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沙凯平：量子群( 厂( k ) ) 的同构与自同构 中文摘要 量子群理论是代数学中非常重要的研冗内答，它是自上世纪八十年代中期发展起采的 代数分支近二十年以来，其理论被人们广泛地讨论本硕士论文主要研究当q 不是单位根 时，量子群( 厂( k ) ) 的同构与自同构问题，其中( ( k ) ) 是由e , f ，k ，k - 1 生成的c 一结 合代数，且满足下列关系：艇一= k k = 1 ， 灯= q - f k ， k f = q - ：f k ， 【e ，f 】_ e f - f e = ( k ) 特别地，本文我们仅讨论当邢) = 箐雕z 时，量子群( 雕) ) 的同构与自 同构的完全分类 具体地，在第一部分，我们介绍了量子群( 厂( k ) ) 的研究背景，并阐述了当g 不是 单位根时，量子群( s ，( 2 ) ) 的同构与自同构，并进一步引出杏论文的研究对象：量子群 u = ( 厂( k ) ) 的同构与自同构问题 在第二部分，我们罗列了本文要用到的有关量子群( 厂( k ) ) 的部分结果： ( 厂( k ) ) 具有唯一的耐代数结构( 引理2 2 ) ：利用数学归纳法可得到( 厂( k ) ) 的生成子所满足的一般关系式( 引理2 4 ) ：( 厂( k ) ) 是n o t h e r i a n 整环且具有基 e f 。k 5l i ，j n ，s z ) ( 引理2 5 ) ；z ( ( 厂( k ) ) ) 是( 厂( k ) ) 的子代数，f 4 由c a s i m i r 素生成；( 厂( k ) ) 的任一有限维表示均是半单的( 定理2 3 ) ；( 厂( k ) ) 的所有有限 维单模分类( 引理2 6 ) 在第三部分，我们主要讨论了量子群u = ( 厂( k ) ) 的同构和自同构，主要结论有： 引理3 1 设“是( ( k ) ) 中的乘法可逆元当且仅当存在五c ，肌z 使得“= 2 k ” 扬州大学硕士学位论文 三 定理3 3 设p ，g 是域c 上的两个；# 零元，并且p l ，q 1 则量子群( ( k ) ) 和量 t - 群u ，( 厂( 尼) ) 作为c 一代数同构当且仅当p = g 1 定理4 1 设g c 。，q 不是c 中的单位根，则彳“f c ( ( ( k ) ) ) 当且仅当存在 r z ，旯c ，使得具有以下形式： ( i ) ( k ) = 口k ，矽( e ) = 口”2 e k 7 ，( ，) = 允- 1 k f 或 ( 2 ) ( k ) = 口k ，( e ) = 口”3 , k 7 f ，( f ) = 旯一e k 一 其中口是2 m 次单位根 关键词：量子群：同构：自同构；中心；单模 沙凯平：量子群( 厂( k ) ) 的同构与自同构 a b s t r a c t 3 一 q u a n t u mg r o u pt h e o r y1 sav e r yi m p o r t a n tr e s e a r c hc o n t e n t ，i ti sb e i n gd e v e l o p e dm t h e m i d - e i g h t i e so fl a s tc e n t u r yav e r yi m p o r t a n tb r a n c ho fa l g e b r a s i n c et h el a s tt w od e c a d e s ，i t s t h e o r i e sh a v eb e e nw i d e l yd i s c u s s e d t h ea i mo ft h i st h e s i si st os t u d yt h ei s o m o r p h i s ma n d a u t o m o r p h i s mo fq u a n t u mg r o u p ( ( k ) ) p r o b l e mw h e nqi s n o tr o o to fu n i t ，w h e r e ( 厂( k ) ) i sg e n e r a t e db yt h ef o u rv a r i a b l e se ，f ，k ，k w i t ht h er e l a t i o n s ： k k = k k = 1 ， k f = q - 2 f k ， k f = q - 2 f k ， 【e ，f = e f - f e = f ( k ) z np a n i c m 甄w eo n l yd i s c u s s 恤c a s e 砒e n 厂( k ) = 写三 ，聊z ，也eq u 趾t 呦掣。叩 u q ( f ( k ) ) i s o m o r p h i s ma n da u t o m o r p h i s m o ft h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o n e x p l i c i t l y , i nt h ef i r s tp a r t ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n do fq u a n t u mg r o u p ( 厂( k ) ) ，a n de x p l a i n et h a tw h e nqi s n o tr o o to fu n i t ，t h eq u a n t u mg r o u p u q ( s l ( 2 ) ) i s o m o r p h i s ma n ds e l f - i s o m o r p h i s m ，a n df u r t h e rl e a dt ot h eo b j e c to fs t u d yi nt h i sp a p e r ：q u a n t u m g r o u p ( 厂( k ) ) i s o m o r p h i s m a n da n da u t o m o r p h i s mp r o b l e m i nt h es e c o n dp a r t , w el i s ts o m eo ft h em a i nr e s u l t so fq u a n t u mg r o u p s ( ( k ) ) ： u q ( f ( k ) ) a d m i t sah o p fa l g e b r as t r u c t u r e ( 1 e m m a2 2 ) ；w eg e t t h ee q u a l i t i e st h a tt h e g e n e r a t o r s o fu q ( f ( k ) ) s a t i s f yb yi n d u c t i o n ( 1 e m m a2 4 ) ；u q ( f ( k ) ) i sa n o t h e r i a n d o m a i n w i t ha b a s i s e 。f 7 k 5l i ，n ，s z ) ( 1 e m m a 2 5 ) ；t h ec e n t e rz ( ( 厂( k ) ) ) g e n e r a t e db y a n a l 。g 。f t h ec a s i m i ，- e l e m e n t0i sas u b a l g e b r a 。fu ( 厂( k ) ) ，z ( ( 厂( k ) ) ) 扬州大学硕士学位论文 4 一 = c 巴。 ；e a c h f r u i t e d i m e n s i o n a l u ( 厂( k ) ) m o d u l e i s s e m i s i m p l e ( t h e 。r e m2 3 ) ；a l l f i n i t e d i m e n s i o n a ls i m p l e m o d u l ec l a s s i f i c a t i o n ( t h e o r e m2 6 ) ；a n ds oo n i nt h et h i r dp a r t , w em a i n l yd i s c u s st h ei s o m o r p h i s ma n da u t o m o r p h i s mo fq u a n t u m g r o u pu = ( 厂( k ) ) ，t h em a i nc o n c l u s i o n sa r e ： l e m m a3 1a ne l e m e n t 甜( 厂( k ) ) i sm u l t i p l i c a t i v ei n v e r t i a b l ei fa n do n l yi ft h e r e e x i s t 2 c ，m gs u c h m a tu = 2 k ” t h e o r e m3 3 s u p p o s eg c i sn o tar o o to f u n i t yi naf i e l dc ，t h e nu ( ( k ) ) a n d ( 厂( 尼) ) a r ei s o m o r p h i s ma sc - a l g e b r a si f a n do n l yi fp = + g 划 t h e o r e m4 1 s u p p o s eq c 。i s n o tar o o to fu n i t yi naf i e l dc ，t h e n 彳甜f c ( ( 厂( k ) ) ) i f a n do n l yi f ( 1 ) ( k ) = 口k ，( e ) = 口”f 2 e k 7 ，( f ) = 口五- 1 k f 0 r ( 2 ) ( k ) = 口k 一，( e ) = 口”叫2 k 7 f ，( f ) = 口五1 e k 一 w h e r e ai s a2 m - t hr o o t o f u n i t y , ，- g ，元c + k e y w o r d s ：q u a n t u mg r o u p s ；i s o m o r p h i s m ；a u t o m o r p h i s m ；c e n t e r ；s i m p l em o d u l e 扬州大学硕士学位论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果。对本 文的研究做出贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名： 涵浙 签字日期：加l 口年多月力。日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授权扬州大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 学位论文作者签名：式嘭一彳 签字日期：沙l 口年f 月加日 新签冀啪叭导师签名：j 7 。 v 签字日期：飙奄年y 月沪日 沙凯平：量子群u ( 厂( k ) ) 的同构与自同构 一引言 量子群是近代代数研冗的一个重要分支，它所研冗的对象吸引了很多数学冢和物 理学家的注意( 详见文献 1 、 2 、 3 ) 5 ，( 2 ) 是有限维单李代数，它的量子化包 络代数( s ，( 2 ) ) 是研究一般量子化包络代数的基本内容早在1 9 8 3 年的时候， k u l is h 和r e s h e t i k h i n 两人就引进了( s l ( 2 ) ) 的代数结构 4 随后，在1 9 8 5 年，s k l y a n i n 5 给i l 了其蚴代数结构k a s s e l 在文献 6 中详细介绍了( s ，( 2 ) ) 的 相关知识d r i n f e l d 7 、j i m b o 8 分别独立将这种结构推广到任意有限维李代数g 的 量子化包络代数( g ) 之后，j o s e p h ( 详见文献：9 、 1 0 ) 等从环论角度研究了( g ) 的结构，l u s z t i g 1 1 、r o s s o 1 2 5 r 1a n d e r s o n 1 3 等研究了( g ) 的表示理论 从前人的研究中，我们看出( s ，( 2 ) ) 在研究半单李代数g 的量子化包络代数中发 挥着举足轻重的作用因此我们若想了解u ( g ) 的其它量子变形的相关知识，就必须先 清楚( s z ( 2 ) ) 的量子变形的一些性质 最近，s m i t h 等学者引进了“( 2 ) 的新的量子变形u = ( 厂( k ) ) ( 其中 厂( k ) = 口( k 肼一k - 册) ，口o ，m en ) 并研究了相关理论2 0 0 0 年王顶国教授 1 4 研究了 量子群( 厂( k ) ) 的财代数结构和它的有限维表示，随后在此基础上又得到了量子 群( 厂( k ，) ) ( 其中厂( k ，日) c k ，日，g - 1 日一1 ) 的有限维表示在 2 中r o s e n b e r g 等研究了( ( k ) ) 作为卸p 而d 阮代数的一些特性和普理论的相关概念，2 0 0 6 年x i n t a n g 1 6 在 2 的基础上又对q ( 厂( k ) ) 进行了深入研究，得到了如何构造所有不可约 权表示和如何构造量子群( 厂( k ) ) 中心z ( ( ( k ) ) ) 上的w h i t t a k e r 模通过 w h i t t a k e ，模得到( 厂( k ) ) 上的臃泐屁，表示的相关性质，并发现( 厂( k ) ) 的很多 性质都与( s l ( 2 ) ) 类似 扬州大学硕士学位论文 2 0 0 9 年李立斌教授和于解台教授得到了当g 不是单位根时，量子包络代数 ( s ，( 2 ) ) 的同构与自同构的完全分类本文就是在他们已有的工作前提下，充分利用 单李代数s ，( 2 ) 的新的量子变形u = ( 厂( k ) ) 有限维表示理论和它的环论性质，得到 了当g 不是单位根时，量子化包络代数( 厂( k ) ) 的同构与自同构的完全分类 6 一 沙凯平：量子群( 厂( k ) ) 的同构与自同构 二 基础知识 7 一 在本文中，我们恒假设g 不是单位根，肌是一固定的自然数，口是2 小次单位根，c 为 复数域，n 为自然数集，z 为整数集 对于任意非负整数n ，我们定义： 【刀】= 筹叫- l + 广g 3 玎槲， = m 印一lj 【2 】 1 】， ，z 】脚= 筹， 【门】所! = 【刀】。【刀一1 】。【2 】m 【1 】肼， 并且规定【o l = 1 设( k ) c k ，k 一1 ，下面简单给出量子群( 厂( k ) ) 的定义及其黝代数结构，具 体的内容可以参见文献【1 4 】、【1 5 】 定义2 1 对任意的l a u r e n t 多项式厂( k ) ，量子群( 厂( k ) ) 是由e ，f ，k ，k _ 生成的 c 一代数，且满足下列关系式： k k 一= k k = 1 ， k e = q 2 e k ， k f = g 。2 f k ， e ，f 】- 砑一阿= 厂( k ) ( 厂( k ) ) 是一个分次代数，其中d e g e = 1 ，d e g f = - 1 ，d e g k = 0 揣 揣 扬州大学硕士学位论文 3 一 本文中我们仅讨论当( k ) = 气三号；时，量子群u ( ( k ) ) 的同构，自同构等相关 性质 引理2 2 设厂( k ) = 三写 是一个非零的l a u r e n t 多项式则量子群 u = ( 厂( k ) ) 具有唯一的耐代数结构，且锄代数结构由如下形式确定： ( k ) = k 圆k ， ( e ) = i o e + e p k ”， a ( f ) = k ”o f + f o l ， 余单位p 满足 占( e ) = 占( ，) = 0 ， s ( k ) = g ( k ) - - 1 ， 反极元s 满足 s ( e ) = 一胀一， s ( f ) = - k ”f ， j ( k ) = k 定理2 3 u q ( f ( k ) ) 的任一有限维表示均是半单的 记川+ 龋是啪( 剐泐藤蚁 1 4 m z ( ( 厂( k ) ) ) = c 直接利用数学归纳法可以证明下述引理： 弓f 理2 4v l n ，门z ，我f i 、 有 e 7 k ”= q - 2 n t k ”e 。，f 7 k ”= 9 2 “k ”f i ， e f t = f t e + ，mf t - 1 芷字 e 。f = 砸7 + e 卜 lg ( f 1 加k m q - ( 7 1 扣k 一肼 g q 一1 沙凯平：量子群( 厂( k ) ) 的同构与自同构 一9 注意到u q ( f ( k ) ) 是可由c i k ，k 1 经过两次d 厂p 扩张得到，所以我们有如下关于 q ( 厂( k ) ) 的环论性质： 命题2 5 ( ( k ) )v o p t h p ，f 册整环且具有基 f 7 k l i 、歹n ，s z 命题2 6 ( ( k ) ) 的所有有限维单模为： y ( 刀，口) k = o ，i ，2 ，且口是2 研次单位根 ，其中y ( 聍，口) 有一组基，v l ，且( 厂( k ) ) 的 作用为： k v = 口g ”玉v ，( o s f 刀) ， e u = 口” 刀一i + q 。【朋】v 一。( 1 f 刀) ，三- v o = o ， 凡= 【f + l 】。k + 。( o - s , 矢i i ， ，s 先于 ，i ，s l 令1 ，是“的可逆元，e m p 是“的首项，e 帕h m i f 伪是1 ，的首项易得：u v 的首 项形式为e 肌+ 肼i h f 斛伪，其中办d k ，k 1 一 o ) ， 从而有：m = 力= 0 = ，2 l = 铂， 这说明：u c k ，k 。1 因此，甜= 2 k ”，其中旯是域c 中的非零元 引理3 2 设c 【x 】是域c 上的未定元为x 的一元多项式代数则c 【x 】的任一代数自同 构厂由( x ) = a x + b 唯一确定，其中o a e c ，b e c 证明：设：c x l - , c x 】的逆映射为g ，则店( x ) = x 又因为厂( x ) ，g ( x ) 都是关于石的多项式， 所以l = d e g ( 厂( x ) ) d e g ( g ( x ) ) ， 沙凯平：量子群( 厂( k ) ) 的同构与自同构 一1 1 从而d e g ( 厂 ) ) = d e g 【g ( x ) ) = 1 进而命题得证 定理3 3 设p ，g 是域c 上的两个非零元，并且p 1 ，g 1 ，厂( x ) c 墨x 一1 则量子群 u ( ( k ) ) 和量子群( 厂( 七) ) 作为c 一代数同构的充分必要条件是：p = g 1 证明：设口，f ，k ，k 。1 是( 厂( 忌) ) 的标准生成元 先证明充分性： 情形ip = g 时 设矽：( ( k ) ) 专( 厂( 尼) ) ， e i - - e ， fh 。 k i - - - - ) k ， k 一1i - - - - ) k 首先说明能诱导出( ( k ) ) 到( 厂( 七) ) 的c 一代数满同态 在此，我们仅需要验证保持( 厂( k ) ) 中的关系式即可 ( 肛) = 矽( k ) 矽( e ) = 屁= p 2 e k ， 矽( 9 2 e k ) = q 2 矽( e ) 矽( k ) = p 2 e k ， j ( 碰) = 矽( 9 2 ) 矽( f ) = ( k ) 矽( f ) = 矿= p 。2 弦， ( g 也戤) = g 之( f ) ( k ) = p 也弦， j ( 腰) = ( g 之f x ) ( e f f e ) = 矽( e ) ( f ) 一( f ) ( e ) ：矿一r e ：m - - _ k - - r 埘， p p 扬州大学硕士学位论文 缈( 纠= ( 箐) - 掣 k ”一k 一肼 。= 广， p p j 矽( 砑一砸) = ( 厂( k ) ) 因此，是( ( k ) ) 到u p ( 厂( 七) ) 的c 一代数满同态 其次取：( 厂( 尼) ) 一( 厂( k ) ) ， 口i - - - - ) e ， lhf 。 后i - - - - ) k ， k 一1hk 一 则有以下关系成立： 沙( p ) = p ， 矽( 厂) = 厂， 少( 七) = 七， y ( 后_ 1 ) = 七一， 泖( e ) = e ， 泖( f ) = f ， 卿( k ) = k ， 泖( k 一) = k 从而得：矽= ( m ) ) ，泖2 ( ，( r ) ) 所以，i 是互逆映射 综上可知：是( 厂( k ) ) 到( 厂( 尼) ) 的c 一代数同构 情形p = g - 1 时 设：( ( k ) ) 哼( 厂( 尼) ) ， e i - - - - ) e ， fh l ， k i - - - - ) k ， k i - - - ) k 1 2 沙凯平：量子群( 厂( k ) ) 的同构与自同构 首先说明妒能诱导出( 厂( k ) ) 到u p ( 厂( 后) ) 的c 一代数满同态 在此，我们仅需要验证痧保持( ( k ) ) 中的关系式即可 ( 腰) = 矽( k ) ( e ) = 七_ p = p 2 e k ， 矽( 9 2 e k ) = q 2 ( e ) 矽( k ) = p 一2 e k ， j 矽( 您) = 妒( 9 2 e k ) 矽( 灯) = 矽( k ) 矽( f ) = j i 。f = p 2 弦一， ( g 之f k ) = g 2 ( f ) ( k ) = p 2 以， 专( 灯) = 矽( g f x ) ( e f f e ) = ( e ) 矽( f ) 一( f ) 伊( e ) - - e ：- ：e 七卅一k “ = - - - - - - - - - 一 p p 一1 彤( 剐= ( 箐) = 警 k 一”一k ”k 新一k m = 一= 一 p 一p p p 一1 j 9 k ( e f 一髓) = 矽( ( 足) ) 因此，是( 厂( k ) ) 到( ( 七) ) 的c 一代数满同态 其次取：( 厂( 尼) ) j ( 厂( k ) ) ， pf - - ) e ， 忖f 。 七hk ， k i - - ) k 则有以下关系成立： j f ，( p ) = p ， 矽( 厂) = ， 痧少( 七) = k ， ( 尼。1 ) = 一 泖( e ) = e ， 泖( f ) = f ， 泖( k ) = k ， 泖( k 一) - - k 1 3 扬州大学硕士学位论文 则y5 ，( m ) ) ，泖2 魄( 小) ) 所以，矽，y 是互逆映射 综上可知：矽是u ( 厂( k ) ) 到( 厂( 七) ) 的c 一代数同构 情形i i ip = - q 时 设：( 厂( k ) ) 一( 厂( j i ) ) ， e i - - 0e ， fh k h c t k ， k - 1i - - - ) 口- 1 k ( 其中口是2 m 次本原单位根，从而口”= 一1 ) 首先说明能诱导出( 厂( k ) ) 到( 厂( 七) ) 的c 一代数满同态 在此，我们仅需要验证保持( 厂( k ) ) 中的关系式即可 矽( k e ) = ( k ) ( e ) = 口娩= 口p 2 e k ， ( 9 2 e k ) = q 2 ( e ) ( k ) = 口p 2 e k ， j ( 昭) = ( 9 2 e k ) f k ( k f ) = f k ( k ) f k ( f ) = c t k f = a p 以以， 妒( q 一2 f k ) = q 。2 妒( f ) ( k ) = 口p 。2 弦， j 矽( 腰) = 矽( g f k ) ( e f 一，e ) = 矽( e ) ( f ) 一( f ) 矽( e ) = 矿一乃 k ”一k 一所 一万 忡炉妒( 箐) - 掣 一 乡) _ 一( 哆厂 一p + p 一1 口”k ”一口一”七一胛 = = - - - - - - - - - - - - - 一 - p + p 一 沙凯平：量子群q ( 厂( k ) ) 的同构与自同构 - k 搬+ k 一”k 脚一k 一。 2 j 鬲p 丁2 万p 一p 七p 一 f k ( e f - f e ) = f k ( f ( k ) ) 因此，驴是( 厂( k ) ) 到( 厂( 尼) ) 的c 一代数满同态 其次取y ：( 厂( 七) ) j ( 厂( k ) ) ， ehe ， lhf 。 七i - - - ) 口一k ， k 1hc t k ( 其中口是2 m 次本原单位根，从而口删= 一1 ) 则有以下关系成立： 妒( p ) - - 口， 痧沙( 厂) = 厂， 矽y ( 七) = 后， 矿( ) = 一 泖( e ) = e ， 泖( f ) = f ， 泖( k ) = k ， 泖( k 。) = 足 则炉i a 舯) ) ，泖5 魄r ) ) 所以，沙是互逆映射 综上可知：是( ( k ) ) 到( ( 后) ) 的c 一代数同构 情形p = 一日1 时 设痧：( 厂( k ) ) _ ( ( 忌) ) ， e i - - ) p ， fh f ， k i - - - ) a j i 一， 尺qi - - ) 口1 厄 ( 其中口是2 m 次本原单位根，从而口册= 一1 ) 扬州大学硕士学位论文 首先说明能诱导出( ( k ) ) 到( ( 七) ) 的c 一代数满同态 在此，我们仅需要验证保持( 厂( k ) ) 中的关系式即可 ( k e ) = ( k ) ( e ) = 口七1 e = a p - 2 e k ， ( 9 2 e k ) = q 2 矽( e ) ( k ) = 口p 之e k ， j ( 碰) = ( 9 2 e k ) 事k ( k f ) = q k ( k ) q k ( f ) = a t k 一1 = 口p 2 乃一， 矽( g 之麟) = g 。2 ( k ( f ) q k ( k ) = a p 2 弦， j ( 腰) = ( g 之f x ) 口k ( e f f e ) = ( e ) ( ，) 一矽( f ) 矽( e ) = e f 一乃 尼拼一k 埘 2 = 广， p p 缈c 剐= 攻箐) - 筝 ：竺生竺：- k - + k 一p 一1 + pp 一1 + p k ”一k 一肘 2 丁， p p j ( 职一砸) = ( ( k ) ) 因此，是( ( k ) ) 到( 厂( 后) ) 的c 一代数满同态 其次取y ：( 厂( 后) ) 专( 厂( k ) ) ， gh e ， jhf 1 k h a k ， k _ 1i - - - ) 口一k ( 其中口是2 m 次本原单位根，从而口所= 一1 ) 则有以下关系成立： c g t ( e ) = e ， 矽y ( 厂) = 厂， 泖( e ) = e ， 泖( f ) = f ， 沙锣【平：量子群( 厂( k ) ) 的同构与自同构 少( 七) = 七，泖( k ) = k ， 矽少( 后1 ) = 后，泖( k 1 ) = k 一 则沙= ( 巾) ) ，泖2 魄( 肛) ) 所以， c ，是互逆映射 综上可知：矽是( 厂( k ) ) 到( 厂( 七) ) 的c 一代数同构 再证必要性： 设p ，f ，后是( 厂( 尼) ) 的标准生成子 令：( 厂( k ) ) 专u p ( 厂( 七) ) 是c 一代数同构 因为k e k = q 2 e ， 我们有：( x e k 一1 ) = 矽( k ) ( e ) 矽( k 一) = 9 2 矽( e ) 注意到( ( 尼) ) 有一个z 分次代数结构 并且i r e = p 2 e k ，矿= p 。2 乃 由引理3 1 ，我们可知： 存在6 z ，五c ，使得( k ) = 五k 6 ，使( e ) 是齐次元 从而存在2 c z ，使( k ) ( e ) ( k 。) = p 2 。( e ) 故q 2 = p 知 又由于矽是代数同构，对称地，可知：p 2 = g 纠， 从而有：9 2 = q 捌， 进而有：c d = 1 ， 于航髓= j 当c = 1 时，p 2 = 9 2 ，于是p = g 当c = 一1 时，p 2 = g - 2 ，于是p = 均 1 7 扬州大学硕士学位论文 四 量子群u ( 厂( k ) ) 的自同构 定理4 1 设g c ，g 不是c 中的单位根，则么“，c ( ( 厂( k ) ) ) 当且仅当存在 ，z ，五c ，使得具有以下形式： ( 1 ) f k ( k ) = a k ，( e ) = 口”2 e k ，( ，) = 五一k f 或 ( 2 ) 矽( k ) = a k 一，矽( e ) = 口肼允k 7 f ，( f ) = 2 - 1 e k 其中口是2 m 次单位根 证明：先证明充分性( 1 ) ，( 2 ) 的证明与( 1 ) 相似 首先说明能诱导出( 厂( k ) ) 到u ( ( k ) ) 的c 一代数满同态 在此，我们仅需要验证矽保持( 厂( k ) ) 中的关系式即可 ( 麒。1 - 1 ) = o ( k ) o ( k 一- 1 = o t k a 。1 k 一- 1 = 0 矽( k k 一1 ) = ( k 。1 ) ( k ) 一l = a 。1 k a k 一1 - - 0 ( x e - q 2 e k ) = f k ( k ) f k ( e ) 一q 2 0 ( e ) q k ( k ) = a k a 卅a e k 7 一q 2 a 2 e k 7 a k = 口”+ 1 2 k e k 7 一9 2 口m + 1 3 , e k 7 + 1 = 9 2 口”+ 1 a , e k 7 一q ：c t 肘+ 1 2 e k h l = 0 q k ( k f - q 。2 f k ) = 矽( k ) q k ( f ) - q 之( f ) ( k ) = a k 2 1 k f g 以免一1 k 一f a k = c t 2 1 k 1 f 一日。2 旯一1 a k 一7 f k = a 现一1 k 1 7 f 一觚一1 k 1 7 f = 0 沙凯平：量子群( 厂( k ) ) 的同构与自同构 矽( f 一甩一( k ) ) = ( e ) 矽( f ) 一矽( f ) 矽( e ) 一夕( 厂( k ) ) = 口”2 e k 允一k ”f - 2 卅k ”f o r ”, 3 , e k 7 一厂( 矽( k ) ) = 口”职一矿k ”f e k 7 - s ( c k ) ) = 口”职一口”f e - f ( f k ( k ) ) = 口”f ( k ) - f ( c z k ) = 0 因此，是( ( k ) ) 到( ( k ) ) 的c 一代数满同态 其次定义矿_ ：q ( 厂( k ) ) 专( 厂( k ) ) ， k h 口k ， 则有以下关系成立： eh 口7 一”五一1 e k ， fho c r ；l k rf e ) = e ， f ) = f ， k ) = k ， 矽- 1 ( e ) = e ， f k - i f k ( f ) = e 矽一矽( k ) = k ， k 。1 ) = k ，矽一痧( k 一) = k 则= 魄( 删，泖= 魄( 肛” 所以，。1 是互逆映射 综上可知：是( 厂( k ) ) 至t ju q ( f ( k ) ) 的c 一自代数同构 我们下面证明必要性( 1 ) ，( 2 ) 的证明与( 1 ) 相似 若矽彳甜乞( ( ( k ) ) ) ，根据引理知： 存在，z ，使得矽( k ) = 2 k 不妨设 ，b ，心) 是y ( 疗，1 ) 的一组标准基 一 一 一 一 - p五p永p o p缈彤缈缈 扬州大学硕士学位论文 丝 在自同构的提升下，通过：x m = ( x ) _ ， ( 刀+ 1 ) 维的单( ( k ) ) 模y ( 刀，1 ) 变成( 刀+ 1 ) 维的单( 厂( k ) ) 模y ( 刀，口) ，其中 口是2 m 次单位根 取n = 0 ，我们有旯= 口 x k 哆= 幻( 棚) r 哆， 由此知：k 作用在模v ( n ，口) 上可对角化，且组成的特征值集合为 五g 州，力g n 一2 p ，见g 一州) ， 另一方面k 作用在y ( ，z ，口) 上特征值集合为： 口g ”，口g ”2 ，口g ”) ， 这样就迫使：，= l ，其中口是2 m 次单位根 故：矽( 世) = 口= a k 蚶 接下来，我们将证明f = 1 时的情形 ( t = 一1 时的情形证明于此相类似) 当f = 1 时，首先我们有( k ) = 口k ， k p o = 口矿1 i d ， ； k m = a q ”一2 m ， k ( e v i ) = q 2 e k v j = 9 2 e ( - c x q 川u ) = 口g n - 2 i + 2 e 由此可知：如是属于特征值为口g ”2 “2 的一个特征向量 又k 匕一l = e t q 柚( h ) l = a q n - 2 i + 2 v i - l ， 由此可知：v 一。也是属于特征值为口g ”2 件2 的一个特征向量 沙凯平：量子群( 厂( k ) ) 的同构与自同构 所以，存在名，使得如= 五e ， 类似地，存在毋，使得凡= 包y j 小( 2 ) 由于v ( n ，口) 是( ( k ) ) 的单模， 有气= 幺= o ， 名o ，v 0 o 0 ，并且f i o , v f 再根据以上三个公式( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 得： 2 l _ 一 扬州大学硕士学位论文 0 五- i o + i 屹一h 产生矛盾 因而：i = 0 = e 屹一- + l = 声( ) k 州 = 萋陋+ 1 红) ( n 嗍+ 。) j 卸。 一 = 陋+ 1 囊) o ，o - 一 = 0 即矽( e ) = 鼢，其中| i z c k ，k 一 - o 类似地可得：( f ) = 扩，其中g c k ，k 一 一 o ) 事实上，因为： 矽( k ) = a k ， k | v o = a q ”v o ，盔沁= a q ”之b ( o f 捍) ， e v o = 0 ，如= 口”【n - i + 1 。【聊】u 一。( o f 甩) ， 凡= 【f + l 】。( o i 甩) ，心= o 由以上关系式可得到：如= 五h 小丑c ， ，q = 岛m + 。，谚c ，( 5 ) 由于y ( 刀，口) 是( 厂( k ) ) 的单模， 有气= b = 0 ， 以o ，v 0 i 2 2 沙凯平：量子群( ( k ) ) 的同构与自同构 q o ，v 0 _ o 我们就可以选择一个正整数毛，使得：刀乇 0 ，并且f 乇，v i 再根据以上三个公式( 4 ) ，( 5 ) ，( 6 ) 得： 0 最一毛屹一毛+ l = f 屹一岛 = 矽( f ) 屹一 = 萋陋岛) ( m 。) ，0 一 一 = ( e 。岛) o i20。 = 0 产生矛盾 因而：i = 0 即( f ) = ，其中g c x ，k 一 一 0 扬州大学硕士学位论文 因为( o ) = 口+ b ， 删p 简 _ 锄+ 口罱+ 6 刮砷( 简 训啪+ 掣瑞筹 一+ 簪输 q 2 m o t ”k 脚+ 口肼k 一肘 ( q 2 , n - 1 ) ( q - q q ) = 棚简 = a f e + 口i 龋+ 6 进而a = 口肼，b = 0 ，g h = 口册 故知：g = t t t 朋2 k 7 ，h = 五1 k 故( k ) = 口k ，矽( e ) = 口珊2 e k 7 ， ( f ) = 兄- 1 k f ，其中五c ，z 沙凯平：量子群( 厂( k ) ) 的同构与自同构 参考文献 【1 】k f u j i k a w a , h k u b o a ne x t e n d e dq - d e f o r m e d ，a l g e b r aa n dt h eb l o c he l e c t r o np r o b l e m 川p h y s l e t t a ，1 9 9 8 ，2 3 9 ：2 1 - 2 6 2 】2 a r o s e n b e r g n o n c o m m u t a t i v ea l g e b r a i cg e o m e t r ya n dr e p r e s e n t a t i o n so fq u a n t i z e d a l g e b r a s 【j 】k l u w e ra c a d e m i c d o r d r e c h t ，1 9 9 5 【3 】l l eb r u y n c o n f o r m a ls l ( 2 ) e n v e l o p i n ga l g e b r a s 【j 】c o m m a l g e b r a 1 9 9 5 ，2 3 ：13 2 5 1 3 6 2 【4 】p p k u l i s h ，n yr e s h e t i k h i n q u a n t u ml i n e rp r o b l e m f o r t h es i n e g o r d o ne q u a t i o na n d h i g h t e rr e p r e s e n t a t i o n j 】j s o v i e t m a t h 1 9 8 3 ，2 3 ，2 4 3 5 2 4 4 1 5 】e k s k l y a n i n o na l la l g e b r ag e n e r a t e db yq u a d r a t i cr e l a t i o n u s p e k h i m a t n a u k 1 9 8 5 ， 4 0 ，2 1 4 【6 】6 c k a s s e l q u a n t u mg r o u p s ，g r a d u a t et e x t si nm a t h e m a t i c s 【m 】s p r i n g e r - v e r l a g ，19 9 5 ， v 0 1 1 5 5 【7 】vg d r i n f e l d h o p fa l g e b r a sa n dq u a n t m ny a n g 。b a x t e re q u a t i o n l e t t m a t h p h y s 19 8 5 ， 3 2 ，2 5 4 - 2 5 8 【8 】8 m j i m b o aq - d i f