（基础数学专业论文）具有弱allee效应的捕食—食饵系统的动力性质.pdf

具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 中文摘要 本文主要介绍捕食者上具有弱a l l e e 效应的l o t k a - v o l t e r r a 捕食一食饵 系统文章通过对模型的定性分析和分支问题讨论来研究模型的全局动力性 质由本文我们可知，具有弱舢l e e 效应的捕食一食饵系统具有丰富而复杂的 动力性质，比如：鞍一结分支、超临界和亚临界h o p f 分支，及b o g d a n o v - t a k e n s 分支可见，具有弱a l i c e 效应的捕食一食饵系统的动力性质比没有弱a l l c e 效应的捕食一食饵系统更加丰富，同时也揭示了弱a l l e e 效应可能是造成捕食 者和食饵之间复杂关系的原因之 关键词：捕食一食饵系统弱a l l e e 效应；复杂；分支；b o g d a n o v - t a k e n s 分支；极限环 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ew e a k 越e f f e c to i lt h ep r e d a t o ri si n t r o d u c e di n t o t h ec l a s s i cp r e d a t o r - p r e ym o d e lo fl o t k a - v o l t e r r at y p e g l o b a lq u a l i t a t i v ea n d b i f u r c a t i o na n a l y s e sa r ec o m b i n e dt od e t e r m i n et h eg l o b a ld y n a m i c so ft h e m o d e l i ti ss h o w nt h a tt h ew e a ka l l e ee f f e c tc a l lb r i n gr i c ha n dc o m p l i c a t e d d y n a m i c st ot h ep r e v i o u s l ys i m p l em o d e l ，s u c h a st h es a d d l e - n o d eb i f u r c a t i o n ， s u b c r i t i c a la n ds u p e r c r i t i c a lh o p fb i f u r c a t i o n s ，a n db o g d a n o v - t a k e n sb i f u r c a - t i o n s t h e s er e s u l t sr e v e a lf a rr i c h e rd y n a m i c sc o m p a r e dt ot h em o d e lw i t h o u t a l l e ee f f e c t ，i m p l y i n gt h a tw e a ka l l e ee f f e c tc a $ 1b eo n eo ft h es i m p l er e a s o n s f o rm a n yc o m p l i c a t e db e h a v i o r si nt h ep r e d a t o r - p r e yc o m m u n i t i e s k e y w o r d s ：p r e d a t o r - p r e ys y s t e m ；w e a ka l l e ee f f e c t ；c o m p l e x ；b i f u r c a - t i o n s ；b o g d a n o v - t a k e n sb i f u r c a t i o n ；l i m i tc y c l e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究 成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由 此论文而产生的权利和责任 责任人( 签名) ：袭“l 卅饵主r 哆e l 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编人有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密u ( 请在以上相应括号内打) 作者签名：教仰乞二日期：狮红心月习日 导师签名：移专萌日期：知8 年，月归 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 3 第一章引言 自l o t k a 1 5 1 和v o l t e r r a 1 6 】的研究之后，捕食一食饵系统引起了广泛的 研究 自然界中，种群的动力行为般都是非常复杂的我们着力于从理论上 和实践上来研究影响捕食一食饵系统稳定性的因素，这就很自然的提出这样 的问题：是哪些因素直接导致这些复杂的动力行为? 本文中，我们改进了模型，研究结果显示弱a l l e e 效应作用在l o t k a - v o l t e r r a 捕食一食饵系统上将导致复杂的动力行为，这表明a l l e e 效应是引 起捕食一食饵系统复杂的动力性质的主要原因之一 我们对捕食一食饵系统的研究一般都是以l o t k a - v o l t e r r a 模型作为基础 的，在最开始的l o t k a - v o l t e r r a 系统( 【15 1 ，f 2 3 】) 中，在没有捕食者的干预的情 况下食饵将无限增长，这是与实际不符的，因为当食饵的种群密度过于拥挤 时，食饵的食物供应将无法满足，从而导致食饵的出生率下降，因此我们在 l o t d a - v o l t e r r a 方程中引入具有密度制约的l o g i s t i c 增长率，我们就得到了下 面这个方程( 见m u r d o c he ta l ，【1 6 】；m u r - r a y 【17 】) ： ，r ，z 、 jz 副z 【卜瓦j 一僦y l = y c - d + n m z y ) p 7 其中x ( t ) 和y ( t ) 分别代表食饵和捕食者在t 时刻的数量，r ，k ，d ，a ，m 都为正 数，r 代表食饵的内禀增长率，k 代表食饵的环境容纳量，d 表示捕食者的 死亡率，m 表示捕食者的捕获，a 表示转化率显然，系统( 1 ) 有如下的动 力性质： 当k 蕊d 时，系统仅有个正平衡点( 袅，笔：字) ，且为全局渐近稳定 的，代表系统最终将达到食饵与捕食者共存 然而，在对l o t k a - v o l t e r r a 捕食一食饵系统的研究中，很多人都忽略了 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 4 l h ：唧矗 郐m 峨h l 嘶 n o a i i 押翻 o ( 一 h r 哪h l 蜊- 也 n 瞳 蜘i g a l k 棚嘛 o 孙嘲 八 几弋 t 呻酗a 出g u r c t b 用譬 w e j k a | l e e e k c c l 0肌 f i g u r eh d e f i n i t i o no ft h ed e m o g r a p h i ca l i c ee f f e c t t h ep o s i t i v er e l a t i o n s h i p b e t w e e np e r - c a p i t ag r o w t hr a t ea n dd e n s i t yw h e nd e n s i t yi sl o wd e f i n e sa l la l l e e e f f e c t 舔i nb o t h ( b ) a n d ( c ) v l r h f f l lp e r - c a p i t ag r o w t hr a t ei sn e g a t i v eb e l o wa t h r e s h o l dd e n s i t y ，t h i si sas t r o n go rc r i t i c a la l l e ee f f e c t 弱i n ( c ) c i t e df r o ms h ie t a i 2 1 】 a l l e e 效应对系统的影响( 见【2 4 】，【2 0 】) 那什么是a l l e e 效应呢? a l l e e 效应 是以生态学家w a r d e rc a l l e e ( 见【1 】，【2 】) 来命名的，代表种群数量增长和 种群密度之间的关系( 见【1 3 1 ) ，即对于个具有a l l e e 效应的种群来说，如果 他的种群密度过于稀疏时，那么她的种群数量将减小 对于具有强a l l e e 效应的种群来说，当它的种群密度过于稀疏或过于拥 挤时，会出现负增长的情况( f i g u r e l ) ，最后将导致种群灭绝但是对a l l e e 效应的研究，绝大部分学者都仅针对强a l l e e 效应，而忽略了弱a l l e e 效应 对于具有弱a l l e e 效应的种群来说，当它的种群密度过于稀疏时，它的出生率 也减小，但从不出现负增长的情况有一些文章曾研究了舢l 效应对捕食一 食饵系统的稳定性及分支情况的影响，如k e n te ta 1 ，2 0 0 3 9 1 和z h o u ，l i u ， w a n g ，2 0 0 5 2 4 1 w a n ge ta l 研究了对于食饵以指数增长的经典的捕食一食 饵系统，当弱a l l e e 效应分别作用于其捕食者或食饵上的情况【2 4 】从数学上 讲，a l l e e 效应可能是导致捕食一食饵系统不稳定的因素，当a l l e e 效应作用 具有弱a l e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 5 于捕食者或食饵上时，系统的平衡点将从渐近稳定或中心稳定变成不稳定或 中心稳定，又或者系统需要更长的时间才能达到稳定状态 在本文中，我们主要研究当弱a t l e e 效应作用于l o t k a - v o l t e r r a 捕食一 食饵系统时，弱a l l e e 效应对系统的影响，由f i g u r e l ，类似于【2 4 1 的方法， 可以把模型写成 l 圣= r x ( 1 一昙) 一，n z y 兰 ( z ，y ) ， 1 雪刮“+ n m 南) 三腓 洋7 与系统( 1 ) 相比，系统( 2 ) 多了项；格，它代表弱a u e e 效应，其中b 0 代表a l l e e 常数，当b 越大，表示a l l e e 效应越大在生物上系统( 2 ) 的弱 a l l e e 效应项可解释为当种群的密度过于稀疏时，种群将出现交配困难，从而 种群的出生率将减少，进而将不利于种群的数量增长( 见f 4 1 ) 本文系统地对系统( 2 ) 的动力性质进行了研究，得到当弱a l l e e 效= 应加 入到系统( 1 ) 时，将使它的动力行为变得复杂得多，我们主要参考了x i a o & r u a n 2 6 ，x j a o 2 7 ，x i a o & j e n n i n g s 2 8 ，x i a o & z h u 2 9 ，z h a n ge ta l 3 1 】& z h u e ta 1 1 3 2 1 的数学方法 本文结构安排如下：在第二章，我们研究了具有a l l e e 效应的捕食一食 饵系统的平衡点存在情况及局部动力性质分析，同时我们也对生物意义进行 了解释；在第三章，我们研究了系统有可能出现的所有分支情况，包括。鞍一 结分析、超临界和亚临界h o p f 分支，及b o g d a n o v - t a k e n s 分支；文章的最后 以个简明的讨论结束本文 具有弱a o e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 6 第二章具有弱a l l e e 效应的捕食一食饵系统平衡点及局 部分析 由系统( 2 ) ，我们可知z 轴，可轴和第一象限都是系统的不变集从生 物的角度上，我们仅对系统( 2 ) 在磁的情况感兴趣，因而，我们仅考虑具有 生物意义的初值条件下：x ( o ) 0 ，v ( o ) 0 ，的系统( 2 ) 的动力行为此时 系统( 2 ) 至少存在两个以上平衡点，其一为双曲鞍点( o ，0 ) ，另一为捕食者灭 绝点( k ，0 ) 在平衡点的研究中，我们最关心的是系统( 2 ) 正平衡点的存在 与否，下面我们来探讨正平衡点存在的条件我们先来讨论他们的等倾线食 饵的等倾线是一条过( k ，0 ) 和( 0 ，去) 的直线： y2 m c g x - - d 过点( k ，彘) 且当z 从右边逼近直线z = 岳时，可_ o 。我们在第一象 限中给出了草图( 见f i g u r e2 ) 我们不妨设z 蕊d ，由系统( 2 ) 的方程可 知系统( 2 ) 的平衡点的z 的值都小于等于k 取定参数r ，k ，n ，m 和d ，这时 系统( 2 ) 平衡点的个数取决于a l l e e 效应常数8 ：若曰足够大，系统( 2 ) 无正平衡点，这时捕食者灭绝但在生物的角度上，我们更希望两者共存下 面，我们来探索系统( 2 ) 正平衡点存在的条件令 a 1 = - ( 。一羔h 伽竿 系统( 2 ) 的正平衡点需满足， ：系0 仁1 ， 卜h 器= o j 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 7 化简可得 i a t 一( 口+ 丽d ) r 蚪d ( 去+ 口) = 。 ( 2 2 ) 如果方程至少存在正实根，则必须满足： o = a j a 2 b 0 ( 2 3 ) 数学上，o = a 一a 2 b = 0 是鞍一结分支面这也就是说当参数从分支面 的边到另一边，系统的平衡点个数将发生改变 f i g u r e2 ：i s o c l i n e so fs y s t e m ( 2 ) 由( 2 1 ) ，可得 小豪( 1 一丢) 为了使y 0 ，我们作第二个假设。 矿 0 ，系统例的所有初值为正的解在辟都是正 有界的 证明由系统( 2 ) ，我们可得 z ( o ) e x p m y ( s ) d s j o o ；) = 【r ( 1 一型笋) 一 o ； 、 y ( t ) = y ( 0 ) 唧 厶( - d + 啪揣) 0 ) = ) e 印 【+ 啪若) 】出) ，oy 、o ，- 工， 由系统( 2 ) 的第个方程，我们可证，= _ 辜( ) k l e tw ( t ) = a x ( t ) + ( t ) ，注意到z ( ) ，( t ) 0 对所有t 0 ，因此我们 有 删( 2 ) = a r x ( 1 一妻) - a 嗍+ 拶( 一d + a m 帛) a r x ( 1 一去) 一匆 存在正常数m ，丁，使得( ) i ( 2 ) m r a i n ，d w ( t ) 对所有的t t 因 此j l i m 叵w ( t ) 盂耐m ，进而z ( t ) ，秒( ) 都最终有界引理2 1 的证毕 口 同理，我们有 引理2 2 以，系统例没有正平衡点，若b 筹或0 袅 俐系统俐有两个正平衡点( x l ，玑) ，( 现，耽) ，若0 冬或0 等或0 ks 袅，系统( 2 ) 没有正平衡点，( o ，o ) 是 双曲鞍点，( k ，0 ) 是稳定结点因此，系统( 2 ) 没有闭轨和异宿轨从而系统 ( 2 ) 的极限集是唯一稳定的平衡点从而证明了( k ，0 ) 是g a s 口 考虑系统( 2 ) 在各平衡点处的线性部分令，( z ，y ) = ( ( z ，y ) ，厶( z ，j 5 ，) ) r ， 可得： ， 州刚，2(r耋-g一秒讲一-mxy+by + b + 将1 ” 。( 暑，+ b ) 2 分别的，我们有 d r ( 加f 耋一= ) 小0 j 1 ，2 筑m ) 2i ：盖j_ 0 ，1 ，2 z t 纵+ 口扛，| ，) 系统( 2 ) 的平衡点在局部的动力性质取决于矩阵o ( x ，y ) 在该平衡点处的特 征根的性质 接下来，我们研究平衡点( x l ，y 1 ) 和( x 2 ，沈) 的稳定性系统( 2 ) 关于 ( z 2 ，抛) 的线性部分取决于矩阵t = ( i 蛩) 善2 l 幢+ 上， 善2 ，i 悖) 计算其行列式可得： 枷胞川= 杀( m 2 谚一而r d b ) = 百d v a 2 - a 2 b 、r v n a 2 。面“) o 具有弱a l l e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 这表明( x l ，玑) 是焦( 结) 点另外， t r d f ( x l ，y 1 ) =k ( y l + b ) l k ( u l - 4 - b ) + 五g u v 。2 。面一嘉) 一rda；-a一282a 2 m 2v a 2 1 ： 令f = v a i - a 2 b ，且0 f 0 时，方程夕( f ) = 0 有两相异实根从而我们有 扣如卅+ 熹一等 扣小卅+ 志+ 等 这里总有1 已我们可证若a 1 0 ，l 已 a 1 夕( f ) 的符号由a 1 ， 9 2 a 4 a 2 r 一毫和一露r 帮d + 等的符号所决定为了简便，不妨记 石= 差 。，石= 丽k a l 一石h ，石= 一丽r d + 百a l h 我们对否，琶的符号进行讨论，从而得到如下的表1 和表2 ，这里鲍= a 0 - + , 0 + n 迹： 表1 ：石的符号 参数d 的范围k 的范围b 的符号 0 鬲习d 丽r b 0 d f k = 磊丽d r b = 0 0 0 1 0 抛 柚些加 聊 一 一鲨撇 秒 一 州 n 似 具有弱a n e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 表2 ：芒的符号 参数d 的范围k 的范围否的符号 0 迟墨 苞 0 0 k k 2 否 0 接下来我们讨论夕( ) 的符号，令如= a ( r - d ) + 焘，广= 根据上面的分析我们得到表3 1 l ( 8 r + 1 ) ( 4 r 1 ) + 、( 1 - 4 r ) ( 1 2 8 r 2 + 2 8 r + 1 ) 1 6 ( 1 - 4 r 表3 ：g ( ) 的符号 1d 和k 的范围f9 ( ) 1 0d 4 ra n d 而d k 老 9 ( ) 0 4 3 r d m a x 袅，而d r ) l = 0 d = 冬a n dk = 丽d r 9 ( f ) 0 0 d r f 如 r d 了4 ra n d 丽4 r k 丽d r f 岛 ( i ) d ra n d 磊4 r k 耽 2夕( ) 0 ( i i ) 0 d 蓑 = 已，i = 1 ，2夕( f ) = 0 ( i i i ) r d 了4 7 a n d 而4 t k 丽面d r 两 f l f 0 ( a ) r ； 0 ( b ) 0 r ； d 笔 0 f 已9 ( ) 0 ( c ) 0 ， ；m a x r ，； d 鲍 ( d ) 0 r i 1 ；m 彻 广，； d ra n dk = k 2 f = 已9 ( f ) = 0 ( e ) 0 t ；m a x r ，r ) k 2已 0 4 r 3 d 4 7 锄d 南 k 尥 夕( f ) 4 ra i l d 袅 k 恐 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 一 1 2 由引理2 1 ，若0 b 磊d 时，系统( 2 ) 有两正平衡点此 时，系统( 2 ) 的动力性质将变得非常复杂而有趣，同也将发生很多分支情况 我们把分支情况放在下一章中讨论现在我们不妨令b 。= 墨亲2i 工2 ；岛= 生杀盟 可得系统( 2 ) 在( x l ，y 1 ) 和( z 2 ，抛) 的局部动力性质： 定理2 4 若0 d 0 ，杀 k 笔j 俐誓 d m a x 蕊d ，赢) i 纠d = 誓，k = 啪( d d _ r r ) ，o 例0 逛，b 生a 盘2 纠r d 誓，而4 r k 4 r ，丽d r k k 2 ； 俐誓 d 4 r ，而d r k 恐 2 当如下的条件之一成立时； 纠； d ，丽4 r k 憨； 俐0 d 而4 1 j 纠r d 誓，惫 k 羽d r 这时我们有： 2 i 若b i b b 2 ，则( x l ，掣1 ) 是不稳定的结力焦，点； 2 i i 若b = 最一= f ，砂，则( x l ，1 ) 是中心或弱焦点； 2 i i i 若o b b l 或b 2 b 筹，则x l , ! ，1 ) 是稳定的结例点 只当如下的条件之一成立。 具有弱a l l e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质1 3 似r ； d 惫i 俐0 ， ； d 惫； 俐0 ， 扣懈 r ，；) d k 2 ； 例0 ， ；m 凹 ，+ ，；) d 7 ，k = k 2 ； 俐0 r ；m a z r 。，r ) 鲍这时我们有： 3 i 若b 2 b 筹，则x 1 ) y 1 ) 是不稳定的焦例点； 3 i i 若b = 岛，则( 2 7 1 ，可1 ) 是中心或弱焦点； 3 i i i 若0 杀，系统俐有唯退化的的正平衡点 ( x o ，g o ) 且系统俐在砰内无极限环，进而有， 俐若如下条件之一成立，则( x 0 ，珈) 是余维为f 的鞍一结点 纠0 ；且k 鲍 俐若d ，d 等且k = k 2 ，则( 跏，珈) 是余维为2 的尖点 纠若d = 誓且k = j f g ，则( x o ，y o ) 是余维至少为3 的尖点仁垦化的 b o g d a n o v t a k e n s 分支点j 证明如果矩阵d ( 黝，踟) 为零，则x o ，珈) 是退化的计算矩阵d ( 学，- 2 4 m l ) 在点( 堡赶2 a，彘) 的行列式，可得 妣。( 监学，丽a i ) = 揣+ m 由于b = 簧和( 2 1 ) 式，我们有 枷( 学，嘉) = 南( m 2 0 诟一百r b d ) = 。 这表明( x o ，珈) 是退化的 为了研究平衡点( x o ，y o ) 在其小领域内的动力性质，我们首先把平衡点 ( x o ，y o ) 平移到原点并在原点的右边做泰勒展开这时可得 仁攀r x o i 要焉r2 m a y o 静( y o + 2 b ) 射焉y 2 + 9 2 可，i 多= 等z + 羔y + 丽鲫+ 意备 可) 这里鲍( z ，可) 是关于( 毛y ) 的次数至少为3 的光滑函数接下来我们来分析矩 阵 ，、 小( 蓍登) 的特征根的情况由于如t d ( 学，彘) = 0 ，因此d ( 擘，彘) 至少 若条件( a ) 成立，也就是说，打_ d ( 学，彘) 0 因此我们对系统 ( 2 7 ) 做如下的c 变换t x l2z ，- 12 丽拓( b 咖+ m n 裾z ) ； 具有弱a l l e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质1 5 一 ：r a x o ( y o + b ) 一一一 钇引l + 面砸j 瓢茄丽玑川2 刊1 使得系统( 2 7 ) 变为( 为简单，我们仍然把- 2 和玩记为z 和可) z 2 矽= d b ( d b r k z o ( y o + b ) ) ( b d 一妻跏( 珈+ b ) ) j 5 ，+ 产+ 只( z ，y ) ( 2 8 ) q l ( x ，矽) 这里只p ，3 ，) ，q 1 ( x ，y ) 是关于( z ，y ) 的次数至少为2 次的光滑函数因为 尸l ( z ，可( z ) ) = a 1 护+ 芦( z ) ，这里口l = 一丽1 1 1 一, 3 ( 串1 2 盘( 而0 是关于( 口，r ，d ，m ，k ) 的非零常数且( z ) 是关于z 的次数至少为3 的函数根据【3 1 ，第二章定理 7 1 ，系统( 2 8 ) 的平衡点( 0 , 0 ) 是余维1 的鞍一结点，从而，平衡点( x 0 ，y o ) 是 余维为1 的鞍一结点( 见f i g u r e 好) 这样我们完成了( a ) 的证明 f i g u r e3 ：t h ep h a s ep o r t r a i to fs y s t e m ( 2 ) w h e n0 墨a n d k s k 2 若d ；，d 等且k = 尥，打d ( 毕，彘) ：0 ，这时矩阵 具有弱a 1 1 e e 效应的捕食一食饵系统的动力逝一一一一一1 6 _ - - _ _ _ - _ _ _ - - _ _ _ - - 一一一一。一一一 n r 塑拙2 a，盎) 的两特征根都为零注意到矩阵d ( 学，急) 是非零阵 甄= z ，矾2 磊百( b d y + m 口嚣z ) ； 忙磊m ：t o ( y o + b ) m ( y o + b ) 麓孑+ 扣如亿9 ， 这里q ( z ，y ) 是关于( z ，s ) 的次数至少为3 的光滑函数进步做变换 使得系统( 2 9 ) 变为( 为简单，我们仍然把_ 2 和玩记为z 和箩) ： f 圣：可一三z y ， t 洲嘉一鲁蛔+ 蒜冉南n 哆n ( 2 1 0 ) 这里q 3 ( z ，可) 是关于( z ，剪) 的次数至少为3 的光滑函数根据【1 8 l 的规范型 z = u + 三( 石云南一去) 舻；箩= t ，+ z2u + 互( 而丽丽一磊箩2 移+ 我们把t i ， 记成z ，掣，这时系统( 2 1 0 ) 变为 b 2 d 滢赢州鑫一警切地可，偿i 1 7 = 蔷禹州晶一警切地可，心1 u 这里q 4 ( z ，y ) 是关于( z ，y ) 的次数至少为3 的光滑函数由于 葡m 厕3 a 2 y 3 。b c f ( 珈+ b ) 。 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 1 7 f i g u r e4 ：t h ep h a s ep o r t r a i to fs y s t e m ( 2 ) w h e nd 戛，k = k 2 竺竺鲮一型：竺竺堡f 旦一塑旦1 0 一：= ：一i 一i ；# ( 蜘+ b f - b d ( y o + b ) b d 、y o + bky o 77 因此，系统( 2 1 1 ) 的平衡点( 0 ，0 ) 是余维为2 的尖点，进而，平衡点( x 0 ，y o ) 是余维为2 的尖点，或者是b o g d a n o v - t a k e n s 型奇异点( 见f i g u r e4 ) 给定d = 等，这时飓= 。3 。d ，b = y o ，可得 m a y 2 0m 2 垢m n 垢 r b d r z ob 、 n ( y o + b ) 2 b d ( y o + b ) b d 、y o + b ky o 7 因此( 硒，珈) 是退化的b o g d a n o v - t a k e n s 分支且该奇异尖点的余维数至少为3 维我们完成了( b ) 和( c ) 的证明 为了证明在碎不存在极限环我们用反证法，不妨设在碎存在一极 限环，则该极限环的内部必存在平衡点且这些平衡点的特征指数之和为1 但是，因为，塑趑2 a，彘) 是系统( 2 ) 的唯一正平衡点，且( 毕，彘) 是 一鞍一结点或尖点，他们的特征指数都不为1 ，这与假设矛盾，所以系统( 2 ) 在礁不存在极限环定理2 6 证毕 口 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 1 8 第三章具有弱a l l e e 效应的捕食一食饵系统的分支情 况 这一章，我们研究系统( 2 ) 的分支情况当引理2 2 的条件成立时，由定 理2 6 我们知道系统( 2 ) 有唯个退化的正甲衡点由分支理论，我们可 得出系统( 2 ) 将出现多种分支 3 1 鞍一结分支由引理2 2 和定理2 6 ，可得 s n = ( r ，口，m ，d ，k ，b ) ：b = 竿，0 ；a n dk c k 2 ，口 0 ，m 0 ， 0 ) ，1 二 是鞍一结分支面这是系统唯一的鞍一结分支面，当参数从鞍一结分支面的一 边到另一边时系统( 2 ) 的平衡点个数将从0 个变为2 个并且这两个边界平 衡点分别为双曲鞍点和结点 3 2h o p f 分支 由定理2 5 的( 2 i i ) 和( 3 i i ) ，我们知道在参数空间( ，n ，m ，d ，k ，b ) 上存在如下参数面： h 1 = ( r ，口，m ，d ，k ，b ) ：； d r ，赢4 r k 鲍，b = 生a 盈2 j l ， 2 = ( 邮，m ，d ，k ，b ) ：0 d 丽4 r ，b = 竿) ， 风= 口m ，d , k ，b ) ：r d 誓，赢4 r k 南，b = 警) ， 矾= ( r 口，m ，d ，k ，曰) ：； d r 赢4 r k ，b = 兰妥笋 ， 风= ( r 8 ，m ，d ，k ，b ) ：0 d ；4 菘r ，b = 等孚) ， h 6 = ( r 口，m ，d ，k ，b ) ：， d 誓，丽4 r k ， h r = ( r ，8 ，m ，d ，k ，口) ：r ； d 丽4 r ，b = 警) ， 风= ( r ，口，m ，d ，k ，b ) ：0 r ； d 磊4 r ，b = 警 ， h 9 = ( ( r ，口，m ，d ，k ，b ) ：0 r 扣撇 r ，) d 恐，b = 警 ， h l o = ( ，n ，m ，d ，k ，b ) ：0 r ；m n z r 。，i d r ，k = 鲍，b = 具有弱a u e e 效应的捕食一食饵系缠鲍塾垄丝重 1 9 幽l a 2 j 风l = ( r 口，m ，d ，k ，b ) ：0 f ；m a x r ，r ) 鲍，b = 掣 使得系统( 2 ) 在磷有两平衡点( z l ，y 1 ) 和( x 2 ，珑) ，( x 2 ，珈) 是一双曲鞍点， ( z l ，耽) 是细焦点或中心因此系统( 2 ) 可能发生h o p f 分支在这节中，我们 主要讨论当 l ，可1 ) 的稳定性发生改变时系统( 2 ) 将出现h o p f 分支本文中 我们仅讨论三个面飓，z r 5 和 b 当参数( ，a ，m ，d ，k ，b ) e 巩时，我们考查( z l ，玑) 的稳定性为了得到它 的稳定性，我们考虑( z l ，y 1 ) 的l y a p u n o v 系数做变换x = z x l ，y = 一y x 把( z l ，y 1 ) 平移到原点且把x ，y 仍然记为z 和y ，我们有 f 圣：a l o z + a 0 1 y + 螂2 + a l l x y + n 0 2 旷+ n 3 0 矿+ 0 , 2 1 护暑，+ a 1 2 y 2 + n h 圹， l 多= b l o z + b o l 秽+ b 2 0 x 2 + h l x y + 6 0 2 y 2 + b 3 0 2 3 + , 2 1 2 2 y + 6 1 2 鲈2 + b 0 3 y 3 + o ( 1 ( x ，y ) 1 4 ) 、 ( 3 1 ) 这里和b 是 ( z ，y ) 和，2 ( y ) 在( x l ，y 1 ) 的展开项的系数i ，歹= 0 ，1 ，2 ，3 a l o2 一蛩，n 0 12 一，n z l ，( 2 2 02 一云，a l l2 一m 6 3 0 = 0 ，眈l = 0 ，a 0 2 = 0 ，a 1 2 = 0 ，a o s = 0 ， 6 1 0 = 磬，b o = 鼎，6 0 2 = 南，厶t ：= 鼍帮，6 0 3 = 一嚣稀， 6 1 2 = 卫y i + b m a ( y v l l ( + y l b + ) 3 2 b ) ， b 2 1 = 0 ，6 2 0 = 0 ，6 3 0 = 0 显然 n l o b o l a o l 6 1 0 0 ，a l o + 6 0 1 = 0 接下来我们考虑也，因为( r ，口，m ，西k ，b ) 2 ，根据【1 8 】中第3 4 4 页的 第一l y a p u n o v 常数仃的标准形式，借助m a p l e 软件，经过复杂的计算我们 可得系统( 3 1 ) 在原点处的第一l y a p u n o v 常数州l8 】，p 3 4 4 ， 3 7 r q 盯= 。；= = = = = = = = = = = = = = = = 2 2 y l ( y t + b ) 4 k 3 m z 、( m 匆l 一揣) 3 具有弱a l l e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 这里 q = r d 2 y l m k 2 z lb 4 + - z l m k 2 y i 舻+ r 2 x ；m k y d r m 2 j f 产d b 2 y 一r z m 2 k 2 d b 4 + m 2 d 2 y ；k 3 8 2 的l + m d 3 y ；k 3 8 2 7 r 2 z ；( i b 2 k m a y 一6 r 2 方 m 2 k f l b 2 2 r 2 霹m 2 k y a b 3 + 4 r x ：m 3 k 2 y ；b 2 + 8 r x i m 3 k 2 y 4 a 2 b 一4 r 霹m 2 k 2 y i 以 一1 2 r z m 2 k 2 y a d b + 4 r x i m 3 k 2 可；n 2 8 2 + 4 r 2 z ；m d b + 5 r 2 z ；m 辨d b 2 + 2 r 2 z ；m k 裾d b 3 2 r x ；m 2 k 2 d b 3 y i 一2 m 2 d 2 y k 3 8 3 a x l + 2 m d 3 y k 3 伊 一4 暑，l r 2 霹d b 3 k m a + 2 r 2 z ；d 2 8 2 k 薪+ 4 y l r 2 x ；d 2 8 3 k + 2 r d 3 8 4 9 2 x l + 5 r d 2 y ；m k 2 2 1b 2 + 2 r d 2 y ；m k 2 z lb 3 一l o r x ：m 2k 2 耖；n b 2 d + 4 r x l m k 2 y ：d 2 b 一2 r 2 z ；m 2k y a 一6 r 2 2 3 1 m 2 k y a b + 2 m a x ：y 2 8 2 r 3 + 2 付i 眦：y lb 3 r 3 2 m 2 础贸b 3 d k 2 r h 2 ，盯的符号取决于q 若q 0 ，系统( 3 1 ) 的原点为重弱焦点， 若q 0 ，则原点为不稳定的 由z 1 = 坠堕叠也2 a t 丛幽，y l = 去( 1 一嚣) ，b = 等2 2 并借助于数 学模拟，可得盯的符号是无法确定的例如，当取参数( r ，a ，m ，d ，k ，b ) = ( 1 2 ，1 ，0 5 ，0 5 ，1 5 ，6 4 ) e h 2 ，此时盯= - 0 1 0 3 1 2 另外，当我们再取参 数( r ，a m ，d ，k ，b ) = ( 1 2 ，l ，0 5 ，0 5 ，9 6 1 5 ，2 0 3 4 8 8 9 9 6 6 ) 凰的，此时 仃= 0 0 0 0 1 0 4 2 6 7 8 6 3 因此，在平面啦上存在条曲线， 1 2 _ ( r 口 m 邶：q _ o 。 0 ，而若( r ，a ，i l l ，d ，k ，b ) ，则仃 0 即： - ( r ，a ，m ，州：。 d 笔肛掣 ，q o ) m ， 因 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 2 1 _ ( r 口，仇，讹趴。 。 将我们的讨论概括如下： 定理3 1 f 砂若参数仉口，m ，面k 剀风2 ，则系统俐的平衡点( z l ，y 1 ) 为一重不 稳定弱焦点 俐若参数仉口，m ，d ，k 驯曲线f 2 ，则系统俐的平衡点( x l ，掣1 ) 为重 数至少为两重的弱焦点或为中心 纠若参数n b ，m ，面k 纠五，则系统俐的平衡点( z l ，玑) 为一重稳定 弱焦点 由定理2 4 和定理3 1 的( c ) ，可知当b 取值为分支值b = 坐a 二笠时，2 若它从平面月玉的一端变化到另一端时，系统( 3 1 ) 将出现超临界h o p f 分 支( 见【l8 】) 若( r ，口，m ，d ，k ，曰) 埤，b 笃2 2 且i b 一垒邕a 2i ! 1 ， 在( x l ，y 1 ) 的小邻域内将出现个不稳定的极限环因此我们把平面上，p 2 称为 亚临界h o p f 分支由以上结论，我们有s 定理3 2 俐若( r n ，m ，d ，k ，b ) 蜀唿，譬手 b 著且i b 一生a 2 蛀l i 1 时，系统 例至少存在个不稳定极限环 一1 l j 若( r ，口，m ，d ，k ，b ) h p 2 ，0 b 丛2 i 2 且i b 一生妥笋l 1 ，系统俐 至少存在个稳定极限环 类似地，对于玩，由z 。：墼塑j 业2 ) a r 压画，y 。：景( 1 一套) ，b ：等2 _ 产2 并借助于数学模拟，可得仃的符号是无法确定的例如，当取参数( r ，口，m ，d ，k ，b ) 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的动力性质 2 2 = ( 1 2 ，1 ，0 5 ，0 5 ，l 玩0 5 5 ) 风，此时盯= 0 0 1 0 6 3 8 0 9 0 9 0 另外，当我们再 取参数( r ，a ，m ，d ，k ，b ) = ( 2 ，0 5 ，o 2 ，o 7 ，8 1 ，6 7 5 5 5 5 5 5 7 ) e 玩，而此时仃= 一0 0 0 0 5 5 9 7 8 8 5 3 2 9 ；对于历，当取参数( r ，n ，m ，d ，k ，b ) =