（应用数学专业论文）lurie时滞系统的同步控制.pdf

摘要 摘要 本文主要研究了l u f i e 时滞系统的同步控制问题。针对控制器的不同设计，采 用l y a p u n o v 稳定性理论、矩阵理论、自由权矩阵、l e i b n i z n e w t o n 公式、线性矩 阵不等式方法、s c h u r 引理以及相应的不等式技巧，探讨其误差系统l u r i e 时 滞控制系统绝对稳定的时滞无关和时滞相关的充分条件，这些条件用线性矩阵不 等式表示，可以很方便地应用m a t l a b 工具求解。 具体包括以下内容： 1 针对带有时滞的比例控制器，利用l y a p u n o v 泛函、s c h u r 引理、自由权矩 阵、l e i b n i z n e w t o n 公式等方法结合相应的不等式技巧，给出了l u r i e 时滞同步系 统在角域上绝对稳定的时滞独立型以及时滞相关型的稳定性判据，并用线性矩阵 不等式表示，且针对一些结果给出算例加以验证，在保守性方面，与前人的研究 成果相比有较大的改进。 2 针对带有时滞的p d 控制器，采用l y a p u n o v 泛函、算子稳定理论、积分不 等式、s c h u r 引理、自由权矩阵等方法，以线性矩阵不等式的形式给出了l u r i e 时 滞同步系统时滞相关和时滞独立的稳定性判据，在此基础上讨论了时滞为零时， 即无时滞的l u f i e 系统的同步问题，并用m a t l a b 工具求解。 3 针对带有脉冲控制的l u f i e 时变时滞系统，以脉冲微分方程稳定性理论为基 础，应用l y a p u n o v 泛函、自由权矩阵、l e i b n i z - n e w t o n 公式等方法给出了系统全 局指数稳定的充分条件，并在上述结论的基础上提出l u r i e 时变时滞系统的同步标 准。 关键词：l u r i e 系统，同步控制，时滞，脉冲，线性矩阵不等式 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , s y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lo fl u r i es y s t e mw i t ht i m e d e l a yh a sb e e n c o n s i d e r e d i nv i e wo fd i f f e r e n td e s i g no fc o n t r o l l e r , s e v e r a ln e wd e l a y - i n d e p e n d e n ta n d d e l a y - d e p e n d e n ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ea b s o l u t es t a b i l i t yo f i t se r r o rs y s t e m ，l u r i e s y s t e mw i t ht i m e - d e l a y , h a v eb e e nd r i v e ni nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) b y u s i n gt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , t h em a t r i xt h e o r y , t h ef r e ep o w e rm a t r i x ，t h e l e i b n i z - n e w t o nf o r m u l a ，t h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c h ，t h es c h u rl e m m a a sw e l la st h ec o r r e s p o n d i n gi n e q u a l i t ys k i l l ，t h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) c a nb e e a s i l ys o l v e db yu s i n gm a t l a bt o o l b o x c o n c r e t ec o n t e n t sa l ea sf o l l o w s ： 1 c o n s i d e r i n go ft h ep r o p o r t i o n a l c o n t r o l l e rw i t ht i m e d e l a y , s e v e r a ln e w d e l a y - i n d e p e n d e n ta n dd e l a y - d e p e n d e n ta b s o l u t es t a b i l i t yc r i t e r i o n so fl u r i es y s t e m w i t ht i m e - d e l a yh a v e b e e ng i v e ni nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yb yu s i n gl y a p u n o v f u n c t i o n a l ，t h es c h u r1 e m m a ，t h ef r e ep o w e rm a t r i x ，t h el e i b n i z - n e w t o nf o r m u l aa n d c o r r e s p o n d i n gi n e q u a l i t ys k i l l s a ne x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h e m e t h o d o u rr e s u l ti sl e s sc o n s e r v a t i v e 2 c o n s i d e r i n g o ft h ep dc o n t r o l l e rw i t h t i m e - d e l a y , s e v e r a ln e w d e l a y - i n d e p e n d e n ta n dd e l a y - d e p e n d e n ta b s o l u t es t a b i l i t yc r i t e r i o n so fl u r i es y s t e m w i mt i m e d e l a yh a v eb e e ng i v e ni nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yb y u s i n gl y a p u n o v f u n c t i o n a l ，s t a b i l i t yt h e o r yo fo p e r a t o r , i n t e g r a li n e q u a l i t y , s c h u rl e m m aa n df r e ep o w e r m a t r i x t h e n ，w eh a v es t u d i e dt h ec a s eo fn ot i m e - d e l a yo nt h eb a s eo ft h s e sd i s c u s s i o n s ， n a m e l y , t h es y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lo fl u f i es y s t e mw i t h o u tt i m e - d e l a y t h er e s u l th a s b e e ns o l v e db yu s i n gt h em a t l a bt o o l b o x 3 c o n s i d e r i n go ft h e l u r i es y s t e mw i t ht i m e v a r y i n g d e l a y , t h ei m p u s i v e c o n t r o l l e rh a sb e e ns t u d i e do nt h eb a s eo fs t a b i l i t yt h e o r yo fi m p u s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n b yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a l ，f r e ep o w e rm a t r i xa n dl e i b n i z - n e w t o n f o r m u l aa p p r o a c h ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fl u r i e s y s t e mw i t ht i m e v a r y i n gd e l a yh a sb e e ng i v e n b a s e do nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s ，w e i i a b s t r a c t h a v ed r i v e nt h ei m p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o no fl u r i es y s t e m s k e y w o r d s ：l u f i es y s t e m ，s y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o l ，t i m e d e l a y , i m p u l s i v e ，l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ( l m i ) i i i 主要符号表 r ” r “” p q ( p q ) i 簟 p ( ) k 。( p ) a m ；。( 功 主要符号表 n 维欧氏空间 所有m n 维实矩阵的集合， 对称矩阵p 、q 满足p q 正定( 半正定) ， 适当维数的单位矩阵， 为对称分块矩阵主对角线以下元素， 矩阵( ) 的谱半径， 矩阵p 的最大特征值， 矩阵p 的最小特征值 i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：鄯红掏 日期：加寥年月彳日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：葺红掏 导师签名： 日期：伽 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 控制科学主要研究如何修正动力学系统的行为以实现预定目标，这涉及被控 系统、期望的性能指标以及控制手段，即如何利用控制器眉通过信息的变换和反 馈作用，使系统p 稳定并满足一定的性能或要求，如图1 1 所示，显然反馈对系 统的控制和稳定起着决定性作用。 图l l 控制理论主要的研究问题就是：给定系统，求反馈控制器，使得相应的系统 满足期望的性能指标。 同步控制作为控制科学的一个主要方面，在通信安全、人工智能、机电系统 等领域中具有广泛的背景和特别重要的作用。所谓同步控制就是给定一混沌系统 作为发射端( m a s t e r 系统) ，另外一相同的系统作为接受端( s l a v e 系统) ，但给他们不 同的初始条件，然后设计一种反馈规则确保这两个系统的动态行为经过短暂的时 间变为同步的。自从1 9 9 0 年美国海军实验室研究员p e c o r a 和c a r r o l l t l 】首次利用 驱动一响应法实现了两个不同初始条件的混沌系统同步后，混沌同步技术成为非 线性领域一个重要分支，在最近几年得到了广泛的发展。同步控制的常用处理方 法就是将m a s t e r 系统和s l a v e 系统转化为相应的误差系统再研究误差系统的稳定 性。 动态系统稳定性问题的研究自从上个世纪7 0 年代开始即已被人们所关注， 近三十年来一直是国际控制理论界研究的热点问题之一。在实际系统分析中由于 不可避免地存在着时间滞后( 简称时滞) 现象。时滞可能是已知的或未知的，也 可能是定常的或时变的，事实已经证明时滞的存在对系统的稳定性也构成重大危 电子科技大学硕士学位论文 害。因此，目前所讨论的系统稳定性通常都是指带有时滞的系统的稳定性问题。 经过国内外很多学者的共同努力，迄今为止，连续时滞系统的控制问题得到了广 泛的重视和深入的研究，无论是在系统的稳定性分析方面，还是在控制器设计方 面，或者在性能分析方面都获得了大量的研究成果【l 捌。l y a p u n o v 方法、特征值 方法、矩阵测度方法、r i c c a t i 方法和线性矩阵不等式( l m i ) 方法【3 4 ，5 】等都在控制 研究中起着重要作用。针对系统的多种结构形式和时滞的多种情形，提出了各种 稳定性条件( 如时滞无关的稳定性条件和时滞相关的稳定性条件等) 及各种控制 器设计方法( 如状态反馈控制器，输出反馈控制器，动态控制裂6 】等) ，且所有这 些研究成果在实际中都得到了广泛的应用。本文主要讨论比例控制、微分控制和 脉冲控制的问题，得出时滞无关和时滞相关的绝对稳定性条件。 1 2l u r i e 系统同步控制的发展状况 l u r i e 系统是一类非常重要的非线性控制系统，是前苏联著名学者l u r i e 在研 究飞机自动驾驶仪的控制问题时提出来的。当时，如果用传统的精确线性化的方 法，飞机飞行的动力学模型将存在着很大的建模误差，造成了工业设计中的困难。 l u r i e 假定飞机飞行的动力学模型存在非线性扰动，经过反复的实验与计算，验证 了非线性扰动位于有限的扇形角域内( 图1 2 ) 或者位于无限的开平面内( 图1 3 ) 。它 的系统方程可以写成如下的形式嘿 戈= 厶一巧( 盯( ) ( 1 - 1 ) l a ( t ) = c x 其中，厂( 盯( f ) ) 是一个非线性扰动。 假设仃= ( q ，0 2 ，吒) r ， 厂( 盯) = ( z ( q ) ，l ( o o ，厶( 吒) ) 7 ，非线性扰动描述如下： 位于有限的扇形角域( 如图1 2 ) 乃( ) 巧 o ，乃 = 乃( q ) 仍( o ) = 0 ，0 巳乃( q ) 砖巧( 町o ) ) ，= 1 ，2 ，z 位于无限的开平面内( 如图1 - 3 ) 乃( ) k j o ，o o 】= 乃( 町) l ( o ) = 0 ，0 q 乃( q ) ( q o ) ) ，j = l ，2 ，z 2 第一章绪论 厂( q 1 7 ，办巳) 删7 ， ，彩ii i i j：ii ， 图1 - 3 实际问题中许多非线性反馈控制都可以化为( 1 1 ) 型，但非线性函数f ( o - ) 究竟 是仃的怎样的非线性函数，不得祥知，它只能借助于实验记录而得，仅知 厂x o ，k 】或f k o ，1 ，其他信息知道很少。因此l u f i e 控制系统实则为一多 值微分方程组，或称为微分包含，或称为不确定性系统。 经过5 0 年的发展，l u r i e 控制系统的绝对稳定性已趋于成熟，特别是对用常 微分方程描述的l u f i e 控制系统的绝对稳定性，理论和实践均有强有力的判定方 法。从6 0 年代起，有些学者开始研究难度较大的用时滞微分方程或泛函微分方程 描述的l u r i e 系统的绝对稳定性问题。实际中具有时滞的控制系统一般分为两种 情况，一种是未受控制系统中含有时滞，另一种是控制项即反馈中含有时滞。国 内外许多学者以l u f i e 控制系统为研究对象，以该系统的稳定性分析为研究目标， 以期获得使系统稳定的充分条件，并力争使其比以往的结果更好，这无论在理论 上还是在实际应用中都有着重要的意义，如文献 8 1 4 。冯俊涛等【8 】应用l y a p u n o v 泛函方法，讨论了具有结构扰动和范数扰动界的不确定滞后型l u r i e 直接控制系 统和间接控制系统的鲁棒绝对稳定性，给出了系统鲁棒绝对稳定性的充分条件， 并以l m i 形式给出，可以运用m a t a l a b 工具箱来求解；文献 9 主要应用l m i 讨 论了满足非线性有界扇形条件的时滞系统的绝对稳定性。首先研究扇形域 o ，k 】， 然后通过变换将扇形域 o ，k 转化为 o ，k k 】，从而讨论满足扇形域。，k 】的时 滞系统的绝对稳定性。l y a p u n o v 泛函的构造用到i ip f + f 弦r ( 孝) 胁( 孝) d f ，从 而得到与时滞有关的稳定性标准。文献 1 0 】应用b e l l m a n g r o n w e l l 不等式和 l y a p u n o v 泛函方法研究了不确定l u r i e 控制系统的鲁棒绝对稳定性，并给出了系 电子科技大学硕士学位论文 统时滞相关和时滞无关稳定的充分条件判据；文献 1 1 1 应用l y a p u n o v 泛函方法分 别讨论了具有结构参数扰动和范数扰动界的不确定l u r i e 直接控制系统和间接控 制系统的绝对鲁棒稳定性，给出了若干充分条件。从上述的整体内容来看，几乎 所有的方法都是基于l y a p u n o v 函数方法，针对不同的l u d e 控制系统，分别给出 了保证系统鲁棒绝对稳定的若干充分条件。文献 1 3 研究了不确定中立型时滞相 关稳定性，运用了自由权矩阵来表示相互关系，得到了系统绝对稳定性的充分必 要条件。文献 1 4 1 讨论了多时滞非线性l u r i e 控制系统的鲁棒绝对稳定性，利用自 由权矩阵来表示牛顿莱布尼兹公式中各项的相互关系，结合l m i 方法和引入一 些恰当的零项，构造多个l m i ，从而获得基于多个l m i 的时滞相关和时滞无关稳 定性的充分必要条件。 半个多世纪以来，非线性科学越来越受到人们的重视，数学中的非线性分析， 非线性泛函，物理学中的非线性动力学，发展都很迅速。与此同时，非线性系统 理论也得到蓬勃发展，有更多的控制理论专家转入非线性系统的研究，更多的工 程师力图用非线性系统理论构造控制器，取得了一系列成就。正是这样的情景下， l u f i e 系统同步控制有了很大的发展。 混沌同步是九零年以来发展起来的一种非线性科学，近十几年来得到迅速发 展，成为控制理论界研究的热点问题之一。目前国际上的学术期刊及一些重要的 会议都设有此类研究的专栏，同时也吸引了国内外大批的科研工作者从事此项研 究，至今也已获得了相当丰富和较为完善的研究成果，如文献 1 5 2 3 】。若 m a s t e r - s l a v e 系统中所有的参数都是己知的，现有的处理方法主要是单向耦合误差 反馈控制、双向耦合误差反馈控制、滑模变结构控制等；而对于参数不确定或参 数不全知道的同步系统常用的方法有自适应控制、反演控制等。文献 1 5 】中讲述 了两个带有时滞的混沌电路板系统的完全同步( c s ) ；文献 1 6 1 研究了混沌系统的 相同步( p s ) i h - j 题；文献 1 7 主要以线性矩阵不等式( l m i ) 方法介绍了时滞同步问题。 文献 2 4 3 0 主要介绍了l u f i e 系统的同步问题。文献 2 4 应用l y a p u n o v 泛函的方 法对l u r i e 系统的同步做了分析，得出如果时滞小于给定的一个很小的上界，完 全同步是可以实现的。但在理论上上界非常小；文献 2 5 】应用辅助状态反馈方法 进一步改进了 2 4 中的结果；文献 2 6 禾1 j 用牛顿莱布尼兹公式将l y a p u n o v 函数的 导数中某些p ( f f ) 用e ( f ) 一f 毒0 灿代替，而其它的e o f ) 却保留下来，再利用扇 一- t 形条件及s 过程得到线性矩阵不等式( l m i ) 形式；文献 2 7 】还讨论了系数矩阵有参 数扰动的情况；为了避免对积分项的处理中出现交叉项，文献 2 8 用到积分不等 4 第一章绪论 式，在不等式中包含两个松弛变量阵，有利于得到更好的同步标准；文献 3 0 则 应用微分控制器，进一步加快了系统同步的速度，得到更好的结果。近几年来， 脉冲控制在混沌系统的稳定性及同步中得到广泛应用，有时系统不能用连续的控 制，如政府不能每天改变中央银行的利率。另外，对于不连续扰动的系统，脉冲 控制会是一种更有效的方法【3 1 3 7 1 ，其中文献 3 4 3 6 讨论了脉冲控制的同步问题； 文献 3 7 1 贝j j 把脉冲看作扰动，讨论了带有脉冲扰动和时滞的l u r i e 系统的同步问 题，利用l y a p u n o v 函数、m 矩阵理论和线性矩阵不等式( l m i ) 得到系统的稳定性 标准。 1 3 本文研究的主要内容 1 9 9 0 年p e c o r a 和c a r r o l l 提出了混沌同步的原理以来，由于同步在保密通信 等方面有着良好的应用前景，激发了许多研究者的热情，人们提出各种控制方法 进行同步。例如自适应同步方法、反馈控制等。现实中经常遇到脉冲现象，也就 是说状态突然改变的情形，其中的扰动总是瞬时起作用，即表现为脉冲形式，可 以利用脉冲进行控制。例如，政府可以采用利率的突然改变对市场进行干预。脉 冲控制是离散时间的控制方法，对于一些不能或不希望进行连续控制的场合，在 控制手段上有其独到的地方。因此，设计控制器进行同步研究是很有意义的。 本文针对比例控制器、微分控制器和脉冲控制，对l u r i e 系统进行理论研究， 分别提出了一种同步的方法，该方法适用于大多数l u r i e 系统。对l u r i e 系统同 步控制的研究所采用的方法是将其转化为相应的误差系统，讨论误差系统稳定性。 首先提出采用比例控制器时l u r i e 系统同步的充分条件；接着给出了微分控制器 时系统的稳定性条件；然后又讨论了l u r i e 时变时滞系统的脉冲控制。并分别利 用数值实验验证了方法的有效性。 电子科技大学硕士学位论文 2 1 线性矩阵不等式 第二章预备知识 由于目前许多控制系统分析设计问题及特殊约束条件都可转化为一组线性矩 阵不等式的可行性问题来处理，考虑到无须参数调整给应用带来了极大的方便， 因而以线性矩阵不等式为工具进行研究工作越来越成为目前控制理论界的潮流， 出现了许多求解线性矩阵不等式的工具软件。特别的，近年来，线性矩阵不等式 被广泛用来解决系统与控制中的一些问题，并随着m a t l a b 中l m i 工具箱的推出， 而越来越受到人们的关注和重视。 本节简单介绍一下线性矩阵不等式的有关知识，首先给出线性矩阵不等式的 定义。 定义2 1 1 1 7 i 下面的不等式称为线性矩阵不等式或严格线性矩阵不等式 f ( z ) = f o + 蕾丘o 其中，五，x 2 ，是未知变量，称为线性矩阵不等式的决策变量， x = x 1 ，x 2 ，】r r ”为由决策变量构成的向量，称为决策向量。 f = f r r “”( f = 1 ，2 ，优) 是给定的对称矩阵。，( 功o 表示，( 功是半负定的， 既对于任意的非零向量r ”有不等式u r f ( x ) p 0 成立。如下式成立： f ( x ) = 磊+ 薯互 0 定义2 2 1 1 3 8 3 9 i 称系统( 1 1 ) 的零解是绝对稳定的，若夥( 仃) k 0 ，叫，( 1 1 ) 式的零解全局( 渐近) 稳定。 称系统( 1 1 ) 的零解是在角域 o ，k 内绝对稳定的，若v 厂( 仃) k 0 ，k 】，( 1 - 1 ) 式 的零解全局( 渐近) 稳定。 7 电子科技大学硕士学位论文 第三章l u f i e 时滞系统的同步控制 由于同步控制的广泛应用，近十几年来得到迅速发展，成为控制理论界研究 的热点问题之一。总的来说，同步控制就是充分利用已有信息，设计控制器，使 得接受系统与发射系统同步，以满足各种实际的需要。针对系统的特点及性能指 标的不同，控制器设计也有各种不同方法，如动态控制，反馈控制，脉冲控制等。 本章主要讨论带有时滞的比例控制、微分控制和脉冲控制的问题，得出时滞无关 和时滞相关的绝对稳定性条件，以及不确定性系统的鲁棒绝对稳定性条件。 3 1 带有比例控制器的l u f i e 时滞系统的同步控制 考虑带有误差反馈和时滞f 的广义m a s t e r - s l a v e 同步系统： m a s t e r 系统： j p c ( ( t f ) ) = ：a x ( t ) + + b x ( t - 一r f ) ) - m x ( t ) n x ( t 。伊p o ” ( 3 - 1 ) 【p ( f ) = + 一f ) 、。 s l a v e 系统： 控制器： 夕! ：2a y ( ，t ) 、+ b y ( t f ! 一d 妒( g ( d ) + o ) ( 3 - 2 ) 【g ( f ) = m y ( f ) + n y ( t f ) ( f ) = 一g ( z ( f ) 一j ，( f ) ) + h ( p ( t - r ) 一q ( t 一丁) ) ( 3 - 3 ) 其中x ，y r ”分别是子系统的状态向量，p ，q r ”是子系统的输出向量， m ，n r m 。n ，1 a ，b ，g r ”，h ，d r “”是给定的实数矩阵，4 t ) r “， 伊全( 仍，经，) 7 ，仍( ) 满足纯( o ) = 0 且 ( 够( 白) 一k l f 白) ( 仍( ) 一恕，身) 0v 毋，i = 1 ，2 ，m( 3 - 4 ) 第三章l u n e 时滞系统的同步控制 其中 其中 如， 毛， 定义同步误差为e ( t ) = x ( f ) 一y ( t ) ，则可得到如下误差系统： 毒( f ) = a l e ( t ) + 4 e ( t f ) + 4 e ( t 一2 f ) + 4 7 7 ( 石，色) ( 3 - 5 ) 4 = a + g ，4 = b h m ，4 = 一f i n ，a 4 = 一d ， 缶全朋毒( f ) + 肫o - f ) ，乞全m y ( t ) + n y ( t f ) 假设非线性部分叩( 点，受) 属于扇形区域 k ，k 】， 由此可得 即 其中 毛，丛丝边删：魁：啦丝型型， ” 缶，一0缶，磊； “ ( 仍( 专，色，) 一毛，螽，) ( 仇( 轰，色，) 一如，缶，) 0 ( 3 - 6 ) ( 叩( 磊，乞) 一k i 缶) r ( 刁( 螽，彘) 一k 2 点) o ( 3 - 7 ) 点= ( 点。，磊：，石。) ，色= ( 彘，彘：，彘。) ， 墨= d i a g ( k l l ，k 1 2 ，k l 。) ，k = d i a g ( k 2 l ，哎2 ，如。) 在本节中，对于( 3 1 h 3 3 ) 描述的同步问题，将会得到一些实用的计算标准。 首先给出如下引理。 引理3 1 1 设只= 彳 o ( 净1 ，2 ，3 ) ，a = d i a g ( ，五，丸) o 且存在常数 0 0 ( f = l ，2 ，3 ) ，z = z7 0 ，t = d i a g ( t l ，乞，乙) 0 ， 一，= 雕霉蔓 仅，0 ，p r ， 和任意适当维数的矩阵mo = 1 ，2 ，3 ) ，使得下列矩阵不等式成立 其中 e = 1 1 ：ir ：2r 。3 r r j 2 2工2 3 幸宰 拳 木 木 r 3 3 木 木 r ：。 i ：。 r 3 4 口+ l t2 z 口+ l t2 篮z 口+ i t2 麓z 型 f 址- 2 t 彳2 墨z 宰 一z x l lx nx 1 3x t 4 x nx b x mn ! h = i 宰 木 墨3 x 3 4 0 木宰 x un 、 宰木枣宰 z - p z o f l i = 4 曰+ 8 4 + f 。e + r 卢b + f 置i + l + ， k l f 本节内容主要是设计增益矩阵k p 和髟使得m a s t e r 系统和s l a v e 系统同步。 假设同步误差为e ( t ) = j ，( f ) 一x ( t ) ，则可得到误差系统： 台( f ) = g l p ( f ) + b 8 ( f f ) 一d 7 7 ( c r e ，x ) + g 2 k ( t 一) ( 3 - 2 2 ) 其中 g i = 彳+ k p h ，g 2 = k d h ，u ( c r e ，x ) = 9 ( c r e + c r 力一缈( c r 功 第三章l u r i e 时滞系统的同步控制 设c r = q ，c 2 ，巴 r 且q r ”，i = l ，2 ，m 。假设非线性项叩( c r e ，x ) 属 于角域 k ，k 】。 即 所以 其中 郇警= 嫂学 ( r i ( q r e ，x ) - k , fc ：f r 。、c 。r e ，x ) - k 2 f 掣p ) 0 ( 3 - 2 3 ) ( 刁( c7 e ，x ) - k l c r e ) 7 ( 叩( c r e ，曲一k c r e