（基础数学专业论文）关于一类特殊的（αβ）度量及具有广义迷向berwald曲率的finsler度量的性质.pdf

西南师范大学研究生学位论文原创性声明 秉承我校勤奋，严谨学风，本人申明所呈交的论文是在导师指导下进 行研究工作所取得的成果，除了文中特剔加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含在我校或其他教 育机构获得学位论文上的材料，与我共n x - 作的同事对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 该申请学位论文与资料如有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作暑鎏名：塑l 丛啤一日期：丝 西南师范大学研究生学位论文版权协议书 本人完全了解西南师范大学有关保护知识产权之规定，即：研究生在 攻读学位期间所完成的论文的知识产权人单位为西南师范大学。本人保证 毕业离校后，发表攻读学位期间所完成的论文或使用这些论文中的原创性 技术成果时，署名单位为西南师范大学，或在明显位置标明，该成果是作 者在西南师范大学攻读学位期闽完成的。学校有权保留并向国家有关部门 或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 学位论文的全部或部分内容( 保密内容除外) ，可以采用影印、缩印或其 他手段保存论文。 论文作者签名：童f 兰壶颦 指导教师签名：至笪 日 期：订4 关于一类特殊的( o l ，p ) 一度量及具有广义迷向 b e r w a l d 曲率的f i n s l e r 度量的性质 学科专业t 基础数学 指导教师。王佳教授 摘 研究方向t 微分几何 研究生：刘瑞华( 2 0 0 2 3 6 4 ) 要 本文研究了一类特殊的( a ，口) 一度量以及具有广义迷向b e r w a l d 曲率的f i n s l e r 度量的 性质第三部分利用m a p l e 程序，计算出了( a ，卢) 一度量的测地系数和平均c a r t a n 挠率 第四部分讨论了f ：o 矿g 度量成为b e r w a l d 度量，d o u g l a s 度量，射影平坦的条件，并 得到了一个计算d o u g l a s 曲率的另一个计算公式第五部分在引进了广义迷向b e r w a l d 曲 率的基础上，得到了具有广义迷向b e r w a l d 曲率的两个等价条侔，主要获得以下结果， 为 命题3 6 ( n ，卢) 度量f = a 矿哗是常数) 的d 酣( 鲫) ，测地系数，平均c a r t a n 挠率 蹦c 轳南阿拙c 叼， 五= 糕 - 2 n k a a 2 卢b 2 + 2 n k a 矿+ n c x 3 - - 3 n k a 2 卢 + 2 k 2 口3 b 2 + n 女2 3 b 2 + n k 2 n 卢2 + a 2 3 a 2 卢) 口= 才+ 睦等产r o o + 篱s 。y i + 窿竿伽+ 苦s 弘蒜s s+ l i t 伽+ 再而印l 矿+ 万五8 b 其中a = 血2 一七q p + 七2 a 2 2 一k 2 2 2 ，s 6 = s ；矿，8 0 = s 扩，r = r i j y i y j b 2 = l p l l 。= n d 扛) b ( z ) 以扛) 定理4 1 度量f ：a 矿g 是b e r w a l d 度量的当且仅当下列之一成立 ( i ) 3 关于n 是平行的； ( 2 ) f 与“是射影相关的； ( 3 ) f 与a 有完全相同的测地线，即：= 虿 定理4 2 如果度量f ：a e 女g 是d o u g l 度量，则卢是闭的1 一形式 定理4 3 若度量f ：n e k ：射影平坦的，则p 是闭的l 一形式 定理4 4 在n 维流形上m 上，f 和f 是两个f i n s l e r 度量，其中f 度量的b e r w a l d 曲率为0 ，即百= 0 则f 的d o u g l a s 曲率为 巧m = 。；埘一i 睾了 q 嚣。+ q 靠+ 口仇m 碍+ q 嚣t 。矿) 定理5 2 在n 3 ) 维非黎曼的f i n s l e r 流形( 埘，f ) 上，如果l i f l t + c ( x ，y ) f c f j k = 0 d ；k = 一ck f - l 乜j ，则e , j = 8 笋c ( y ) f 一1 h i j 其中c = 璺铲 定理5 3 在nm 3 ) 维非黎曼的f i n s l e r 流形( m ，f ) 上，下列结论是等价的t ( a ) f 是广义迷向b e r w a l d 曲率c ( z ，) 的； ( b ) d = 一c k f _ 1 k 一，l i j k + c ( z ，y ) f c i j k = o ； ( c ) d 0 k = - ck f _ 1 b ，e b = 学c ( 丑) f - 1 b 其中c * = 掣 关键词：f i n s l e r 度量；测地系数；平均c a r t a n 挠率；e x p - 度量；d o u g l a s 曲率 射影平坦；1 一形式；广义迷向b e r w a l d 曲率 2 s o m ep r o p e r t i e so ff i n s l e rm e t r i cw i t h g e n e r a l i z e di s o t r o p i cb e r w a l dc u r v a t u r e a n dac l a s so fs p e c i a l ( ，侈) 一m e t r i c m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y t u t o r ：p r o f w a n gj i a a u t h o r ：l i ur u i h u a ( 2 0 0 2 3 6 4 ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d ys o m ep r o p e r t i e so f f i n s l e rm e t r i cw i t hg e n e r a l i z e di s o t r o p i cb e r w a l d c u r v a t u r e a n d a c l a s so f s p e c i a l ( 口，f 1 ) - m e t r i e u s i n g m a p l e p r o g r a m m e ，w e f i g u r e o u t t h e g e o d e s i c c o e f f i c i e n t sa n dt h em e a nc a r t a nt o r s i o n so f ( a ，f i ) 一m e t r i c si nt h et h i r dp a r t ；w ed i s c u s sc o n - d i t i o n so ff = 驴：m e t r i ct ob eb e r w a l d ，d o u g l a s ，p r o j e c t i v e l yf l a t ，a n dg e ta na d d i t i o n a l f o r m u l aw h i c hi su s e dt oc a l c u l a t ed o u g l a sc u r v a t u r ei nt h ef o u r t hp a r t ；o nt h eb a s i so fi n t r o - d u c i n gg e n e r a l i z e di s o t r o p i cb e r w a l dc u r v a t u r e ，w ef i n dt w os u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s u fg e n e r a l i z e di s o t r o p i cb e r w a l dc u r v a t u r ei nt h ef i f t hp a r t w eo b t a i nm a i n l yt h ef o l l o w i n g r e s u 】t s ： p r o p o s i t i o n3 6t h ed e t ( g i j ) ，t h eg e o d e s i cc o e f f i c i e n t sa n dt h em e a nc a r t a nt o r s i o n so f f ：n e go f ( n ，卢) 一m e t r i c st h a t i sc o n s t a n ta r e ： 抛c 舻南阿蹦， 五= ；矧 - 2 n k 3 a 2 卢b 2 + 2 n k 3 口3 + h a 3 _ 3 n k o r 2 p + 2 k 2 n 3 6 2 + n k 2 乜3 萨+ n 凫2 a 口2 + 矿一3 k a 2 z 、 3 召+ ；竿 f l k 2 a 2 + i i 广r o o + r o o + 警篇s o 矿 k a 4 f i 面江知卜箍s s w h e r e a = 0 2 一k e e l 3 + 七2 口2 b 2 一七2 卢2 ，s b = 霉矿，8 0 = s i y ，r o q = 7 0 矿矿 f j = ：= 扫币丽币丽 h o l d s t h e o r e m4 1t h em e r t i cf = d 驴t ob eb e r w a l di fa n d0 n l yi f 。n eo ft h ef o l l 伽i n g ( i ) 3i sp a r a l l e lw i t hr e s p e c tt oa ； ( 2 ) fi sp r o j e c t i v e l yr e l a t e dt od ： ( 3 酽h a s t h es r m e g e o d e s i c ，t h a t i s d = 虿 t h e o r e l 2 14 2i ft h em e r t i cf = e k 鲁i sd o u g l a s ，t h e n 口i sc l o s e d t h e o r e m4 3i ft h em e r t i cf = a e 鲁i sp r o j e c t i 1 yf l a t ，t h e n 口i sc l o s e d t h e o r e m4 4l e tfa n dfb et w of i n s l e rm e t r i c s0 1 2t h em a n i f o l dm ，d i m ( m ) ：n ，t h e b e r w a l dc u r v a t u r eo ff i sn o t h i n g ，t h a ti s 吾= 0 ，t h e nt h e d o u g l a sc u i n v a t u r eo ff i s ： 巧“= q ；“一雨1 ( q 嚣。研+ 。翼。畦+ q m m + q 弦。矿 t h 8 0 。m5 2 l e tfb en o n r i e m a n nf i n s l e r m e t r i c ，d i m ( m ) = n ( n 3 ) ，i f 工玎k + 7 删) 嘞2o ，d 2 吨f - l h i j y ! ，t h e n 岛= 警c ( z ，y ) f h i j ，w h e t ee = 掣 t h e o r e m5 3l e tfb en o n p & e m a n nf i n s l e rm e t r i c ，d i m ( m ) = n m2 3 ) ，e a c l lo ft h e f b l l o w i n gr e s u l t si se q u i v a l e n t ： ( a ) fi so fg e n e r a l i z e di s o t r o p i cb e r w a l dc u r v a t u r ee ( x ，y ) ； ( 6 ) d s 自。一ck f - * 7 吣，l 玎 + c ( z ，y ) f c , j = o ；w h e r ee = o o , ( c ) d 0 2 _ c f - 1 ，= 学c ( 训) f 一1 b ，w h e r ec = 甓 k e yw o r d s ：f i n s l e rm e t r i c ，g e o d e s i cc o e f f i c i e n t ，m e a nc a f t a nt o r s i o n ，e x p - m e t r i c ，d o n ， g l a sc u r v a t u r e ，p r o j e c t i v e l yf i a t ，1 - f o r m ，g e n e r a l i z e di s o t r o p i cb e r w a l dc u r v a t u r e 4 一、引言 f i n s l e r 空间的最初概念可以追溯到p d e m a n n 的著名论文u b e rd i eh y p o t h e s e n ，w e l c h e d e rg e o m e t r i ez u g r n d el i e g e n 1 8 5 4 年，p c i e m a n n 在他的演讲中提出了微分几何的度 量可以用二次形式的平方根来定义，或用四次微分形式的四次方根来定义后来，他更 进一步引进了基本弧长微元如= f ( x ，出) 为其度量函数这就奠定了p j e m a n n 几何的基 础 后来，b l i s s ，l a n d s b e r g 和b l a s c h k e 注意到了微分几何与变分学某些方面的特殊反射 变换关系，并且b l i s s 和l a n d s b e r g 在不是欧式背景下得到了他们的几何理论1 9 1 8 年， pf i n s i e r 在他的博士论文中也讨论了基本变分定义度量的一般原则，并由此讨论了这类 空间中的曲线和曲面的性质特征f i n f l e r 几何从此得以命名1 2 2 | 1 9 2 5 年，s y n g e ，t a y l o r 和b e r w a l d 几乎同时运用张量演算的方法得到了度量的基本张 量，以及从测地线的微分方程得到了联络系数并且d o u g l a s 和k n e b e l m a n 在非r i e m a n n 几何方面也做了一些重要的工作 1 9 3 4 年，e c a r t a n 发表了关于f i n s l e r 几何论文，他定义了c a r t a n 联络和引进了曲 率的概念这使得f i n s l e r 几何发生了历史性的变化1 9 4 8 年，s s ，c h e r n 引进了c h e r n 联 络，这更加引导着f i n s l e r 几何向着更广的方向发展【1 】 2 】【3 】 4 2 0 】【2 1 】【2 4 3 7 】自此以后， 国内外许多几何学家都投入到了f i n s l e r 几何的研究中，如：z s h e n ，db a o ，程新跃等 与r i e m a n n 度量最为接近的f i i l s l e r 度量是r a n d e r s 度量，这一直是f i n s l e r 几何学家 们研究的热点九十年代以前。以日本人t ，y a m a d a 等人为代表主要采用张量分析的方法 研究沁口卜度量，主要褥载了关于i h n d e r s 度量，m a t s u m o t o 度量等的一些性质但几 何的本质往往被复杂的张量计算所掩盖，所以这方面的进展缓慢【2 3 1 【2 6 】【27 】 2 8 】【2 9 】【3 0 】 5 3 】- 九十年代以后，z s h e n 引入新的运算模式并大量应用m a p l e 程序运算。为( o t ，卢) 一度量的 研究注入了新的活力 6 】 1 4 i 15 】 2 5 】【4 1 f 4 2 】 43 】【4 4 】【5 2 】到目前为止，许多人对r a n d e r s 度量 做了很多的研究最近，z s h e n 提出了一个新的( p ) 一度量即f = o e ：度量，目前文 献中还没有较深入的研究结果。 目前f i n s l e r 几何研究的主要问题有：常曲率空间特别是射影平坦常曲率空间的分类 问题，近两年已取得重大进展，特别是r a n d e r s 空间的常曲率分类问题基本上已经完成 瞄儿7 州【1 2 】f 3 8 】 4 5 】【4 6 ；一系列关于迷向曲率的问题等【9 】f l o h l l 】f 1 3 】 1 6 ( 1 7 l 1 8 】【1 9 j 【3 1 】【3 2 】f 33 】 【3 4 1 【3 5 3 6 】【3 9 4 0 【4 7 】【4 8 4 9 1 1 5 0 5 1 】【5 4 5 本文第三部分介绍了zs h e n 关于( a ，_ b ) 一度量的测地系数的计算方法，并利用这套方 法和m a p l e 程序，计算出了一类重要的( a ，卢) 一度量的测地系数和平均c a f t a n 挠率( 命题 3 t l - 命题3 6 ) ，以及利用m a p l e 程序找列了一个例子，铡3 1 验证了韩国人p h o n g - s h u 和 l e e ，i i - y o n g 在1 9 7 7 年得到p a r k l e e 度量f = 。+ 等的射影平坦的充要条件是错误的 第四部分讨论了f = 。e k ：度量成为b e r w a l d 度量，d o u g l a s 度量，射影平坦的条件，定理 4 1 得到了f = 一：度量成为b e r w a l d 度量的三个等价条件，定理4 2 得到了f = 口e 一： 度量成为d o u g l a s 度量的一个必要条件，定理4 3 得到了f = n e 一：度量是射影平坦的一 个必要条件定义4 , 4 得到了一个计算d o u g l a s 曲率的另一个计算公式第五部分在引进 了广义迷向b e r w a t d 曲率的基础上，定理5 2 得到了在n 如23 ) 维的具有迷向l a n d s b e r g 曲率的非r i e m a n a 的f i n l s e r 流形上，若具有一定的d o u g l a s 曲率，则此流形也具有迷向 的甲均b e r w a l d 曲率定理5 3 得到了n ( n23 ) 维的非r i e m a n n 的f i n l s e r 流形具有广义 迷向b e r w a l d 曲率的两个等价条件附录一和附录二分别是计算一般f i n s l e r 度量的各种 曲率和手q 定是不是射影平坦的m a p l e 程序 二、预备知识 首先，介绍f i n s l e r 度量 令y 是一个n 维实向量空间y 上的一个m i n k o w s k i 函数五是指函数三：y + r 同时满足： ( a ) 在叭 o 上l 是c o 。的； ( b ) l 是正2 阶齐次的，即 l ( a ) = a 2 l ( n 0 ，y v( 2 1 ) ( c ) 对任意的0 y v ，在y 上的基本形式如是非退化的，其中 咖，沪- 18 。2 i i l 一( y 佃州硼l 。 ( 2 2 ) 跏t 邺产z 口5 + “州”j j f 。 ( 2 2 这时( u l ) 称为一个m i n k o w s k i 空间如果对任意的v 都有( 一”) = 工( ) ，则称l 是 对称的 现在令 e n ：1 为y 的一个基，”= 矿y r n ，让 筠( ，) = 2 1a 0 2 a l ( 扪 f 2 3 ) 则有 曲( m ， ) = 鲫( f ) 矿 其中u = n e ：，u = 7 由三的齐次性贝i l ( u ) = 鲥矿旷 注意到行列式d e t ( g i i ) 的符号在咒m 0 ) 上是不变的，则可定义 ，1i ，d e t ( g l j ) 0 ； i n d ( l ) = 。一1 ，如# ( 铆) 0 ，y t m o ) 这时称l 为正定的m i n k o w s k i 度量， ( m ，l ) 是正定的m i n k o w s k i 空间通常用 f ( 掣) = l ( 掣) 表示正定的m i n k o w s k i 度量下面均用f 表示f i n s l e r 度量 设m 是一个n 维流形，t m 上的函数f ( z ，g ) 称为f i n s l e r 度量如果f 满足 ( a ) f ( x ，g ) 在r m o ) 上是c 。的； ( b ) 对v y v ，最( y ) = f 坊是疋m 上的m i n k o w s k i 范数 我们称( m ，f ) 称为f i n s l e r 空间 对v 0 口耳m ，p m ，f 在弓m 上诱导了如下的一个内积野，定义： 毋( “，) = 9 i j ( z , y ) 。一= i 1 f 2 矿矿u 护 ( 2 4 ) 其中。= ( 一) 为p m 的坐标，口) = ( 矿，y ) 为y 昂m 的局部坐标 假设c ( ) 为( m ，f ) 的一条参数曲线，若它满足测地方程 丝d t 2 埘( 础) ，面d c ) = 。 其中 分= f 2 b f 2 一) 则称c ( ) 为测地线，口为f 的测地系效，其中( 一) = ( 蚰) _ 。 7 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 定义 g 圳嘉一z 昨剐毒 ( 2 t ) 则这个向量场是整体定义在切空间t m 上的，从f 的齐性我们有 9 ( z ，a y ) = a 2g 1 v ) ， 0 我们称g 为f 诱导的一个f i n s l e r 测地系数 其次，介绍r i e m a n n 几何羞 定义r i e m a n n 曲率为 岛= 磁出。杀l 。：耳m 一耳m 其中 r l = 。筹一筹矿+ z 掣筹一嚣笨 r i e m a n n 曲率的迹 r i c ( x ，y ) = ( n 1 ) r ( ) = 弼：( z ，y ) 称为r i c c i 曲率r ( z ，y ) =r i c ( x ，f ) 称为r i c c i 标量 然后，介绍非r i e m a n n 几何量及联系 设m 是一个n 维流形，对任一非零向量已m 定义c a r t a n 挠率为t q = c 白k ( x ，可) 出o d x o d x ：耳m o 耳m o t p m 只 其中 ( z ，口) = i 1 两a w f 2 ( z ，) 定义平均c a x t a n 挠率为 毛= 厶( z ，y ) d x 。：耳m r 其中 五= 1 - “ f 2 y l y j y k = 引k 扛硐 定义m a t s u m o t o 挠率m _ 是耳m 上的线性形式， 其中 k ：2 k 一南( h h j k + i j h k + 厶b ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 其中 其中 定义b e r w a l d 曲率为 岛= 目t z 舻。如k 圆d x t 杀i ，：耳m 。耳m 够t p m - - - - * t p m 定义平均b e r w a l d 曲率为 奄剐( z ，v ) = 石；茜( z ，。) 岛2 毋i 如p d ；r k i 。：耳m 固耳m r ( 啪) = ；跺m 扣劫 如果b = 0 ，则称f 为b e r w a l d 度量如果e = 0 ，则称f 为弱b e r w a l d 度量 定义l a n d s b e r g 曲率为 其中 岛= l i j d x l 8 捌。l ：昂贸。耳凹。弓掰一乃 1 工t j 女( 。，) 2 一i 扩蜘c ( 。，g ) ( 划) 2 如果l = 0 ，则称f 为l a n d s b e r g 度量 定义平均l a n d s b e r g 曲率为 其中 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 耖础劫蒜舞w ( 2 1 5 ) 山= 固, i x 4 ：耳m 一兄 k = 旁q “k 在b e r w a l d 曲率的基础上，jd o u g l a s 引入了d o u g l a s 曲率 定义为 其中 巩= 巧“。如圆d 一 丽0 ：昂m 耳盯耳m 一昂m 蛳= 晶 1 = g i 一而1 而毋g t m v 9 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 如果d = 0 ，则称f 为d o u g l a s 度量 定义f 为局部m i n k o w s k i 度量，若f 满足b = 0 ，r = 0 这时( m ，f ) 称为局部 3 i n k o w s k i 空间 对一个二维平面p c 耳m 和0 y 耳m ，定义旗曲率为 妣沪而舞糟等丽( 2 a 9 ) 其中p = s p a n y ，“) ，显然k = 0 = 争且= 0 如果耳( p 1 y ) = a ( ) ，即k ( p ，) 与所选平面 无关，则称f 具有标量曲率k = ( ) ，在一个局部坐标系下，这等价于 r = a f 2 卜爷) 偿。， 如果a 是一个常数，那么我们称f 具有常曲率 定义w e y l 曲率为 = 忧出女 杀f 。：t p m - - - - * t p m ， 其中 w t 叫一熹筹以 a = 磷一r 罐( 2 2 1 ) 定义s 一曲率为一个标量函数s ：t m r s = 器_ y m 掣 ( 2 。) 其中a ，z ) _ 前蔬老屯弼，u n 是欧氏空阔单位球的体积，霹：= 留) 形，f 留e i ) 0 ，则称f 与f 射影相关容易 得到m 上的两个f i n s l e r 度量射影相关当且仅当f 满足 f 矿一f i = 0 ( 2 2 6 ) 这时f 与f 的测地系数的关系为t 虿= g - + p y l ，其中 p = 型2 f ( 2 矧 如果f 是局部m i n k o w s k i 的度量。则称f 是射影平坦的f i n s l e r 度量 不难得到，p 射影平坦当且仅当f 满足 昏一矿一岛= 0( 2 2 8 ) 这时，f 的射影因子为 p _ f f 一2 f _ y k ( 2 2 9 ) 进一步，介绍一类特殊的f i n s l e r 度量及关于池p ) 度量中的一些定义、计算公式以 及使用的一些记号 定义h i ；，如下t b l ；j o j ：= 孤一b ( 2 3 0 ) 其中0 = d x 。，并且0 ；= 黾d z 代表口的l e v i - c i v i t a 联络形式 令 r 。= ；( 6 i j + 曲，s 巧= ；( b i ；j - b ；) = a i h s h j ，s j = 趣苟，e i j = + 机勺+ b s 。 t o o = 啊9 矿，5 6 = s 矽，8 0 = s l y ，e o o = 扩矿 ( 2 3 1 ) 若5 ”= 0 ，则称口为闭的1 - 形式；若r i j = 0 ，则称芦为k i l l i n 9 1 一形式；若6 订= 0 ， 则称口关于。平行 下面我们介绍一个代数上的重要引理 引理2 2 ( f 4 4 】) 假设 ( 1 ) 矩阵( 0 ) 为一n 阶的可逆复方阵，其逆记为( q 玎) ( 2 ) 存在复数q ，使得一= q ”岛，j = 1 ，n ，那么 ( a ) d e t ( q i j + 岛c j ) = ( 1 + c s c s ) d e t ( q i j ) ( b ) 若1 + ，岛0 ，则( q q + 岛c j ) 可逆，且逆矩阵为( q 巧一蕊1 c i 一) ( o ) 一度量这个概念是日本数学家m ，m a t s u m o t o 于t 9 7 2 年在已被物理学家关注的 r a n d e r s 度量f = a - f 卢的基础上而提出的在一个7 1 , 维流形m 上，如果f i n s l e r 度量f 有下列的形式； f 刮( ：) s z ， 其中n = 山巧( z 炒护为r i e m a n n 度量，多= 缸( z ) 矿为1 阶微分形式，即l 一形式，西- = ( 5 ) 是在某区间【一r ，r 】上的正c 。函数我们称f 为( a ，口) 一度量， 假设b 2 ：= 1 1 口忆= “万斟可丽r , v z m 我们计算h e j a ng i j = 1 i f 2 ，；矿如下： 蜘= p 。玎+ 舶“b + p ! ( b i c l ja - b j c q ) a - p 2 啦q( 2 3 3 ) 其中 n i = d 旷 p = 扩一5 西毋p o = 币面”+ 毋7 p l = 一5 ( 毋+ ) + 毋，p 2 = 8 2 ( 西矿+ 面7 曲) 一s 其中s = g 且1 8 1s1 1 序1 1 。r 通过上面的引理我们可以得到d e t ( g i j ) 可以如下给出： a e t ( g i j ) = 护一s t 7 ”+ 1 - 尘二二! 2 j ；：；二! 鲨a e t ( c 吣) ( zs t ) 如果= 口( s ) 满足下面条件t 西( s ) 0 ， 曲( s ) s ( s ) ， 矿( s ) 0 ， v l s ls ” 则( g i j ) 是正定的，且f 是f i n s l e r 度量， 我们通过利用m a p l e 程序的计箅得到g 与召的关系，g 和召分别表示f i n s l e r 度 量f 与r i e m a n n 度量口的测地系数 引理2 3 ( 【5 0 】) 测地系数g l 与召相关于下列形式t 口= 才+ 尚蒜篇篇器 若”r o o 耀+ 矿。0 。s ， 其中s = ：，s a = s s o = 踟，抽= r 。，g - 矿，6 z = l 眦= 扣瓦丽；丽 在这里，介绍如下几类我们知道且又特殊的( 。，卢) 一度量； f 1 ) r a n d e r s - 度量f = a + 卢； ( 2 ) s h e n - 度量f = 丝乒； ( 3 ) m a t s u m o t o - - 度量f = 禹； ( 4 ) k r o p i n a - 度量f = 等； ( 5 ) m k r o p i n a - 度量f = 9 ；芸( m 0 ，一1 ) ； ( 6 ) h o n g - p a r k 一度量f = q + 譬 ( 7 ) e x p 一度量f = 2 e k ： 最后，介绍关于迷向曲率的定义与一些记号 在f i n s l e r 流形( m ，f ) 上，如果存在一个标量函数c ( z ) ，使得b e r w a l d 曲率满足下面 等式t 骂“= c ( z ) 弓 + 弓趣+ 靠l 露+ 乃 矿) ( 2 3 6 ) 其中f , j = 目t 矿= j 0 哥， = b t 矿旷= i 弗蓍每则我们称f 具有迷向b e r w a l d 曲率 c 0 ) 的 5 1 1 在f i n s l e r 流形( m ，f ) 上。如果存在c ( x ，) ，使得b e r w a l d 曲率满足下面等式； b 0 女；c ( z ，) 畦+ 毋 砖+ 易k 赶+ k ) ( 2 3 7 ) 其中= b ，矿= 5 3 嚣，f 机= 巳t 一矿= i 孑g 蓍杀则我们称f 是具有广义迷向b e t w a l d 曲率c ( 叠y ) 的f i n s l e r 度量，简称f 是广义迷向b e r w a l d 曲率c ( x ，y ) 的 若存在标量函数c = c ( x ) 使得f i n s l e r 度量f 满足 l + c f c = 0 ，s = ( 竹+ 1 ) c f ( s = ( n + 1 ) ( c f + d p ) ，p = p ( z ) )( 2 3 8 ) 称f 具有迷向l 一益翠，( 殆) 迷向s 一曲翠 相似的若有 j + c f i = o ， e = 兰妻! c f l h( 2 3 9 ) 则f 具有迷向，一曲率，迷向e 一曲率其中h f ：= ，j g 矿 记号：注意其中的i 都表示关于f 的水平协变导数；”表示关于y 。垂直导数 玑= 蜘矿， = f 蜀= g i j 一“f ，f = 善， “= 毛t = 娑= i 1 ”，峰= 酩一k p ( 2 瑚) 1 3 三、( ，) 一度量的一些基本计算 根据前面z s h e n 提出的新的计算方法，再利用m a p l e 软件可以计算出下面具体一些 ( 。，口) 度量的d e t ( g i s ) ，测地系数，平均c a r t a n 挠率的计算公式 命题3 1 ( a ，口) 度量f = o + 譬的d e t ( g i j ) ，测地系数，平均c a f t a n 挠率为： d e ( 鲥) = 石i = ；可万( 舻+ 矿) ( 一一伊) “d e ( 叼) 五= 二：；2 帮 一s n 芦4 一a 2 3 2 b 2 2 i 订万r = 1 i ：i t 一4 “p 一 + 2 n a 2 3 2 b 2 + 4 a 2 卢2 + n n 2 酽- - 3 a 4 b 2 1 g = 才+ 茄旷茄瑚p + 器晶+ 降一者小 其中a = 2 a 2 3 2 + a 2 3 3 2 ，s = 鼋矿，s 。= s ，矿，r = r l j y 一，b 2 = j 归j j 。= 厄i i 五i 丽 命题3 2 ( 口) 一度量f = 地宅譬的d e t ( g i s ) ，测地系数，平均c a f t a n 挠率为t 如t ( 趵) = 南( a a + 3 。3 犀一2 n 萨p 4 ) “d e t ( 叼) 厶= ：蔫( ( n + ，) a 3 + 2 ( n + ) a 3 6 2 - - 2 ( n + - ) 。2 卢 一3 ( n - i - 1 ) n 3 2 - - 4 h a 2 3 b 2 + 2 a f l 3 b 2 + 6 n 卢3 ) = 虿+ 孚一絮署s 。卜 + 为“除一禹。卜 + 吾= 节5 a + i 百r o o j 再f = 面3 0 l 扩 其中a = 2 。2 卢2 + 。23 3 2 ，曲= 咖，即啪矿，r 0 0 = 耐y s ，b 2 = 。= 归丽丽 命题3 3 ( ，卢) 一度量f = 为的d e t ( g ，) ，测地系数，平均c a r t a n 挠率为： 如( 黝) = 一石可而ai 万n 2 州a 舳t ( 叼) 1 4 五= 2 a ( a 希乌蒜2 a 疆b 2 丽 ( n + 1 ) 以7 ( n + 1 ) 叩 一声) ( 口一2 卢) ( a +一3 卢) k 7 “7 “” 一8 ( n + 1 ) a 卢b 2 + 2 n 2 b 2 + 8 a 2 b 2 + 1 2 n 卢2 + 6 卢2 1 c i = 虿+ 。a 。- 删4 f l ，o o 一亲嵩小 + 禹面+ 融一焉s 。卜 其中a = 2 口6 2 + 0 2 3 俨，s 6 = 码扩，8 0 = s 矿， 命题3 4 ( a ，卢) 度量f = 学的d e t ) ， r o o = r i ，6 2 = 8 卢i i 。= j i ；西天丽 测地系数，v - r ac a r t a u 挠率为， d e ( 趵) = 吾n 2 2 6 2 如洳玎) 厶一掣c d # 伸轧一卢岫) 分= 虿一( 南r o o + 萨1s 。y l 一翕。6 + ( 击r m + 茄。) b i 其中一= s ；旷8 0 = 也y ，t 0 0 ；矿，6 2 = 恻i ；= c a i j ( x ) b j ( x ) b i ( x ) 命题3 5 ( 口，口) 一度量，= 9 茅0 ，一1 ) 的d 酣( 鲫) ，测地系数平均c a f t a n 挠率 为i d e c ( 蜘) _ _ 学( ；) “龇) 厶= 业毫i 产盟 ( n m + 1 ) 群n ( m _ 1 ) 胪) = 帮一 警恂+ 丽2 m 2 d 2 印 一面筹南“ + 簪r o o + 而m 2 。t 4s 。卜 ；睦e ea = m o t 2 6 2 一( m 1 ) 萨，s 6 = s ；矿，s 。= 。t 矿，t o o ；r t j 9 矿，6 2 = f l a i l 。= j 可罚i 石i i i 石 命题3 6 ( o ，卢) 一度量f = 口扩g 忙是常数) 的d d ( g | l j ) ，测地系数，平均c a r t a l l 挠率 为： 如c 班南阿妣c ， = ；l ；：j 墨i 著 - 2 n k 3 0 r 2 卢b 2 + 2 n k 3 卢3 + n n 3 一。n m a 。卢 + 2 k 2 口3 6 2 + n k 2 口3 b 2 + n k 2 。徊2 + 口2 3 七2 卢l 1 5 口= 才+ 瞎等半r o o + 黼小 + b 等r o o + 昔s 。卜器s 6 + l 互可+ i = 二= 干丽印l 扩+ i 矿= 否5 j 其中a = n 2 一七q 卢+ k 2 6 2 一知2 卢2 ，s 6 = s ，5 0 = s i y ，r 0 0 = r i j y l y j ， b 2 = l l 口j i 。= 、，口玎( z ) b ( z ) 6 l ( z ) 韩国人p h o n g - s h u 和l e e ，i i - y o n g 在1 9 7 7 年得到p l e e _ 度量f = aq - 譬射影乎坦 的充要条件为n 是平坦的r i e m a n n 度量，且卢关于a 是平行的( 参考文献 14 】) 见详细 的信息最近，z s h e n 通过对s h e n 一度量射影平坦的证明，可以推知韩国人得到的结论 足错误的但是没有给出例子来说明于是，运用m a p l e 寻找f i n s l e r 度量中的例子是一 个很好的工具下面我给出我所找到的例子，以便证明pl e e _ 度量f = a + 譬关于射 影平坦的充要条件是错误的 例3 1 设 一迦谭铲 肚= 誉锦 其中口是闭的l 一形式 我们可以利用m a p l e 验证。是非射影平坦的，但是度量f = a + 譬是射影平坦的 【见附录= 1 四、一类特殊的( ，卢) 一度量的性质 引理4 i ( w o ) f 和f 是流形m 上的两个正定的f i n s l e r 度量，f 射影相关于f 当 且仅当f 满足； f ：k 1 9 2 一f ：l = 0 此时，测地系数是形如虿= 分+ p y ，其中， p = 警 定理4 1 度量f ：o 驴：是b e r w a l d 度量的当且仅当下列之一成立： ( 1 ) 口关于a 是平行的； 1 6 ( 2 ) e 与。是射影相关的； ( 3 ) f 与。有完全相同的测地线，即t 伊：才， 证+ 已知任一f i n s l e r 度量关于b e r w a l d 联络的水平协变导数为零，于是有 ，一g ；- = 0 把命题3 , 6 中的g 2 改写为g = 百+ q 于是关于y 和y j 微分得 雠= 礴+ n 氛哝= 碟+ 略 b ，一磷气t = f a a 一+ 乃凡。一 + n ) ( r t + 昂船) = r ( 一礴a 矿一蝣a 矿) 一昂陋t 一礴孙一n ) = 一f = n l a 矿一昂( 口j n ：6 k ) ；一p k g ( 一孑k f l 川印i y a 矿, _ k e h 5 ( b i ；t n ； i 6 * ) 矿 = 硝 ( 纂一) n 鼻弧矿一( 一哝s t ) 矿 =0( 4 1 ) 假设f 是b e r w a l d 度量，则g 盏= g 盖( z ) 且嗉= 嗉( z ) ，这说明n 嘉= n ； i ( z ) 并且 b j 。= 如；( z ) 由( 4 1 ) 式立即得到； 哝挑矿= 0 ( 4 2 ) 女卢哝“一一口2 ( i 一n ；k ) ，= 0 ( 4 3 ) 从( 4 2 ) 和( 4 3 ) 式我们可以得到略= 0 ，b _ = 0 所以卢关于q 平行这就证明了( 1 ) 另一方面，若( i ) 成立，即口关于n 平行，于是有r 0 0 = 0