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1 习题详解 第 1 章 单项选择题（ 习题详解 第 1 章 单项选择题（1-11-10 题）题） 1-1 关于序列 x n的自相关 * xx k rnx k x kn = =+ ，错误的是 （D） （A）0 xx rE=，E是序列的能量 ； （B） * xn的自相关等于 x n的自相关； （C）x nm的自相关等于 x n的自相关，m 是任意整数； （D） xxxx rnrn=。 解： （A） * 0 0 xx k rx k xkE = =+= （B） x k共轭翻褶再左移n得到 * ( )xkn+ * * () x xn kk rnxk xnkx kn x kr n = =+=+= （C） * () () x n mx n kk rnxkm x knmx k x knrn = =+=+= （D） * xxxx kk rnx k xnkx kn x krn = = +=+= 若 x n是实序列则自相关偶对称 1-2 序列 11 5cos() 63 x nn = 的周期是 （A） （A）12 （B）11 （C）12/11 （D）6 解： 212 11 11 6 = ，所以周期 12 1-3 下列系统因果且稳定的是 （B） （A） 2 n T x nx n= （B） 1T x nx nu n=+ （C） 10 log T x nx n= （D） 5 5 n k n T x nx k + = = 1-4 下列系统线性且时不变的是 （B） （A） 0 n kn T x nx k = = （B） 0 0 n n k n n T x nx k + = = （C） 0.5x nT x n= （D） T x nxn= 1-5 有一系统输入为 x n，输出为 y n，满足关系 ( 2) y nx nu nu n=+，则系统是（A） （A）线性的 （B）时不变的 （C）因果的 （D）稳定的 解： 2 () 1212 1212 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( 1 ) 1( 1 ) 1 var ( ) 2 k A T ax nbx nax nbx nh n u n a x nh n u nb x nh n u naT x nbT x n linear B T x nx nh n u ny nx nh n u n timeiant C y nx nk u k = +=+ =+=+ = =+ 2 ( 2 .) , () k u n x nku nx nu nnoncausal D unstable = =+ 1-6 LTI 系统的单位脉冲响应如下，因果且稳定的是 （C） （A）2nunh n = （B） 1=nuanh n （C）)5 . 0cos( 10 nRnnh= （D） 22h nu nu n=+ 1-7 关于 LTI 系统，以下说法正确的是 （C） （A）IIR 不能实现； （B）IIR 是非因果系统； （C）IIR 不一定稳定； （D）IIR 不如 FIR 好。 1-8 有一系统，其输入 x n和输出 y n按图T1-1所示方框图关联。其中 h n是因果稳定的LTI 系统的单位脉冲响应。则整个系统不是 （B） (A)线性的 (B)时不变的 (C)稳定的 (D)因果的 0 jn e 图T1-1 解： () () 0 0 0 00 0 1212 12 00 () 00 , ,var ,( ), jn jn jn jn n jn y nx n eh n T ax nbx nax nbx neh n aT x nbT x nlinear T x nnx nn eh n y nnx nn eh ntimeiant if x nfinite then x n efinite then y = +=+ =+ = = () 00( 1) , 011 ., jnjn nfinitestable y nx n ehx nehcausal =+ 1-9 设LTI系统的单位脉冲响应 h n和输入序列 x n如图T1-2所示，则输出样本正确的是 （D） -2 -1 0 1 xn 2 -1 hn 1 2 1 0.5 0 1 2 图T1-2 3 （A） 21y = （B） 12y = （C）03y= （D）15.5y= 解： 2 2 02yxh= 1 1 0 2 11yxhxh=+= 00 0 1 1 2 23.5yxhxhxh=+= 11 00 1 1 2 2 35.5yxhxhxhxh=+= 1-10 关于LTI系统的实现，以下说法错误的是 （C） （A）FIR可以采用卷积和实现； （B）FIR可以采用有递归的差分方程实现； （C）IIR可以采用卷积和实现； （D）IIR可以采用有递归的差分方程实现。 填空题（填空题（1-111-15 题）题） 1-11 用 n的移位加权和表示图T1-3所示序列 x n= 2 12nnn+。 xn 图T1-3 1-12 设 y nx nh n=，则23x nh n=5y n（用 y n表示） 。 1-13有限长序列 x n的非零区间是09n和3039n， y n的非零区间是1019n， 则 nx ny n=的非零区间是1028n和4058n。 1-14已知回声系统的输入输出关系 0 nnxanxny+=，系统的单位脉冲响应 h n= 0 nann+，单位阶跃响应 s n= 0 u nau nn+。 1-15 线性常系数差分方程为 1 12 4 y ny ny nx n+= ，设输入是 x nn=，初始条件是 0y n =，0n ， 则3y=0.5 。 解：0 10.25 201yyyx=+ = 100.25 111yyyx=+ = 210.25 020.75yyyx=+= 320.25 130.5yyyx=+= 计算、证明与作图题（计算、证明与作图题（1-161-31 题）题） 1-16画出下列序列 (a) 22 34 4x nnnnn= + (b) 5 23x nR nn=+ (c) ( 0.5) n x nu n= (d) 2x nun= + 解： 1-17证明卷积的交换律、结合律和分配律。 证明： （a） * * kk x nh nx k h nkx nk h kh nx n= (b) 4 1212 1212 *( )( ) * * k kk x nh nh nx nkh kh k x nk h kx nk h kx nh nx nh n +=+ =+=+ (c) 1212 1221 21 2112 ( * )* * () () *( * ) k mkkm km km x nh nh nx k h nkh n x k h mkh nmx kh nm h mk x kh nmk h m x khnkmh mx nh nh n = = =+ = 1-18已知 y nx nh n=，证明 （a） nnn y nx nh n = = （b） ()()()1 1 1 nnn nnn y nx nh n = = 解： （a） nnkknkn y nx k h nkx kh nkx kh n = = （b） ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) nnn nnkkn nkkn knkn y nx k h nkx kh nk x kh nx kh n = + = = = 1-19求图T1-4中两个序列的卷积 y n。 xn -2 图T1-4 解： 2 4 1232 43 67y nnnnnnnn= + 1-20 设 4 x nR n=，画出其偶对称分量 e x n和奇对称分量 o x n。 5 1-21 证明：当输入全为零时，线性系统的输出也应该全为零。 证明： 设输入0 1 =nx， 因为线性， 所以 12212 T ax nbx nT bx naT x nbT x n+=+ 所以 1 0T x n= 1-22对于下列系统，试判断系统的因果性、稳定性、线性和时不变性。 （a） , T x nh nx nh n=+有界 （b） 2 T x nx n= （c） 0 k T x nx nk = = （d） 2 T x nx n= （e） 0 T x nx n n=+ （f） | | x n T x ne= 解： （a）因果，稳定，非线性，时变； （b）因果，稳定，非线性，时不变 （c）因果，不稳定，线性，时不变； （d）非因果，稳定，线性，时变 （e）稳定，线性，时不变，若 0 0n 则因果，否则非因果 （f）因果，稳定，非线性，时不变 1-23已知LTI系统的单位脉冲响应如下，指出系统的因果性和稳定性。 （a） 1 n h na u n=+ （b） 21 n h nun= （c） (1/ 2) n h n = （d） (1/3) 31 nn h nu nun=+ （e） 0.7 cos(0.5) n h nn u n= （F） 2 5 5h nu nu nu n=+ 解： （a）非因果，| | 1a ，求系统的单位阶跃响应； （c）证明：如果系统稳定，则单位阶跃响应有界。 解： （a） * ( 1)* 1h nnh nu nu nh ns ns n= （b）图解法或解析法 1 0 1 1 1 0, 1 1 0, 1 ,0 1 1 ,0 1 k k n n k k k k n s na uk u nk a ns na a ns na a a n a s n n a = = = = = = = （c） ,| |, | | n nkkn stableh ns nh nu nh k u nkh kh n = = 1-27 一个系统的差分方程是 11 1 23 y ny nx n= ，输入信号是 x nn=，初始条件是 11y =，求输出信号 y n。 解： 7 1 1 11 0, 1 23 1155551 0, 1, 2, 236122462 2 0, 12 3 1 22; 34, 48, 2 51 ,0 621111 2232 1 ,0 2 n n n n n ny ny nx n yyyy n ny ny nx n yyyy n n y n n + + =+ =+= = = =+ (B) 0 | | za (C) | |bza (D)|bz 2-5 序列() 1/2 n x n =的 z 变换及收敛域为 （D） （A） 3 ( ) (21)(2) X z zz = , 1 2 2 z （D） 3 ( ) (21)(2) z X z zz = , 1 2 2 z 13 解: 1 - 010 1 ( )0.50.5 0.511.5 1 0.51 0.520.5(0.5)(2) nnnnnnnnnn nnnnn X zzzzzz zzzz zzzzzz = =+=+ =+=+= 收敛域为 1 2 2 z （B） 5 (1/ ),1/z Xzza （C） 5 (1/ ),1/z Xzza （D） 5 (1/ ),1/z Xzza 解： ( 5)55 ( )5 (1/ ),1/ nnn nnn Y zxnzx n zzx n zz Xzza = = = 2-7 已知 n0 时序列 0 x n =，其 z 变换为 1 1 1 2 3 ( ) 1 2 z X z z = ，则0x的值为 （D） （A）2 （B）1 （C）1/3 （D）1/6 解 1：有非零极点，ROC 不是整个平面，所以不可能是有限长序列，是左边序列，ROC 是|z|2。 因为 n0 时序列 0 x n =，由初值定理的推广 0 0lim( ) z xX z = 可得01/6x=。 。 解 2： 1 2 21 1/3 2,01/6 nn x nununx = += 2-8 已知 x n是一个长度大于 1 的因果序列，且00 x,其 z 变换是( )X z。则以下说法错误的 是 （C） （A）( )X z在z =处没有零点 （B）( )X z在z =处没有极点 （C）( )X z在0z =处有零点 （D）( )X z在0z =处有极点 解: (A) z limzx nX =（ ）0,所以z =处没有零点。 （B）ROC 包括z =，所以在z =处没有极点 （C） （D）有 z 的负幂次方，所以0z =一定是极点，所以不是零点 填空题（2-9 题2-16 题） 填空题（2-9 题2-16 题） 2-9 考虑 x n的 z 变换( )X z，其零极点图如图 T2-2 所示。 Im Re Z平面 21/3 3 1 1/2 图 T2-2 (a)若已知 x n绝对可和，则( )X z的收敛域为1/2 | | 2z。 2-10 不需求出( )X z，直接写出下列序列 z 变换的 ROC。 14 （a） 1,105 0, n x n = 其它 的 ROC 是0 | z ； （b） 32 n x nun= +的 ROC 是0 | 3z； （c） 4/5 1 ( )(2) 2 2 njn x neu n + =+的 ROC 是2 | z ； （d） 12 1 ( ) (1)1 3 nn x nu njun =+ 的 ROC 是1/3 |2z 2-13 11 ( )(1 2 )(1 3)(1)X zzzz =+的反变换为 x n=2 1 3 8 1 3 2nnnn+。 2-14 已 知 序 列 x n的z变 换 是( )X z， 其 零 点 和 极 点 分 别 是 ,0,1,.,1,0,1,.,1 kk c kNdkM=和。则序列 ( 1) n y nx n= 的 z 变换( )Y z= ()Xz (用( )X z表示)，零点是,0,1,.,1 k c kN=，极点是,0,1,.,1 k dkM=-。 解：()( )( 1) () n nn nn Y zx n zx nzXz = = 2-15 某序列 x n的 z 变换为 1 1 51 ( ) 1 1 3 1 2 X z z z =+ ， 收敛域包括单位圆。 则其0x的值为 5 。 解： 1 1 1 0 1 51 ( ),1/2 | 3 1 1 3 1 2 51 0limlim5 1 1 3 1 2 zz X zz z z x z z =+。 （b） ()() 11 12 12 11 121 12 ( ) 2543 111 1234 zz zz X z zzzz + + = + 零点：1，-2；极点：4/3，3/4；3/4 | 4/3z。 2-18 已知 x n的 z 变换是 2 211 1 1 4 ( )= 112 (1)(1)(1) 923 z X z zzz + ，( )X z可能有多少种不同的 收敛域?分别对应什么类型的序列？ 解： 1 111 1 1 2 ( )= 112 (1)(1)(1) 333 112 333 z X z jzjzz jj + + 零点：-1/2，0(2阶)，极点：， （a）1/3 | | 2/3z (b) 22 1 121 2/ 111 1,( ),| 0 11 0(22,(2,1,2,.1 NN NN N jk N zz x nRnRnX zzz zzz zNzekN = =极点阶)零点阶) 16 2-20 利用 z 变换的性质求下列序列的 z 变换及 ROC。 (a) (1/2)2 n x nnu n= （b） 0 cos() x nnn u n=，其中 0 为常数； （c） (1/4) n x nn=。 解： （a） 1 2 1 1 2 2 21 1 1 (1/2) ,| 1/2 1 (1/2) (1/4) (1/2)2 1 (1/2) 1 1 (1/4)1 4 ( ),1/2 1 (1/2)2 1 1 2 z n z n u nz z z u n z z dz X zzzz dzz z = = (b) 设 0 cos() y nn u n=,则 1 0 12 0 1cos 1 2cos z Y z zz = + 而 x nny n=，所以 () 123 00 2 12 0 cos2cos( ) ( ) 1 2cos zzzdY z X zz dz zz + = = + ,1z （c） 11 ( )( ) 41 44 nnn x nnnu nnun= i 1 1 111 ( ) , 1 44 1 4 1 41,4 1 4 zn zn u nz z unz z = i 变换 变换 17 所以 () () 1112 1 222 1 2 111 11717 (4) 41 444 ( ),4 4 11 14 111 4 44 zzzz z X zz z zzz + =+= （c） 1 5 1 1 2 ( ),1 1 z X zz z = 解： （a） 2 11 0 1111 ( ), () )2 2 112 nnk k X zx nau na u nank azaz = =+=+= + （b） 3 0 3 k k x nank = = （c） 00 1 5 1 5 2 kk x nnknk = = 2-22 用长除法求以下 z 反变换。 (a) 1/3 3 1 ( ),2 1 1 2 X zz z = （b） 1 1 1 1 3 ( ), 1 1 3 z X zx n z = + 为右边序列 （c） 1 1 2 ( ),2 (1 2) z X zz z = 解 （a）参照 2-21（b）解答，或用长除法 /3 0 1 ,0,3,6,.1 3 2 2 0, n k k n x nnk = = = 其它 （b）方法 1： 1 1111 12 3333 nnn x nu nu nu nn = = 方法 2：长除法 18 （c）根据收敛域判断是因果序列，因而( )X z分子分母应按 z 的降幂或 1 z的升幂排列，进行 长除： 12345 121 4123280. 1 44 zzzzz zzz + + 123 23 44 44 zzz zz + 234 34 41616 1216 zzz zz + 345 45 124848 3248 zzz zz + 567 67 32128128 80128 zzz zz + ? 所以 4 011223341 1 ( )1 22 23 24 22n n n X zzzzznz = = + + + += ? 由此得到 1 21 n x nnu n = 2-23 序列 1 1 2 n x nu n = , 2 31 n x nun= ，利用 z 变换求以下序列。 （a） 12 31y nx nx n=+ （b） 12 k y nx k x kn = =+ 解： （a） 19 11 1 22 1 3 12 1 1 3 2 11 11 111 ( ),| 1 22 1 2 1 31( ),| 3 1 3 1 3,|,1,| 3 1 21 3 1 2 1/56/5 ( ) 11 1 31 3 11 22 1 1 5 2 n n x nu nXzz z x nunXzz z zz x nzx nz z z zz Y zz zz zz y n = = =+因果，所以零点：极点：， （a） 3 ( )( ),30 3 -1,4;0 2,3/ 41/ 2 ,-1/ 2 ;:|3/ 4 Y zzX zzz jj ROCz = = 新增零点（ 阶），新增极点（ 阶），与原来的零点抵消掉1阶 所以零点：（ 阶）极点： （ 阶）， (b) 20 ( )(1/ ), 0,-1,;4/3 2 ,-2 ;:|4/3 Y zXz jj ROCz = 零点极点变成原来的0.2倍 零点：极点：， *2-25 已知 x n是因果序列，其 z 变换为( )X z，收敛域为|za，且( )X z在1z =处没有零 点。考虑序列 0 n m y nx m = =，用( )X z表示其 z 变换( )Y z，并写出收敛域。 解： 0 n m y nx mx nu n = = ，所以( )( ) 1 z Y zX z z = ，z=1 新增了一个极点，所以 max(1,|)za 解法 2： 000 ( )( )( ) nn n mnm y nx mx m z = = ZZ 由于是因果序列的累加，故有 n0。改变求和次序，可得 1 000 ( )( )( ) 1 m nnn n mmn mm z x mx mzx m z = = Z 1 0 1 ( ) 1 n m m x m z z = = 1 1 ( )( ),max(|,1) 11 z x nX zza zz = Z *2-26 利用序列的线性加权性质求解本题。 （a）证明 2 dd ( ) dd Z n x nzzX z zz = ； （b）求 2 n x nn a u n=的 z 变换； （c）求 2 (1)1x nnu n=的 z 变换； （d）求 2 (1) ( 3) ( 4)x nnu nu nu nu n=+的 z 变换。 证明： （a） 2 ddd ( ) ddd Z n x nZ n nx nzZ nx nzzX z zzz = = 2 2 2 dd ( )( ) dd zX zzX z zz =+ （b） 21 ROC 改成| |za （c） | 1z （d） （c）和（d）中大写 Z 改成小写 z *2-27 设因果序列 g n的 z 变换为 112 ( )sin()(123)G zzzz =+，求出11g的值。 解： 124 357911 124 ( )sin()(123) ()(123) 3!5!7!9!11! n n G zzzz zzzzz zzz g n z =+ =+ = ? 22 123 11 11!9!7! g= + MATLAB 上机题（2-282-30） MATLAB 上机题（2-282-30） 2-28 已知 z 变换 1 12 1 1 2 ( ) 123 z X z zz = + ，ROC 包括单位圆。 （a）求零点和极点； （b）画出零点和极点图； （c）画出( )X z在单位圆上的函数值（包括幅度和相位） 。 提示：可以调用的函数有 tf2zp（） 、zplane（）和 freqz（）等。 解： B=1,- 0.5; A=1,2,3; z,p,k=tf2zp(B,A); figure; zplane(B,A); figure; freqz(B,A); 输出：z = 0.5000；p =-1.0000 + 1.4142i， -1.0000 - 1.4142i；k = 1 23 2-29 已知因果序列 x n的 z 变换 11 11 ( ),| 0.5 1 0.51 0.2 X zz zz = ，画出序列 x n的前 20 个样本。 提示：可以调用的函数有 impz（）等。 解：B1=1; A1=1 -0.5; B2=1; A2=1,-0.2; x1,n1=impz(B1,A1,20); x2,n2= impz(B2,A2,20); x=x1-x2; stem(n1,x); 2-30 将以下 z 变换分解成部分分式形式 1 12 1 1 11 2 ( ), 31 42 1 48 z X zz zz = 的反变换 xn= 3 1 3 k k ank = + 。 解： （a） ()(1 0.5)(12)1 0.521 2 12 0.5 1 jjjjj X eeeee x nnnn = + = + （b） ()()() 2244 ()sin(2 )sin( 4 )cos( ) 222 111 442211 222 jjjjjj j eeeeee X e jj x nnnnnnn jj + =+=+ =+ 27 （c） 33 33 33336699 33 3369 3 1 1 (),| 1|, 1 1. 1 36912. 3 j j j jjjj j k k X eaROCza a e a e a ea ea ea e a e x nanananan ank = = = + = + = + ，包括单位圆，所以左边序列 3-12 写出周期为 8 的序列? 10,1,2,3 14,5,6,7 n x n n = = = ， ， 的 DFS X k ? = 72 /2 8 sin (2/4) 2 sin(/8) jkj k e k + 3/8sin( /2) 2 sin(/8) jk k e k =。 解：从定义出发 ? 3733 ( 4) 8888 040 0 44222 3 44 8888 888 /2/2/2 0 8888 222 7/2/2 7/2 8 8 1() (1)(1) 1() sin (/2)sin (/2) 22 sin(/8)sin(/8) knknknk n nnnn kkkk kknk kkkk n jkj k X kWWWW WWWW WWW WWWW kk Wje kk + = = + = = = 解 2： ? () 4 44 37 8 88 88 04 888 222 3 /23/8 888 8 /2/2/2 888 2 1 11 111 sin(/2)sin(/2) 222 sin(/8)sin(/8) k kk knkn kkk nn kkk kjk kkk W WW X kWW WWW WWWkk We WWWkk = =+= = 3-13周期为8的实序列的DFS主周期的前5点是0+j， 1+2j,2+3j,3+4j,4+5j， 则后3点是3-4j， 2-3j，1-2j。 3-14 周期为 7 的序列? 1 xn、? 2 xn和? 3 xn，其 DFS 分别是? 1 Xk、? 2 Xk和? 3 Xk，已知 序列? 2 xn如图T3-1所示， 且? ? ? 312XkXk Xk=， 用 ? 1 xn表示? 3 xn=? ? 11 4xnxn+。 ? 2xn 图 T3-1 解：利用时域周期卷积性质或时域移位性质： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 4 22 77 0 4 31211 7 311 1 4 knk n k XkxnWW XkXk XkXkWXk xnx nx n = = + =+ =+ ， 28 3-15 有限长序列 x n与周期为 N 的周期序列? x n间满足关系 ? N x nx n Rn=。 （a）用 x n的傅里叶变换 () j X e 表示? x n的离散傅里叶级数? X k= () 2/ e|,0,1,.1 j k N XkN = =； （b）用 () j X e 表示? x n的傅里叶变换 () e j X ? = () 2/ 22 e|() j k N k k X NN = = 。 解：时域无混叠的周期性延拓关系，则频域取样关系 () () () () () 1 0 11 2 2/ 00 2/ ( )e e|,0,1,.1 22 ( )e () 222 e|(), e 0, N jj nj n nn NN knjknNj Nk N nn j k j jk N aXx n ex n e X kx n Wx n eXkN k bXX k NN k Xk XNNN = = = = = = = = = = ? ? ? ? 其他 计算、证明与作图题（3-16 题3-28 题） 计算、证明与作图题（3-16 题3-28 题） 3-16 已知 x n和 y n的傅里叶变换分别为() j X e 和() j Y e ，证明以下傅里叶变换对成立。 （a） ()() Fjj ax nby naX ebY e + +，其中 a 和 b 是任意常数； （b）() 0 0 j nFj x nneX e ，其中 0 n 是任意整数； （c） () () 0 0 jjn F ex nX e ，其中 0 是任意实数； （d） () j F dX e nx nj d ； （e） () Fj x nXe ； （f） () Fj xnXe ； （g） () () Fjj x ny nX eY e 。 证明： （d） () () () j j nj nj n nnn j F dX edd x n ex nejnx n ejFT nx n ddd dX e nx nj d = = （e） () j nj nj nn FT x nx n ex n eXe = = (f) () j nj nj nn FT xnxn ex n eXe = = (g) 29 ( ) ( )( ) () ( ) ()() () j nj n nnk j njnkjj kjj knknk F x ny nx ny n ex k y nk e x ky nk ex ky n ex k Y eeX eY e = + = = = 3-17 已知矩形序列 1M Rn + 的傅里叶变换为 () j R e ，用 () j R e 表示以下序列的傅里叶变换。 （a） 2 0.50.5cos,0 0, n nM w nM = 其它 （b） 24 0.420.5cos0.08cos,0 0, nn nM w nMM + = 其它 解：利用频移性质或时域相乘性质： （a） ()() 22 11 22 ()() 121 1 cos1 222 111 244 nn jj MM MM jj jj MM nee w nRnRn M W eR eR eR e + + + = = （b） ()() 1 2244 1 22 ()() 4 () 24 0.420.5cos0.08cos 0