（基础数学专业论文）一类n维李三系的分类.pdf

摘要 1l 摘要 李三系是李代数三元运算的自然推广。本文主要讨论了复数域上一类n 维李三系的 分类，设t 是一个带有三元运算b ，y ，z 】= ，z b 一( x ，z b 的n 维李三系，其中f 是t 上的对称双线性函数，利用对称双线性函数的标准型，得到所有此类n 维李三系的分类， 即町分为n + 1 类。然后讨论了这类李三系的关于单纯，可解，a b l e 性质，最后写出了其 导予代数的矩阵形式。 第一部分给出了n 维李三系的基本概念及一些基本性质，其中包括：李三系的子 系，理想，可解理想，根基，单纯李三系，半单李三系等，并推证了r ( t 1 是极大可解 理想，则( r ) 是半单的。 第二部分给出了对称双线性函数的基本概念及其在复( 实) 数域上的标准型，及 它们的分类情况。 第三部分给出了复数域上一类n 维李三系的分类情况，并讨论了它们的单纯，可 解及其a b l e 性质。 第四部分讨论了此类李三系的导子代数及其性质，并给出了单纯李三系导子代数 的矩阵形式。 关键词李三系理想 可解对称双线性函数 a b s t r a c t t h e c o n c e p to fl i et r i p t es y s t e mi san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h a to fl i ea l g e b r a i nt h i sp a p e r , w ec l a s s i f yac l a s so fn d i m e n s i o n a ll i et r i p l es y s t e m so v e rt h ec o m p l e xn u m b e rf i e l dl e tt b ean d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e w i t ht h e m u l t i p l i c a t i o n s u c h t h a t h y ，2 j - f ( y ，z ) x f ( x ，z ) y w h e r ef ( x ，y ) i sas y m m e t r i cb i l i n e a rf u n c t i o n s i nt h e p r o g r e s so ft h ep a p e r w ee x p l o i tt h es t a n d a r df o r mo ft h es y m m e t r i cb i l i n e a rf u n c t i o n s a n d d r a wt h ec o n c l u s i o n st h a tt h i sk i n do f n - d i m e n s i o n a ll i et r i p l es y s t e mc a nb ec l a s s i f i e dt on + l t y p e s t h e nw e d i s c u s st h es i m p l e ，s o l v a b l ea n da b e lf i n a l l y ，w ew r i t eo u tt h em a t r i xf o r m o f t h e i rd e r i v a t i o na l g e b r a s e c t i o n1 ，b e g i n sw i t hs o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n db a s i cp r o p e r t i e so fn - d i m e n s i o n a ll i e t r i p l es y s t e m s ，i n c l u d i n gs u b a l g e b r a si d e a l s ，s o l v a b l ei d e a l s ，s i m p l el i et r i p l es y s t e m s ， s e m i s i m p l el i et r i p l es y s t e m s ，r a d i c a l sa n da b e l i a nl i et r i p l es y s t e m sa n ds oo d ，a n dp r o v e t h a tr ( t ) i st h em a x i m a ls o l v a b l ei d e a la n dt r ( t ) i ss e m i s i m p l e i ns e c t i o n2 ，w ei n v e s t i g a t et h es y m m e t r i cb i l i n e a rf i m c t i o n sa n dt h e i rs t a n d a r df o r mo v e r t h ec o m p l e x ( r e a l ) f i e l d s e c t i o n3t a k e su pt h ec l a s s i f i c a t i o no fan - d i m e n s i o n a ll i et r i p l es y s t e mo v e rc o m p l e x f i e l da n dg i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rw h i c ht w on d i m e n s i o n a i ，a n dd i s c u s s t h e i rs i m p l i c i t ys o l v a b i l i t ya n dt h e i ra b e l i a np r o p e r t i e s i nt h el a s ts e c t i o n ，w ed i s c u s st h ed e r i v a t i o na l g e b r a sa n dt h ep r o p e r t i e so ft h i sc l a s so f l i et r i p l es y s t e m sa n dg e tt h em a t r i xf o r m so ft h ed e r i v a t i o na l g e b r a sf o rt h es i m p l el i et r i p l e s y s t e m si nt h i sc l a s s k e yw o r d s l i et r i p l es y s t e m s i d e a l ss o l v a b l e s y m m e t r i cb i l i n e a rf u n c t i o n s i i 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包台为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名 骨趟 日期：巡年月釜日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公粕 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密。 ( 请在以上相应方格内打“”) 作者签名 哥敝 导师签名： 日期：础j 月上同 日期：乙畦年上t 月一日 ， 0 引言 0 引言 设g 是一个李代数。若t 是它的一个子空间，且对任意x ，x ，h t ，都有 x ，x ， ， 丁，若在t 内定义三元线性运算 z 。，x ，z = x ，z ， ， r ，则t 构成 一个李三系。因此，李三系可以看作李代数三元运算的自然推广。1 9 4 9 年，n j a c o b s o n 正是从这个代数观点上引入了李三系的概念，1 9 5 2 年，w g l i s t e r 对特征为0 的代数 闭域上的李三系的结构理论进行了较为系统的研究。而后，人们对于实( 复) 数域上的 及特征为0 代数闭域上的李三系进行了大量的研究工作，其中包括结构和表示理论等。 由于李三系可以看作李代数的推广，所以许多学者对于李三系的研究放在与李代数相平 行的一些概念和理论上。另一方面，任何一个李三系都可以嵌入一个李代数，因此人们 又可以借助李代数的方法与理论束研究李三系本身。 其实，李三系的概念从几何上可以追溯到更早。上世纪初e c a r t a n 利用实半单李 代数来讨论黎曼对称空间( 这是一类黎曼流形) 的分类，类似的可以利用李三系来讨论 黎曼流形的某一类子空间一全测地子流形。设m 是黎曼对称空间，g 是m 的等距变换李 群g 的李代数。对于每个全测地子流形s m ，都对应一个李三系t _ c g 。因此，李三系 本身可看作对称空间( 特别地，全测地子流形) 的切向量代数，正如李代数是李群在一 点的切向量代数一样。由于李三系概念的微分几何背景，使它成为研究黎曼对称空问的 有力的代数工具，而且近年来研究工作表明它在y a n g - - - b a x t e r 方程等理论物理学中也 有重要应用。 李三系的研究工作有一部分是围绕着李代数展开的，主要是李代数已有的概念及结 果向李三系的推广，从而得到了关于李三系的理想、中心、同态、同构、可解、幂零、 根纂及李三系的分类、结构、表示等一系列的概念和结果，使得李三系这一代数体系有 了很大程度的发展。 尽管如此，李三系中还有许多问题值得我们去继续研究。本文主要讨论一类n 维李 j 系在复数域上的分类以及对应的导子代数的性质。 河北大学理学硕十学位论文 1 预备知识 定义1 俨设t 是域f 上的有限维向量空间，且t 中有三线性三元运算【a ，b ，c 1 ，若 a , b ，c 】满足以下三个条件： ( 1 ) 【a , b ，c l = 一【b a ，c 【a ，a ，b 卜o ； ( 2 ) 【a , b ，c + 【b ，c ，a 】十【c ，a ，h i = o ； ( 3 ) x ，y 【a ，b ，c 】= x ，y ，a 1 ，b ，c 】+ a ，i x ，y ，b 1 ，c + 【a ，b x ，y ，c 其中x ，y , a ，b ，c 是t 中任意向量，则称t 为f 上的一个李三系。 定义1 2 满足【u ，u ，u c u 的t 的子空问u 称为李三系的子系。 定义1 3 设i 是李三系t 的子空间，且满足 i ，t t i ，则称i 为t 的理想。 定义1 4 设i 是李三系t 的一个理想，令i o = i ，i ( 1 ) = t ，l ( m ，i ( o ， i 2 - t - , i o ) , i 1 ，p = 【t i 。”，i 。1 1 】，如果存在某个f 整数m ，使得i ( ”) = o ，则称i 是t 的 可解理想。 定义1 5 非一维的无非平凡理想的李三系称为单纯李三系。 引理1 t 是一个李三系，则 ( 1 ) 如果t 是可解的，则t 的所有子系是可解的。 ( 2 ) i , b 是t 的可解理想，则i + b 也是t 的可解理想。 证明：( 1 ) 的证明可类似于李代数情形。 ( 2 ) 要证明i + b 也是t 的可解理想，只需找到合适f 整数m 。 使得( i + b ) t ”) = 0 即可。 我们先观察：( i + b ) 1 = 【t ，i + b ，i + b 】【t ，i ，i 】+ 【t b ，b + 【t ，i ，b 】+ t ，b ，i 】i 0 ) + b ( 1 + i nb 假设( i + b ) 。) i ( 婶十b 蚺+ i n b 成立，则 ( i + b ) 。+ 1 ) = 【t ，( 1 十b ) ，( i + b ) 妯】l ( k + 1 1 + b ( k + 1 + i r b 以上论述实际可得到( i + b ) ( s ) 1 8 + b 8 + i nb 出于b ，i 是可解的，所以存在i l l l ，m 2 使得，= b m 2 ) = 0 取m a x ( m h m 2 ) q ，显然( i + b ) 曼inb 由( 1 ) 知，i n b 是可解理想，所以存在q 使得( i n b ) ( q = o 故取m = t + q ，则( i + b ) “= o 由引理1 1 可得，可解理想之和仍是可解理想，从而保证了极大可解理想的存在性。 定义1 ，6 t 的极大可解理想称为t 的根基，记为r ( t ) 。 定义1 7 如果r ( t ) = 0 ，则称李三系t 是半单的。对于任意的x ，y , zt ，我们用 l ( x ，_ y 比) = k ，y ，z ，则定义1 1 中( 3 ) 式等价于 l ( “，v l 工g ，y ) 】= v ，x l y ) + l ( x ，皿，v ，y d ， ( 3 ) 定义1 8t 的导子是指满足d x ，y ，z 】= d x ，y ，z + x ，d y z 】+ x ，y d z 的线性变换 易知，上式等价于 d ，上0 ，州= l ( d x ，_ y ) + l ( x ，印) t 的所有导子的集合汜为d ( t ) 。tt r ：j 导子集d ( t ) 按括积构成个李代数。称为李 三系t 的导子代数。，y ，令上g ，y ) ： i - - t ，且l ( x ，j ，比) ：= i ，y ，z 】，则由定义1 1 中( 3 ) 式知，l ( x ，y ) 是t 的一个导子。令d o ( t ) 表示 三0 ，”】x ，y ，t ，则它 构成d ( t ) 的- - 个子代数，每个元素称为t 的一个内导子，d o ( t ) 称为t 的内导子代数。 定义1 9 如果【t ，t ，t 】_ o ，则称t 为a b e i 的。 引理1 2 曙1 设t 是数域f 上的李三系，r ( t ) 是它的极大可解理想，则p ) 是半 椎李三系。 证明：设( 丁) 的任一可解理想仃) 且u 是t 的包含只( r ) 的理想- 一( 卜( q 诎r 丁) 因为( 7 ) 可解所以对于某个自然数n ，有u n e r ( t ) 从而得到u 为t 的可解理想且包含r ( ，) , i g 与r ( r ) 的极大性矛盾，所以( 了1 ) 2 0 8 i i t - 冗( r ) 的任一可解理想( r ) 。o 引理1 3 “3 半单李三系可以写成若干单理想之和反之也成立。 2 双线性函数 定义21设t 是域f 上的向量空间存在映刳f t t 。f ，刈于t 中任意向量 口，芦，d l ，a 2 屈，芦2 以及f 中任意数k l , k 2 ，h j ，h 2 ，满足： ( 1 ) 厂恤，a 。+ 如。，) = 毛厂扛。，声) + 屯，扛，卢l ( 2 ) ，扛，h 。属r h 2 岛) = 。，扛，届) 一 ：， ，：) ， 则称f 为t 上的双线性函数。 定义22 f 为双线性函数，对于t 中任意两个向量口，声t 都有，( “，f 1 ) = f ( f l ，口) ， ! _ l | 称f 为列称双线性函数。 由线性代数的知识知，有咀下3 个引理。 引理21 设t 是域f 上的n 维向量空闻，f 是t 上的对称双线性函数，则存在t f 一的一组基e i ，。2 ，e 。使f 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵。 引理22 设t 是复数域f 上的n 维向量空白j ，f 是t 上的对称双线性函数，则存在 ，i 上的一组基e l ，e ：，e 。，使得，在这组基下的度量矩阵为 兆n + 1 种 引理2 ，3 设t 是实数域f 上的r l 维向量空间，f 是t 上的对称双线性函数，则存在 t 上的一组基e l ，e 2 ，e 。，使得f ( ，) 在这组基下的矩阵为 t 上的一组基e h e zr ，e 。，使得f ( ，) 在这组基下的矩阵为 共坠鳖! 禹十。7 、 2 。 3 一类n 维李三系的分类 3 一类n 维李三系的分类 定理3 1 设t 是域f 上的向量空恻，f 是t 上对称双线性函数( 型) ，在t 中定义 k ，y ，z 】：= f ( y ，z ) x f ( x ，z ) y ，则t 在此运算下成为一个李三系。 证明：只需验证满足李三系的定义：v x ，y ，z v ( 1 ) 由定义b ，y ，z 】= s ( y ，z ) x 一厂g ，z ) y 而b ，那】- f ( x ，z ) y f ( y ，z ) x = 一i x ，y ，z 】且x ，e y l = 0 ( 2 ) b m z + h ，】+ z y 】 = 厂，z ) x 一厂g ，z ) y + ，( z ，x ) y s o , ，x ) z + ，g ，y ) z f ( z ，y ) x ，为对称双线性函数， 所以s ( y ，z ) = 厂( z ，y ) ，g ，z ) = ，( z ，x ) ，厂( t y ) = 厂c y ，x ) 因此k ， z + f y ，】+ 【z ，x ，y - 0 ( 3 ) i x ，y ，b ，b ，c 卫= i ，_ y ，f ( b ，c b s ( a ，c ) b 】 = s ( b ，c ) f ( y ，a ) x s ( b ，c ) ( z ，a ) y s ( a ，c 沙( y ，6 ) z + f ( a ，c ) ，( x ，b ) y 类似地： i x ，y ，口1 6 ，c 】= f ( y ，a ) f ( b ，c ) x f ( x ，a ) f ( b ，c ) y f ( y ，a ) f ( x ，c ) b + m ，a ) f ( y ，c ) b b ，b ，y ，6 l c 】= f ( y ，b ) f ( x ，c k f ( y ，b ) f ( a ，c k f ( x ，b ) f ( a ，c ) y + f ( x ，b ) f ( y ，c ) a k ，b ，l ，y ，c 1 1 = f ( y ，c ) ，( 6 ，z k f ( x ，c ) f ( b ，y k f ( y ，c ) f ( a ，x y o + f ( x ，c ) f ( a ，y ) b 可见b ，y ，k ，b ，c = 盼，y ，a l b ，c 】+ k ，x ，y ，6 l c + a , b ，b ，弘c 口 定理3 2 设t 是域f 上的n 维向量空间，- ，i ， 是两个对称双线性函数，由彳， 在t h n 定的两个李三系t 。，t z ，则t ，与t ：同构充要条件是它们的度量矩阵合同。 证明：( 1 ) 充分性：若它们的度量矩阵a 与b 合同，不妨设a ：c b c ，其中c 为可 逆矩阵，即：2e z c 。b ，“ j ， 假设变换口在e 。，e ：e 。下的矩阵为c ，显然口为可逆的变换， 一k ，e ，j = a 【e ，置，一厂0 盯( e ，) ，盯( 勺) ，盯( 气) ： a - 斗q n 。e ，) = a + a 0 ，) - - a i k a - ，) 河北人学理学硕十学能论文 = b k 。l a 0 。) b 0 ，) 一厂2 p 0 1 a 0 。) b k ，) b k ，i d k ) ) = ( c 俨，e ：) = c ，b 户m2 ，= l - l， 所以a q ，e j ， 。= 盯( q ) ，口( 勺) ，c r ( e , ) 1 ： 盯为q - 。到t ：的同构映射，故瓦兰疋 ( 2 ) 必要性：假设e 1 ，。2 ，e 。是t 的一组基 在t ，中 ，e ，气 ，= 五( 巳，吼) q 一五( e 嘏) 勺= q 6 l l k e , i 在t z 中k e ， ：= ( e ，以e ，一a ( e , , e k 扣，2 b n r ， 可设f ，f 。关于基e i ，e 2 一，e 。的度量矩阵分别为 a = ( 1 。日。 ，b = 6 。 f 证存在司逆矩阵c ，便a = c b c 出于t 与r 同构，存在同构映射巧使得 玎 q ，巳，气 。= 盯( e ，) ，o ( e j ) ，仃( ) ： o e e i , e ) , e k l = g ( a t k q 一e ，) = q t 盯( q ) 一q * a ( 巳) o - ( e , ) ，o - ( e j ) ，一( 吼) ：= ( 盯( “仃( 咯) ) a ( e 卜 ( a ( q ) ，a ( 钆) ) a ( 勺) 则。：疋 a b 1 a 0 。) la 。= ，2 ( a ，) ，a 0 。) ) 假设盯在e 。，e ：，巳下矩阵为c ，则a0 ，) 2 q e ， ，= 1 n 。= ( 盯0 。l 盯0 。) ) = 厶( c 。e ，e ，) 2 c ，b ，c m ，= i 为c b c 的第i 行第k 列元素，即存在可逆矩阵c 使得a = c b c ，所以a 与b 合同。 无特殊声明，以下讨论的都是定理3 1 中所定义的李三系。 定理3 3 复数域上此类n 维李三系共分n + l 类。取基底e ，i = 1 , 2 ，3 1 2 ( 1 ) 类是k 。，e ，j = 0 6 3 一类n 维李三系的分类 黼足般：。e ，i ：e 。j ；：1 ， n ，r s ，s = 1 r 一1 ，” ( n + 1 ) 类满足q ，e ，e j = q i = l ，2 ，n = 1 ，2 ，ni j 证明：由于复数域上的线性空间上的对称双线性函数，因此必可找到一组基 e ie ，一e 。，使该对称双线性函数的度量矩阵为下列对角阵。 0 o 0 o 定理3 4t 是复数域上的李三系，则 1 ( 1 ) 类 q ，e ，气 = 0 显然是a b l e 的 z 犯，类 隹：2 0 ，】= ：e 。i 江? ：。l ，”为可解李三系 证明：1 ；( 1 ) 类是显然的 2 ：7 1 ( o ) = t 州= p ，t ，丁】= 三0 ：，e3 ，一，e 。) 丁n = r ，r 0 1 ，。 = r ，如p ：+ + ke , 吐p ：+ - + 乞 = 0 所以( 2 ) 类为可解李三系 定理3 5t 是复数域上的李三系，则当t 是( 3 ) ( 4 ) ( n ) 类时 ( 1 ) t 具有极大可解理想，且极大可解理想为，= 0 。，e ，) ( 2 ) 形是半单李三系。 证明：取第s + 1 类，其乘法表为 32 = | i r ， o o = i i e q巳0 p p 什卜卜 足茼类 r 1，ll【ij o l l 【e r ，e ，q = d r i = 1 ，2 ，3 = 1 ，2 ， ue t ，e ，pj 】= 0 ，= s + 1 ，n ( 1 ) 首先证明i 是t 的极大理想，则，= 三( p 。，e n ) 事实上，设i 是t 的理想， k t e l + k 2 e 2 + k n e , ， 出理想的定义得【，t ，t 】，。 虽：陆1 e 1 + 七2 p 2 + + 惫。8 。，e 1 ，p i 】=k 2 e 2 + + 量。8 。 所以k l e j ，同理可证女；p ， 所以置8 1 k 2 e 2 一巳 著毛= k ：一颤= 0则i 中任意元具有t + 8 + k , j e 的形式。 若k lk ：，t 不全为0 ，不妨设毛0 ，则由k t e ，jp 。 从i _ i j p l ，p 。，e 1 ，s = 1 ，2 ，一，n 即一k ，q ，q 】， 故有q ，p2 ，p 。， i = t 因此，若i 是t 的极大理想，i 中元素一定是巳p 。的线性组合。 具有此种形式的最大理想为l ( e 。，e 。，e 。) 其次证明i 是可解的。 ，o = ， p = 【丁，】= 0 由乘法表可知，i 为t 的极夫可解理想。 2 出引理l 5 知形2 么( 一。，) 为半单李三系。 定理3 6 由对称双线性函数决定的复数域上的r l 维李：一7t 是单纯李三系的充要 条件是a 兰，( 其中a 为对称双线性型的度量矩阵) 证明：充分性：当a 兰，时，即t 有乘法表，q ，e , l = e ，f ， 要证f ! j _ jt 是单纯的，即证明：t 只有平儿理想旭即t 的任理想或i = 0 或i = t 。 设i 是t 的任意一个理想，从i 中任取元。c 1 + k 2 e 2 + ， 由i 是理想知 ，t ，7 1 ， _ i j j 亍】丑陋l e l + 七2 8 2 + r 十七。8 。，已，p ，】= k l g i + 七2 p 2 + + 露f - 1 p h + 七e 十k 0 8 。 ，1 ，e ，j - 1 , 2 ，” 3 一类n 维李三系的分类 即女l p 】，k 2 e 2 ，。e 。， 若k l = k 2 = = 丸= 0 则i = 0 若k k 2 鼻，不全为0 ，不妨设七l 0 则e l 1 又由k i ，q ，毛】， j 1 _ 【e 1 局】，q ，e 2 ，i i = t 冈此i = 0 或i = t ( 2 ) 必要性：若t 是单纯李三系，则t 上的对称双线性函数( 型) 的度量矩阵a 必合同与i 。 反证法：假设t 上的对称双线性函数的度量矩阵a 不合同与i ，则a 必合同于其他形 式，由定理3 4 定理3 5 知，当a 的秩小于n 时，t 为可解或有极大理想的李三系。 与假设矛盾。 9 一 河北火学理学硕士学倪论文 4 导子代数及其性质 引理4 1 1 2 i ：半单李三系的导子都是内导子。即瓯( t ) = d ( t ) 定理4 1 ：当t 为单纯李三系时，其导子代数d ( t ) 是由n 阶反对称矩阵全体构 成的，且 d i m d ( t ) = ! ! 【笔掣，d o ( t ) ：d ( 丁) 换句话说d ( t ) 是正交李代数b m ( n = 2 m + 1 ) 或d 。( n = 2 m ) 证明：先证n 阶反对称矩阵对应的变换为一个导子。 设d 在t 的一组基为e i , e ：，e 。 假设a 是n 阶反对称矩阵，变换d 在基下的矩阵为a ，下面证明d 为t 的一个导子 d h e ，e ， = d 铲+ 口2 1 e ，+ - + 咿。 d e ，, e j , e j + e ，d e j ，e , 3 + l , e j , d e ， = b t ，e - - k + a n i e , e l ，e j + k ，a ，e ，+ + a 。e 。，e ，j + k ，e ，a 。e 。+ + 。e 。j 2 嚆吣彻。”咿，如略咿，碡咿一咿，飞e ， 由 a 是反对称矩阵可知口。= o ，d ，= 口，从而有 d e , , e ，一， + q ，d e ；，e ， + e i , e j ，d e j = d e ，e ， ，由此可见d 为t 的一个导子。 再证t 的任意导予的矩阵为n 阶反对称矩阵 设d 在t 的一组基p 。，e ：，下的矩阵为a 2 。 由d 口，p ，已j = d e , = 口l ，p l + n 2 ，+ + 口。，g 。( i ，) 左边2 阻一，p + e e , ，d e 一 + r e ，d e ， 2 b - 。e t + + “。e 。，e ，e ，j + k ，a ，e 。+ + a n j e ，e j j + - ，e ，。e ，+ ，+ n 。 2 n 吼+ e ，+ e ，十k ，巳，e 0 2 d “p + 2 a e ，一口口p j 一 一4 导子代数及其性质 比较上式左边右边得2 5o j 。一2 0 l 一。u 。d ， 2 1 , 2 ，3 ，” j g 口2 一 f ，= 1 , 2 ，n 所以d 的矩阵为反对称矩阵。 定理4 2 前n 类( 非单纯) 的n 维李三系的导子代数d ( t ) 是出形如 h 1 0 4 2 | l 码= 一a l 的矩阵构成，其中a 的阶数为该类李三系上的对称双线性函 l b j c j 数的度量矩阵的秩。 证明：设d 型生马呜 取t 中的运算为， i ( p ，e 、，。】= p ，5 = l ，2 ，3 ，r = 1 ，2 ，3 g ，e ，e 。 = 0i = f + l ，” 则由d q ，氐l = d e ，= 口。，e ，+ 巳 得：左边= q ，q + 口2 ，日2 + + a n ，q ，巳卜k ，q ，q + + a n 。乌，气卜 b ，q + + 口n 焉】 。“，e ，+ n 。，e ，+ n 。e ，n 。忙。，e ，e ，】 k 笺饕， 当，t 时上式左= 2 口，p + 2 a 。e ， 所以卜_ 0 s = l ，2 ，j 即4 = f 三；三 其中爿。= 一爿j 反之可证明a i 所对应的变换为导子( 方法同定理41 ) 参考文献 参考文献 nj a c o b s o n ，l i ea n dj o r d a n t r i p l es y s t e m s ，a m e rj o u n m a t h7 1 ( 1 9 4 9 ) 1 4 9 17 0 2 w g l i s t e r , as t r u c t u r et h e o r yo f l i et r i p l es y s t e m s ，t r a n sm m hs o c 7 2 ( 1 9 5 2 ) ，2 1 7 2 4 2 【钌sh e l g a s o n ， “d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y a n d s y m m e t r i cs p a c e s ”，a c a d e m i c p r e s s , n e w y o r k l o n d o n ，19 6 2 f 4 ol o o s ，“s y m m e t r i cs p a c e s ，”v o l 上b e n j a m i n ，n e wy o r k ，1 9 6 9 f 5 ky a m a g u t i ，o na l g e b r ao ft o t a l l yg e o d e s i cs p a c e s ( l i et r i p l es y s t e s ) ，js c ih i r o s h i m au n i vs e ra ， t 9 5 7 ，2 1 ( 2 ) ：15 5 一1 5 9 6 k m e y b e r g ，l e c t u r e so na l g e b r a sa n dt r i p l es y s t e m s ，u n i v e r s i t yo f v i r g i n i a ，1 9 7 2 7 r b e n i t oa n dcd r a p e ra n dae l d u q u e ，o ns o m ea l g e b r a sr e l a t e dt os i m p l el i et r i p l e s y s t e m s ， j a l g e b r a ，2 1 9 ( 1 9 9 9 ) ，2 3 4 2 5 4 【8 nj a c o b s o n ，an o t eo na u t o m o r p h i s m sa n dd e r i v a t i o n so fl i ea l g e b r a s ，p r o ca m e r m a t h s o c 6 ( 1 9 5 5 ) ，2 8 1 2 8 3 9 t s r a v i s a n k a r , s o m er e m a r