（应用数学专业论文）向量均衡问题解的存在性及下半连续性.pdf

摘要 摘要 在h a u s d o r f f 拓扑向量空间中，利用b r o w d e r 不动点定理，f k k m 定理和 p a r k 不动点定理，在序锥拓扑内部为空集的情况下，不用标量化的方法，证明 了向量均衡问题有效解与强解的存在性：在赋范线性空间中，引进了含参集值 向量均衡问题全局有效解和h e n i g 有效解的概念，得到了含参集值向量均衡问 题的全局有效解集和h e n i g 有效解集的标量化结果：并在标量化结果的基础上， 研究了含参集值向量均衡问题全局有效解映射和h e n i g 有效解映射的下半连续 性 关键词：向量均衡问题：有效解：强解：存在性：含参集值向量均衡问题：全 局有效解：h e n i g 有效解：下半连续 1 i a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h eh a u s d o r f f t o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e ，i nt h ec a s eo f t h et o p o l o g i c a li n t e r i o r o ft h eo r d e r i n gc o n ei se m p t y , w eu s et h eb r o w d e r sf i x e dp o i n tt h e o r e m , f k k m t h e o r e ma n dp a r k sf i x e dp o i n tt h e o r e mt op r o v et h ee x i s t e n c eo fe f f i c i e n ts o l u t i o n a n ds t r o n gs o l u t i o nf o rt h ev e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e mi n s t e a do ft h es c a l a r i z a t i o n ； a n di nt h en o r m e dl i n e a rs p a c e , w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fg l o b a le f f i c i e n ts o l u t i o n a n dh e n i ge f f i c i e n ts o l u t i o nf o rt h ep a r a m e t r i cs e t - v a l u e dv e c t o re q u i l i b r i u m p r o b l e ma n do b t a i nt h es c a l a r i z a t i o nr e s u l t so ft h es e t so ft h eg l o b a le f f i c i e n ts o l u t i o n a n dh e n i ge f f i c i e n ts o l u t i o nf o rt h ep a r a m e t r i cs e t - v a l u e dv e c t o re q u i l i b r i u m p r o b l e m b a s i n g o nt h es c a l a r i z a t i o nr e s u l t s ，w es t u d yt h el o w e rs e m i c o n t i n u i t yt o t h eg l o b a le f f i c i e n ts o l u t i o nm a p p i n ga n dh e n i ge f f i c i e n ts o l u t i o nm a p p i n gf o rt h e p a r a m e t r i cs e t v a l u e dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m k e yw o r d s ：v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m ；e f f i c i e n ts o l u t i o n ；s t r o n gs o l u t i o n ； e x i s t e n c e ；p a r a m e t r i cs e t - v a l u e dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m ；g l o b a le f f i c i e n t s o l u t i o n ；h e n i ge f f i c i e n ts o l u t i o n ；l o w e rs e m i c o n t i n u i t y 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直昌太堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手 中吼磁引咱 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名( 手写 签字日期：2 旗jt 月 导师签名( 手写) ： 签字日期：沙扩。堋 第1 章引言 第1 章引言 向量均衡问题理论是当今非线性分析中的重要组成部分，向量变分不等式， 向量优化，向量n a s h 均衡以及向量补问题均为向量均衡问题的特例，研究向量 均衡问题，将会促进相关问题的发展。1 9 8 0 年，意大利数学家、运筹学家 g i a n n e s i 在r ”空间中引出了向量变分不等式的概念中国科学院研究员陈光亚 在1 9 8 7 年将向量变分不等式用于多目标规划的研究，并对向量变分不等式进行 全面研究，取得了很多重要成果从1 9 9 6 年开始至今，很多学者相继投入到该 问题的研究，并在向量变分不等式的概念基础上提出了更一般的向量均衡问题 的概念至此，向量变分不等式和向量均衡问题成了非线性分析领域中一个热点 问题在随后的时间里，人们对不同的模型，在不同的条件下研究了向量变分 不等式或向量均衡问题解的存在性 到目前为止，许多论文都只是研究向量变分不等式或向量均衡问题弱有效 解的存在性，这就需要序锥c 的拓扑内部不为空集但是一些常用的赋范线性 空间正锥的拓扑内部恰为空集，因此就有必要讨论向量变分不等式与向量均衡 问题的有效解的存在性研究有效解的存在性的一种便利方法是利用标量化的 方法，在序锥具有基时( 序锥基的定义可见 1 9 能做到这点如何在i n tc = 囝时， 且不用标量化的方法来讨论向量变分不等式有效解( 有的文献称为强解) 的存在 性，这便是c h e n 与h o u 【2 】提出的公开问题2 0 0 6 年，f a n g 与h u a n g 【3 1 在b a n a c h 空间中回答了这个问题，他们给出了几个向量变分不等式有效解的存在性定理 但是在一般的拓扑线性空间中，在缺少以上所述的条件下，研究向量均衡问题 有效解的存在性的论文还未见；向量均衡问题的有效解在向量均衡问题各种解 中占有重要地位，相比弱有效解，它不需要序锥拓扑内部非空的条件另一方 面，研究向量均衡问题强解( 有的文献称为理想解) 的存在性也是一个重要内容， 第1 章引言 这方面的结果也还很少向量均衡问题的强解是理想的解f u t 4 1 ，t a n t 5 “1 以及 g o n g t 7 - 8 1 讨论了向量均衡问题强解的存在性因此，解决这些问题将会促进向 量均衡问题的深入发展 另外，研究向量变分不等式或向量均衡问题解映射的性质，例如稳定性， 也是非常重要的，特别是对含参向量变分不等式和含参向量均衡问题的研究 l i ，c h e n 和t e o 9 1 ，c h e n g 与z h u 1 们，a n h 与k h a n h “屯1 及g o n g 1 3 1 等做了相关的 研究g o n g 1 1 扣1 5 1 在无限维空间中引进了向量均衡问题的各种真有效解的概念， 其中包括厂一有效解，h e n i g 有效解，全局有效解，超有效解，锥超有效解， b e n s o n 有效解，得到了相应解集的标量化结果；并且研究了有效解映射的下半 连续性与弱有效解映射的上半连续性然而，研究含参集值向量均衡问题解集 性质的论文还未见到，因此就有必要讨论研究含参集值向量均衡问题解映射的 相关性质 本文组织如下，在第二章中，介绍一些基本概念和引理；在第三章中，在 h a u s d o r f f 拓扑向量空间中，分别利用b r o w d e r 不动点定理，f k k m 定理和p a r k 不动点定理，在序锥拓扑内部为空集的情况下，不用标量化的方法，证明向量 均衡问题有效解与强解的存在性；在第四章中，在赋范线性空间中，引进含参 集值向量均衡问题全局有效解和h e n i g 有效解的概念，得到含参集值向量均衡 问题的全局有效解集和h e n i g 有效解集的标量化结果，并在标量化结果的基础 上，研究含参集值向量均衡问题全局有效解映射和h e n i g 有效解映射的下半连 续性 2 第2 章基本概念和引理 第2 章基本概念和引理 在本节中，我们设x 与y 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，c 是y 中的非空闭凸 点锥y 中的偏序定义为o v a ，b y ， as cb 亡，b a c 首先，让我们回顾下下面的基本概念和引理： 定义2 1 设x 与】，是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，k 是x 中的非空子集集值 映射s ：k 一2 y 称为是闭映射，如果g r a p h ( s ) = ( x ，y ) k xy ：y s ) ) 为乘积 空间x xy 中的闭集 定义2 2 设x 与y 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，k 是x 中的非空子集，给定 映射：k 专】， ( i ) 映射厂：k 专y 称为在x o k 处是c 一上半连续的，如果对y 中零元的任意 邻域u ，都存在而的邻域u ( x o ) ，有 f ( x ) 厂( 而) + u c ，v x u ( x o ) n k 若厂在k 中的每一点处都是c 一上半连续的，则称厂在k 上是c 一上半连续的 ( i i ) 映射f ：k 专y 称为在x o k 处是c 一下半连续的，如果对y 中零元的任意 邻域u ，都存在的邻域u ( x o ) ，有 f ( x ) 厂( j c o ) + u + c ，v x u ( x o ) l k 若厂在k 中的每一点处都gc 一下半连续的，则称厂在k _ l 是c - 下半连续的 定义2 3 设x 与y 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，k 是x 中的非空凸子集，给 定映射f ：k y 3 第2 章基本概念和引理 ( i ) f 称为是c 一凸的，若对任意的z ，y k ，t 【o ，1 】，有 f ( t x + ( 1 一t ) y ) c 矿( x ) + ( 1 一f ) 厂( y ) ( i i ) f 称为是c 一真拟凸的，若对任意的工，y k ，t 【0 ，1 】，有 f ( t x + ( 1 一f ) y ) c 厂( x ) ， 或者 f ( t x + 0 一t ) y ) c 厂( y ) 引理2 4 t 1 6 1 ( b r o w d e r动点定理) 设x 为h a u s d o r f f 拓扑线性空间，k 是x 中 的非空紧凸子集，若映射s ：k 一2 x 满足： ( i ) 任意x k ，s ( x ) 为非空凸集； ( i i ) 任意y k ，s 一( y ) = 扛k ：y s o ) ) 为k 中的开集； 则s 在k 中存在不动点 引理2 5 吲设x 与】，是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，k 是x 中的非空凸子集， 映射厂：足j 】，是c 一真拟凸的充分必要条件是对任意的 t k ，o ，i = 1 ，2 ，刀，且= 1 ，则必存在f 1 ，2 ，1 ) ，使得 厂( 私) 钉c n 定义2 6 【2 1 1 设x 为一h a u s d o r f f 拓扑线性空间，k 是x 中的非空子集，称 g ：k 寸2 j 为k k m 映射，如果对任意的有限集“，x n ck ，有 c o x 。，) cu g ( t ) i = 1 引理2 7 2 1 1 ( f k k m 定理) 设x 为一h a u s d o r f f 拓扑线性空间，k 是x 中的非 4 第2 章基本概念和引理 空子集，设g ：kj2 j 为k k m 映射，再设对每一x k ，g ( 砷为x 中的闭集，且 至少存在一点k ，使得g ( ) 是x 中的紧集贝w j ，n 。x g ( x ) f 2 j 引理2 8 1 1 7 i ( p a r k 不动点定理) 设k 为h a u s d o r f f 拓扑线性空间x 中的非空紧 凸集，g ：k 。2 置为一集值映射若k = ui n t ( g 一1 ( x ”，则存在i k ，使得 工e 足 i ( g ( i ) ) 定义2 9 t 2 0 l 设g 是从拓扑空间到拓扑空间q 的集值映射 ( i ) 称g ：矿 - - 9 , 2 q 在x o 1 1 点处是上半连续的，如果对g ( x o ) 的任意一个邻域 u ( g ( x o ) ) ，存在的一个邻域u ( x o ) ，使得 g o ) c u ( g ( 而) ) ，v x u ( x o ) 称g 在上是上半连续的，如果g 在矿上每一个点是上半连续的 ( i i ) 称g ：- - - h2 口在x o 1 1 ：点处是下半连续的，如果对任意的y o g ( x o ) ，以及 虬的任意一个邻域【，( ) ，存在而的邻域u ( ) ，使得 g ( x ) n u ( y o ) a ，坛u ( 而) 称g 在矽上是下半连续的，如果g 在上的每点是下半连续的 ( i i i ) 称g 在上是连续的，如果g 在形上既是上半连续的又是下半连续的 5 第3 章向量均衡问题有效解与强解的存在性 第3 章向量均衡问题有效解与强解的存在性 3 1 预备知识 在本节中，我们设x 与】，是实的h a u s d o r f f 拓扑向量空间，k 是x 中的非空 子集，f k x k 专】，是一映射，c 是】厂中的非空闭凸点锥定义关系“c ，a o ， 以及筵c 、 。 如下： a cb 亨6 一a c ( b cac 6 一口c ) ， a c 、f o b 今6 一a c o ) ， 口龟、 o b ，6 一a 甓c o ) 向量均衡问题( 简记为v e p ) ：是找x ek ，使得 f ( x ，y ) 甓一只v y k ， 这里p u 0 是】，中的凸锥 若i n t c 彩，又若向量x k 满足 f ( x ，y ) 喏一i n t c ，v y k ， 则称x 是( v e p ) 的弱有效解 若向量x k ，满足 f ( x ，y ) 仨一c o ) ，v y k ， 则称x 是( v e p ) 的有效解( v e p ) 的有效解的全体记为v ( k ，f ) 若向量x k ，满足 f ( x ，j ，) c ，v y k ， 6 第3 章向量均衡问题有效解与强解的存在性 则称xz 黾( v e p ) 的强解( v e p ) i 撇解的全体记为k ( k ，f ) 显然，若x 是( v e p ) 的强解，nx 必是( v e p ) 的有效解 3 2 向量均衡问题有效解的存在性 定理3 2 1 设x 与】，是实的h a u s d o r f f 拓扑向量空间，k 是x 中的非空紧凸 子集，c 是】，中的非空闭凸点锥，c a - k xk 专】，和少：k 一】，是两个映射，若下 列的条件成立： ( i ) 任意的x k ，缈( 五x ) co ； ( i i ) 任意的工k ，y ( y ) + 缈( x ，y ) 关于y 是c 一凸的； ( i i i ) 任意的y k ，集合扛k ：y ( y ) + 妒( x ，y ) c 、 。 y ( x ) 是k 中的开集； 贝0v ( x ，f ) o ，这里的f ( x ，y ) = 沙( y ) + 伊( x ，y ) 一y ( z ) ，石，y k 证明：假若结论不成立，则任意x k ，必存在y o k ，使得 y ( ) + 缈( x ，) c 、 o y ( 石) ( 3 2 1 ) 定义集值映射s ：k 专2 x 如下： s ( x ) = y k ：y ( y ) + 9 ( 石，y ) c 、 o y ( 工) ) ， v x k 由( 3 2 1 ) 矢1 1 ，任意石k ，s ( x ) o ，且对任意给定的x k ，s ( 工) 是k 中的凸集 事实上，对任意的m y 2 s o ) ，t 0 ，1 ，有 y ( m ) + 妒( x ，y 1 ) c 、 o y ( x ) ， 与 v 4 y 2 ) + 缈( x ，y 2 ) c 、 ojw ( x ) 从而有 7 第3 章向量均衡问题有效解与强解的存在性 与 t g z ( y 1 ) + 妒( x ，y 1 ) 一沙( 工) 】一c 0 ， ( 1 一f ) 沙( 奶) + 伊( x ，y 2 ) 一少( x ) 】一c o ) 则存在q ，c 2 c 且c l ，c 2 0 ，使得 t 9 ( y , ) + c p ( x ，m ) 一y ( 工) 】= 一q ， ( 3 2 2 ) ( 1 一f ) 少( ) + 妒( x ，y 2 ) 一y ( x ) 】= 一c 2 ( 3 2 3 ) 由条件( i i ) 矢l l y ( 砒+ ( 1 一f ) ) + 伊( z ，t y l + ( 1 一t ) y o cf y ( m ) + 伊( x ，m ) 】+ ( 1 一) y ( 兄) + 妙( x ，蜴) 】 从而存在c c ，使得 l 矿( 砒+ ( 1 一f ) 炊) + 妒( 工，t y l + ( 1 一t ) y 2 ) = f y ( m ) + 妒( x ，y 1 ) 】+ ( 1 一t ) y ( y 2 ) + 伊( x ，此) 卜c 由( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 及上式，再注意到c 是点锥，有 f ，( 石) 一 j 矿( 砒+ ( 1 一f ) 兄) + 伊( 石，砒+ ( 1 一t ) y 2 ) 】= ( q + 乞+ c ) c 0 ) 即 y ( 砒+ ( 1 一t ) y 2 ) + t p ( x ，t y , + ( 1 一t ) y 2 ) c 、 o 沙( 工) 又咒，y 2 k ，k 为凸集，有识+ ( 1 一f ) 儿k ，从而纱l + ( 1 一f ) 儿s ( x ) ，故s ( x ) 是 凸集因而集值映射s ：k 专2 x 是具有非空凸集的映射 对任意的y k ，由条件( i i i ) ，集合 s 一1 ( y ) = 工k ：少s ( 工) = z k ：y ( y ) + 妒( 工，y ) c 、 o y ( x ) ) 为k 中的开集；由引理2 4 知，存在i k ，使得i s ( i ) ，即 y ( i ) + 缈( i ，孑) c 、 o 沙( i ) ，得缈( i ，i ) c 、 。 0 ，这与条件( i ) 相矛盾，从而结论成 立 r 第3 章向量均衡问题有效解与强解的存在性 f 面的例子说明定理3 2 1 的条件( i i i ) 是非平凡的 例3 2 2 设x = r ，k = 【o ，1 】cr ，y = r 2 , c = = 扛= ( 五，屯) r 2 ：五，而o ， z ，五：k 专r 是实值函数，且任意x 【o ，1 】，有a ( x ) 0 ，五( x ) 0 又设 f ：k 专r 是严格单调递减的凸函数定义映射吵：k 专y ，缈：k xk 专y 如下： l 吵c x ，= ( ； 二；) ，缈c x ，y ，= ( 羔暑 c y 一力，v x ，y k 下面验证定理3 2 1 的条件成立： 定理3 2 1 的条件( i ) 是显然的； 任意取定石k ，对任意的m ，y 2 k ，t o ，1 】，由条件有 y ( 纱l + ( 1 一f ) 奶) + 缈( 工，劬+ ( 1 一t ) y 2 ) =f(ty,+(1-t)y2)、1i,f(0t+ 隰卜”慨叫 ，l 五( x ) j 1 、 “2 7 嘲：高t ) 八f ( 甜yr 隰卜咖”z ，懈卜x ，i 矿( m ) + ( 1 一：) jl 正( x ) “1 、 7 l 五( 工) “2 = r ( ( ； 翥；) + ( 乏高 c 乃一工， + c 一r ，( ( ； 芰；) + ( 羔暑) c 儿一x ， = f ( 少( m ) + 妒( x ，m ) ) + ( 1 一f ) ( 吵( 儿) + 缈( x ，儿) ) 所以，少( y ) + 妒( 工，y ) 关于y 是c 一凸的；故定理3 2 1 的条件( i i ) 成立 任取定y k ，x k ：l 吵( y ) + 伊( x ，y ) c o 沙( x ) ) = o ，y ) 事实上，若 0 ，y ) = 彩，则 o ，y ) c 7 缸k ：y ( y ) + 缈( 工，y ) c 、 o y ( x ) ) ， 若 【o ，y ) f 2 j ，任意x o ，y ) ，有0 x y ；由a ( x ) 0 ，石( 功 0 ，且f ：k 专r 是严 格单调递减的凸函数从而 9 第3 章向量均衡问题有效解与强解的存在性 则 因此 卅卅贴川= 唿二矧+ ( 差跏叫 i n t c + i n t c c i n t c 1 f ，( x ) 少( y ) - 呼o ( x ，y ) c 0 o ，y ) c z k ：沙( y ) + 缈( z ，y ) c 、 o iy ( 工) ) 另一方面，任取x 缸k ：妙( y ) + 矽( x ，y ) c 、 o 5 f ，( 工) ) ，则 y ( x ) 一y ( y ) 一缈( x ，y ) c o ) ( 3 2 4 ) 假若石y ，则 矿c x ，一y c y ，一缈c z ，y ，= ( ； 三；二； ；) + 厂- 一l f ( x x 、) 、j ( y z ，一c c c c ， 这与( 3 2 4 ) 相矛盾，因为c 是点锥从而x y ，即x o ，y ) 于是有 x k ：y ( y ) + 缈( x ，y ) c 、 o l 吵( 工) c o ，y ) 从而，对任取定的y k ，有 x k ：沙( y ) + 缈( j ，y ) c 、 o y ( x ) ) = o ，y ) 由 o ，y ) = o ，l l n ( 一1 ，y ) ，知 x k ：少( y ) + 妒( x ，y ) c 、 o l 少( x ) ) = o ，y ) 是k 中的开集定理3 2 1 的条件( i i i ) 成立 显然i = 1 是( v e p ) 的有效解 由定理3 2 1 ，我们可得到下面的推论 推论3 2 3 t 3 1 设髟是实的b a n a c h 空间x 中的非空紧凸集，c 是实的b a n a c h 空间】，中的非空闭凸点锥且i n t cg 又设t ：kjl ( x ，y ) 是一非线性映射( 其 1 0 第3 章向量均衡问题有效解与强解的存在性 中l ( x ，y ) 表示从x 到y 的所有连续线性映射) ，且任意的y k ，集合 缸k ： x e k ，故存在a o ，当口口。时，有吃u ( x ) ，由( 3 3 5 ) n y ( 矗) 一缈( ，y ) 少( 力一缈( 而y ) + u + c ， ( 3 3 6 ) 1 主i ( 3 3 4 ) 与( 3 3 6 ) ，得 v ( y ) 一y ( 屯) + 伊( 屯，力仨c ， 这与g ( y ) 相矛盾，p , 而x e g ( y ) ，即任意y k ，g ( y ) 是闭集 由( i i ) 知，任意yek ，g ( y ) 是闭集，而g ( y ) ck ，k 为紧集，因而g ( y ) 为 紧集 由( i ) 与( i i ) 及引理2 7 知，ng ( y ) f 2 j 从而存在i n g ( y ) ：y k ) ，即存 y e k 在i k ，使得任意y k ，有y ( y ) + 缈( i ，y ) c 少( i ) ，因此v s ( k ，f ) a 3 4p a r k 不动点定理证明向量均衡问题强解的存在性 定理3 4 1 设x 与】，是实的h a u s d o r f f 拓扑向量空间，k 是x 中的非空紧凸 集，c 是】，中的非空闭凸点锥，墨：k 一2 置是集值映射o = 1 ，2 ) ，f ：k xk 专y 是一映射，若下列的条件成立： ( i ) 任意x k ，f ( x ，x ) co ； ( i i ) 墨是闭映射，任意x ，yek ，s a x ) 非空，c d ( 是 ) ) 互s ( 工) 且墨1 ( y ) 是k 中的 开集； ( i i i ) f ( x ，少) 关于y 是c 一真拟凸的，关于x 是c 一上半连续的； 则存在i k ，使得i s ( i ) ，且 1 3 第3 章向量均衡问题有效解与强解的存在性 f ( - 2 ，y ) c0 ，v y ( i ) 证明：定义集值映射g ：k 专2 k 如下： g ( x ) = y k ：f ( x ，y ) 芝co ) ，x k 注意到，若存在- 2 k ，使得 ( 3 4 1 ) i 墨( i ) ，且g ( i ) n 是( i ) = 1 2 j ( 3 4 2 ) 则存在i k ，i s ( i ) ，任意y 是( x - - ) ，都有y 叠g ( 舅) 于是 f ( i ，j ，) c0 ，v y 曼( i ) 即i 就是要找的解 假若( 3 4 2 ) 不成立，则对y 中任意一个满足x s ( x ) 的x ，都有g ( x ) ns 2 ( x ) a 定义集值映射o ：k 0 2 x 如下： q c x ，= g x 曼) n 。功s 2 x ：二主：量 三； 显然，q ( x ) 是有定义的，且定= uq 一( 石) 还可知， q 。1 ( x ) = ( g 叫o ) n 篷1 ( 工) ) u ( 1 ( x ) n ( k g o ) ) ， 其中= 缸k ：x s ( x ) ) 由k 是紧集且s 是闭映射可得到 = 妇k ：x 墨( 力_ 为k 中的闭集，从而k 为开集结合条件( i i ) 知， 1 0 ) n ( k c o ) 为k 中的开集由定义， g 一1 ( 少) = 石k ：) ，g ( x ) = xek ：，( 工，j ，) 芝co ) 令m = k g 一( y ) = 扛k ：，( x ，y ) c t i em 为k 中的闭集 设网 ) cm ，且屹专x k ，下证x m 假若x 仨m ，则f ( x ，少) 垡c ，由c 是闭集知，从而存在】，中的零元的平衡邻 1 4 第3 章向量均衡问题有效解与强解的存在性 域u ，使得 又c 为凸锥，从而有 ( f ( x ，y ) + u ) n c = g ( ，( x ，y ) + u o n c = g ( 3 4 3 ) 又f ( x ，y ) 关于x 是c 一上半连续的，故对上述的u ，存在x 的邻域u o ) ，有 尸( ，y ) f ( x ，y ) + 【，一c ， v x u ( x ) n k ( 3 4 4 ) x c u ( x ) ，由吒 - x ek ，故存在，当口时，有u ( x ) ，1 主t ( 3 4 4 ) 得 ，( 屯，y ) f ( x ，y ) + u g v 口a o ( 3 4 5 ) 由( 3 4 3 ) 与( 3 4 5 ) 知，( ，y ) 隹c 这与m 是相矛盾从而g 一1 ( x ) 为k 中的 开集于是q 。1 ( 石) 为开集，所以k = uq 1 ( x ) = ui n t q 一1 ( 石) ；由引理2 8 知，存 上e x j x 在i k ，使得i c o ( q ( f f ) ) 由条件( i i ) ，有 i c o ( q ( 2 ) ) cc o ( s 2 ( i ) ) c 墨( 习， 再由q 的定义知 i c o ( q ( f f ) ) = c o ( g ( y ) ns z ( i ) ) cc o ( g ( f f ) ) nc o ( $ 2 ( x ) ) ， 所以有i ( g ( i ) ) ，从而存在五，g ( f f ) ，t i 一0 ，江1 ，刀，主：1 ，使得 i = 而由蕾g ( i ) ，有 f ( 2 ，一) 兰c0 ， i = l ，2 ，n ( 3 4 6 ) 由条件( i i i ) 及引理2 5 知，必存在f l ，2 ，刀) ，使得f 何，i ) cf ( 2 ，t ) ，从而存 在c c ，有- f ( 2 ，x a = f ( - y ，- 2 ) + c ，再由条件( i ) ，f ( i ，习c ，所以有 1 5 第3 章向量均衡问题有效解与强解的存在性 f ( i ，x i ) c + c c + c c c ， 这与( 3 4 6 ) 相矛盾从亓i i ( 3 4 2 ) 成立即存在i k ，使得 2 - s ( - ) ，l e tf ( 2 ，y ) co ，v y 是( i ) 1 6 第4 章含参集值向量均衡问题全局有效解映射和h e n i g 有效解映射的下j 卜连续性 第4 章含参集值向量均衡问题全局有效解映射和 h e njg 有效解映射的下半连续性 4 1 预备知识 在本节中，我们设x ，】，是实赋范线性空间；设y 是】，的共轭空间，c 是】， 中的非空闭凸点锥，k 是彳中的一个非空子集，f ：k x k 专2 y 是一个集值映射 我们考虑以下的集值向量均衡问题( s v e p ) ：找出i k ，使得 f ( 2 ，y ) o ( - p ) = a ，v y k 其中p u 0 ) 是y 中的凸锥 c 的对偶锥c 宰定义如下： c 木= 厂，：( y ) o ，v y e c c 木的拟内部c 。定义如下： = 厂y ：厂( y ) o ，v y e c o 设d 是y 中的非空子集，d 的锥包定义为 c o n e d = t d ：f o ，d d 如果凸锥c 的一个非空凸子集b 满足c = c o n e b9 1 o 正c l ( b ) ，则称b 是c 的 基易知，c # o 当且仅当c 有基 设曰是c 的基，u 是】，中的闭单位球，在本节中设艿= i n f lb i ：beb ) ，且令 c ( b ) = c l ( c o n e ( b + s u ) ) ，其中0 f 万由 1 8 】知，若0 占 占7 0 ，厂( 6 ) f ，v be b 由凸集分离定理，可知c 6 a 显然有c acc 撑 17 第4 章含参集值向量均堑塑嬖全旦查垫堡堕塾塑坚! 竺堡查整塑堕壁塑! 兰垄丝堡 -