2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.2.2组合第2课时组合的综合应用（习题课）练习（含解析）新人教A版.docx

第2课时 组合的综合应用（习题课）A基础达标1.(2019深圳高二检测)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A30种B35种C42种 D48种解析：选A法一：选修1门A类，2门B类课程的选法有CC种；选修2门A类，1门B类的课程的选法有CC种故选法共有CCCC181230(种).法二：从7门选修课中选修3门的选法有C种，其中3门课都为A类的选法有C种，都为B类的选法有C种，故选法共有CCC30(种).2.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()A140种 B120种C35种 D34种解析：选D从7人中选4人，共有C35种选法，4人全是男生的选法有C1种故4人中既有男生又有女生的选法种数为35134种.3.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A12种 B18种C36种 D54种解析：选B先将1，2捆绑后放入信封中，有C种放法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有CC(种)放法，所以共有CCC18(种)放法.4.平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任意三点不共线，过这十个点中的任意两点所确定的直线中，至少过一个红点的直线的条数是()A30 B29C28 D27解析：选B过一个红点有CC123(条)直线；过两个红点有C6(条)直线，所以共有23629(条)直线，故选B5.(2019贵阳高二检测)有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()A24 B48C72 D96解析：选B据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有AA种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有AACC种不同的摆放方法由分类加法计数原理可得共有AAAACC48种摆放方法.6.现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有_种不同的选派方案(用数字作答)解析：根据题意，分两种情况讨论：甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有CC40(种)选派方案；甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有C15(种)选派方案则共有401555种选派方案.答案：557.(2019泰安高二检测)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)解析：当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法因此不同的站法种数为CACCC210126336.答案：3368.有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有_个.解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有CC种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点共有CC种方法所以满足条件的三角形共有CCCC70个.答案：709.(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？解：(1)正方体8个顶点可构成C个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点故可以确定四面体C1258个.(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12C48个.10.某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？解：分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有CC75(种)；第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为CCC100(种)；第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为CCC10(种).由分类加法计数原理，得不同的选法共有7510010185(种).B能力提升11.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组其中可以构成三角形的组数为()A208 B204C200 D196解析：选C任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为C3C8C200，故选C12.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答).解析：定向分配问题，先分组后分配将8张奖券分四组，再分配给4个人分四组有两种方法：一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4个人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4个人有CA种分法所以不同的获奖情况有ACA243660种.答案：6013.从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示).解：(1)易知四位数共有CCA216(个).(2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA108(个).(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216108108(个).14.(选做题)有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22个.(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C22A个.(3)0和1都不取，有不同的三位数C23A个.综上所述，共有不同的三位数：CCC22C22AC23A432个.法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A个，其中0在百位的有C22A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数C23AC22A432个.两个计数原理与排列、组合(强化练)一、选择题1.从n个人中选出两人，分别从事两项不同的工作，若选派方案的种数为72，则n的值为()A6B9C12 D15解析：选B因为A72，所以n9.2.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种 B70种C75种 D150种解析：选C根据题意，知从6名男医生中选2名、从5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC75(种).3.有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有()A72种 B54种C48种 D8种解析：选C用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有AAA，第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A种，由分步乘法计数原理共有A(A)348种.4.某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有()AAA种 BA54种CCA种 DC54种解析：选D因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有C种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据分步乘法计数原理可得共有C54种情况故选D5.口袋里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只现从中随机抽取出两只手套，若两只是同色手套，则甲获胜，若两只手套颜色不同，则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是()A甲多 B乙多C一样多 D不确定解析：选C两只是同色手套的取法有CC150(种)；两只不是同色手套的取法有CC150(种).6.以圆x2y22x2y10内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为()A76 B78C81 D84解析：选A如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x1)2(y1)23，圆内共9个整数点，组成的三角形的个数为C876.7.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为()A135 B172C189 D162解析：选C不考虑特殊情况，共有C种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有CC种取法.所求取法种数为C4CC189.8.从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是()A36 B42C48 D54解析：选C若从0，2，4中取一个数字是“0”，则“0”不放百位，有C种放法，再从1，3，5中取两个数字放在其他两位，有A种放法，共组成CA12个三位数；若从0，2，4中取的一个数字不是“0”，则有C种取法，再从1，3，5中取两个数字有C种取法，共组成CCA36个三位数所以所有不同的三位数有123648(个).9.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A72种 B96种C120种 D156种解析：选B甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，共有A120种，其中丁没有连续的安排，安排甲、乙、丙三位教师后形成了4个间隔，任选3个安排丁，故有AC24种，故丁至少要有两天连续安排的方法有1202496种，故选B10.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有()A324个 B216个C180个 D384个解析：选A个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有CACAC90(个)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数、2个奇数的有CACCCAC234(个)根据分类加法计数原理得到共有90234324(个)故选A二、填空题11.若89，则n_.解析：(n5)(n6)189，即n211n600，解得n15或n4(舍去).答案：1512.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色的方法有_种.解析：若1，3不同色，则1，2，3，4必不同色，有3A72(种) 涂色方法；若1，3同色，有CA24(种)涂色方法根据分类加法计数原理可知，共有722496(种)涂色方法.答案：9613.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有_种.解析：因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案，2，2，1方案：甲，丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有CA18种；3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有CA12种；所以不同的选派方案共有181230种.答案：3014.从7，5，2，1，1，2，5，7中任取3个不同的数作为椭圆ax2by2c0的系数，则能确定的椭圆的个数为_.解析：椭圆方程化为标准形式为1.由0，0，得a，b，c同号.当a，b，c同为正数时，取三个不同的数有A种取法，可得A24个椭圆.当a，b，c同为负数时，取三个不同的数有A种取法，可得A24个椭圆，但此时每个椭圆均与a，b，c同为正数时重复，如a7，b5，c2与a7，b5，c2对应的椭圆重复所以能确定的椭圆有24个.答案：24三、解答题15.现有10件产品，其中有2件次品，任意取出3件检查.(1)若正品A被取到，则有多少种不同的取法？(2)恰有一件是次品的取法有多少种？(3)至少有一件是次品的取法有多少种？解：(1)C36(种).(2)从2件次品中任取1件，有C种取法，从8件正品中任取2件，有C种取法，由分步乘法计数原理得，不同的取法共有CC256(种).(3)法一：含1件次品的取法有CC种，含2件次品的取法有CC种，由分类加法计数原理得，不同的取法共有CCCC56864(种).法二：从10件产品中任取3件，取法有C种，不含次品的取法有C种，所以至少有1件次品的取法有CC64(种).16.7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务现对7名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，则有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，则有多少种分工方案？解：(1)先安排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法由分步乘法计数原理知共有AA720种方法.(2)7人的任意分工方案有A种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有AAA3 600(种).17.5男5女共10个同学排成一行.(1)女生都排在一起，有几种排法？(2)女生与男生相间，有几种排法？(3)任何两个男生都不相邻，有几种排法？(4)5名男生不排在一起，有几种排法？解：(1)将5名女生看作一人，就是6个元素的全排