（机械设计及理论专业论文）新型电磁吸盘的研究与设计.pdf

硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 y 5 8 0 0 5 4 摘要 本文设计了一种新型电磁吸盘，其主要特点是，吸力方向可以改变、有 很高的安匝数，并且在允许的温升下可获得较大的吸力。 论文从磁路和磁场两个方面分别对电磁吸盘进行分析计算。磁路计算方 法用于电磁铁初始计算。采用有限元的方法对电磁铁的磁场进行了分析，并 利用a n s y s 软件进行了模拟磁场的计算，获得了磁场的分布。然后根据磁 路和磁场两个方面的计算结果，采用外点惩罚法对电磁铁进行了优化设计。 本文还对电磁吸盘的电源进行了研究，设计了一种新型电源装置。此装 置基于单片机的管理，实现了智能化控制，并具有过载保护功能。 关键词：磁路磁场有限元优化设计电源装置 硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 a b s t r a c t an e w t y p e o f m a g n e c h u c k i s d e s i g n e d i n t h i s p a p e r t h e m a i n c h a r a c t e r i s t i c so ft h en e wt y p eo fm a g n e c h u c ka r et h a tt h ed i r e c t i o no ft h e s u c t i o nc a l ls h i f tw i t ht h em a g n e t i cl e a d i n gb o a r d ，t h em a g n e c h u c kh a sag r e a t a m o u n to f a m p e r e - - t u r na n du n d e rt h ep e r m i t t e dt e m p e r a t u r e ，t h es u c t i o no ft h e m a g n e c h u c k c a nr e a c ht h em a x i m u m t h em a g n e c h u c ki s a n a l y z e db yt h em a g n e t i cc i r c u i tc a l c u l a t i o na n dt h e m a g n e t i c f i e l dc a l c u l a t i o n t h e m a g n e t i c f i e l di s a n a l y z e d w i t ht h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o d t h es i m u l a t e dm a g n e t i cf i e l di sc a l c u l a t e dw i t ht h es o f t w a r eo f a n s y sa n dt h ed i s t r i b u t i o no ft h e m a g n e t i cf i e l d i s g a i n e d b a s e do nt h e c a l c u l a t i o nr e s u l t so ft h em a g n e t i cc i r c u i ta n d m a g n e t i cf i e l d ，t h ee l e c t r o m a g n e t i so p t i m i z e dw i t ht h ep u n i s hf u n c t i o nm e t h o d t h em a g n e c h u c k sp o w e rd e v i c ei sa l s os t u d i e di nt h ep a p e r an e w t y p eo f p o w e rd e v i c ei sg i v e n t h i sn e w t y p eo fm a g n e c h u c kp o w e rd e v i c ei sc o n t r o l l e d i n t e l l e c t i v e l yb y s i n g l e - - c h i pm i c r o c o m p u t e r t h ep o w e rd e v i c ec a na l s o p r o t e c ti t s e l fw h e no v e r l o a d e d k e y w o r d ：e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ，e l e c t r o m a g n e t i c c i r c u i t ， f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ， o p t i m i z e ，p o w e r d e v i c e 2 硕士学位论文 新型电磁吸盘的研究与设计 1 绪论 电磁吸盘是一种电磁夹具，它通过电磁线圈通电后吸盘体产生的吸力来 固定被加工工件。电磁吸盘由铁芯、线圈、面板和支架等几部分构成。其中 由线圈与铁芯共同组成的电磁铁是电磁吸盘的主要部分。电磁吸盘因设计方 法或使用材料的差别而不同，也在不断的发展和改进。电磁吸盘最初是在磨 床上代替用夹板和螺栓来固定被磨削的工件，这样的电磁吸盘比较简单，只 能固定平板式的工件【l 。这就是传统的电磁吸盘，它的应用有很大的局限性。 随着工业的发展，企业对电磁工具的需求越来越大，提出的要求也越来越高， 促使人们要对电磁吸盘作一系列的改进，使之能够满足生产的需要。本论文 所阐述的电磁吸盘就是在传统电磁吸盘结构形式基础上给予一些改进，使它 可以适应于更多的场合，并且可以结合计算机控制，使电磁吸盘将来可以用 于无人控制场合以及流水线的自动作业。 1 1 传统的电磁吸盘 1 1 1 工作原理 传统电磁吸盘的结构如图1 1 1 所示，它是利用通电后的线圈所产生的 磁力线通过工件而吸紧。图中1 是基体，在铁芯2 上绕有线圈6 ，3 是磁极板， 其上镶有隔磁体5 ，使与各磁芯部分4 隔开，因而当线圈通电后，磁力线集 中通过工件而吸紧，不致于直接经过磁极板而回到基体，以免减弱吸力。 5 4 1 1 1 电磁吸盘结构图 硕+ 学位论文 新型电磁吸盘的研究与设计 1 1 2 结构型式 磁芯的截面形状及其分布情况根据工件的不同而不同。常见的电磁吸盘 结构型式有矩形、圆盘形的等。矩形磁极又分为纵向和横向排列两种情况。 矩形磁极纵向排列，适用于固定较大的加工工件：矩形磁极横向排列，适用 于固定加工较小的加工工件。圆形磁盘适于固定圆环型工件或形状较复杂的 工件。 传统电磁吸盘的主要特点是：磁力线均布在磁盘表面、电磁吸力不能集 中、单位面积上的磁力较小；磁力作用方向垂直于磁盘表面，难以改变，对 同一吸合面积的工件只能产生一种磁力；磁力对于工件的作用点只限于工件 与磁盘的接触表面上，不能随意变换。因此，在加工时存在定位精度不高， 夹紧力不大。使用范围较窄，生产效率较低等缺点 1 2 新型电磁吸盘的功能要求 新型电磁吸盘的工作原理是建立在导磁定位，漏磁定位及气隙导磁定位 的基础上。 导磁定位是通过导磁元件传递磁力，使作用力的三个要素可以人为控 制。 漏磁定位是利用进磁截面积大于有效过磁截面积所形成的大量漏磁，依 靠从漏磁胎具穿透出来的磁力线经过工件而将工件吸在胎具上。 气隙导磁定位是由于激磁线圈有很大的安匝数具有强大的磁势，因此在 使用导磁元件时，如果在磁路中形成气隙，气隙较小，尽管此时气隙的磁组 很大，仍然可以在气隙中保持很高的磁感应强度而将工件吸牢。 相对传统吸盘，新型电磁吸盘须在诸多方面进行改进，以克服新型电磁 吸盘可以改变传统电磁吸盘的缺点，具备下列显著的特点： ( 1 ) 吸力的大小、方向及作用点可以人为控制和调节； ( 2 ) 具有强大的磁源和很高的安匝数； ( 3 ) 、s 极在一个磁盘上只有一对，而且是固定不变的。 新型电磁吸盘具有强大的磁源和很高的安匝数，这样就可以产生很大的 吸力，但在产生很大吸力的同时存在着导线发热的问题。本论文通过一小型 新型电磁吸盘的设计来阐述如何决定结构参数，在保证吸力最大的同时使发 热量最小。 2 硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 1 3 本文的主要工作 电磁吸盘的主要部分是线圈和铁芯，即电磁铁。电磁铁设计的主要工是 电磁铁的结构和性能参数的选择和确定。 新型电磁吸盘的单个磁极结构形式如图1 3 1 所示。作为实例而具体设 计的电磁吸盘的初始吸力f 8 0 0 0 n ，磁极宽b = 1 2 0 m m 、长l = 2 5 0 m m 、高 h = 5 0 m m 、z = m = 2 5 m m ，工作电压u = 2 4 v ，电流密度- ，= 3 m m 2 。 线圈绕在磁极的凹进去的部分，工件在理论上即是电磁铁的衔铁，放置 在凹槽的上表面。线圈通电后产生磁力线，磁力线通过凹槽，凹槽与工件间 的气隙及工件形成回路，磁力线通过回路产生吸紧力，磁极把工件吸紧在盘 面。 图1 3 1 电磁吸盘单磁极模型 根据一般的工作要求1 3 1 ，取电磁吸盘的工作气隙只有o 8 m m ，假设电磁 吸盘磁极问的磁场是均匀分布的，根据麦克斯韦公式，在如此小气隙下可得 出电磁吸力的简化计算公式： f ：三笠：鲤。上 2 风s r 2 2 风s 式中 巾。一一通过工作气隙的磁通： r 一电磁铁的总磁阻： s 一一实际的吸附面积； i n 一电磁铁产生的磁势。 磁路计算是一种相对来说简化了的计算，本文先由磁路计算给出电磁吸 盘一些比较粗略的结果。在此基础之上，应用有限元方法，并用a n s y s 软 硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 件分析，由磁场计算给出电磁吸盘比较精确结果。 本课题研究的对象实际上是一电磁铁，电磁铁的参数虽然比较多，但基 本上可由几个基本的量来表示，如结构参数、工作气隙的磁通、线圈匝数、 电流电压等。因此在对电磁铁进行场域计算并对其有一定了解后，可以选取 电磁铁的几个基本变量，并加入适当的约束条件，对电磁铁进行优化设计。 本论文比较具体地阐述了电磁吸盘电磁铁的优化设计，并编制相关的软件。 由于程序设计时采取了结构化编程，程序的通用性很强，稍作修改即可用在 不同结构和边界条件的电磁铁的场域计算当中。 传统的电磁吸盘电源整流装置采用的是电刷滑动选择可调电阻阻值来 控制电路，这样极易引起电弧【”】。本文研究的新型电磁吸盘电源装置在这方 面作了很大的改进，采用单片机进行智能控制，结合光电耦合脉宽调制，可 控硅交流过零开关自动保护：无电弧火花电压极性切换；这样就不会出现电 弧现象。由软件来控制退磁电压自动递增自动衰退。新型整流装置同时采用 其它一些比较先进的方法，这些都在文中给以详细的阐述。 2 电磁吸盘的磁路 电磁吸盘的磁路计算中，若磁导计算准确，特别是气隙磁导和漏磁磁 导，以及等效条件和经验参数取得较好的话，就能取得比较准确的结果， 这在进行优化计算时便可得到较好的初值，从而极大地简化电磁吸盘的计 算 1 2 1 。 2 1 电磁吸盘磁路方程的建立 磁路是指磁力线所经过的路径。 2 1 1 电磁吸盘的磁路计算 本电磁吸盘属于较小工作气隙电磁铁的应用，若按一般的简化计算可 以忽略漏磁通，只计算铁心磁阻就可以了。但是为了比较精确的计算电磁 吸力，为电磁吸盘的优化设计作准备，以及为了和磁场计算结果的更好的比 较，还是应该考虑漏磁通在磁路计算中的影响的。由前面图1 3 1 给定的电 磁吸盘的图形可以看出它的磁路是典型的u 形，且是集中绕组。那么它的 磁路可以简化为如图2 1 1 所示。其中( a ) 是简化模型，( b ) 为等效磁路。 在( a ) 图中m 、n 为工作气隙中为工作气隙中的磁通，又叫主磁通。虚线 为磁力线经过的路径，图( b ) 中的r 为各段铁心及空气隙的磁阻。 4 55 ( a )( b ) 图2 1 1u 型电磁路含集中绕阻的磁路简化 由于本电磁吸盘的磁路计算考虑了漏磁通，而且铁心是由非线性铁磁 目目 一刨 硕士学位论文 新型电磁吸盘的研究与设计 材料构成，则在各段磁路上的漏磁通值不同，为了计算的方便，必须把磁 路分成若干段，分段进行计算，在每段上可把铁磁材料看作线性的，即漏 磁量不变平均b 不变，那么在这一段上磁通可用平均磁感应强度来计算。 实践表明，磁路分的段数越多，计算结果越准确。根据材料相同，结构的 对称，本文把磁路的左右部分，各分成三段如图2 1 1 ( a ) 所示，作等值磁路 图2 1 1 ( b ) 所示。 在给定初始吸力f ，工作气隙j 的条件下，本文根据实践经验，由结 构因数叫q ：尘鲨初步给出气隙磁通密度b 8 值5 1 。由于中d ：砍s ，则 知道磁极面积s 便知道了气隙磁通。 本文把磁路计算分为两种情况，一种是已知气隙磁通蛾求磁势i n ， 另一种情况就是已知磁势i n 求气隙磁通奴。由己知条件及分析可知，本 电磁吸盘磁路应属于第一种情况。根据磁路欧姆定律以及磁路基尔霍夫定 律，下文给出在已知气隙磁通的情况下如何求取磁势。计算从1 17 段丌始 逐步推至5 57 段，最后求出肼。 1 17 间的磁势为： 川i - = 中d ( r 。+ 2 岛) 式中巾。是已知的，而磁阻r 。和都可求得， ( 2 1 1 1 ) 可求得啊r 至于漏磁通巾。，可写成 略l = r g l l 2 又 中1 2 = 中j + m 5 1 由磁路定律可得，2 2 之间的磁势职，为 降，2 2 一= 岛2 ( r 1 2 + r 科) + r 兜2 = 2 9 1 2 3 吒= 呜z + 哝： 同样可得 ( 2 1 1 ) 也作为已知值，代入式 y = 0 2 3 ( r 2 3 + r 2 3 ) + 吼2 ( 2 1 3 ) 中d 3 = 3 9 1 2 3 中3 4 = m2 3 十中5 3 整个系统的总磁势为： 1 n = 兜4 ( r 3 4 + r 4 5 + r 4 ，5 ，+ r 3 4 ) + 3 ( 2 1 4 ) 式中g 一铁心间的比漏磁导，可由给定的计算公式求得。 由已知条件吸力及其它的条件可求得兜值，再由呶经上述一步一步 推算下来，即可得到总的磁势i n 值。 6 硕十学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 2 2 电磁吸盘吸力 电磁吸力公式为： f ：j 一盟 2 卢o s r 2 式中肼为线圈安匝数，r 是铁心磁阻。铁心磁阻由铁心材料求得。由 式( 2 2 1 ) 可知电磁吸力应是磁极几何尺寸( s ) 、电磁参数( i n ) 等的函 数，求得磁势后代入上式即可反求吸力，以便验证。 2 3 电磁吸盘温升的计算 求出电磁吸盘的外形尺寸以及励磁磁势后，还需要计算其温升，以保 证电磁吸盘在允许的温升条件下工作。 电磁吸盘的散热面积如图2 3 1 所示。其中b o 为磁极长度，l 为磁极 凹槽的宽度，b 。q 为线圈的厚度，8 0 为磁极底版的厚度。 根据牛顿散热公式，线圈在长期工作制时的稳定温升为： - ，2 - 丹 x 7 w2 面q( 2 3 1 ) 式( 2 3 1 ) 中： r 。一一线圈电阻( q ) ； ，一一线圈电流( a ) ； 赫一线圈外表面散热系数，由经验值取为1 0 ( k m 26 c ) ： s 。一一线圈散热面积( i l l 2 ) 。 线圈电阻为： 爱。= p n 1 2 ( 2 ( a 面o + b i o _ ) + x b m ) 式( 2 3 2 ) 中： p ，一一导线的电阻率( q m ) ： k 线圈厚度( m ) ； 。线圈高度( m ) ； 一一线圈填充系数，由经验值取为0 6 5 。 由式( 2 3 1 ) 可知，电磁吸盘的温升是线圈几何尺寸、磁势等的函数。 由于对于一给定的电磁吸盘都要有一允许工作温升，因此该式可用来进一 堡主兰竺笙苎翌型皇垡坚苎竺里窒兰兰兰 步核算由磁路计算所获得的i n 值。 岭a a a j 力? 、 、 r 、 、 l 、ja 0 。 、 j， j， ， j b o l ，x q 图2 3 1 线圈几何尺寸示意图 2 4 磁路计算结果 l 、磁路计算结果 根据实际的需要取气隙占= 0 8 m m ，可计算磁导得 g o = 0 9 8 1 0 一h ，r j 2 。 由己知条件f 8 0 0 0 n ，我们可以依次取f l = 9 6 0 0 n 、f 2 = 1 2 0 0 0 n 、 f 3 = 15 0 0 0 n 作为试点来计算。 当f t = 9 6 0 0 n 时，由屹查表得b i = i 3 9 t ，再由磁路计算得 中。l = 8 6 2 5 1 0 一w b ，i n l = l8 0 4 安匝。 8 硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 当f 2 = 1 2 0 0 0 n 时，同样可计算得髟，又查表得b 2 = 1 5 5 t ，由磁路计算 得呶2 = 9 6 8 8 1 0 w b ，i n 2 = 2 0 1 7 安匝。 当f 3 = 1 5 0 0 0 n 时，由k d 值经查表得b 3 = 1 7 3 6 t ，嚷3 = 1 0 9 1 0 w b ， i n 3 = 2 2 7 0 安匝。 对于给定的不同的初始吸力，计算得不同的磁通值和不同的i n 值。 在式( 2 5 3 ) 中p ，取经验值为1 6 3 1 0 。3 欧米，b 。q = o 0 2 3 m ， h x q = 0 0 6 5 m ，于是可粗略计算得f 。l = 3 4 7 c ，z w2 = 4 3 _ 8 ，k3 = 5 2 7 。 由于本电磁吸盘温度要求控制在3 5 4 5 之内，为了让吸力尽可能 的大，而且温度要在要求的范围之内，经磁路计算后初步选定f = 1 2 0 0 0 n ， i n - 2 0 l7 安匝。 2 、其他参数的计算 对于取定的初始吸力以及算得的对应i n 和温度值，可由经验公式计 算下列参数“3 ： 线圈的横截面积： s 。- i n p x x ( 1 + c 5 ) d ：1 i5 1 0 m z u 其中d 。磁极铁心平均周长。 线圈电流：i = j s 。= 3 4 5 a 线圈匝数：n 一1 n 5 8 5 线圈电阻值： r x q = p 坦型生善立坠= 6 9 6q 0 0 平均单匝线圈长度： ，口= 2 + 0 0 + b o ) + 而。2 2 + ( o 2 5 + 0 0 2 5 ) + 3 1 4 + ( o 0 5 0 0 2 5 ) = 0 6 2 8 5 m 线圈总长： ，= ，。+ n = 3 6 8 m 3 、电磁吸盘吸力特性曲线： 由吸力公式 f = i ( i n ) 2 等 得出电磁吸盘的吸力特性曲线如图2 6 1 所示( 其中横坐标x ( ：d ) ，单 位是：m m ；纵坐标f ，单位是：n 1 。 2 5 本章小结 图2 6 1 电磁吸盘吸力特性曲线 电磁吸盘的磁路计算是一种简单有效的方法，关键是数学模型确立和 通路径的确定。对于本电磁吸盘由其几何结构可确定其为有集中绕组的u 型磁路，经具体分析，电磁吸盘的磁路计算过程铁心磁阻以及漏磁都是必 须考虑的因素，从而确定了磁路的具体计算模型。 如果这两个量都能较好的估计并计算出来，则计算的结果将比较准确。当然 这需要反复的计算，并借助下面介绍的电磁场的计算结果，根据等磁位线图。 判断主磁通、漏磁通路径，分析漏磁通在计算中所占的比重，从而逐步得 出比较精确的结果。需要计算的是一定要把温度控制在允许的温升范围之 内。 根据经验数据以及本电磁吸盘的结构参数粗略计算锝本电磁吸盘磁 极的磁势值、温升值以及其它一些参数值。 硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 3 电磁吸盘的磁场计算 电磁吸盘电磁场计算的问题是针对所给的边界条件如何求解麦克斯韦 方程，该方程的微积分形式如下： 全电流定律：v h ：i ，+ 望 甜 电磁感应定律：v 。e ：一丝 西 磁通连续定律：v b = 0 高斯定律：v d = 口 式中：h 一磁场强度，m ； d 一电位移矢量，晰2 ： j 一电流密度，4 m 2 ； b 一磁感应强度，t = w b m 2 ： p 一电荷密度，d m 3 ： e 一电场强度，“m ； 电磁场中场量e ，b 初d ，h 等量之间的关系，由媒质的特性决定。在 各向同性媒质中，有下列关系： d = 胡 b = p h t ，= a e 其中s 一一介电常数，f m ； 爿一磁导率，h m ： 口一一电导率，s m 。 若媒质为线性，则s ，卢，o 为常数：否则为相应场量的函数。 本章将阐述本课题所研究的电磁吸盘的磁场计算方法。 硕士学位论文 新型电磁吸盘的研究与设计 o l 数学模型的确定和求解 0 1 - l 方程及其边界条件的建立 对于电磁场的数值计算，数学模型的确定是必不可少的步骤。本课题所 设计的电磁吸盘是直流电磁吸盘，磁路是典型的u 型磁路。其磁路的简化模 型，求解区域及边界如图3 1 1 所示。其中s l 、s 3 到线圈的距离为d i ， s 2 、 s 4 到线圈的距离为d 2 。 对二维场而言，j ：j ：i 。则对所有磁场区域，有下面的泊松方程存在： v 2 j z = 一，了c z 式中“，一一指材料的导磁率； 了。一一指激磁线圈的电流密度； 爿一一为磁场磁势； jl s i d i l s d r s 3 图3 1 1u 形电磁铁磁场边界 对于如图3 1 1 所示电磁场沿边界的切向方向没有法向分量，在磁场计 硕士学位论文 新型电磁吸盘的研究与设计 算时，选择矢量磁位作为计算函数，可知其边界条件为； 五l 。= 0 利用电磁吸盘的场域微分方程求解时必须要确定场域的边界条件，就本课题 而吉次边界条件为强加条件，对整个计算的影响极大。如果不考虑计算量的 话，磁位为零的边界条件应该在距离电磁脚无限远处，但这在具体计算上是 不可能的，所以就要取不同的距离来计算，直到计算结果之间的数值差异不 大为止。对于图3 1 ，l 中s 1 、s 2 、s ”s 4 ，它们到线圈绕组的距离应该相等， 具体数值可以通过吸力来确定，即可以计算一组吸力，相邻两个吸力相差不 大时的距离就应该是它们具体数值。 3 1 2 方程解法的选择 求解微分方程组的数学方法比较多，就大的方面而言，有解析法、图解 法、模拟法和数值计算法等四类( 9 】。这四种方法各有各的特点，解析法能获 得精确解，但其定解函数的确定比较困难，只能应用于些比较特殊的边界 条件，限制比较大；图解法和模拟法都是一些等效的方法，其精度能得到很 好的保证，但其依赖经验的成分比较多，不宜推广应用；数值计算法是将所 求电磁场的区域剖分成有限多个网格或单元，通过数学上的处理，建立以网 格或单元上各节点的求解函数的值为未知量的代数方程组，可以想象随着剖 分网格或单元疏密的变化，解的精度也相应变化，故总能找到适合的剖分方 式使解的精度符合要求。其缺点是工作量大。而随着计算机技术的发展大规 模数值计算的实现有了可能，则场的解法越来越倾向于用数值计算法。 数值计算方法的基本特点是把求解整个场域中连续空间位置上的场转 化为求解各离散空间位置上的方程法和边界元法等。它们是以微分方程离散 成代数方程组时所用的近似方法的不同来区分的。有限差分法简单、直观。 有限元法在原理上是有限差分法和变分法中里兹法的结合，可用于任何微分 方程所描述的各类物理场中，也适合于时变场非线性场以微分层介质中的电 磁场问题的求解。有限元法不受场域边界形状限制，并且不同媒介交界面的 边界条件不必作单独处理，在网格划分时更灵活，并能更好保证精度。差分 法直接由场的方程离散为代数方程组，代数方程组中系数简单，有限元法利 用变分原理把满足一定边值条件的电磁场问题等价为泛函求极值问题。因 此，有限差分法是一种数学上的近似，有限元法是一种结构上的近似。 对于本电磁吸盘，通电后为非线性场，为了保证计算的精度，根据上面 的分析，有限元法是最好的计算法。 硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 3 1 3 等价的泛函及变分问题 泛函是函数概念的推广，可以说是“函数的函数”，但其含义与复合函 数不同p l 。决定函数的因素是字变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函 数的形式。一元函数的泛函可表示为： f p g ) 】= f j ( x ，y ( x ) ，y ；g 眦 其中f ( x ，y ( x ) ，y ，( x ) ) 称为泛函的核；y ( x ) 是自变量，f l y ( x ) 随y ( x ) 的变化而 变化。 泛函达到极值的条件是泛函的变分在y ( x ) = y o ( x ) 处为零，即 8 f ( y ) ：4 瑶咖+ 要a y ，) d x ：o ：啦卿x 刚y)。骖岫+岳母)卜瑶(瓦of)dxoy o y d x o yz，h ： 。 通常在变分问题中，变分咖在端点保持为零，即 砂b 。= o t = 0 于是，泛函达到极值的条件为： 蓐刁d ( 砂a f = _ 黼= 。 由于上式对任意的e , y 都成，所以极值函数必须满足下面的微分方程 望一旦盟：n 砂d x 砂。 这个方程称为泛函的极值问题的欧拉( e u l e r ) 方程。 有限元法根据欧拉方程与等价变分问题中对应的微分方程相当这原 则，把求解的电磁场方程看作欧拉方程，建立一个与此定解问题相对应的泛 函，在定义域内进行插值，把泛函的变分问题转化为多元函数求极值问题， 从而得到电磁场的数值解。 在恒稳磁场中存在着电流为零和电流不为零的区域，对应的存在着标量 电位和矢量磁位。对于稳恒磁场的有电流区域，矢量磁位满足的偏微分方程 为： v 2 小警+ 等= 一从 硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 上式即是泊松方程，标量电位和矢量磁位都满足此方程。 对于泊松方程和上述相关的边界条件的泛函为： f ( 4 ) = 旺( r 声d b 一，a 弘方 其中b = 飚哥 由于第二类边界条件及不同媒质交界面上的边界条件，在变分问题中被 包含在泛函达到极值的要求之中，不必单独列出专门处理，且为自动满足。 因此常称这类边界条件为自然边界条件，相应的变分问题称为无条件变分问 题。 对应于一类边值问题，等价的变分问题为 f o ) = 儿( r 归棚一尉) 出妙= 。 i a ：ll l = a “ 3 1 4 泛函的离散化与插值 为解泛函的极值，可将连续场域进行剖分，用剖分为有限个单元上的泛 函之和来代替连续的泛函1 2 7 1 。在每个单元建立起的泛函仍然是位函数的分布 函数，单元内任意一点的位函数的数值可利用单元节点参数通过插值关系近 似表示，并将此插值关系代入单元的泛函中，将所谓的泛函变位以节点表示 的多元函数，此即是泛函的离散化和插值【1 0 。下面具体阐述电磁吸盘场域的 剖分和线性插值的计算。 3 1 5 场域的剖分和插值计算i “l 将整个场域进行三节点三角形剖分， 插值计算25 1 。对于每一个三角形单元e ， 在每个剖分单元上采用三角元线性 其泛函为 f ( 爿) = r 归d b - j a 卜d y 其中口= 愿) 2 + 2 。 7 为磁感应强度b 的函数，它的值随一0 ，y ) 的不同而改变，对应每一个 4 b ，y ) ，其泛函值在单元内都有确定的分布，而且可以认为在每个单元中y 为 硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 常数。 当e 很小时，可以近似用三角形三顶点的参数，用插值的方法近似表示e 内任一点磁位的值。最简单常用的插值方法是线性插值，即三角形内任一点 的a b ，y ) ，可以用此三角形三顶点i ，j ，m 的节点参数a b ，y ，ja b ，y ，j 和 a b 。，y 。j 值按线性插值规律定出，如图3 1 2 所示。 图3 1 2 中，三角形e 的三个顶点用f ，m 表示，f ( 。对应的准确函数 a b ，y ) 用曲面表示，三节点参数分别用只= a ，p ，= a ，匕= a 。表示，线性插 值是用通过只，尸，匕三节点的平面p e b ，y ) 近似代替通过三节点的平面，如果曲 面上一点的真实值是j g ，y ) ，则平面上对应点的a ( x ，y ) 为线性插值的近 似值。 图3 1 2 插值函数图形解释 将平面p e 0 ，) 写成方程为 只( x ，y ) = 9 1 + 9 2 x + 9 3 y 式中g 。，g z ，g ，是由，只，匕决定的g - g ，其关系为 由式( 3 1 4 2 ) 可以看出 ( 3 1 1 ) i p i 0 ，y 。) = g l + g2 x ，+ 9 3 y ，= a ， 1 ( x j y ) 2 9 1 + 9 2 xj + 9 3 yj = 爿j( 3 1 - - 2 ) l 巴 。，y 。) = 9 1 + g2 x 。+ g3 y 。= a 。 1 6 硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 取下列函数 则只的方程为 g 。= 0 ，一。+ 口，a j + a 。一。) 2 4 9 2 = b i ，+ 6 ，4 ，+ 6 。爿。2 a 9 3 = k ；a ，+ c ，爿，+ c 。a 。) 2 4 驯y i ，a = l ”y i b ，b 。，c ，c 。可按a j ，依次类推。 fn ，x ，y ) = 0 ，+ 6 ，x + c ，y ) 2 n j ( x ，y ) = 白，+ b j x + c i y ) 2 a 【n m ( x ，) = 0 。+ b r x + y f f 2 a e g ，) = a , n + 4 ，+ 4 。= a ( x ，y )( 3 i - - 3 ) 式中只，y ) 即为j 0 ，y ) ，剖分单元的磁位近似值。如果在场域内所有各 个单元都用插值函数代替a ( x ，y ) ，就得到了a ( x ，j ，) 的总体近似函数。因为泛 i 幂l f ( o ( 爿) = r 归d b - j a ) d x d y 对4 y ：一剖分单元都成立，将由插值计算所得近 似磁位值j g ，y ) 代入其式即得单元泛函的近似值f ( 。( 五) 。 3 1 6 有限元方程组的形成 对应于泊松方程与相关边界条件的泛函，单元e 上的泛函，可写成： 弘( 舻f f f r 归d b - j a ) 西c d y ( 3 1 4 ) 如记 = l n jn 。j k i一一 乃 t _ h 乃 ilil 0 h ，一2 ji ，。| | i ， d 订 式 ， m ， w y y x x1 = = 6 c 硕十学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 则 捌 j g ，y ) ：删。) 为了计算f l e l ( f i ) ，应首先计算要，罢。因为爿- ) 是三角形的节点参数，与坐 嬲卯 标无关，因此有 同理可得 堡o x l 盟o x 堡o x 警b 。 i缸1 = 去i ) 。 = 去g 以也4 ，+ 6 。爿。) 票：去【c ，。 面2 弦【c r 0 。m 2 玄( c ，a j 托4 + 一。) 经线性插值后，可得 f ( j ) ：芝( j )f 3 ，卜5 1 其中n 。为单元数。 把泛函的变分变为多元函数求极值问题，则有 瓦o f = 莩等 ，2 ， 棚。智翩， 1 - “9 式中，为节点数。在计算时，在每个单元中，可认为是常数，但各单元中， 由于媒质的非线性，均不相同。对任意的三角形，其顶点为i , j 衫聊，对该 三角形单元e 求极值，可得 筹= 峙( r 脚一洲炒 硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 = 胪去2 丝旦o a , f 丝o x ) + z 丝旦0 4f t 丝砂1 k j 咖一肛蚴 = 蜡a ，+ b j a j + 厶) 乞+ g j a i + c j a s + c 。a m ) 云陋 一l 妒j d x 令 r ，。= 唾j ，d x 于是上式可写为 警= 去阽? + c ? h ，如+ c j c ，1 4 ，+ 眠托c 。b 。一护1 同理，依次可以计算出五o f f ( e ) ，棼的表达式。于是就可得其矩阵的表达式为 其中 o f ( e ) 0 4 a f 0 ) o a 6 f ( 。) 触。 后亭) ； 拶 i j j ) 七1 j 磅 ； 七 | j ) ； 尼譬 j 础 a ， ： a ： a 。 水) i 0 。 ； 砖) = 0 = 云 6 j + c i c j ) 叫吐即 总体合成后可得 剧一r = 0 式中足：兰世( “，r ：皇r ( w 。 e = 1p = 1 总系数矩阵k 、r 是由单元系数阵叠加而成，在累加前必须将各系数矩 阵扩充成总系数矩阵的形式，然后求和。 3 1 7 有限元的前处理技术 有限元解法的前处理技术2 8 1 最主要的是网格的剖分【3 0 和原始数据的输 入 29 1 。 有限元解法的原理决定了要将连续的场域剖分成有限数目的元素之和， 然后用这些元素节点上的数值解去逼近连续场域的真实解。为此，有限元剖 硕士学位论文 新型电磁吸盘的研究与设计 分的元素的数量及其分布直接影响计算的精度、解题效率和计算的经济性。 由于计算精度等要求，剖分节点数量巨大，如果手工音8 分则不仅工作量 巨大，而且容易出错，因此需要由程序自动生成。本论文中磁场的网格剖分 使用软件自动生成的，采用的是专用于有限元分析的a n s y s 软件。节点自 动剖分后，剖分节点的原始数据在剖分时就可确定，故最重要的是网格的剖 分。 当前场域剖分的原理和成熟的程序比较多，但大多都是对任意边形进行 剖分得。而根据本文所设计的电磁吸盘的结构特点，由于整个场域都可以划 分为几个直线四边形，为减少工作量，本论文采用了直线内插法来对划分的 直线四边形进行剖分。该网格剖分子程序原理简单直接，并用图形将剖分结 果显示出来，易于检验，还可以根据需要控制剖分的疏密程度，并且具有自 动编号和数据记录的功能。 更详细的其它的剖分方法的介绍请参阅参考文献【1 0 。 如3 1 3 图所示为电磁吸盘的断面图，为用a n s y s 软件自动网格剖分 所得结果。从网格图上我们可以看出，在磁导率较大的磁极中网格较密集， 而在空气中网格较稀疏。网格的疏密程度反映了磁极中及其周围磁势分布的 大概情况。 图3 t 3 有限元网格剖分图 硕士学位论文 新型电磁吸盘的研究与设计 3 1 8 有限元方程组的求解 用有限元方法求解电磁场问题，在导出有限元方程组后，即归结为求解 一个方程组问题，方程组阶数等于未知节点参数的节点数。由前面讨论可知， 有限元方程组可分为线性方程组和非线性方程组。下面具体看一看这两种方 程解法的技巧。 3 1 8 1 线性方程组解法 解线性方程组k a = r 的数学方法很多，而要求不外乎两个：一是解法 的精确性和收敛性；二是解法的效率和经济性。第一个要求比较好满足，因 为总系数矩阵k 易证明是正定、对称和主对角线元素占优的矩阵，解法如列 选主元的高斯消去法，克劳特分解法，高斯一一塞德尔叠代法【5 】等都可满足 要求，关键是第二个要求。因为剖分节点数量通常达到几百到上千个，故k 是个阶数很高的矩阵，这时不仅计算数量巨大，系数矩阵的存储量也很大。 因为系数矩阵的元素数目等于方程组阶数的平方，有几万到上百万个。但可 证明矩阵眉同时还是一个稀疏矩阵，其非零元素主要集中在对角线附近。利 用这些性质，可以将稀疏矩阵大大的压缩存储，从而减少了计算时问和存储 量。下面主要从总系数矩阵的对称性和稀疏性来阐述如何减少计算时间和存 储量。更详细的其它的剖分方法的介绍请参阅参考文献f 15 】。 1 ) 对称性 每一个剖分单元的稀疏矩阵足( 。j 都是一个对称矩阵，有k ，：k 而总系 数矩阵足是由k 中的元素的对称的迭加而得到的，因此仍然是对称矩阵。 对于对称阵只需存储对角线及其一侧的元素，而另一侧的元素可以利用对称 性得到，这样就总系数矩阵使存储量减少了大约一半。 2 ) 稀疏性与正定性 因为场域剖分节点数量通常达到几百到上千个。剖分单元的数量级和剖 分节点数一样，每个剖分单元的扩展系数阵中只有个9 元素是非零的，由前 面所阐述，知道单元矩阵是对称的。因此总系数矩阵中的非零元素非常少， 而且非零元素集中在对角线附近，形成一个“带状”。对于对称矩阵可以进 行压缩存储，即只存储对称阵的上三角阵或下三角阵。对于三角矩阵的存储 方法，在一般的线性代数或数据结构课本中都会有所解释。 3 1 8 2 非线性场的求解 以七给出的是线性场的解法，对于非线性场，即导磁材料的磁导率是非线 性的，其b 与h 的关系是非线性的，为此必须在线性磁场求解的基础上，进一步 堡圭兰垡笙茎堑型皇垡坚垄塑竺窒皇堡生 寻求非线性磁场的求解途径。对于二维恒定非线性磁场，如前所述，其矢量 磁位a ：都满足泊松方程，对应于a z = 0 的边值问题为： 昙( ，警 + 昙( ，剖叫 l 4 ：i 。：o 对应的莎函为 其中b 感霭 ，( 彳) 见( r 例a p h ( ) = y 常数 相应的等价变分问题是 j f o ) = 珏( f 删口一埘) 出砂= 吒。 i a ：ll i = 0 3 1 8 3 非线性方程组的求解 非线性方程组与线性方程组的求解的不同之处在于线性方程组的系数 是常数，经过一次求解即可得到方程的解；而非线性方程组的变量的系数不 是常数，而是与变量有关的函数。常用的求解方法可分为两类：一类是线性 化方法如逐次线性化方法，牛顿拉夫逊迭代法及改进的牛顿拉夫逊迭代法； 另一类是通过求解目标函数的极小值点来获得非线性方程组的解，如最速下 降法等8 1 。一般来说，迓次线性化方法比较简便，有良好的收敛性，但收敛 速度慢，适宜在求解方程的阶数不是特别高时采用。比较多采用的是牛顿一 拉夫逊迭代法。牛顿拉夫逊迭代法最突出的优点是收敛速度快，但在形成方 程组时需要很大的计算量，并要求有很好的初值。其方法简介如下： 对非线性方程 k a = r 式中系数矩阵世是未知量a 的函数，r 是常数项，一般认为a 是方程的近似 解。设对于真解必有一个不为零的余矢量为f ( a 1 f ( a 1 = k a r 硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 在此方程中，k 和f 都是一的函数，如果一俐是式的近似解，将f 俐用泰勒 f ( a ) 0a ( o ) 4 ( 1 ) 爿( 2 ) 4 ( 2 ) 一 图3 1 4 牛顿一拉夫逊法求解过程 级数表示，取一次项，则有 f ( a ) = f + 乳”1 4 毖獯雾 二“ 霞严强渊 4 l 一 、啪 蹩7 勃 厂 j 图3 1 4 电磁场分布图 若用，0 。) 表示f 例的雅可比矩阵在爿俐处的值，则有 硕士学位论文新型电磁吸盘的研究与设计 f ( a ) ：，0 ( 。) ) + ，0 ( 。) n 一爿( 。) 】 令此余矢量对于_ f 7 解时为o ，则有 拳兰墨$ 誊茹：三岛。( 3 1 - - 6 )彳( 1 ) - 一( 0 ) 一【，0 ( 0 ) ) r 1 f 0 ( o ) 这样的求解过程是逼近精确解的过程，将式( 3 1 7 1 ) 化为一般的通用迭代 公式如下： a ( “1 ) ：彳( e ) 一p 0 ( ) ) r 1 f 0 ( ) ) 经过多次迭代，即可逐次逼近精确解。 按照上述解法原理，利用软件编制相关程序可得到电磁场分布图，如图 3 1 4 所示，由此图可以直观的分析该磁极在整个场域内磁通的流通路径，更 有利于磁路的分析 3 s l 。同时在整个场域内积分可得到电磁吸盘的磁势分粕 图，如图3 1 5 所示，由此图可看出，通电线圈部分区域中磁势最强，磁势 由内而外由强渐弱。这是由于铁心的磁导率最大，远远大于空气中的磁导， 磁力线几乎都从铁心中通过，只存在很少一部分磁力线从空气中通过，也就 是磁极周围存在的很少一部分的漏磁作用。 3 2 电磁力的求解 图3 1 5 电磁场磁势分布 硕士学位论文 新型电磁吸盘的研究与设计 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 由以上方程组求出来的是场域中各节点上的a 值，这对磁感应强度线的 输出有好处。但要计算电磁吸盘磁极上其它变量，则要将各个节点的磁感应 强度求解出来。 利用公式 飚蔼 可求得所需结果。 根据麦克斯韦电磁力计算公式，有 = 去甄陋) 叫n 卜( 3 2 - - 1 ) 式中，s 指计算电磁吸力时计算对象的表面积， n 指沿积分表面的外法线的单位向量。 图3 2 1 计算电磁吸力的积分面积 要计算课题中的电磁吸盘的吸力，可设计算对象为一理想衔铁，将积分 面选择在气隙中，对积分面进行剖分，利用剖分结果，在每个剖分单元上由 公式( 3 2 1 ) 计算单元上的电磁力，最后将剖分力进行累加即可得到整个场域 的总电磁吸力。计算时图3 2 2 即是用有限元软件a n s y s 计算与模拟的电磁 吸力分布图。 由场的计算结果显示电磁吸盘的平均吸力f = 1 2 4 1 3 n 。相应的磁势及其 温升为： i n = 2 0 3 1 ( a ) f ：4 2 2 硕士学位论文 新型电磁吸盘的研究与设计 图3 2 2 吸力分布图 与磁路计算稍有偏差。因为磁路的计算把磁极的铁心分段看作线性，而 磁场计算精确到每一点，那么磁路计算的结果只是相对比较精确的结果，磁 场计算更加精确。另一方面磁场的计算过程中磁感应强度是个变量，即磁场 各点的磁感应强度不同，而磁路计算中是把磁极的磁感应强度看作恒定值 的。此外，磁路方法计算时仅考虑到铁心和轭铁，而没考虑到铁心和轭铁之 间非导磁体部分对衔铁的吸力。 3 3 本章小结 本章主要是研究用有限元方法对电磁吸盘磁场的计算，由以上的分析和 计算可知，有限元计