（基础数学专业论文）时滞微分方程的周期正解及其在种群模型中的应用.pdf

中文摘要中文摘要常微分方程是近代数学的一个重要学科分支，随着现代化社会的发展，无论是在工程、宇航、生态等自然科学领域还是在经济、金融等社会科学领域，都有着广泛的应用然而在现实世界中，众多系统未来的状态不仅依赖于目前的状态而且还依赖于过去某个时刻或某段时间内的状态从而，利用常微分方程来描述这类事物的发展变化过程，只是对其真实情况的近似处理为了更准确地刻划这些实际问题，用时滞微分方程作为数学模型更符合其本质属性因而有关时滞微分方程的研究无论在理论上还是在应用上都具有非常重要的意义此外，常微分方程的周期解的存在性及稳定性问题是一个很有意义的研究课题它体现了一种结构平衡性和稳定性，在核物理学，电路信号系统、生态系统、流行病学和控制论等领域都有着很重要的意义同样地，时滞微分方程的周期解的存在性及稳定性同题也具有非常大的研究价值特别地，在种群动力学中，种群受到环境变化的影响，尤其是周期性变化的环境( 如气候、食物等) 的影响，因而种群动力学中的数学模型可以假设其中一些变量具有周期性自然地，这些模型的周期解存在性及其稳定性成为众多学者的研究对象基于以上原因，本文将对时滞微分方程周期正解的存在性和稳定性及其在种群模型中的应用进行深入系统的研究第一章，首先介绍了时滞微分方程的研究意义和现状，特别总结了有关时滞微分方程与中立型时滞微分方程的周期解存在性的研究方法与已有结果的局限性另外，本章还介绍了本文的主要工作、内容安排以及一些预备知识第二章，利用一个关于减算子的不动点定理，给出了l a s o t a - w a z e w s k a 模型m( t ) = 一d ( t ) z ( 幻+ 1 厂m ( t ) e - q ( 2 ) 2 ( 一n ( t ) )i = 1的唯一u 一周期正解孟的存在性条件特别地，本章不仅给出了收敛于该周期正解毒的迭代函数列 茹。) ，还利用任意正解与该周期正解孟的差的振动性，证明了孟的全局吸引性即，给出了该周期正解孟的近似表示进而使得本章的结果具有较大的实际应用价值与已有文献相比较，本章的结果更加易于验证第三章，利用个关于减算子的不动点定理，给出了血液细胞生成模型! ! m一( t ) 一8 ( ) $ ( ) + 再葫t = 。的唯一u 一周期正解孟的存在性条件此外，本章不仅给出了收敛于该周期正解季的迭代函数列 粕) ，还利用任意正解与圣的差的振动性以及该周期正解的性质，证明了圣的全局吸引性即，给出了该周期正解圣的近似表示进而使得本章的结果具有较大的实际应用价值与已有文献相比较，本章的结果更加易于验证时滞微分方程的周期正懈及其在种群模型中的应用第四章，首先应用锥理论和非紧性测度( k u r a t o w s k i ) 理论，证明了一个关于严格集压缩映象的不动点定理，进而改进了相关文献中的已有结果然后利用此不动点定理研究更一般的中立型时滞微分方程一( t ) = g ( t ) f o ( t ) 一f ( t ，z ( t ) ，z o 一口l ( t ) ) ，x ( t o h ( ) ) ，一o n ( t ) ) ，o 一( t ) ) ) l ，获得该方程存在c ，一周期正解的一个易于证实的充分条件进一步将此结果应用于下列中立型时滞微分方程r行m1( t ) = ( t ) l 。( ) 一卢( f ) ( t ) 一b i ( t ) n ( t 一毋( t ) ) 一c j ( t n ( 一勺( t ) ) l ，li = lj r lj改进了相应文献的已有结果，并给予公开问题( o p e np r o b l e m9 2 1 9 ) 一个明确的答复可以看出，利用本章所证明的不动点定理来研究中立型时滞微分方程的周期解存在性问题，是一个较好的方法第五章，应用一个关于严格集压缩映象的不动点定理，研究了中立型时滞l o t k a v o l t e r r a 系统一竹n。t ) = 。；( t ) l n ( t ) 一n 玎( ) 勺( t ) 一b 。j ( t ) z j ( t q ( t ) )住= lj = l一( f ) 巧o 一( 洲，f _ 1 2 竹，j = t获得了该系统存在u 一周期正解的一个充分条件与已有文献相比较，本章的结果推广和改进了相应的已有结果，且本章的结果更加易于验证第六章，应用一个关于严格集压缩映象的不动点定理，考虑了下列具有反馈控制的中立型时滞微分系统iz ( ) = $ 0 ) i r ( t ) 一a o ( t ) z ( t ) 一a t ( t ) z ( t a l ( o )i、- o a ( t ) z o a 2 ( t ) ) 一卢( t ) u ( t 一，1 ( t ) ) i ，l。【( t ) = - a ( t ) u ( t ) + b ( t ) x ( t 一您( t ) ) 获得该中立型微分系统存在u 一周期正解的一个充分条件，推广并改进了相应文献中的已有结果，且本章的结果更容易证实此外，本文的部分结果已在n o n l i n e a ra n a l y s i s ，j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s 和c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s 等刊物上发表关键词：时滞种群模型；中立型微分方程；不动点定理；周期正解；全局吸引性a b s t r a c to r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni 8a l li m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r nm a t h e m a t i c s w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e r ns o c i e t y , i ti sw i d e l yu s e di ne n g i n e e r i n g ，a s t r o n a v i g a t i o n ，e c o l -o g y , e c o n o m i c s ，f i n a n c ee t c h o w e v e r ，i nt h er e a lw o r l d ，t h ef u t u r es t a t eo ft h es y s t e md e p e n d so nn o to n l yt h ep r e s e n ts t a t eb u ta l s ot h ep a s ts t a t e s t h e r e f o r e i ti so n l yaa p p r o x i m a t i o nt ot h et r u t ht h a to r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e nu s e dt od e s c r i b et h ed e v e l o p m e n to ft h es y s t e m i no r d e rt od e s c r i b ea p p r o p r i a t e l yt h er e a lp r o b l e m s ，am o r er e a l i s t i cm o d e lw o u l db ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c o n s e q u e n t l y , t h er e s e a r c h so nd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ev e r ym e a n i n g f u li nt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o n s i na d d i t i o n i ti sa l s oam e a n i n g f u ls u b j e c to fr e s e a r c ht oc o n s i d e rt h ep e r i o d i c i t ya n ds t a b i l i t yo fs o l u t i o n st oo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c hr e p r e s e n tt h eb a l a n c ea n ds t a b i l i t yi nc o n s t r u c t i o n f u r t h e r m o r e ，i ti sv e r yi m p o r t a n ti nn u c l e a rp h y s i c s ，e l e c t r o n i cs i g n a ls y s t e m ，e c o l o g i c a ls y s t e m ，e p i d e m i o l o g ya n dc o n t r o lt h e o r ye t c s i m i l a r l y , i ti sv e r yi m p o r t a n tt 0r e s e a r c ht h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n st od e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i np a r t i c u l a r ，t h ee f f e c t so fap e r i o d i c a l l yv a r y i n ge n v i r o n m e n ta r ei m p o r t a n tf o re v o l u t i o n a r yt h e o r ya st h es e l e c t i v ef o r c e so ns y s t e m si naf l u c t u a t i n ge n v i r o n m e n td i f f e rf r o mt h o s ei nas t a b l ee n v i r o n m e n t t h u s ，t h ea s s u m p t i o no fp e r i o d i c i t yo ft h ep a r a m e t e r si nt h es y s t e m ( i naw a y ) i n c o r p o r a t e st h ep e r i o d i c i t yo ft h ee n v i r o n m e n t ( e g ，s e a s o n a le f f e c t so fw e a t h e r ，f o o ds u p p l i e s ，e t c ) n a t u r a l y , t h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n st ot h e s em o d e l sh a v eb e e ns t u d i e db ym a n ya u t h o r i nt h i st h e s i s ，w es h a l ls t u d ye x h a u s t i v e l yt h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n si np o p u l a t i o nm o d e l s c h a p t e r1i n t r o d u c e sf i r s tt h er e s e a r c hs i g n i f i c a n c ea n dd e v e l o p m e n to fd e l a yd i f f e r -e n t i a le q u a t i o n s i np a r t i c u l a r ，w es u m m a r i z et h em e t h o d sf o rs t u d y i n gt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n st od e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt h el i m i t a t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n gk n o w nr e s u l t s t h e n ，t h i sc h a p t e ra l s op r e s e n t sm a i nr e s u l t s ，o r g a n i z a t i o na n dp r e l i m i n a r i e so ft h i st h e s i s u s i n gaf i x e dp o i n tt h e o r e mo fd e c r e a s i n go p e r a t o r ，c h a p t e r2s h o w st h ee x i s t e n c eo fu n i q u eu p e r i o d i cp o s i t i v es o l u t i o n 童t ol a s o t a - w a z e w s k am o d e l ：t n一( t ) = 一a ( t ) z ( t ) + a ( t ) e 一日( ) 2 ( 一r ( ) ) = 1i np a r t i c u l a r ，t h i sc h a p t e rn o to n l yg i v e st h ec o n c l u s i o no fc o n v e r g e n c eo fz t o 圣，w h e r e ，i sas u c c e s s i v es e q u e n c e ，b u ta l s os h o w st h a t 孟i sag l o b a la t t r a c t o ro fa l lo t h e r1 r时滞微分方程的周期正解及其在种群模型中的应用p o s i t i v es o l u t i o n s t h a ti 8 ，a p p r o x i m a t i o n st o 童a r eg i v e n n j r t h e r t h er e s u l t si nt h i sc h a p t e ra r em o r ev a l u a b l ei nt h ea p p l i c a t i o n s c o m p a r e dt ot h ek n o w nr e s u l t s ，t h er e s u l t si nt h i sc h a p t e ra r em o r ee a s i t yv e r i f i a b l e a p p l y i n gaf i x e dp o i n tt h e o r e mo fd e c r e a s i n go p e r a t o r ，c h a p t e r3o b t a i n ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fu n i q u e6 0 - - p e r i o d i cp o s i t i v es o l u t i o n 童t oh e m a t o p o i e s i sm o d e h川t ) _ 刊) + 薹热i na d d i t i o n ，t h i sc h a p t e rn o to n l yg i v e st h ec o n c l u s i o no fc o n v e r g e n c eo f t o 童，w h e r e $ n ) i 8as u c c e 船i v es e q u e n c e ，b u ta l s os h o w st h a t 童i sag l o b a la t t r a c t o ro fa l lo t h e rp o s i t i v es o l u t i o n s t h a ti 8 ，a p p r o x i m a t i o n st oia r eg i v e n f u r t h e r ，t h er e s u l t si n t h i sc h a p t e ra r em o r ev a l u a b l ei nt h ea p p l i c a t i o n s c o m p a r e dt ot h ek n o w nr e s u l t s ，t h er e s u l t si nt h i sc h a p t e ra l em o r ee a s i l yv e r i f i a b l e c h a p t e r4i sd e v o t e dt oaf i x e dp o i n tt h e o r e mo fs t r i c t s e t - c o n t r a c t i o nt h a ti m p r o v e st h ec o r r e s p o n d i n gk n o w nr e s u l t s t h e n ，a p p l y i n gt h i sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w es t u d yt h em o r eg e n e r a ln e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ：z 他) = z ( t ) k ) 一f ( t ，z ( ) ，霉( t 一盯1 ( ) ) ，z ( t - ( t ) ) ，z o n ( t ) ) ，一，z o 一7 m ( t ) ) ) i ，ja n do b t a i n sm o r ev e r i f i a b l es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f d p e r i o d i cp o s i r i v es o l u t i o n s i na d d i t i o n ，e m p l o y i n gt h ea b o v er e s u l t st ot h ef o l l o w i n gn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a e q u a t i o n ：聊m a ( t ) - f l ( t ) n ( t ) - 删t ，一蚤mc j ( t ) n t ( t - v j ( t ) ) ，t h ec o r r e s p o n d i n gk n o w nr e s u l t sa r ei m p r o v e d f u r t h e r m o r e ，o p e np r o b l e m9 2 1 1 9 】i sg i v e na l la n s w e r i na d d i t i o n w ec a ns e ei ti 8o n eo fg o o dm e t h o d st ou 跎t h ef i x e dp o i n tt h e o r e mo f s t r l c t - s o t - c o n t r a c t i o ni nt h i sc h a p t e rt os t u d yt h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s u s i n gaf i x e dp o i n tt h e o r e mo fs t r i c t - s e t - c o n t r a c t i o n ，c h a p t e r5d e a l sw i t ht h ef o bl o w i n gn e u t r a ld e l a yl o t k a - v o l t e r r as y s t e m ：观( t ) = 戤( t ) l q ( t ) 一a o ( t ) z j ( t ) 一b o ( t ) x j ( t 一勺( t ) )一叼( t ) ( t 一( t ) ) l ，江1 ，2 柚，a n do b t a i n ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n 8f o rt h ee x i s t e n c eo fu p e r i o d i cp o s i t i v es o l u t i o n s t h i sc h a p t e re x t e n d sa n di m p r o v e st h ec o r r e s p o n d i n gk n o w nr e s u l t s m o r e o v e r ，t h er e s u l t si nt h i sc h a p t e ra r em o r ev e r i f i a b l e c h a p t e r6c o n s i d e r st h ef o l l o w i n gn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hf e e d b a c kc o n t r o l ：，rl ( t ) = z ( t ) 卜( t ) 一伽( t ) 。( ) 一口l ( t ) z ( t 一仃l ( t ) )一口2 ( ) 一( t 一盯2 ( t ) ) 一卢( t ) t o 一7 1 0 ) ) 1 ，l。it ，( t ) = 一8 ( t ) “( ) + b ( t ) x ( t 一您( ) ) a p p l y i n gaf i x e dp o i n tt h e o r e mo fs t r i c t - s e t - c o n t r a c t i o n ，t h i sc h a p t e ro b t a i n sm o r ev e r i f i -0 b l es u f f i c i e n tc o n d i t i o n f lf o rt h ee x i s t e n c eo f ，一p e r i o d i cp o s i t i v es o l u t i o n st ot h ea b o v es y s t e m f u r t h e r m o r e ，s o m ek n o w nr e s u l t sa r ee x t e n d e da n di m p r o v e d i na d d i t i o n ，s o m er e s u l t si nt h i st h e s i sh a v eb e e np u b l i s h e di nn o n l i n e a ra n a l y s i s ，j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p h c a t i o 地e t c k e y w o r d s ：d e l a y e dp o p u l a t i o nm o d e l ；n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；f i x e d p o i n tt h e o -r e m ；p e r i o d i cp o s i t i v es o l u t i o n ；g l o b a la t t r a c t i v i t y v u承诺书承孀吊本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学。如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。学位论毫箩：气譬擎，：言q 桎豪2 0 0 7 年6 月7 日。第一章绪论第一章绪论本章主要介绍时滞微分方程的研究背景和现状。以及本文的主要工作和内容安排，最后介绍本文需要的一些预备知识1 1 研究背景在大量的自然与社会现象中有一类确定性的规律，它们可以用含有一个自变量的未知函数及其微分的方程来描述，这类方程称为常微分方程其一般形式可以用方程( t ) = f ( t ，。( t ) )( 1 1 1 )及其初始条件x ( o ) = z o 来表示其中，方程( 1 1 ，1 ) 的左右两边都只是同一时间t 的函数也就是说我们假定事物的发展趋势( 方程( 1 1 1 ) 的左边z 沁) ) 只是由其当前的状态( 方程( 1 1 1 ) 的右边z ( t ) ) 来决定，而不依赖于其过去的状态例如在种群动力学中，研究低级动物( 如细菌、酵母或浮游藻类) 的种群数量增长率，利用l o g i s t i c模型z 缸) = 俐( 1 一警) ，( 1 1 2 )其中z ( t ) 表示种群在时刻t 时的数量，r 为种群的内禀自然增长率，k 为容纳量，1 一掣为调节因子可以看出，在l o g i s t i c 模型( 1 1 2 ) 中，种群的瞬间增长率只与同一时刻的种群密度有关。而与过去时刻的种群密度无关简单地说，这些现象都是瞬间起作用，在这种假设下的数学模型，用常微分方程来描述是合理的因而。常微分方程在各种自然与社会现象的研究中占有非常重要的地位，而且这种状况在以后的研究中会得到进一步的强化见【1 - 9 随着科学研究逐步深入，为适应客观世界的复杂性和多样性，常微分方程这一工具也在不断发展和演变一般来说，在动力系统中总是不可避免地存在滞后现象即事物的发展趋势不仅依赖于当前的状态，而且还依赖于过去某一时刻或某段时间内的状态从而，利用常微分方程来描述这些事物的发展趋势，只是对其实际情形的近似处理更有，对于一些事物的发展趋势，若不考虑时滞。则这样的模型是毫无意义的自1 8 世纪以来，在流体力学、电子学，种群生态学，核反应堆动力学、经济学及现代控制理论等领域都发现具有上述现象的大量事实例如，经济学中价值法则的作用是由于生产与消费之间的时滞造成的；工程中一个反馈回路所控制的系统，大幅度的振荡就是由时滞导致的；在生态系统中，为了更真实地反映自然，时滞常是一种不应忽略的因素如在l o g i s t i c 模型( 1 1 2 ) 中，所考虑的调节因子1 一掣是只与瞬间密度有关的调节机理但大多数实际情况中，这种调节效应时滞微分方程的周期正解及其在种群模型中的应用会有某种时滞这样，l o g i s t i c 模型( 1 1 2 ) 变为方程；荆= 吲t ) ( 1 一掣) ( 1 1 3 )也就是说，时刻t 时的种群增长率不仅与时刻时的种群密度有关，而且与在此之前的时刻t r 时的种群密度有关上述数学模型所用的方程已不再是经典的常微分方程，其特点是t 方程( 1 1 3 ) 右边不仅依赖于未知函数在当前的值z ( t ) ，还依赖于未知函数在过去时刻的值x ( t r ) 也就是说，方程( 1 1 3 ) 不但含有自变量，还含有带滞量的变元，称这种方程为时滞微分方程因此，对于许多自然和社会现象，用时滞微分方程作为数学模型更符合其本质属性见f 3 - 1 9 例如，v o l t e r r a 2 0 在研究捕食动物与被捕食动物的生态模型时，考察了时滞微分方程l 。( 力= z ( 幻【q 1 一声l 可( t ) 一，f l ( p ) v 0 + 0 ) d 0 ，( 1 1 4 )i 矿( t ) = 暑，( t ) 一a 2 + 如z ( ) + ，马( 口) z o + o ) d o d r i v e r 3 在电动力学方面研究过时滞微分方程z 0 ) = ( t ，茁( t ) ，z ( 夕( t ) ) ) + 厶( t ，z ( t ) ，( 9 ( t ) ) ，z ( g ( t ) ) ) ( 1 1 5 )自1 9 5 9 年以后，n n k r a s o v s k i i 用泛函分析观点对这类方程作了创造性研究，称其为泛函微分方程在2 0 世纪7 0 年代，j k h a l e 1 0 l 等进一步使若干基本概念精确化虽然时滞微分方程是在常微分方程基础上自然推广而来的，但由于方程的解映射是在无穷维空间上考虑的，与常微分方程相比，性质上有很多差别因此，无论是从数学理论的发展还是从实际应用的需要来考虑，对这类方程的各种性质，诸如解的存在性、唯性稳定性及周期系统的性质等等，都有必要作深入的探讨研究进而时滞微分方程的有关理论研究受到国内外学者的广泛关注见f 3 - 4 1 众所周知，常微分方程的周期解的存在性及稳定性问题是一个很有意义的研究课题，它体现了一种结构平德性和稳定性，在核物理学、电路信号系统、生态系统、流行病学和控制论等领域都有着重要的意义同样地，时滞微分方程的周期解的存在性及稳定性问题也具有非常大的研究价值近2 0 多年来，时滞微分方程周期解与稳定性的研究引起了国内外学者的广泛关注特别地，在种群动力学中，种群受到环境变化的影响，尤其是周期性变化的环境( 如气候、食物等) 的影响，因而种群动力学中的数学模型可以假设其中一些变量具有周期性自然地，这些模型的周期正解的存在性及其稳定性成为众多学者的研究对象，并且得到许多较好的结果见陋1 2 9 此外，研究时滞微分方程的周期解存在性的主要方法有：( 1 ) 压缩映象原理；( 2 ) 不动点理论，它是研究周期解存在性的主要工具，但所确定的周期解大多是非构造性的；( 3 ) 拓扑度理论，如m a w h i n 延拓定理【1 3 0 l ，这种方法特别适合于连续2第一章绪论和离散生态模型；( 4 ) k a p l a n y o r k e 方法【1 3 1 ，它是j k a p l a n 和j y o r k e 于上世纪7 0 年代提出的一种研究自治方程周期解的新方法，这种方法是将时滞微分方程转化为一个与之相伴的常微分方程组( 称为耦合方程组) ，利用常微分方程的定性理论，可以得到方程周期解的存在性及解的个数；( 5 ) l y a p u n o v 第二方法；( 6 ) 线性系统指数二分性理论；( 7 ) 临界点理论，这种方法主要用来研究非周期系统的周期解问题，可转化为一个经典的h a m i l t o n 系统的周期解问题，从而由其变分结构导出时滞微分方程本身具有的某种周期性，也就是说，这种周期现象是由时滞所引起的；( 8 ) y o s h i z a w a 定理和m a s s e r a 定理，它建立了周期系统解的有界性与周期解存在性之间的联系；( 9 ) 分支方法；( 1 0 ) 映射特征函数法；( 1 1 ) 半序方法等这些方法在文献【1 1 ，1 7 ，1 9 ，4 2 1 3 1 1 中已用到虽然关于时滞微分方程的周期解存在性的研究方法多种多样，但据我所知，近年来这方面的研究还存在很大的局限性其研究现状为；( 1 ) 大部分工作只给出了周期解的存在性条件，没有给出周期解的近似表示事实上只有给出周期解的近似表示，才具有较大的实际应用价值( 2 ) 大部分工作只给出了周期解的存在性条件，很少说明其唯性( 3 ) 研究方法单一，许多学者利用重合度理论中m a w h i n 延拓定理，锥拉伸与锥压缩不动点定理及不动点指数定理等( 4 ) 关于中立型时滞微分方程的周期解存在性的研究较少，即使有少数学者做过这方面的研究工作【1 1 3 1 2 9 ，但所使用的方法比较单一，主要利用重合度理论中的m a w h i n 延拓定理和关于k 一集压缩映象的抽象延拓定理，而且这样所得结果的条件都非常苛刻。从而难以验证另一方面，时滞微分方程的稳定性研究多年来一直是微分方程领域的一项重要研究课题常微分方程中利用构造l y a p u n o v 函数以确定稳定性的方法，也同样适用于一些时滞微分方程但是，在时滞微分方程稳定性的研究中，构造合适的l y a p t m o v泛函常常是相当困难的此外，一般来说，时滞对系统的平衡位置稳定性的影响是很敏感的从而，时滞的增加可能使原来稳定的平衡位置变成不稳定的而其具体影响取决于所讨论系统的类型和特点这种结果在实际应用方面也有非常重要的意义针对以上状况，本文将利用不同于已有文献的方怯，考虑了一类l a s o t a - w a z e w s k a模型与血液细胞生成模型的唯一周期正解的存在性与全局吸弓l 性，并给出收敛于该周期正解的一个迭代函数列即，能够获得该周期正解的近似表示其次，本文利用锥理论和非紧性测度( k u r a t o w s k i ) 理论，证明了一个关于严格集压缩映象的不动点定理，然后利用该定理获得几类中立型时滞微分方程及系统存在周期正解的易于3时滞微分方程的周期正解及其在种群模型中的应用验证的充分条件1 2 本文主要工作及内容安排本文考虑了几类时滞种群模型与中立型时滞微分方程的周期正解存在性与全局吸引性全文共分六章，主要内容安排如下t第一章共分三节，第一节介绍了时滞微分方程的研究背景，特别分析了有关时滞微分方程与中立型时滞微分方程的周期解存在性的研究方法与已有结果的局限性；第二节给出本文的主要工作及内容安排；第三节阐述了本文需要的一些预备知识第二章共分三节，考虑了l a s o t a - w a z e w s k a 模型z ( ) = 一口( t ) z ( ) + p i ( t ) e 一“( ) 。“一日( ) ) ( 1 2 1 )l = l第一节是引言，介绍了一些关于l a s o t a ，w a z e w s k a 模型的意义、已有结果以及所用的研究方法；第二节是预备知识和引理，给出证明本章主要结果所需要的预备知识和引理内容及其证明；第三节利用关于一个减算子的不动点定理，给出了l a s o t a -w a z e w s l m 模型( 1 2 1 ) 的唯一周期正解的存在性条件特别地，本节还获得了收敛于该周期正解的一个迭代函数列此外，本节还说明该周期正解的存在性条件保证了其全局吸引性最后给出一个例子，说明了本节的主要结果改进了相关文献中的结果第三章共分三节，考虑了血液细胞生成模型ml ，、一o ) - 一o o 净o ) + 瓦翻( 1 删第一节是引言，介绍了一些关于血液细胞生成模型的意义、已有结果以及所用的研究方法；第二节利用一个关于减算子的不动点定理，给出了模型( 1 2 2 ) 的唯一周期正解的存在性条件特别地，本节还给出了收敛于该周期正解的一个迭代函数列通过与已有文献比较，说明了本节的结果更加易于验证且具有较强的实际应用价值；第三节利用模型( 1 2 2 ) 的唯一周期解与其任意解的差的振动性，证明了该唯一周期正解的全局吸引性通过与已有文献比较，说明了本节的主要定理是新的结果最后给出一个例子，说明了本章主要结果的可行性第四章共分三节。考虑了更一般的中立型时滞微分方程一( t ) = x ( t ) l d ( t ) 一f ( t ，z o ) ，x ( t 一盯1 ( t ) ) ，x ( t a h ( t ) ) ，( 1 2 3 )o 一7 1 ( t ) ) ，一，一o 一( t ) ) ) 1 第一节是引言。介绍了中立型时滞微分方程的研究背景和已有工作，进而说明已有工作中所用研究方法的局限性和所得结果的复杂性；第二节是预备知识和引理，给4第一章绪论出证明本章主要结果所需要的预备知识和引理特别地，应用锥理论和非紧性测度( k u r a t o w s k i ) 理论，证明了一个关于严格集压缩映象的不动点定理，进而改进了相应的已有结果；第三节利用第二节所得到的不动点定理，获得方程( 1 2 3 ) 存在周期正解的一个易于验证的充分条件并进一步将此结果应用于下列中立型时滞微分方程m ) ：( t ) 卜( ) 一卢( t ) ( t ) 一妻轨( t ) ( t 一以( 啪一壹c j ( ) ，o 一巧( f ) ) li = 1j = ll改进了相应文献的已有结果，并给予公开问题( o p e np r o b l e m9 2 1 9 ) 一个明确的答复第五章共分三节，考虑了中立型时滞l o t k a - v o l t e r r a 系统i ( ) = z 。( t ) h ( t ) 一a i 3 ( t ) 勺( t ) 一幻( t ) 巧。一( ) )。j 一2 1( 1 2 4 )n、1 1 ，一勺( t ) 巧( t 一叼( t ) ) i ， = 1 ，2 ，柚第一节是引言，介绍了关于中立型时滞l o t k a - v o l t e r r a 系统的意义、已有结果以及所用的研究方法；第二节是预备知识和引理，给出证明本章主要结果所需要的预备知识和引理内容及证明；第三节利用第四章第二节所证明的关于严格集压缩映象的不动点定理，获得了系统( 1 2 4 ) 存在周期正解的一个充分条件通过与已有文献的比较，本节的结果推广和改进了相应的已有结果，且本节的结果更易于验证最后给出一个例子，说明了本节主要结果的可行性第六章共分三节，考虑了下列具有反馈控制的中立型时滞微分系统i ! 铲= z ( t ) l r ( t ) 一o o ( ) z o ) 一a l ( t ) x ( t 一口1 0 ) )- a 2 ( t ) z ( t d 2 ( t ) ) 一卢( t ) t o n ( t ) ) f ，( 1 2 5 )i = 一a ( t ) u ( t ) - 4 - b ( t ) x ( t 一亿( t ) ) 第一节是引言，介绍了关于具有反馈控制的中立型时滞微分系统的意义、已有结果以及所用的研究方法；第二节是预备知识和引理，给出证明本章主要结果所需要的预备知识和引理内容及证明；第三节利用第四章第二节所证明的关于严格集压缩映象的不动点定理，获得中立型微分系统( 1 2 5 ) 存在周期正解的一个充分条件最后给出一个例子。说明了本节的主要结果推广并改进了相关文献中的结果1 3 预备知识为了证明本文的主要结果，给出下列预备知识5时滞微分方程的周期正解及其在种群模型中的应用1 3 1 紧算子设e l ，场为两个b a n a c h 空间，dce 1 ，算子a ：d 寸场定义1 3 1 ( 1 3 2 1 3 4 ) 若a 将d 中任何有界集s 映成岛中的列紧集a ( s ) ，则称a 是映d 入场的紧算子定义1 3 2 ( 1 3 2 1 3 4 ) 若算子a ：d _ + 岛既是连续的又是紧的，则称a 是映d 入岛的全连续算子设m 是一个紧的距离空间，带有距离p ，用c ( m ) 表示m - r 的一切连续映象全体定义1 3 3 ( 【1 3 5 1 ) 设f 是c ( m ) 的一个子集称它是一致有界的，如果存在k 0 ，使得i z ( t ) i k ( v t m ，vz f ) ；称它是等度连续的，如果对于v 0 ，总可以找到d ( ) 0 ，使得l x ( h ) 一茹( t 2 ) i ( v t l ，t 2 m ，p ( t l ，t 2 ) 0 ，使当恻i = m l = 1 ，z ，妒p 时，恒有忙+ 训6 ，则称锥尸是正规的。定义1 3 6 ( 1 3 2 1 3 4 ) 设算子a ：d + e ，其中d 为曰的某子集若z ，l ，刀，z 时，恒有a x 2 a y 成立，则称a 是d 上的减算子定理1 3 2 ( 1 3 3 ，1 3 4 ，1 3 6 ) 设( i ) 锥p 是正规的，a ：p - + p 是全连续算子，并且是减算子；( i i ) a o 0 ，a 2 0 e o a o ，其中c o o ；( i i i ) 对任何0 窖a o 及0 a 0 ，使a ( 地) 墨协( 1 + 叩) 】一1 a x ( 1 3 i )6第一章绪论那么，a 具有唯一的正不动点孟 口，并且以任何知p 为初值，作迭代序列z 。= a x n - 1 = 1 ，2 ，3 ，) ，都有i l 茹。一引i _ 0 + o o ) 1 3 3 非紧性测度定义1 3 7 ( 1 3 2 1 3 4 ) 设x 是实b a n a c h 空间，scx 是有界集令m口x ( s ) = i n f 6 0 ：s 可表为有限个子集的并：s = u & ，。、i = 1使每个& 的直径d i a m ( s i ) sd ，称a x ( s ) 为s 的非紧性测度( k u r a t o w s k i ) 定义1 3 8 1 3 2 1 3 4 】设x 和y 为b a n a c h 空间，dcx ，t ：d - + y 连续、有界若存在常数k20 ，使对任何有界集scd ，都满足