（基础数学专业论文）一类双曲型方程激波的形成.pdf

摘要 双曲型方程是偏微分方程分析理论的重要组成部分之一，其理论和应用背景 十分丰富而关于双曲守恒律解的研究又是其核心内容对它的研究不仅促进了双 曲型方程理论基础的发展，同时也为其在偏微分方程和分析学其它方面的研究提 供了方便 本文的主要目的是在回顾总结了双曲型方程的经典理论与结果的基础上研究 双曲守恒律解的爆破条件和特点与已有的工作相比较，本文的主要特点是从多 方面研究并导出了双曲型方程解发生爆破的必要条件，突破了部分教材直接给出 解发生爆破的条件而令读者只知其然不知其所以然的限制，使得在今后的研究中 对解发生爆破，什么时候发生爆破，或它的反面一解整体存在等解的性态方面有 更清楚的理解与认识 文章首先总结了关于一维和高维双曲型方程研究的主要经典成果；并讨论几 类经典双曲守恒律方程( 组) 解的局部或整体存在性接着主要从几何直观，解的显 式表达式等方面导出解爆破的条件，并结合特征线法说明了一定条件下解的整体 存在性 关键词：双曲守恒律解的爆破激波特征线 a b s t r a c t t h et h e o r yo fh y p e r b “ce q u a t i o n si so n eo ft h em 0 8 ti n l p o r t 锄1 tc o m p o n e n 乞8 o fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l le q u a t i o n sw k d hh 8 se x t e 璐i v ea p p u e db a c i 呼o u n d sa sw e ua s v 明了8 t r o n gt h e o r e t i cm e a n i i 培t h ek e yp a r to ft h et h e o r yi sk l ) 币e r b c d i cc o n s e n 呲i o n l a w s t h ei m p r a v e m e n t0 ft h et h e o r e m 8c a j l1 1 0 t 彻晦p r o m o t et h ed e v e l o p m e n t o f1 1 y p e r b o l i ce q u a t i o i l sb u ta ：s t r e n g t h e ni t 8 印p l i c a t i 0 璐t op 村t i a l ld i & r e i l t i a l l e q u a t i o n sa n do t h e ra s p e c t so fa n a l y s i 8 t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si ss t u d 姐n gt h ec o n d i t i o n sa n dc h 雒a c t e r0 f s o l u t i o n so fh y p e r b o l i cs y s t e m s ；a n da tt h e8 锄et i m e ，t h et h e s i sr e v i 朗噶s o m e c l a s s i c a lt h e o r ) ra n dr e s u l t 8 c o m p 啪dw i t hp a s tr e l a t e d 、帕r k ，t h em 0 8 ti m p o r t a n t f b a t u r eo ft h et h e s i si st ol e a dt h ec o n d i t i o no fb l o wu pf r o mm a n ya u s p e c t s ，w h i c h b r e a l ( st h r o u 曲t h et r a d i t i o n a lb 0 0 l 【8a b o u tg i 、，i n gt h er e s u l t sd i r e c t l ya n dl e a d i n g b l u r r e d t h i st h 豁i s 璐i s t so f 如帕p a r t 8 i nt h e6 r s tp 缸t ，w e 丘r 8 t l ys u m m 撕z et h em a i n r e s l l l t sa b o u tt h eh y p e r b o l i ce q u a t i 0 i l s ；t h e nw ei n t r o d u c et h e 耐s to fs o l u t i 0 璐o f s o m ed a s s i ch y p e r b o l i ce ( 1 u a t i o n s i nt h es e c o i l dp a r t ，w ed e d u c et h en e c e 鼹哪r c o n d i t i o n0 fb l o wu p 行o mg e o m e t r i ca n df b m l l t l ao fs o l u t i o n s k e y w o r d s ： h y p e r b o l i cc s e r v a t i o nl a 啪 b l o wu po fs o l u t i o 璐s h o c l 【sm e t h o d o f ( 血a r a c t e r i s t i c s i i 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 储獬：蜘耖 嗍：日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：协妒 日期砌年r 月3 ) 日 导师签名： 日期甥 钞 f d 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回童途塞握变卮溢卮! 旦坐生；旦二生；旦三生筮查： 苫荔概1 日鬻溉h日期：矿1 5 7 年9 月；1 日 日期： 口艿年6 月f d 日 ，v 月 黟“ u以1午 一直以来，形如 1绪论 t k + ，( t 正) = o ，t = ( 钆1 ，坳，) r n ，n 1 ，z r 一 的拟线性双曲系统由于其在物理学上的特殊应用而备受人们的关注与研究习惯 上，根据m 的取值不同将上面的方程分为一维的和高维的而当n = 1 时为单个 标量方程。当礼 1 时为一个系统 对于一维的标量方程，解的存在性、唯一性及解的渐近行为等基本问题已有 了比较完备的理论而关于一维的系统，其中值得一提的当推g l i m m 差分格式 g l i 姗利用已有的经典结果，将r 旷平面划分成若干小格，在相应的小格里解 对应近似的e m a n n 问题，同时为保证每一小格里解的存在性，要求初值咖 ) 的 全变分t v ( 咖) 充分小，最后根据随机选择将所有格里的解“粘合 起来构成方程 的整体解 同时，人们更多的是研究等熵气体的动力学方程组 王 一一 仇一= o ，乱t + ( 杀) z = o ， 亡 o ，z r ， ， 其中尼 0 ，y l 为常数更进一步地，人们还研究了比等熵气体方程组稍微广泛 的一类方程组，也就是我们常说的p 一系统 仇一= o ，t t + p ( 口) = 0 ，t o ，z r ， 二三三：兰三：；，二三三， 随后，l a x 给出了更为广泛的一类胝m 锄问题解的存在性( 见定理2 1 1 ) 而高维的双曲方程( 组) ，由于维数的增加和研究手段的缺陷，对一般的方程，往往 只能得到其局部解 但是不管是一维或高维的方程( 组) ，双曲型方程都有一个普遍的特点，就是间 断解的存在性为此，人们采用了许多方法来研究解的不连续性，值得一提的是利 用方程的特征线来研究，本文也正是从几何上，方程解的显式解析式上结合特征线 来研究解的爆破情况 全文共分三部分：在第一、二部分中，首先总结了关于一维和高维双曲型方 程研究的主要经典成果；随后讨论几类经典的双曲守恒律方程( 组) 解的特点及其 存在性第三部分主要从几何直观，解的显式表达式等方面导出解爆破的条件，并 结合特征线法说明了一定条件下解的整体存在性 2 2 一维双曲守恒律 2 1 概念与记号 我们研究的对象是被我们称之为守恒律的如下形式 a u + 出t ，f ( u ) = s ( u ；z ，t ) ， ( 2 1 1 ) 其中t 酞 ，z qc 酞m ，uc 舯表示密度向量；f = ( 毋( u ) ，易( u ) ，昂( u ) ) 表示流向量；且晟( u ) 舯，g = 1 ，2 ，m ) ，s ( u ；z ，亡) 表示外力特别的，如果 s ( u ；z ，t ) = o ，即侥u + 出口f ( u ) = o ，从而u ( z ，t ) 如= 常数当m = 1 时，称 ( 2 1 1 ) 为一维的守恒律，当m 1 时则称之为高维守恒律对于一维的情形，我们 把方程改写成 侥t + 以，( 仳) = o ，让r n ，z r 1 ( 2 1 2 ) 定义2 1 1 对于n 礼矩阵如( = v 乃( u ) 0 = 1 ，2 ，n ) ，设u 舻一 o ) ( 讪伊一1 ) 为任意给定的向量，如果矩阵如( u ) 有竹个实特 征根，则称( 2 1 1 ) 在方向u 上是双曲的对应的我们记这n 个实特征根依 次排序为入1 ( 叫，u ) 入2 p ，u ) a n ( u ，u ) ，它们对应的右特征向量为 饥，u ) ，仇，u ) ，p ，u ) 如下，我们常见的守恒律形式有可压的e u k r 方 程组 l 侥p + 出钉( p u ) = o 质量守恒 l a ( p u ) + 出u ( p u o 矿+ 矿) = o 动量守恒 ( 2 1 3 ) i la c ( 加) + 出u ( p u e + p u ) = o 能量守恒 定义2 1 2 对于一维守恒律( 2 1 2 ) ，记钆n 矩阵a = 筹，如果存在佗个互不 相等的实特征根，则称( 2 1 2 ) 是严格双曲的对应的我们记这竹个实特征根依次 排序为入1 a 2 k ，它们对应的右特征向量为7 1 ( u ) ，仇( 牡) ，( u ) 定义2 1 3 ( 1 ) 第i 特征场称为真正非线性的如果v u 凡( u ) 乍( 仳) o ，地9 ； 3 ( 2 ) 第i 特征场称为线性退化的如果砜凡( 牡) 乍 ) 三o 注2 1 1 对任意的u p 一 o ) ，可压的e u l e r 方程( 2 1 3 ) 总是双曲的 为方便起见，我们仅对于一维的e l l l e r 方程组加以说明，注意到p = 为线性退化特征场 2 2 经典结果 假设( 2 1 2 ) 是严格双曲的，且每一族都是真正非线性或线性退化的则它 在变换z 卜a z ，th 口t 下不变，即( 2 1 2 ) 的解满足u ( o z ，础) = u ( z ，t ) 从而有 让( z ，t ) = 让( 詈) 因此，人们可以考虑瞰e m 籼问题 侥u + 侥，( u ) = o ， u c z ，t = 。，2 咖2 二二： $ o 的自相似解 定理2 2 1 ( p d l a x ) 如果i u 一一让+ i 6 ，且石足够小，则( 2 2 1 ) 存在唯一的最 多包含n 个基本波( 激波，稀疏波或接触间断) 的解 定理的证明参见【2 1 注意到问题( 2 1 2 ) 的每一个解都可以用自相似解逼近这一点被g l i m m 所证 实，他将r r + 平面按照 n = 0 ，1 ，2 = 0 ，士1 ，士2 4 其 l l o ； 矾 “ 眠 。 懒 成 划 喾狮龇靴卜川凇 郇 p u s 训正步_户慎一州即慨 程。脾u往哆施。一u肚哆 恼 p u o u h 妇 p u o 旷 雌 以， 让舻o k 氏 l n i l 以疆一小=芦、_、舛时加刁删附 =_。一r e 础) 方 u 舫 湎 = 叫 从 v 厶 哺 础 尼 = = 亡 z ，iiijlll一， 分割的方式将上半平面划分成若干小格，在每个对应的格里解近似的砒e m a 皿问 题为利用定理2 2 1 ，要求t v ( t 0 ) o 使得t v 仳o o 蜒肛 协2 卅 我们的基本假设是： a ( z ，芒) c 七( r r + ，舻x n ) ， 1 ) ，a ( z ，t ) 是严格双曲的，即a ( z ，t ) 存在礼 个不相等的特征根入1 ( z ，t ) 入2 ( z ，t ) o ，a 0 1 = a o ； ( i i ) 五= 五如也是对称的，即也1 = 五，歹= 1 ，m ， 则称系统( 3 1 1 ) 是对称的 定义3 1 2 若对讪p 一 o ) ( 兮讪_ 1 ) ，a = a ( u ) = a 有n 个 实的特征根，则称( 3 1 1 ) 是双曲的 对应的，记这礼个实特征根为a 1 ) 入2 ) h ) ，对应的右特征 向量为傩) ，仇) ，p ) 从而a ( h ) = 凡p ) ) ，i = 1 ，n 设 k ) = 1 ，n ) 为相应的左特征向量，且满足 z 吾( u ) a ( u ) = a 七( u ) z 善( u ) ，z 著( u ) ( u ) = 如， f1 ，i ：j ， 其中如= 为j h d 竹e c 七e r 符号 i o ，i j 注3 1 1 任何单个守恒律是双曲的 事实上，对于“t + 施，0 ) = o ，t r ，z p ，( u ) = ( ) ，如( 牡) ，m ( t ) ) t ： r _ r m ，则a = a ( 叫) = ，( u ) u ，a ( u ) = ，7 ( u ) 注3 1 2 如果一个系统是对称的，则必是双曲的 为此，我们不妨将一个对称双曲组写成如下的形式( 其中为对称正定 阵，如d = 1 ，2 ，m ) 为对称阵) 山侥u + 如牡= o 9 由于如正定，存在可逆矩阵c 使得 山= c 矿 令钉= 伊u ，则 满足 仇+ a 一1 a ( ) 一1 + c 一1 b ( 伊) 一1 = o j = 1 竹i 于是丐= 丐) = c _ 1 如( 伊) - 1 为实对称矩阵，从而有n 个实特征根 下面考虑c a u c h y 问题 ，m 。 善锇卧烈毛d 一只跏刮 ( 3 - 1 2 ) fj = o f 3 1 2 ) i 让( z o = o ，z 1 ，z m ) = u o ( z 1 ，z m ) = t 正0 ( z ) 假设 ( 1 ) 4 = ( a j ，么1 ，厶) ，b ，f 均光滑 ( 2 ) 也为对称矩阵( 歹= l ，m ) ，且五为正定矩阵 记 ( ) = 上料出) 如= 嘉上咖姒呐， e ( 亡) = ( a o u ，u ) ，l i u o o = ( u ，u ) 考 定理3 1 1存在一致的常数c = g ( 五) o ，使得对于( 3 1 2 ) 的任意光滑解 仳( z ，t ) ，有下面的估计式成立 翟葛o t ( t ) i i 。c _ 1e 冲( 去c 1 i d i 诅+ j e i + b t i p t ) ( i i t l 0 i i 。+ 上l i f ( 亡) l i o 出) ( 3 工3 ) 1，r 其中d i 以：侥盂+ 苎如，b r 为b 的转置矩阵 j = 1 注3 1 3 上面的能量原理保证了n i e d r i c h s 线性系统解的适定性 1 0 3 2 局部光滑解 考虑系统： ，m j 跏+ 暑驰) _ o ( 3 2 1 ) 筹+ 1 ， 则存在亡1 o 使得c a u d l y 问题( 3 2 1 ) 在n t ，= ( z ，t ) ；z r m ，o t t 1 ) 上存 在唯一的经典解u ( z ，亡) 满足 u ( z ，亡) c 1 ( r 一【0 ，t 1 】，r ，) ； 且对v ( z ，亡) n t l ，u ( z ，t ) q 2c 面cq ，进一步有 牡( z ，t ) c ( 日8 ( 妒，舯) ，【o ，枷nc 1 ( 。1 ( p ，瞅) ，【o ，枷， 其中t 1 仅依赖于i l 恼与q 1 1 1 对任给s 罟+ 1 ，设【0 ，r ) 是c a u c h y 问题( 3 2 1 ) 的最大存在区间，则 p 当且仅当或者 或者 瓣( ( z ，t ) i l p ( r m 妒) + o v 王t ( z ，亡) i l p 缈渺) ) = + o o ( 3 2 2 ) 对q 的每一个紧集k 存在岛下r 及0 = 1 ，2 ) ，使得t ( ，白) 隹豇 ( 3 2 3 ) 注3 2 2 ( 3 2 2 ) 对应着激波的形成；( 3 2 3 ) 对应常微分方程解的爆破现象定理 证明参见t k a t o ，a r c h 鼬i o n a lm e c h a n a l ；5 8 ( 1 9 7 5 ) 及a m a j d a ，c o 玎叩r e 鼹i b l e f l u i df l o wa n ds y s t e n 培0 fc o i l s e r v a t i o nl a si ns e v e r a l is p a c ev 龃i a b l e s ，a p p l i e d m a t h s c i ，5 3 ，s p r i n g e r - v - e r l a g 4解的爆破 对于方程 ，m l 舢+ 乃( u ) = o ， 产1 i 让( z ，亡= o ) = 咖( z ) 前面我们已经描述过解的局部存在性一般来讲，都是指解在时间舌f o ，卅c 【o ，) 上局部存在，其中( t ) 当然在一定的条件之下，解也可能全局存在，即 此时t = 。o 否则会发生我们常说的“解的爆破 ，即。梁l v 茁u ( ，亡) i p2 + o 。或 。骧i u ( ，亡) i p2 + o o ，从而形成激波此时，必然有t o o 4 1 一维双曲守恒律激波的形成 兰竺p 帅r 心， 则过点( q ，0 ) 其特征线z = z ( a ，t ) 满足 隹篙娑 从而对于任何g 1 解t ( z ，t ) ，满足 爰心( q = o ， 即解牡沿特征线z = z ( q ，亡) 为常数，故u ，t ) ，亡) = t 0 ( q ) 笔- 0 ( 让( 如) 叫嘶) ) 即方程的特征线为直线因此过点 ，o ) 的特征线方程可以写成 | i bc ) 直观的想法是希望把图中的所有直线一条一条地“编织”起来形成方程的解 然而，对于某些给定的初值，要想整体地“编织”这些直线是不可能的既然沿着每 条特征线上解为常数，上图中过b 点和过c 点的特征线相交于a 点，对于光滑解 来说，它在点a 处的值无法确定，即解钍在点a 处发生爆破要使这些特征线能整 体地“编织”起来构成方程的解，则n ( 咖( q ) ) ( 也就是常说的特征速度) 必为a 的增 函数，即特征线的斜率为q 的增函数，在图像上表示即为： 么 】 因此，在一定的正则性条件下，方程存在整体光滑解，必须满足 丢。( 咖( q ) ) o 对应地，如果方程是( 2 1 2 ) 的形式，即要求，( t o ) 0 。 事实上，也可以从方程解的显式表达式中可以看到解的爆破情况：沿着过点 z = q 处的特征线，解u 满足u ( z ，t ) 一t 0 ( q ) ，于是 酬础) 圳口) 筹= 再黎丽。 若是n ( 咖( a ) ) o ，则i l 侥t ( z ，t ) i l p o 喝( q ) o p 更进一步，有l i a u l l p g 从而l i d t i l p c + o 。，因此存在整体的光滑解，即所有特征线能整体地“编织竹 起来 若j q 。r ，使得乏n ( u 。( q ) ) i 口：伽 。而u ：l ( q 。) 。，此时记p = 一丢可杀互两 + o 。，则有： l 以u ( z i = ir 赫l _ + o o ， 一r ) 即解在过q o 点出的特征线上的t = r 层上发生爆破 另外，也可从另一个角度去说明这个问题 ( u ) ( 侥t + o ( t ) 晚u ) = o ， 侥o ( u ) + a ( u ) 允n ( t ) = o ， 即 侥。( 妨+ 以( 丛窖) ：o 记u = n ( u ) ，则 。 侥u + 以( 等) ：o 两边关于z 微分并整理有 侥( 晚) + u 如( 以u ) + ( 以u ) 2 = o 记q ( z ，t ) = 包u ( z ，亡) ，则沿特征z ( t ) = z ，t ) 有 尝如+ 口2 _ 0 其中去= 晏+ u 未 解上述r i c a t t i 方程有 口( 础) = 最 而 1 l g ( ，亡) o l 一 o 。当且仅当g o = 盖。( ( 0 f ) ) o 以上，我们分别从几何上，方程的显式解的表达式等方面粗略说明了解一维标 量方程整体解的存在条件和解发生爆破的情况 4 2 高维双曲守恒律激波的形成 巴。0 2 m 其中如( 让) = 掣；撕) = ( 州让) ，似t ) 一，“u ) ) 则通过点q = ( a l ，勉，) 的特征线定义为 量乏三：兰：兰三x c 4 2 2 ， 知( 蚺归侥u + 若铷脚_ 0 ( 侥乱+ 4 ( u ) u ) = o ， mm 侥( u ) + 如( u ) ( 钆u ) + ( u ) 蛾。仳= o ， j = lj = 1 1 6 对上式两边乘以q ( t ) 并对t 求和有 mm m 4 ( 珏) a ( 允；妨+ 4 ( 如( u ) ( 巩；+ “( 鸽似) u 良t u = o ， = 1 i j = 1 i j = 1 m 如果定义口( z ，t ) = 群( t ，则 t = 1 a ( 4 ( u ) u ) + 如( 钍) 屯( q ( ) u ) 一 t = 1j = l i = 1 mmm ( 掣( 让) a 让眩u + 今( u ) 群( ) u 氏) + 口2 = o 即 m 侥g + a ( 如，口+ q 2 = o 于是。 爱+ 口2 - 0 其中茜= 岳+ 姜蜥，+ 茜 从而 口( 础) = 最， 且 口o = 也a ( 咖( q ) ) 也即 也洲u ( 删= 需揣 若存在n 。使得d t a ( 咖( q ) ) 署+ 1 ，则c 呐问题( 4 2 1 ) 存在唯一 的整体光滑解当且仅当出a ( t o ( q ) ) o ； 进一步地，如果曲成a ( 让。( q ) ) = m 。 o ，则由( 4 2 3 ) 知j ，t ) o ，即特征 曲线向外扩散，从而存在整体解 若g ( q ，t ) = d 帆a ( 让( z ( a ，亡) t ) ) j ( a ，t ) o ，则特征曲线簇压缩，解在有限时间 内发生爆破特别地，若口( 咖，t ) o ，由( 4 2 3 ) 有 ，( q 。，亡) = e 印后q ( q ，s ) d s = 唧热如 = 1 + 姗( 锄) 一o ，t r = 一豳 这也就说明了解在亡：p 层发生爆破 1 8 躲躲恝 煦嗡业腑 监嘶 纽她血 纽她 1 l z 1 田! = 纽蛳纽籼 k 舰 参考文献 【l 】e v a 船，l c ，p 砒i a ld 证b r e n t i a le q u a t i o n s g r a d u a t es t u d i 箦i nm a t h 卫t i c 8 v 0 l m n e1 9 9 1 2 3 9 【2 】j o e ls m o u e r ，s h o c kw 蠢v e sa j l d a u c t i o n - d i 任u s i o ne q u a t i o n s s p r i g e r v e r l a g 2 3 7 - 4 4 3 【3 】k a t o ，蛳p t o t i cd e c a yt 删t h ep l a n a rr 缸e t i o nw a v 娼o f8 0 1 u t i o 璐f o r 诚s c o 峭c 伽删i o nl a w si n v e r a ls p a u c ed i m e i l s i o n s m a t h m o d e km e t h o d s a p p l s c i 6 ( 3 ) ( 1 9 9 6 ) ，3 1 5 - 3 3 8 【4 】k n i s h i h a r a ，a s ) ，1 n p t o t i cb e h a 、r i o ro fs o l u t i o nt ov i s c o l l sc o 皿s e r 、砒i o nl 踟噶讥a t h e 工2 一e n e r 盯l e t h o d ，l e c t l l r e 8n o t ed e l i v e r e di ns u m m e rs c h o o l i nn d a n u n i v e r s i t y s h a n g h a i ，c h i i l a ，1 9 9 9 【5 】l a r sh o r m a n d e r ，l e c t u r e s0 nn o n l i n e a rh y p e r b o l i cd i 髓r e n t i a le q u a t i o 眠 s p 咖g e r v e r l a g ( 2 0 0 3 ) 1 孓7 2 【6 】s k a w 嬲h i m a ，y t 宕皿a k a ，s t a b i l i 锣o fr a r e f a c t i o n r a 、髑f o ram o