（运筹学与控制论专业论文）非线性广义系统的稳定性分析与镇定.pdf

i， i ，t ， 、h “i 誊；0 镪 _ l ； 。馥；l1 at h e s i si no p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s s t a b i l i t ya n a l y s i sa n d s t a b i l i z a t i o nf o r n o n l i n e a r s i n g u l a rs y s t e m s b y y i nw e n n i n g s u p e r v i s o i ：p r o f e s s o ry a n gd o n g m e i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 8 ， 1乒。矿o=，n疆匠瞳眶謦弭毋噩毫。【#：o，妻鍪羡函一牛坩一n一越w源强1rl-iiir f。ko、f1-， 。 、t曦醪、籀露。】_-薯斜i毫毫曩孝，。，黔111 ，j。_为。、0裁黪，露魏嚣群， 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的 研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示诚挚 的谢意。 学位论文作者签名： 签字日期 ： 钾支耋 埘帮g 驴多月 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年口 学位论文作者签名：叩均 签字e t 期：埘事7 r 导师签名：朽参榴 签字日期：扣痧事讯 岛w溪穗嚼嚣譬鼙_t秀0、一。li-“谒鼍复茹费呵嘴嚆o， 0乙_，矿傀落_致vo啦搿 ，ll o ， ，、 矗 ，： 受0、誓o埂一 东北大学硕士学位论文摘要 非线性广义系统的稳定性分析与镇定 摘要 随着系统理论研究领域的不断扩大和计算机技术的日趋成熟，广义控制系统得到了 迅速发展。由于非线性广义系统能更自然、更一般地描述客观系统，因此，对非线性广 义系统的理论研究是有必要的。本文主要内容如下： ( 1 ) 介绍了广义系统的背景、理论发展和研究现状。 ( 2 ) 研究了时变广义系统和非线性时变广义系统的稳定性问题。给出了线性时变广 义系统的无脉冲且稳定的充分条件。在适当的条件下，通过慢子系统来判断快子系统的 变化，并利用黎卡提( r i c c a t i ) 方程，得到了非线性时变广义系统渐近稳定的判据。 ( 3 ) 研究了非线性离散广义系统的稳定性问题。利用李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 方法 研究了非线性广义系统的稳定性，给出了稳定性判据和不稳定性判据。 ( 4 ) 研究了线性离散广义大系统和非线性离散广义大系统的稳定性问题。在所有的 孤立子系统都是正则且具有因果关系的条件下，利用l y a p u n o v 方程给出了线性离散广 义大系统稳定性和不稳定性判据及非线性离散广义大系统的稳定性判据。 ( 5 ) 研究了线性时滞离散广义大系统和非线性时滞离散广义大系统稳定性及镇定问 题。在所有子系统都是正则的且具有因果关系的条件下，利用l y a p u n o v 方程给出了离 散广义大系统稳定性判据及镇定方法，并推广到非线性时滞离散广义大系统中，从而得 到了该系统的稳定性的判据。 ( 6 ) 对全文的工作做了总结，同时也对进一步的研究工作进行了展望。 相关数值例子说明了判据的正确性。 关键词：非线性；广义系统；l y a p u n o v 方程；离散系统；时滞；稳定性 o零。；一o-，r一，、，譬。：oo嚆一。，h _ 。；卜 c ，。 0 悲 _ p - 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t s t a b i l i t ya n a l y s i sa n ds t a b i l i z a t i o nf o rn o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m s j 7 a b s t r a c t w i t ht h ei n c e s s a n te x p a n s i o no ft h ef i e l d so fs y s t e mt h e o r ya n dt h ei n c r e a s i n gm a t u r i t y a n dp o p u l a r i t yo fc o m p u t e rs c i e n c e ，g e n e r a l i z e dc o n t r o ls y s t e m sh a v eb e e nd e v e l o p e dq u i c k l y s i n c en o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m sa r em o l es u i t a b l et od e s c r i b eo b j e c t i v es y s t e m s ，i ti ss p e c i a l n e c e s s a r yt or e s e a r c ht h e m t h i st h e s i si so u t s p r e a d e db yn o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m s t h e m a i nc o n t e n t sa n dr e s u l t si nd i s s e r t a t i o n a r e 於f o l l o w s ： j ( 1 ) t h eb a c k g r o u n d ，t h ed e v e l o p m e n to f t h et h e o r ya n dr e s e n tr e s e a r c ha c h i e v e m e n t so f s i n g u l a rs y s t e m sh a v eb e e ni n t r o d u c e dr e s p e c t i v e l y ( 2 ) t h ep r o b l e m so fs t a b i l i t yf o rl i n e a rs i n g u l a rs y s t e m sa n dn o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m s w i t ht i m e v a r y i n gh a v eb e e ns t u d i e d as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sd e r i v e d ，i nw h i c hl i n e a r s i n g u l a rs y s t e mi ss u p p o s e dt o b ei m p u l s e f r e ea n ds t a b l e d u et of a c t t h a tt h es l o w s u b s y s t e m sc a nb ed e t e r m i n e db yt h ef a s ts u b s y s t e m sw i t ha p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s ，w ec a n g e ts o m ec o n c i s ec r i t e r i ao fs t a b i l i t yf o rn o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m sh a sb e e ng o t t e nw i t h t i m e - v a r y i n gb yu s i n gr i c c a t ie q u a t i o n ( 3 ) t h ep r o b l e m so fs t a b i l i t yf o r t h en o n l i n e a rd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m sh a v eb e e n s t u d i e d t h em e t h o do fs i n g u l a rl y a p u n o vf u n c t i o ni se m p l o y e dt os t u d yt h es t a b i l i t yo f n o n l i n e a rd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m s a n dt h ec r i t e r i ao fs t a b i l i t ya n dt h ec r i t e r i ao fn os t a b i l i t y h a v eb e e ng i v e na b o u ti t ( 4 ) t h ep r o b l e m so fa s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n di n s t a b i l i t yf o rt h el i n e a rd i s c r e t es i n g u l a r l a r g e s c a l es y s t e m sa n dn o n l i n e a rd i s c r e t es i n g u l a rl a r g e s c a l es y s t e m sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e d u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a ta l li s o l a t e ds u b - s y s t e m sa r er e g u l a ra n dc a u s a l ，t h ec o n c i s ec r i t e r i a m a yb eg i v e nt od e t e r m i n ew h e t h e ro r n o tt h ed i s c r e t es i n g u l a rl a r g e 。s c a l es y s t e mb e a s y m p t o t i c a l l ys t a b l eo ru n s t a b l eb yt h em e t h o do fl y a p u n o v a tt h es a m et i m et h ec r i t e r i ao f s t a b i l i t yf o rn o n l i n e a rd i s c r e t es i n g u l a rl a r g e - s c a l es y s t e m sa r eg i v e n ( 5 ) t h ep r o b l e mo fs t a b i l i t y a n ds t a b i l i z a t i o np r o b l e mf o rl i n e a rd i s c r e t es i n g u l a r l a r g e s c a l es y s t e m sa n dn o n l i n e a rd i s c r e t es i n g u l a rl a r g e - s c a l es y s t e m sw i t ht i m e - d e l a yh a v e b e e nr e s p e c t i v e l yi n v e s t i g a t e db yu s i n gl y a p u n o vm e t h o d u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a ta l l n ， k e y w o r d s ：n o n l i n e a r ；s i n g u l a rs y s t e m s ；l y a p u n o ve q u a t i o n ；d i s c r e t e s y s t e m s ； t i m e d e l a y ；s t a b i l i t y 。v i 豸 q _ 一 量 f r 。 ， ，卜 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要i i i a b s t r a c t v 目录v i i 第1 章绪论：1 1 1 研究背景1 l 。1 1 广义系统理论的发展概况。1 1 1 2 广义系统的模型。2 1 1 3 广义系统与正常系统的区别2 1 1 4 广义系统理论的研究方法3 1 1 5 广义系统的实际应用4 1 2 非线性广义系统的相关课题研究现状5 1 2 1 非线性时变广义系统的稳定性5 1 2 2 非线性离散广义系统的稳定性6 1 2 3 非线性离散广义大系统的稳定性6 1 2 4 非线性时滞离散广义大系统稳定性7 1 3 论文结构8 第2 章非线性时变广义系统的稳定性9 2 1 引言9 2 2 问题描述与预备知识。9 2 3 主要结果1 0 2 3 1 线性时变广义系统的稳定性1 0 2 3 2 非线性时变广义系统的稳定性：1 1 2 4 算例1 2 2 5 小结，1 3 第3 章非线性离散广义系统的稳定性1 5 3 1 引言1 5 v i i ； 东北大学硕士学位论文 目录 3 2 问题描述与预备知识。1 5 3 3 主要结果1 6 3 4 小结1 9 第4 章非线性离散广义大系统的稳定性：2 1 4 1 引言。2 1 4 2 问题描述与预备知识。2 l 4 - 3 主要结果2 2 4 3 1 线性离散广义大系统的稳定性2 2 4 3 2 非线性离散广义大系统的稳定性2 5 4 4 算例- ：2 7 4 5 小结。2 8 第5 章非线性时滞离散广义大系统的稳定性与镇定山2 9 5 1 引言：。j 2 9 5 2 问题描述与预备知识o 。2 9 5 3 主要结果3 0 5 3 1 线性时滞离散广义大系统的稳定性3 0 5 3 2 线性时滞离散广义大系统的镇定3 3 5 3 3 非线性时滞离散广义大系统的稳定性3 5 5 4 算例：3 8 5 5 小结。3 8 第6 章总结与展望：。3 9 参考文献4 1 致j 射4 7 硕士期间完成的论文情况4 9 r ，。 ， 一， 东北大学硕士学位论文笫1 章绪论 - 第1 章绪论 1 1 研究背景 广义系统是一类比正常系统更具有广泛形式的动力系统，广义系统理论是2 0 世纪 7 0 年代才开始形成并逐渐发展起来的现代控制理论的一个独立分支。1 9 7 4 年，英国学 者r o s e n b r o c kh h 在国际控制杂志i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fc o n t r o l 发表了题为“一般动 态系统的结构性质 一文，对线性广义系统的解耦零点及系统受限等价性做了研究，首 次提出了广义系统的概念【l 】o 而后，美国学者l u e n b e r g e rd g 分别在i e e et r a n s a c t i o no n a u t o m a t i cc o n t r o l 和a u t o m a t i c 上发表文章，对线性广义系统解的存在性和唯一性等问 题展开研究。从此，拉开了广义系统理论研究的帷幕。由于广义系统在科学和工程技术 领域中有着广泛应用背景而受到控制界、数学界以及其它学术界的广泛关注。 1 1 1 广义系统理论的发展概况 在广义系统理论发展阶段的初期，即2 0 世纪7 0 年代，研究进展较慢。除上述开创 性成果之外，这一时期的突出成果还有l u e n b e r g e rd g 关于非线性广义系统的研究 2 1 。 进入2 0 世纪8 0 年代，越来越多的控制理论工作者对广义系统产生了浓厚的兴趣，广义 系统理论也进入了一个新的发展阶段，从2 0 世纪8 0 年代初到8 0 年代末的1 0 年中，广 义系统理论取得了蓬勃的发展。这个阶段的代表性成果有v e r g h e s e ，l e v y 和k a i l a t h 定 义了广义系统中的一些基本概念，如脉冲模的可控性和可观性等，建立了研究广义系统 的一个基本框架嘲。c o b bd 及y i pel 提出了广义系统的能控性、能观性及对偶原理【4 6 1 ； 进一步，d a il 将其推广到离散广义系统；y a n gc 等提出了广义系统的最小实现问题【6 】； f a h m ym m 等进行了观测器的设计；f l e t c h e rl r 等分别研究了广义系统的干扰解耦及 特征结构配置等问题 7 - 8 1 ；d a il 分别关于连续及离散广义系统设计了动态补偿器；b e n d e r d j 等针对连续及离散广义系统研究了线性二次型最优调节器问题【9 - 1 0 1 ；l i nj 和l i nx 分别讨论了时变和时不变广义系统的最优控制问题【1 1 d 2 】。综合上述各基本问题的一系列 研究成果，d a il 于1 9 8 9 年出版了广义系统理论的第一本专著【1 3 】，系统地介绍了广义系 统的基础理论，标志着广义系统的基础理论已经形成，、广义系统理论研究又进入一个新 的发展阶段。 北大学硕士学位论文第1 章绪论 在广义系统理论的最后发展阶段，即从2 0 世纪9 0 年代初至今，已经过了十余年的 发展，广义系统的研究已从基础向纵深发展，涉及了从线性到非线性，从连续到离散， 从确定性到不确定性，从无时滞到有时滞，从线性二次型最优控制到皿和风控制等各 个专题，取得了丰硕的成果【1 4 。2 4 1 。 1 1 2 广义系统的模型 广义系统又被称为奇异系统( s i n g u l a rs y s t e m s ) ，描述系统( d e s c r i p t o rs y s t e m s ) ，隐式 系统( i m p l i c i ts y s t e m s ) ，广义状态系统( g e n e r a l i z e ds t a t e - s p a c es y s t e m s ) ，半状态系统 ( s e m i - s t a t es y s t e m s ) 及微分代数系统( d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i cs y s t e m s ) 。通常用微分代数方 程描述如下： 、 嚣聋嚣豺 m t 6 【y o ) = = g 【x ( f ) ，“( f ) ，f 】 、7 其中，e ( t ) ej j c 砌一般为奇异矩阵；厂【x ( f ) ，甜( f ) ，f 】和g x c t ) ，“( f ) ，f 】分别为x ( ，) ，甜o ) ，f 的刀 维和m 维向量函数；x ( ，) ，甜( ，) 和y ( f ) 分别为适当维数的状态，输入和输出向量，为时 间变量。特别地，当r a n k e ( t ) = n 时，式( 1 1 1 ) 表示一个连续的正常系统。 特别地，线性时不变连续广义系统表示为： l 戤( f ) = a x ( t ) + b u ( t ) 【y ( f ) = c x c t ) + d u ( t ) 式中，x ( f ) ，u ( t ) 和y ( t ) 如上所述，e r 雕”为奇异矩阵， 相应地，线性时不变离散广义系统表示为： ( 1 1 2 ) 其它为适当维数的定常矩阵。 黜磊a + x ( k ) + b d u ( k ) ，“舫k _ o ，1 ， ( 1 1 3 ) 【j ，( r ) = c k o ) + ，= o ， 、。7 1 1 3 广义系统与正常系统的区别 除了矩阵e 的明显差异外，广义系统与正常系统还有本质的差别。例如，考虑线性 时不变的情形，广义系统与正常系统的区别主要体现在以下几个方面【2 4 】： ( 1 ) 广义系统的解中通常不仅含有正常系统所具有的指数解( 对应于有穷极点) ，而 且含有正常系统解中所不出现的脉冲解和静态解( 对应于无穷极点) ，以及输入的导数 一 ? 、 ， 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 项，出现了正常系统所不具备的脉冲行为。在离散情况下，广义系统的状态x ( k ) 不仅需 要k 时刻以前的信息，还需要k 时刻以后的信息，即离散广义系统不再具有因果性，而 正常系统都具有因果性。 ( 动正常系统的动态阶等于系统的维数，而广义系统的动态阶仅仅为q = r a n k ( e ) 。 ( 3 ) 正常系统的传递函数为真有理分式矩阵，而广义系统的传递函数通常包含多项 式矩阵。 ( 4 ) 正常系统的齐次初值问题的解存在且唯一。但对于广义系统，齐次初值问题可 能是不相容的，即可能不存在解；即使有解，。也不一定唯一。 ( 5 ) 广义系统具有层次性，一层为对象的动态特性( 由微分或差分方程描述) ，另一 层为管理特征的静态特性( 由代数方程描述) ，而正常系统没有静态特性。 ， ( 6 ) 广义系统的极点，除了有，= d e g d e t ( s e 一彳) 个有穷极点外，还有正常系统不具 有的一，) 个无穷极点，在这些无穷极点中又分为动态无穷极点和静态无穷极点。 ( 7 ) 在系统结构参数扰动下，广义系统通常不再具有结构稳定性。 广义系统的这些特点反映了广义系统比正常系统在结构上的复杂和具有更加丰富 的内涵，能更广阔的描述实际系统。因此，吸引了国内外众多学者的兴趣，迄今为止已 取得了丰富的研究成果。 1 1 4 广义系统理论的研究方法 ，迄今为止，广义系统主要的典型研究方法有几何方法t 2 5 1 ，频域法口6 1 和状态空间法 【1 3 】 o 几何方法是将广义系统化为状态空间中的几何问题进行研究。几何方法简洁明了， 避免了状态空间中大量繁杂的矩阵推导运算，且所产生的结果都可以化为矩阵运算，其 缺点是对系统鲁棒性问题的分析显得无能为力。 频域法也称多变量频域法，它是对状态空间描述的广义系统采用频率域的系统描述 和频率域的计算方法进行研究，它具有物理直观性强和便于设计调节等优点。 状态空间法也称时域方法，是对状态空间描述的广义系统主要采用矩阵运算和矩阵 变换计算方法，直接对时域系统进行研究，是广义系统理论中最常用的方法。该方法所 刻画问题的方式简洁直观，结果清晰明了，其中方程和线性矩阵不等式方法具有能揭示 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 系统的内部结构且易于计算机辅助设计等优点，成为时域方法中较常用的两种方法。 1 1 5 广义系统的实际应用 人们发现，用广义系统来描述与刻画实际系统比正常系统来得自然、方便、精确。 例如，在经济系统中，1 9 7 7 年l u e n b e r g e r 和a r b e l 发现著名的动态投入产出模型就是典 型的广义系统，纽曼模型也属于此类系统。另外，像受限机器人【2 7 l ，核反应堆嘲1 等都必 须用广义系统模型来刻画。而且r o s e n b r o c k 与p u g h 指出，用广义系统来描述交联大系 统的动态方程将是方便的【2 】。因此，广义系统是描述与刻画实际系统的有力工具，广义 系统模型的提出具有深刻的实际应用背景，且存在于社会生产的诸多领域中。例如电力 系统、经济系统、机器人系统、电子网络和宇航系统等。 7 例1 1 1 含管理在内石油催化裂化过程，其简化模型【1 1 为 l 毫o ) = 4 l x t + 4 2 而+ 骂“+ 互 【0 = 4 l 而+ 4 2 吒+ 垦“+ 最f 。 其中，五r l 为被调节量，如再生温度，滑阀位置，鼓风机能力等；r ，1 2 由影响企 业效益和反映企业管理政策的一些量组成，如压力，油浆回收率，重油回收率等；, r 为调节量；f 是外干扰。它是一个典型的连续线性广义不确定系统。 例1 1 2 根据经济的需求平衡原理，考虑市场环境时，已知多部门的一步延滞的 l e o n t i e f 动态投入产出模型【2 9 】 。 x ( 后) = a x ( k ) + b x ( k + 1 ) - x ( k ) i + w ( 七) + d ( 尼) 其中，a = f q ，) 为消耗系数矩阵；b = ( 瓦) 为投资系统矩阵；x ( 尼) 为k 时刻的产量； 、7 ，n h、v ，n x h w ( 七) + d ( 七) 为k 时刻的最终产品量，其中d ( 豇) 为确定性的，被称为计划中的最终消费， w ( k ) 为市场波动对消费的影响，表示第歹个部门每增加单位产量需要第f 个部门的投 资。 由于在多部门的经济系统中，某一部门的增产并不需要其它所有部门的投资，另外， 从实际系统出发，能够向其它部门提供投资的部门也是少数。因此，其中除少数行是非 负数外，其它皆是零，从而知是降秩矩阵，这个是典型的不确定离散广义系统。 例1 1 3 具有非线性负载的电力系统模型为【3 0 】 ， 、$ q 一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 名= 一s 弓( 口g ，q ，v ) 一毛 吒= 名 o = 墨( 口g ，a l ，1 ，) + 易 o = ( v ) 一1 q ( ，q ，v ) + 幺( 力 其中，口为与参考总线有关的总线角向量；，为相关发电机的频率向量；1 ，是总线电压 的振幅向量：p ，q 为实电抗功率；下标g 和1 分别表示网络中的发电机和负载的总线； 匕为机械输入电力；s = 乙嵋1 巧，以为惯性常对角矩阵，乙为元素l 或一l 的相关矩 阵；电力足，和乞由式 忍= ( 弓，最) ， 一 只f ( 岛d = v , v , b 0 s i n c e , 一q ) ! j - 1 打 q 6 ，( 口，v ) = 一k 巧易s i n ( q a j ) j i l 给出，该系统为典型的非线性广义系统。 1 2 非线性广义系统的相关课题研究现状 1 2 1 非线性时变广义系统的稳定性 在实际问题中，由于非线性广义系统能更自然更一般的描述客观系统，近年来这种 系统的研究受到广泛的关注 3 0 - 3 2 1 。近1 0 年来，在非线性系统微分几何理论的推动下， 非线性广义系统的研究取得了一定的进展，主要包括线性化，输入输出解耦，干扰解耦， 输出跟踪，稳定性【3 3 瑚1 等。文献【31 】运用广义l y a p u n o v 函数方法研究了非线性广义系统 的稳定性问题，同时考虑具有某种分解该类大系统的渐近稳定性，又给出解的有界性， 平稳振荡存在性的判别准则；文献 1 7 】研究了非线性广义系统的状态观测器问题，在理 想系统完全可观测的条件下，分别利用广义系统解的基本理论和正常系统l y a p u n o v 稳 定性理论，对所研究的非线性广义系统分别设计了全阶的奇异l u e n b e r g e r 型非线性状态 观测器和降阶的正常线性或非线性交结构状态观测器。有关非线性广义系统的解等问题 的讨论也有不少，但有关非线性时变广义系统稳定性的研究尚不多见，其原因是由于时 东北大学硕士学位论文笫1 章绪论 变广义系统结构和解的复杂性，一些在正常系统中行之有效的方法却不能推广到非线性 时变广义系统研究。 本文所研究的系统是具有如下形式的非线性时变广义系统： e 圣( r ) = 彳o ) z 9 ) + 厂( x ) 其中：x o ) r ”是系统的状态：易a ( t ) r 脓斗，r a n k e = ， 刀。，一 1 2 2 非线性离散广义系统的稳定性 早在2 0 世纪5 0 年代，由于数字计算机在工程和科学上应用的增加；对控制理论家， 经济学家及生物学家来说，离散系统的研究就已经引起了人们的关注。尤其是近四十年 来，随着系统理论研究领域的扩大和计算机技术的广泛普及应用，离散控制系统得到了 迅速发展。由于数字计算机进行计算时在时间上是离散的，当一个系统用数字计算机进 行控制或用数字计算机进行模拟、分析和设计时，就需要将时间变量考虑为离散变量， 而描述的大都是非线性的，因此研究非线性离散广义系统是有必要的。文献 3 9 主要对 非线性离散广义系统的输出反馈风控制器的设计问题进行讨论，首先利用广义李雅普 诺夫函数和线性矩阵不等式，对系统的零解e 一渐近稳定性问题进行分析，在此条件基 础上给出系统零解e 一渐近稳定且具有风范数约束的充分条件，然后设计系统的输出 反馈也控制器，使得闭环系统具有同样的性能。文献【4 0 】利用李雅普诺夫方法，研究了 非线性离散广义系统，给出了非线性广义系统稳定性定理，就一类非线性离散广义系统， 给出了其按线性近似的稳定和不稳定的条件。 ， 本文所研究的系统是具有如下形式的非线性离散广义系统： e x ( k + 1 ) = 纽( 七) + 厂( x ( 七) ) 其中，ea r “疗，r a n k e = ， 刀，厂0 ( 后) ) 是系统的非线性部分，并且假设系统对于任 意的满足相容初始条件e x ( o ) = e x o 的无脉冲解x ( 尼) 存在且唯一。 1 2 3 非线性离散广义大系统的稳定性 离散广义大系统的稳定性是一个非常重要的问题，由于离散广义大系统的复杂性， 对其稳定性的研究也是一件相当困难的事情。据现有的文献研究结果来看，离散广义大 6 ， e 一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 系统的稳定性问题的研究处于初始阶段，还没有相关的较好的结果。而对于非线性离散 广义大系统的研究则少之又少。文献 4 q 利用广义l y a p u n o v 函数方法研究了离散广义大 系统的渐近稳定与镇定问题，给出了渐近稳定的判定定理，设计了适当的反馈律，以实现 离散广义大系统的镇定。文献【4 2 】研究了广义离散大系统和非线性离散广义大系统的稳 定性，并得到了离散广义大系统的关联稳定参数域和不稳定域。 本文所研究的系统是具有如下形式的非线性离散广义系统： 互( 七+ 1 ) = 4 t ( 后) + 4 j x j ( k ) + f , ( ：q ，屯，) o = 1 ，2 ，? ，棚) ( 1 1 4 ) f f i l ，耐 ，口j打 其中，e 为常系数矩阵，伟= 刀，r a n k e j = ，；珥，r j - - ，r ，而( 七) r 一，鸣= ( ) 1 = ij l j 。 巾 为吩乃常系数阵( f ，1 = 1 ，2 ，朋) ，x ( 七) = ( 而r ( 七) ，屯r ( 后) ，r ( 七) ) 。 1 2 4 非线性时滞离散广义大系统稳定性 在各种工业系统中，时滞现象是极其普遍的，如长管道进料或皮带传输、极缓慢的 过程或者复杂的在线分析仪等均存在时滞现象。由于时滞的这种不可避免性，因而被普 遍认为会极大地破坏系统的控制性能，是导致系统不稳定的一个原因，使得稳定性问题 更加突出【4 3 4 5 1 。在实际的生产过程中，精确的分析结果表明所有系统都是非线性的，因 此研究非线性系统更能发掘自然界的本质特征。随着生产和科学的发展，非线性问题越 来越多地成为人们关注的焦点问题之一。非线性时滞系统的研究近几年来也正在引起研 究者的关注。文献【4 6 】运用了b a c ks t e p p i n g 方法考虑了一类严格反馈非线性时滞系统 的鲁棒稳定控制器设计问题；文献【4 7 】则将控制l y a p u n o v 函数与r a z u 衄j k h i n 引理相 结合，给出了非线性时滞系统的鲁棒稳定性条件和相应的控制器设计方法。总的来说， 由于其自身的复杂性，使得长期以来这方面的成果很少，对非线性时滞系统的研究仅限 于一些特殊的情形，其方法的适用性不广。而据现有的文献来看对于非线性时滞离散广 义大系统稳定性的研究则几乎是没有。 本文所研究的系统是具有如下形式的非线性时滞离散广义大系统： 脚 m e j x e ( k + 1 ) - a a , x ，( k ) + 4 j x j ( k ) + b o - x j ( k 一忍) i = i ，耐i - 1 + z ( 西( j ) ，x 2 ( k ) ，( 七) ) + z ( 而( 七一魏) ，x 2 ( k - h , ) ，j ，( 七一忽) ) o = l ，2 ，册) 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 其中，。巨为吩常系数矩阵，吩= 刀， i = 1 r a r a n k e t = i 0 使得 l l x ( t ) 临a e x p ( - b t ) | f 而| l - 对于所有， o ，：c o = x ( t o ) e 掣成立? 则称系统( 2 2 1 ) 是稳定的。，；：，。 2 3 主要结果 2 3 1 线，陛时变广义系统的稳定性 得 我们知道，对于矩阵e r ”。? ，r a n k e = ， 0 ，口 o t 蓠足_ l l 么( f ) l i a ； 对所有的，0 ，4 ：可逆； 存在正定的矩阵p r m ，常数y o 使得 ( f ) ( 7 p w ( t ) + w ( t ) p ) _ ( f ) 叫i i 而1 1 2 其中 矿p ) = 4 。( 0 - 4 ：( f ) o ) 4 p ) ，x o ) = 【五o ) 而o ) i ，五o ) r 7 ，x 2 ( t ) r 舯7 ， 则时变广义线性系统( 2 2 1 ) 无脉冲且是稳定的。 证明由于系统正则且4 2 ( f ) 可逆，则系统是无脉冲的。 系统( 2 2 1 ) n - i 化为 毫( ，) = ( 4 。( 0 - 4 ：o ) o ) 4 。l j f ) ) 墨(