本科数学毕业论文：常系数非齐次线性微分方程的算子解法

分类号分类号 编编号号 毕业论文 题题目目常系数非齐次线性微分方程的算子解法 学学院院数 学 与 统 计 学 院 姓姓名名xxx 专专业业数 学 与 应 用 数 学 学学号号291010132 研 究 类 型研 究 类 型理 论 研 究 指 导 教 师指 导 教 师xxx 提 交 日 期提 交 日 期2013 年 5 月 原 创 性 声 明原 创 性 声 明 本 人 郑 重 声 明本 人 郑 重 声 明 : 本 人 所 呈 交 的 论 文 是 在 指 导 教 师本 人 所 呈 交 的 论 文 是 在 指 导 教 师 的 指 导 下 独 立 进 行 研 究 所 取 得 的 成 果的 指 导 下 独 立 进 行 研 究 所 取 得 的 成 果 .学 位 论 文 中 凡 是学 位 论 文 中 凡 是 引 用 他 人 已 经 发 表 或 未 经 发 表 的 成 果引 用 他 人 已 经 发 表 或 未 经 发 表 的 成 果 、数 据数 据 、观 点 等 均观 点 等 均 已 明 确 注 明 出 处已 明 确 注 明 出 处 . 除 文 中 已 经 注 明 引 用 的 内 容 外除 文 中 已 经 注 明 引 用 的 内 容 外 , 不 包不 包 含 任 何 其 他 个 人 或 集 体 已 经 发 表 或 撰 写 过 的 科 研 成 果含 任 何 其 他 个 人 或 集 体 已 经 发 表 或 撰 写 过 的 科 研 成 果 . 本 声 明 的 法 律 责 任 由 本 人 承 担本 声 明 的 法 律 责 任 由 本 人 承 担 . 论 文 作 者 签 名论 文 作 者 签 名 :年年月月日日 论 文 指 导 教 师 签 名论 文 指 导 教 师 签 名 : 常系数非齐次线性微分方程的算子解法 王 东 云 （天水师范学院,数学与统计学院,甘肃,天水,741000） 摘 要摘 要本文讨论了求常系数非齐次线性微分方程特解的算子解法,结果说明当非齐次 项是指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数时,用这种方法可以直接求出一个特解, 运算简单. 关 键 词关 键 词线性微分方程;算子方法;特解 Differential operator method of inhomogeneous linear differential equation with constant coefficient Wang Dongyun (School of mathematics and statistics, Tianshui NormalUniversity,Gansu,Tianshui,741000) AbstractThis paper discusses the differential operator method for special solution of inhomogeneous linear differential equation with constant coefficient, the results show that when the inhomogeneous term is exponential function, trigonometric function, power function or their mixed function, this method can be used to directly derive a special solution, simple operation. KeywordsLinear differential equation;Operator method;Special solution 数学与统计学院 2013 届毕业论文 1 1引言 微分方程在解决实际问题中有着广泛的应用,例如单摆运动、传染病的预防等方面 都要用到常微分方程.教材中一般只介绍用待定系数法和常数变易法求解常系数非齐次 线性微分方程,然而用上述的两种方法需经大量的运算,甚至涉及到求解线性方程组.基 于上述的情况,本文讨论求解线性微分方程的算子解法. 2基本概念 对于常系数非齐次线性微分方程 )( 1 1 1 tfxaa n dt xd dt xd n n n n (1) 其中 i a), 3 , 2 , 1(ni均为常数. 令 dt d D 表示对x求微商的运算,称它为微分算子; k k dt d k D 表示对x求k次微商的 运算.于是方程(1)化为 tfxaDaDaDaD nn nnn 1 2 2 1 1 (2) 记 nn nnn aDaDaDaDDP 1 2 2 1 1 ,称为算子多项式.所以(2)的一个解可简 单的表示为 tf DP x 1 ,称 DP 1 为逆算子. 特别地 dttftf D 1 , k k k dttftf D 1 . 3算子多项式 3.1性质 设 DP是上述定义的算子多项式, tftf 21 ,都是可导函数,则有如下的结论: 1) tf DPDP tf DPDP tf DPDP 122121 11111 2) tf DP tf DP tftf DP 2121 111 以上两式的证明均可以由简单的积分来完成,从略. 数学与统计学院 2013 届毕业论文 2 有关其他的性质可根据普通多项式的性质来类似给出,也可参见文献1,2,3. 3.2运算公式 设 DP是上述定义的算子多项式, tv是可导函数,a都是常数,则有如下的结 论: 1) tt ePeDP 2) 22 coscosaatPatDP 3) 22 sinsinaatPatDP 4) tveDPtveDP tt 证明1) tt n nnt n nt ePeaaeaDaeDP 1 1 1 1 n D 2) 因为atiateiatsincos,atiate iat sincos ， 所以 2 cos 22 iatiat ee DPatDP iatiat eDPeDP 22 2 1 2 1 iatiat eiaPeiaP 22 2 1 2 1 2 2 1 aPee iatiat 2 cosaatP 3) 由 2)式证明可类似推之. 4) 根据莱布尼茨公式,有 tvDeDCtveD kmtk m k k m tm 0 tvDCe m k kmkk m t 0 tvDe m t 3.3逆算子运算公式 设 DP是上述定义的算子多项式, tv是可导函数,a都是常数,则有如下的结 数学与统计学院 2013 届毕业论文 3 论: 1) tt e P e DP 11 0P(3) 2) at aP at DP cos 1 cos 1 22 0 2 aP(4) 3) at aP at DP sin 1 sin 1 22 0 2 aP(5) 4) tv DP etve DP tt 11 (6) 5)设 00, 10 n k kk aPtbtbbtf,则 tfDQtf DP kkk 1 (7) 其中 k kk DcDcDccDQ 2 210 是将 DP按D的升幂排列后去除 1 在第1k步 得到的结果. )当 0P时, 1 111 PD ee DP s tt （s为重数）(8) )当0 2 aP时,不妨设 2222 DQaDDP s ,而0 2 aQ.则 !2 Re 1 cos 1 22 sia t e aQ at DP s s iat (9) at DP sin 1 2 !2 Im 1 2 sia t e aQ s s iat (10) )当 00P时, k kk tbtbbtf 10 ,此时 s DDQDP而 00 Q则 tf DQD tf DP k s k 111 (11) 证明以上 1)、2)、3)式的推导可参见文献1. 4) tv DP DPetv DP eDP tt 11 = tve t 数学与统计学院 2013 届毕业论文 4 5)用 1 除以 DP得到的商是k次多项式 DQk时,余式中的各项最起码是1k次的, 即 1= DRDQDP k 其中 nk nk k k DcDcDR 1 1 ,上式两边同时作用 tfk得 tfDRDQDPtf kkk DfDRtfDQDP kkk tfDQDP kk 由于上式中的 DR至少是1k次的,故 0tfDR k . )不妨设 DPDDP s 1 ,而 0 1 P.由(6)可得 1 11 DP ee DP tt 1 11 1 DPD e s t 1 11 PD e s t )由于 2222 DQaDDP s ,所以 at DQ aD at DP s cos 11 cos 1 2 22 2 at aD aQ s cos 11 22 2 而 1 11 2 222 s iatiat s aiaD ee aD = s s iat aiD e 2 11 = !2 1 s t ai e s s iat 数学与统计学院 2013 届毕业论文 5 故有 !2 Re 1 cos 1 22 sia t e aQ at DP s s iat 同理有 !2 Im 1 sin 1 22 sia t e aQ at DP s s iat )显然成立. 4题例 类型当 t etf 时,可采用公式(3)或(8)求得(2)式的特解. 例 1求 t exxx2 3的特解. 解若采用常数变易法,需先求出特征值,写出通解,然后再解方程组得出变易系数, 进而得到特解.而用算子法可简单求解如下: 由于 13 2 DDDP, 03 P.故特解为 t e DP x2 1 = t e 3 2 . 例 2求 t exxx 2 6 的特解. 解 6 2 DDDP23DD,故02 P,从而特解为 D ex t 1 32 1 2 = t e x 2 5 类型当 attfcos时,可以用公式(4)或(9)求得(2)式的特解. 例 3求ttxx3cossin 的特解. 解若用文献4中提供的解法,我们需将tt cos,sin分开来求解,然后由解的性质可 得到原方程的特解.而采用算子解法则可直接求出特解,具体如下: 1 2 DDP,故特解t DP t DP x3cos )( 1 sin )( 1 tt2cos 10 1 sin 2 1 例 4求 txx2sin4 的特解. 数学与统计学院 2013 届毕业论文 6 解（算子解法）由于0 2 aP,故方程转为解 it exD 22 4,它的特解为 it e D x 2 2 4 1 = 1 42 1 2 2 iD e it = iD e it 4 11 2 故原方程的特解为ttx2cos 4 1 . (常数变易法)特征方程为04 2 ,特征根为i 2,对应齐次方程的通解为 tCtC2sin2cos 21 ,设非齐次方程的特解为 ttCttCx2sin2cos 21 ,则有以下方程组 ttCttC ttCttC 2cos22sin2 2sin2cos 21 21 解得 ttCttC4sin 4 1 ,4cos1 4 1 21 积分得 11 2sin 16 1 4 1 CtttC 22 4cos 16 1 CttC 故特解为tttx2sin 16 1 2cos 4 1 . 类型当 tftf k 时,可以用公式(5)或(10)求得(2)式的特解. 例 5求4232 txxx的特解. 解不管是采用待定系数法还是用常数变易法都可以求出方程的解,但是求解过程 比较复杂,采用算子解法可简解如下 42 32 1 2 t DD x =42 9 2 3 1 tD = 9 2 3 2 t 例 6求 2 1 txx的特解. 数学与统计学院 2013 届毕业论文 7 解（算子解法） 2 2 1 1 11 t DD x = 22 2 11 1 tDD D =32 1 2 2 tt D = 2 34 2 3 312 t tt (待定系数法)特征方程01 223 ,故特征根为0 21 ,1 3 ,所以 对应的线性无关解为 t et , 1.由于 t ettf 02 1,故可设特解的形式cbtattx 22 , 带入方程后整理得 22 12662412tcbtbaat 比较两边的同次项系数有 126 , 0624, 112cbbaa 解得 2 3 , 3 1 , 12 1 cba,所以特解为 234 2 3 3 1 12 1 tttx. 类型当 tf是指数、三角、幂函数的混合函数时,可采用上述恰当的公式求得 （2）式的特解. 例 7求 t texxxx 的特解. 解若用待定系数法,必须先求出方程的特征根,此外方程是三阶的,计算待定系数 比较麻烦,用算子法可简化计算. t te DD x 11 1 2 =t DDD et 22 1 2 1 2 =tD D et 2 1 2 1 2 1 = tt ete 8 3 4 1 例 8求texxx t cos22 的特解. 解先考虑方程 ti exxx 1 2 数学与统计学院 2013 届毕业论文 8 ti e DD x 1 2 22 1 = ti e iDiD 1 11 1 = i te ti 2 1 =tte i tte tt cos 2 sin 2 1 故原方程的特解为xte t t sin 2 . 例 9求ttxx3cos 2 的特解. 解先考虑方程 it etxD 322 1的特解 it et D x 32 2 1 1 2 2 3 13 1 t iD e it 223 50 13 5 3 1 10 1 tDD i e it it eitt 32 25 13 5 6 10 1 故原方程的特解为t t ttxsin 50 6 3cos 25 13 10 1 2 . 例 10求tetxxx t 3cos102 2 的特解. 解先考虑方程 231 102 texxx ti 231 2 102 1 te