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首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 摘要 本论文主要基于已有的d n a 链弛豫动力学实验结果，建立了新的理论模 型。在新模型中，我们把d n a 看作是自由连接的小片段，d n a 末端连接一个微 球。在弛豫动力学过程中，我们不仅考虑了溶液摩擦力、d n a 的弹性力，而且还 考虑了容器底面对d n a 的作用力，该模型的理论值与实验数据吻合的比较好。 关键词：d n a 链，弛豫动力学，理论模型 d n a 弛豫动力学模型 a b s t r a c t b a s e do nt h ee x p e r i m e n t a ld a t e so fr e l a x a t i o nd y n a m i c so fd n a ，w ep r e s e n t an e wt h e o r e t i c a lm o d e li nt h ep a p e r i no u rm o d e l ，d n ac h a i ni sr e g a r d e da s f r e e l yc o n n e c t i n gs e g m e n t sw i t ha b e a dt e t h e r e dt ot h ee n do ft h ec h a i n d u r i n gt h e p r o c e s so fr e l a x a t i o nd y n a m i c s ，w ed on o to n l y - c o n s i d e rt h ef r i c t i o no fb e a d - d n a a n dt e n s i o no fd n a c h a i n ，b u ta l s ot h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nd n aa n dg l a s ss u r f a c e i no u rn e wm o d a l t h et h e o r e t i c a lr e s u l ti si ng o o da g r e e m e n tw i t he x p e r i m e n t a l d a t e s k e y w o r d s ：d n ac h a i n ，r e l a x a t i o nd y n a m i c s ，t h e o r e t i c a lm o d e l 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 学位论文作者签名： 铀强、 日期：2 0 0 8 年4 月2 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：铝叮强、 日期：2 0 0 8 年4 月2 日 第一章引言 d n a 分子是携带生物遗传信息的碱基对序列组成的生物大分子，由于其特有 的双螺旋结构，d n a 的形变和力学性质与其生物功能有着直接的关系。对d n a 力学性质的研究是我们理解一些基本生命过程的基础。 为了能够在实验中对d n a 分子进行操作以及测量它的各项性质，上世纪9 0 年代以来发展起来的单分子操纵技术【l 一4 】，使得我们能够直接操纵并检测单个分 子的运动和变化，或通过施) j n # l - 力改变生化反应的进程，研究化学能与机械能之 问的相互转化。由于d n a 分子的直径只有2 n m ，为了在光学显微镜下有效地操 纵d n a 分子，必需在d n a 两端装上“手柄 ，其中一个“手柄 是可操控的小 球或者玻璃微针，单分子操纵常用的技术有光镊、磁镊以及原子力显微镜等。光 镊是利用聚焦激光束产生辐射压力而形成的光学陷阱，处在陷阱中的微球因受到 梯度力场的作用而被钳住，这个光学陷阱像是一把小镊子，因此被称为光镊。其 主要特点是：由于它使用光束来实现对微球非机械接触的捕获，因此不会产生机 械损伤，并且不影响粒子的周围环境。另外由于它可以在操作过程中实时测量微 球间的微小相互作用力，因此是微小粒子静态和动态力学特性的理想研究手段。 利用光镊技术，d n a 链的弹性力学性质已被很好的研究【5 8 】，在理论模型 方面，蠕虫链模型【9 ，1 0 】可以很好地刻划d n a 链的力学拉伸行为。近年来对 d n a 链的动力学性质的研究倍受人们的关注，最近有相关文献对d n a 链的弛豫 动力学进行了深入的讨论和研究。在g o s h e n 等人【l l 】的d n a 链的弛豫动力学实 验中，d n a 分子的一端固定在容器的底面，另一端固定在直径大约3 i m 的微球 上。先利用光镊把d n a 拉伸，然后去掉光镊施加给微球的力，这样由于d n a 链 自身的弹性力，将拽着微球向回收缩。因此可以通过跟踪微球确定d n a 一端的 运动情况。研究表明在收缩的开始一段时间内理论模型的计算和实验数据拟合的 比较好，但收缩的后期理论预测逐渐偏离了实验数据，本论文的主要目的是建立 一个新的理论模型以期很好地刻划g o s h e n 等人的d n a 链弛豫动力学过程。 第二章d n a 弛豫动力学 在关于研究d n a 弛豫动力学的文献【l l 】中，g o s h e n 等人将d n a 链的一端 固定在容器的底面，另一端连接在直径大约3 9 m 的微球上，然后利用光镊可以把 d n a 拉伸，此时去掉光镊作用在微球上的作用力，让d n a 向平衡状态收缩。由 于微球的存在，使得d n a 经历一个准平衡运动过程。在实验中可以通过跟踪微 球确定d n a 一端的运动情况，即d n a 的长度以及离底面的高度随时间的变化。 针对该实验他们建立了如下的模型：在收缩过程中，d n a 和微球系统在两个力的 作用下运动：d n a 作用在微球上的拉力厂和微球与溶液之间的摩擦力届。微球的 惯性力比d n a 的拉力小六个数量级，可以忽略，所以微球的运动方程为 f = f a ( 2 i ) 在d n a 的相对伸长量z ， 0 9 7 时，d n a 作用在微球上的拉力可以通过蠕虫 链( w o r m l i k ec h a i n ) 模型得出。m a r k o 和s i g g i a 5 】曾经根据蠕虫链模型得到过下 面的近似关系 艄= 等( z ，+ 而1 再一互1 + 善喇n ， ( 2 2 ) 其中p 是驻留长度，啦是一系副常数。 把微球看作球状，那么在运动过程中的摩擦力为f a = 6 m i r v ，7 是溶液的粘 滞系数，尺是微球半径， ，是微球在d n a 收缩方向的速度。由于d n a 的一端固 定在底面上，受底面的影响，溶液对微球的摩擦系数会随微球离底面的高度h 的 变化而变化，我们引用s t o k e s 摩擦系数如下 殉兰- 百鲁广了， ( 2 3 ) 殉兰鬲= 忑1 磊广丁， () 1 一而十丽一2 5 - t - d 一面萨 礼兰6 1 r r r ( 1 + 志) ( 2 4 ) 其中殉和札分别是平行和垂直于底面方向上的s t o k e s 摩擦系数。因此微球的运 动方程成为 y l t 南l = f ( z ) c o s o ， ( 2 5 ) 礼扎= , ( ( z ) s i n o ( 2 6 ) l 其中z 是d n a 的伸长长度，0 是d n a 链与底面形成的夹角。 通过求解运动方程，我们可以得到该模型的结果，与实验数据的对比如下图 上图中，实线是理论值，方点是实验值，通过对比可以发现，在收缩过程的 初始阶段理论值和实验值比较吻合，当d n a 末端比较接近底面时理论值逐渐偏 离实验值，这很可能是由于未考虑底面对d n a 的作用造成的，因此在下面的模 型中我们考虑了底面对d n a 的电磁作用。 名0 5 竹 图1 ：旧模型理论粤与实验数据的对比 第三章理论模型及结果 3 1 新模型的建立 最近s t i g t e r 等人【1 2 ，1 3 】建立了一个讨论d n a 的伸长规律的模型。在他们的 模型中，d n a 链被看作是很多连接的小棒，每个小棒都带有固定的电荷，这样就 可以讨论d n a 在电磁作用下的变化情况。我们在s t i g t e r 模型的基础上进一步考 虑了溶液对d n a 的摩擦力以及在运动过程中的各力的平衡，这样新的模型就可 以应用于研究d n a 的弛豫动力学。 在我们的模型中，d n a 链被看作n 个连接的片断，每个片段都是可以自 由转动的刚体，片段的长度是该d n a 链驻留长度的2 倍，即2 p 。片段标记为 l ，i ，n ，可以利用d n a 链末端的电磁吸引力将其中片段l 固定在底端的载片 上，片段n 固定在溶液中的一个微球上。建立直角坐标系，其中垂直载片向上的 方向是z 轴方向。片段l n 与z 轴形成的角度分别是p i 钆，如图2 所示 图2 ：新模型d n a 示意图 片段l 的固定点到被连接微球的中心的向量称为d n a 链的方向向量，我们 首先考虑方向向量垂直于载片的情况。在载片平面上选定直角坐标系的x 轴和y 轴以后，片段1 n 相对于x 轴形成的转动角度妒1 加的值在0 到2 7 r 之间随机选 择，在后面的程序模拟中，我们随机选孥咖的值以后，假定在d n a 链的伸缩运 动中保持不变。 下面对该模型的受力情况进行分析，片段i 受三个力的作用：( 1 ) 在溶液中运 动时的摩擦力胖，这主要是由片段与溶液的相对运动速度造成的。( 2 ) d n a 内部 的张力乃，该力的大小取决于d n a 本身的弹性和形变。( 3 ) 电磁力砟，这个力 的来源比较复杂，由于d n a 本身带有一定的负电荷，它与溶液或者载片间有电 磁作用，为了简化模型，我们只考虑片段与载片间的电磁作用。被连接的微球自 身不带电荷，所以主要受两个力的作用：( 1 ) 与溶液相对运动造成的摩擦力凡删 和( 2 ) d n a 与微球问的张力n 。 下面计算各种受力，先看片段i 的摩擦力。片断i 附近溶液沿d n a 链方向向 量的速度为“，由于每一个片断的伸缩运动沿方向向量，所以我们可以忽略其他 方向的溶液和片断的相对运动速度。片断i 与d n a 链方向向量形成的角度是0 i 因此蜥在片断i 上的平行分量是： u l l = u i c o s o i ， ( 3 1 1 ) 垂直分量是： “上= u f s i n o i ( 3 1 2 ) 片断i 平行方向和垂直方向与溶液的摩擦系数分别是而和 ，所以片断i 在平行 方向和垂直方向受到的摩擦力分别是 f l l = “椭 ( 3 1 3 ) 和 f a = u l ( 3 1 4 ) 我们假定片断i 受到的总摩擦力作用点在片断的几何中心。因此片断i 在d n a 链 方向向量的摩擦力分量是确和凡在两部分分量的叠加 毋= 鼻l c o s o i + f s i n o f = 比f 哳研+ j 伽砰) ( 3 1 5 ) 为了进行有效的流体力学计算，我们设定该模型中每一个片断是一个扁长的 椭圆体( p r o l a t ee l l i p s o i d ) ，其中长轴长度2 p ，短轴长度c 。h a p p e l 和b r e n n e r 1 4 给出了溶液中椭圆体长轴方向的摩擦系数为 而= 鬲碌莎4 a r c 丽， ( 3 1 6 ， 以及垂直于长轴方向的摩擦系数为 = 五孺磊8 # r 丽c t p ，( 3 7 ) 孑石- r 历【j r 尹孵l 仃缈十v 。一l ， 其巾步= 2 p c ，7 是溶液的粘滞系数。 下面考虑片断i 附近的局部流体速度( 1 0 c a ll i q u i dv e l o c i t y ) 。由于d n a 本身的 形状对附近的溶液的流动速度有一定的影响，所以在计算每一个片断附近的溶液 流动速度时要考虑到其他片断造成的微扰，非微扰部分的速度h ：町是片断i 相对于 固定载片的速度。片断i 附近的局部流体速度蜥是假设该片断被从溶液中移除后 该片断中心的溶液速度，以下计算中的速度都是指在d n a 链方向向量的速度分 量。根据以上讨论，可以得到 ( 3 1 8 ) “，是片断j 在片断i 的中心形成的速度微扰在d n a 链方向向量的分量。蜥，的 大小取决于片断i 和片断j 之间的位置关系以及片断j 自身的摩擦系数和其附近溶 液的速度u f 。因为每一次对u ，的计算都需要n ( n 1 ) 个不同的“u 的值，利用椭 圆体附近精确的流体速度分布( f l o wp a t t e r n ) 公式计算就显得过于复杂，因此我们 用流体速度分布的长距近似( 1 0 n g r a n g ea p p r o x i m a t i o n ) ，把椭圆体片断j 用球体代 替，摩擦系数保持不变。设球体- 半径为口，则有 6 n - r a j = 而c d s 鲜+ s 胁砖 ( 3 1 9 ) 在这个等效球体上利用s t o k e s 流体公式可得到【1 5 】 缸u 列疋若一名，+ 叩。5 2 咻一瓦3 a j + 磊， c 3 。， 其中片断间的距离n f 以及与方向向量形成的角度研，的计算需要d n a 链的具体形 状，如下图所示 后面的叠代算法将给出所有的c o s o i ，其中n 个妒i 的值是从0 到2 丌之间随机 选定。片断i 的坐标x = ：i 岘，片断i 与j 之间的距离 = 、( 而一x j ) 2 + 舻一y j ) 2 + ( z l z j ) 2 ( 3 1 l1 ) l ， 一u 比 一纠 + 伽_ “ = 比 ip r x n e i p l ea x l 摹 罔3 ：两片段问的等效模型 角度研，满足 c o s o q = 型 ( 3 1 1 2 ) r i j 下面讨论微球的摩擦力。在实际的实验操作中，被固定在d n a 链末端的微 球会被光镊( o p t i c a lt w e e z e r s ) 拉到足够高的位置，使d n a 链处于拉伸状态，然 后去掉光钳的作用力，微球会随着d n a 链的收缩而运动。由于微球的体积比较 大，可以减缓d n a 链收缩的速度。该实验中连接微球的d n a 链的收缩特征时间 大约是3 s ，d n a 链本身的收缩特征时间 1 = 嘉了o l 2 ( 3 1 1 3 ) 1 = ：一= t j 1 1 jj 砌圭7 其中a 是d n a 的宽度a = 2 n m ，l 是d n a 链的完全伸展长度，实验中一个典型 的d n a 长度l = 1 3 舡小，t 是d n a 链的张力，数量级大约是0 1 p n ，由此可计 算得f 0 0 4 s ，远小于连接微球后的d n a 链的收缩特征时间，所以在收缩过程 中可以把整个模型看作处于准静态平衡。可以假定片段i 的收缩速度“：町在d n a 链方向向量从末端向底端方向上线性递减，所以有 ，、 ：一l2 p “：帕= “b e a d 瓮等恭器 ( 3 4 ) 厶，= 1 1 、，u i ) ”j7 其中b e a d 是微球在特定时刻的运动速度，显然有 “删= “， ( 3 1 1 5 ) 现在我们来考虑d n a 的张力。片断i 在d n a 链方向向量上的平均伸长量为 z f = 2 p ( 3 1 1 6 ) 所以d n a 链的总伸长量为 e x - 衄= e 2 p c o s 忪( 3 1 1 7 ) 以上我们对片断i 的偏转角研的余弦取了平均值，即忽略d n a 链的其体形 状，这样得山的结果更具有普遍性。很显然，d n a 片断的内部张力与片断的偏转 角有直接的关系【1 2 】 0 6 6 6 7 矗+ 0 8 0 8 t , 2 + 0 10 3 6 5 t 3 伽”= 再可而i 百而可而0 赢10 3 6 5 砖，g ， 。 l + 1 1l1 8 “+ 1 1 0 7 6 辟+ 。 9 ， 其中岛是约化张力，表达式如下 t i p f f = 育。 ( 3 1 1 8 ) ( 3 1 1 9 ) 其中k 是b o l t z m a n n 常数，r 是温度。另外为了简化后面的计算，我们将用到近 似关系 = 2 由文献【1 2 ，我们知道d n a 小片断i 受电磁场的作用力为 ( 3 1 2 0 ) b = 警哳s 砰+ 知硼 + 吨荟n l 去睁石3 v a j a _ 曼) + 2 3 a j + 静 比， 其中最后一项表示片断间的相互作用项， v i i = 鱼丝蛳， r l v 上= e o d ( e i 2 9 上9 j ( 3 1 2 3 ) s i n o l v = 一= 2 ij 1 1 l 3 这里f 是d n a 的表面势能，向是真空介电常数，d 是溶液的介电常数。上式中的 因子；g 上反应了电磁场在绝缘圆柱体以及附近电离溶液的存在下造成的偏离。另 外为计算方便，在( 3 1 2 1 ) 中用半径为a ，的s t o k e s 球代替片断j 的椭圆体。 我们假设电磁场是由覆盖在载片卜的d n a 产生的，由于d n a 本身带有负电 荷，聚集的d n a 会对被研究的d n a 链有一定的电磁作用。电磁场的强度和方向 取决于覆盖的d n a 的密度和分布情况，一个最简单的情况就是d n a 均匀的覆盖 在载片上，假设相对于d n a 链来说载片的面积足够大，那么在溶液中产生的是 均匀电磁场，但是用均匀电磁场的模拟计算发现与实验数据有比较大的偏离。为 了能够比较好的拟合实验数据，我们可以用等效的电电荷电场，即假定d n a 聚 集在被研究d n a 链的底端形成团状，忽略覆盖在载片上的其他d n a 的影响，那 么电磁场可以用下式描述 毋= 1 二一 ( 3 1 2 4 ) 4 玎勖( k l2 p ) 2 、 其中常数g 是底端聚集d n a 的等效点电荷的带电量，具体的数值根据实验数据 拟合得出。 3 2 新模型的理论计算和结果 在任意一个时刻有力平衡方程 玎= + ( 甲+ ) ， ( 3 2 1 ) 面 其中凡删是微球在溶液中运动受到的摩擦力 f b c d d = 印r , b e a d ( 3 2 2 ) 劲 2 o 巾以嘶u = l i 凡凡 为别分式 达表的n和 中式匕 掣是片断i 的摩擦力，由于d n a 链的运动看作是准平衡运动，所以名f 掣表 示由于从片断i 至片断n 的摩擦力产生的叠加于片断i 上的张力，同样，；fe 是由于从片断i 至片断n 的摩擦力产生的叠加于片断i 上的张力。算法的开始先 设定一个足够大的l l b e a d 值作为迭代的初始值。根据以上的分析，在片断i 上的张 力乃、摩擦力和电磁力一曲都是片断i 的偏转角研的函数，因此，我们可以 设定一系列的研的初始值，我们取研= 0 ，f = l ，l 。把研的初始值代入方程( 3 1 5 ) 和方程( 3 1 2 1 ) ，可以得出f 力和砖d 的初始值，然后可以由方程( 3 2 1 ) 得到乃 的初始值，利用方程( 3 1 1 8 ) 由乃的值可以得到新的研。重复上面的计算过程， 直到张力乃稳定。可以利用最后得出的毋的值得到此时的d n a 链的伸长量 ，= t2 p (323)z_ a 、 i - - i 选取个b e a d 的步长“删，按此步长依次减小口删最为迭代运算的初始值，岛 的初始值的取法不变，可以得到一系列的数组( u b e a d ，d ，直到i a b e a d = 0 为止，此时 即d n a 链处于完全收缩状态，收缩过程结束。可以得到u b e a d z 的变化图像，进 一步可以得到伸长量随时间的变化图象t f 。 d n a 链的方向向量并非总是垂直于载片的平面，如图2 所示，口表示d n a 方向向量和载片平面形成的夹角。d n a 链除了收缩运动，还可能存在绕固定底端 的转动，从实验数据中也可以看到d n a 链的转动情况，如图4 所示，可以看到， 在收缩运动5 s 之内角度口几乎保持不变，直到微球离载片的高度到达3 1 m 时，口 会在很短的时间内由2 0 0 增加到6 0 。尽管d n a 链的转动原因还不是很清楚，但 是也可以看到采用点电荷电场比均匀电场更合理。 图4 ：收缩过程巾d n a 转动角度的变化 计算中的参数取值：在计算中选取舶一组实验所用的d n a 链的伸长长度为 l = 1 3 舡嬲，驻留长度取为p = 0 0 5 u r n ，所以片断数量为露= 嘉= 1 3 9 ，微球的 直径为2 7 鼬，l ，溶液的粘滞系数为，7 = 0 0 9 8 c p = 9 8 l o - s p a j ，片断短轴长度 c = 0 0 0 2 9 3 9 4 m ，形状因子g l = 0 4 8 4 ，d n a 的表面势能f = 一0 11 9 5 v ，真空介 电常数和溶液的介电常数的乘积r _ o d = - 7 9 6 1 0 n 旷2 ，为了得到比较好的拟 合数据，我们取熹= 9 1 0 - i i v m 。 下面是该算法得到的结果和实验数据的比较。图5 显示的是d n a 链的相对 长度随时间的变化，图6 显示的是d n a 链的高度随时间的变化。 图5 ：d n a 链的相对长度随时间的变化 罔6 ：d n a 链的高度随时问的变化 由上图可以看出，对于长度的拟合比较好，收缩过程的初始阶段以及d n a 链比较接近底面时理论的预测值与实验值都比较接近，显示出新模型的优势。但 是对于高度的拟合在收缩过程后期理论值与实验值存在一定偏差，这主要是由 d n a 链在收缩过程中的整体转动造成的，对于d n a 链的转动目前还没有深入的 理论分析，有待以后解决。 11 参考文献 【1 1t t p e r k i n s ，d e s m i t h ，r g l a g s o na n ds c h u ，s c i e n c e2 6 8 ( 1 9 9 5 ) 8 3 1 2 】s b s m i t h ，y c u i ，a n dc b u s t a m a n t e ，s c i e n c e2 71 ( 1 9 9 6 ) 7 9 5 【3 】r m s i m m o n s ，j t f i n e r s c h u ，a n dj s p u d i c h ，b i o p h y s j 7 0 ( 19 9 6 ) 181 3 【4 1m d w a n g ，h y i n ，r l a n d i c k ，j g e l l e sa n ds m b l o c k , b i o p h y s j 7 2 ( 1 9 9 7 ) 13 3 5 【5 】d b e n s i m o n ，a j s i m o n ，vc r o q u e t t e ，a n da b e n s i m o n 。p h y s r e v l e t t 7 4 ( 19 9 5 ) 4 7 5 4 【6 】pc l u z e l ，a l e b r u n ，c h e i l e r , r l a v e r y , j l v i o v y , d c h a t e n a ya n dec a r o n ，s c i e n c e 2 7 1 ( 1 9 9 6 ) 7 9 2 【7 】pc i z e a ua n dj - l v i o v y , b i o p o l y m e r s4 2 ( 19 9 7 ) 3 8 3 【8 】m g r a n d b o i s ，m b e y e r , m r i e f , h c l a u s e n s c h a u m a n n ，a n dh e g a u