（计算数学专业论文）双曲型方程数值解的小波方法研究.pdf

国防科学技术大学研究生院博士学位论文 摘要 科学技术的发展日新月异，给数值计算提出了越来越高的要求。随着流体力 学中研究问题规模的扩大，实际应用迫切需要计算数学为其提供准确、高效和实 用的数值模拟工具以及流场分析工具。众所周知，双曲型方程数值计算中广泛存 在着奇异性问题，例如激波和涡流等，这给传统的数值求解造成了困难。因为在 奇异点附近，解的梯度大，并且会发生突变，所以用规则网格和线性解算器求解 是不现实的。近年来，小波分析作为一种强有力的自适应工具，除了广泛地应用 于信号处理等领域之外，也逐渐受到计算流体力学工作者们的重视，成为求解偏 微分方程的一种新兴的数值方法。本文考虑双曲型方程( 特别是双曲型守恒律方 程) 的小波解法，主要特点是着眼于对间断面的模拟，围绕如何利用小波函数模 拟强间断，如何利用小波分析提高传统方法的效率等问题展开进行研究，主要的 研究工作包括： l 、选择d a u b e c l l i 髓小波尺度函数空间作为传统g a l e r l d n 方法的权函数和试函 数空间，将其应用于h 雒l i l t l 明，a c o b i 方程，得到两类求解h 锄i l t o n j 踟b i 方程的 小波叫d 血数值格式，并分析了格式的性质。由于小波在时间和频率上的局部 性，本文构造的方法适用于处理具有奇异解的问题，可以有效地防止数值振荡。 数值结果表明了该方法的可行性。 2 、根据一维情况下h 觚l i l t o n - j a c o b i 方程与双曲型守恒律方程的等价性( 粘性 解与熵解等价) ，通过积分变换，将上述关于h 锄i l t o n - j a c o b i 方程的格式运用到双 曲型守恒律方程的数值求解。由于双曲型守恒律的h 锄i l t o i “a c o b i 方程解是 l i p s c 连续的，因此避免了直接将小波方法应用于强间断逼近，有效地消除了 q b b s 现象。数值结果表明该方法是有效的。 3 、对双曲型守恒律方程组，构造了一类自适应多分辨格式。其主要思想是以 数值解的多分辨信息作为分析手段，在规则的嵌套网格范围内进行选择，使得计 算网格根据数值解的情况发生变动，再结合现有的高精度有限体积格式( 如t v d 、 e n o 等) 进行求解。一方面，有限体积方法天然守恒，通过局部迭代后的边界通 量修正，可保证算法整体守恒，数值解将收敛到弱解；另一方面，由于小波系数 的大小可反映局部数值解的光滑程度，所以计算网格会自动地集中到奇异区域， 通过对滤波阈值的调整，可控制整体网格的疏密。数值实验表明，虽然该方法损 失了部分精度，但在提高算法效率方面显示出优良的性能，有望成为移动网格的 有效替代。 4 、鉴于现有小波配点法大多采用显式的多步时间离散，本文讨论了对流扩散 方程的半隐式小波配点法。空间导数采用d a u b e c l l i e s 小波自相关函数离散，保持 第i 页 国防科学技术大学研究生院博七学位论文 了小波逼近的高精度性和对奇异的高分辨性；时间方向则根据c 豫l 1 k n i c o l s 0 n 格式 进行展开，c 捌【l l 【- n i c o l s o n 格式是所有两点差分格式中精度最高的一种，具有既简 单又高效的优点。由于小波函数的局部紧支撑性质，方程离散所得的代数系统是 带状稀疏的。然后，运用v o nn e u m 锄n 方法对格式的稳定性进行了分析，证明格 式对于本文所选用的d a u b e c l l i e s 小波自相关函数族是绝对稳定的。 关键词：小波分析，双曲型方程，多分辨，自适应方法，小波g a i e 水i n 方法，配 点法 第i i 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 a b s t r a c t t h er a p i dd e v e l o p m e n to fs c i e n 缸l dt e c l l n o l o g yb r i l 唱si n c r e 嬲i n gi n t e r e s ti n m l m e r i c a lc 唧u t a t i o n a s 也em 姆l i t u d eo fp r o b l e i 璐s t l j d i e di i lf l u i d 由啪i i l i c s b e c o m 终 l a r g e r ，t l l e m i sa nu 玛咖r e q l l i r e m e mi n p r a c t i c e 廿1 a tc o m 删i o n a l m a t h 删c ss b o u l dp r o v i d e c u r a ：t c ，e 伍c i e n ta n de 嬲y - 憾em j i 孙；r i c a lt 0 0 l st 0s i i i m l a t e 觚d 缸a l y t l l ef l o w - f i e l d s ni s 、e l lk i 姗也a tt _ h ee x a c ts o l l l t i o nt os u c he q u a l i o n s m a yd e v e l o ps i i l g u l 耐t i e si i l 筋d y1 0 c a l i z e dr e g i o 璐，s u c h 嬲s h o c k s 觚db o ww a v e s ， 、) i ，! i l i c hb r i i l g se s 湖t i a ld i m c l l i t i e st 0c l 嬲s i c a lm 劬e m a t i c s s 洫l u t i o nc l l a n g e s 础l yn e 缸s 洫则a r i t i e s ，i ti sn o 蕾删c a lt 0l l s er e g l l l a rm e s h e s 觚dl i i l e a rp d es o l v 既 r 删y ，w a v e l e t ，邪ap 0 砌la d a p t i v et 0 0 l ，甜鞠c t sm u c ha t t e 殂t i o no fr e s e a r c i l e i si i i c o m l ) u t 撕。删f l u i dd y m i i l i c s ha d i d i t i t 0 印p i y i n g 诚d e i yt 0e n g 讥硎n g 骶鄢吼l c h 鹬s i 孕l a lp i o c e s s i n g ，i tb l e c o m e s 伊a d l m u y 觚a l t e ! m a t i v en 岫e r i c a lm e t l l o df o rm e s 0 l u t i o no f 叫i a ld i f r 勰砸a le q u a t i o 憋晰血av i e wt 0d i s c o n 缅疵i e ss i m u l a t i 0 玛n l i s 球l p 盱c 0 璐i d e 岱w a y e l e tm e m o d s 内rb ，p e f b o l i ce q u a t i o 璐，e s p e c i a l l yh y p e r b o l i c c 0 i l s e n ，a l i o nl a 、椭i t so b j e c t i v 鹳a 铆o f o l d t h ef i r s ti st 0d i s c u s sh o ww a v e l e tc a nb e u s e dt 0s i 埘i _ l l l a ：t ed i s c 0 硼舢托e s ，t h es e c o n di st od i s c 璐sh o ww a v e 衄锄a l y s i sc 跹b c 劬砌u c e dt 0i m p v ec o m l ，u 1 蜥伽l a le m c i e n c y0 f 妇d i t i 伽脚m e m o d s o m 疵nw i d 出 i i l c l u d e s ： 1 b y 郴i i 培d a u l ) e c l l i e s a l i l l gf i | i l c t i o 璐弱w e i g h t 锄dt e s tm n c t i o 璐o fg a l e r k i n m e t h o d ，w ec a 删；l r u 脱锄da i 】a l y z e 细od 嬲s c so fw a v d e tg a l e r k i ns c h 锄e sf 打 h 删l t o n _ j a c o b ie q 啪t i o 璐d u et 0 也e1 0 c a l i z a t i o no fw a v e l e ti nt i i i l e 觚d 自e q u 觚c y ，t h e 北w k 舸啜c a n 坨s 嘶nm 蚰e r i c a lo s c i l l a t i o i l se m 朗n y 锄da 陀觚t a b l ef 0 rp r o b l e n 蛤 砸ms 酬a r i t i e s i t s 危a s i b i l 毋i sp v e db yn 眦e r i c a lr e s m t s 2 b 撇d 衄t l l ee 叫v a l e n t 心l a t i o nb e 帆e 钮h a 嘶l t o n - j a c o b ie q u 撕。璐锄d h y p e f b o l i cc 0 璐e r v a t i o nl a w sf 0 rn ：屺。船- d i i l l e n s i o i l a lc a t h ev i s c 0 s i 够s o l u t i o 那 a r ee q l l i v a l 锄tt ot h e 蜘咖s o l u t i o i l s ，w ea d o m f i i 瓯l yt l l ei n ：t e g r a lt r a 璐f o m l a t i o n t h a th y p e f b o l i cc o n s e n ，a t i o nl a w sa t r a 哪f 0 咖e di n t 0m e i rc 0 m i t e r p a r t s 跚l dt 晒lu w 乏i v c l e t ( 谢e r l 【i i l 删冀h o d s 吐埘d e s i 印e d 矗叫h a n l i l t o n - j a c _ 0 b ie 删i o i l st 0 l v e 岫n s i i l c e l u t i o i l so f 恤m d e r l y 吨h a l i l t o n j a c o b i 唧斑i o 撇o fl i p s c m t zc o n t i n l l i 锄 l i sa p p r o a c ha v o i d sa p p l 妯呜w w e l e td i r o c t l yt 0a p p r o x i i ：t e 咖i l gd i s c o m 洒埘e s 觚dt l l ew e l l k n o w ng i b b sp h e n 0 i i 抡眦a 陀e l i i l l i l l 删n u i n e r i c a l 陀s u l t ss h o w l a tt h e n e wm e t h o d sa i ee 胝t i v e 第i i i 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 3 ac l 弱so fa d a 讲i v em l l l t i r c s o l u t i o ns c h e m e sa r ec o l l s t m c t e df o rt i i es y s t e m so f l 卵e f b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s 1 1 圮r o u g l li d e ai st 0u s eal l i e r a r c h yo ff i x e dn e s t e d 面d s a td i 疏r e i l tr e s 0 i u t i o i l u 桩c ho 侬鹏n 豫p o s s i b i l 毋o fl o c a l l ys e l e c t i n g 龃a p p r o p r i a t e l e v e lo fd i s c 嘶z a t i o n b yc h 0 0 s i r 培觚位出l en l r e s h o l d ，地c o m p u t a t i o n a l 咖d s 讲l l c o n c e n 仃a ：t ea u t o m a t i c a l l yi i lr e 西o l l sw h c r es h 0 n g 目a d i 伽峪o fn u i n e r i c a ls o l u t i o i l sa r e o b s e r v e d t h e i l ，l ed i 日衙e n t i a le q u a t i o 璐a r e l v e db yh i 曲- r e s o h l t i o n i t ev o l u i n e s c h e m e s ( f o r 蝴n p l e ，t v da i l de n o ，e t c ) o nt 1 1 c s ea d a p t i v e 鲥d s s i n c e 丘1 1 i t ev o l 啪e m e t l 砌i si i l t l e r e n t l yc o m ；e n r a t i v e ，t l l et o t a lm 嬲sc o m 潮r v a t i o nc 觚o b t a i n e db y i i l 仃o d u c 证gal o c a ln u xc o r r c c t i o na t 鲥di i l t e r f a c e t h e r e f o r e ，t l l en 哪e r i c a ls o l u t i o i l s c a nc o n 、，e r g et 0m ew e a l 【s o l u t i o no ft 1 1 em 蛐i n gh ) ，p e r b o l i cs y s t e m o nt 1 1 eo t h e r h a n d ，s i n c em ew a v e l e tc o e f f i c i e n t sc a nr e n e c tl o c a l 跚o o i t h n e s so fm en u m 谢c a l s o l u t i o i l ，廿l e 鲥d s 、) l ，i ua d a p td y 彻m i c d l y 锄dt o t a ls p a r s 蚵c 觚b ec o n 仰l e db y m 雄面t u d eo fm e1 6 l i c e l 叵n gt l l r c s h o l d n 眦e r i c a le ) 【p e r i i i l e n ：t si n d i c a t e 也a t d e s p “es o m e l o s so fa c c u r a c y ，o l l ra p p r 0 hi se x c e l l e l l ta ti m p r o v ee m c i e n c y 锄dc a l lb ev i e w e d 硒a g o o ds d b s t i t u l t i o no ft 1 1 em o v i i 唱i n e s hm e t h o d 4 c o i 坞i d i ：r i i 玛m ef - a mt l l a tm a l l ye x i s t i n gw a 、，e l e tc o l l o c a t i o nm e t l l o d sa 他u s i i 唱 e x p l i c i tm u l t i s a g et e m p o f 蛆d i s c r e t i 翻i o i l ，w ed i s c u s ss 删- i m p l i c “w a v e l e tc o l l o c a t i o n m 础o df o rc o n v e c t i o nd i 觚s i o ne q _ 吼t i o 眠t 0p r e s e n ，e st l l el l i g l l - a c c u r yo fw 乏l v e l e t 印p r o x i i i 】嘶o na i l dh i g h 托l u t i o nt 0s i i l g u l a r i t i e s ，s p a l i a ld c r i v a t i v e sa r ed i s c r e t i z e db y 也ea l l t l 掀 r e l 撕o n 缸l c ；t i o 璐0 fd a l i b e c t l i e sw a m l e t ；w 量l i l e 坨c r a n k - n i c o l s o n 脒曲o d i s 烈1 0 p t e dt 0d e a l 、析廿l 圮t c m p o r a ld i s c r e t i z a t i o n a m o n ga l lt 、0 p o i md i f r e r e n c e s c h 锄e s ，c m i l k 制i c o l ns d h e i n ci st 1 1 eo 舱w t l i c hh 鹪t h el l i g l l e s to r d e r f u r m e m 删- e ，i t b e a 璐m 锄ya d v 锄仨唱e o 璐p r o p e r t i e s ，叭c h 蠲s i m p l ea n de 伍c i e n t d u et 0 t l l e l o c a l i 刎o no fw a v e l e tf b c t i o n s ，t 1 1 ea l g e b m i cs ”瞳e ma r i s i l l gf | r o mt h ec o l l o c a t i o n h 锄ei sb 觚d 觚ds p 雒m 撕x f i i l a l l y 、eu 、，r o nn e u i n a m l m e t h o dt o 觚a l y 辩锄d p r o v em a t 1 e 鲥翮n ei sa b s o l u _ t e l y s t a b l ef o r 恤e咖玎c l a t i o n 如n c t i o 璐o f d 鲫i b e c k e sw a v e l c tt h a tu s e di i i “sp a p e r k e ”旧r d ：w a v e l e ta n a i y s i s ，h y p e 巾o l i ce q u a t o n ，m u m r e s o i u t i o n ，a d a p t i v e m e t h o d ，w a v e i e t g a i e 嘣nm e t h o c i 。c o 0 c a t i o nm e t h o c i 第i v 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 表目录 表2 1c w g s 格式计算线性h j 方程的误差2 3 表4 1b u r g e r s 方程光滑初值问题( 4 17 ) 的网格压缩比5 0 表4 2b u r g e 瑙方程间断初值问题( 4 1 8 ) 的网格压缩比5 2 表4 3s 0 d 激波管闯题的网格压缩比5 5 表4 4b u r g e r s 方程( 4 3 7 ) 的网格压缩比6 6 表4 52 dm e m a n n 问题的压缩比6 9 表5 1 d n 小波自相关函数为测试函数时g x p ) 的实际最大值和最小值7 9 表5 2 算例l 的数值解与精确解比较8 1 第1 l i 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 图目录 图1 1直接利用带滤波处理的小波g a l e 妇法求解一维线性对流方程的间断初值 问题，f = 0 2 7 图2 1d a u b c c l l i e s 小波的尺度函数图像1 6 图2 2 具有凸h 锄i l t o n 函数的h - j 方程初值问题，d 6 小波的计算结果2 4 图2 3具有非凸h 锄i l t o n 函数的h - j 方程初值问题，d 6 小波的计算结果2 4 图2 4具有凸h 锄i l t o n 函数的h - j 方程初值问题， d 4 小波的计算结果2 9 图2 5具有凸h 锄i l t o n 函数的h - j 方程初值问题，d 6 小波的计算结果2 9 图2 6 具有非凸h 锄i l t o n 函数的h j 方程初值问题，d 4 小波的计算结果3 0 图2 7 具有非凸h 锄i l t o n 函数的h j 方程初值问题，d 6 小波的计算结果3 0 图2 8 取旯= o 3 8 时，算例2 的d 6 小波计算结果，f = 2 万2 3 1 图3 1 对流方程的c w g s 格式计算结果，占= 1 3 e 3 。4 0 图3 2对流方程的t v d w g s 格式计算结果4 l 图3 3b u r g e f s 方程的c w g s 格式计算结果，g _ 2 5 e 3 4 1 图3 4b u r g e r s 方程的t v d w g s 格式计算结果。4 2 图4 1b u r g e r s 方程光滑初值问题( 4 1 7 ) 的计算结果，= o 1 5 0 图4 2b u r g e r s 方程光滑初值问题( 4 1 7 ) 的计算结果，= o 3 5 0 图4 3b u 培e r s 方程光滑初值问题( 4 1 7 ) 的计算结果，f = 0 8 5 l 图4 4 b u r g e r s 方程的间断初值( 4 1 8 ) 5 1 图4 5b u r g e 瑙方程间断初值闯题( 4 1 8 ) 的计算结果，f = o 4 5 2 图4 6s o d 激波管问题的计算结果，o = 1 6 0 ，三= 3 ，= 1 刀。5 4 图4 7s 0 d 激波管问题的计算结果，0 = 2 0 ，三= 6 ，= 1 厨一5 5 图4 82 d 波动方程光滑初值问题( 4 3 5 ) 的计算结果，f = 1 o 6 4 图4 92 d 波动方程间断初值问题“3 6 ) 的计算结果，= o 6 6 5 图4 1 02 db l l r g c 瑙方程光滑初值问题( 4 3 8 ) 的计算结果，f = o 5 6 6 图4 1 12 db u 增e r s 方程间断初值问题( 4 3 9 ) 的计算结果，f = o 6 7 图4 1 22 db u r g e 塔方程间断初值问题( 4 3 9 ) 的计算结果，f = o 5 6 7 图4 1 32 db u 玛e 璐方程间断初值问题( 4 3 9 ) 的计算结果，= 2 0 6 8 图4 1 42 d 慰e m a i l n 问题结构4 ( 4 4 1 ) 的计算结果，= o 1 6 9 图4 1 52 d 硒锄跚问题结构4 ( 4 4 1 ) 的计算结果，= 0 。2 5 7 0 第1 v 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 图4 1 72 d 础锄捌m 问题结构6 ( 4 4 2 ) 的计算结果，f = o 3 7 1 图4 1 82 dm e m 釉问题结构7 ( 4 4 3 ) 的计算结果，= 0 2 5 7 1 图5 1d 8 小波尺度函数及其自相关函数7 6 图5 2 函数g x ( f ) 的图像7 9 图5 3 线性对流扩散方程的计算结果。8 2 图5 4r e = 1 0 0 时b u 骅r s 方程的计算结果8 3 图5 5 i 沁= 1 0 0 0 时b u r g e r s 方程的计算结果8 3 第v 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：巡 日期：；7 年，口月宇日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权国 防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允 许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目： 拯堂型左焦熬焦篮鲍尘这左洼盈壅 学位论文作者签名：枣丝 作者指导教师签名：签笙垫l 孙 作者指导教师签名：壁塑生三汪叛如， 一，l- 。l 日期：乃口7 年，口月8 日 日期： 二口d 7 年，月分日 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 第一章绪论 在这一章中，我们将阐述小波和多分辨分析的发展过程、双曲型方程数值解 的基本理论以及小波在双曲型方程数值解中的应用情况，并简要介绍本文的主要 结果。1 1 节介绍小波分析的发展历史、定义和多分辨分析的基本理论；1 2 节介绍求解双曲型方程的高分辨率格式；1 3 节介绍双曲型方程小波方法研究的 发展过程、现状和一些有关的结果；1 4 节给出本文研究的主要问题和结论。 1 1 小波的发展和定义 小波分析是在调和分析的基础上发展起来的一种新兴的数学方法，它既保留 了传统f o u 赫分析的优点，又弥补了其无法进行局部分析的不足，因此在理论分 析及实际应用中得到蓬勃发展。 小波的发展历史最早可追溯到1 9 1 0 年，当时h a r r 函数系在工程界广泛使用， 但由于不光滑，所以在理论上没有受到重视和发展。直到1 9 8 0 年，法国地球物理 学家m o d e t 在分析地震资料时首次引入了小波变换，这个变换中的参数随频率的 高低不同而变化，可以用来进行时频局部分析，在地质数据处理中取得了巨大的 成功。为了给自己提出的小波变换找到精确的理论依据，m o r 奴与本国的理论物 理学家舶s s m 阻共同研究，最终建立了完整的连续小波变换的几何体系【l 】【2 】【3 】【4 】。 在小波基方面，1 9 8 5 年，法国数学家m e y e r 证明了一维小波基的存在性，并成功 地构造出具有一定衰减性质的光滑正交小波基。次年，l e m a r i e 和b 砌e 构造出具 有指数衰减的小波函数。 从上个世纪八十年代中期开始，国际上掀起了研究小波分析的热潮。m a l l 砒s 与m e y 盯y 合作，将计算机视觉领域的多尺度分析的思想引入到小波分析中，巧妙 地构造了小波的多分辨分析( m u l t l u t i o n 加l a l y s i s ，简称m r a ) 理论p j ，统一 了前人所提出的各类正交小波构造方法，提出m a l l a t 塔式算法。多分辨分析的基 本思想是，把信号投影到一组相互正交的小波函数构成的子空间上，形成信号在 不同分辨率下的展开，从而提取出信号在不同频带内的特征，同时保留信号在各 分辨层上的时域特征。从逼近的角度来讲，如果把尺度理解为镜头的话，那么当 分辨率由高向低变化时，就相当于将镜头由远及近接近目标，这就实现了对目标 ( 逼近函数) 由粗到精的观察过程。1 9 8 8 年，比利时的年轻女数学家i d a u b e c l l i 骼 首次构造出具有紧支集的正交小波基( d 卸b o c l l i 懿小波基) ，并给出一套完整地构 造理论【6 】。因为具有优良的紧支撑和正交性质，所以d 绷b e c l l i 髓小波在数值分析 中得到广泛应用，d 踟b e c h i e s 的专著 1 hl e c t u r e s0 nw a v e l e t s 【1 7 】也被公认为是小 第l 页 国防科学技术大学研究生院博+ 学位论文 波分析的纲领性文献。1 9 9 2 年，c o h e n 、d a u b e c l l i e s 和f e a u v e a u 构造出了一族紧 支撑的双正交小波。此后，崔锦泰、王建忠及m e y e r 又进一步充实了小波分析理 论。至此，一个比较系统的小波分析理论形成了。 此后又有不少人对小波理论进行了完善和扩充，特别需要提到的是g e r o n i i i lj 等人的工作，他们于1 9 9 4 年基于r 元的多分辨分析，建立了多小波的基本理论框 架，并给出了多小波的例子【8 】。因为多小波同时具有实的对称性、正交性、紧支性 和高消失矩等特性，对多小波的研究立即成为小波研究的热点之一。到了1 9 9 7 年， s w e l d e 璐利用提升格式研究了在时域内构造小波的问题，得到基于提升格式小波 的信号分解与重构的算法，有人称之为第二代小波或整数小波交换1 9 】。这类小波的 特点是直接在时域内完成构造，使用起来更加灵活简单，同时也保留了第一代小 波多分辨率的特性。 一般来说，小波的定义有如下几种： 定义1 1 ( 小波定义l ，g r o s s n m m o d e t ) ：函数缈( 工) r ( 足) 称为小波，如果它的 f o 嘶e r 变换汐( 万) 满足 f o 畔：1 ( 纰) 。 d ， 定义1 2 ( 小波定义2 ，l i t t l e w 0 0 d p 砸e y - s t e i n ) ：函数y ( 工) p ( 尺) 称为小波，如果 它的f 删e r 变换痧( 万) 满足 l ( 2 。万) 1 2 = 1 o 名) 。 ( 1 2 ) = 1 定义1 3 ( 小波定义3 ，s 臼o m b e r g - 刚i n ) ：函数y ( x ) r ( r ) 称为小波，如果 2 胪y ( 2 ，x 一七) ( 工七z ) 为r ( j f c ) 的规范正交基。 证明小波存在的最简单的途径是多分辨分析，通过尺度函数来给出小波的构 造，同时各种小波算法也和多分辨分析密不可分。多分辨分析的特点显著，一般 来说，r ( j j c ) 空间中的正交函数系都不能由单个函数生成，但小波分析中的多分辨 分析基本空间却是由一个称之为尺度函数的缈( x ) 经过时间域上平移与伸缩而生 成。下面给出多分辨分析和尺度函数的概念。 定义1 4 ( 多分辨分析定义) 如果空间r ( r ) 中一列闭子空间 巧 膨满足： 第2 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 l 、一致单调性 2 、渐进完全性 3 、伸缩规则性 4 、平移不变性 ce ic c 巧c n 巧= o ) ，u 巧= r ( 足) j e zj e z ( 功巧厂( 2 x ) 巧+ l ，w z 似) _ 营m + 多) 巧，v 七z ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 5 、础e s z 基存在性：存在烈x ) ，使得 缈o 一七) 七e z 是的一组m e 髭基。 那么我们就称空间列 巧 脚是由烈x ) 定义的一组多分辨分析( 眦) ，其中伊( 力称 为该多分辨分析的尺度函数。 定义函数缈( x ) 的伸缩和平移为 乃乒( 工) = 2 2 纵2 7 x 一七) ， ( 1 7 ) 则有 巧= 印册 纺j ( 功) 七e z ，z 多分辨分析可实现对目标( 逼近函数) 由粗到精的观察过程。如果把巧看作 在尺度歹下所观察到的信息，那么当尺度增加到+ 1 时，观察到的信息就为巧+ 。 由于巧互。，所以巧+ 所包含的信息明显比巧丰富，也就是说尺度越大，距离目 标越近，观察到的信息就越多。 如果对目标的局部细节比较感兴趣的话，那么就需要研究巧的补空间1 0 1 。假 设沙( z ) 是与认力对应的小波函数，空间由y ( x ) 的伸缩和平移产生，即 = 面而i 丽i = 嬲 2 胪( 2 7 工一七) k ，z 则是匕在圪“中的补空间，即 _ 2 巧。，是= r ( 足) 第3 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 这样，小波分析和多分辨分析就联系起来了。在此基础上可以给出更为精确 的小波定义。如 定义1 5 ( 小波的定义4 ，m e y e ry ) ：设所z 是一个整数，如果一个实变量的函 数缈( x ) 满足以下四个性质，则称它为一个肌类小波( 基) ： l 、若朋= o ，那么y ( 砷r ( 只) ；若册l ，则( z ) 及它的直到历阶导数都属 于r ( 欠) 。 2 、y ( x ) 及它的直到历阶导数在无穷远处都是速降的。( 正则性、局部性) 3 、对o 七肌，有r 二妥y ( x 逑= o 。( 消失矩条件) 4 、函数2 7 2 ( 2 x 一七) ( 歹z ，七z ) 的集合构成p ( r ) 的一组正交基。 概括地说，小波y ( x ) 是2 ( 足) 中的一个函数，就小波变换而言，它必须满足一 定的条件，保证积分小波变换及其反演能够顺利进行；就小波基而言，则必须满 足进一步的条件，使其通过伸缩和平移而产生的函数族成为某种基，如半正交基、 正交基等。 小波函数在空间域( 时域) 和频域都具有很好的局部性，是处理带奇异性和 瞬时突变性问题的理想选择，除了在信号分析领域得到广泛应用之外，它正逐渐 成为求解偏微分方程的新兴工具。 1 2 双曲型方程高分辨率方法简介 双曲型方程支配着自然界中许许多多的物理现象，如气体动力学、流体动力 学、燃烧和浅水流等。这些物理现象对应的物理问题往往出现解的性质相对恶劣 的情况，方程在求解区域的局部变化相当剧烈，解发展为奇异或接近奇异，像激 波、边界层、爆轰波和涡流等。为了刻画这一特征，近几十年来，数值分析领域 的专家和研究工作者们相继提出了一系列能精确逼近相关物理解的高分辨率激波 捕捉格式。所谓“高分辨率 ，意指数值解图形的锐利和逼真，表明数值方法的数 值耗散微弱而适中。下面简单介绍其中比较具有代表性的t v d 、e n o 和w e n o 等格式。 1 9 8 3 年h a n 肌对双曲型守恒律方程提出了t v d ( t 0 t a lv a | r i a t i o nd i i i l i i l i s h i n g ) 的概念【l ，并证明了计算格式具有t v d 性质的充分条件。他通过修正通量，具体 构造了一类高分辨率的t v d 格式，并成功地将这类格式应用于激波的捕捉计算。 第4 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 之后，在h a 翩研究的基础上，相继产生了一系列具有高精度、高分辨率的t v d 格式，并被广泛应用于双曲方程的数值求解1 1 2 】。但是，由于t v d 格式在计算过程 中必须满足一定的单调性，所以不管光滑区域精度有多高，在间断处都降为一阶。 并且，格式中人工粘性的添加存在经验性，如果所加粘性太小，可能算出违反熵 条件的非物理解；所加粘性太大，又可能失去其高分辨率的特点。因此，这种格 式对激波分辨率很高，而对稀疏波的效果却不是很好。在激波与稀疏波同时存在 的复杂区域，则可能算出非物理解，或者是将间断抹平的光滑解。 后来，等人【1 3 j ( 1 9 8 7 年) 和s h u 等人【1 4 】( 1 9 8 9 年) 又进一步提出了高 阶基本无振荡的e n o ( e s s e n t i a l l yn o n o s c i l l 砷a 巧) 格式，它采用与所求解问题相 关的自适应模板进行插值，放宽了对t v d 条件的一些限制，克服了t v d 格式在 极值点处降阶的不足。其特点是守恒、基本t v d ，且具有一致的高阶精度。e n o 格式1 1 5 】具有在间断区域分辨率高，在光滑区域计算精度高等优点，但也存在一定 的不足之处，如解及其导数在零点附近产生的舍入误差可能会改变模板的选择； 由于在相邻点处插值模板的改变，导致数值流通量不光滑；在光滑区域由于其格 式对部分模板( 基点) 的舍弃导致了对模板利用效率的低下，相应的计算效率较 低；另外，对于只含有一个间断的问题，使用任意阶e n o 插值的数值结果都基本 无振荡，但当问题中包含两个以上的间断时，若两个间断之间的节点数小于e n o 插值所需要的节点数，则必有振荡。 1 9 9 4 年l i u 和o s h e r 等人在e n o 格式构造思想的基础上提出加权的e n o 格 式( w e n o ，w r e i 呈舢e de s 鲫1 t i a l l yn o n o i l l a t o 珂) 【1 6 1 ，后来s h u 等人1 1 7 】对其又做 了一定的补充和完善。目前应用广泛的w e n o 格式分为“单元平均型( c e l l a v a g e d v e 岱i ) 一和“通量型( n l l 】【v e 岱i o n ) 一两种。w e n o 格式通过引入变化的加权因 子，使格式在光滑区域的截断误差阶数有了进一步的提高，而在间断附近仍然保 持与e n o 格式相同的良好分辨率。删o 格式是目前最为精细的计算格式之一， 具有较好的稳定性，特别适合计算包含各类间断和多种复杂流动的流场，但是这 类格式( 包括e n o 格式) 计算过程复杂，计算量庞大，阶数越高越复杂，因此在 向高维和实际问题推广时存在一定困难。 本文中，我们将尝试着将e n o 格式与基于多分辨分析的网格自适应方法结合 起来，以提高计算效率。 1 3 小波分析在双曲型方程数值解中的应用概述 小波分析自问世以来，受到广大学者的关注，对其理论研究和应用研究异常 活跃，研究成果层出不穷。目前，小波分析已经成功地应用于信号分析、图像处 理、模式识别、故障诊断等多个领域。 第5 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 小波在数值计算中的应用比在信号处理方面的应用稍晚。1 9 9 1 年左右，美国 触公司的几位研究人员，以及美国科罗拉多州( c o i 莉o ) 州立大学应用数学 系的学者b e y u 【i l lg i l s 】【1 9 】等最早开展小波用于数值计算的研究，分别以会议论文、 军方a d 报告以及正式期刊的形式体现，计算中均采用了d a u b e c l l i e s 小波。随后 法国数学研究所的j 删s 【2 0 】论证了小波求解偏微分方程的优越性，并构造了椭 圆型方程的周期小波解法。德国i g p m 所的d a l 】m e nw 等1 2 l 】以及美国印第安那州 大学的c h e nm 等瞄l 开展了相关的研究。早期的这些研究文献产生了巨大的影响， 并极大地推动了小波在数值计算中的应用。 目前，小波分析已经在椭圆型方程数值求解领域取得重大成功f 2 3 】晔】【2 5 】，其中 最具代表性的就是多重网格方法【2 6 】【2 7 1 ，而双曲型问题方面的工作却不多见，这主 要由于双曲型方程解的性质比较复杂，并且随着时间变化。然而，从方程的性态 上看，双曲型方程的解在大部分区域光滑，局部存在奇异，这类函数在小波空间 下存在稀疏表示，可方便地构造自适应算法，因此小波是高效求解双曲型方程的 潜在工具。下面简要地介绍一下双曲型方程小波方法的一些发展。 1 3 1小波g a i e 水j n 法 小波僦e r l 【i i l 法本质上是一种投影法，即直接将方程变换到小波空间下，以 小波函数作为传统( 斌e r l 血方法的试函数和权函数进行求解。因为求解过程是在 小波空间而非物理空间中完成的，所以解出小波系数之后还必须变换回来。这固 然会增加一些计算量，但通常不会太大，因为如果将小波变换看成是两个向量的 卷积的话，那么上述变换可以通过f f t 来完成。 1 9 9 4 年，x 七v i na 等人【2 3 j 提出了一维h e l l l l l l o k 方程的小波g a l e r i 【i j l 法，他们 首先假设问题是周期性的，然后利用周期陆e n 函数处理一般的d i r i c i l l e t 边界条 件，因为d e n a 函数在小波空间中的有限支撑性质，所以必须对边界源项进行平移， 以免引起过大的误差。文中对小波解和有限差分解进行比