（理论物理专业论文）约束系统的量子正则对称性及其在超对称chernsimons理论中的应用.pdf

摘要 本文综述了约束h a m i l t o n 系统路径积分量子化方案的发展史、约束h a m i l t o n 系统正则对称性的研究进展和超对称c h e m - s i m o n s 理论及n j l 模型；详细介绍 了f a d d c e v - s e n j a n o v i c ( f s ) 路径积分量子化方案及约束h a m i l t o n 系统的对称性。 我们发现了量子整体正则n o e t h e r 定理( 量子守恒律) 证明过程中存在的不 足，即量子整体正则n o e t h e r 定理是将系统整体变换推广到定域变换而推导出来 的，这就将整体不变的限制条件扩大了，不是严格的整体对称性。基于此，我们 只考虑系统的整体变换，严格推导了无穷小变换参数为二阶张量的量子整体正则 n o e t h e r 定理。 我们运用约束h a m i l t o n 系统的f a d d e e v - s e n j a n o v i c ( f s ) 路径积分量子化方 案，对s u ( n ) n = 2 非a b e l 超对称c h e r n - s i m o m 系统进行了量子化；通过选取库仑 规范并考虑其自洽性条件导出了另一个规范条件，消除系统的冗余自由度，得到 系统相空间的格林函数生成泛函。利用上述推导的量子整体正则n o e 地e r 定理，我 们研究了其量子对称性，得到了系统量子守恒角动量，发现非a b e lc h c m - s i m o n s 场部分的角动量具有分数自旋性质，并且这分数自旋相关于规范变换群的指标。 在( 2 + 1 ) 维时空中，我们研究了s u ( n ) n = 2 非a b e lc h e m - s i m o n s 超对称规范 场系统。基于f a d d c c v - s e n j a n o v i c 路径积分量子化方法，给出了该系统格林函数 的相空间生成泛函。运用量子整体正则n o e t h c r 定理，得到了系统的总角动量， 发现其包含非a b e l 规范场的轨道角动量、自旋角动量和分数自旋角动量，分数 自旋项不仅相关于规范变换群指标，并包含非a b e l 规范场第零分量荷的贡献。 根据f a d d e e v - s e n j a n o v i c 路径积分量子化方案，分别将扩展n j l 模型和玻色 化的n j l 模型进行了量子化，得到系统相空间中格林函数生成泛函，继而得到 了连通格林函数生成泛函和正规顶角生成泛函。由旋量场的手征变换推出复合场 及共轭动量的手征变换，由生成泛函手征变换的不变性，得到了手征 撇们- t a k a h a s h i 恒等式。 关键词量子整体正则n o e t h e r 定理； 非a b e l c h e m s i m o n s 理论；超对称 n j l 模型 a b s t r a c t w er e v i e wt h eh i s t o r yo fc o n s t r a i n e dh a m i l t o np a t hi n t e g r a lm e t h o d sa n dt h e p r o g r e s si nc a n o n i c a ls y m m e t r yo fc o n s t r a i n e ds y s t e m ，a n da l s oc o m m e n to n s u p e r s y m m e t r i cc h e m - s i m o n sm o d e la n dn j lm o d e l b e s i d e st h a t ，w ep r e s e n tt h e p a t hi n t e g r a lq u a n t i z a t i o nf o rc o n s t r a i n e dh a m i l t o ns y s t e mi nf a d d e e v s e n j a n o v i c ( f s ) s c h e m ea n dt h es y m m e t r i cc h a r a c t e ro f c o n s t r a i n e dh a m i l t o ns y s t e m w ef o u n dp r o b l e m si nt h ei d e n t i f i c a t i o no fq u a n t a lg l o b a lc a n o n i c a ln o e t h e r t h e o r e m t h ep r o b l e mi st h a tt h eg l o b a lt r a n s f o r m a t i o ni se x t e n d e dt ol o c a l t r a n s f o r m a t i o n ，w h i c hm e a n st h eg l o b a ls y m m e t r yi sn o tc o n s e r v e ds t r i c t l y w i t h o u t t h ee x t e n t i o nf r o mg l o b a lt r a n s f o r m a t i o nt ol o c a lt r a n s f o r m a t i o n , w ed e d u c et h eg l o b a l c a n o n i c a ln o r t h e rt h e n r e mw i t ht w o o r d e r - t e n s o rs u p e r s c r i p t so fat r a n s f o r m a t i o n g r o u p a tq u a n t u ml e v e lu s i n gd i f f e r e n tm e t h o d s f r o mt h ep a s t u s i n gt h ef r a m e w o r ko fp a t hi n t e g r a lq u a n t i z a t i o nf o rc o n s t r a i n e dh a m i l t o n s y s t e mi nf ss c h e m e ，w eq n a n t i z es u ( n ) n = 2s u p e r s y m m e t r i cg a u g ef i e l dw i t h n o n - a b c l i a nc h e m - s i m o n st e r mi n2 + id i m e n s i o n s ，a n du t i l i z ec o n s i s t e n c yo f a g a u g e c o n d i t i o nm t m a u yt od e d u c ea n o t h e rg a u g ec o n d i t i o n f u r t h e r , w eg e tt h eg e n e r a t i n g f u n c t i o n a lo fg r e e nf u n c t i o ni np h a s es p a c e b a s e do nt h eq u a n t u mg l o b a ln o e t h e r t h e o r e mw ea c h i e v et h et o t a la n g u l a rm o m e n t u m , a n do b t a i nt h ef r a c t i o n a ls p i no ft h i s s u p e r s y m m e 砸cs y s t e m w ef u r t h e rf i n dt h a tt h i sa n o m a l o u sf r a c t i o n a ls p i nh a st h e c o n t r i b u t i o nf r o mt h eg r o u ps u p e r s c r i p tc o m p o n e n t s u s i n gf a d d e e v - s e n j a n o v i cp a t hi n t e g r a lq n a n t i z a t i o nf o rc o n s t r a i n e dh a m i l t o n s y s t e m , s u ( n ) n = 2s u p e t s y m m e t r i eg a u g e f i e l d s y s t e m w i t hn o n - a b c l i a n c h e m - s i m o n st o p o l o g i c a lt e r mi sq n a n t i z e di n2 + 1d i m e n s i o n s ，a n dt h eg e n e r a t i n g f u n c t i o n a lo f g r e e nf u n c t i o ni np h a s es p a c ei so b t a i n e d f u r t h e r , w ed e d u c e dt h et o t a l a n g u l a rm o m e n t u mb a s e do nt h eg l o b a lc a n o n i c a ln o e t h e rt h e o r e ma tq u a n t u ml e v e l ， w h i c hi n c l u d e st h eo r b i t a la n g u l a rm o m e n t a , s p i na n 列a rm o m e n t aa n da n o m a l o u s n i f r a c t i o n a ls p i na n g u l a rm o m e n t ar c l a t e dt ot h en o n - a b e l i a ng a u g ef i e l d s f i n a l l y , w e d i s c o v e rt h a tt h ef r a c t i o n a ls p i nh a st h ec o n t r i b u t i o n sb o t hf r o mt h eg r o u p s u p e r s c r i p t c o m p o n e n t sa n dt h ez e r o t hc o m p o n e n tc h a r g eo f t h en o n a b e l i a ng a u g ef i e l d s i nt e r m so ft h e o r yo fc o n s t r a i n e dh a m i l t o ns y s t e m ，t h ef a d d e e v s e n j a n o v i c p a t h i n t e g r a lq u a n t i z a t i o n so fe x t e n d e dn j lm o d e la n di t sb o s o n i z a t i o nm o d e la r eg i v e n t h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n a lo fg r e e nf u n c t i o ni np h a s es p a c ei so b t a i n e d t h ec h i r a l t r a n s f o r m a t i o no ff i e l d s ，c o m p o s i t ef i e l d sa n dt h e i rc o n j u g a t em o m e n t aw e r ed e d u c e d u t i l i z i n gt h ei n v a r i a n c eo fg e n e r a t i n gf u n c t i o n a l w eo b t a i nw a r di d e n t i t i e sf o rb o t h e x t e n d e dm o d e la n db o s o n i z e de x t e n d e dm o d e l k e yw o r d sc a n o n i c a l n o r t h e rt h e o r e m ； n o n - a b e l i a n ；c h e m s i r n o n s ； s u p e r s y m m e t r y ；e x t e n d e dn j lm o d e l i v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 加7 o b o ， 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第一章绪言 1 1 约束h a m ii t o n 系统的量子化 物理学是描述物质系统运动规律的- - t - j 基础学科。描述物质运动规律的动力 学系统一般有两种形式，位形空间的l a g r a n g e 体制和相空间的h a m i l t o n 体制， 物理系统在运动过程中常常受到某些约束条件的制约，约束条件可分为两类，一 类是物理系统以外的环境对系统的影响，称之为外在约束，例如力学中的几何约 束和运动约束；另一类是在系统运动过程中，由系统自身动力学过程所造成的约 束关系，这不同于前一类的附加的条件，是系统的内部关系，称之为固有约束或 内在约束。 具有固有约束关系的动力学系统是由奇异l a g r a n g e 量描述的，这样的系统 称为奇异系统。奇异系统过渡到相空间描述时，其正则变量间必存在固有约束， 即为约束h a m i l t o n 系统。而h a m i l t o n 体制的基本理论，在理论物理中，特别是 现代量子场论中占有重要地位。所有的规范理论，包括描述自然界四种相互作用 的量子电动力学( q e d ) ，量子味动力学( q f d ) ，量子色动力学( q c d ) ，引力 理论( ( 暾) 均为用奇异l a g r a n g e 量描述的系统；此外，超对称、超引力和超弦 等理论都是奇异系统的理论。由于奇异系统在相空间存在约束，而系统的量子化 是通过相空间中的正则变量的经典和量子对应来实现的，这就需要适当的处理约 束来完成量子化。 约束哈密顿系统的量子化研究已经有半个多世纪的历史。在研究初期， b e r g n m a n 及其合作者如a n d e r s o n 、b r t m i n g s 研究约束哈密顿系统是为了将引力 量子化，开始研究正则哈密顿系统的动力学【1 月。与此同时，d i r a c 则是将约束哈 密顿方法作一般性的推广，同时研究相对论动力学的量子化问题。d i r a c 在他的 约束系统量子化的经典著作( l e c t u r e so i lq u a n t u mm e c h a n i c s 【3 】中总结了当时 的所有研究成果，给出了约束系统正则量子化的一般方法，实现了约束系统正则 量子化。这种处理约束系统的正则量子化方法，在处理a b e l 规范理论等问题时， 是成功的；但是当正则变量的d i r a c 括号并不简单的等于6 函数，特别是当正则 变量d i r a c 括号的结果仍与正则变量有关时，正则量子化就十分困难，它仍不能 解决非a b e l 规范理论的量子化问题：另外，正则量子化是算符形式的，在具体 应用时，要考虑到算符的次序问题，计算起来很复杂。 路径积分量子化起源于d i r a c 的工作，即与约束理论开始发展的同一时期， f e y n m a n 发展了路径积分量子化方法 4 1 。接下来，f a d d e e v 和p o p o v 把f e y m n m l 提出的路径积分方法推广到量子场论 5 1 ，成功地实现了非a b e l 规范场的量子化 ( f p 路径积分量子化) ，而后路径积分量子化方法开始蓬勃发展起来。f p 方法是 在位形空间表述的，是非a b e l 规范场量子化的最简单的方法：用f - p 方法量子 化电磁场以及杨m i l l s 场和严格方法量子化得到的结果相同。但对于一般动量不 可积的约束系统，f p 量子化方法得到的结果是否和其他方法一致需分别研究； f - p 量子化方法通过考虑系统的规范不变性，固定规范条件，用超曲面的积分代 替对整个函数空间的积分，人为的丢掉无穷大积分，是不严格的；f p 量子化方 法是处理规范理论的比较直观的量子化方法。 1 9 7 0 年，f a d d e e v 在d i r a c 约束理论基础上，考虑系统在相空间存在固有约 束，给出了含第一类约束系统的路径积分量子化 6 1 ，1 9 7 6 年s e n j a n o v i c 解决了同 时含第一类约束和第二类约束的路径积分量子化 7 1 ，称为f s 路径积分量子化。 f - s 路径积分量子化是固定规范条件的量子化方法，比f p 量子化方法更严格， 同时，比b f v 量子化方法使用起来方便简单，是目前实际使用范围最广的方法。 用f p 和f s 方法量子化非a b e l 规范场能够得到相同的结果。但是，非a b e l 规 范场量子化后的有效拉氏量中增添了规范固定项和规范补偿项( 鬼场) 。鬼场用 来补偿规范固定项带来的纯规范自由度的效应，可以保证幺正性。但破坏了原始 拉氏量的规范不变性，含鬼场的有效拉氏量不能令人满意强】。 1 9 7 4 年，b e c c h i 、r o u e t 和s t o r a 发现虽然原始拉氏量不再有规范不变性， 但有效拉氏量有一种新的规范不变性，既b r s ( 目前逐渐为与其性质相近的 b r s t 规范不变性所代替) 规范不变性聊。b r s 变换就是将对易量与反对易量互 相联系起来的某种超对称变换，是变换参数为反对易数的特殊的规范变换，是非 线性变换。 1 9 7 7 年，b a t a l i n 、f r a d k i n 和v i l k o v s k y 在b r s 对称变换基础上，建立了一 第1 章绪言 种解决规范理论中非闭合规范代数( 约束之间的p o i s s o n 括号含有场变量) 的量 子化方法，既b f v 量子化方案。b f v 量子化法方法提供了一个吸引人的描述约 束h a m i l t o n 系统的方法，它不直接约化相空间，而是通过增添g r a s s m a n n 数扩 展相空间，扩展相空间中的b f v 泛函积分相应于一个没有约束的h a m i l t o n 系统。 b f v 方法是利用约束哈密顿系统的经典结构，既存在结构函数，建立的规范理 论的协变量子化理论【l o l 。b f v 量子化方法比f p 和f s 路径积分量子化方法更具 有普适性、更基本。b f v 量子化方法可以较方便地与其它量子化方法转换，不 同的路径积分量子化方法只不过是b f v 方法中不同规范选取的结果。对一些重 要物理系统，b f v 中不同形式固定规范的选取，就可得到f p 和f s 量子化的结 果，但不如f p 和f s 方法简单，有一定复杂性。 由于在位形空间的诸多量子化方法中，一般都包含鬼场，这样需要理论一开 始就自动包含鬼场，同时又满足b r s t 对称性，这样才出现了b v 量子化方案 1 1 】。 b v 路径积分量子化方法是建于l a g r a n g c 形式的b r s t 量子化方法。b v 量子化 方法与b f v 量子化方法是微扰等价的。但是b v 量子化方法仍然存在诸多问题， 如主v ) 方程的求解相当繁琐，其解也过于复杂，反括号使计算变得不必要的复 杂；不能给出路径积分测度等。b v 路径积分量子化在实际应用中并不广泛。 1 9 8 8 年f a d d e e v 和j a c k i w 提出了一种与传统方法不同的约束系统的量子化 方案量子化方法，在这种方案中避免了将约束化分为初级和次级以及第 一类和第二类。在一些模型中将这种量子化方法与d i r a e 方法的结果进行了比较 研究【1 2 1 ，并在许多系统中得到了验证；1 3 1 4 ，但是它必须区分独立速度和独立坐标 的时间微商，这在d i r a c 方法中不需要。 综上所述，f s 路径积分量子化方法是目前实际使用最广泛的方法。在约束 h a m i l t o n 系统的量子化中，用路径积分形式有突出的优点，出现在路径积分中的 量均是c 数，这不仅为分析系统的量子对称性带来了方便，也为f a d d e e v - p o p o v 的直观理论提供了依据。利用此方法，很容易讨论理论与规范选取无关，且较方 便地导出f e y n m a n n 规则和w a r d 恒等式等。因此，本论文主要采用f s 路径积分 量子化方法来分析具体问题。 1 2 约束h a m i l t o n 系统的对称性 宇宙中物质的运动形式虽然千变万化、复杂多样，但总表现出一定的规律。 这种规律就是对称性的体现。通过对物理学中对称性的认识，可进一步理解物理 规律。对称性总是和某种变化联系在一起的。应用对称性原理来描述纷繁复杂的 物质世界，可以使问题得到简化。 在经典力学中。l a g x a n g e 量的性质决定体系的运动方程。人们发现，l a g r a n g e 量在时间平移下的不变性将导致能量守恒。n o e t h e r 与1 9 1 8 年将变分原理应用到 物理学中，并证明：相应用每一个使作用量不变的无穷小变换，必存在一个动力 学的守恒量。n o e t h e r 定理对于后来场论的发展有着重要的影响。它引导物理学 家去寻找新领域中的守恒律和守恒量，由此确定其中的对称性。 关于系统对称性的分析，传统的研究通常是在位形空间中讨论的，没考虑系 统受约束的情况，而物理系统的运动一般情况下受到约束的限制。许多物理系统 在位形空间不存在外加约束，但过渡到相空间描述时，正则变量却存在约束关系。 h a m i l t o n 系统的正则对称性仍可为守恒律和恒等式两种形式，约束系统对称性的 研究具有重要的意义。 近年来，对于约束h a m i l t o n 系统的对称性理论，在经典水平和量子水平作 了大量的研究。在经典水平下，建立了相空间中研究约束h a m i l t o n 系统的正则 对称性，将n o e t h e r 第一定理推广到相空间，给出了相空间中对称性和守恒量的 联系【1 5 , 1 6 ；建立了相空间中定域变换下的经典正则n o e t h e r 第二定理，并给出了 具体应用【1 7 1 。从一般的相空间路径积分量子化的形式出发，来研究约束h a m i l t o n 系统的量子正则对称性，建立了整体交换，定域变换和非定域变换下的量子正则 形式的n o e t h e r 第二定理，即w a r d 恒等式【埔】。w a r d 恒等式是n o e t h e r 定理的量 子对应，该恒等式及其推广在现代量子场论中占有重要地位，它是证明理论可重 整化的重要工具，而且在一些具体的计算中，用它可以将高阶固有顶角的计算化 为低阶固有顶角的计算。位形空间的n o e t h e r 定理和相空间中的n o e t h e r 定理的 不同之处在于：系统在相空间中的对称性质，可由相空间中的n o e t h e r 定理导出 其相应的守恒量，而这种相空间中的对称性质，在位形空间中往往又不明显呈现 第1 章绪言 出来。该量子对称理论采用了相空间路径积分量子化方法，其优点在于勿需作出 相空间生成泛函中对正则动量的路径积分。 我们提出了一种方法来计算路径积分形式的守恒量，将整体正则对称性与守 恒律联系起来。在文献1 1 6 中，首先将系统整体变换推广到定域变换，然后得到 了系统的整体n o c t h e r 定理。但是这就将整体变换和定域交换混合起来，物理意 义不明确。我们只考虑正则变量的整体变化，运用生成泛函的不变性得到了路径 积分形式的量子整体n o e t h e r 定理。 1 3 超对称c h e r n s i m o n s 理论及其应用 任意子是介于玻色子和费米子之间的新的全同粒子，具有分数自旋和统计的 性质。1 9 7 7 年挪威物理学家l e i n a a s 和m y r h e i m 0 9 1 首先提出可能存在这种新的量 子统计。他们在系统的研究了空间维度、空间拓扑性质对统计和对称性的影响后， 意识n - 维空间中可能存在新的量子统计。1 9 8 2 年美国物理学家f w i l c z e k 总结 了当时的新思想和新发现后f 2 。l ，重新提出了任意子的概念，并第一次把带电粒子 磁通量管的复合体叫做任意子。因为这样的复合体相互交换位置时，将在波函数 中出现一个额外的相位因子，使得其统计性质可以在玻色统计和费米统计之间连 续变化，这就是把这种复合体叫做任意子的原因。后来这种复合体在量子霍尔效 应中找到了其存在的依据，并在高温超导理论中得到了深入广泛的研究。于是， 这种具有人们不熟悉的统计性质的对象，受到物理学界特别是凝聚态场论方面研 究的物理学家的普遍关注，并提出了各种任意子模型，如c y o n ，s k y r m i o n 和引 力任意子等。随着量子场论的巨大成功，研究发现，各种任意子都与某种规范场 相联系。 近年来，任意子研究的另一个重要的领域是c h e m - s i m o m 场理论，用含 c h e m - s i m o n s ( c s ) 项的l a g r a n g e 量可以实现对任意子分数统计性的描述【2 l l 。 最早建议用c s 场来实现分数自旋统计描述任意子的是w i l e z e k l 。其后许多作 者都证明了这种观点。文献【2 3 】中考虑了用非相对论带电粒子与c s 项耦合，结 果发现，c s 项起到把粒子的电荷和磁通束缚在一起的作用，并且耦合后的角动 量取任意值，它取决于c s 项前面的系数。在场论水平上也取得了类似的结果， 近年来分数量子统计的研究受到人们的广泛支持，它涉及到弦理论、黑洞、分数 量子霍尔效应和高温超导等众多不同领域。1 9 8 3 年w i l c z e k 和z c e 在相对论理论 形式下构造了任意子模型口4 l 。他们考虑了2 + l 维的0 ( 3 j 疗模型，并且指出由于 h o p f 项的存在，这个模型具有分数自旋的往质。这在相对论量子场论形式下对 自旋统计理论的严格处理上是一个重要的发展。文献【2 5 】研究了场论水平的a b e l c h e m s i m o n s ( c s ) 项与物质场的最小耦合性质，发现c s 项有分数自旋的性质。 c s 规范场是一种拓扑场，没有自己的动力学，只能与其它标量场或旋量场耦合， 才表现出动力学性质，可用能动张量对称性 2 6 1 或者经典的n o e t h e r 定理【2 7 】来计 算任意子的角动量。对c s 规范场与标量或旋量电动力学耦合的模型已经做了研 究捌，得到了场论水平下的分数自旋或分数统计性质。在场论水平上的研究取 得的结果比起量子力学水平上的研究还欠充分。在场论中研究任意子的分数自旋 和分数统计性质时，a b e lc s 场和物质场的耦合看作是这方面的基础理论对含 c s 项c p i 模型、0 0 ) o 模型、c h e m - s i m o m - h i g g s 模型1 3 0 l 和c s 项与旋量场耦合 的模型，都已有过研究。近几年来，又有文献对非a b e lc s 项和物质场耦合模型 的分数自旋和分数统计的性质进行了研究【3 l l 。但只是以经典水平的研究为主。描 述任意子的c s 理论，过渡到相空间j 存在固有约束，因此用约束h a m i l t o n 系统 的量子对称性质研究非a b e lc s 理论就十分必要。 超对称任意子模型最近也倍受关注。文献口2 l 将具有c h 睨 n - s i m o n s 项的非动 力学规范超场与守恒流超场耦合，构造了超对称c h e m - s i m o n s 理论的拉格朗目 量。文献【3 3 】考虑了另外一种模型，将带有超h o p f 项的玻色o o ) 非线性a 模型进 行了超对称化，当物质场与带有c h c m - s i m o n s 项的u o ) 规范场耦合时。会使规范 场产生质量。这两种超对称任意子模型都可以用来描述2 + 1 维的任意子动力学。 文献 3 4 1 将具有纯c h e m - s i m o n s 项的a b e l - h i g g s 模型进行超对称扩展，发现系统存 在自对偶孤子解，要求超对称n = 2 ，决定了超势具有拓扑和非拓扑孤子解。文 献 3 5 1 研究了非阿贝尔的s u ( n ) 超对称c h e r n - s i m o n s h i g g s 模型，发现在一定的超 势下，该模型仍然存在非拓扑孤子解。在本文中，我们将重点研究。 1 4 n j l 模型及其应用 量子色动力学( q c d ) 被普遍地认为是强相互作用的最好候选者。由于q c d 在高能情况下具有渐进自由性质，因而可以利用微扰论来处理硬过程。但是，在 低能情况下，相互作用很强，微扰展开已不再适应，而应采用非微扰方案。 n a m b u - j o n a - l a s i n i o ( n 几) 模型是比较可靠的描述低能强子的唯相理论。n j l 模型它能直接从q c d 拉氏量出发推导出来，即从基本夸克和胶子作用量出发， 在一定的近似下，积掉夸克和胶子自由度，重新构建包含强子自由度的作用量。 n j l 模型被广泛地应用于研究低能强子的性质，主要在于它具有一个简单而清晰 的非微扰真空的物理图象。 n j l 模型保持了q c d 的各种对称性，包括手征对称性；由于真空中存在较 大的夸克对凝聚，真空不具有手征对称性，即，对称性是自发破缺的，并导致没 有质量的g o l d s t o n e 玻色子出现。n j l 模型还有一些特性：当在拉氏量中给夸克 加上微小的流质量，手征对称性就会明显的破坏，拉氏量只具有近似的手征对称 性。由于不同味道夸克的具有不同的流质量，从而导致介子质量的劈裂。n y l 模 型可以帮助我们理解组分夸克模型为什么能取得较大的成功，由于强子的四点相 互作用，轻的流夸克获得了较大的组分质量。 n i l 模型同样具有一定的缺点。首先，类点的相互作用导致该模型不能重整 化。当然对有效模型来说，重整化的要求并不严格。第二，n j l 模型不具有夸克 禁闭性质，这使得该模型只限于讨论手征对称性相关的问题，并且可能导致一些 非物理的过程出现，例如重介子衰变为夸克反夸克对。此外，n j l 模型没有胶 子的自由度，限制了该模型的应用范围。虽然存在这些缺点，但在考察与手征对 称性及手征相变相关的现象时，它却是一个简单易行且有效的工具。文献 3 7 】在 位形空间研究了荷中性条件对两味色超导的影响。文章在s u ( 2 ) n j l 模型的框架 内，研究了两味夸克系统的4 个不同的相，即荷中性的普通夸克物质相和色超导 相，带荷的普通夸克物质相和色超导相。首先给出拉格朗日量，和巨正则系综的 配分函数，进而求得熟力学势：从热力学势出发，导出能隙方程、数密度、荷中 性条件最后给出了数值结果。 1 5 各章安排 本文第二章我们详细介绍了约束系统的f a d d e e v s e n j a n o v i c 路径积分量子化 方案，以及经典水平下相空间的正则n o e t h e r 定理、正则n o e f l l e r 恒等式和量子 水平下相空间的咀恒等式和正则n o e t h e r 定理。 第三章我们指出了量子整体正则n o e t h e r 定理( 量子守恒律) 证明过程中存 在的不足，严格推导了无穷小变换参数为二阶张量的量子整体芷则n o e t h e r 定 理。 接下来，我们运用f a d d e e v - s e n j a n o v i c 路径积分量子化方法，对s u ( n ) n = 2 非 ， a b e l 超对称c h e r n - s i m o n s 系统进行了量子化，得到系统相空间的格林函数生成泛 函。利用上述推导的量子整体正则n o e t h e r 定理，我们研究了其量子对称性，得 到了系统量子守恒角动量，发现非a b e lc h e r n - s i m o n s 场部分的角动量具有分数 自旋性质，并且与阿贝尔情况不同，反常自旋项与规范变换群指标有关。将正则 角动量方法与b a n c r j e e 的方法做了比较，并得出这两种方法的不同之处，即我们 系统的计算了系统的总角动量而没有做人为假定，发现总角动量里包含了轨道角 动量、自旋角动量以及分数自旋角动量。 第四章，在( 2 + 1 ) 维时空中，我们研究了s u ( n ) n - - 2 非a b e lc h e r n - s i m o n s 超对称规范场系统。基于f a d d e e v s e n j a n o v i c 路径积分量子化方法，给出了该 系统格林函数的相空间生成泛函。运用量子整体正则n o e t h e r 定理，得到了系统 的总角动量，发现其包含非a b e l 规范场的轨道角动量、自旋角动量和分数自旋 角动量，分数自旋项不仅相关于规范变换群指标，并包含非a b e l 规范场第零分 量荷的贡献。 第五章，我们还研究在引入轴重子数不守恒的反对称张量四夸克s u ( 2 ) 扩展 n j l 模型及玻色化的n j l 模型。根据f a d d e e v s e n j a n o v i c 路径积分量子化方案， 分别将扩展n j l 模型和玻色化的n j l 模型进行了量子化，得到系统相空间中格林 函数生成泛函，继而得到了连通格林函数生成泛函和正规顶角生成泛函。由旋量 场的手征变换推出复合场及共轭动量的手征交换，由生成泛函手征变换的不变 性，得到了手征w a r d t a k a h a s h i 恒等式。第六章是总结和结论。 第2 章f a d d e e v s e n j a n o v ic 路径积分量子化 和正则对称性 f s 路径积分量子化方法是目前实际使用最广泛的方法。在约束h a m i l t o n 系 统的量子化中，用路径积分形式有突出的优点，出现在路径积分中的量均是c 数，这不仅为分析系统的量子对称性带来了方便，也为f a d d e e v p o p o v 的直观理 论提供了依据。利用此方法，很容易讨论理论与规范选取无关，且较方便地导出 f e y m n a n n 规则和w a r d 恒等式等。而对称性的研究在物理学中占重要地位，系统 在相空间具有对称性的研究，在量子理论中有更基本的意义。 因此，下文主要叙述f s 路径积分量子化方法，以及约束h a m i l t o n 系统在相 空间的经典正则对称性和路径积分中的对称性。系统在相空间中的整体对称性 ( 不交性) ，导致了正则形式的n o e t h e r 定理，相空间的定域不变性，导出正则 形式的n o e t h e r 恒等式。奇异l a g r a n g e 量系统路径积分中( 基于f s 量子化方案) 的对称性，给出系统在量子水平下的一些对称性质，导出约束h a m i l t o n 系统在 整体和定域变换下的w a r d 恒等式，整体对称下量子形式的n o e t h e r 定理。 2 。1 f a d d e e v s e n j a n o v i c 路径积分量子化方案 f a d d e c v - s e n j a n o v i c 路径积分量子化基于d i r a c 约束理论。设动力学系统由 奇异l a g r a n g e 量彳( 矿，9 ：) 描述，首先要计算出奇异系统的所有约束。通过正则 动量的定义来判断系统的初级约束，用d i r a c b e r g m a r m 算法，求出系统所有的 次级约束。将次级约束与初级约束同等对待，按照定义( 第一类约束与所有约束 的泊松括号都弱等于零) ，求出第一类和第二类约束。设a 。= 1 , 2 ，m ) 为系统 的第一类约束，研够= 1 , 2 ，2 d 为系统的第二类约束。然后，对每一个第一类约 束选取一个规范条件q 4 = 1 , 2 ，m ) ，使全部的约束( 包括规范条件) 变为第 二类约束，即满足 第二类约束满足 d e t l a 。，q 。) | 0( 2 1 ) d e t i 够，q f 0 ( 2 - 2 ) 则系统路径积分形式量子化跃迁振幅为： z l o ：j 刃矿刃万：d e t l a ，q a ) j n j ( a 。) 艿( q a ) n 2 k 艿( 岛) d 时j f 毋，g ，j 】j 1 口一jf ； e x p is d 4 x ( 凡矿一筑) ) ( 2 - 3 ) 2 2 经典正则n o e t h e r 定理 下面分析约束h a m i l t o n 系统在相空间中的经典水平下的整体对称性质。考 虑系统在相空间有限李群下的变换性质，其无穷小变换为： t _ t 7 = f + = t + e v _ r 4 ( f ；g ，p ) g f ( t ) - - - q 7 0 ) ：碍，) + 一( f ) = g o ) + e 。“o ；牙，p ) 只( ，) o ，) = 只( f ) + 锄( r ) = 岛( r ) + 6 川? ( f ；g ，p ) ( 2 - 4 ) 式中：p = 1 , 2 9 1 9 r ) 为与时间f 无关的无穷小参数：，似g ，f ( f ；仍p ) 和r l ：，( t ；q ，p ) y o t ，g ，和p 的函数。( 2 - 4 ) 式为整体变换。假设在( 2 - 4 ) 式变换下，系统 的正则作用量 i p = l p , i t = t d 崖- h c ( 1 ：q i 蚬d t ( 2 - 5 ) 的般变分为 ，= f 彳尸( r ；9 7 ，p ) d r 一f ，z ( ，；g ，p ) d t = f 2 丢哪；蚴西( 2 - 6 ) 式中q = o q 9 。由( 2 - 5 ) 式和( 2 6 ) 式可得： 脚吲一象+ 6 9 ( 订争西+ f 丢蜊州吲弦 = f 丢q p ；吼p ) 者 ( 2 7 ) 假i 删e ( 2 - 1 ) 式所确定的等时变分下不变，即 硝= 筹等国- 。 s ， 用l a g r a n g e 乘子刀( f ) 乘( 2 - 8 ) 式并求和，然后在【f i ，屯】上积分) 舌- t 5 ( 2 - 7 ) 式合并， 有： f i 卜( 卜鼍爿筹 + 两( 一矗一寻硝等卜 + r 丢【只6 矿+ ( 只矿一筑) & 一q 】西= d ( 2 - 9 ) 将( 2 - 9 ) 式沿着约束h a m i l t o n 系统运动的轨线，考虑h a m i l t o n 体制的运动方程式， 可得 f 丢【只耐+ o , 4 一謦池一n e t = 口( 2 - 1 0 ) 由于参数占，的独立性，( 2 - 1 0 ) 式可以写为 n 孝“一z f 4 一q 4 = c o n s t( 盯= 1 9 2 9 9 ，) ( 2 1 1 ) 这就是约束h a m i l t o n 系统在相空间中的n o e t h e r 定理：如果8 整体变换( 2 一1 ) 下， 系统的正则作用量的变化满足( 2 - 7 ) 式，且约束方程在变换( 2 - 1 ) 式所确定的等时变 分下不变，那么该约束h a m i l t o n 系统在相空间中必存在r 个守恒量但1 1 ) 式。 2 3 经典正则n o e t h e r 恒等式 整体对称性和守恒律的联系在经典理论中由n o e t h e r 第一定律给出。n o e t h e r 第二定律或n o e t h c r 恒等式涉及的是系统的定域对称性。在量子理论中，n o e t h e r 恒等式对应于w a r d 恒等式。下面在相空间回顾一下n o e t h e r 恒等式。 设动力系统的正则作用量为 ，= j ! f f d t = r 【p ，尊一日。o ；q ，p ) d t ( 2 1 2 ) 一l 式中h c ( r ；毋p ) 为系统的正则h a m i l t o n 量。现考虑正则作用量i p 在相空间中的无 限连续群下的变换性质，其无穷小变换为： t t = f + a t = + 最。e 。( f ) q ( f ) g 。p ) = o ) + 幻( f ) = q ( f ) + s ”。o ) 只( f ) p