（计算数学专业论文）紧支撑线性相位正交4进小波基.pdf

摘要 本文主要研究了垂进紧支撑线性相位正交小波基的一般构造法 首先介绍了小波分析理论及应用发展历程，概述了2 - 进正交小波基 本理论，总结了多进正交小波基本概念及其性质，提出了m 进正交小 波变换最小矩阵的概念 本文的重点集中在紧支线性相位垂进正交小波上，较系统总结 了现有的理论成果然后研究了两类一般的紧支线性相位4 - 进正交 小波，给出了滤波器的结构，就长度为4 、8 、1 2 、1 6 和2 0 给出了具体 实例，并绘制了相应的图像研究表明，本文的垂进正交小波包含了 目前的“优美小波”，在相同长度下，消失矩提高了两阶，因而具有更 优越的性能 关键词：多进小波，垂进小波，线性相位，消失矩，最小矩阵 a b s t r a c t t h eg e n e r a lc o n s t r u c t i o no fc o m p a c t l ys u p p o r t e d4 - b a n ko r t h o n o r m a l w a v e l e t sw i t h1 i n e a rp h a s ea r em a i n l ys t u d i e di nt h i st h e s i s i nt h eb e g i n - n i n g ，w a v e l e ta n a l y s i st h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o nh i s t o r ya r ei n t r o d u c e d t h e 2 一b a n ko r t h o n o r m a lw a v e l e t st h e o r yi ss k e t c h e d ，t h eb a s i cc o n c e p to fm u l t i b a n ko r t h o n o r m a lw a v e l e t sa n dt h e i rn a t u r ea r es u m m a r i z e d ，a n dt h ec o n c e p t o ft h em i n i m u mm a t r i xo fm u l t i - b a n dw a v e l e t st r a n s f o r i l l si sp u tf o r w a r d t h ep a p e rf o c u s e so nt h ec o m p a c t l ys u p p o r t e d4 - b a n ko r t h o n o r m a lw a v e l e t s 、i t hl i n e a rp h a s e t h ee x i s t i n gt h e o r e t i c a la c h i e v e m e n t sa r es u m m a r i z e ds y s t e m - a t i c a l l y t h e na n o t h e rt w og e n e r a lk i n d so fs u c hw a v e l e t sa r es t u d i e d ，w i t h t h es t r u c t u r eo ff i l t e r sg i v e na n dt h ei m a g e sd e p i c t e dc o r r e s p o n d i n g l yb a s e do n t h es p e c i f i ce x a m p l e sw i t ht h el e n g t ho f4 ，8 ，1 2 ，1 6 ，2 0 t h er e s e a r c hs h o w s t h a tt h eo r t h o n o r m a lw a v e l e t ss t u d i e di nt h i st h e s i si n c l u d ec u r r e n t ”g r a c e f u l w a v e l e t g ，a n dt h ev a n i s h i n gm o m e n ti n c r e a s eb yt w oo r d e r sw i t ht h es a m e f i l t e rl e n g t h ，t h u st h e yh a v es u p e r i o rf u n c t i o n s k e yw o r d s ：m u l t i - b a n kw a v e l e t s ；f o u r b a n kw a v e l e t s ；l i n e a rp h a s e ；v a n i s h i n g m o m e n t ；m i n i m a lm a t r i x i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：饰觚 硼d 年，月浩 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密彤 ( 请在以上相应方框内打 ”) 作者签名： 导师签名： 6 7 年月 日 年月日 紧支撑线性相位正交4 进小波基 1 1 小波理论与应用发展简史 1 绪论 小波分析( w a v e l e t sa n a l y s i s ) 作为一门新型的数学分支，系统的 研究开始于2 0 世纪8 0 年代初期，它一开始就在理论和工程领域引 起了广泛关注，经过二十多年的发展，小波分析已具有丰富的理论 成果和广泛的工程应用是数学家、物理学家及信息工程专家集体 智慧的结晶法国地质工程师j m o r l e t 卜2 】、数学家y m e y e r i a 、物 理学家a g r o s s m a n 2 l ，信号处理专家s m a l l a t 4 - 5 】以及比利时数学家 i d a u b e c h i e s 6 - 1 1 等在小波理论的形成、发展及其在工程中的应用方 面做出了决定性的贡献小波分析是一种信号的时间频率分析方 法，具有良好的局部化性质，能在时域与频域上表征信号的局部特征 同时，小波还具有多分辨分析的功能，能够对信号在不同分辨率下进 行分解，因而小波变换享有“数学显微镜”的美誉 小波分析的最早提出，可以追溯到1 9 1 0 年h a i r 提出的h a a r 小波 规范正交基1 9 3 8 年l i t t l e w o o d p a l e y 对傅里叶级数建立了二进制 频率分量分组理论( 【厂p 理论) ，即二进制频率成分分组傅里叶变换的 相位变化本质上不影响函数的形状和大少，这是多尺度分析思想的 最早起源1 9 4 4 年，诺贝尔奖获得者g a b o r 提出了“加窗傅里叶变换 方法，它虽在一定程度上弥补了傅里叶变换的不足，但并没有彻底解 决这个问题1 9 7 4 年，c o i f m a n 对一维h p 空间给出了原子分解理论1 9 7 5 年，c a l d e s o n 用他早期的再生公式给出抛物型日1 的原子分解，这一公 式现在已成为了许多函数分解的出发点，它的离散形式已接近于小 波展开1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 通过对h a a r 正交基的改进，引入s o b o l e v 空 间日s 的正交基，这些工作奠定了小波分析的理论基础 1 9 8 1 年，法国地质物理学家j m o r l e t 在分析石油勘探中的地震信 号时，首次提出了“小波”概念，并建立了以他名字命名的m o r l e t 小波 此后，他与法国理论物理学家a g r o s s m a n 共同研究小波理论，提出了 伸缩和平移的概念尔后y m e y e r 对j m o r l e t 的方法进行了深入系统 的研究，于1 9 8 5 年证明了一维小波基的存在性，并创造性地构造出具 硕士学位论文 有一定衰减性的光滑的正交小波基，其二进伸缩和平移构成函数空间 l 2 ( r ) 的一个标准正交基，使小波分析理论取得了突破性的进展1 9 8 6 年，计算机视觉与图像分析的研究者s m a l l a t 和y m e y e r 提出了多分 辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m r a ) 的理论框架，为小波基的构造提 供了一般途径1 9 8 8 年，比利时女数学家i d a u b e c h i e s 第一次系统地构 造出具有紧支撑的光滑正交小波基一一d a u b e c h i e s 基1 9 8 9 年，s m a l l a t 建立了与经典快速傅里叶变换( f f t ) 相应的快速小波变换算法一一 m a l l a t 算法，由此实现了小波分析从数学到技术的转变，奠定了小波 分析作为快速计算工具的地位1 9 9 0 年，c k c h u i 1 2 一i 4 和王建忠基于 样条函数构造出半正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的 尺度函数和小波函数的一般构造方法1 9 9 2 年，c o i f m a n 和w i c k e r h a u s e r 在小波变换的基础上进一步提出了小波包( w a v e l e tp a c k a g e ) 的概念， 并将m a l l a t 算法进一步深化，得到小波包算法同年，c o h e n 、d a u b e c h i e s 和f e a u v e a u 提出了“双正交小波 的概念 1 0 1 1 ，并构造了一系列双 正交小波族，从而推动了小波分析理论和应用研究同年出版的小 波十讲系统论述了正交小波的紧支性、正则性、对称性及时频性， 对小波理论的发展和推广具有积极作用，至此经典小波理论已基本 成熟 目前，小波分析理论已经由一维发展到多维，2 0 世纪9 0 年代初小 波分析方法在应用上取得的巨大成功，促使人们更进一步地探索新 理论，完善了小波分析的理论框架，也提出了一些新的概念，比如多 小波、多进小波、提升算法、离散超小波变换等 1 9 9 4 年，g o o d m a n 1 7 1 等人为了解决d a u b e c h i e s 正交小波基除了h a a r 小波外不具有线性相位的问题，提出了多小波理论，用向量小波代替 标量小波以满足线性相位的要求，并用h e r m i t 样条构造了第一个非样 条多小波一g h m ，随后c h u i l l 2 】等构造出了c l 3 和c l 4 等，这些多小波 能同时具有紧支撑、正交性、对称性等性质由于多小波具有如此优 良的性质，因此吸引了众多学者的研究，例如s t r e l a i s l 、x i a i s - 1 9 】、j i a n g 【2 0 - 2 2 1 、l e b r u n 和v e t t e r l i i s 1 7 1 1 9 9 3 年，基于v e t t e r l i 2 3 和v a i d y a n a t h a n 2 4 1 各自独立提出的多采率 数字信号处理器，广义镜像滤波器组和共轭正交镜像滤波器组的理 论，产生了多进小波概念多进小波发展到现在，其理论和应用成果 2 紧支撑线性相位正交4 进小波基 相对而言还不完善，在该领域的研究中，g h u i 和l i a n 1 3 1 、h a n 2 5 1 、彭立 中【2 6 以7 】、王国秋【2 8 】和黄达人等人做出了突出的贡献其中彭立中 教授在文【2 7 】中给出了一个构造2 n 带优美小波系统的一般方法，并对 四进小波滤波器总结了一个优美小波结构形式( 本文称作“p 换位 型结构) ，王国秋教授【2 8 】首次利用对称低通滤波器系数的自相关正交 性，成功地构造了具有灵活结构( 本文称作“错位”型结构) 的紧支撑 四进小波，随后，王国秋教授的研究生郑果在完成毕业论文时利用对 称低通滤波器系数的自相关正交性，成功地构造了一类新的结构形 式( 本文称作“z 换位”型结构) 正交小波系统 1 9 9 5 年，为了进一步提高小波计算速度、简化小波变换实现难度， s w e l d e n s a o 一3 1 等人系统地提出了用提升方法来构造特殊性质小波，给 出整数可逆的提升框架，使得小波变换更趋实用，s w e l d e n s 提出的小波 称为二代小波在2 0 0 0 年推出的静态图像压缩国际标准一j p e g 2 0 0 0 中，小波变换( d w t ) 已经正式取代了离散余弦变换( d c t ) 成为标准 的变换编码方法，其中的小波变换就是采用提升算法实现的 2 0 0 0 年，王国秋教授【3 z 一删提出了“离散超小波变换”的概念，并 成功地用矩阵方法构造了带有一定自由度的参数小波族，它不但包 括以前的传统小波，而且还可以构造满足一定应用需要的有理型小 波，并成功地用于视频编解码芯片设计，研究出我国第一块自主产权 视频编解码芯片 由于小波变换具有良好的时。频局部化性能，它有效地克服了傅 里叶变换在处理非平稳的复杂图像信息时所存在的局限性，因而广泛 地应用于图像处理领域【3 6 ，3 7 | ，正由于小波变换出色的表现，j p e g 2 0 0 0 作为j p e g 标准的一个更新换代标准，已经完全摒弃了离散余弦变换 ( d c t ) ，采用了离散小波变换( d w t ) 做为其核心技术同时，适合小 波变换的图像压缩编码算法也已成为当前的研究热点之一，在众多 基于小波图像压缩编码算法中，较成熟的有由j m s h a p i r o 等人首先 提出的嵌入式零树编码i 3 8 ( e m b e d e dz e r o t r e ew a v e l e t ，简称e z w ) 、s a i d 与p e a r l m a n 提出的基于分层树集合分割排序的编码算法 3 9 ( s e tp a r - t i t i o n i n gi nh i e r a r c h i c a lt r e e s ，简称s p i h t ) 和由d a v i dt a u b m a n 开发的 最佳截断嵌入码块编码算法 s 9 1 ( e m b e d d e db l o c kc o d i n gw i t ho p t i m i z e d t r u n c a t i o n ，简称e b c o t ) 小波变换在图像压缩方面的优越性能是有 3 硕士学位论文 目共睹的，但小波变换存在计算复杂性高、硬件实现成本高等问题， 所以小波的低复杂度、低成本实现算法的研究将成为广泛关注的课 题 小波变换用于图像压缩只是小波分析应用的一个重要方面，其作 为工具已广泛应用于许多领域，它包括：数学领域的许多学科；信号 分析、影像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能 化；计算机分类与识别；语音的人工合成；医学成像与诊断；地震勘 探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已 用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、 控制论等在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等在影像处 理方面的影像压缩、分类、识别与诊断，去污等在医学成像方面的 减少b 超、c t 、核磁共振成像的时间，提高分辨率等目前，它已是国 际上公认的信号信息获取与处理领域的高新技术，是多学科关注的 热点和信号处理的前沿课题 1 22 - 进小波与多进小波 通常意义下，小波是指标量2 - 进小波到目前为止2 进小波理论 研究已经趋于成熟1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 在文【6 】中给出了构造紧支撑正 交小波的一个有效的方法，带动并促进了小波分析的理论和应用研 究2 进小波里，其结构形式简单，只有一只低通滤波器和一支高通滤 波器，且高低通滤波器之间的关系式唯一确定的，小波设计简单，其 高通滤波器具有高阶消失矩但2 进小波具有先天性的不足：一方 面，除了h a a r 小波外所有的紧支撑2 进正交小波都不具有线性相位； 另一方面，它不适合处理具有相对窄带宽的高频信号；在应用中，对 于一副图像进行分解与重构处理，2 进小波变换需处理的分解与重构 要反复迭代多次，这不仅增加了小波变换结构的复杂度，也对硬件实 现提出了更高的要求为此，c o h e n 和d a u b e c h i e s 将正交性减弱，得到 了双正交小波应用于图像编码的双正交小波不仅具有线性相位，而 且还具有高阶消失矩比如，c o h e n 和d a u b e c h i e sc d f 9 7 小波f 1 0 】和王 国秋教授的o p t 9 7 小波【3 4 ，4 5 】在分解端高通滤波器长度为7 时，取得 四阶消失矩，而在正交小波中需高通滤波器的长度至少为8 ，且在新 一代图像压缩标准一一j p e g 2 0 0 0 里，c d f 9 7 小波已作为其核心技术 4 紧支撑线性相位正交4 一进小波基 被采用由于双正交小波没有正交性，终究是个理论缺陷，我们不得 已才去寻求最接近正交者 在多进小波里，小波结构具有多支滤波器，且各支滤波器之间不 再像2 - 进小波那样具有明确的关系，其结构形式复杂，相对来说，具 体构造多进小波是相当复杂的因此，尽可能简化其结构不失为一种 有效的方法对于多进小波，正由于其滤波器的支数的增加，其结构 形式更加灵活，其小波基的选取则具有更广泛的空间；且其正交性和 线性相位的矛盾已不复存在；从应用角度来看，它更适合于处理相对 高频信号，使信号的高频端具有更细的频带划分在数字图像处理中， 多进小波的分解和重构过程所需迭代的次数更少，比如，用一个& 进 小波分解一次后低频分量数是原来的1 6 4 ，相当于二进小波分解三 次后得到低频分量数多支滤波器也为高效并行计算提供了可能 在多进小波的研究中，其一般理论并不缺乏，但具体构造具有良 好性质的多进小波依旧是很困难的工作，同时验证其是否具有很好 的应用性能也很困难，目前还没有一个满意的衡量准则 1 3 本文的研究目的和主要工作 小波分析与其它分析方法类似，都是利用基函数来分解和重构信 号函数，小波基具有多样性的特点，这是使得小波分析广泛应用于各 个领域的主要原因，人们可以根据应用领域的不同来构造相适应的 小波基因此，小波基的构造问题是小波分析研究的重要课题之一， 也是小波分析应用的前提和基础 本文的主要工作集中在多进正交小波的理论及线性相位紧支正 交4 - 进小波基的构造上首先，本文详细介绍了4 - 进小波的概念及 相关结论，其次提出了两种不同结构形式的“换位”型垂进线性相位 紧支正交小波系统，这两种结构形式的小波类，都是由低通滤波器和 一支高通滤波器通过改变符号和或交换位置得到其它两支高通滤 波器，它们不仅具有高阶消失矩，且具有一定的正则阶，包含了现有 的“优美小波力，在相同的长度下，这两种不同结构的小波系统的高 通滤波器消失矩之和比现有的三种不同结构的优美小波系统高两阶 最后分别具体构造了不同长度的4 进线性相位紧支正交小波基，并 给出了相应的尺度函数和小波函数图像本文内容具体安排如下： 5 硕士学位论文 第一章介绍了小波理论与应用发展简史，分析了2 一进小波和多 进小波的优缺点，引入了本文的研究目的，简单介绍了本文的主要工 作 第二章详细介绍了小波分析理论中的多分辨分析及m a l l a t 算法， 并介绍了构造d a u b e c h i e s 小波的代数方法 第三章介绍多进正交小波的基本概念及性质，推广了多进正交小 波变换矩阵，引入m 进正交小波变换最小矩阵的概念 第四章详细介绍了垂进小波的概念，得到了长度为奇数的缸进 线性相位紧支正交小波是不存在的结论，总结了现有4 - 进优美正交 小波系统，并提出了两类新的结构形式的正交小波系统，构造了不同 长度的垂进线性相位紧支正交小波基 6 紧支撑线性相位正交缸进小波基 小波分析基本理论 2 1 多分辨分析理论及m a l l a t 算法 多分辨分析( 多尺度分析) 是y m e y e r 和s m a l l a t 在多尺度逼近的 基础上提出的，为我们提供了构造小波的一个基本框架它是小波分 析的核心部分，也是小波应用的工具，在小波分析的发展中起着非常 重要的作用 定义2 1 空间l 2 ( 冗) 中一列闭子空间 巧：j z ) ，称为l 2 ( r ) 的一个 多分辨分析( m r a ) ，如果该序列满足下列条件： cy j 一1c 巧c 巧+ 1c ，v j z ； n z = o ) ，屿z 巧= l 2 ( r ) ； f ( z ) 巧 = 争f ( 2 x ) 巧+ l ，v j z ； f ( x ) y o 兮f ( x k ) y o ，v k z ； 存在咖( z ) l 2 ( r ) ，使得 p k ) ：七z ) 构成的r e i s z 基，即存 在正常数a 与b ，0 a b o 。，使得 a 1 1 2 _ 构 成的标准正交基，称妒( z ) 为正交小波函数 ( 2 ) l 2 ( r ) 能够分解成闭子空间，j z 的直和，即 l 2 ( r ) = o 肌low oo 肌o ( 2 - 8 ) ( 3 ) 对于任意f l 2 ( r ) 都有唯一的分解： 厂p ) = + y - , ) + 局 ) + ) + ， p ) w k ( 2 - 9 ) ( z ) 构成信号，在子空间帆上的投影，也可以说是信号，分解到 频率k 的局部分量 定理2 1 中( 2 - 4 ) 式和( 2 - 5 ) 式描述了相邻两尺度空间中基函数之 间的关系，被称为双尺度方程，其中【 七】- 和 鲰) 为常实系数序列，分 别称为低通滤波器系数和高通滤波器系数 ( 2 4 ) 式和( 2 - 5 ) 式代表了时域中的两尺度关系，对两式的两端分 别进行f o u r i e r 变换便得到频域双尺度方程： $ ( u ) = 日( i d ) 【j a 2 ) ，( 2 - 1 0 ) 8 紧支撑线性相位正交缸进小波基 移) = g ( 互0 3 j 妒 【i ) 其中 脚) 2 砺1 莩昧一鼬， g ( 沪砺1 莩旷讹 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 一1 3 ) 仃( 甜) 和g ( u ) 分别为序列i 七) 和 鲰) 的离散f o u r i e r 变换，也称滤波 函数或传递函数在信号分析中，h ( u ) 是与尺度函数( z ) 对应的低通 滤波器，g ( u ) 是与小波函数妒( z ) 对应的高通滤波器 令名= e i 鼬，有g ( z ) = 去 i ：z ，h ( z ) 叫做小波滤波器的z 变 v 二七 换 若 巧：j z 是一个多分辨分析，( z ) 和矽( z ) 是其相应的尺度函 数和小波函数，对v f l 2 ( r ) ，它在巧上的投影记为厶( z ) ，此时 乃( z ) = 勺，七奶，七( z ) ( 2 - 1 4 ) 七 其中白，知= ( ，屯k ) ，则 勺，七= ，( z ) 2 专( 2 j k ) d x = m ) 2 学船+ 1 z 一2 k i ) d x = 鬼他) 2 学彬+ 1 z 一2 忌一i ) d x = p 磁弛) 2 2 z 芋妒( 2 j “。一p ) 出 = 磁勺+ l p p 所以 勺，萨h p 一2 k c j + l p ， ( 2 1 5 ) p 定义 勺0 ) = 乃+ 1 ) 一乃 ) ，( 2 - 1 6 ) 9 硕士学位论文 则巧( z ) ，且 勺o ) = d j ，七奶，七 ) ( 2 1 7 ) k 其中奶，彪= ( 吩，奶，知) ，从而有 ，( z ) = d j ，七咖，七( z ) ( 2 - 1 8 ) j , k ( 2 。1 8 ) 式叫做信号的小波级数 由( 2 1 6 ) 式、( 2 1 7 ) 式可得： 奶扩9 p 一2 k c i m ， ( 2 1 9 ) p 类似有 勺+ 1 ，知= h k 一2 p 勺，七+ g k 一2 p 略，七 ( 2 2 0 ) pp ( 2 1 5 ) 式、( 2 1 9 ) 式和( 2 2 0 ) 式称为m a l l a t 算法，该算法是s m a l l a t 在p j b u t t 和e a a d e l s o n 图像分解与重构的多分辨率l a p l a c e 塔式算 法的启发下，基于多分辨分析理论框架，提出的信号塔式多分辨分解 与重构算法其中( 2 1 5 ) 式和( 2 一1 9 ) 式是分解算法，( 2 2 0 ) 式为重构算 法 若用矩阵形式表示m a u a t 算法，则其分解算法可表示为 1c j = h c j + 1 【功= c c j + 1 重构算法可表示为 g + l = h + c j + g 岛 其中日+ 表示日的共轭转置矩阵，g 为系数 勺，七) 的列向量，h ，g 分别 表示由 九七) 、 鲰】生成的2 循环无穷矩阵 从以上两式直接可推得 g + l = ( h h + g + g ) q + 1 要使得信号分解后能精确重构，必须 日+ 日+ g g = ， ( 2 - 2 1 ) 1 0 紧支撑线性相位正交垂进小波基 1 为单位矩阵事实上，当g 七= ( 一1 ) 七h 。一七时，低通滤波器 h 七】- 在满 足正交条件下( 2 - 2 1 ) 式是成立的 2 2 紧支撑正交小波基的构造 小波的构造与选择不仅是小波分析理论研究的重要内容，也是小 波分析方法应用的前提和条件基于多分辨分析理论，构造小波实际 上就是求解低通滤波器系数 七) 和高通滤波器 玑) ，而 h 知) 与 玑) 的关系是确定的，即g k = ( 一1 ) 扣1 h - 幽因此只需确定 “】- ，便可确定 鲰) ，从而也就确定了尺度函数妒( z ) 和小波函数妒( z ) 性质2 1 若妒( z ) 为一个正交多分辨分析的尺度函数， 蠡) 是对应的低 通滤波器，则 饥 满足下列条件： 1 ) h k h k + 2 f = 也， k 2 ) h k = 讵 七 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 其中( 2 2 2 ) 式为正交小波正交性条件之一由多分辨分析及正交小 波的双尺度方程得到正交小波正交性条件： ( 2 - 2 4 a ) ( 2 - 2 4 b ) ( 2 - 2 4 c ) 由于g k = ( 一1 ) 扣1 h 1 幽当( 2 - 2 4 a ) 式满足时，( 2 2 4 b ) 式和( 2 - 2 4 c ) 式自动 满足 定义2 2 若矽( z ) 满足z 妒( z ) 出= 叫= 。，1 ，p l ，而护妒( z ) 出 0 ，则称矽( z ) 具有p 阶消失矩 从小波的定义，小波函数至少具有一阶消失矩 = = = 蕊 雹 醴 棚 似 嘎 话 缸 玑 吼 曲 棚 心 肌 凤 缈 七七七 硕士学位论文 性质2 2 设低通滤波函数为日0 ) ，妒( z ) 为正交小波函数，则下列结论 是等价的： 以，小波函数砂( z ) 具有p 阶消失矩； 俐低通滤波器系数 知) 满足p 阶求和法则：( 一1 ) kh k = o ，i = k 0 ，1 ，p 一1 ； 俐日) 5 - ：7 r 处有p 重零点：日) = ( 毕) p q ) 或日( z ) = ( 毕) p q ( z ) 将( 2 2 2 ) 式、( 2 2 3 ) 式和性质( 2 5 ) 之结论2 结合，则可得构造具 有p 阶消失矩正交小波的约束条件 这就是构造紧支撑正交小波滤波器的代数方法，通过解这个方 程组，得到滤波器 七) = 。，h 2 ， ) ，其中n 为滤波器长度，且n 为偶数，具体的构造见文献 7 】和【3 3 】 1 2 一= o 厄 西 i ) o = = = 纵 溉 “ 虹“， 饥 d 肌 肌r 詹七七 紧支撑线性相位正交4 进小波基 3 多进正交小波 3 1 引言 由于多进小波的线性相位和正交性之间的矛盾不复存在，因而得 到了越来越多的关注比较早期的工作有，在孓进小波的研究中，c h u i 和l i a n 1 3 在1 9 9 5 年最先利用多分辨分析给出了一种构造紧支撑对称 和反对称的3 - 进正交小波系统的方法随后，2 0 0 1 年p e r t g 和w a n g 2 6 1 给出了3 - 进紧支撑正交小波系统完全参数化形式和代数结构，并构 造了一些具有较短支撑的对称小波在垂进小波的研究中，h a n l 2 5 1 和 黄达人【2 9 】教授等做了许多具有理论价值的研究工作，且构造了一些 比较光滑的对称或反对称正交小波但从实际应用角度来说，他们设 计的小波虽然具有线性相位，但是小波滤波器系数不具有对称性或 反对称性，这对于应用来说并不是所期望的随后，彭立中【z s 】教授等 给出了构造2 n 带优美小波系统的一般方法，并给出了4 一进正交小 波滤波器的一个优美结构形式( “p 换位”型结构) ，同时，王国秋教 授【2 6 】兼顾了线性相位和滤波器组的对称性，利用对称低通滤波器系 数的自相关正交性，成功地构造了具有灵活结构的紧支撑正交小波 ( “错位”型结构) 2 0 0 5 年，王国秋教授的研究生郑果在完成毕业论文 时，构造了一类新的“换位”型结构形式的紧支撑对称与反对称正交 小波基( “z 换位”型结构) ，并将之应用在图像压缩中很明显，王国 秋教授、彭立中教授以及郑果提出的这三种滤波器结构已经大大简 化了以往四进小波的复杂结构，降低了构造具体小波实例的复杂度 这样的小波形式固然简洁，计算也较简单，但是某些性能参数却未必 理想 3 2 多进正交小波的基本概念 多分辨分析的概念较易推广到多进小波 定义3 1 空间l 2 ( r ) 中一列闭子空间族 y j ：j z ) ，称为l 2 ( r ) 的一 个肘进多分辨分析( m r a ) ，如果该序列满足下列条件： cy j 一1c 巧c 巧+ 1c ，v j z i 1 3 硕士学位论文 n j z = o ) ，u j z v j = l 2 ( r ) i f ( x ) 巧 = 争f ( m x ) v j + i ，z ，m z + ，m 2 i f ( x ) v o 净f ( x k ) v o ，v k z j 存在砂( z ) l 2 ( r ) ，使得 一七) ：k z ) 构成v o 的r e 诂z 基，即存 在正常数a 与b , o a b o o ，使得 a 1 1 2 1 1 c 七( m - k ) 1 1 2 b 1 1 2 ，v c 蠡) f 2 ( 3 - 1 ) k zk6z缸z 从以上定义知，多进多分辨分析与二进多分辨分析极其相似 定义函数 咖，k ( x ) = m 专毋( m z 一尼) ，j ，k z ， ( 3 - 2 ) 由条件和知 九，七；k z ) 构成空间巧，j z 的p d e s z 基，称咖( z ) 为尺度函数，若 0 一k ) ：k z ) 是v o 的标准正交基，即咖( z ) 妒( z 1 ) d x = 5 0 ，l ，则称 巧：j z ) 为m 进正交多分辨分析，( z ) 为m 进多分 辨分析的尺度函数 由于c 巧+ l ，记为k 在+ 1 的正交补，即b + = o 巧定 义函数 蠼南( z ) = m 矽n ( m i x 一后) ，1 扎m 一1 ，j ，k z ，( 3 - 3 ) 若 蠼七：j z ) n m ：- 1 1 是的标准正交基，称c n ( 1 nsm 一1 ) 为m 进 正交小波函数 上述定义中( z ) 和妒分别满足 ( z ) = 何h k ( m x 一尼) ， k 矿( z ) = 何鲸多( m z 一七) ，1 礼m 一1 七 ( 3 - 4 ) ( 3 - 5 ) ( 3 4 ) 式、( 3 - 5 ) 式称为m 进正交小波的双尺度方程，其中 饥) 和 夕j c n ，n m ：- 。1 为实系数序列，分别称为m 进正交小波的低通滤波器系数和高通滤 波器系数组，称 k ) ， 鲧) 为m 进正交小波滤波器组 ( 3 4 ) 式和( 3 - 5 ) 式代表了m 进正交小波的时域两尺度关系，对两 式的两端分别进行f o u r i e r 变换便得到m 进正交小波的频域双尺度 1 4 紧支撑线性相位正交垂进小波基 方程： 其中 ( ；( ) = 日( 面wj 妒 ( 面w ) ， 痧o ) - g “( 嵩) ；( 茜) ，他= 1 ，2 ，m 一1 脚) 2 而1 址一鼬， g ) 。而1 莩船矾， ( 3 - 6 ) ( 3 7 ) ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) 日( u ) 和伊( u ) 分别为序列 七) 和 鳍) 的离散f o u r i e r 变换，也称为滤 波函数或传递函数在信号分析中，日( ) 是与尺度函数妒( ) 对应的低 通滤波器，伊( u ) 是与小波函数妒( z ) 对应的高通滤波器 令名= e i 鼬，有日( z ) = 去慨z 一，h ( z ) 叫做小波滤波器的z 变 v1 1 1七 换 从上述定义可知m 进正交小波的尺度函数和小波函数分别是一 个和m 一1 个，也就是说，m 进正交小波具有一支低通滤波器和m 一1 高通滤波器，由于高通滤波器的支数的增加，无论是构造还是应用都 更加复杂，各滤波器之间不像二进小波滤波器那样具有明确的关系， 小波滤波器系数个数也增加，这给具体构造多进小波滤波器增加了 复杂度同时小波滤波器支数的增加后，有可能具备比二进小波更好 的性质，这些性质对于小波在信号处理等诸多领域中的应用可能有 重要意义 3 3 多进正交小波的性质 满足一定的性质的小波构造是小波分析理论应用研究的重要课 题，小波的正交性、紧支撑的大小、线性相位、消失矩、正则阶是小 波应用中非常重要的性质，需要根据不同应用需求对这些指标进行 取舍，以寻求合适的小波 3 3 1 正交性 从m 进正交多分辨分析的定义，推导给出m 进正交小波滤波器 组时域上的正交性条件 15 硕士学位论文 从m 进正交尺度函数的正交性知 蝴( 川胁= 何p 艄) x m e ，h j ( m z 圳刊如 = j c 幻咖( z 一七) ( z m l - j ) d x k ，j 。 = h k h j s k ，m l + j = h k h k + m 1 而( z ) 一z ) 如= 如，i 所以h k h k + m = 如 1 类似地，由尺度函数与小波函数相互之间的正交性得h k + m z 鳙= 0 和鲰+ 刎醒= 5 i j 5 0 ，j 从而有如下性质 性质3 1 若 七) ， g n l m - 1 分别是m 进正交小波的低通滤波器和高通 滤波器系数，则它们之间具有下列关系： = 5 0 1 =0 ( 3 1 0 ) = 5 t f l o ，l 称仔i f 纠式为m 进正交小波的正交性条件 正交性是正交小波的最基本性质通常，构造m 进正交小波基时 从正交性条件( 3 1 0 ) 式入手，根据实际应用背景，提出相应的约束条 件无论d a u b e c h i e s 正交紧支集小波，还是文献 1 3 ，2 6 ( m = 3 ) 中构造 的小波都可从正交性条件入手，再根据实际应用添加适当的消失矩条 件和正则阶条件等而得本文第四章的小波滤波器的构造也都是从正 交性条件( 3 1 0 ) 式出发，考虑m = 4 的情形，使小波滤波器在满足最 高消失矩的条件下，构造了紧支撑线性相位正交小波基当m = 4 时， 就称作4 进正交小波，相关的研究可以参考文献【2 5 ，2 7 ，2 8 ，2 9 】 3 3 2 紧支撑性 1 6 m 刎 饥鳃九m 忉幽 奄七 ，i-li_、iiiil 紧支撑线性相位正交4 进小波基 定理3 1 对于滤波器长度为+ 1 的m 进正交小波，若其尺度函数 ( z ) 具有紧支集，则紧支撑区间为【o ，砑岛】【4 3 】 证明：设尺度函数矽( z ) 的紧支撑区间为k ，b l ，由双尺度方程 ( z ) = 何h 七( m z k ) 七 知函数( m z 一七) 的紧支撑区间为【与萨，鱼j 萨】，当低通滤波器h k 下 标从。变到n 时，双尺度方程右端支撑区间为【静，q 萨】，由于【n ，6 】= f 嚣，q 萨】，从而得到。= o ，6 = 马 在实际应用中，信号的能量一般集中在有限的区间内，利用非紧 支撑小波必然需作截断处理，因而给信号的分解与重构带来不可避 免的误差，难以实现精确重构，所以往往要求滤波器系数个数是有限 的，即具有紧支撑性 3 3 3 消失矩 对于双尺度方程( 3 4 ) 式， ( z ) 如= 何h k 妒( m x 一岛) 如 o。 k = 南k 矽( z ) 如 一面白”k 叶峥 由于( z ) 0 ，所以h 知= 何 同理，由小波函数的定义，结合式洚5 ) 式得鲧= 0 从而得到如下性质： 性质3 2m 进正交小波滤波器系数 七) 、 以n ，n m ：- 1 1 满足下列关系 1 ) h k = 何 k 2 ) 鲸= 0 k ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 定义3 2 若小波函数矽n ( z ) 满足妒( z ) 出= 叫= o 1 ，r 一1 且 z r 妒( z ) 如。，则称妒n ( z ) 有r 阶消失矩 1 7 硕士学位论文 由于 劫) 如= 何k 剃( 尬叫如 = 何鲮( m z k ) d z k ， = 一 鲸弘州如k ， = 0 采用数学归纳法，当i = 0 时，鳍= 0 显然成立 假设对小于i 的任意非负整数上述结果都成立，将 + 尼) t 按 二项式定理展开成a o + a l k + + a i - a k 扣1 + a i k 的形式，其中a m = c y x i - m ( m = 0 ，1 ，i ) 是关于z 的代数式由假设靠= o ( j = ，i 七 0 ，1 ，i 一1 ) ，所以只剩下最后一项鳢妒( z ) = 0 ，尺度函数的积 分很明显不等于0 ，从而有e 鲧= 0 性质3 3 对于有限支撑小波函数妒( z ) = 何鲸( m z 一尼) ，它有r k 阶消失矩，等价于 靠七o ，i = 0 ，l ，r 一1 ( 3 1 3 ) k 对于m 进正交小波高通滤波器来说，当其系数为对称时，该支滤 波器具有偶数阶消失矩；当其系数是反对称时，该支滤波器具有奇数 阶消失矩 消失矩是小波分析理论中一个非常重要的概念，它不仅在小波的 构造中起到了非常重要的作用，且在信号压缩、去噪和奇异性检测方 面也具有重要的作用，主要表现为相应的小波函数和尺度函数的光 滑程度及衰减程度对于数据压缩来说，高通滤波器的消失矩的阶数 越高，其能量集中性能往往越好在实际应用中，我们常常希望高通 滤波器具有较高阶的消失矩，本文第四章具体构造了具有高阶消失 矩的乒进紧支撑线性相位正交小波基 3 3 4 正则阶 1 8 紧支撑线性相位正交乒进小波基 定义3 3 如果m 进正交小波的低通滤波器h ( z ) 可以表示成如下形 式： 酢) = 生兰乌型玑( 3 - 1 4 ) 其中q ( z ) 是关于z 的有限阶罗朗( l a u r e n t ) 多项式，那么称h ( z ) 为 k 阶正则尺度滤波器 令z = e 幻，并记 日) ： 三三：二三二竺高；二二堂 k q ( u ) ，( 3 - 1 5 ) 则式( 3 - 1 5 ) 与下列方程组等价： 刁d k h ( 广w ) 4 _ _ 2 。n i l = o ，尼= o ，1 ，k 一1 ；n = 1 ，2 ，m 一1 ( 3 - 1 6 ) 正则阶是描述滤波器性质的一个重要指标一般说来，尺度函数 的正则阶k 越高，其尺度函数的光滑性越好，由该尺度函数构造得到 的小波函数妒n ( z ) ，1 n m 一1 就具有更好的能量集中性质 3 3 5 对称性和线性相位 定义3 4 对于长度为l 的序列 o ( n ) ) ( o n l 一1 ) ，若满足a ( n ) = a ( i 一1 一n ) ，则称序列 o ( n ) )