（基础数学专业论文）new+families+in+the+stable+homotopy+groups+of+spheres.pdf

南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：赵鸬 2 占年岁月2 子日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 工( 内名年岁月2 子日 摘要 本文将用两种不同的方法来得到球面稳定同伦群的几个新元素族首先，我们将用分 次的c o b a r 构造与m a s s e y 乘积得到a d a m s 谱序列的两个非平凡二阶微分然后以这两 个微分作为几何输入，我们将得到一系列球谱与m o o r e 谱的稳定同伦群的新元素族其 次，我们将通过代数的方法得到三个球面稳定同伦群的非平凡乘积元素这些非平凡元素 的收敛性将只通过解线性方程组来验证作为附加的一部分，我们将从单纯同伦论的观点 来研究球面的同伦群通过组合群论的方法。我们将给球面同伦群一个组合的描述特别 地，高维球面同伦群将被表示为具有特殊生成元与关系的组合群的中心 关键词：球面稳定同伦群，a d a m s 谱序列，m a y 谱序列，t o d a - s m i t h 谱，单纯集合， 单纯群 中图法分类号：1 8 9 2 3 a b s t r a c t t h em a i np u r p o s eo fm yt h e s i si st od e t e c ts e v e r a ln e wf a m i l i e si nt h es t a b l eh o m o t o p y g r o u p so fs p h e r eb yt w od i f f e r e n tm e t h o d s f i r s t ，w ew i l lg e tt w on o n t r i v i a ld i f f e r e n t i a l s i nt h ea d a m ss p e c t r a ls e q u e n c e sb ym a k i n gu s eo ff i l t e r e dc o b a xc o n s t r u c t i o na n dm a s s e y p r o d u c t b ym a k i n gt h e s et w on o t r i v i a ls e c o n d a r yd i f f e r e n t i a l s8 sg e o m e t r i ci n p u t w ew i l l g e tas e r i e so fn e wf a m i l i e si nt h es t a b l eh o m o t p yg r o u p so fs p h e r ea n dm o o r es p e c t r u m s e c o n d l y , w ew i l lg e tt h r e en o n t r i v i a lp r o d u c t si nt h es t a b l eh o m o t o p yg r o u p so fs p h e r eb y a l la r i t h e m a t i cm e t h o d t h ec o n v e r g e n c e so ft h ep r o d u c t sw i l lb ev e r i f i e db yo n l ys o l v i n g g r o u po fl i n e a re q u a t i o n s a sa l la d d i t i o n a lp a r t ，w ew i l la p p r o a c ht h eh o m o t o p yg r o u p s o fs p h e r ef r o mt h ev i e wo fs i m p l i c i a lh o m o t o p yt h o e r y b yt h em e t h o df r o mc o m b i n a t o r i a l g r o u pt h o e r y w ew i l lg i v eac o m b i n a t o r i a ld e s c r i p t i o no ft h eh o m o t o p yg r o u p so fs p h e r e i np a r t i c u l a r ，t h eh i g h e rh o m o t o p yg r o u p so fs p h e r e sa r eg i y e na st h ec e n t e r so fc e r t a i n c o m b i n a t o r i a l l yd e s c r i b e dg r o u p sw i t hs p e e i a lg e n e r a t o r sa n dr e l a t i o n s k e y w o r d s ：s t a b l eh o m o t o p yg r o u p so fs p h e r e s ，a d m a ss p e c t r a ls e q u e n c e s ，m a ys p e c t r a l s e q u e n c e s ，t o d a - s m i t hs p e c t r u m ，s i m p l i c i a ls e t ，s i m p l i e i a lg r o u p 2 0 0 0m rs u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：5 5 q 4 5 ，5 5 q 4 0 ，5 5 u 1 0 2 i n t r o d u c t i o n e v e rs i n c e1 9 5 0w h e nj p s e r r e 1 f o u n dt h a tf i n + r s ”( 7 o ) ，t h eh o m o t o p yg r o u po f n - d i m e n s i o n a ls p h e r e ，i saf i n i t eg r o u p ，t h ed e t e r m i n a t i o no f + r s ”h a sb e c o m eo n eo ft h e m a i np r o b l e m si na l g e b r a i ct o p o l o g y i nt h el a s tf i f t yy e a r s ，m a n yw o n d e r f u lr e s u l t sh a v e b e e no b t a i n e di nt h i sf i e l db yd e v e l o p i n gk i n d so fc o m p u t a t i o nt o o l s h o w e v e ru pt on o w ， i ti ss t i l lf a rf r o mt h et o t a lr e s o l u t i o no ft h i sp r o b l e m t h eh o m o t o p yg r o u p so fs p h e r ec a nb ed i v i d e di n t os t a b l ep a r ta n du n s t a b l ep a r t a t t h ee n do f1 9 4 0 ，h f r e u d e n t h a l 2 】p r o v e dt h ew e l lk n o w ns u s p e n s i o nt h e o r e m ，r e v e a l i n g t h a tt h e r ei sas t a b l ep h c o n m e n ai nt h eh o m o t o p yg r o u p so fs p h e r e ，i e ，w h e nn t _ + 2 ， + r 铲i si s o m o r p h i ct o + r + l 扩“s ow h e nn 7 + 2 ，w ec a l la l lt h e s e + r s na s s t a b l eh o m o t o p yg r o u p 群i n1 9 6 0 ，j f a d a m s 3 】i n v e n t e dap o w e r f u lt o o l s ，n o wn a m e d a sa d a m ss p e c t r a ls e q u e n c e ( a s s ) ，t oc o m p u t et h es t a b l eh o m o t o p yg r o u p so fs p a c e i n t h ea d a m ss p e c t r a ls e q u e n c e ，i t se 2 一t e r mi sb a s e do nt h eh o m o l o g yi n f o r m a t i o no fs p a c e f o rt h en e e do fs t a b l eh o m o t o p yg r o u p s ，j ，f a d a m sa n do t h e r sl i f t e dt h ec a t e g o r yo f t o p o l o g i c a ls p a c e st ot h ec a t e g o r yo fs t a b l eh o m o t o p yw h o s eo b j e c t i ss p e c t r u m t h e g e n e r a lh o m o l o g yt h e o r yi nc a t e g o r yo fs t a b l eh o m o t o p yu n i t e st h eh o m o l o g yt h e o r ya n d h o m o t o i p yt h e o r yi na l g e b r a i ct o p o l o g y e v e ns i n c et h e n ，t h es t a b l eh o m o t o p yg r o u p s o fs p h e r eh a sb e e ns t u d i e df r o mam o r ea d ，v a n c e dv i e w b e s i d e st h ec l a s s i c a la d a m s s p e c t r a ls e q u e n c e s ，t h e r ei sa n o t h e rg e n e r a la d a m s - n o v i k o vs p e c t r a ls e q u e n c e 4 ，b a s e do i l b ps p e c t r u m ，t od e t e c tn e wf a m i l i e so fs t a b l eh o o m o t o p yg r o u p so fs p h e r e i nr e c e n tt e n y e a r s ，t h e r eh a sa r i s e dag e n e r a ll 2 - l o c a l i z a t i o no ft h es p h e r es p e c t r u mt oa p p r o a c ht h e h o m o t o p yg r o u p so fs p h e r e 5 a l lt h ea b o v ec o m p u t a t i o nt o o l st o g e t h e rg i v eap r o s p e r o u s s i t u a t i o ni nt h er e s e a r c ho fs t a b l eh o m o t o p yg r o u p so fs p h e r e l e tab et h er o o dps t e e n r o da l g e b r aa n dsb et h es p h e r es p e c t r u ml o c a l i z e da ta n o d dp r i m ep m e n t i o n e da sa b o v e ，w eh a v et h ea d a m ss p e c t r a ls e q u e n c e s ( a s s ) w i t ht h e e t - t e r m 霹乒= e z 搿( 磊，乙) = 号丌t 一。s ，w h e r ee ； t - t e r mi sa c t u a l l yt h ee o h o m o l o g y o fa ，i e ，日町( a ) = e k 瓒( 磊，z p ) f r o mr e f e r e n c e 【6 】，w ek n o wt h a te z 盖。( 磊，乙) h a s z f b a s i sc o n s i s t i n go fa oa n dh i ( i 0 ) w i t hi n t e r n a ld e g r e ela n df qr e s p e c t i v e l y ；a n d j f k 叠( z p ，磊) h a sz f b a s i sc o n s i s t i n go f 瑶，a 2 ，a o h i ( i o ) ，驮( i o ) ，缸( i o ) ，瓯( i20 ) a n d 屯j i l ，( o i j 一2 ) w h o s ei n t e r n a ld e g r e e sa r e2 ，2 q + 1 ，p q + 1 ，p i + l q + 2 f a ， ( 矽“+ p i ) q ，矿+ l qa n d + 矿) gr e s p e c t i v e l y t a i k a w ah a sc o m p u t e de z 盖。( 乙，乙) b y u s i n ga - a l g e b r a 7 】i faf a m i l yo fg e n e r a t o r 戤鹾”c o n v e r g e sn o n t r i v i a u yi nt h ea s s ，t h e n w eg e taf a m i l yo fn o n t r i v i a lh o m o t o p ye l e m e n t sli 曩。s w es a yt h a t1 i sr e p r e s e n t e db y 反鹾a n dh a sf i l t r a t i o nsi nt h ea s s s of a r ，n o ts om a n yf a m i l e so fh o m o t o p ye l e m e n t s i nx , sh a v eb e e nd e t e c t e d i nt h ef o l l o w s ，1w i l ll i s ts o m eo ft h en o n t r i v i a lh o m o t o p y 3 e l e m e n t si nt h eo r d e ro ft i m e f i r s tw en e e dt h ef o l l o w i n gn o t i o n sa n dn o t a t i o n s l e tmb ct h em o o r es p e c t r u mm o d u l op 3g i v e nb yt h ec o f i b r a t i o n s 卫s 土m 上e s l e t 口：e q m _ mb et h ea d a m sm a pa n dkb et h ec o f i b r eg i v e nb yt h ec o f i b r a t i o n ， 酽肚止k 上q + l m w h e r eq = 2 ( p 一1 ) t h i ss p e c t r u mw h i c hi sb r i e f l yw r i t t e na ski sk n o w nt ob et h et o d a - s m i t hs p e c t r u my ( 1 ) l e tv ( 2 ) b et h ec o f i b r eo fz ：( p + 1 ) q k _ kg i v e nb yt h ec o f i b r a t i o n 1 ) g 肛卫肛上y ( 2 ) 上( p + 1 ) 口+ 1 k l e t7 ：( 1 + p 却，2 ) q y ( 2 ) v ( 2 ) b et h ev 3 m a pf o rp 7 i fw ew r i t eq t = j a i ，侥= j j 7 p 。i 7 i ， m = 以”j 7 。7 i 7 i ，t h e n 啦，成a n d 讯a r er e s p e c t i v e l yt h ew e l lk n o w nt h ef i r s t ，t h es e c o n da n d t h et h i r dp e r i o d i ce l e m e n t si n7 r 。s i s i n1 9 5 9 ，h t o d a 9 p r o v e dt h a tf o rp 2 ，e a c h 钒i san o n t r i b i a le l e m e n to fo r d e rp i n 丌幻一1 s i n1 9 7 0 ，l s m i t h 1 0 】p r o v e df o rp 3 ，e a c h 屏i san o n t r i b i a le l e m e n to fo r d e rpi n ， r t o , + 1 ) q g 一2 j i n1 9 7 1 ，h t o d a 1l 】p r o v e dt h a tf o rp 5 ，e a c hq ti san o n t r i b i a le l e m e n to fo r d e rp i n 丌t ( p 2 + p + 1 ) q 一( p + 2 ) q s s i n1 9 8 1 ，r c o h e n 1 2 】p r o v e dt h a tf o rp 2a n di20 ，6 ii sap e r m a n e n tc y c l ei n t h ea s sa n dc o n v e r g e st oan o n t r i v i a le l e m e n tc io fo r d e rpi nf f ( p i + 1 + 1 ) 口s i n1 9 8 9 ，x g z h o u 1 3 】p r o v e dt h a tc e r t a i nt o d a ss e c o n d a r yp r o d u c t 啦，7 ：3 ，( 1 ， ( 2 ，a n dp ，c e r t a i np r o d u c to f 尻，仍，t 7 2 ，7 3 ，( 1 ，( 2 ，o f la r en o n z e r o i n 【1 3 ，x g z h o ua l s oo b t a i n e dt h er e p r e s e n t a t i o n so ft h e s ee l e m e n t si nt h ea s s i n1 9 9 4 ，b yu s i n gr c o h e n sr e s u l tt h a th o b ii sap e r m a n e n tc y c l ei nt h ea s sa n d c o n v e r g e st oan o n t r i v i a le l e m e n tq o fo r d e rpi n7 r + l + 1 ) q s ，x j w a n g 1 4 】p r o v e dt h a t t h ep r o d u c tp 堍i sap e r m a n e n tc y c l ei nt h ea s sa n dc o n v e r g e n c e st oan o n t r i v i a le l e m e n t o f o r d e rpi n 氤t s i nr e c e n ty e a r s ，j k l i no b t a i n e das e r i e so fn e wf a m i l i e so ft h es t a b l eh o m o t o p y g r o u p so fs p h e r ew h i c hw el i s ta sf o l l o w s ( 1 ) ( j k l i na n dq b z h e n g 1 5 ) l e tp 7a n dn 4 ，t h e nt h ep r o d u c t k 1 9 0 铂e x t j p q + 3 0 r 2 + 舛1 h ( z p ，z p ) 4 i sap e r m a n e n tc y c l ei nt h ea s sa n dc o n v e r g e st oan o n t r i v i a le l e m e n to fo r d e rpi n 7 。矿q + 3 ( p 2 + 升1 ) 口一7 s ( 2 ) ( j k l i n 1 6 ) l e tp 5a n dn23 ，t h e nt h et h ee l e m e n t ( b o h n + h l b 一1 ) e z 瑷+ p q ( 磊，乙) i sap e r m a n e n tc y c l ei nt h ea s sa n dc o n v e r g e st oan o n t r i v i a le l e m e n to fo r d e rpi n 丌( 矿+ p ) q 一3 s ( 3 ) ( j k l i n 1 7 ) l e tp 芝7a n dn 4 ，t h e nt h ep r o d u c t k 9 0 讹e z 瑗矿口+ 3 p 2 + 升1 ) q ( 乙，名) i sap e r m a n e n tc y c l ei nt h ea s sa n dc o n v e r g e st oan o n t r i v i a le l e m e n to fo r d e rpi n 7 r 妒q + 3 ( p 2 + p + 1 ) 口一6 s ( 4 ) ( j k l i n 1 s ) l e tp 7a n dn m + 2 4 ，t h e n ( k k l 一 。6 m 一1 ) e x t 会( p “+ p m + 1 。( 名，乙) t 。( h n h 。) e z 瑷+ 扩+ 1 q ( 日m ，z p ) ， a r et w op e r m a n e n tc y c l e si nt h ea s sa n dc o n v e r g er e s p e c t i v e l yt ot w on o n t r i v i a le l e m e n t s o fo r d e rpi nf f ( p n + p m + 1 ) q - 4 sa n d 丌( 矿+ p m + 1 ) q 一3 m o n eo ft h em a i np u r p o s e so fm yt h e s i si st od e t e c ts e v e r a ln e wf a m i l i e si nt h es t a b l e h o m o t o p yg r o u p so fs p h e r e sb yt w od i f f e r e n tm e t h o d s t h ef i r s tm e t h o di sag e o m e t r i c o n e w ew i l lf i r s tg e tt w on o n t r i v i a ld i f f e r e n t i a l si nt h ea s sb ym a k i n gu s eo ff i l t e r e dc o b a r c o n s t r u c t i o na n dm a s s e yp r o d u c t b ym a k i n gt h e s et w on o t r i v i a ld i f f e r e n t i a l sa sg e o m e t r i c i n p u t ，w ew i l lg e tas e r i e so fn e wf a m i l i e si nt h es t a b l eh o m o t p yg r o u p so fs p h e r ea n dm o o r e s p e c t r u m t h ea b o v es t a t e m e n t sa r et h em a i nr e s u l t so fc h a p t e r1w h i c hc a nb ep r e c i s e l y d e s c r i b e da sf o l l o w s t h e o r e mal e tp 5b ea no d dp r i m e ，t h e nw eh a v et h ef o l l o w i n gt w on o n t r i v i a l s e c o n d a r yd i f f e r e n t i a l s ： ( 1 ) 也( 级) = a o l i ( i o ) ，( 2 ) d 2 ( k i ) = 口o ( i o ) ， w h e r e 如：e x t ( 名，乙) _ e x t * a + 2 一+ 1 ( 乙，乙) i st h es e c o n d a r yd i f f e r e n t i a li nt h ea d a m s s p e c t r a ls e q u e n c e ，9 i e z 攻+ 1 + 2 p 4 ( 乙，z p ) ，e x t 女( 帝+ 1 + p ) g ( 名，磊) ，n 0 e z 吐1 ( 磊，z p ) ， 厶e z t 支+ 2 p 口( 磊，磊) a n dl ：e x t 支( 2 p 件1 + p ) 。( 磊，乙) a r et w og e n e r a t o r so fe x t 支( 名，磊) t h e o r e mbl e tp 7 ，n23 ，t h e nh o z e z 刍幻如( 乙，z p ) i sap e r m a n e n tc y c l ei n t h ea s sw h 烛c o n v e r g e st oan o n t r i v i a le l e m e n to fo r d e rpi n 丌幻一4 s m o r e o v e r ，以( 影) 5 e x t 口+ 。( 日+ m ，z ；) i sa l s oap e r m a n e n tc y c l ew h i c hc o n v c r g e 8t oan o n t r i v i a le l e m e n ti n 一3 m ，w h e r et q = ( 矿+ 1 + 2 p “) q ，x = l 。，可= 9 n ；o rt q = ( 印1 + 矿) q ，z = t ，y = s e c o n d l y , w ew i l li n t r o d u c ea na r i t h m e t i cm e t h o dt og e tt h r e en o n t r i v i a lp r o d u c t si n t h es t a b l eh o m o t o p yg r o u p so fs p h e r e 。t h i sm e t h o dw a so r g i n a l l yd e v e l o p e db yx g l i ua n dx j w a n g 1 9 1w i l li n t r o d u c ei th e r ew i t has l i g h tm o d i f i c a t i o n b yu s i n gt h i s m e t h o d 7t h ec o n v e r g e n c e so ft h e s ee l e m e n t sc a nb ev e r i f i e db yo n l ys o l v i n gg r o u po fl i n e a r e q u a t i o n s t h i sm e t h o dg e n e r a l i z e si ns o m ee x t e n tx g l i u s 2 0 1e a r l i e rm e t h o dw h i c h c o n s i s t so fm u c hc o m b i n a t o r i a la r g u m e n t t h ea b o v es t a t e m e n t sa r eo u rm a i nr e s u l t so f c h a p t e r2w h i c hc a nb ep r e c i s e l yd e s c r i b e da sf o l l o w s t h e o r e mcl e tp 7 ，仃仇+ 2 5 ，0 8 p 一2 ，t h e nt h e r ee x i s t san o r n r i v i a l h o m o t o p ye l e m e n t 凤+ 2 靠，m 0 7 r ( 。+ 2 + ( 卧2 ) 舛p m + 矿) g 一6 s ， w h e r e 靠，仇丌( 1 + p m + p n ) q 一4 si so b t a i n e di n 【1 8 】w h i c hi sr e p r e s e n t e db y ( k k l 一 铭k 一1 ) 如鲁( 1 + p m 杪口( 磊，磊) i nt h ea s sa n d 反+ 2 = 力伊+ 2 i 7 i 丌( 卧2 ) p 口+ ( 外1 ) g 一2 s t h e o r e mdl e tp 7 ，n m + 2 6 ，0 8 1 ，t h eh o m o t o p yg r o u p7 1 n + l ( v q ，铲b + 1 ) i si s o m o r p h i ct ot h ec e n t e ro ft h eg r o u p f 嚣竺n 。( i 。，i 1 ) ( 。i n 一1 i n 。 i l 0 ，口，) m o d u l ot h en o r m a ls u b g r o u pg e n e r a t e db y ( 鬈二k 。( i 踺，i i l ) ( 口z ) 臼，篇二。( i 勉t 一，i ) ( q t ) 乱) ， w h e r ef ( ) i st h ef r e eg r o u pf u n c t o r ，t h ed e f i n i t i o no f 器竺n 。( i ，i l ) ( 。) w i l lb eg i v e ni n c h a p t e r3l a t e ra n d ( 1 ) 句= 圭1f o r1 j t ； ( 2 ) n 一1 z 垃 i ( s - 1f o r1 s ； ( 3 ) a n yo f - 1 v 0 一，n 一1 ) a p p e a r sa tl e a s to n c ei n 蛾，鼎，锟，妒) ； ( 4 ) f o rt 【n m a z n 口l 口j 】，p 。r u n so v e ra uo ft h ec o m m u t a t o rb r a c k e ta r r a n g e - m e r i t so fw e i g h tt ，w h e r e n m a x n 口l q 了 】m e a n st h eg r e a t e s ti n t e g e rw h i c hi sl e s st h a n n m a x n 。i o ，) 7 c h a p t e r1 n e wf a m i l i e si nt h es t a b l eh o m o t o p yg r o u p so f s p h e r ea n dm o o r es p e c t r u m e v e rs i n c et h ei n t r o d u c t i o no ft h ea d a m ss p e c t r a ls e q u e n c e si nt h el a t e1 9 5 0 s 【3 】，t h e s t u d yo fr sh a sb e e ns p l i ti n t oe s s e n t i a l l yt w op a r t s t h ef i r s tp a r ti st h ea l g e b r a i cp r o b - l e mo fc o m p u t i n ge z 盖( 磊，名) t h es e c o n dp a r ti st h eg e o m e t r i cp r o b l e mo fd e t e r m i n i n g w h i c he l e m e n to fe z j + ( 磊，磊) c a ns u r v i v et o 诺i nt h i ss p e c t r a ls e q u e n c ea n dt h e nr e p - r e s e n t sm a pb e t w e e ns p h e r e s i nt h i sc h a p t e r ，w ew i l lb ef i r s tc o n c e r n e dw i t ht h ea l g e b r a i c p r o b l e mi ns e c t i o n1 i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l lg e tt w on o n t r i v i a ls e c o n d a r yd i f f e r e n t i a l s o nt h e 易t e r m so ft h ea d a m ss p e c t r a ls e q u e n c ei ns e c t i o n1 i nt h es e c t i o n2 ，w ew i l l c o n s i d e rt h eg e o m e t r i cp a r t b ym a k i n gt h et w on o n t r i v i a ld i f f e r e n t i a l so b t a i n e di ns e c t i o n 1a st h eo n l yg e o m e t r i ci n p u t ，w ew i l lg e ts e v e r a ln e wf a m i l i e si nt h es t a b l eh o m o t o p y g r o u p so fs p h e r ea n dm o o r es p e c t r u m 1 t w on o n t r i v i a ld i f f e r e n t i a l si nt h ea s s i nr e f e r e n c e 【2 1 ，t h e o r e m1 2 1 4g i v e san o n t r i v i a ls e c o n d a r yd i f f e r e n t i md 2 ( h ) = 口0 6 一l ( i o ) ，w h e r ed 2 ：e x t 二v q ( z v ，磊) 一e z 瑷矿4 + 1 ( 磊，名) i st h es e c o n d a r yd i f f e r e n t i m i nt h ea d a m ss p e c t r a ls e q u e n c e i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l ls t u d yt h es e c o n d a r yd i f f e r e n t i a l o n 驮e x j 扣州+ 矿) 9 ( 乙，磊) a n d 乜e z t 支+ 1 + p 口( 磊，) t og e tt h ef o l l o w i n gm a i n t h e o r e m ： t h e o r e mal e tp25b ea l lo d dp r i m e ，t h e nw eh a v et h ef o l l o w i n gt w on o n t r i v i a l s e c o n d a r yd i f f e r e n t i a l s ： ( 1 ) d 2 ( g i ) = a o l i ( i o ) ，( 2 ) d 2 ( ) = a o l ：o o ) ， w h e r ed 2 ：e x t ( 乙，z p ) 一e z t ；+ 2 h 1 ( 磊，磊) i st h es e c o n d a r yd i f f e r e n t i a li nt h ea d a m s 8 p e c t r a ls e q u e n c e ，吼e x t 身0 + 1 + 2 p t ) 口( 乙，乙) ，乜e x t j ( 2 # 。+ 1 彬叮( 磊，磊) ，n o e z t 盖1 ( z p ，磊) ， f i e z 瑷十1 + 2 p t ) 9 ( 磊，磊) a n dl ：e x t 支( 2 p 件1 + p 口( 乙，磊) a r