（基础数学专业论文）单群上小度数1正则cayley图的无限族.pdf

三 1 一 单群上小度数1 一正则c a y l e y 图的无限族 摘要 在群与图的研究中，图的对称性一直是一个热门问题在具有较高 对称性的图中，1 一正则图是一个主要的研究对象，并且大都是围绕小度 数的情形由于它的稀少和构造的复杂性引起了众多图论学者的极大 兴趣本文主要研究交错群上的3 ，4 度1 正则c a y l e y 图无限族的构造 在第一章中，我们简要介绍了1 正则图的发展现状及1 正则图的背 景 第二章中，我们给出了相关的定义及引理 在第三章中，我们主要是构造交错群上的3 , 4 度1 一正则c a y l e y 无限 族在3 1 中，我们构造了5 个交错群上的3 度1 - 正则c a y l e y 图无限族， 并且对每一个正整数只要，i 1 0 ，我们就至少可构造一个交错群如上 的3 度1 正则无限族之后从另外一种方式构造一个交错群a 上3 度 1 正则c a y l e y 图无限族 在3 2 中，我们给出了单群上的以z 2xz 2 作为点稳定子群的4 度 c a y l e y 图1 一正则图的两个充分条件，作为应用，我们构造了4 个交错群上 的以z 2 z 2 作为点稳定子群的4 度1 正则c a y l e y 图无限族 在3 3 中，我们给出了两个交错群上的构造一个以z 4 作为点稳定子 群的4 度1 正则c a y l e y 图的两个相关定理( 其中3 2 8 为充分条件) ，作为 应用，我们构造了5 个交错群上的以z 4 作为点稳定子4 度l 一正则c a y l e y 图 无限族 关键词：c a y l e y 图；图同构；正规c a y l e y 图；弧传递；本原；1 - 正则图 皇叁兰塑圭耋竺丝圭垒丝丝 兰童圭：! ：皇丝! ：兰竺呈墼查兰里丝垄堡童 虹 i n f i n i t ef a m i l i e so fo n e - r e g u l a rc a y l e y g r a p h sw i t hs m a l lv a l e n c y a b s t r a c t t h es y m m e t r yo fg r a p h sh a sb e e nb e i n gav e r yh o ti s 8 u ep r o b l e mi ns t u d y i n g g r o u l a n dg r a p h s f o rt h eg r a p h sw i t ht h eu g hs y m m e t r y , t h eo n e - r e g u l a rg r a p h a n dm a i n l yw i t hs m a l lv a l e n c i e si sa ni m p o r t a n tr e s e a r c h i n go b j e c t b e i n gr a r ea n d d i f i i c u l tt oc o n s r u c t ，i ta t t r a c t sm o r ea n dm o r es c h o l a r si nt h i sf i e l d ，i nt h i st h e s i s ， w em a i n l yr e s e a r c ht h ec o n s t r u c t i o no fs o m ei n f i n i t ef a m i l i e so fo n e - r e g u l a rc a y l e y g r a p h sw i t hv a l e n c yt h r e ea n df o u ro i lt h ea l t e r n a t i n gg r o u p s i nc h a p t e ro n e ，w es i m p l yi n t r o d u c ed e v e l o p m e n ta n dc u r r e n ts i t u a t i o no f o n e - r e g u l a xg r a p ha n db a c k g r o u do fo n e - r e g u l a rg r a p h i nc h a p t e rt w o ，w eg i v e8 0 m er e l a t e dd e f i n i t i o n sa n dp r e p o s i t i o n s i nc h a p t e rt h r e e w em a i n l yc o n s t r u c tt h ei n f i n i t ef a m i l i e so fo n e - r e g u l a rc a y - l e y 擎印h 8w i t hv a l e n c yt h r e ea n df o u ro i lt h ea l t e r n a t i n gg r o u p i n 3 1 ，w ec o n - s t r u c t es i xi n f i n i t ef a m i l i e so fo n e - r e g u l a rc a y l e yg r a p h s ，s u c ht h a tf o ra l lp o s i t i v e i n t e g r a lt l ( 竹1 0 ) ，w ec a na tl e a s tc o n s t r u c ta ni n f i n i t ef a m i l i e so fo n e - r e g u l a r f a p h 8o nt h ea l t e r n a t i n gg r o u pa nw i t hv a l e n c yt h r e e l a t e r ，w ec o n s t r u c ta ni n - f i n i t ef a m i l i e so fo n e - r e g u l a r 铲印l l so nt h ea l t e r n a t i n gg r o u pa nw i t hv a l e n c yt h r e e i na n o t h e rm e t h o d h 3 2 ，w eg i v e nt w of u l lc o n d i t i o n so fo n e - r e g u l a rc a y l e yg r a p h sw i t hv a l e n c y f o u ra n dv e r t e xs t a b i l i z e r 目t l ez 2 z 2o nt h ea l t e r n a t i n gg r o u p a saa p p l i a n c e ，w e c o n s t m c t ef o u ri n f i n i t ef a m i l i e so fo n e - r e g u l a rc a y l e yg r p h sw i t hv a l e n c yf o u ra n d v e r t e xs t a b i l i z e ra r ez 2 z 2 h 3 3 ，w eg i v e nt w or e l a t e dt h e o r yo fc o n s t r u c tao n e - r e g u l a rc a y l e yg r a p h s w i t hv a l e n c yf o u ra n dv e r t e xs t a b i l i z e ra r ez 4o nt h ea l t e r n a t i n gg r o u p ( a m o n gt h e m ， 3 2 8i saf u l lc o n d i t i o no fo n e - r e g u l a rg r a p h ) a saa p p f i a n c e ，v g ec o n s t m c t ef i v e i n f i n i t ef a m i l i e so fo n e - r e g u l a rc a y l e yg r p h sw i t hv a l e n c yf o u ra n dv e r t e xs t a b i l i z e r -，lf -l；， ； l ( 里叁兰塑圭兰竺竺苎 丝! 丝 兰! 圭：! ：垒苎! ：苎型! 至型坚里竺垄堡童 m a r ez 4 k e y w o r d s ：c a y l e yg r a p h s ；t h ea u t o m o r p h i s mo fg r a p h ；n o r m a lc a y l e yg r a p h ； a r c - t r a n s i t i v e ；p r i m i t i v e ；o n e - r e g u l a r ，illj 第一章引言 众所周知，群以它高度的抽象性和广泛的应用性在众多自然科学领域中扮演 着重要角色，其中有尤以群作用最为活跃，而群在图上的作用则是群作用的一个主 要方面 本文涉及的图都是有限、连通、简单，无向图对一个图r ，其项点集记y ( r ) ， 其全自同构群记a u t c r ) 如果a u t ( r ) 在v ( r ) 上传递，则称r 是点传递的由于 无向图的每条边产生一对方向相反的弧，其弧集记为a r c ( r ) 显然a u t ( r ) 可诱导 弧集a r c ( r ) 上的作用如果这个作用是正则的，则称r 是l 一正则图 容易证明，r 是弧传递( 或1 一正则) 图当且仅当r 是点传递图并且h u t ( r ) 的 点稳定子在这个点的邻域上传递( 或正则) 通过群也可以定义一个图：设g 是一个有限群，若s g 1 ) 且s 以= 最则称s 为g 的c a y k y 子集可构造群g 关于其c a y l e y t 集s 的c a y l e y 图 r = c a y ( g ，s ) ，其中，y ( r ) = g ，e ( f ) = ( 9 ，8 9 ) l g g ，s 毋由定义容易得 c a y ( c ，s ) 连通当且仅当g = ( s 并且r ( g ) a u t ( r ) ，这里r ( g ) 是g 的右正 则表示，因此c a y l e y 图还是点传递的c a y l e y 图是由a c a y l e y 在1 8 7 8 年提出 的，当时为了解释群的生成元和定义关系，但由于它构造的简单性、高度的对称性 和品种的多样性，越来越受到图论学者的重视，成为群与图的一个重要研究领域， 关于c a y l e y 图，有c i 性和正规性两个重要概念 记群g 的自同构群为h u t ( g ) g 的一个c a y l e y 子集s 如果满足：对任何 c a y l e y 图的同构c a y ( g ，研鲁c a y ( c ，刁都存在n a u t ( g ) 使s a = 正则称 s 为g 的c i - 子集设m 是正整数，一个有限群g 如果它的每个势不超过m 的 c a y l e y 子集都是c i - t 集，则称g 为m - c i - 群如果对每个正整数7 7 , a n n ) 下面两个引理对构造3 度1 - 正则c a y l e y 图无限族是很方便的 引理2 2 3 1 4 设g 是有限非交换单群，取a ：= a u t ( g ) 的一个3 阶元a 及 g 的一个对合s ，并令t ：= ( a ) ，8 ：= ，= s ，矿，s 一) 则下列各命题成立： ( 1 ) ( s ，a ) = g 当且仅当r _ c a y ( c ，s ) 是正规的连通3 度弧传递c a y l e y 图) ( 2 ) ( s ，a ) = g 与凡nm ( t ) = 1 ，当且仅当r ：= c a y ( g ，研是3 度1 - 正则 c a y l e y 图； ( 3 ) ( s ，a ) = g 与an a ( t ) 1 ，当且仅当r ：= c a y ( g ，s ) 是连通3 度2 - 正 则c a y l e y 图 下面的个引理中的记号均与引理2 2 3 中相同 引理2 2 4 【1 4 ( 1 ) a u t ( g ，回n a ( ( 口) ) ； ( 2 ) vs s ，a 。n _ ( ( a ) ) a u t ( g ，s ) 且l a 。n n j ( ( a ) ) 2 ； ( 3 ) v8 只a i n ( ( n ) ) = 1 当且仅当a u t ( g ，固= ( o ) 下面这个引理决定了一个单群上连通3 度s _ 弧传递c a y l e y 图何时正规与不正 规 引理2 2 5 1 1 4 设g 是有限非交换单群，r ：= c a y ( g ，s ) 是g 的连通3 度争弧 tlf 传递c a y l e y 图，则下列之一成立： ( 1 ) s 2 ，f 正规且g z 3 a u t ( r ) g xs 3 ； ( 2 ) s = 5 且g 兰a 4 7 并有a u t ( r ) = g ( s 4 z 2 ) 兰a 4 s 引理2 2 6 【2 1 l 设r 是3 度弧传递图，a = a u t ( r ) 则对任意一顶点 y ( f ) ，v 在a 中的点稳定子群九的阶整除4 8 下面的一个引理是决定一个弧传递图是正规的c a y l e y 图的充分条件，它在构 造4 度1 正则图过程中是很关键的 引理2 2 7 2 2 t h e o r e m1 1 】若g 为有限非交换单群，r ：= c a y ( g ，s ) 为连通 的4 度边传递图则以下两种情况必有一种发生z 1 a u t ( r ) = r ( g ) a u t ( g ，回，a u t ( g ，s ) = 锄，z 4 ，砭，d s ，a 4 ，s 4 ，且有 ( a ) i 为半传递图仅当a u t ( g ，s ) = z 2 ； ( b ) r 为1 一传递图当且仅当a u t ( g ，s ) = - z 4 ，z ；，d s ； ( c ) r 为参传递图当且仅当a u t ( g ，研= a 4 ，s 4 2 a u t ( r ) r ( g ) a u t ( g ，s ) ，r 为争传递图且g 为下面表2 1 中的群 表2 1 8g 专，1 m 1 2 ，m 船，j 2 ，s u z ； a 2 ，1 1 ，a 2 m ，m 3 ； p s 如( 7 ) ，p s p 4 ( 3 ) ； p s 厶。( 2 8 ) ，p s 巩( 2 。) ，n 3 ；p s p ( 2 8 ) ，n 4 ； p n ：( 2 。) ，l 6 ；p n 二( 2 。) ，n 4 ； 3 d 4 ( 2 8 ) ，昂( 2 8 ) ，西( 2 8 ) ，2 既) 2 p s 厶( 1 1 ) ，m 1 1 ，m 2 s ，a 1 1 3 p s l 2 ( 1 1 ) ；a ，l ，n = 2 3 2 ，其中r 2 ，3 ，4 ，5 ) 4 ，5 ，7p s 丘( 2 ) ，p s l 5 ( 2 ) ，p s l 3 ( 9 ) ，p s l s ( 2 7 ) ； p s 厶( 3 ) ，p s l s ( 3 ) ，p s 厶( 3 ) ，p s 砜( 3 ) ； a 。一1 ，f l = 2 3 ”1 ，其中r t 2 ，3 ，4 ) 皇查兰丝圭兰竺篁圭丝堡型兰! 圭：! ：皇丝! ：兰墅! 至型坚里竺垄堡童 6 引理2 2 8 设g 是交错群a 。，则当5 时，g 没有指数是4 的千群 证明：反证设日是a 。的指数为4 的子群，即i g ：h i = 4 考虑群g 在 其右陪集【g ：h 】上的右乘置换表示由于g 是单群，这个表示是忠实的，则有 gss y m ( 【g ：日】) ，这导致l g l ll s 4 i = 2 4 ，不可说明g 没有指数是4 的子群 口 引理2 2 9 1 2 3 * tg 是有限群，s 是群g 的c a y l e y 子集设f ：= c a y ( g ，s ) ，记 a = a u t ( r ) 则图r 是c i 一图当且仅当对任意满足a r ( g ) a _ 1 a 的口s y m ( g ) ， 存在o a 使得o r ( g ) d - 1 = 盯r ( g ) 口 引理2 2 1 0 设g 是有限非交换单群，且a ，盯g ，则 ( o ，盯) = g = ( d ) = ( d ，= g 证明：显然只需证“= ”，记k ：= ( 口铆) 1 ，往证k 里g 因a k ，故 显然有j p = k ，k 4 = k ；由( 1 ) ，于是有耳璺g 因g 是非交换单群，故有k = g 口 第三章主要结果 3 1 交错群的3 度1 一正则c a y l e y 图无限族 下面的几个应用说明了，对任意的正整数n 1 0 ，由引理2 2 3 和引理2 2 4 ， 我们都可构造出交错群a 。上的个3 度1 一正则无限族 例3 1 1 设n = 6 后2 ) ，当2 = 2 时，乞穿( 1 ，2 ，3 ) ( 4 ，5 ，6 ) ( 7 ，8 ，9 ) ( 1 0 , 1 1 , 1 2 ) 及 s = ( 1 ，3 ) ( 2 ，5 ) ( 6 ，7 ) ( 9 ，l o ) ；当七3 时冷口2 旦( 3 ，3 件l ，3 + 2 ) s = ( 1 ，3 ) ( 2 ，5 ) ( 8 ，1 1 ) 2 k n - - 1 ( 3 i + 1 ，3 i + 3 ) ，取s = s 杠) ： 南矿，一，则r ：c a y ( a n ，s ) 是交错群a 。的3 度 i = 1 1 - 正更, 1c a y l e y l t 证明：设a = a u t ( a 。) = s 。由引理2 2 3 ( 1 ) ，只需证也n r a ( ( a ) ) = l 及( n ，8 ) = a n 由引理2 2 4 ( 2 ) ，假设有对合盯也n ( ( n ) ) 当k = 2 时，则从8 中知， 4 ) ， 8 ) ， 1 1 ) ， 1 2 ) 是8 的4 个不动点，如盯互换 1 1 ) 与 1 2 ，则口必稳定点 1 0 ) 不动，于是必有酽= 口而由b 知，必有 讣不 动，于是 7 ) 与 8 ) 互换但 7 ) 是b 的动点，而 8 ) 是b 的不动点矛盾如盯 互换 8 与 1 2 ) ，则盯或者互换 7 ，与 1 0 ) ，或者互换 7 ) 与 1 1 ，而由b 知， 7 ) ， 9 ) 均是其动点，而 1 1 ) 是其不动点，故不可能因点点 5 ) ， 6 ) ， 7 ) 均为b 的动点，而 1 1 ) ， 1 2 ) 为b 的不动点同理，必有盯不能互换 4 ) 与 1 2 ) ， 4 ) 与 1 1 ) 8 ) 与 1 1 ) 最后，如有盯互换 4 ) 与 8 ) ，则由上面分析知盯稳定点 1 1 ) 与0 2 ，从而稳定点 1 0 ) ，故必有矿= 口于是必有仃互换 5 与 9 ) ，又由b 知， 口互换 2 ) 与 1 0 ，但 1 0 ) 是矿的不动点，矛盾综上，必有盯= 1 当七3 时，则从。中知 1 ) ， 2 ) 和 6 耐是( a ) 的三个不动点，如盯互换 1 ) 和 6 七 ，则由8 知必有仃互换 3 和 6 k 一2 ) ，又由口知，必有仃把3 - 轮换 ( 3 ，4 ，5 ) 变到( 6 k - 3 ，6 k - 2 ，6 k 一1 ) 或是它的逆( 6 k - 3 ，6 k - 1 ，6 k 一2 ) ，即口互换 4 ) 与 6 k - 3 ， 5 ) 与 6 k - 1 ) 或者口互换f 4 ) 与 6 七一1 ) ， 5 ) 与 6 k - 3 ，又由s 知 4 ， 5 ) 是5 的两个动点，而 6 膏一1 ) 是s 的不动点。故不成立故盯不可能把 6 耐 变到 1 ) 如盯互换 2 ) 和 6 七，则由5 知必有矿互换 5 ) 和 6 k - 2 ，则盯互换 3 与 6 k 一1 ) ， 4 与 6 七一3 ) 或者盯互换 3 ) 与 6 k - 3 ， 4 ，与 6 k 1 ) ，又由s 知 3 ) ， 4 ) 是s 的两个动点，而 6 七一1 ) 是s 的不动点，故不成立故仃不可能把 6 耐变到 2 ) ，因此，必有盯稳定点 6 硌，从而盯必稳定点 6 k 一2 ) ，如盯互换 苎皇查兰堡圭兰竺篁塞f 垫型兰! 圭：! ：丝苎! 兰型呈墼! 坚里丝垄! 垦童 8 1 ) 和 2 ) ，则由s 知必有盯互换 3 ) 和 5 ) ，且稳定点 4 ) ，因口a 。n r a ( 缸) ) ， 则有o t 4 = a ，从而有矿互换点 6 后一3 与 6 k 1 ) ，而由s 知点 6 k - 3 是s 的 动点， 6 k - 1 是s 的不动点，故口不可能互换点 1 ) 与 2 因此有a 稳定 点 1 ) ， 2 ) ， 6 从而由s 知盯稳定点 3 ) 与 5 ) ，于是由盯a 。n n a ( ( a ) ) ，有 a 一= a 因 6 耐是盯的不动点，由s 知 6 后一2 ) 也是盯的不动点，又由o t 知口稳 定点 6 k 一3 与 6 一1 由s 知盯必稳定点 6 七一5 又由o t 4 = o 知c r 必稳定点 6 k 一6 ) 与 6 七一4 ) ，继续以上步骤，知盯必稳定点 1 2 ) ，从而稳定点 1 0 ) ，又 由o t 知一必稳定点 9 ) 与 1 1 ，从而稳定点 7 ，最后稳定点 6 ， 8 ，于是一稳 定整个q 从而有盯= 1 设- = ( n ，s ) ，往证日= k 当k = 2 时，我们有 卢0 8 = ( 1 ，5 ，7 ，8 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，9 ，6 ，4 ，2 ) s a = ( 2 ，6 ，8 ，9 ，1 1 ，1 2 ，1 0 ，7 ，4 ，5 ，3 ) 显然 在q 上传递，设是 在q 上包含 3 ) 的个块，如再 包含另外一个元素，则由c 知。必定包含整个q ，即= q ，于是 在q 上作用本原，而c 又是个1 1 - 轮换，由j o r d a n 定理知，i i = ( a ，s ) = a n 当奄3 时，只需证日在q 上本原并且包含个素数阶轮换事实上，由 a = i i ( 3 i ，3 i + 1 ，3 i + 2 ) = ( 3 ，4 ，5 ) ( 6 ，7 ，8 ) ( 6 k - 3 ，6 k 一2 ，6 k 一1 ) = 1 2 k - l 及s = ( 1 ，3 ) ( 2 ，5 ) ( 8 ，1 1 ) 1 i ( 3 i + 1 ，3 i + 3 ) = ( 1 ，3 ) ( 2 ，5 ) ( 8 ，x 1 ) ( 4 ，6 ) ( 6 后一2 ，礼) 知h = ( o t ，s ) 在q 上传递进一步还有t 矿= ( 1 ，4 ) ( 2 ，3 ) ( 6 ，9 ) 1 1 ( 3 i + 2 ，3 i + 4 ) ( 6 七一1 ，6 七) ， 之一2 8 一= ( 1 ，5 ) ( 2 ，4 ) ( 7 ，1 0 ) n ( 3 i ，3 i + 5 ) ( 6 七一3 ，6 七) ， = j 2 k - - 2 【s ，a 】= s s o = ( 1 ，2 ，7 ，6 ) ( 3 ，4 ，9 ，5 ) ( 8 ，1 3 ，1 5 ，1 1 ，1 0 ，1 2 ) n ( 3 i + 1 ，3 i + 3 ，3 i 一1 ) 盛a ( 6 k - 2 ，6 k - 1 ，竹，6 k - 4 ) ， 2 k - 3 【s ，n 2 】_ s s 一= ( 1 ，8 ，6 ，2 ) ( 3 ，5 ，4 ，1 1 ) ( 7 ，1 4 ，9 ，1 0 ，1 7 ，1 2 ) ( 3 i + 1 ，3 i + 8 ，3 i + 3 ) i = 4 ( 6 一5 ，6 后，6 k - 2 ，6 k 一3 ) ， 令口= 扣，o 】6 = ( 1 ，7 ) ( 2 ，6 ) ( 3 ，9 ) ( 4 ，5 ) ( 6 - 2 ，6 k ) ( 6 k - 1 ，6 后- 4 ) ， 6 = p ，0 2 】6 = ( 1 ，6 ) ( 8 ，2 ) ( 3 ，4 ) ( 5 ，n ) ( 6 k - 5 ，6 k - 2 ) ( 6 k ，6 后一3 ) ， s 一6 = ( 1 ，1 1 ) ( 5 ，6 ) ( 2 ，3 ) ( 4 ，8 ) ( 7 ，l o ) ( 9 ，1 4 ) ( 3 i ，3 t + 5 ) ( 6 七一5 ，6 k 一2 ) ， 显然( q ，s 一6 ) 王k ，且在q n ) 上传递，放日本原 a b = ( 1 ，7 ，6 ，8 ，2 ) ( 3 ，9 ，4 ，1 1 ，5 ) ( 6 七- 2 ，6 k - 3 ，6 k ，6 七- 5 ) ( 6 k 一1 ，6 七一4 ) ， 皇叁兰丝圭兰竺兰圭f 丝丝兰童圭：! ：皇丝! ：兰型鱼墼! 坚塑竺垄堡苎 9 m = ( 曲) 5 = ( 6 k - 2 ，6 k - 3 ，6 k ，6 k 一5 ) ( 6 k - 1 ，6 k - 4 ) ， 8 a z m = ( 1 ，5 ) ( 2 ，4 ) ( 7 ，9 ) 兀( 3 i ，3 i + 5 ) ( 6 k 一9 ，6 k 一1 ，6 k 一6 ，6 k 一4 ) ( 6 k 一3 ，6 k 一5 ，6 k 一2 ) ， 令= ( s 矿m ) 4 = ( 6 一3 ，6 k 一5 ，6 k 一2 ) h ，由引理2 2 2 知日= a 。 口k2 k 例3 1 2 设n = 6 k + 2 ( 2 ) ，n = h 一( 3 i 一1 ，3 i ，3 i + 1 ) ，8 = 兀( 3 i + 1 ，3 i + 2 ) ( 1 ，2 ) ( 3 ，6 ) 取s 三s ( o = s ，s o ，s 铲) ，则f ：= c a y ( a ，s ) 是交错群a 。的3 度i - 正则c a y l e y l 蛩 证明：设a = a u t ( a 。) = s 。由引理2 2 3 ( 1 ) ，只需证a 。n ( ( q ) ) = 1 及( n ，s ) = a 。 由引理2 2 4 ( 2 ) ，假设有对合盯an ( ( a ) ) ，则从a 中知 1 ) 和 6 七+ 2 ) 是( a ) 的两个不动点，如仃互换 1 ) 和 6 后+ 2 ) ，则由s 知必有盯互换 2 ) 和 6 七+ 1 ，又由口知，必有盯把3 轮换( 2 ，3 ，4 ) 变到( 6 k - i ，6 k ，6 k + 1 ) 或是它的 逆( 6 k ，6 k - 1 ，6 k + 1 ) ，即盯互换 4 ) 与 6 膏) ， 3 ) 与 6 k - l 或者盯互换 4 ) 与 6 k - l ， 3 与 6 埘，又由8 知。 3 ) ， 4 ) 是8 的两个动点，而( 6 后) 是8 的不动点，故 不成立因而盯必稳定 6 七+ 2 与 1 ) ，从而稳定点 6 七十1 ) ， 2 ) ，又因 6 后) 是8 的不 动点。 6 k - l 是8 的动点，故盯稳定点 6 七一1 ) ， 6 七+ 1 ) ， 6 后) ， 6 k - l ，从而稳定点 6 k - 2 ，如此下去，知口必稳定点 6 七十2 ，一 6 七+ 1 ) 一 6 七) 一一 7 ) ，又 因盯n a ( ( a ) ) ，而口稳定 6 七十2 ， 6 后+ 1 ) ， 6 研， 7 ，故必有0 4 = a ，因而叮必 稳定点 6 ) ， 5 ) 从而稳定点 4 ) ， 3 ) 故盯稳定整个q = 1 ，2 ，6 k + l ，6 k + 2 ， 于是有盯= 1 设日= ( n ，s ) ，为证日= a 。，只需证日在q 上本原并且包含一个素数阶轮换 2 事实上，由q = i i ( 3 i 一1 ，3 i ，3 件1 ) = ( 2 ，3 ，4 ) ( 5 ，6 ，7 ) ( 6 k - 1 ，6 k ，6 k + 1 ) 及 2 k t = l s _ ( 1 ，2 ) ( 3 ，6 ) i ( 3 i + 1 ，3 件2 ) = ( 1 ，2 ) ( 3 ，6 ) ( 4 ，5 ) ( 6 k - 2 ，6 k - 1 ) ( 6 k + l ，几) ，得 l = 1 2 x ( 2 七- 2 i x ( 2 k + 1 ) 5 8 = ( 3 ，5 ) ( 2 ，6 ，氟i - 苏而、 n ，6 k + i , 6 k - 2 , 6 k l 5 , - , 1 0 , 7 , 4 , i ) 又由d ，q s 可知日= ( a ，口s ) 在q 上传递进一步还有， 8 a = ( 1 ，3 ) ( 4 ，7 ) ( 3 i 一1 ，3 i + 3 ) ( 6 k - 1 ，6 k + 2 ) ， i = 1 2k一1 s 一= ( 1 ，4 ) ( 2 ，5 ) ( 3 i ，3 i + 4 ) ( 6 k ，6 k + 2 ) ， = i s ，0 j = s s o = ( 1 ，6 ) ( 2 ，3 ) ( 4 ，9 ，5 ，7 ，1 2 ，8 ) ( 6 k - 2 ，m6 k + l ，6 k - 1 ) 1 7 ( 3 i + 1 ，3 i + 6 ，3 i + 2 ) 2 k - 2 ， 一 【s ，。2 】：s 8 舻：( 1 ，5 ) ( 2 ，4 ) ( 3 ，1 0 ，1 1 , 6 ，7 ，8 ) 2 k n - 1 ( 3 i + 1 ，3 i + 2 ，3 i 一3 ) ( 6 k + 1 ，6 k ，6 k + 2 ，6 k 一3 ) 则 o = 【s ，o 】6 = ( 6 k - 2 ，6 k + 1 ) ( 6 k + 2 ，6 k 一1 ) ， 培【s ，a 2 】6 = ( 6 + 1 ，6 k + 2 ) ( 6 k ，6 k 一3 ) ， 2 k - - 3 s 8 6 = ( 1 ，3 ) ( 4 ，7 ) 兀( 3 z 一1 ，3 i + 3 ) ( o k - 7 ，6 k ，6 k 一4 ，6 k 一3 ) ( 6 k 一1 ，o k + l ，6 k + 2 ) ， 令m = ( s “6 ) 4 = ( 6 七一1 ，6 k + 1 ，6 k + 2 ) h 2 k - l d = s a a = ( 1 ，3 ) ( 4 ，7 ) i t ( 3 i 一1 ，3 i + 3 ) ( 6 k 一2 ，6 k + 1 ) ， 易证a ，d ) 日且 6 七+ 2 ) 为d 的不动点，故( a ，d ) 上k 易证( o ，d ) 在 q n ) 上传递，从而h 在q 上二重传递，从而h 在q 上作用本原又因h 包含 3 - 轮换m = ( o k - 1 ，6 k + l ，o a + 2 ) ，由引理2 2 2 知日= ( 口，s ) = a 。 例3 1 3 设n = 6 k + 3 ( 七2 ) ，o = l i ( 3 i ，3 i + 1 ，3 i + 2 ) ，s = ( 1 ，3 ) ( 2 ，5 ) 兀( 3 i + 1 ，3 i + 3 ) 取s = s o ) = s ，矿，s 一) ，则r = c a y ( a 。，s ) 是交错群a 。的3 度1 正则c a y l e y 图 证明：设a = a u t ( a 。) = s 。由引理2 2 3 ( 1 ) ，只需证a 门a ( 缸) ) = 1 及( o ，s ) = a 。 由引理2 2 4 ( 2 ) ，假设有对合盯a 。n n a ( ( o ) ) ，则从口中知 1 ) ， 2 ) 和 6 七+ 3 ) 是( d ) 的三个不动点，如盯互换 1 和 6 七+ 3 ) ，则由s 知必有口互换 3 和 6 膏+ l ，又由。知，必有盯把3 - 轮换( 3 ，4 ，5 ) 变到( o k ，6 后+ 1 ，6 七+ 2 ) 或是它的逆 ( o k ，6 k + 2 ，0 k + 1 ) ，即盯互换 4 ) 与 6 + 2 ) ， 5 ) 与 6 硌或者仃互换 4 ) 与 6 ) ， 5 ) 与 6 女+ 2 ) ，又由s 知 4 ) ， 5 ) 是8 的两个动点，而 6 后+ 2 ) 是8 的不动点，故不 成立故盯不可能把 6 七十3 ) 变到 1 ，如口互换 2 和 6 七+ 3 ) ，则由s 知必有盯 互换 5 ) 和 6 后十1 ) ，又由a 知，必有口把3 _ 轮换( 3 ，4 ，5 ) 变到( 6 k ，6 k + l ，0 k + 2 ) 或是它的逆( 6 七，6 k + 2 ，6 k - i - 1 ) ，即叮互换 4 ) 与 6 耐 3 ) 与 6 七+ 2 ) 或者盯互换 4 与 6 七+ 2 ) ， 3 ) 与 6 ) ，又由8 知 3 ) ， 4 ) 是8 的两个动点，而 6 女+ 2 ) 是 s 的不动点，故不成立故盯不可能把 6 后+ 3 变到 2 因此，必有口稳定点 6 女+ 2 ) ，从而盯必稳定点 6 七十1 ) ，而点 6 膏+ 2 ) 是s 的不动点， 6 耐是s 的动 点故盯必稳定点 6 砖，又由盯n a ( ( a ) ) 知，n 4 = a 或口4 = 口，于是由口稳定 点 6 + 2 ) ， 6 + 1 ， 6 后，知。0 4 = o ，由s 知口稳定点 6 k - 2 ，如此下去，知 口必稳定点 6 ，由s 知矿稳定点 3 ) ，因q 4 = 口，故盯必稳定点 4 ) ， 5 ，于是由8 知口必稳定点 1 ) ， 2 ) ，于是盯稳定整个q ，于是有a = 1 苎皇叁茎丝圭耋竺兰圭( 垫丝 兰! 圭：! ：丝丝! ：兰型! 丝型坚里丝垄竺苎 1 1 设日= ( a ，s ) ，为证h = a 。，只需证日在q 上本原并且包含一个素数阶轮换 2 k 事实上，由口=， ，3 l + 2 ) = ( 3 ，5 ) ( 6 ，) ( ，)_n(34 3 1 + 14786 k6 k + 16 k + 2 2 k 及8 = ( 1 ，3 ) ( 2 ，5 ) 兀| ( 3 + l ，3 t + 3 ) = ( 1 ，3 ) ( 2 ，5 ) ( 4 ，6 ) ( 6 k 一2 ，6 k ) ( 6 k + l ，n ) ，得 l ( 2 + 1 )2 ( 2 k 一1 ) n s ：面西正孓i 瓦再，瓦百而西藻葛- _ 了孓，4 ，2 ，5 ，1 ) 故日= ( o ，8 ) 在q 上传递进一步还有t 矿= ( 1 ，4 ) ( 2 ，3 ) i i ( 3 i + 2 ，3 i + 4 ) ( 6 k + 2 ，o k