i p s c h i t z 连续的，关于第一变元m ”。一强单调的，并且a 是i a - l i p s c h i t z 连续的，所 9 以有 i i a ( 如) 一a ( y ) 一所1 ( a ( 挤；) ，s ( 骆。) ) + p 啦( a 括) ，s ( 孙) ) | 2 嘎( 1 + 矿瑶。一2 p m 小) 8 斩。一矿8 2 ( 2 4 9 ) 又因为仇关于第二变元是l 叶l ，一l i p s c h i t z 连续的，s 是i s - l i p s c h i t z 连续的，故 i p r h ( a ( y + ) ，s ( 肌。) ) 一p 目l ( a ( 旷) ，s ( y + ) ) 0 p z ”，t s l l y 一f i i ( 2 4 1 0 ) 从( 2 4 7 ) 式- ( 2 4 1 0 ) 式，可得 i i + l 一矿0 曼( 1 一t n ) i l z n 一矿0 + t 。吾( 、r = 忑石i ：_ 干百+ “、r 干i 可襄_ = _ i 鬲元i + 幽，l s ) 0 玑。一圹i i + t 。0 e 。 2 4 1 1 ) ( 8 如+ l 一矿j i s ( 1 一t n ) l l w 洲+ t n ( v 1 - 2 r o b + 1 2 b + l b 万冲虿面而+ 1 。v 矧一矿i i + t 。 由( 2 4 1 1 ) 式和( 2 4 1 2 ) 式，可得 i i 舀。+ 1 一z i i + 撕。+ 1 一矿 ( 1 一k ) i i z n 一霉。0 + t 1 l e n i i + t n ，0 玑。一p 0 + ( 1 一t 。) 鼽；一p 0 + t 。 i i + u 4 而；一矿 ( 2 4 1 3 ) = 【1 一f 。( 1 一w ) ( 1 l x 。一。+ i i + i b 。一旷i i ) + t 。( 1 一，) “， ，= m 缸 吾( l 一2 m a + l j + i a v l + p