（基础数学专业论文）低阶群的特征标表.pdf

摘要 摘要 本文主要讨论了通过群的同构分类的观点系统给出了低阶( 3 1 阶以下) 群的 特征标表为了解决这一问题，本文引用一个主要定理( 文献1 ) ，通过这个定理 解决了2 4 阶群的所有丽构分类情况 构造低阶群的特征标表工作是一个专业性很强的课题，很多参考书没有具体讨 论本文具俸墟分析了群的结构第二章，我冀j 证明一些有关群麓构理论帮特征标 的理论第三章，我们主要探讨低阶群的同构关系第四章，我们利用低阶群的同 梅关系构造其福应的特征标表。 关键词；生成关系；同构；特征标 ab s t r a c t a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h e c h a r a c t e rt a b l e so ff i n i t eg r o u p so fl o w e r o r d e r s ( 1 e s st h a n31o r d e r s ) w ec o n s t r u c tt h ec h a r a c t e rt a b l e sb y i s o m o r p h i cc l a s s i f i c a t i o n so ff i n i t eg r o u p s w eu s eap r i m a r yt h e o r e m ( 1 i t e r a t u r e1 ) i no r d e rt os o l v ea l li s o m o r p h i cs o r t so ft h e2 4o r d e r s g r o u p c o n s t r u c t i n gt h ec h a r a c t e rt a b l e so ff n i t eg r o u p so fl o w e ro r d e r s i sap r o f e s s i o n a lp r o b l e m w ec o n c r e t e l ya n a l y z et h es t r u c t u r eo ff i n i t e g r o u p so fl o w e ro r d e r s i nc h a p t e r2 ，w ep r o v es o m et h e o r e m si nt e r m s o fi s o m o r p h i s mo fg r o u p sa n dt h ec h a r a c t e rt h e o r i e s ；i nc h a p t e r3 ，w e s t u d yt h ei s o m o r p h i cs o r t so ff i n i t eg r o u p so fl o w e ro r d e r s ；i nc h a p t e r 4 ，w ec o n s t r u c tt h ec h a r a c t e rt a b l e so ff i n i t eg r o u p so fl o w e ro r d e r s k e yw o r d s ：g e n e r a t e dr e l a t i o n s ；i s o m o r p h i s m ；c h a r a c t e r 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成果，均 在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生 的权利和责任。 责任人( 签名) ：痞i 薷厅、 切口脾多月rb 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进人学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编 人有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( 。 ( 请在以上相应括号内打 ”) 作者签名：鸯 慈，寻、日期：奉易年6 鼢曰 导师签名：虽七q日期：“萨月s 翟 引言 引言 本文主要的目的是通过群作用的观点系统的给出了低阶群( 3 0 阶群以下) 的各 种分类情况以及生成关系为了解决这一问题，主要是1 6 阶群和2 4 阶群的所有同 构分类情况 1 6 阶群在文献【3 】中( p 3 0 4 一p 3 0 6 ) 和文献【1 1 1 ( 只8 3 一只8 7 ) 已经具体 给出各种生成关系和特征标表为了解决2 4 阶群的所有同构分类情况，本文引进 了一个主要定理( 文献1 1 】) 内容如下： 定理1 设，为有限群，设( i h i ，i n i ) = 1 ，记= h o r n ( ea u t ( 加) 为h 在 上所有作用构成的集合f = a u t ( 加xa u t ( 脚可以自然地作用在q 上对于两 个群作用妒，砂：h 斗a u t ( 叼，设g 妒= n q 妒h 和g 妒= n 母h 是对应的两个半直 积则g 妒垡g 妒当且仅当仍妒属于同一个i 、轨道 定理1 给出了半直积同构的一个充分必要条件这样，我们就可以一一讨论2 4 阶群的所有生成关系 这样，我们可以分为三种情况来一一构造群的特征标表，第一种为循环群，第 二种为交换群，第三种为非交换群其中构造非交换群的特征标表比较复杂，我们 利用同构关系逐一构造出来 表1 ：低阶群的阶数与群数对应表 l 阶数 1234567891 01 11 21 31 41 5 i 群数 111212152215 121 阶数 1 6 1 71 81 92 02 12 22 32 42 52 62 72 82 93 0 群数 1 415l15211 42254l5 本文将上面阶数所对应的群的生成关系一一讨论，对应其特征标表构造出来 第一章预备知识 第一章预备知识 2 从群g 的特征标表可得到关于g 的大量群论方面的信息，我们可以找到其中 心讫子与共辘类的基数，正规子群，与其导群之翔的关系为此，我船先玖群酶溺 构入手，文献【2 】已经将2 0 0 0 阶以下阶数的同构类数明确指出，但是给出具体的生 成关系文献【3 】露经把低阶群的特征标表裁西蹴来，但是2 莲阶群的生成关系没有 具体描绘出来，并且也没有具体给出低阶群的生成关系但是，对于阶很小的群， 生成关系零散分布在各类文献和各种各样的教秘书中比如文献f 3 】， 4 1 ，【5 】，【6 】) 本 文仍然愿意将这些结果总结起来，并傲一些改进对于3 l 阶以下的群，除了3 0 是 3 个素因子外，其余只有2 个索因子，因此大多数可以使用霍尔德( h b l d e r ，o l 。) 定理，n - c 定理，加上对元素阶的分析尼乎可以确定群的生成关系本文改进计 算当然也不排除这些方法，不过尽可能使用群作用的手段而尽可能避免使用元素验 证使弱群作用的方法时，基于不同的群律薅可畿产生丽构的群，为了弥补这一不 足，本文引进一个定理( 文献【1 】) ，也是本文改进计算的特别指出 在这一章中，我嚣】先来介绍一些群的概念。 定义1 1 【3 l 循环群( t h ec y c l i cg r o u p s ) ；c k = n 1 扩= 1 ) 定义1 2 【3 l 狄利克雷( d i h e d r a l ) 群( g p - - 面体群) ； d 2 n 一( a ，b l a 一b 2 = 1 ，b - 1 a b = a - 1 ) 定义1 。3 【3 】n 次对称群( t h es y m m e t r i cg r o u po fd e g r e e1 1 ) 一& ，n 次交代群 ( t h ea l t e r n a t i n gg r o u po fd e g r e en = 众辩 定义1 4 【3 】双循环群( t h ed i c y c l i cg r o u p ) 群( 四元数群) 。 q 4 一8 ，b a 2 拜= 1 ，a m 一铲，b - 1 a b a - 1 ) 。 定义1 5 【3 lc ，6 = ( 口，b l a 2 竹= b 3 = 1 ，a - l b a = = 6 1 ) 定义l 。6 斛当1 1 为鸯数时，一岛b l a 2 一矿= 1 ，b a = a - 1 b ，矗_ 1 建= a - 1 矗。 定义1 7 i 3 ig 一砟，口= ( a ，翻n p = b q = 1 ，矗。a b = 铲) ( a l p 一1 , u 是个q 阶在 霹的元素) 、 定义1 8 翻g e = 貔，b ，e 一铲= 一1 ，a b b a ，c - 1 a g = a 一1 ，c - 1 b c = b - 1 ) 定义王9 翻在2 7 阶群中，h i 一 瓴玉| 矿：b p = 1 ，圹1 a b = a p + 1 ) 。 第一章预备知识 3 爿r 2 = ( a ，b ，c l 矿= 6 = 矿= 1 ，n c = c n ，b c = c b ，b 一1 a b = o c ) ( p = 3 ) 定义1 1 0 1 4 i 设v 是域f 上n 维线性空间，则v 的所有可逆线性变换对乘法组成 一个群，它同构于f 上全体n 阶可逆方阵组成的乘法群，记为线性群( c l ( n ，f ) ) 所有行列式为1 的n 阶方阵组成的集合记为s l ( n ，f ) 定义1 1 l 【3 】共轭( 元素、子群) 类：若z ，y g ，v g g ，y = g - 1 x g ，我们称元 素z 与y 共轭若打，k g ，v g g ，k = g h g ，我们称子群k 与h 共轭由 是可知群g 之一切子群能分类，使属于同类中的子群互为共轭，属于异类中的子 群互不共轭，这样的每个类叫共轭子群类( 共轭类) 定义1 1 2 【9 】设( p ，v ) r f ( g ) + ，在g 上定义f 值函数： x p ：gi - - - - 4t r p 0 ) ， 这里t r p ( 9 ) 是y 上线性变换p ( 9 ) 的迹称洳为g 的表示p 的如p 了矸g ， 则称为不可约特征标，如f = c ，则称复特征标p 的次数也称为特征标洳 的次数，记作d e g x p ；次数为1 的特征标称为线性特征标，记作l i n 第二章群的同构和特征标 4 第二章群的同构和特征标 本章主要是一些群的同构和特征标理论的知识的归纳为后两章做好准备 引理2 1 ( p ，q 分别是一个素数，假设p q ，则pqg ， ( 2 ) 若p g l g ，= 1 和g = h o h 1 风= 1 是g 的两个合 成似群列( 注意；有限群必存在合成群列) 则必有7 = s ，并且商群c , i a i + l 和 毋g j + 1 适当编序后是同构的不可约q 群称它们为g 的q 一合成因子 证明：具体参考文献 4 p s r 的证明 口 引理2 9 ( 循环群被循环群扩张定理) 设扎，m 2 为正整数，g 是n | 阶循环群 被m 循环群f 的扩张则g 有如下定义关系： g = ( a ，6 i 扩= 1 ，b m = a 2 ，a b = b a 7 )( 2 1 ) ， 其中参数n ，m ，t ，r 满足关系式 r m 三1 ( m o dn ) ，t ( r 一1 ) 三0 ( m o d 哟( 2 2 ) 反之，对每组满足( 2 2 ) 式的参数n ，m ，t ，r ，( 2 1 ) 式都确定一个n 阶循环群被 l 循环群f 的扩张 证明；具体参考文献 4 1 r i 0 9 1 1 0 的证明 口 引理2 1 0 ( 循环群被循环群扩张之导群) 设g = n f 是扎阶循环群n = ( a ) 被m 阶循环群f = ( b ) 的扩张，则g 7 = f n ，f 】= ( 【n ，6 】) n 如果( 2 2 ) 式中的7 满足( r 一1 ，n ) = 1 ，则g 7 = 【n ，f 】= n 证明：具体参考文献【4 】p 1 0 7 1 0 9 的证明 口 引理2 1 1 设，日为有限群，设( i n l ，i n i ) = 1 ，记g t = h o m ( ea u t ( 聊) 为h 在上所有作用构成的集合f = a u t ( n ) a u t ( t ) 可以自然地作用在q 上对于 第二章群的露构和特征撩 7 甄个群作用妒，妒：h a u t ( n ) ，设g 护一nx h 和g v nx 。h 是对应的两个半 直积则g 9 笺g 妒当且仅当妒，妒属于同一个r - 轨道 证明；具体参考文献f l l 证明 本定理及其一墼推论： 推论2 i i 1 ：在定理2 i i 的条件和符号下，所有可能的半直积同构类个数恰 好等予q 的f 轨道个数。 定义2 i i 2 ；设日是r 阶循环群，互素地作用在有限群上，o 1 ，d 2 a u t ( n ) 在a u t ( n ) 定义个关系，称o z l 和& 2 是产共辍的，如巢存在1 i _ i ，r ) = l ， 满足a j 与o t 2 在a u t ( n ) 中是共轭的 显然p 共轭关系是等价关系，卜共轭关系等价类是一些通常共轭类的并。并 且也容易说明如果r 是素数，满足rll a u t ( n ) 1 但r 2fi a u t ( n ) l ，则a u t ( n ) 中的r 阶元全是r 共轭的 定理2 。王1 2 ：设露是r 阶循环群，互素地作用在有限群上煲| l 所有可能的 半直积同构类个数恰好等于方程z 7 = 1 在a u t ( n ) 中的解集合在卜共轭关系下的 等徐类个数。 证明t 具体参考文献【1 】证明 推论2 1 1 2s 嚣是r 酚循环群，互素、忠实地作用在有限群上。受| l 所有 可能的半直积( 不含直积) 同构类个数恰好等于方程矿一1 在a u t ( n ) 中r 阶元集 会在r 一共轭关系下的等价类个数 口 引理2 1 2 ( 特征标的性质) ( 设( p ，y ) r f ( g ) + ，在g 上定义f 值溺数： 洳：g 一勿。p ( 季) ，) 性质1 ：如( p l ，k ) 与锄，k ) 是g 的两个等价表示，则洳l x p 2 性质2 ：x 口是g 上类溺数 性质3 ：当c h a r f = o 时，d e g p x p ( 1 ) 性震4 ：设是y 的p ( a ) 不变子空闻设= p u 与= p v u 分别是p 的 子表示与商表示我们有特征标公式；x p ( g ) 一x p ，( g ) + ，( 夕) ，v g g 特别，当 时p = mo p 2 ，关系式洳( 9 ) = x p l ( g ) + x p 2 ( 9 ) ，v g g 成立 性质5 。如p 1 与p 2 是g 酶表示，则x p l 2 ( g ) = 孙1 ( 夕) 坳( 彩，v g g 第二章群的同构和特征标 8 性质6 。如，7 l 是群g 的指数( 即g 的元素阶数的最小公倍数) ，则g 的任何 复表示p 的特征标x 的值是d e g p 个l i t 次单位根的和 性质7 ：设( p ，v ) r c ( g ) + ，则x p ( g 一1 ) = ( 夕) ，的g 这里又是x c 的 复共轭 引理2 1 3 ( 特征标的正交关系) ( 第一正交关系) 对任意的i ，j = 1 ，s ，有 高池( n ) 舫( n - 1 ) = 幻a g ) ( 第二正交关系) 设a ，b g ，则 南赢小，一x ( o = ，：嚣蒜轭 引理2 1 4 ( 特征标的提升与诱导) ( 定义1 ：) 设ngg ，更是g n 的一个特征 标由更可以定义g 上的特征标：x ( a ) = 趸( 夕) 0 g ) 我们称x 是更到g 的提升 定理：i r r ( g n ) = & i r r ( g ) n k e r x ( 定义2 ：) 设日g ，妒是日的一个类函数令妒g ( 夕) = 由矿( z g z _ 1 ) 其 中当h h 时，旷( ) = 妒( ) ；当h 不属于日时，矿( ) = 0 则称妒g 为g 的诱 导类函数特别的，妒g ( 1 ) = i g ：h i , o ( 1 ) 定理( 1 ) 妒g = 妒。( t g t - 1 ) ，其中t 为日在g 中的陪集代表元集合 ( 2 ) 垆g = i ( 夕) i 舞裔其中x l ，z 。为g 的g 一共轭类落入子群中的 元素在共轭作用下形成的共轭类的代表元 第三章低阶群的同构分类 9 第三章低阶群的同构分类 结论3 1 设g 是n 阶有限群， ( 3 1 1 ) 如果n 为2 、3 、5 、7 、1 1 、1 3 、1 7 、1 9 、2 3 、2 9 ，则g 是循 环群 ( 3 1 2 ) 如果n = 1 5 ，则g 是循环群 ( 3 1 3 ) 如果n = 4 ，9 或2 5 ，则g 或者是循环群或者是初等交换群 证明1 显然 2 由引理2 1 知1 5 阶群是循环群 3 由引理2 2 结论成立 口 结论3 2 设g 是2 p 阶有限群，且p = 3 ，5 ，7 ，1 1 或1 3 ( 3 2 1 ) 如果g 是交换群，则必然是循环群 ( 3 2 2 ) 如果g 是非交换群，则必然是二面体群( 也是f o b e n i u s - 群) ，即；并且 g 7 = ( n ) 证明设p s u z p ( v ) ，q s y z 2 ( g ) ，再设 p = ( ala p = 1 ) ，q = ( bb 2 = 1 ) 由于总有p 翼g ，所以g = p q 再考虑6 1 a b = a i ，因a = b - * ( 6 1 a b ) b = a i 2 ，可知 只有i = - 1 和1 ，也即，g 只有两种同构类型 口 结论3 3 设g 是8 阶群则 ( 3 3 1 ) v = ( a ，b ，cla 2 = b 2 = c 2 = 1 ，陋，6 1 = 【b ，c 】= 【c 0 】= 1 ) ( 初等交换群) ； ( 3 3 2 ) v = ( a ，ba 4 = b 2 = l ，【a ，6 】= 1 ) ( ( 4 ，2 ) - 型交换群) ； ( 3 3 3 ) e = ( aia 8 = 1 ) ( 循环群) ； ( 3 3 4 ) e = ( a ，b l a 4 = b 2 = 1 ，a b = b a _ 1 ) ( 二面体群) ； ( 3 3 5 ) g = ( a ，b l a 4 = 1 ，a 2 = b 2 ，a b = b a 1 ) ( 四元数群) 证明g 是交换群，则有三种类型，即型不变量分别为( 2 ，2 ，2 ) ，( 4 ，2 ) 和( 8 ) 第三章低阶群的躁构分类 若g 是非交换群，因丽崧有4 阶元素，设娃g ，且o ( a ) = 4 取b g 一8 ， 则易得g = q6 ) 口 结论3 4 设g 是1 2 阶群贝| j ( 3 4 1 ) a = ( a ，6 p = 6 4 1 ，陋，厶】= 1 ) ， f 3 4 。2 ) c = q 务，c l 矿= 驴= = l ，弘，翻= 羹，c 】= b ，礴= 王， ( 3 4 3 ) a 垒a 4 一( 口，6 i n 2 6 3 = 1 ， 6 ) 3 = 1 ) ， ( 3 4 4 ) a = ( 嚷b l a 6 = 6 2 一l ，a b = b a 。) ， ( 3 4 5 ) a = ( n ，l i i 扩= 1 ，6 2 = n 3 ，c l b l i ( 。) 证明g 是交换群，有交换群分解定理知情形( 3 。4 圭) ，3 4 + 2 ) 成立 若g 是1 2 阶非交换群，设p s u z 2 ( g ) ，q s y t 3 ( a ) 当p g ，q 为g 时，考虑g 在集合 q 。l 。g 上的置换作雳，可知 g 笺a ( 如果考虑q 在p 上的作用，该作用必屉忠实作用，这迫使p 必非循环 则可以写出其另一个生成关系 ( 凸，b ，cja 2 = b 2 = c 3 = 1 ，a b = b a ，c - 1 a , c = b ，c - 1 k = 吐6 ) 当p 霜g ，qqg ，考虑p 在q 上的作用，煲拜俸用核必是2 阶子群，当p 循 环时，只有g = ( a ，b a 6 = b 2 1 ，a b k - 1 ) ； 当p 葚器循环时，g = 扛，热。| 2 = 爹2 = z 3 = 1 ，- l z x = 名，秽一1 z y = z 一1 = ( a ，b l a 6 = 1 ，b 2 = 扩，a b = 掘一1 ) 口 结论3 5 设g 是1 8 阶群则 ( 3 5 1 ) c = ( 口，扫l 护= 铲一l ，融，功= l ， ( 3 5 2 ) a = 和，抚c a 3 = 扩= 孑= 1 ，泗，翻一弛，c j = 泓司= 1 ) ， ( 3 5 3 ) a = ( a ，b l a 9 = 6 2 一l ，a b = 她- 1 ) ， ( 3 5 4 ) a = 囊，b , c l = 轳= c 2 = 1 ，蕊= 阮，就= 徽，犯= 商一1 ) ， ( 3 6 5 ) a = ( a ，6 ，c l a 3 = 6 3 = c 2 = 1 ，a b = 阮，n c = 地钯= ) 证明若g 是交换群，有交换群分解定理知情形( 3 5 王) ，( 3 5 2 ) 成立 第三章低除群始同构分类 若g 是1 8 阶非交换群，设pgs y l 3 ( a ) ，q s 她( g ) ，由弓l 理2 3 知pqg 且q 硇g 考虑q 襁p 上的作用当p 循环时，因为a u t ( p ) 是6 阶循环群，只 有情形( 3 5 3 ) 。 当p 非循环时，a u t ( p ) = g l ( 2 ，3 ) 是2 4 阶，由文献科及主定理可知，有两 个同构类，即情形( 3 5 4 ) 和情形( 3 5 5 ) 口 结论3 6 设g 是2 0 阶群则 3 6 。1 ) g = qb l a 5 = b 4 1 ，融，嗣一主， ( 3 6 2 ) v = a ，b ，c l n 5 = 厶2 = = 1 【a ，f 4 = n ，( = f b ，c j = 1 ) ， ( 3 6 3 ) v = a ，b l a 5 = b 4 一王，曲一b a 。) ( f r o b e n i u s - 群) ， ( 3 6 4 ) g = a ，酬a 掏= b 2 1 ，a b b a _ 1 ) ( 二丽体群) ， ( 3 6 5 ) g = ( a ，6 l 口1 0 = 1 ，b 2 = n 5 ，a b = b a _ 1 ) ( 广义四元数群) 。 证明若g 是交换群，有交换群分解定理知情形( 3 6 。1 ) ，( 3 6 。2 ) 成立 若g 是2 0 阶非交换群，设p s y l s ( g ) ，q s y l ：( a ) ，由引理2 3 知pqg ； 逵菲交换性哥絮q 黉g 。因弱可浚认为q 俸耀在p 上，g = p q 。容易验证 a u t ( p ) 是4 阶循环群，以下分q 循环与非循环讨论 当q 循环时，如果是忠实作用，此时由文献f 5 l 可知，只有情形( 3 6 。3 ) ；当作 用非忠实时，g = ( a ，b l a 5 1 = b 4 ，a b = b a ，【a ，b 2 】= 1 ) ( 广义四元数群) 即情形 ( 3 6 5 ) 当q 非循环时，只有情形( 3 6 4 ) 。 口 结论3 7 设g 燕2 l 阶有限菲交换群茭| j ( 3 7 1 ) v = ( a ，6 i a 7 = b 3 1 ，【a ，6 】一1 ) ， ( 3 7 2 ) g = a ，翻8 7 = b 3 一董，a b = 磁。 证明若g 是交换群，有交换群分解定理知情形( 3 7 1 ) 成立 g 是2 l 阶非交换群，有引理2 1 0 可知情形( 3 。7 2 ) 成立 门 结论3 8 设g 是2 7 阶群则 3 8 1 ) e = 弛| 7 = 1 ) ， 董王 第三章低玲群的端携分类 ( 3 8 2 ) a = 娃，埘扩= 扩一1 ，1 8 ，嘲一l ， ( 3 8 3 ) a = ( 1 ，厶，c | n 3 = 扩= = 1 ，陋，翻= 融，c j = 阻c j = 1 ) ， ( 3 8 4 ) a = ( 口，b l a 9 = b 3 一l ，a b = 榭) ， ( 3 8 5 ) c = 黛，玩c l a j = 鑫3 = = 1 ，i 礁，翻= q 弛，c 】= 溉砑= 1 ) 证明若g 是交换群，有交换群分解定理知情形( 3 8 1 ) ，( 3 8 2 ) ，3 8 3 成立 若g 是2 7 阶嚣交换群，任取是g 的3 阶正规子群，困| a x | = 9 = 3 2 ， 由引理2 2 ，c n 是交换群，得n g 7 ，但g 7 1 ，则n g 7 ，且g 7 冬z ( g ) + 因g 遗# 交换，则g 中必无2 7 酚元素，因此可分为下薅两种情形： ( 1 ) ：若g 中有9 阶元素“，则( ( ) 是g 的极大子群因此( n ) 司g ，因c 1 3 ) c h a r ( n ，故扩) qg ，于是g 7 = ( 护。任取壤g 一( 8 ， i ) 若o ( h ) = 3 ，爵为g 一( 8 ，6 1 ) ，f 麟，b l 】l ，又因g 7 一n 3 ) ，故霹丁设陋，6 l j = a 3 惫， 取i 满足i k 三1 ( r o o d3 ) ，令b = 6 ；，则f n ，6 】= 融，6 】= f 黯，6 l 】= 0 3 浊= 扩，于是g 有情形( 3 8 。莲) 。 ( i i ) 若o ( b 1 ) 一9 则仍可化为情形( 3 8 4 ) f 2 ) ：若g 孛无9 除元素，医gj 釜交换，所以= b 磷王，诧瑟泠e 一汹，翻， 显然g 有情形( 3 8 5 ) 口 结论3 9 设g 是2 8 阶群则( 3 9 1 ) a = ( a ，b l a t = b 4 = 1 ，| 貔 翻= 1 ) ， ( 3 9 2 ) a = ( 以c l a 7 = b 2 = c 2 = 1 ，f n ，6 l = 陋，c 4 = 【玩d = 1 ) ， ( 3 9 3 ) a = 8 ，b l a 7 = 铲一l ，a b = b a 。) ， ( 3 9 4 ) a = ( a ，b l a l 4 = 1 ，n 7 = 6 2 ，b - 1 a b = a - 1 ) 证明若g 是交换群，有交换群分解定理知情形3 9 王) ，( 3 。9 2 ) 成立 g 是2 8 阶非交换群设p s ! 1 1 7 ( g ) ，q s u t 2 ( a ) ，如果q 循环，则由引理 2 3 知p g ，故q 霹作用在p 土，嚣此由弓 理2 9 知g 有情形( 3 9 。3 ) 。若q 不 循环，则q 在g 中不正规，此时g p q ，由引理2 6 ，c c g ( f ) 竺磊，这时 | c o ( p ) l 一1 4 ，必有c 台( p ) 冬磊4 ，故g 为五4 被z 2 的扩张因此由引理2 9 ，g 有 情形( 3 9 4 ) 口 第三章低泠群的同构分类 结论3 1 0 设g 是3 0 除群更| l ( 3 1 0 1 ) g = ( a ，b , c a 2 = 沪= 一1 ，【( b 厶】一f “，c j = 【b ，d = 1 ) ， ( 3 。1 0 2 ) v = ( a ，1 5 = b 2 = l ，a b b a 。1 ) ， ( 3 1 0 3 ) g = a ，硼a 强= l ，铲= l ，蠢q 8 玉= ( 3 1 0 4 ) g = ( 6 l n l 5 = l ，b 2 = 1 ，b - 1 a b = a n ) 证明若g 是交换群，有交换群分鬃定理知情形( 3 。1 0 。1 ) 成立 若g 是3 0 阶有限非交换群，容易知道，西罗3 - 子群和西罗5 - 子群不能同 时苓歪规，因而必有1 5 阶予群，设是1 5 阶子群，其必是循环正规子群。爵设 p 是西罗2 子群，考虑p 在上的作用a u t ( n ) 是8 阶交换群，只要注意到 拶：a 卜是的4 阶自嗣梅， 丁：ah a 。是2 阶自网梅，并且盯2 r ，可知 a u t ( n ) 是( 4 ，2 ) 型交换群因而a u t ( n ) 其中恰有3 个2 阶元，由定理1 可知恰 有3 个同构类上述三个不同构，因而就是所得结论 口 结论3 1 1 1 设g 是1 6 阶交换群，分为五种：c 1 6 ，初等交换群， 3 ，1 】型交 换群，【2 ，2 l 型交换群，；2 ，1 ，1 】型交换群 结论3 1 1 2 设g 是1 6 阶有限非交换群，分为三种情况讨论；( 假设k = n 反g ) ) 第一种；g 若有8 阶循环子群( 酬k 竺d 8 ) ，则 g = a ，6 l a 8 = b 2 = 1 ，a b = b a _ 1 ) ( ：面体群) ， g = 缸，6 | 矿一萨= l ，a b 一谨) ， g = ( a ，6 l 扩= b 2 = 1 ，a b b a - 3 ) ， 或g 一a ，b l a s = 1 ，b 2 一，a b = b a 。广义溪元数群) 。 证明设( a ) 是g 的8 阶循环子群，取( a ) 之外的一个元素b 则b 2g ( a ) 且 b - 1 a b = ，其专r 兰一1 ，3 ，一3 r o o d8 ) 因为g 酶菲交换性及共轭元素阶相同) 。 蒋令b 2 = 矿，注意到b - 1 矿6 一a ”，可得a s 7 = a 8 ，也即8 r 篡s ( r o o d8 ) 以下根据 $ ，r 的不阕取值，来确定群的结构 当r 一一1 时，可得5 篓0 ，4 ( r o o d8 ) ，即g 或为二面体群，或为广义四元数 群 1 3 第三章低玲群的躁构分类 当r = 3 时，可褥s 兰0 ，4 ( m o d8 ) 。当s 一0 时，有 g 一( a ，b l a s 一6 2 = 1 ，a b = b a 3 ) 当s = 4 时，令b l = b a ，得 磋一( 如) 2 = b 2 ( b a b ) a b ：a s a = 1 ， 并且 a b l = a b a b a 3 a = b a 4 = b i a s ， 因此用b l 替代玩仍有上述结构总之，当r = 3 时，有 g 一a ，b l a s 一5 2 = l ，a b = 掰) 。 当r 一一3 时，8 r 三s m o d8 ) 与$ p 一圭) 赢0 ( m o d8 ) 同解，并且8 | p - 1 ) ， 迫使5 只能是偶数当s = 0 时，有 g 一囊，b a s 一5 2 = 圭，a b = b a 一3 。 当s 0 时，注意到s 是偶数可知同余方程 一2 z + s 釜0 ( m o d8 ) 有解取其中一个解，不妨傍记为x 令b l = 矗酽，得 磋一( 聍) 2 一b 2 ( b a x b ) a z = b 2 a 霉矿= a q 抖1 ， 并且 a b l = 穗南_ 萨= b a 一3 ，= 6 矿一3 = b l a 一3 ， 因此用b l 替代b ，仍有上述结构总之，当r = 3 时有 g 一( a ，b a s b 2 = 1 ，a b = b a 一3 ) 。 以下说瞬上述四种群彼此互不同构。显然广义四元数群与其它三种群不同梅为说 明其它三种群也不嗣构，只需考虑形如耐元素的阶 1 4 第三章低泠群的鞠构分类 l 量， 当r = - i 瑟袅 ( 材) 2 = b 2 ( 而- 1 6 ) = b 2 a 一十= a r i + 一 a 4 i ， 当r = 3 时； l8 _ 2 ，当r = - 3 时。 这说明当r = 1 时，形如耐元豢全是二阶元；当r = 3 时，形如撕元素有 四个二阶元，四个四阶元；当r = 一3 时，形如施元素的阶有两个二阶元，有两个 四阶元，四个八阶元因而，这三种群彼此互不同构。 口 注意戮非交换薹6 群，不镌全是2 阶元素，因两宓有溺阶元，以下根据4 阶循 环子群进一步讨论 第二种设g 是1 6 阶有限毒交换群，置没有8 酚循环子群，健4 盼德臻子群 正规，( ( g k - 岛q q ) ) 则 g = ( a ，b l a 4 = b 4 = l ，a b = b a - 1 ， g = ( a ，6 ，c l a 4 一b 2 = c 2 = 1 ，n 6 一b a ，a c = c a ，【b ，c 】一n 2 ) ，( ( g 勰d s 岛) ) g = ( a ，6 ，c i 一b 2 = c 2 = 1 ，a b b a ，a c = c a ，【b ，c 】一1 ) ， 或g 一 a ，氖c l a 4 = b 2 1 ，c 2 = a 2 ，a b = b a ，a c = c a 一1 ，【b ，c 】= l 。 ( ( g 黧q s c 2 ) ) 证明设a ) 是g 酶4 阶循嚣正规子群，魏果g a 是4 阶循环群，哭l 必 有( a ) 之外的一个元素b ，使得g = ( a ，6 ) 注意别没有8 阶元素。迫使b a 一1 且 a b = b a 以) ，即有 g 一( a ，6 | n 4 一b 4 = 1 ，a b = b a _ 1 ) 如果g 8 不是4 阶循环群，则霹以取到囊之外的鼹个元素玩c 使它们满 足g = a ，b ，c ) ，并且还有 铲，c ；2 ，绺磅，b - 1 a b , c - - 1 僦 8 。 由此，首先可以断畜 b - t a b = a 姒。c - 1 a c = 8 圭1 。 表面上这是四种组合，但容易说明，通过适当的秃素替代( 如有必有可令b l b c - 1 ) ， 仅有两种组合： b - l a b = a c - l a c = a 1 5 第三章低阶群的觋拘分类 其次，由于群中没有8 阶元素，可知b 4 = 1 ，进一步可知玉2 = 1 或铲= a 2 。如果 b 2 一a 2 ，令6 2 = a b ，可得g = ( a ，5 2 ，c ) 且酊1 a b 2 = a ，磋= 1 因此，总可以选择适 当的b ，使得b - 1 a b = 口，b 2 = 1 。对于岛当c - l a c = a 时，也有类似的结论因而g 的结构必是如下之一： i g = a ，b ，c l a 4 = 沪= c 2 = l ，幽= b a ，a c = c a ，【b ，c 】= ， 1 i g = ( a ，b ，c a 4 = 6 2 = c 2 = 1 ，a b = b a ，a c = c a 一1 ，f b ，c 】= ) ， 斑g = a ，b ，c l n 4 = b 2 = 1 ，c ；2 一扩，动= b a ，a c = ，泌，c 】= ) 以下讨论r 的取值由c - l b c = b a r ，得 1 一b 2 = c - i b 2 c = ( b a 7 ) 2 又因为a b b a ，所以得 l 一( 珏) 2 6 2 护= “知 因此得r = 0 或者r = 2 由于是非交换群，对于第一种情形，只有r = 2 对于第二种情形，如果r = 2 ， 令a l = a - l b 代替a ，可以得到第一种情形对于第三种情形，如果r 一2 ，令c l b c 代替c 可以得到第二种情况下，r = 2 时的情形，即可以得到第一种情形也即， g 的结构必是如下之一： 1 g i = a ，6 ，c l a 4 = b 2 = c 2 1 ，曲= b a ，a c = c a ，【6 c 】= a 2 ) ， 2 g 2 = 如，b ，c j a 4 = 护= 一1 ，a b = b a ，a c = c a 一1 ，【b ，c 】一1 ) ， 3 g 3 = a ，6 ，c t a a = b 2 = 1 ，c ；2 = a 2 ，a b = b a ，a , c = 一1 ，溉c 】= l 上述三种情形显然与g = 似，b l a 4 6 4 = l ，a b = b a - 1 ) 不同构为完成证明， 以下说明上述三种情形也彼此互不同构 1 6 l一 “ = co l “ = 厶“ l一 厶 和 第三章低阶群的弱构分类 容易发现g 2 一a ，e b 是8 阶二面体群与2 阶循琢群的直积， g 3 = ( a ，c ) x ( b ) 是8 酚四元数群与2 阶循环群的直积，两者显然不同构但是，g 2 与g 3 有同构 的中。c - ，都足4 阶非交换群，而g l 的中心是4 阶循环群，因而，上述三种群彼此 互不同构。 囵 第兰种设g 是王6 阶有限j 摹交换群，没有8 酚德嚣子群，且4 阶循环子群不 正规则 g = ( a ，岛c l 一b 2 = c 2 1 ，b - 1 a b = 嚷c - l a c = a b , c - 1 b c = 6 ， 证明设a ) 是g 的4 阶循环但菲正规子群取子群符使之满足 ( a ) h a ( c ) 再考虑日是四元数群情形由c - 1 a c = a b ， 可得 c - l a 2 c = ( a i b ) 2 = a i b 2 b 一ab = a i b 2 a = a 2 因此，不难证明a 2 z ( g ) 注意到每一个4 阶元都可以这样讨论，可得4 阶元的平 方是中心元又因为该群中的元素或者是2 阶元，或者屉4 阶元，所以可知v g g ， 都有9 2 z ( g ) 又由于1 6 阶非交换2 群的特殊性， 知2 z ( c ) 4 对于上述给定的a ，如果( a 2 ) ； 1 3 g = ( a ，b ，cia 3 = b 4 = c 2 = 1 ，c - 1 b c = b ，b - l a b = a 一1 ，c - 1 a c = 口) ； 1 4 g = ( a ，6 c dia s = b 2 = c 2 = d 2 = 1 ，【b ，c 】= 【c ，翻= 【d ，6 】= 1 ，b - l a b = a 一1 ，【n ，c j 三【n ，d l = 1 ) 证明设q = ( 口) 考虑p 作用在q 上( 自然是非平凡作用) 因为a u t ( p ) = z 2 是2 阶群，所以作用核一定是4 阶群容易证明，作用核是循环群的所有作用都在 一个r 一轨道里，作用核是4 阶非循环群的所有作用也都在一个r 一轨道里，其中 f = a u t ( q ) a 庇( p ) ，因而上述作用最多两个轨道考虑到q 的非平凡自同构就 是求逆自同构以及推论2 1 1 1 ，那么可以知道刻画该作用的本质一是确定作用核， 2 0 第三章低泠群的溺构分类 2 1 二是确定孳| 起求逆蜜同构的元素设佟恩核为k ，以下根据p 和k 的具体结搦进 行讨论 1 当 p = ( 矗，c | b 4 一c 2 = l ，c 一1 b c = b 。) 是二面体群时，或是循环群，或足k l a i n 四元群。 如果k 循环，可知必有k = 磅此时，易知c 引起求逆自同构，对应的半直 积就是上述第八个群。 如果k 菲循环，劂b 萼l 起求逆骞露构注意到b 2 k ，取k 中的一个非单位 元并且b 2 ，设为b i c 再令c 1 = b i c ，则尸= ( b ，吼) ，并且 b 4 = 鼋一1 ，c f l b c x b 。 因两适当替换p 的生成元，霹使k 一铲，c ，拢时对应的半直积就是上述第九个 群 这两个群不同构，只要注意到第八个群中有王2 阶循环子群穗厶，丽第九个群没 有1 2 阶循环子群事实上，第八个群就是2 4 阶二面体群，即 g = z ，y | 茹挖= y 2 = l ，y 一1 x y = z 一1 = d 2 a 其中z a b ，y = c 2 。当 p = ( b ，cib 4 = 1 ，b 2 = c 2 ，c - 1 b c = b 。) 是四元数群时，鑫予p 仅有个2 阶元，因丽彭必循环不妨假定k = 秘。此 时，易知c 引起求逆自同构，对应的半直积就是上述第十个群 3 。当p = blb s = 1 是循环群时，4 阶子群唯一，即k = 轳。此时，易知b 引起求逆囱同构，对应的半直积就是上述第十一个群 4 当 p 一玩cib 4 = c 2