（控制理论与控制工程专业论文）非线性系统分析中的自动机模型.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 近年来，非线性系统的分析越来越受到广大学者的关注，由于系统模型本身的非线 性，使得非线性系统的分析、求解和控制设计陷入困难的局面，非线性系统的控制问题 没有取得令人振奋的分析和控制方法。基于输入一输出数据样本的非线性系统建模方法 是目前系统建模方法研究的热点，它为非线性系统的分析提供了一个新的平台。函数逼 近具有良好的逼近表达能力，是基于数据的一种良好的分析方法。多元径向基函数具有 优良的局部逼近特性，并能以任意精度一致逼近一个多元非线性函数，是多元逼近具有 很好应用前景的逼近工具。基于逼近理论基础。本文提出基于多元径向基函数逼近的输 入一输出数据的建模方法一逼近基元空间建模，对非线性系统进行建模与分析，探索复 杂系统的智能建模分析与控制。 本文首先基于多元逼近理论的插值结点构造方法，对本研究的逼近基元空间建模方 法的逼近性能作出了分析，并提出了通过对非线性系统状态空间划分建立逼近基元空间 的基本原则和构造样本点( 插值结点) 的基本方法。最后还从提高模型表达精度和计算时 间的角度出发，对智能非线性模型一逼近基元模型进行了改进，提出紧支径向基函数的 概念，并用仿真实验说明了紧支径向基函数在计算时间上的优越性。这种逼近基元空间 建模方法只需要对非线性系统进行数据采样或对非线性系统模型构造插值结点，用所采 集的数据对非线性系统建模，简便易行。基于逼近基元空间方法可以将非线性系统的状 态空间分析和控制综合问题转换为在基元空间的分析与控制综合问题，这样可以避开复 杂的非线性微分方程或差分方程求解的困难，是一种具有较大理论研究价值和应用前景 的新型智能非线性系统的分析与控制综合方法。 关键词：非线性系统分析；逼近基元模型；径向基函数；状态空间划分；插值结点构造 第1 i 页 a b s t r a c t 武汉科技大学硕士学位论文 i nr e c e n ty e a r s ，t h ea n a l y s i so fn o n l i n e a rs y s t e mi sr e c e i v i n gi n c r e a s i n ga t t e n t i o no ft h e v a s tn u m b e r so fs c h o l a r s b e c a u s eo ft h en o n l i n e a ro ft h es y s t e mi t s e l f , t h ea n a l y s i s ，s o l u t i o n a n dc o n t r o ld e s i g no fn o n l i n e a rs y s t e m sb e c o m e sad i l e m m a t h ep r o b l e ma b o u tc o n t r o lo f n o n l i n e a rs y s t e md i d n tg e te x c i t i n ga n a l y s i sa n dc o n t r o lm e t h o d s t h en o n l i n e a rs y s t e m m o d e l i n gm e t h o dw h i c hb a s e do nt h ei n p u t o u t p u td a t as a m p l e si st h eh o to ft h em e t h o do f s y s t e mm o d e l i n g i tp r o v i d e san e wp l a t f o mf b ra n a l y s i so fn o n l i n e a rs y s t e r n s f u n c t i o n a p p r o x i m a t i o ni sa na n a l y s i sm e t h o db a s e do nd a t a i tc a nt r a n s f o r mt h en o n l i n e a rs y s t e m m o d e lt oan e wa l g e b r a i cs p a c eb yc o n s t r u c t i o no ft h eb a s i sf u n c t i o n ，t h e na n a l y s i sa n d c o n t r o lt h en o n l i n e a rs y s t e mi nt h en e ws p a c e m u l t i r a d i a lb a s i sf u n c t i o nh a sag o o d a p p r o x i m a t ea b i l i t y , s p e c i a li ni t sc a p a c i t yo fl o c a la p p r o x i m a t i o n i tc a na p p r o x i m a t et h e n o n l i n e a rs y s t e m sb ya r b i t r a r yp r e c i s i o n i tp r o v i d e sat h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o rt h e m o d e l i n gm e t h o db a s e do nt h ei n p u t - o u t p u td a t a t h i sp a p e rw i l ls t u d yt h em o d e l i n gm e t h o d b a s i co nt h em u l t i r a d i a lb a s i sf u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n m o d e l i n g o fa p p r o x i m a t i o n e l e m e n t - s p a c e ，a n dr e s e a r c ht h ei n t e l l i g e n tm o d e l i n ga n a l y s i sa n dc o n t r o lo fc o m p l e xs y s t e m h lt h i sp a p e r , i n t e r p o l a t i o nn o d es t r u c t u r em e t h o db a s e do nm u l t i a p p r o x i m a t i o nt h e o r y i s r e s e a r c h e d 缪台a n a l y z et h ea p p r o x i m a t ea b i l i t yo ft h em o d e l i n gm e t h o do ft h e a p p r o x i m a t i o ne l e m e n t s p a c e ，g i v et h ep r i n c i p l eo fs t a t e s p a c ed i v i s i o na n dt h em e t h o do f c o n s t r u c t i n gi n t e r p o l a t i o nn o d eb yd i v i d es t a t e s p a c eo fn o n l i n e a rs y s t e r n s a tl a s t , t o c o n s i d e rt h ec o m p u t i n gt i m ea n da c c u r a c yo f e x p r e s s i o n , w ei m p r o v e t h ei n t e l l i g e n tn o n l i n e a r s y s t e mm o d e l - e l e m e n ta p p r o x i m a t i o nm o d e l t h i sp a p e rg i v e st h ec o n c e p to fc o m p a c t l y s u p p o r t e dr a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，a n dp r o v e st h es u p e r i o r i t yo ft h ec o m p a c t l ys u p p o r t e d r a d i a lb a s i sf u n c t i o ni nc o m p u t i n gt i m e t h i sa p p r o x i m a t i o ne l e m e n t - s p a c em o d e l i n g m e t h o do n l yn e e dt os a m p l i n go fd a t ao rc o n s t r u c tn o n l i n e a rs y s t e mm o d e li n t e r p o l a t i o nn o d e , a n dt h e nm o d e l i n gt on o n - l i n e a r s y s t e r nu s e dt h e d a t a b a s e do nt h ea p p r o x i m a t i o n e l e m e n t s p a c em e t h o d ，w ec a nc h a n g et h en o n l i n e a rs y s t e r n sa n a l y s i sa n dc o n t r o ls y n t h e s i s p r o b l e mf r o ms t a t e s p a c eo ft oe l e m e n t s p a c e i tc a na v o i dt h ec o m p l e xn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dt h es o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ti s an e wi n t e g r a t e da p p r o a c ho f n o n l i n e a rs y s t e m sa n a l y s i sa n dc o n t r o lw h i c hh a sa1 a r g e rv a l u eo ft h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o np r o s p e c t s k e y w o r d ：a n a l y s i so fn o n l i n e a rs y s t e m ；a p p r o x i m a t i o n - - e l e m e n t - m o d e l i n g ；r a d i a lb a s i s f u n c t i o n ；s t a t es p a c ep a r t i t i o n ；i n t e r p o l a t i o nn o d es t r u c t u r e 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：茎垒日期： 伊驴1j 乞弋 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录 工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅， 同意学校将本论文的全部或部分内容编入学校认可的国家相关数据库进行 检索和对外服务。 论文作者签名：垄塾 指导教师签名幺崮k 乙一 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 第一章绪论 在计算机受到广泛应用的今天，人们希望进一步提高计算机的性能，希望计算机具 有和人类一样的智能，能自主的取完成各项任务。然而在大量的努力和探索之后，人们 发现计算机在仿人思维方面具有严重的缺憾，其根本原因是关于人类自己的思维及规律， 人们还了解甚少。1 9 6 5 年，美国学者l o t f ia z a d e h 提出模糊集【l 】的概念，为研究人类 智能提供了数学工具。后来在模糊数学基础上提出的模糊控制i 型模型，以它良好的性 能成为现在模糊控制中应用最广泛的数学工具。 1 1 控制理论发展 自动控制理论已历经经典控制理论、现代控制理论两个发展阶段，进入智能控制理 论发展时期。传统控制理论在工业过程、国防、航空航天等领域均获得了成功的应用， 极大促进了社会生产力的发展。经典控制论主要解决单变量的反馈控制问题。所用方法 通常是以传递函数、频率特性、根轨迹分布为基础的b o d e 图、e v a n s 的根轨迹法，包括 劳斯判据，n y q u i s t 稳定性判据和对数频率特性综合等【2 1 。现代控制理论则着重多变量系 统的优化问题。在现代控制理论里，有基于统计函数理论的系统动态特性测量方法( 即辨 识) 和卡尔曼滤波理论；有用于实现系统稳定性能指标泛函最少的的庞特里金极大值原理 和贝尔曼动态规划理论；有李雅普洛夫的系统稳定性理论等【3 】。尽管这些方法在处理问题 时都有相当程度的成功，但这些方法对系统本身都有一定的要求，要求系统模型完全已 知。但是随着科技的日新月异，被控对象或过程在结构上变得复杂化、大型化。由于实 际中的系统越来越复杂，许多模型都是不可知的，即便已知系统模型，也可能无法直接 求解分析。这就需要对系统进行适当的简化，用一个较简单的模型来代替原来的未知模 型或复杂模型，通过对新的简单模型的分析来避开对未知或复杂系统的分析。 1 2 非线性系统分析的现状 ( 1 ) 描述函数法 描述函数法是从频率域的角度研究非线性控制系统的稳定性的一种等效线性化方 法。它是对非线性特性在正弦信号作用下的输出进行谐波线性处理之后得到的。这是非 线性特性的一种近似描述，表达形式上类似线性理论中的幅相频率特性。描述函数法是 分析系统稳定性和自激振荡的常用方法，其要点是用一次基波分量代替非线性特性输出 的总体，而忽略所有高于一阶的谐波分量。在一定的条件下，这种忽略具有一定的合理 性。在苏联文献中，常把这种方法称为谐波平衡法。描述函数法是把线性控制理论中经 典频率域方法应用于非线性系统研究的一种推广，只适用于非线性程度较低的系统。对 于非线性程度高的系统，应用描述函数法可能导致错误的结论。在工程技术领域中，许 多实际的控制系统都能满足描述函数法的限制条件，因而也都能应用这种方法。 第2 页 武汉科技大学硕士学位论文 描述函数法是一种近似分析非线性系统的方法。它将一个非线性装置或环节用一个 被称为描述函数的可变增益的环节来代替。这个可变增益是输入正弦幅值a 和振荡频率w 的函数。它是这样求的，给非线性环节作用一个正弦输入，在非线性环节满足一定条件 下，其输出为一周期函数，而且可展开为傅立叶级数，取输出基波分量与输入j 下弦量的 复数比，即可求得该非线性环节的描述函数，或可变放大系数。用这个可变放大系数代 替非线性环节，即可用线性系统中频率发分析系统。这种分析，主要用来研究系统是否 会产生自激振荡及其抑制方法。描述函数是一种近似分析方法，它对系统阶次没有限制， 仅对非线性系统和系统结构有一定要求，因此得到广泛应用。 非线性环节的描述函数只是表示了该环节的正弦输入下，环节输出的基波分量与输 入信号的关系。显然，它不像线性部件的频率特性那样全面地反映线性部件的运动特性。 因此，用描述函数法来分析非线性系统，目前还只能分析其稳定性和自振。当然稳定性 和白振问题也确实是非线性系统运动中十分重要的问题。 设非线性系统经结构图等效变换后，可表示为线性部分g ( s ) 与非线性部分n ( x ) 相串 联的典型结构，如图1 1 所示。 图1 1 非线性系统等效变换结构图 假设系统处于自振状态时，非线性部分和线性部分的输入、输出均为同频率的正弦 函数。在这种条件下，非线性部分的特性就可以用描述函数表示，线性部分的特性可用 频率表示，从而建立起非线性系统自振时的理论模型。这是用描述函数分析系统稳定性 和自振的前提。 关于以上假设的合理性可以说明如下：首先自振是非线性系统中所特有的一种持续 振荡，并不依赖于系统的外作用。因此在研究时，外作用都假定为零。其次，假设自振 时，非线性部分的输入为正弦信号，一般说来，其输出除基波外，还包含有高次谐波分 量。但是，高次谐波分量的振幅通常要比基波要小。另外由于线性部分的低通滤波作用， 将使高次谐波分量进一步衰减，因此线性部分的输出完全可以认为只含有基波分量。可 见，假定系统在自振时，各部分的输入、输出均为正弦信号是符合实际的。而且线性部 分阶次愈高，低通滤波作用愈强，上述假设符合得愈好，分析结果精度愈高。 综上所述，描述函数法对系统的基本假设是，系统可等效变换成图1 1 所示的典型结 构；非线性环节输出中的高次谐波振幅小于基波振幅；线性部分的低通滤波特性较好。 ( 2 ) 相平面法 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 相平面法是一种在时域中求解二阶微分方程的图解法。它不仅能分析系统的稳定性 和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图像。相平面法一般适用于二阶非线性系统 的分析。 设一个二阶系统可以用下面的常微分方程 叠+ 厂( 石，文) = 0( 1 1 ) 来描述。其中f ( x ，戈) 是x 和j 的线性或非线性函数。在一组非全零初始条件下( j ( o ) 和x ( o ) 不全为零) ，系统的运动可以用解析解x ( t ) 和5 c ( t ) 描述。 如果取x ( t ) 和5 c ( t ) 构成坐标平面，则系统的每一个状态均对应于该平面上的一点，这 个平面称相平面。当f 变化时，这一点在工( f ) 一颤f ) 平面上描绘出的轨迹，表征系统状态的 演变过程，该轨迹就叫做相轨迹( 如图1 2 所示) 。 相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图。相平面图清楚地表示了系统在各种初始条件 下的运动过程。 扇- 吲 - 洚 i l o：l； 当一 o ：二= ： i b ) 图1 2 非线性系统相平面示意图 ( 3 ) 李雅普洛夫稳定性判据 稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛 性。它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。经典控制理论用代数判据、奈 氏判据、对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 二阶非线性系统的稳定性，这些稳定判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现 代控制系统对稳定性分析的要求。1 8 9 2 年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描 述的稳定性概念，提出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法( 称为 间接法) 和利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法( 称为直 接法) 。李雅普诺夫提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单 变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用 其它方法未能解决的非线性微分方程的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中， 得到了广泛的应用与发展。 李雅普诺夫第一法( 间接法) 是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法， 它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。 线性定常系统的特征值判据：系统戈= a x 渐近稳定的充要条件是：系统矩阵a 的全 部特征值位于复平面左半部，即 r e ( l f ) 0f = l ，刀 r 1 们 李雅普诺夫第二法( 直接法) 是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断， 无需求出系统状态方程的解，它对各种控制系统均适用。 根据物理学原理，若系统贮存的能量( 含动能与位能) 随时间推移而衰减，系统迟早 会到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能 量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与x l ，一，x n 及t 有关，是一个标量函数，记以( x ，d ； 若不显含t ，则记以y ( z ) 。考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用矿( 而f ) 表示。遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。实 践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数x 。p x 作为李雅普诺夫函数。 1 3 非线性系统建模基本思想 t a k a g i 和s u g e n o 于9 0 年代初提出了一种基于模型的模糊控制系统【4 】，控制规则前 件依然是模糊量，后件是输入的线性组合。后来的研究表明，很多控制问题可以归结为 t a k a g i - s u g e n o 模糊系统。t a n a k a 和s u g e n o 基于l y a p u n o v 直接法对t s 模型给出系统 的稳定性判定条件【5 】，利用模糊结构图的化简给出闭环系统的设计方法。w a n gh0 1 6 利用 并行分布补偿( p d c ) 的概念提出t - s 模糊闭环系统的稳定性设计方法，w a n g 把稳定性分析 等价于线性矩阵不等式问题，最终可用凸规划技巧的以有效解决。c a o t7 】【s 】等还提出用一 组矩阵构造分段光滑的二次l y a p u n o v 函数的方法进行稳定性设计。f e n g 9 j 等研究了由一 组局部状态空间模型表示模糊系统，通过设计每一局部状态反馈控制器和补偿器来设计 模糊控制器，使整个闭环系统全局渐进稳定。另外，文献 1 0 利用合同变换的方法讨论 了模糊系统的全局稳定性，给出了当初始状态为任意的正则模糊集时，模糊控制系统的 武汉科技大学硕士学位论文 第5 页 都收敛于其平衡态的充分条件。文献 11 用连续t - s 模型对非线性系统进行模糊建模， 在此基础上利用隶属度函数最大法设计鲁棒观测器和控制器，并得出了使闭环系统渐进 稳定的充分条件。文献 1 2 利用区间矩阵的等价表示化方法，将非线性时变系统的稳定 性问题转化为带有时变不确定性的线性系统鲁棒性问题，并且用大隶属度法，得到了t s 模糊系统二次稳定的充分必要条件。文献 1 3 引用一个特定的矩阵测度，基于m 矩阵的 基本性质分析了t s 模糊系统稳定性问题。 一方面，就稳定性分析而言，由前面的介绍可知，描述函数法只适用于弱的非线性， 近似于线性方法，对于强的非线性会导致错误的结果；而相平面法只适用于二阶系统， 对于多变量高阶系统而言，相平面法就不适用了；用李雅普洛夫方法可以很好的分析大 多数系统的稳定性，但李雅普洛夫第一方法必须先求出系统状态方程，对于未知系统无 从下手；李雅普洛夫第二方法存在一个能量函数的构造问题，若能构造出能量函数则可 很好的分析系统稳定性，若不能构造出能量函数，一种可能是系统不稳定，另一种可能 是没有找到适当的函数，而系统本身是稳定的，这样又导致无法分析系统的稳定性。 另一方面，复杂系统模型可能是很复杂的动力学方程，在求解这类方程时，要得到 精确解几乎是不可能的，又或则根本就无法得到系统的动力学模型，分析这样的系统使 用传统的方法显然是不可能的。 我们非常有必要提出一种新的通用的方法来对复杂系统进行分析。 1 4 论文的主要工作及结构安排 基于上面的种种局限性，本文提出一种基于智能非线性i 型模型的逼近方法，对复 杂系统进行适当的简化，以达到充分逼近原系统的目的。本课题将从理论上对智能非线 性i 型模型进行了深入的研究，然后提出基于智能非线性i 型模型良好逼近性能的非线 性系统逼近模型。第二章介绍了多维空间的插值理论以及最小二乘拟合的一般方法；第 三章介绍了基于智能非线性i 型模型的模型构造方法、状态空的划分和样本点选择方法； 第四章给出基于智能非线性i 型逼近模型的空间划分原则和逼近算法；第五章是总结与 展望。 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 2 1 插值问题 第二章逼近理论及方法 插值方法就是在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部 给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个 点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值【1 4 1 。 早在6 世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。1 7 世纪之后，i 牛 顿，j 一l 拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然 是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根 和微分方程数值解法的重要基础【l5 1 ，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 多项式插值是最常见的一种函数插值。在一般插值问题中，若选取为n 次多 项式类，由插值条件可以唯一确定一个n 次插值多项式满足上述条件。从几何上看 可以理解为：已知平面上n + 1 个不同点，要寻找一条n 次多项式曲线通过这些点。 插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛 顿插值多项式。 埃尔米特插值是对于函数f ( x ) ，常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还 知道它在这些点的导数值。这时的插值函数p ( x ) ，自然不仅要求在这些点等于f ( x ) 的函数值，而且要求p ( x ) 的导数在这些点也等于f ( x ) 的导数值。这就是埃尔米 特插值问题，也称带导数的插值问题。从几何上看，这种插值要寻求的多项式曲线 不仅要通过平面上的已知点组，而且在这些点( 或者其中一部分) - q 原曲线“密切 ， 即它们有相同的斜率。可见埃尔米特插值多项式比起一般多项式插值有较高的光滑 逼近要求。 分段插值与样条插值是为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际 应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次 埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。为了克服这一缺点，一 种全局化的分段插值方法一一三次样条插值成为比较理想的工具。见样条函数。 三角函数插值是当被插函数是以2 为周期的函数时，通常用n 阶三角多项式 作为插值函数，并通过高斯三角插值表出。 2 1 1 一元插值问题提法 以实值函数所在的邻域x 为例，x 可以是非常一般的，( 它一般是r ，r 2 ，的子集， 也可以更一般。) 在邻域x 中，设由n 个相异点组成的集合为： n = 五，x z ，) 武汉科技大学硕士学位论文第7 页 这些点叫做结点，n 是结点的集合。对于每一个结点五都有一个纵坐标五r 与之对应。 ( 每个丑都是实数。) 插值问题就是找到一个合适的函数f ：x 专r 使得它穿过这1 1 个点， 即 f ( x t ) = 五( 1 s f 刀) 当上式成立时，我们就说f 插值于给定数据点 ( 而，丑) 矗。一般f 必须从预先已知的在x 上的函数簇里选择。 2 1 2 多元插值问题提法 设d c 戤是有界闭区域，屯，d 是k 个互不相同的点，只( 功，p 2 ( x ) ，p a x ) 是定义于d 上的k 个线性无关的s 元实值连续函数( 通常称为多项式) 。对于给定的 f ( x ) cc ( d ) ，欲求实线性组合 p ( x ) = q p l ( x ) + c 2 p 2 ( x ) + + c k p k ( x )( 2 1 ) 满足条件 p ( ) = f ( x t ) ，i = 1 ，2 ，k ( 2 2 ) 这种问题称为多元插值问题。满足条件式( 2 2 ) 之p ( x ) 称为函数厂( 工) 的广义插值多项 式。f ( x ) 称为被插函数。误差函数 ，( 功= f ( 功- p ( x )( 2 3 ) 称为插值余项【1 6 】【1 7 1 。 2 2 二元插值结点分类 插值结点就是在插值运算中所需的样本数据，样本数据越多，反应真实模型就越准 确，插值结点按形式可分为散乱型和规则型两种。 2 2 1 适定结点组的概念 定理2 1 ：设 q ) ：。是论域q 上采集到的一组结点组，那么 q ) ：。是q 的适定结点组 的充分必要条件是 q ) ：。不落在q 的任何一条代数曲线上。 定理2 2 ：若 q ：。是q 。的适定结点组，且它的每个点都不在某条，次( ，= l ，2 ) 不可 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 约代数曲线g ( 五，恐) = o 上，则在该曲线上任取的 + 3 ) ，一1 个不同的点与 q ：f ) ：。一起必定 构成q 川的一个适定结点组。 定理2 3 ：设 q ：。是r 2 上关于插值空间q 的适定结点组。若它的每个点多不在 竖直线x = a 上，则在该竖直线上任取n + 1 个互不相同的点与 q ) ：一起必定构成q m + l , n 的 适定结点组。同样的若 q ) ：的每个点都不在横直线y = b 上，则在该横直线上任取m + 1 个互不相同的点与 q )